Care este diferența dintre o fracție și o fracție? Fracții comune, regulate și improprii, mixte și compuse. Adăugarea de zecimale

Fracțiile unei unități și este reprezentată ca \frac(a)(b).

Numeratorul fracției (a)- numărul situat deasupra liniei de fracțiuni și care arată numărul de acțiuni în care a fost împărțită unitatea.

Numitorul fracției (b)- numărul situat sub linia fracției și care arată în câte părți este împărțită unitatea.

Ascundeți afișarea

Proprietatea principală a unei fracții

Dacă ad=bc atunci două fracții \frac(a)(b)Şi \frac(c)(d) sunt considerate egale. De exemplu, fracțiile vor fi egale \frac35Şi \frac(9)(15), deoarece 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7)Şi \frac(24)(14), deoarece 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

Din definiția egalității fracțiilor rezultă că fracțiile vor fi egale \frac(a)(b)Şi \frac(am)(bm), deoarece a(bm)=b(am) este un exemplu clar de utilizare a proprietăților asociative și comutative ale înmulțirii numerelor naturale în acțiune.

Mijloace \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- așa arată proprietatea principală a fracției.

Cu alte cuvinte, obținem o fracție egală cu cea dată prin înmulțirea sau împărțirea numărătorului și numitorului fracției originale cu același număr natural.

Reducerea unei fracții este procesul de înlocuire a unei fracții în care noua fracție este egală cu cea inițială, dar cu un numărător și un numitor mai mici.

Se obișnuiește să se reducă fracțiile pe baza proprietății de bază a fracției.

De exemplu, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(numeratorul și numitorul se împart la numărul 3); fracția rezultată poate fi din nou redusă prin împărțirea la 5, adică \frac(15)(20)=\frac 34.

Fracție ireductibilă este o fracțiune din formă \frac 34, unde numărătorul și numitorul sunt numere prime reciproce. Scopul principal al reducerii unei fracții este de a face fracția ireductibilă.

Reducerea fracțiilor la un numitor comun

Să luăm ca exemplu două fracții: \frac(2)(3)Şi \frac(5)(8) cu numitori diferiți 3 și 8. Pentru a aduce aceste fracții la un numitor comun, înmulțim mai întâi numărătorul și numitorul fracției. \frac(2)(3) pana la 8. Obtinem urmatorul rezultat: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Apoi înmulțim numărătorul și numitorul fracției \frac(5)(8) de 3. Ca rezultat obținem: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Deci, fracțiile originale sunt reduse la un numitor comun 24.

Operații aritmetice pe fracții obișnuite

Adunarea fracțiilor obișnuite

a) Dacă numitorii sunt aceiași, numărătorul primei fracții se adaugă numărătorului celei de-a doua fracții, lăsând numitorul același. După cum puteți vedea în exemplu:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

b) Pentru numitori diferiți, fracțiile sunt mai întâi reduse la un numitor comun, iar apoi numărătorii se adună conform regulii a):

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

Scăderea fracțiilor

a) Dacă numitorii sunt aceiași, scădeți numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții, lăsând numitorul același:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

b) Dacă numitorii fracțiilor sunt diferiți, atunci mai întâi fracțiile sunt aduse la un numitor comun, iar apoi acțiunile se repetă ca la punctul a).

Înmulțirea fracțiilor comune

Înmulțirea fracțiilor respectă următoarea regulă:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

adică înmulțesc separat numărătorii și numitorii.

De exemplu:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Împărțirea fracțiilor

Fracțiile sunt împărțite în felul următor:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

adică o fracţiune \frac(a)(b) inmultit cu o fractiune \frac(d)(c).

Exemplu: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Numerele reciproce

Dacă ab=1, atunci numărul b este număr reciproc pentru numărul a.

Exemplu: pentru numărul 9 reciproca este \frac(1)(9), pentru că 9\cdot\frac(1)(9)=1, pentru numărul 5 - \frac(1)(5), pentru că 5\cdot\frac(1)(5)=1.

zecimale

Zecimal numită fracție proprie al cărei numitor este 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n.

De exemplu: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044.

Numerele neregulate cu numitorul de 10^n sau numerele mixte sunt scrise în același mod.

De exemplu: 5\frac(1)(10)=5,1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7,63.

Orice fracție obișnuită cu un numitor care este un divizor al unei anumite puteri a lui 10 este reprezentată ca o fracție zecimală.

Exemplu: 5 este un divizor al lui 100, deci este o fracție \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2.

Operatii aritmetice pe zecimale

Adăugarea de zecimale

Pentru a adăuga două fracții zecimale, trebuie să le aranjați astfel încât să existe cifre identice una sub alta și o virgulă sub virgulă, apoi adăugați fracțiile ca numere obișnuite.

Scăderea zecimale

Se efectuează în același mod ca și adăugarea.

Înmulțirea zecimalelor

La înmulțirea numerelor zecimale, este suficient să înmulțiți numerele date, fără să acordați atenție virgulelor (ca numerele naturale), iar în răspunsul rezultat, o virgulă în dreapta separă atâtea cifre câte cifre sunt după virgulă în ambii factori. în total.

Să înmulțim 2,7 cu 1,3. Avem 27 \cdot 13=351 . Separăm două cifre în dreapta cu o virgulă (primul și al doilea număr au o cifră după virgulă zecimală; 1+1=2). Ca rezultat, obținem 2,7 \cdot 1,3=3,51.

Dacă rezultatul rezultat conține mai puține cifre decât trebuie separate prin virgulă, atunci zerourile lipsă sunt scrise în față, de exemplu:

Pentru a înmulți cu 10, 100, 1000, trebuie să mutați punctul zecimal 1, 2, 3 cifre la dreapta (dacă este necesar, un anumit număr de zerouri sunt atribuite la dreapta).

