Soluție online pentru teorema lui Vieta. Despre aplicarea teoremei lui Vieta în rezolvarea ecuațiilor pătratice. Dovada teoremei inverse a lui Vieta

În clasa a VIII-a, elevii sunt introduși în ecuațiile pătratice și cum să le rezolve. În același timp, după cum arată experiența, majoritatea studenților, atunci când rezolvă ecuații pătratice complete, folosesc o singură metodă - formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice. Pentru studenții care au abilități bune de aritmetică mentală, această metodă este în mod clar irațională. Elevii trebuie adesea să rezolve ecuații patratice chiar și în liceu și acolo este pur și simplu păcat să petreci timp calculând discriminantul. După părerea mea, atunci când studiem ecuațiile pătratice, ar trebui să se acorde mai mult timp și atenție aplicării teoremei lui Vieta (conform programului A.G. Mordkovich Algebra-8, sunt planificate doar două ore pentru studierea temei „Teorema lui Vieta. Descompunerea unui pătratic. trinom în factori liniari”).

În majoritatea manualelor de algebră, această teoremă este formulată pentru ecuația pătratică redusă și afirmă că dacă ecuația are rădăcini și , atunci egalitățile , , sunt satisfăcute pentru ele. Apoi, se formulează o afirmație conversată cu teorema lui Vieta și se oferă o serie de exemple pentru a lucra pe această temă.

Să luăm exemple specifice și să urmărim logica soluției folosind teorema lui Vieta.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația.

Să presupunem că această ecuație are rădăcini, și anume și . Apoi, conform teoremei lui Vieta, egalitățile trebuie să aibă loc simultan:

Vă rugăm să rețineți că produsul rădăcinilor este un număr pozitiv. Aceasta înseamnă că rădăcinile ecuației sunt de același semn. Și deoarece suma rădăcinilor este și un număr pozitiv, concluzionăm că ambele rădăcini ale ecuației sunt pozitive. Să revenim din nou la produsul rădăcinilor. Să presupunem că rădăcinile ecuației sunt numere întregi pozitive. Atunci prima egalitate corectă poate fi obținută numai în două moduri (până la ordinea factorilor): sau . Să verificăm pentru perechile de numere propuse fezabilitatea celei de-a doua afirmații a teoremei lui Vieta: . Astfel, numerele 2 și 3 satisfac ambele egalități și, prin urmare, sunt rădăcinile ecuației date.

Răspuns: 2; 3.

Să evidențiem principalele etape ale raționamentului atunci când rezolvăm ecuația pătratică de mai sus folosind teorema lui Vieta:

notează enunţul teoremei lui Vieta

(*)

• determinați semnele rădăcinilor ecuației (Dacă produsul și suma rădăcinilor sunt pozitive, atunci ambele rădăcini sunt numere pozitive. Dacă produsul rădăcinilor este un număr pozitiv, iar suma rădăcinilor este negativă, atunci ambele rădăcini sunt numere negative Dacă produsul rădăcinilor este un număr negativ, atunci rădăcinile au semne diferite. În plus, dacă suma rădăcinilor este pozitivă, atunci rădăcina cu un modul mai mare este un număr pozitiv. suma rădăcinilor este mai mică decât zero, atunci rădăcina cu un modul mai mare este un număr negativ);
• selectați perechi de numere întregi al căror produs dă prima egalitate corectă în notația (*);
• din perechile de numere găsite, selectați perechea care, atunci când este înlocuită în a doua egalitate din notația (*), va da egalitatea corectă;
• indicați în răspunsul dvs. rădăcinile găsite ale ecuației.

Să dăm mai multe exemple.

Exemplul 2: Rezolvați ecuația .

Soluţie.

Fie și rădăcinile ecuației date. Apoi, prin teorema lui Vieta, observăm că produsul este pozitiv, iar suma este un număr negativ. Aceasta înseamnă că ambele rădăcini sunt numere negative. Selectăm perechi de factori care dau un produs de 10 (-1 și -10; -2 și -5). A doua pereche de numere adună până la -7. Aceasta înseamnă că numerele -2 și -5 sunt rădăcinile acestei ecuații.

