Probleme privind dependența proporțională și împărțirea proporțională. Întocmirea unui sistem de ecuații

Metode de predare rezolvarea problemelor privind găsirea proporționalei a patra.

Sarcina de a găsi a patra proporțională este o sarcină în care sunt date trei cantități care sunt direct sau invers proporționale, dintre care două sunt variabile și una este o constantă, în timp ce două valori ale unei variabile și una dintre valorile corespunzătoare a unei alte variabile sunt cunoscute, iar a doua valoare această valoare este cea dorită.

O atenție deosebită ar trebui acordată clasificării problemelor pentru găsirea celei de-a patra proporționale. Folosind oricare trei cantități legate printr-o relație proporțională (a treia este egală cu produsul primei și celei de-a doua), puteți crea șase tipuri de probleme pentru a găsi a patra proporțională. Dintre aceste probleme, primele patru probleme sunt cu dependență direct proporțională a cantităților, iar ultimele două sunt invers proporționale.

Principala modalitate de a rezolva probleme de acest tip în scoala elementara– aritmetică (găsirea valorii unei mărimi constante și găsirea raportului a două valori ale unei mărimi), se practică și metoda algebrică de rezolvare (prin ecuație).

Pentru a rezolva problema, este convenabil să notați aceste condiții sub forma unui tabel.

Etapele de învățare a rezolvării problemelor la găsirea celei de-a patra proporționale sunt aceleași ca și în lucrul cu alte probleme - pregătire, familiarizare, consolidare. La început, luăm în considerare în primul rând problemele cu o dependență direct proporțională cu următoarele grupuri de mărimi:

Pret, cantitate, cost;

Masa unui articol, numărul de articole, masa totală;

Capacitatea unei nave, numărul de nave, capacitatea totală;

Producție (productivitate) pe unitatea de timp, timp de funcționare, producția totală;

Consumul de materie pe lucru, numărul de lucruri, consumul total de materie. În continuare, sunt introduse noi grupuri de mărimi: viteză, timp, distanță; lungimea dreptunghiului, lățimea și aria acestuia; randament pe unitatea de suprafata, suprafata si intreaga recolta. În acest moment, problemele de toate cele șase tipuri sunt deja luate în considerare.

Problemă activată împărțirea proporțională include trei mărimi legate printr-o relație proporțională, dintre care două sunt variabile și una sau mai multe constante, și având în vedere două sau mai multe valori ale unei variabile și suma valorilor corespunzătoare unei alte variabile, termenii acestei sume sunt cele cerute.

În NS, problemele se rezolvă numai prin împărțire proporțională, numai cu dependență direct proporțională a mărimilor, se rezolvă numai prin metoda găsirii valorii unei mărimi constante.

Pregătirea pentru rezolvarea problemelor pe împărțirea proporțională este capacitatea solidă a școlarilor de a rezolva probleme pentru a găsi a patra proporțională.

Când vă familiarizați cu problemele privind împărțirea proporțională, ar trebui să obțineți probleme de acest tip lucrând împreună cu elevii pentru a transforma problemele de găsire a celei de-a patra proporționale în probleme de tip nou. Sau compunerea unei sarcini folosind un tabel scris. Astfel, este necesar de remarcat importanța ca copiii să aibă o capacitate dezvoltată de a compune și de a transforma probleme.

Pentru a rezolva problema, este convenabil să notați aceste condiții sub forma unui tabel. Ar trebui plătit atenție deosebită pe specificul muncii cu familiarizarea cu acest tip de sarcină pas cu pas.

La început, luăm în considerare în primul rând problemele de împărțire proporțională de primul tip cu următoarele grupe de cantități: preț, cantitate, cost; masa unui articol, numărul de articole, masa totală; capacitatea unei nave, numărul de vase, capacitatea totală etc. După aceasta se introduc probleme de al doilea tip, iar ceva mai târziu tipul al treilea și al patrulea. Trebuie remarcat faptul că în școala elementară se rezolvă în principal problemele cu dependențe direct proporționale ale cantităților.

La cunoștință inițială Nu este indicat să folosiți desenul, deoarece elevii învață raționamentul formal, de ex. are loc o reducere prematură a raţionamentului. De asemenea, este nepotrivit să descriem analiza problemei sub forma unei diagrame grafice, deoarece începe cu două întrebări și provoacă confuzie elevilor.

Pentru a asigura sunt incluse rezolvarea problemelor de împărțire proporțională, alte probleme cu alte mărimi și alte probleme din acest grup. Exercițiile creative sunt folosite pentru a compune și transforma sarcini.

Împărțirea proporțională

împărțirea oricărei mărimi într-un raport dat. Dacă această valoare există o, iar relația este n, atunci trebuie să împărțim oîn două părți xȘi ( Oh) astfel încât raportul x Pentru ( topor) ar fi egal n. Exprimând aceasta ca o ecuație și rezolvând-o x, obținem:

x = un/(1 + n).

Întrebările despre împărțirea proporțională includ două probleme geometrice binecunoscute: găsirea lungimii x, medie proporțională cu două lungimi date oŞi b; împărțiți lungimea dată în raport extrem și mediu. Construcțiile cu ajutorul cărora se obțin soluții la aceste și probleme similare sunt date în manuale de geometrie elementară.

Dicţionar Enciclopedic F. Brockhaus și I.A. Efron. - S.-Pb.: Brockhaus-Efron. 1890-1907 .

Vedeți ce este „Diviziunea proporțională” în alte dicționare:

Regula de parteneriat, aritmetică. o metodă de împărțire a unui număr în părți proporționale cu numerele date; este adesea folosit la împărțirea profiturilor între parteneri proporțional (respectiv) cu capitalul pe care l-au contribuit la întreprindere sau... ...

