Cum se calculează minimul sau maximul folosind operații matematice. Extreme ale funcției

Buna ziua! Să ajungem la următorul examen de stat unificat cu pregătire sistematică de înaltă calitate și perseverență în măcinarea granitului științei!!! ÎNExistă o sarcină de concurs la sfârșitul postării, fii primul! Într-unul din articolele din această secțiune, tu și cu mine, în care s-a dat graficul funcției și s-au pus diverse întrebări referitoare la extreme, intervale de creștere (scădere) și altele.

În acest articol vom lua în considerare problemele incluse în examenul de stat unificat la matematică, în care este dat un grafic al derivatei unei funcții și se pun următoarele întrebări:

1. În ce punct al unui segment dat funcția ia cea mai mare (sau cea mai mică) valoare.

2. Aflați numărul de puncte maxime (sau minime) ale funcției aparținând unui segment dat.

3. Aflați numărul de puncte extreme ale funcției aparținând unui segment dat.

4. Aflați punctul extrem al funcției aparținând segmentului dat.

5. Aflați intervalele funcției crescătoare (sau descrescătoare) și indicați în răspuns suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.

6. Aflați intervalele de creștere (sau scădere) ale funcției. În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre aceste intervale.

7. Aflați numărul de puncte în care tangenta la graficul funcției este paralelă sau coincide cu o dreaptă de forma y = kx + b.

8. Aflați abscisa punctului în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu axa absciselor sau coincide cu aceasta.

S-ar putea să apară și alte întrebări, dar nu vă vor crea dificultăți dacă înțelegeți și (sunt furnizate link-uri către articole care oferă informațiile necesare soluției, recomand să le repetați).

Informații de bază (pe scurt):

1. Derivata la intervale crescatoare are semn pozitiv.

Dacă derivata la un anumit punct dintr-un anumit interval are o valoare pozitivă, atunci graficul funcției pe acest interval crește.

2. La intervale descrescătoare, derivata are semn negativ.

Dacă derivata la un anumit punct dintr-un anumit interval are o valoare negativă, atunci graficul funcției scade pe acest interval.

3. Derivata in punctul x este egala cu panta tangentei trasate la graficul functiei in acelasi punct.

4. În punctele de extremum (maximum-minim) ale funcției, derivata este egală cu zero. Tangenta la graficul funcției în acest punct este paralelă cu axa x.

Acest lucru trebuie înțeles și amintit clar!!!

Graficul derivat „derutează” mulți oameni. Unii oameni îl confundă din greșeală cu graficul funcției în sine. Prin urmare, în astfel de clădiri, unde vezi că este dat un grafic, concentrează-ți imediat atenția în condiția asupra a ceea ce este dat: graficul funcției sau graficul derivatei funcției?

Dacă este un grafic al derivatei unei funcții, atunci tratați-l ca pe o „reflecție” a funcției în sine, care pur și simplu vă oferă informații despre acea funcție.

Luați în considerare sarcina:

Figura prezintă un grafic y =f„(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–2;21).

Vom răspunde la următoarele întrebări:

1. În ce punct al segmentului se află funcția f(X) ia cea mai mare valoare.

Pe un interval dat, derivata unei funcții este negativă, ceea ce înseamnă că funcția pe acest interval scade (descrește de la limita stângă a intervalului la dreapta). Astfel, cea mai mare valoare a funcției este atinsă pe marginea stângă a segmentului, adică la punctul 7.

Raspuns: 7

2. În ce punct al segmentului se află funcția f(X)

Din acest grafic derivat putem spune următoarele. Pe un interval dat, derivata funcției este pozitivă, ceea ce înseamnă că funcția pe acest interval crește (crește de la limita stângă a intervalului la dreapta). Astfel, cea mai mică valoare a funcției se realizează pe marginea din stânga a segmentului, adică în punctul x = 3.

Raspuns: 3

3. Aflați numărul maxim de puncte ale funcției f(X)

Punctele maxime corespund punctelor în care semnul derivat se schimbă de la pozitiv la negativ. Să luăm în considerare unde se schimbă semnul în acest fel.