De exemplu: 1,47\cdot 10\,000 = 14.700.

Împărțire zecimală

Împărțirea unei fracții zecimale la un număr natural se face în același mod ca și împărțirea unui număr natural la un număr natural. Virgula din coeficient este plasată după ce s-a încheiat împărțirea întregii părți.

Dacă partea întreagă a dividendului este mai mică decât divizorul, atunci răspunsul este zero numere întregi, de exemplu:

Să ne uităm la împărțirea unei zecimale la o zecimală. Să presupunem că trebuie să împărțim 2,576 la 1,12. În primul rând, să înmulțim dividendul și divizorul fracției cu 100, adică mutam punctul zecimal la dreapta în dividend și divizor cu atâtea zecimale câte sunt în divizor după virgulă (în acest exemplu , doi). Apoi trebuie să împărțiți fracția 257,6 la numărul natural 112, adică problema se reduce la cazul deja luat în considerare:

Se întâmplă ca fracția zecimală finală să nu se obțină întotdeauna la împărțirea unui număr la altul. Rezultatul este o fracție zecimală infinită. În astfel de cazuri, trecem la fracții obișnuite.

2,8: 0,09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31\frac( 1)(9).

Acest articol este despre fracții comune. Aici vom introduce conceptul de fracție a unui întreg, ceea ce ne va conduce la definirea unei fracții comune. În continuare, ne vom opri asupra notației acceptate pentru fracțiile obișnuite și vom oferi exemple de fracții, să spunem despre numărătorul și numitorul unei fracții. După aceasta, vom da definiții ale fracțiilor proprii și improprii, pozitive și negative și vom lua în considerare, de asemenea, poziția numerelor fracționale pe raza de coordonate. În concluzie, enumerăm principalele operații cu fracții.

Navigare în pagină.

Acțiuni ale întregului

Mai întâi vă prezentăm conceptul de cotă.

Să presupunem că avem un obiect format din mai multe părți absolut identice (adică egale). Pentru claritate, vă puteți imagina, de exemplu, un măr tăiat în mai multe părți egale sau o portocală formată din mai multe felii egale. Fiecare dintre aceste părți egale care alcătuiesc întregul obiect se numește părți ale întregului sau doar acțiuni.

Rețineți că acțiunile sunt diferite. Să explicăm asta. Să luăm două mere. Tăiați primul măr în două părți egale, iar al doilea în 6 părți egale. Este clar că ponderea primului măr va fi diferită de ponderea celui de-al doilea măr.

În funcție de numărul de acțiuni care alcătuiesc întregul obiect, aceste acțiuni au propriile nume. Să rezolvăm nume de bătăi. Dacă un obiect este format din două părți, oricare dintre ele se numește o a doua parte a întregului obiect; dacă un obiect este format din trei părți, atunci oricare dintre ele se numește o a treia parte și așa mai departe.

O a doua acțiune are un nume special - jumătate. O treime este numită treileași un sfert parte - un sfert.

Din motive de concizie, au fost introduse următoarele: simboluri bate. O a doua acțiune este desemnată ca sau 1/2, o a treia acțiune este desemnată ca sau 1/3; un sfert share - like sau 1/4, și așa mai departe. Rețineți că notația cu o bară orizontală este folosită mai des. Pentru a consolida materialul, să mai dăm un exemplu: intrarea denotă o sută șaizeci și șaptea parte a întregului.

Conceptul de cotă se extinde în mod natural de la obiecte la cantități. De exemplu, una dintre măsurile de lungime este metrul. Pentru a măsura lungimi mai mici de un metru, se pot folosi fracțiuni de metru. Deci, puteți folosi, de exemplu, o jumătate de metru sau o zecime sau o miime de metru. Cotele altor cantități se aplică în mod similar.

Fracții comune, definiție și exemple de fracții

Pentru a descrie numărul de acțiuni pe care le folosim fracții comune. Să dăm un exemplu care ne va permite să abordăm definiția fracțiilor obișnuite.

Lăsați portocala să fie formată din 12 părți. Fiecare acțiune în acest caz reprezintă o doisprezecea parte dintr-o portocală întreagă, adică . Notăm două bătăi ca , trei bătăi ca și așa mai departe, 12 bătăi notăm ca . Fiecare dintre intrările date se numește fracție obișnuită.

Acum să dăm un general definirea fracțiilor comune.

Definiția vocală a fracțiilor obișnuite ne permite să dăm exemple de fracții comune: 5/10, , 21/1, 9/4, . Și aici sunt înregistrările nu se potrivesc cu definiția declarată a fracțiilor ordinare, adică nu sunt fracții obișnuite.

Numătorul și numitorul

Pentru comoditate, se disting fracțiile obișnuite numărător și numitor.

Definiţie.

Numărător fracția ordinară (m/n) este un număr natural m.

Definiţie.

Numitor fracția comună (m/n) este un număr natural n.

Deci, numărătorul este situat deasupra liniei fracției (în stânga barei oblice), iar numitorul este situat sub linia fracției (în dreapta barei oblice). De exemplu, să luăm fracția comună 17/29, numărătorul acestei fracții este numărul 17, iar numitorul este numărul 29.

Rămâne de discutat semnificația conținută în numărătorul și numitorul unei fracții obișnuite. Numitorul unei fracții arată din câte părți este format un obiect, iar numărătorul, la rândul său, indică numărul de astfel de părți. De exemplu, numitorul 5 al fracției 12/5 înseamnă că un obiect este format din cinci părți, iar numărătorul 12 înseamnă că sunt luate 12 astfel de părți.