Răspuns: -2; -5.

Exemplul 3: Rezolvați ecuația .

Soluţie.

Fie și rădăcinile ecuației date. Apoi, prin teorema lui Vieta, observăm că produsul este negativ. Aceasta înseamnă că rădăcinile au semne diferite. Suma rădăcinilor este, de asemenea, un număr negativ. Aceasta înseamnă că rădăcina cu cel mai mare modul este negativă. Selectăm perechi de factori care dau produsul -10 (1 și -10; 2 și -5). A doua pereche de numere adună până la -3. Aceasta înseamnă că numerele 2 și -5 sunt rădăcinile acestei ecuații.

Răspuns: 2; -5.

Rețineți că teorema lui Vieta poate fi formulată, în principiu, pentru o ecuație pătratică completă: dacă ecuația pătratică are rădăcini și , atunci egalitățile , , sunt satisfăcute pentru ei. Cu toate acestea, aplicarea acestei teoreme este destul de problematică, deoarece într-o ecuație pătratică completă cel puțin una dintre rădăcini (dacă există, desigur) este un număr fracționar. Și lucrul cu selectarea fracțiilor este lung și dificil. Dar totuși există o cale de ieșire.

Luați în considerare ecuația pătratică completă . Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu primul coeficient Oși scrieți ecuația sub forma . Să introducem o nouă variabilă și să obținem ecuația pătratică redusă, ale cărei rădăcini și (dacă sunt disponibile) pot fi găsite folosind teorema lui Vieta. Atunci rădăcinile ecuației originale vor fi . Vă rugăm să rețineți că este foarte simplu să creați o ecuație redusă auxiliară: al doilea coeficient este păstrat, iar al treilea coeficient este egal cu produsul ac. Cu o anumită abilitate, elevii creează imediat o ecuație auxiliară, îi găsesc rădăcinile folosind teorema lui Vieta și indică rădăcinile ecuației complete date. Să dăm exemple.

Exemplul 4: Rezolvați ecuația .

Să creăm o ecuație auxiliară iar folosind teorema lui Vieta îi vom găsi rădăcinile. Aceasta înseamnă că rădăcinile ecuației originale .

Răspuns: .

Exemplul 5: Rezolvați ecuația .

Ecuația auxiliară are forma . Conform teoremei lui Vieta, rădăcinile sale sunt . Găsirea rădăcinilor ecuației inițiale .

Răspuns: .

Și încă un caz când aplicarea teoremei lui Vieta vă permite să găsiți verbal rădăcinile unei ecuații pătratice complete. Nu este greu să demonstrezi asta numărul 1 este rădăcina ecuației , dacă și numai dacă. A doua rădăcină a ecuației este găsită de teorema lui Vieta și este egală cu . O alta afirmatie: astfel încât numărul –1 este rădăcina ecuației necesar si suficient pentru. Atunci a doua rădăcină a ecuației conform teoremei lui Vieta este egală cu . Afirmații similare pot fi formulate pentru ecuația pătratică redusă.

Exemplul 6: Rezolvați ecuația.

Rețineți că suma coeficienților ecuației este zero. Deci, rădăcinile ecuației .

Răspuns: .

Exemplul 7. Rezolvați ecuația.

Coeficienții acestei ecuații satisfac proprietatea (într-adevăr, 1-(-999)+(-1000)=0). Deci, rădăcinile ecuației .

Răspuns: ..

Exemple de aplicare a teoremei lui Vieta

Sarcina 1. Rezolvați ecuația pătratică dată folosind teorema lui Vieta.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Sarcina 2. Rezolvați ecuația pătratică completă trecând la ecuația pătratică redusă auxiliară.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Sarcina 3. Rezolvați o ecuație pătratică folosind proprietatea.

În matematică, există tehnici speciale prin care multe ecuații pătratice pot fi rezolvate foarte rapid și fără discriminatori. Mai mult, cu o pregătire adecvată, mulți încep să rezolve ecuațiile pătratice oral, literalmente „la prima vedere”.