Pe segmentul (3;6) derivata este pozitivă, pe segmentul (6;16) este negativă.

Pe segmentul (16;18) derivata este pozitivă, pe segmentul (18;20) este negativă.

Astfel, pe un segment dat funcția are două puncte maxime x = 6 și x = 18.

Raspuns: 2

4. Aflați numărul de puncte minime ale funcției f(X), aparținând segmentului.

Punctele minime corespund punctelor în care semnul derivat se schimbă de la negativ la pozitiv. Derivata noastră este negativă pe intervalul (0;3) și pozitivă pe intervalul (3;4).

Astfel, pe segment funcția are un singur punct minim x = 3.

*Atenție când scrieți răspunsul - se înregistrează numărul de puncte, nu valoarea x poate fi făcută din cauza neatenției;

Raspuns: 1

5. Aflați numărul de puncte extreme ale funcției f(X), aparținând segmentului.

Vă rugăm să rețineți ce trebuie să găsiți cantitate puncte extremum (acestea sunt ambele puncte maxime și minime).

Punctele extreme corespund punctelor în care semnul derivatei se modifică (de la pozitiv la negativ sau invers). În graficul dat în condiție, acestea sunt zerourile funcției. Derivata dispare la punctele 3, 6, 16, 18.

Astfel, funcția are 4 puncte extreme pe segment.

Raspuns: 4

6. Aflați intervalele funcției crescătoare f(X)

Intervale de creștere a acestei funcții f(X) corespund intervalelor la care derivata sa este pozitivă, adică intervalele (3;6) și (16;18). Vă rugăm să rețineți că limitele intervalului nu sunt incluse în acesta (paranteze rotunde - limitele nu sunt incluse în interval, paranteze drepte - incluse). Aceste intervale conțin puncte întregi 4, 5, 17. Suma lor este: 4 + 5 + 17 = 26

Raspuns: 26

7. Aflați intervalele funcției descrescătoare f(X) la un interval dat. În răspunsul dvs., indicați suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.

Intervalele descrescătoare ale unei funcții f(X) corespund intervalelor la care derivata functiei este negativa. În această problemă, acestea sunt intervalele (–2;3), (6;16), (18:21).

Aceste intervale conțin următoarele puncte întregi: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Suma lor este:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Raspuns: 140

*Acordați atenție condiției: dacă limitele sunt incluse sau nu în interval. Dacă sunt incluse limite, atunci în intervalele luate în considerare în procesul de soluționare trebuie să se țină seama și de aceste limite.

8. Aflați intervalele funcției crescătoare f(X)

Intervale de creștere a funcției f(X) corespund intervalelor la care derivata functiei este pozitiva. Le-am indicat deja: (3;6) și (16:18). Cel mai mare dintre ele este intervalul (3;6), lungimea sa este de 3.

Raspuns: 3

9. Aflați intervalele funcției descrescătoare f(X). În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre ele.

Intervalele descrescătoare ale unei funcții f(X) corespund intervalelor la care derivata functiei este negativa. Le-am indicat deja; acestea sunt intervalele (–2;3), (6;16), (18;21), lungimile lor sunt respectiv 5, 10, 3.

Lungimea celui mai mare este de 10.

Raspuns: 10

10. Aflați numărul de puncte în care tangenta la graficul funcției f(X) paralel cu sau coincide cu linia dreaptă y = 2x + 3.

Valoarea derivatei în punctul de tangență este egală cu panta tangentei. Deoarece tangenta este paralelă cu dreapta y = 2x + 3 sau coincide cu aceasta, coeficienții lor unghiulari sunt egali cu 2. Aceasta înseamnă că este necesar să găsim numărul de puncte la care y′(x 0) = 2. Din punct de vedere geometric, acesta corespunde numărului de puncte de intersecție a graficului derivat cu linia dreaptă y = 2. Există 4 astfel de puncte pe acest interval.

Raspuns: 4

11. Aflați punctul extrem al funcției f(X), aparținând segmentului.

Punctul extremum al unei funcții este punctul în care derivata sa este egală cu zero, iar în vecinătatea acestui punct derivata își schimbă semnul (de la pozitiv la negativ sau invers). Pe segment, graficul derivatului intersectează axa x, derivata își schimbă semnul din negativ în pozitiv. Prin urmare, punctul x = 3 este un punct extrem.