Numărul natural ca fracție cu numitorul 1

Numitorul unei fracții comune poate fi egal cu unu. În acest caz, putem considera că obiectul este indivizibil, cu alte cuvinte, reprezintă ceva întreg. Numătorul unei astfel de fracții indică câte obiecte întregi sunt luate. Astfel, o fracție obișnuită de forma m/1 are semnificația unui număr natural m. Așa am fundamentat validitatea egalității m/1=m.

Să rescriem ultima egalitate astfel: m=m/1. Această egalitate ne permite să reprezentăm orice număr natural m ca o fracție obișnuită. De exemplu, numărul 4 este fracția 4/1, iar numărul 103.498 este egal cu fracția 103.498/1.

Aşa, orice număr natural m poate fi reprezentat ca o fracție obișnuită cu numitorul 1 ca m/1, iar orice fracție obișnuită de forma m/1 poate fi înlocuită cu un număr natural m.

Bara de fracțiuni ca semn de divizare

Reprezentarea obiectului original sub formă de n părți nu este altceva decât împărțirea în n părți egale. După ce un articol este împărțit în n părți, îl putem împărți în mod egal între n persoane - fiecare va primi o acțiune.

Dacă inițial avem m obiecte identice, fiecare dintre ele împărțite în n părți, atunci putem împărți în mod egal aceste m obiecte între n oameni, dând fiecărei persoane o cotă din fiecare dintre cele m obiecte. În acest caz, fiecare persoană va avea m acțiuni de 1/n, iar m acțiuni de 1/n dă fracția comună m/n. Astfel, fracția comună m/n poate fi folosită pentru a desemna împărțirea m elemente între n persoane.

Așa am obținut o legătură explicită între fracțiile obișnuite și diviziune (vezi ideea generală a împărțirii numerelor naturale). Această legătură se exprimă după cum urmează: linia de fracție poate fi înțeleasă ca un semn de împărțire, adică m/n=m:n.

Folosind o fracție obișnuită, puteți scrie rezultatul împărțirii a două numere naturale pentru care nu se poate face o împărțire întreagă. De exemplu, rezultatul împărțirii a 5 mere la 8 persoane poate fi scris ca 5/8, adică toată lumea va primi cinci optimi dintr-un măr: 5:8 = 5/8.

Fracții egale și inegale, comparație de fracții

O acțiune destul de firească este compararea fracțiilor, pentru că este clar că 1/12 dintr-o portocală este diferită de 5/12, iar 1/6 dintr-un măr este la fel cu încă 1/6 din acest măr.

Ca rezultat al comparării a două fracții obișnuite, se obține unul dintre rezultate: fracțiile sunt fie egale, fie inegale. În primul caz avem fracții comune egale, iar în al doilea - fracții ordinare inegale. Să dăm o definiție a fracțiilor ordinare egale și inegale.

Definiţie.

egal, dacă egalitatea a·d=b·c este adevărată.

Definiţie.

Două fracții comune a/b și c/d nu egali, dacă egalitatea a·d=b·c nu este satisfăcută.

Iată câteva exemple de fracții egale. De exemplu, fracția comună 1/2 este egală cu fracția 2/4, deoarece 1·4=2·2 (dacă este necesar, vezi regulile și exemplele de înmulțire a numerelor naturale). Pentru claritate, vă puteți imagina două mere identice, primul este tăiat în jumătate, iar al doilea este tăiat în 4 părți. Este evident că două sferturi dintr-un măr sunt egale cu 1/2 cotă. Alte exemple de fracții comune egale sunt fracțiile 4/7 și 36/63 și perechea de fracții 81/50 și 1.620/1.000.

Dar fracțiile obișnuite 4/13 și 5/14 nu sunt egale, deoarece 4·14=56 și 13·5=65, adică 4·14≠13·5. Alte exemple de fracții comune inegale sunt fracțiile 17/7 și 6/4.

Dacă, atunci când comparăm două fracții comune, se dovedește că acestea nu sunt egale, atunci poate fi necesar să aflați care dintre aceste fracții comune Mai puțin diferit, și care - Mai mult. Pentru a afla, se folosește regula de comparare a fracțiilor obișnuite, a cărei esență este aducerea fracțiilor comparate la un numitor comun și apoi compararea numărătorilor. Informații detaliate despre acest subiect sunt colectate în articolul compararea fracțiilor: reguli, exemple, soluții.

Numerele fracționale

Fiecare fracție este o notație număr fracționar. Adică, o fracție este doar „învelișul” unui număr fracționar, aspectul său și toată încărcătura semantică este conținută în numărul fracționar. Cu toate acestea, pentru concizie și comoditate, conceptele de fracție și număr fracționar sunt combinate și pur și simplu numite fracție. Aici este potrivit să parafrazăm o zicală binecunoscută: spunem o fracție - înseamnă un număr fracționar, spunem un număr fracționar - ne referim la o fracție.

Fracții pe o rază de coordonate

Toate numerele fracționale corespunzătoare fracțiilor obișnuite au locul lor unic, adică există o corespondență unu-la-unu între fracții și punctele razei de coordonate.

Pentru a ajunge la punctul de pe raza de coordonate corespunzător fracției m/n, trebuie să lăsați deoparte m segmente de la originea coordonatelor în direcția pozitivă, a căror lungime este 1/n fracțiune a unui segment unitar. Astfel de segmente pot fi obținute prin împărțirea unui segment unitar în n părți egale, ceea ce se poate realiza întotdeauna folosind o busolă și o riglă.

De exemplu, să arătăm punctul M pe raza de coordonate, corespunzător fracției 14/10. Lungimea unui segment cu capete în punctul O și punctul cel mai apropiat de acesta, marcat cu o liniuță mică, este 1/10 dintr-un segment unitar. Punctul cu coordonata 14/10 este îndepărtat de la origine la o distanță de 14 astfel de segmente.