Din păcate, în cursul modern al matematicii școlare, astfel de tehnologii aproape nu sunt studiate. Dar trebuie să știi! Și astăzi ne vom uita la una dintre aceste tehnici - teorema lui Vieta. Mai întâi, să introducem o nouă definiție.

O ecuație pătratică de forma x 2 + bx + c = 0 se numește redusă. Vă rugăm să rețineți că coeficientul pentru x 2 este 1. Nu există alte restricții asupra coeficienților.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 este o ecuație pătratică redusă;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - de asemenea redus;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - dar acest lucru nu este dat deloc, deoarece coeficientul lui x 2 este egal cu 2.

Desigur, orice ecuație pătratică de forma ax 2 + bx + c = 0 poate fi redusă - doar împărțiți toți coeficienții la numărul a. Putem face întotdeauna acest lucru, deoarece definiția unei ecuații pătratice implică faptul că a ≠ 0.

Adevărat, aceste transformări nu vor fi întotdeauna utile pentru găsirea rădăcinilor. Mai jos ne vom asigura că acest lucru ar trebui făcut numai atunci când în ecuația finală dată de pătrat toți coeficienții sunt întregi. Deocamdată, să ne uităm la cele mai simple exemple:

Sarcină. Convertiți ecuația pătratică în ecuația redusă:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0.

Să împărțim fiecare ecuație la coeficientul variabilei x 2 . Primim:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - împărțit totul la 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - împărțit la −4;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - împărțit la 1,5, toți coeficienții au devenit numere întregi;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x − 5,5 = 0 - împărțit la 2. În acest caz au apărut coeficienții fracționali.

După cum puteți vedea, ecuațiile pătratice de mai sus pot avea coeficienți întregi chiar dacă ecuația originală conținea fracții.

Acum să formulăm teorema principală, pentru care, de fapt, a fost introdus conceptul de ecuație pătratică redusă:

teorema lui Vieta. Se consideră ecuația pătratică redusă de forma x 2 + bx + c = 0. Să presupunem că această ecuație are rădăcini reale x 1 și x 2. În acest caz, următoarele afirmații sunt adevărate:

1. x 1 + x 2 = −b. Cu alte cuvinte, suma rădăcinilor ecuației pătratice date este egală cu coeficientul variabilei x, luată cu semnul opus;
2. x 1 x 2 = c. Produsul rădăcinilor unei ecuații pătratice este egal cu coeficientul liber.

Exemple. Pentru simplitate, vom lua în considerare doar ecuațiile pătratice de mai sus care nu necesită transformări suplimentare:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; rădăcini: x 1 = 4; x 2 = 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = −15; rădăcini: x 1 = 3; x 2 = −5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; rădăcini: x 1 = −1; x 2 = −4.

Teorema lui Vieta ne oferă informații suplimentare despre rădăcinile unei ecuații pătratice. La prima vedere, acest lucru poate părea dificil, dar chiar și cu un antrenament minim veți învăța să „vedeți” rădăcinile și să le ghiciți literalmente în câteva secunde.

Sarcină. Rezolvați ecuația pătratică:

1. x 2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 − 12x + 27 = 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0.

Să încercăm să scriem coeficienții folosind teorema lui Vieta și să „ghicim” rădăcinile:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 este o ecuație pătratică redusă.
   Prin teorema lui Vieta avem: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Este ușor de observat că rădăcinile sunt numerele 2 și 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - de asemenea redus.
   După teorema lui Vieta: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. De aici rădăcinile: 3 și 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - această ecuație nu este redusă. Dar vom corecta acest lucru acum împărțind ambele părți ale ecuației la coeficientul a = 3. Obținem: x 2 + 11x + 10 = 0.
   Rezolvăm folosind teorema lui Vieta: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ rădăcini: −10 și −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - din nou coeficientul pentru x 2 nu este egal cu 1, i.e. ecuația nu este dată. Împărțim totul la numărul a = −7. Se obține: x 2 − 11x + 30 = 0.
   După teorema lui Vieta: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; Din aceste ecuații este ușor de ghicit rădăcinile: 5 și 6.