Raspuns: 3

12. Aflați abscisa punctelor în care tangentele la graficul y = f (x) sunt paralele cu axa absciselor sau coincid cu aceasta. În răspunsul dvs., indicați cel mai mare dintre ele.

Tangenta la graficul y = f (x) poate fi paralelă cu axa absciselor sau coincide cu aceasta, numai în punctele în care derivata este egală cu zero (acestea pot fi puncte extreme sau puncte staționare în vecinătatea cărora derivata nu nu-i schimba semnul). Acest grafic arată că derivata este zero la punctele 3, 6, 16, 18. Cel mai mare este 18.

Vă puteți structura raționamentul astfel:

Valoarea derivatei în punctul de tangență este egală cu panta tangentei. Deoarece tangenta este paralelă sau coincide cu axa x, panta ei este 0 (într-adevăr, tangenta unui unghi de zero grade este zero). Prin urmare, căutăm punctul în care panta este egală cu zero și, prin urmare, derivata este egală cu zero. Derivata este egală cu zero în punctul în care graficul său intersectează axa x, iar acestea sunt punctele 3, 6, 16, 18.

Raspuns: 18

Figura prezintă un grafic y =f„(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–8;4). În ce punct al segmentului [–7;–3] este funcția f(X) ia cea mai mică valoare.

Figura prezintă un grafic y =f„(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–7;14). Aflați numărul maxim de puncte ale funcției f(X), aparținând segmentului [–6;9].

Figura prezintă un grafic y =f„(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–18;6). Aflați numărul de puncte minime ale funcției f(X), aparținând segmentului [–13;1].

Figura prezintă un grafic y =f„(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–11; –11). Aflați numărul de puncte extreme ale funcției f(X), aparținând segmentului [–10; –10].

Figura prezintă un grafic y =f„(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–7;4). Aflați intervalele funcției crescătoare f(X). În răspunsul dvs., indicați suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.

Figura prezintă un grafic y =f„(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–5;7). Aflați intervalele funcției descrescătoare f(X). În răspunsul dvs., indicați suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.

Figura prezintă un grafic y =f„(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–11;3). Aflați intervalele funcției crescătoare f(X). În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre ele.

F Figura prezintă un grafic

Condițiile problemei sunt aceleași (pe care le-am considerat). Aflați suma a trei numere:

1. Suma pătratelor extremelor funcției f (x).

2. Diferența dintre pătratele sumei punctelor maxime și suma punctelor minime ale funcției f (x).

3. Numărul de tangente la f (x) paralele cu dreapta y = –3x + 5.

Primul care va da răspunsul corect va primi un premiu stimulativ de 150 de ruble. Scrieți răspunsurile dvs. în comentarii. Dacă acesta este primul tău comentariu pe blog, acesta nu va apărea imediat, ci puțin mai târziu (nu vă faceți griji, este înregistrată ora în care a fost scris comentariul).

Mult succes pentru tine!

Salutări, Alexander Krutitsikh.

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.

77419.Aflați punctul maxim al funcției y=x 3 –48x+17

Să găsim zerourile derivatei:

Să luăm rădăcinile:

Să determinăm semnele derivatei funcției prin înlocuirea valorilor din intervale în derivata rezultată și să descriem comportamentul funcției în figură:

Am constatat că la punctul –4 derivata își schimbă semnul din pozitiv în negativ. Astfel, punctul x=–4 este punctul maxim dorit.

Răspuns: -4

77423. Aflați punctul maxim al funcției y=x 3 –3x 2 +2

Să găsim derivata funcției date:

Să echivalăm derivata cu zero și să rezolvăm ecuația:

În punctul x=0, derivata își schimbă semnul de la pozitiv la negativ, ceea ce înseamnă că acesta este punctul maxim.