Fracțiilor egale corespund aceluiași număr fracționar, adică fracțiile egale sunt coordonatele aceluiași punct de pe raza de coordonate. De exemplu, coordonatele 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 corespund unui punct de pe raza de coordonate, deoarece toate fracțiile scrise sunt egale (este situat la o distanță de jumătate de segment unitar așezat de la origine în sens pozitiv).

Pe o rază de coordonate orizontală și îndreptată spre dreapta, punctul a cărui coordonată este fracția mai mare este situat la dreapta punctului a cărui coordonată este fracția mai mică. În mod similar, un punct cu o coordonată mai mică se află la stânga unui punct cu o coordonată mai mare.

Fracții proprii și improprii, definiții, exemple

Printre fracțiile obișnuite există fracții proprii și improprii. Această împărțire se bazează pe o comparație a numărătorului și numitorului.

Să definim fracțiile ordinare proprii și improprii.

Definiţie.

Fracția proprie este o fracție obișnuită al cărei numărător este mai mic decât numitorul, adică dacă m

Definiţie.

Fracție improprie este o fracție obișnuită în care numărătorul este mai mare sau egal cu numitorul, adică dacă m≥n, atunci fracția ordinară este improprie.

Iată câteva exemple de fracții proprii: 1/4, , 32.765/909.003. Într-adevăr, în fiecare dintre fracțiile ordinare scrise numărătorul este mai mic decât numitorul (dacă este necesar, vezi articolul care compară numerele naturale), deci sunt corecte prin definiție.

Iată exemple de fracții improprii: 9/9, 23/4, . Într-adevăr, numărătorul primei dintre fracțiile ordinare scrise este egal cu numitorul, iar în fracțiile rămase numărătorul este mai mare decât numitorul.

Există, de asemenea, definiții ale fracțiilor proprii și improprii, bazate pe compararea fracțiilor cu una.

Definiţie.

corecta, dacă este mai mică de unu.

Definiţie.

O fracție obișnuită se numește greşit, dacă este fie egal cu unu, fie mai mare decât 1.

Deci fracția comună 7/11 este corectă, deoarece 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 și 27/27=1.

Să ne gândim la modul în care fracțiile obișnuite cu un numărător mai mare sau egal cu numitorul merită un astfel de nume - „impropriu”.

De exemplu, să luăm fracția improprie 9/9. Această fracție înseamnă că dintr-un obiect care constă din nouă părți sunt luate nouă părți. Adică din cele nouă părți disponibile putem alcătui un întreg obiect. Adică, fracția improprie 9/9 dă în esență întregul obiect, adică 9/9 = 1. În general, fracțiile improprii cu un numărător egal cu numitorul denotă un obiect întreg, iar o astfel de fracție poate fi înlocuită cu numărul natural 1.

Acum luați în considerare fracțiile improprii 7/3 și 12/4. Este destul de evident că din aceste șapte terțe părți putem compune două obiecte întregi (un obiect întreg este format din 3 părți, apoi pentru a compune două obiecte întregi vom avea nevoie de 3 + 3 = 6 părți) și va mai fi o treime. partea stângă. Adică, fracția improprie 7/3 înseamnă în esență 2 obiecte și, de asemenea, 1/3 dintr-un astfel de obiect. Și din douăsprezece părți sferturi putem face trei obiecte întregi (trei obiecte cu patru părți fiecare). Adică, fracția 12/4 înseamnă în esență 3 obiecte întregi.

Exemplele luate în considerare ne conduc la următoarea concluzie: fracțiile improprie pot fi înlocuite fie cu numere naturale, când numărătorul este împărțit egal la numitor (de exemplu, 9/9=1 și 12/4=3), fie cu suma. a unui număr natural și a unei fracții proprii, când numărătorul nu este divizibil egal cu numitorul (de exemplu, 7/3=2+1/3). Poate că tocmai asta a câștigat fracțiunilor improprii numele de „neregulat”.

Un interes deosebit este reprezentarea unei fracții improprie ca sumă a unui număr natural și a unei fracții proprii (7/3=2+1/3). Acest proces se numește izolarea întregii părți dintr-o fracție necorespunzătoare și merită o analiză separată și mai atentă.

De asemenea, este de remarcat faptul că există o relație foarte strânsă între fracțiile improprie și numerele mixte.

Fracții pozitive și negative

Fiecare fracție comună corespunde unui număr fracționar pozitiv (vezi articolul despre numerele pozitive și negative). Adică fracțiile obișnuite sunt fracții pozitive. De exemplu, fracțiile obișnuite 1/5, 56/18, 35/144 sunt fracții pozitive. Când trebuie să evidențiați pozitivitatea unei fracții, în fața acesteia este plasat un semn plus, de exemplu, +3/4, +72/34.

Dacă puneți un semn minus în fața unei fracții obișnuite, atunci această intrare va corespunde unui număr fracționar negativ. În acest caz putem vorbi despre fracții negative. Iată câteva exemple de fracții negative: −6/10, −65/13, −1/18.

Fracțiile pozitive și negative m/n și −m/n sunt numere opuse. De exemplu, fracțiile 5/7 și -5/7 sunt fracții opuse.

Fracțiile pozitive, precum numerele pozitive în general, denotă o adunare, un venit, o modificare ascendentă a oricărei valori etc. Fracțiunile negative corespund cheltuielilor, datoriei sau unei scăderi a oricărei cantități. De exemplu, fracția negativă -3/4 poate fi interpretată ca o datorie a cărei valoare este egală cu 3/4.