Din raționamentul de mai sus este clar cum teorema lui Vieta simplifică soluția ecuațiilor pătratice. Fără calcule complicate, fără rădăcini și fracții aritmetice. Și nici măcar nu aveam nevoie de un discriminant (vezi lecția „Rezolvarea ecuațiilor pătratice”).

Desigur, în toate reflecțiile noastre am plecat de la două ipoteze importante, care, în general, nu sunt întotdeauna îndeplinite în probleme reale:

1. Ecuația pătratică este redusă, adică coeficientul pentru x 2 este 1;
2. Ecuația are două rădăcini diferite. Din punct de vedere algebric, în acest caz discriminantul este D > 0 - de fapt, presupunem inițial că această inegalitate este adevărată.

Cu toate acestea, în problemele matematice tipice aceste condiții sunt îndeplinite. Dacă calculul are ca rezultat o ecuație pătratică „rea” (coeficientul lui x 2 este diferit de 1), aceasta poate fi corectată cu ușurință - priviți exemplele de la începutul lecției. Tac în general despre rădăcini: ce fel de problemă este aceasta care nu are răspuns? Desigur, vor exista rădăcini.

Astfel, schema generală de rezolvare a ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta este următoarea:

1. Reduceți ecuația pătratică la cea dată, dacă acest lucru nu a fost deja făcut în enunțul problemei;
2. Dacă coeficienții din ecuația pătratică de mai sus sunt fracționali, rezolvăm folosind discriminantul. Puteți chiar să vă întoarceți la ecuația originală pentru a lucra cu numere mai „la îndemână”;
3. În cazul coeficienților întregi, rezolvăm ecuația folosind teorema lui Vieta;
4. Dacă nu puteți ghici rădăcinile în câteva secunde, uitați de teorema lui Vieta și rezolvați folosind discriminantul.

Sarcină. Rezolvați ecuația: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Deci, avem în fața noastră o ecuație care nu se reduce, pentru că coeficientul a = 5. Împărțim totul la 5, obținem: x 2 − 7x + 10 = 0.

Toți coeficienții unei ecuații pătratice sunt întregi - să încercăm să o rezolvăm folosind teorema lui Vieta. Avem: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10. În acest caz, rădăcinile sunt ușor de ghicit - sunt 2 și 5. Nu este nevoie să numărați folosind discriminantul.

Sarcină. Rezolvați ecuația: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.

Să ne uităm: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 - această ecuație nu este redusă, să împărțim ambele părți la coeficientul a = −5. Se obține: x 2 − 1,6x + 0,48 = 0 - o ecuație cu coeficienți fracționali.

Este mai bine să reveniți la ecuația inițială și să numărați prin discriminant: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2; x 2 = 0,4.

Sarcină. Rezolvați ecuația: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Mai întâi, să împărțim totul la coeficientul a = 2. Obținem ecuația x 2 + 5x − 300 = 0.

Aceasta este ecuația redusă, conform teoremei lui Vieta avem: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300. Este dificil de ghicit rădăcinile ecuației pătratice în acest caz - personal, am fost serios blocat când am rezolvat această problemă.

Va trebui să cauți rădăcini prin discriminant: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Dacă nu vă amintiți rădăcina discriminantului, voi observa doar că 1225: 25 = 49. Prin urmare, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.

Acum că rădăcina discriminantului este cunoscută, rezolvarea ecuației nu este dificilă. Se obține: x 1 = 15; x 2 = −20.

2.5 Formula Vieta pentru polinoame (ecuații) de grade superioare

Formulele derivate de Viète pentru ecuațiile pătratice sunt valabile și pentru polinoamele de grade superioare.

Fie polinomul

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n

Are n rădăcini diferite x 1, x 2..., x n.