77427. Aflați punctul maxim al funcției y=x 3 +2x 2 +x+3

Să găsim derivata funcției date:

Când egalăm derivata la zero și rezolvăm ecuația:

Să determinăm semnele derivatei funcției și să descriem în figură intervalele de creștere și scădere ale funcției prin înlocuirea valorilor din fiecare interval în expresia derivatei:

În punctul x=–1, derivata își schimbă semnul de la pozitiv la negativ, ceea ce înseamnă că acesta este punctul maxim dorit.

Răspuns: -1

77431. Aflați punctul maxim al funcției y=x 3 –5x 2 +7x–5

Să găsim derivata funcției:

Să găsim zerourile derivatei:

3x 2 – 10x + 7 = 0

3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0

3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0

În punctul x = 1, derivata își schimbă semnul din pozitiv în negativ, ceea ce înseamnă că acesta este punctul maxim dorit.

77435. Aflați punctul maxim al funcției y=7+12x–x 3

Să găsim derivata funcției:

Să găsim zerourile derivatei:

12 – 3x 2 = 0

Rezolvând ecuația pătratică obținem:

*Aceste puncte sunt de maxim (minim) posibil al funcției.

Să construim o dreaptă numerică și să marchem zerourile derivatei. Să determinăm semnele derivatei prin înlocuirea unei valori arbitrare din fiecare interval în expresia derivatei funcției și să descriem schematic creșterea și scăderea intervalelor:

12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0

12 – 3∙0 2 = 12 > 0

12 – 3∙3 2 = –15 < 0

În punctul x = 2, derivata își schimbă semnul din pozitiv în negativ, ceea ce înseamnă că acesta este punctul maxim dorit.

*Pentru aceeași funcție, punctul minim este punctul x = – 2.

77439. Aflați punctul maxim al funcției y=9x 2 – x 3

Să găsim derivata funcției:

Să găsim zerourile derivatei:

18x –3x 2 = 0

3x(6 – x) = 0

Rezolvând ecuația obținem:

*Aceste puncte sunt de maxim (minim) posibil al funcției.

Să construim o dreaptă numerică și să marchem zerourile derivatei. Să determinăm semnele derivatei prin înlocuirea unei valori arbitrare din fiecare interval în expresia derivatei funcției și să descriem schematic creșterea și scăderea intervalelor:

18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0

18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0

18∙7 –3∙7 2 = –1 < 0

În punctul x=6, derivata își schimbă semnul din pozitiv în negativ, ceea ce înseamnă că acesta este punctul maxim dorit.

*Pentru aceeași funcție, punctul minim este punctul x = 0.

Cu acest serviciu poți găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții o variabilă f(x) cu soluția formatată în Word. Dacă funcția f(x,y) este dată, deci, este necesar să găsim extremul funcției a două variabile. De asemenea, puteți găsi intervalele funcțiilor crescătoare și descrescătoare.

Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții

y=

pe segmentul [ ;]

Includeți teoria

Reguli de intrare în funcții:

Condiție necesară pentru extremul unei funcții a unei variabile

Ecuația f" 0 (x *) = 0 este o condiție necesară pentru extremul unei funcții a unei variabile, adică în punctul x * derivata întâi a funcției trebuie să dispară. Ea identifică punctele staționare x c ​​la care funcția nu dispare. creste sau scade.

Condiție suficientă pentru extremul unei funcții a unei variabile

Fie f 0 (x) de două ori diferențiabilă față de x aparținând mulțimii D. Dacă la punctul x * este îndeplinită condiția:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Atunci punctul x * este punctul minimului local (global) al funcției.

Dacă la punctul x * este îndeplinită condiția:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Atunci punctul x * este un maxim local (global).

Exemplul nr. 1. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției: pe segment.
Soluţie.

Punctul critic este unul x 1 = 2 (f’(x)=0). Acest punct aparține segmentului. (Punctul x=0 nu este critic, deoarece 0∉).
Calculăm valorile funcției la capetele segmentului și în punctul critic.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Răspuns: f min = 5 / 2 la x=2; f max =9 la x=1

Exemplul nr. 2. Folosind derivate de ordin superior, găsiți extremul funcției y=x-2sin(x) .
Soluţie.
Aflați derivata funcției: y’=1-2cos(x) . Să găsim punctele critice: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Găsim y’’=2sin(x), calculați , ceea ce înseamnă x= π / 3 +2πk, k∈Z sunt punctele minime ale funcției; , ceea ce înseamnă x=- π / 3 +2πk, k∈Z sunt punctele maxime ale funcției.