Pe o direcție orizontală și spre dreapta, fracțiile negative sunt situate la stânga originii. Punctele dreptei de coordonate, ale căror coordonate sunt fracția pozitivă m/n și fracția negativă -m/n, sunt situate la aceeași distanță de origine, dar pe laturi opuse ale punctului O.

Aici merită menționate fracțiile de forma 0/n. Aceste fracții sunt egale cu numărul zero, adică 0/n=0.

Fracțiile pozitive, fracțiile negative și fracțiile 0/n se combină pentru a forma numere raționale.

Operații cu fracții

Am discutat deja despre o acțiune cu fracții obișnuite - compararea fracțiilor - mai sus. Sunt definite încă patru funcții aritmetice operatii cu fractii– adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea fracțiilor. Să ne uităm la fiecare dintre ele.

Esența generală a operațiilor cu fracții este similară cu esența operațiilor corespunzătoare cu numere naturale. Să facem o analogie.

Înmulțirea fracțiilor poate fi gândit ca acțiunea de a găsi o fracție dintr-o fracție. Pentru a clarifica, hai sa dam un exemplu. Să luăm 1/6 dintr-un măr și trebuie să luăm 2/3 din el. Partea de care avem nevoie este rezultatul înmulțirii fracțiilor 1/6 și 2/3. Rezultatul înmulțirii a două fracții ordinare este o fracție obișnuită (care într-un caz special este egală cu un număr natural). În continuare, vă recomandăm să studiați informațiile din articolul Înmulțirea fracțiilor - Reguli, exemple și soluții.

Referințe.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică: manual pentru clasa a V-a. institutii de invatamant.
• Vilenkin N.Ya. si altii. Clasa a VI-a: manual pentru instituţiile de învăţământ general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice).

Folosim fracții tot timpul în viață. De exemplu, când mâncăm prăjitură cu prietenii. Tortul poate fi împărțit în 8 părți egale sau 8 acțiuni. Distribuie- Aceasta este o parte egală din ceva întreg. Patru prieteni au mâncat o bucată de tort. Patru luate din opt piese pot fi scrise matematic sub forma fracție comună\(\frac(4)(8)\), se citește fracția „patru optimi” sau „patru împărțit la opt”. O fracție comună se mai numește fracție simplă.

Bara fracțiilor înlocuiește diviziunea:
\(4 \div 8 = \frac(4)(8)\)
Am notat acțiunile în fracțiuni. În formă literală va fi așa:
\(\bf m \div n = \frac(m)(n)\)

4 – numărător sau dividend, este situat deasupra liniei fracționale și arată câte părți sau acțiuni au fost luate din total.
8 – numitor sau divizor, este situat sub linia fracției și arată numărul total de părți sau acțiuni.

Dacă ne uităm cu atenție, vom vedea că prietenii au mâncat jumătate din tort sau o parte din două. Să o scriem ca o fracție obișnuită \(\frac(1)(2)\), citiți „o secundă”.

Să ne uităm la un alt exemplu:
Există un pătrat. Pătratul a fost împărțit în 5 părți egale. Două părți au fost vopsite peste. Scrieți fracția pentru părțile umbrite? Scrieți fracția pentru părțile neumbrite?

Două părți au fost pictate și sunt cinci părți în total, astfel încât fracția va arăta ca \(\frac(2)(5)\), citită ca „două cincimi”.
Trei părți nu au fost vopsite peste, sunt cinci părți în total, așa că scriem fracția ca \(\frac(3)(5)\), fracția scrie „trei cincimi”.

Să împărțim pătratul în pătrate mai mici și să scriem fracțiile pentru părțile umbrite și neumbrite.

Sunt 6 piese vopsite și sunt 25 de piese în total. Obținem fracția \(\frac(6)(25)\) , fracția se citește „șase douăzeci și cincimi”.
Există 19 părți nevopsite, dar un total de 25 de părți. Obținem fracția \(\frac(19)(25)\), fracția se citește „nouăsprezece douăzeci și cinci”.

Sunt 4 părți vopsite și sunt 25 de părți în total. Obținem fracția \(\frac(4)(25)\), fracția se citește „patru douăzeci și cincimi”.
Sunt 21 de părți nevopsite, ci doar 25 de părți. Obținem fracția \(\frac(21)(25)\), fracția se citește „douăzeci și unu douăzeci și cincimi”.

Orice număr natural poate fi reprezentat ca o fracție. De exemplu:

\(5 = \frac(5)(1)\)
\(\bf m = \frac(m)(1)\)

Orice număr este divizibil cu unu, astfel încât acest număr poate fi reprezentat ca o fracție.

Întrebări pe tema „fracții comune”:
Ce este o cotă?
Răspuns: împărtășește- Aceasta este o parte egală din ceva întreg.

Ce arată numitorul?
Răspuns: numitorul arată în câte părți sau părți este împărțit totalul.

Ce arată numărătorul?
Răspuns: numărătorul arată câte părți sau părți au fost luate.

Drumul era de 100 m. Misha a mers 31 m. Scrieți expresia sub formă de fracție: cât de departe a mers Misha?
Răspuns:\(\frac(31)(100)\)

Ce este o fracție comună?
Răspuns: O fracție comună este raportul dintre numărător și numitor, unde numărătorul este mai mic decât numitorul. Exemplu, fracții obișnuite \(\frac(1)(4), \frac(3)(7), \frac(5)(13), \frac(9)(11)…\)

Cum se transformă un număr natural într-o fracție comună?
Răspuns: orice număr poate fi scris ca o fracție, de exemplu, \(5 = \frac(5)(1)\)

Sarcina #1:
Am cumparat 2kg 700g pepene galben. Au tăiat pepenii \(\frac(2)(9)\) pentru Misha. Care este masa piesei tăiate? Câte grame de pepene galben au mai rămas?