În acest caz, are o factorizare de forma:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

Să împărțim ambele părți ale acestei egalități cu a 0 ≠ 0 și să deschidem parantezele din prima parte. Obținem egalitatea:

x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

Dar două polinoame sunt identic egale dacă și numai dacă coeficienții acelorași puteri sunt egali. Rezultă că egalitatea

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

De exemplu, pentru polinoame de gradul trei

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Avem identități

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

Ca și în cazul ecuațiilor pătratice, această formulă se numește formula lui Vieta. Laturile din stânga acestor formule sunt polinoame simetrice de la rădăcinile x 1, x 2 ..., x n ale acestei ecuații, iar părțile din dreapta sunt exprimate prin coeficientul polinomului.

2.6 Ecuații reductibile la pătratice (biquadratice)

Ecuațiile de gradul al patrulea sunt reduse la ecuații pătratice:

ax 4 + bx 2 + c = 0,

numită biquadratică și a ≠ 0.

Este suficient să punem x 2 = y în această ecuație, prin urmare,

ay² + prin + c = 0

să găsim rădăcinile ecuației pătratice rezultate

y 1,2 =

Pentru a găsi imediat rădăcinile x 1, x 2, x 3, x 4, înlocuiți y cu x și obțineți

x² =

x 1,2,3,4 = .

Dacă o ecuație de gradul al patrulea are x 1, atunci are și o rădăcină x 2 = -x 1,

Dacă are x 3, atunci x 4 = - x 3. Suma rădăcinilor unei astfel de ecuații este zero.

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Să înlocuim ecuația în formula pentru rădăcinile ecuațiilor biquadratice:

x 1,2,3,4 = ,

știind că x 1 = -x 2 și x 3 = -x 4, atunci:

x 3,4 =

Răspuns: x 1,2 = ±2; x 1,2 =

2.7 Studiul ecuațiilor biquadratice

Să luăm ecuația biquadratică

ax 4 + bx 2 + c = 0,

unde a, b, c sunt numere reale și a > 0. Prin introducerea necunoscutei auxiliare y = x², examinăm rădăcinile acestei ecuații și introducem rezultatele în tabel (vezi Anexa nr. 1)

2.8 Formula Cardano

Dacă folosim simbolismul modern, derivarea formulei Cardano poate arăta astfel:

x =

Această formulă determină rădăcinile unei ecuații generale de gradul trei:

ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Această formulă este foarte greoaie și complexă (conține mai mulți radicali complecși). Nu se va aplica întotdeauna, deoarece... foarte greu de completat.

F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

Listează sau selectează cele mai interesante locuri din 2-3 texte. Astfel, am examinat prevederile generale pentru crearea și desfășurarea cursurilor opționale, care vor fi luate în considerare la elaborarea unui curs opțional de algebră pentru clasa a 9-a „Ecuații cadrate și inegalități cu un parametru”. Capitolul II. Metodologia de desfășurare a cursului opțional „Ecuații și inegalități quadratice cu un parametru” 1.1. General...

Rezolvari din metode de calcul numeric. Pentru a determina rădăcinile unei ecuații, nu sunt necesare cunoașterea teoriilor grupurilor Abel, Galois, Lie etc. și utilizarea unei terminologii matematice speciale: inele, câmpuri, idealuri, izomorfisme etc. Pentru a rezolva o ecuație algebrică de gradul al n-lea, aveți nevoie doar de capacitatea de a rezolva ecuații pătratice și de a extrage rădăcini dintr-un număr complex. Rădăcinile pot fi determinate de...

Cu unități de măsură ale mărimilor fizice în sistemul MathCAD? 11. Descrieți în detaliu blocurile text, grafice și matematice. Prelegerea nr. 2. Probleme de algebră liniară și rezolvarea ecuațiilor diferențiale în mediul MathCAD În problemele de algebră liniară, există aproape întotdeauna nevoia de a efectua diverse operații cu matrice. Panoul operator cu matrici este situat în panoul Math. ...

François Viète (1540-1603) – matematician, creatorul celebrelor formule Viète

teorema lui Vieta necesare pentru a rezolva rapid ecuații pătratice (în cuvinte simple).