Exemplul nr. 3. Investigați funcția extremum în vecinătatea punctului x=0.
Soluţie. Aici este necesar să găsim extremele funcției. Dacă extrema x=0, atunci aflați tipul său (minim sau maxim). Dacă printre punctele găsite nu există x = 0, atunci calculați valoarea funcției f(x=0).
De remarcat că atunci când derivata de pe fiecare parte a unui punct dat nu își schimbă semnul, situațiile posibile nu sunt epuizate nici măcar pentru funcții diferențiabile: se poate întâmpla ca pentru o vecinătate arbitrar mică de pe o parte a punctului x 0 sau pe ambele părți derivata își schimbă semnul. În aceste puncte este necesar să se utilizeze alte metode pentru a studia funcțiile pentru extremum.

Valorile funcției și punctele maxime și minime

Cea mai mare valoare a funcției

Cea mai mică valoare a funcției

După cum a spus nașul: „Nimic personal”. Doar derivate!

Sarcina statistică 12 este considerată destul de dificilă și totul pentru că băieții nu au citit acest articol (glumă). În cele mai multe cazuri, nepăsarea este de vină.

12 sarcini vin în două tipuri:

1. Găsiți punctul maxim/minim (cereți să găsiți valorile „x”).
2. Găsiți cea mai mare/mai mică valoare a unei funcții (cereți să găsiți valorile „y”).

Cum se procedează în aceste cazuri?

Găsiți punctul maxim/minim

1. Echivalează-l cu zero.
2. „X” găsit sau găsit va fi punctele minime sau maxime.
3. Determinați semnele utilizând metoda intervalului și selectați ce punct este necesar în sarcină.

Sarcini de examinare unificată de stat:

Găsiți punctul maxim al funcției

• Luăm derivata:

Așa este, mai întâi funcția crește, apoi scade - acesta este punctul maxim!
Răspuns: −15

Găsiți punctul minim al funcției

• Să transformăm și să luăm derivata:

• Mare! Mai întâi funcția scade, apoi crește - acesta este punctul minim!

Răspuns: −2

Găsiți cea mai mare/mai mică valoare a unei funcții

1. Luați derivata funcției propuse.
   
2. Echivalează-l cu zero.
   
3. „x” găsit va fi punctul minim sau maxim.
   
4. Determinați semnele utilizând metoda intervalului și selectați ce punct este necesar în sarcină.
5. În astfel de sarcini, un decalaj este întotdeauna specificat: X-urile găsite la pasul 3 trebuie incluse în acest decalaj.
6. Înlocuiți punctul maxim sau minim rezultat în ecuația originală și obținem cea mai mare sau cea mai mică valoare a funcției.

Sarcini de examinare unificată de stat:

Aflați cea mai mare valoare a funcției pe intervalul [−4; −1]

Răspuns: −6

Găsiți cea mai mare valoare a funcției pe segment

• Cea mai mare valoare a funcției este „11” în punctul maxim (pe acest segment) „0”.

Raspuns: 11

Concluzii:

1. 70% dintre greșeli sunt că băieții nu-și amintesc la ce ca răspuns cea mai mare/mai mică valoare a funcției trebuie scrisă „y”, și mai departe scrieți punctul maxim/minim „x”.
2. Nu există o soluție pentru derivată atunci când găsiți valorile unei funcții? Nicio problemă, înlocuiți punctele extreme ale decalajului!
3. Răspunsul poate fi întotdeauna scris ca număr sau zecimal. Nu? Apoi regândește exemplul.
4. În majoritatea sarcinilor, vom obține un punct și lenea noastră de a verifica maximul sau minimul va fi justificată. Avem un punct - puteți scrie înapoi în siguranță.
5. Dar Nu ar trebui să faceți acest lucru atunci când căutați valoarea unei funcții! Verificați dacă acesta este punctul potrivit, altfel valorile extreme ale decalajului pot fi mai mari sau mai mici.