Soluţie:
Să convertim kilogramele în grame.
2 kg = 2000 g
2000g + 700g = 2700g greutate totală a unui pepene galben.

Au tăiat pepenii \(\frac(2)(9)\) pentru Misha. Numitorul conține numărul 9, ceea ce înseamnă că pepenele este împărțit în 9 părți.
2700: 9 = 300 g greutate dintr-o bucată.
Numătorul conține numărul 2, ceea ce înseamnă că trebuie să îi dai lui Misha două bucăți.
300 + 300 = 600g sau 300 ⋅ 2 = 600g este cât de mult pepene galben a mâncat Misha.

Pentru a găsi masa de pepene galben rămas, trebuie să scădeți masa consumată din masa totală a pepenilor.
2700 - 600 = 2100g pepene galben rămas.

Vom începe examinarea acestui subiect prin studierea conceptului de fracție ca întreg, ceea ce ne va oferi o înțelegere mai completă a semnificației unei fracții comune. Să dăm termenii de bază și definiția lor, să studiem subiectul într-o interpretare geometrică, i.e. pe linia de coordonate și, de asemenea, definiți o listă de operații de bază cu fracții.

Acțiuni ale întregului

Să ne imaginăm un obiect format din mai multe părți, complet egale. De exemplu, ar putea fi o portocală formată din mai multe felii identice.

Definiția 1

Fracție dintr-un întreg sau fracție- aceasta este fiecare dintre părțile egale care alcătuiesc întregul obiect.

Evident, acțiunile pot fi diferite. Pentru a explica clar această afirmație, imaginați-vă două mere, dintre care unul este tăiat în două părți egale, iar al doilea în patru. Este clar că dimensiunea lobilor rezultați va varia de la măr la măr.

Acțiunile au nume proprii, care depind de numărul de acțiuni care alcătuiesc întregul obiect. Dacă un obiect are două părți, atunci fiecare dintre ele va fi definită ca o a doua parte a acestui obiect; când un obiect este format din trei părți, atunci fiecare dintre ele este o treime și așa mai departe.

Definiția 2

Jumătate- o a doua parte dintr-un obiect.

Treilea– o treime parte dintr-un obiect.

Trimestru- un sfert din obiect.

Pentru a scurta notația, au fost introduse următoarele notații pentru fracții: jumătate - 1 2 sau 1/2; a treia - 1 3 sau 1/3; o parte a patra - 1 4 sau 1/4 și așa mai departe. Intrările cu bare orizontale sunt folosite mai des.

Conceptul de cotă se extinde în mod natural de la obiecte la cantități. Deci, pentru măsurarea obiectelor mici, fracțiunile de metru (o treime sau o sutime) pot fi folosite ca una dintre unitățile de lungime. Proporțiile altor cantități pot fi aplicate în mod similar.

Fracții comune, definiție și exemple

Fracțiile comune sunt folosite pentru a descrie numărul de acțiuni. Să ne uităm la un exemplu simplu care ne va aduce mai aproape de definiția unei fracții comune.

Să ne imaginăm o portocală formată din 12 segmente. Fiecare cotă va fi apoi o doisprezecea parte sau 1/12. Două bătăi – 2/12; trei bătăi – 3/12 etc. Toate cele 12 bătăi sau un număr întreg vor arăta astfel: 12 / 12. Fiecare dintre notațiile utilizate în exemplu este un exemplu de fracție comună.

Definiția 3

Fracție comună este o înregistrare a formularului m n sau m/n, unde m și n sunt numere naturale.

Conform acestei definiții, exemplele de fracții ordinare includ următoarele intrări: 4 / 9, 11 34, 917 54. Și aceste intrări: 11 5, 1, 9 4, 3 nu sunt fracții obișnuite.

Numătorul și numitorul

Definiția 4

Numărător fracție comună mn sau m/n este numărul natural m.

Numitor fracție comună mn sau m/n este numărul natural n.

Aceste. Numătorul este numărul situat deasupra liniei unei fracții comune (sau în stânga barei oblice), iar numitorul este numărul situat sub linie (în dreapta barei oblice).

Care este semnificația numărătorului și numitorului? Numitorul unei fracții obișnuite indică din câte acțiuni este format un obiect, iar numărătorul ne oferă informații despre numărul acestor acțiuni în cauză. De exemplu, fracția comună 7 54 ne indică faptul că un anumit obiect este format din 54 de acțiuni, iar pentru considerare am luat 7 astfel de acțiuni.

Numărul natural ca fracție cu numitorul 1

Numitorul unei fracții comune poate fi egal cu unu. În acest caz, se poate spune că obiectul (cantitatea) în cauză este indivizibil și reprezintă ceva întreg. Numătorul dintr-o astfel de fracție va indica câte astfel de articole au fost luate, adică. o fracție obișnuită de forma m 1 are semnificația unui număr natural m. Această afirmație servește drept justificare pentru egalitatea m 1 = m.

Să scriem ultima egalitate astfel: m = m 1 . Ne va oferi posibilitatea de a folosi orice număr natural ca fracție obișnuită. De exemplu, numărul 74 este o fracție obișnuită de forma 74 1.

Definiția 5

Orice număr natural m poate fi scris ca o fracție obișnuită, unde numitorul este unul: m 1.

La rândul său, orice fracție obișnuită de forma m 1 poate fi reprezentată printr-un număr natural m.

Bara de fracțiuni ca semn de divizare

Reprezentarea unui obiect dat ca n părți utilizate mai sus nu este altceva decât divizarea în n părți egale. Când un articol este împărțit în n părți, avem posibilitatea de a-l împărți în mod egal între n persoane - fiecare își primește partea.