Mai detaliat, atunci Teorema lui Vieta este că suma rădăcinilor unei ecuații pătratice date este egală cu al doilea coeficient, care este luat cu semnul opus, iar produsul este egal cu termenul liber. Orice ecuație pătratică redusă care are rădăcini are această proprietate.

Folosind teorema lui Vieta, puteți rezolva cu ușurință ecuații patratice prin selecție, așa că să-i spunem „mulțumesc” acestui matematician cu o sabie în mână pentru fericita noastră clasă a VII-a.

Dovada teoremei lui Vieta

Pentru a demonstra teorema, puteți folosi formule de rădăcină binecunoscute, datorită cărora vom compune suma și produsul rădăcinilor unei ecuații pătratice. Abia după aceasta ne putem asigura că sunt egale și, în consecință, .

Să presupunem că avem o ecuație: . Această ecuație are următoarele rădăcini: și . Să demonstrăm că , .

Conform formulelor pentru rădăcinile unei ecuații pătratice:

1. Aflați suma rădăcinilor:

Să ne uităm la această ecuație, cum am obținut-o exact așa:

= .

Pasul 1. Reducând fracțiile la un numitor comun, rezultă:

= = .

Pasul 2. Avem o fracție în care trebuie să deschidem parantezele:

Reducem fracția cu 2 și obținem:

Am demonstrat relația pentru suma rădăcinilor unei ecuații pătratice folosind teorema lui Vieta.

2. Aflați produsul rădăcinilor:

= = = = = .

Să demonstrăm această ecuație:

Pasul 1. Există o regulă pentru înmulțirea fracțiilor, conform căreia înmulțim această ecuație:

Acum ne amintim definiția rădăcinii pătrate și calculăm:

= .

Pasul 3. Să reamintim discriminantul ecuației pătratice: . Prin urmare, în loc de D (discriminant), înlocuim în ultima fracție, apoi rezultă:

= .

Pasul 4. Deschideți parantezele și adăugați termeni similari la fracție:

Pasul 5. Scurtăm „4a” și obținem .

Deci am demonstrat relația pentru produsul rădăcinilor folosind teorema lui Vieta.

IMPORTANT!Dacă discriminantul este zero, atunci ecuația pătratică are o singură rădăcină.

Teorema conversie la teorema lui Vieta

Folosind teorema inversă teoremei lui Vieta, putem verifica dacă ecuația noastră este rezolvată corect. Pentru a înțelege teorema în sine, trebuie să o luați în considerare mai detaliat.

Dacă numerele sunt așa:

Și atunci ele sunt rădăcinile ecuației pătratice.

Dovada teoremei inverse a lui Vieta

Pasul 1.Să substituim expresii pentru coeficienții săi în ecuație:

Pasul 2.Să transformăm partea stângă a ecuației:

Pasul 3. Să găsim rădăcinile ecuației și pentru aceasta folosim proprietatea că produsul este egal cu zero:

Sau . De unde vine: sau .

Exemple cu soluții folosind teorema lui Vieta

Exemplul 1

Exercita

Aflați suma, produsul și suma pătratelor rădăcinilor unei ecuații pătratice fără a găsi rădăcinile ecuației.

Soluţie

Pasul 1. Să ne amintim formula discriminantă. Înlocuim literele cu numerele noastre. Adică , – aceasta înlocuiește , și . Din aceasta rezultă:

Se dovedește:

Title="Redată de QuickLaTeX.com" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение . !}

Să exprimăm suma pătratelor rădăcinilor prin suma și produsul lor:

Răspuns

7; 12; 25.

Exemplul 2

Exercita

Rezolvați ecuația. Cu toate acestea, nu utilizați formule de ecuație pătratică.

Soluţie

Această ecuație are rădăcini al căror discriminant (D) este mai mare decât zero. În consecință, conform teoremei lui Vieta, suma rădăcinilor acestei ecuații este egală cu 4, iar produsul este 5. În primul rând, determinăm divizorii numărului, a căror sumă este egală cu 4. Acestea sunt numerele „ 5” și „-1”. Produsul lor este egal cu 5, iar suma lor este 4. Aceasta înseamnă că, conform teoremei inverse teoremei lui Vieta, ele sunt rădăcinile acestei ecuații.