În cazul în care inițial avem m obiecte identice (fiecare împărțită în n părți), atunci aceste m obiecte pot fi împărțite în mod egal între n oameni, dându-le fiecăruia o parte din fiecare dintre cele m obiecte. În acest caz, fiecare persoană va avea m acțiuni de 1 n, iar m acțiuni de 1 n vor da o fracție obișnuită m n. Prin urmare, fracția m n poate fi folosită pentru a reprezenta împărțirea m elemente între n persoane.

Declarația rezultată stabilește o legătură între fracțiile obișnuite și diviziune. Și această relație poate fi exprimată după cum urmează : Linia de fracție poate fi înțeleasă ca un semn de divizare, adică m/n = m:n.

Folosind o fracție obișnuită, putem scrie rezultatul împărțirii a două numere naturale. De exemplu, scriem împărțirea a 7 mere la 10 persoane ca 7 10: fiecare persoană va primi șapte zecimi.

Fracții ordinare egale și inegale

O acțiune logică este de a compara fracții obișnuite, deoarece este evident că, de exemplu, 1 8 dintr-un măr este diferit de 7 8.

Rezultatul comparării fracțiilor obișnuite poate fi: egal sau inegal.

Definiția 6

Fracții comune egale– fracțiile ordinare a b și c d, pentru care egalitatea este valabilă: a · d = b · c.

Fracții comune inegale- fracțiile ordinare a b și c d, pentru care egalitatea: a · d = b · c nu este adevărată.

Un exemplu de fracții egale: 1 3 și 4 12 – deoarece egalitatea 1 · 12 = 3 · 4 este valabilă.

În cazul în care se dovedește că fracțiile nu sunt egale, de obicei este necesar să se afle care dintre fracțiile date este mai mică și care este mai mare. Pentru a răspunde la aceste întrebări, fracțiile comune sunt comparate prin reducerea lor la un numitor comun și apoi comparând numărătorii.

Numerele fracționale

Fiecare fracție este o înregistrare a unui număr fracționar, care în esență este doar o „cochilie”, o vizualizare a încărcăturii semantice. Dar totuși, pentru comoditate, combinăm conceptele de fracție și număr fracționar, pur și simplu vorbind - o fracție.

Toate numerele fracționale, ca orice alt număr, au propria lor locație unică pe raza de coordonate: există o corespondență unu-la-unu între fracții și puncte de pe raza de coordonate.

Pentru a găsi un punct pe raza de coordonate care denotă fracția m n, este necesar să se traseze m segmente de la origine în direcția pozitivă, lungimea fiecăruia dintre ele va fi de 1 n fracțiune a unui segment unitar. Segmentele pot fi obținute prin împărțirea unui segment unitar în n părți egale.

Ca exemplu, să desemnăm punctul M pe raza de coordonate, care corespunde fracției 14 10. Lungimea segmentului ale cărui capete sunt punctul O și cel mai apropiat punct, marcat cu o liniuță mică, este egală cu 1 10 părți ale unui segment unitar. Punctul corespunzător fracției 14 10 este situat la o distanță de 14 astfel de segmente de la origine.

Dacă fracțiile sunt egale, i.e. ele corespund aceluiași număr fracționar, atunci aceste fracții servesc ca coordonate ale aceluiași punct pe raza de coordonate. De exemplu, coordonatele sub formă de fracții egale 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 corespund aceluiași punct de pe raza de coordonate, situat la o distanță de o treime dintr-un segment unitar așezat de la origine în direcția pozitivă.

Același principiu funcționează aici ca și în cazul numerelor întregi: pe o rază de coordonate orizontală îndreptată spre dreapta, punctul căruia îi corespunde fracția mai mare va fi situat în dreapta punctului căruia îi corespunde fracția mai mică. Și invers: punctul a cărui coordonată este o fracție mai mică va fi situat în stânga punctului căruia îi corespunde coordonata mai mare.

Fracții proprii și improprii, definiții, exemple

Baza împărțirii fracțiilor în proprie și improprie este compararea numărătorului și numitorului în cadrul aceleiași fracții.

Definiția 7

Fracția proprie este o fracție obișnuită în care numărătorul este mai mic decât numitorul. Adică dacă inegalitatea m< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.

Fracție improprie este o fracție obișnuită al cărei numărător este mai mare sau egal cu numitorul. Adică, dacă inegalitatea nedefinită este satisfăcută, atunci fracția ordinară m n este improprie.

Iată câteva exemple: - fracții proprii:

Exemplul 1

5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;

Fracții improprii:

Exemplul 2

13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .

De asemenea, este posibil să se definească fracții proprii și improprii pe baza comparării fracției cu una.

Definiția 8

Fracția proprie– o fracție obișnuită care este mai mică de unu.

Fracție improprie– o fracție obișnuită egală sau mai mare decât unu.

De exemplu, fracția 8 12 este corectă, deoarece 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 și 14 14 = 1.

Să aprofundăm puțin de ce fracțiile în care numărătorul este mai mare sau egal cu numitorul sunt numite „improprii”.

Luați în considerare fracția improprie 8 8: ne spune că dintr-un obiect format din 8 părți sunt luate 8 părți. Astfel, din cele opt acțiuni disponibile putem crea un întreg obiect, adică. fracția dată 8 8 reprezintă în esență întregul obiect: 8 8 = 1. Fracțiile în care numărătorul și numitorul sunt egali înlocuiesc pe deplin numărul natural 1.

Să luăm în considerare și fracțiile în care numărătorul depășește numitorul: 11 5 și 36 3. Este clar că fracția 11 5 indică faptul că din ea putem face două obiecte întregi și mai rămâne o cincime. Aceste. fracția 11 5 este 2 obiecte și încă 1 5 din ea. La rândul său, 36 3 este o fracție care înseamnă în esență 12 obiecte întregi.

Aceste exemple fac posibilă concluzia că fracțiile improprie pot fi înlocuite cu numere naturale (dacă numărătorul este divizibil cu numitorul fără rest: 8 8 = 1; 36 3 = 12) sau cu suma unui număr natural și a unui număr propriu. fracție (dacă numărătorul nu este divizibil cu numitorul fără rest: 11 5 = 2 + 1 5). Acesta este probabil motivul pentru care astfel de fracții sunt numite „neregulate”.

Tot aici întâlnim una dintre cele mai importante abilități numerice.

Definiția 9

Separarea întregii părți dintr-o fracție improprie- Aceasta este o înregistrare a unei fracții improprie ca sumă a unui număr natural și a unei fracții proprii.

De asemenea, rețineți că există o relație strânsă între fracțiile improprie și numerele mixte.

Fracții pozitive și negative

Mai sus am spus că fiecărei fracții obișnuite îi corespunde un număr fracționar pozitiv. Aceste. Fracțiile comune sunt fracții pozitive. De exemplu, fracțiile 5 17, 6 98, 64 79 sunt pozitive, iar atunci când este necesar să se sublinieze în mod deosebit „pozitivitatea” unei fracții, se scrie folosind semnul plus: + 5 17, + 6 98, + 64 79.

Dacă atribuim un semn minus unei fracții obișnuite, atunci înregistrarea rezultată va fi o înregistrare a unui număr fracționar negativ, iar în acest caz vorbim despre fracții negative. De exemplu, - 8 17, - 78 14 etc.

Fracțiile pozitive și negative m n și - m n sunt numere opuse. De exemplu, fracțiile 7 8 și - 7 8 sunt opuse.

Fracțiile pozitive, ca orice numere pozitive în general, înseamnă o adunare, o schimbare în sus. La rândul lor, fracțiilor negative corespund consumului, o schimbare în direcția scăderii.

Dacă ne uităm la linia de coordonate, vom vedea că fracțiile negative sunt situate la stânga punctului de origine. Punctele care corespund fracțiilor care sunt opuse (m n și - m n) sunt situate la aceeași distanță de originea coordonatelor O, dar pe laturi opuse ale acesteia.

Aici vom vorbi separat și despre fracțiile scrise sub forma 0 n. O astfel de fracție este egală cu zero, adică. 0 n = 0 .

Rezumând toate cele de mai sus, ajungem la cel mai important concept de numere raționale.

Definiția 10

Numere raționale este o mulțime de fracții pozitive, fracții negative și fracții de forma 0 n.

Operații cu fracții

Să enumerăm operațiile de bază cu fracții. În general, esența lor este aceeași cu operațiile corespunzătoare cu numere naturale

1. Compararea fracțiilor - am discutat mai sus despre această acțiune.
2. Adunarea fracțiilor - rezultatul adunării fracțiilor obișnuite este o fracție obișnuită (într-un caz particular, redusă la un număr natural).
3. Scăderea fracțiilor este inversul adunării, atunci când o fracție cunoscută și o sumă dată de fracții sunt folosite pentru a determina o fracție necunoscută.
4. Înmulțirea fracțiilor - această acțiune poate fi descrisă ca găsirea unei fracții dintr-o fracție. Rezultatul înmulțirii a două fracții ordinare este o fracție obișnuită (într-un caz particular, egală cu un număr natural).
5. Împărțirea fracțiilor este acțiunea inversă a înmulțirii, când determinăm fracția cu care trebuie înmulțită cea dată pentru a obține produsul cunoscut al două fracții.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Fracţiuneîn matematică, un număr format din una sau mai multe părți (fracții) ale unei unități. Fracțiile fac parte din câmpul numerelor raționale. Pe baza modului în care sunt scrise, fracțiile sunt împărțite în 2 formate: comun tip și zecimal .

Numărător de fracție- un număr care arată numărul de acțiuni luate (situat în partea de sus a fracției - deasupra liniei). Numitorul fracției- un număr care arată în câte acțiuni este împărțită unitatea (situat sub linie - în partea de jos). , la rândul lor, se împart în: corectaŞi incorect, amestecatŞi compozit sunt strâns legate de unitățile de măsură. 1 metru conține 100 cm, ceea ce înseamnă că 1 m este împărțit în 100 de părți egale. Astfel, 1 cm = 1/100 m (un centimetru este egal cu o sutime de metru).

sau 3/5 (trei cincimi), aici 3 este numărătorul, 5 este numitorul. Dacă numărătorul este mai mic decât numitorul, atunci fracția este mai mică decât unu și se numește corecta:

Dacă numărătorul este egal cu numitorul, fracția este egală cu unu. Dacă numărătorul este mai mare decât numitorul, fracția este mai mare decât unu. În ambele ultime cazuri se numește fracția greşit:

Pentru a izola cel mai mare număr întreg conținut într-o fracție improprie, împărțiți numărătorul la numitor. Dacă împărțirea se face fără rest, atunci fracția improprie luată este egală cu câtul:

Dacă împărțirea se face cu un rest, atunci câtul (incomplet) dă numărul întreg dorit, iar restul devine numărătorul părții fracționale; numitorul părții fracționale rămâne același.

Se numește un număr care conține un întreg și o parte fracțională amestecat. Partea fracționată număr mixt pot fi fracție improprie. Apoi puteți selecta cel mai mare număr întreg din partea fracțională și puteți reprezenta numărul mixt în așa fel încât partea fracțională să devină o fracție adecvată (sau să dispară cu totul).