Răspuns

ŞI Exemplul 4

Exercita

Scrieți o ecuație în care fiecare rădăcină este de două ori rădăcina corespunzătoare a ecuației:

Soluţie

Conform teoremei lui Vieta, suma rădăcinilor acestei ecuații este egală cu 12, iar produsul = 7. Aceasta înseamnă că două rădăcini sunt pozitive.

Suma rădăcinilor noii ecuații va fi egală cu:

Și munca.

Prin teorema inversă teoremei lui Vieta, noua ecuație are forma:

Răspuns

Rezultatul este o ecuație, fiecare rădăcină a cărei rădăcină este de două ori mai mare:

Deci, ne-am uitat la cum să rezolvăm ecuația folosind teorema lui Vieta. Este foarte convenabil să folosiți această teoremă dacă rezolvați probleme care implică semnele rădăcinilor ecuațiilor pătratice. Adică, dacă termenul liber din formulă este un număr pozitiv și dacă ecuația pătratică are rădăcini reale, atunci ambele pot fi fie negative, fie pozitive.

Și dacă termenul liber este un număr negativ și dacă există rădăcini reale în ecuația pătratică, atunci ambele semne vor fi diferite. Adică, dacă o rădăcină este pozitivă, atunci cealaltă rădăcină va fi doar negativă.

Surse utile:

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A Algebra clasa a VIII-a: Moscova „Iluminismul”, 2016 – 318 p.
2. Rubin A.G., Chulkov P.V – manual Algebră clasa a VIII-a: Moscova „Balass”, 2015 – 237 p.
3. Nikolsky S. M., Potopav M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. – Algebră clasa a VIII-a: Moscova „Iluminismul”, 2014 – 300

Teorema lui Vieta, formula inversă a lui Vieta și exemple cu soluții pentru manechine actualizat: 22 noiembrie 2019 de: Articole stiintifice.Ru

Când se studiază metodele de rezolvare a ecuațiilor de ordinul doi într-un curs de algebră școlară, se iau în considerare proprietățile rădăcinilor rezultate. Ele sunt cunoscute în prezent ca teorema lui Vieta. Exemple de utilizare a acestuia sunt date în acest articol.

Ecuație cuadratică

Ecuația de ordinul doi este egalitatea prezentată în fotografia de mai jos.

Aici simbolurile a, b, c sunt niște numere numite coeficienți ai ecuației luate în considerare. Pentru a rezolva o egalitate, trebuie să găsiți valorile lui x care o fac adevărată.

Rețineți că, deoarece puterea maximă la care poate fi ridicat x este de două, atunci și numărul de rădăcini în cazul general este de asemenea două.

Există mai multe modalități de a rezolva acest tip de egalități. În acest articol vom lua în considerare una dintre ele, care implică utilizarea așa-numitei teoreme Vieta.

Formularea teoremei lui Vieta

La sfârșitul secolului al XVI-lea, celebrul matematician Francois Viète (francez) a observat, în timp ce analiza proprietățile rădăcinilor diferitelor ecuații pătratice, că anumite combinații ale acestora satisfac relații specifice. În special, aceste combinații sunt produsul și suma lor.

Teorema lui Vieta stabilește următoarele: rădăcinile unei ecuații pătratice, însumate, dau raportul dintre coeficienții liniari și pătratici luați cu semnul opus, iar atunci când sunt înmulțiți duc la raportul dintre termenul liber și coeficientul pătratic. .

Dacă forma generală a ecuației este scrisă așa cum se arată în fotografia din secțiunea anterioară a articolului, atunci matematic această teoremă poate fi scrisă sub forma a două egalități:

• r2 + r1 = -b/a;
• r 1 x r 2 = c / a.

Unde r 1, r 2 este valoarea rădăcinilor ecuației în cauză.

Cele două egalități de mai sus pot fi folosite pentru a rezolva o serie de probleme matematice diferite. Utilizarea teoremei lui Vieta în exemple cu soluții este dată în următoarele secțiuni ale articolului.