- (Latina proportionalis din proportio relatie, asemanare, proportie). Proporțional, legal. Dicţionar cuvinte străine, inclus în limba rusă. Chudinov A.N., 1910. PROPORȚIONAL lat. propotiornalis, din proportio, proportion.… … Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse

PROPORȚIONAL, proporțional, proporțional; proporțional, proporțional, în proporție (lat. proporcionalis proportional) (carte). 1. Posedă proporționalitate a pieselor. Fizicul proporțional. 2. Una care, cu creșterea... Dicţionar Ushakova

Istoria științei... Wikipedia

Parte din papirusul Ahmes Papirusul matematic al lui Ahmes (cunoscut și ca Papirusul Rhind sau Papirusul Rhind) Ghid de studiu aritmetic egiptean antic... Wikipedia

Acest articol face parte din recenzia History of Mathematics. Articolul este dedicat stării și dezvoltării matematicii în Egiptul anticîn perioada de aproximativ XXX până în secolul III î.Hr. e. Cele mai vechi texte matematice egiptene antice datează de la începutul lui II... ... Wikipedia

Istoria științei După subiect Matematică Științe ale naturii ... Wikipedia

Petrov (Ivan) Contor rusesc fenomenal. Născut în 1823 într-o familie de iobagi țărani din provincia Kostroma. La o vârstă fragedă, incapabil să citească sau să scrie, i-a uimit pe cei din jur cu abilitățile sale de aritmetică și de rezolvare a problemelor. ÎN… … Dicţionar biografic

Contor rusesc fenomenal. Născut în 1823 într-o familie de iobagi țărani, provincia Kostroma. La o vârstă fragedă, incapabil să citească sau să scrie, i-a uimit pe cei din jur cu abilitățile sale de aritmetică și de rezolvare a problemelor. La 11 ani......

Un contor fenomenal, născut în 1823 în sat. districtul Ragozino Kologrivsky provincia Kostroma; Părinții săi erau iobagi ai moșierului Voltatis. În ciuda analfabetismului său, P., chiar și la o vârstă foarte fragedă, a uimit de abilitățile sale... Enciclopedie biografică mare

Cărți

• Aritmetică: numere întregi. Despre divizibilitatea numerelor. Măsurarea cantităților. Sistem metric de măsuri. Obișnuit, Kiselev, Andrey Petrovici. Prezentăm atenției cititorilor o carte a remarcabilului profesor și matematician rus A.P. Kiselev (1852-1940), care conține un curs sistematic de aritmetică. Cartea cuprinde șase secțiuni...
• Aritmetică, Kiselev A.. Întregi. Despre divizibilitatea numerelor. Măsurători de cantități. Sistem metric măsuri
• Fracții obișnuite (simple).

zecimale

.

Cantitati proportionale.

Atenție cititorilor...

Aritmetică. Numerele întregi. Despre divizibilitatea numerelor. Măsurarea cantităților. Sistem metric de măsuri. Fracții obișnuite (simple). Fracții zecimale. Cantități proporționale, Cititorilor A.P. Kiselev li se oferă o carte a remarcabilului profesor și matematician domestic A.P. Kiselev (1852-1940), care conține un curs sistematic de aritmetică. Cartea cuprinde șase secțiuni...

(modulul Adaptive Adsense bloc la începutul articolului) PROBLEME DE DIVIZIUNE PROPORȚIONALĂ

CLASA 4 Problemele de divizare proporțională își iau numele de la felul în care sunt rezolvate. Pentru a răspunde la întrebarea problemei, este necesar să se întocmească o anumită proporție și să se calculeze modul în care cantitățile necesare se raportează între ele.

Să luăm în considerare rezolvarea problemei împărțirii proporționale folosind un exemplu:

Sarcină:

Doi muncitori au câștigat 9.000 de ruble. Unul a lucrat 2 săptămâni, iar celălalt 8 săptămâni. Câți bani a câștigat fiecare persoană?

Soluţie:

Pe baza condițiilor problemei, puteți afla cum este plătită o săptămână de astfel de muncă:

9000 ÷ (8 + 2) = 900 de ruble pe săptămână.

900 · 2 = 1800 ruble - un muncitor;

900 · 8 = 7200 de ruble - un alt muncitor.

Răspuns: 1800 și 7200.

Exemple de probleme de împărțire proporțională:

6) Doi muncitori au comandat 26 de meri de la pepiniera. Cum ar trebui să împartă pomii de meri dacă unul a dat 500 de ruble pentru cumpărare, iar celălalt 800 de ruble?

7) Câte grame de lipici de cauciuc se vor obține din 50 g de cauciuc dacă pentru a pregăti lipiciul luați 9 părți de benzină purificată la o parte de cauciuc?

8) Doi muncitori au câștigat 8.400 de ruble. Primul a lucrat 5 săptămâni, iar al doilea timp de 7 săptămâni. Câți bani a câștigat fiecare muncitor?

9) Două echipe au lucrat pentru aceeași perioadă de timp și împreună au câștigat 810 ruble. Cum ar trebui să împartă aceste câștiguri dacă sunt 4 oameni într-o echipă și 5 în cealaltă?

10) Clubul a cumpărat același număr de schiuri și patine. O pereche de patine costă 6 USD, iar o pereche de schiuri costă 9 USD. Cât costă separat patinele și schiurile dacă ai plătit 900 USD pentru întreaga achiziție?

11) Pentru a pregăti lipici lichid pentru lemn, luați 15 părți de adeziv pentru faianță și 17 părți de apă. Cât adeziv trebuie să folosiți pentru a face 640 g de adeziv lichid pentru lemn?

12) Pentru 118 ruble am cumpărat același număr de paltoane pentru băieți și fete. Câte dintre ambele au fost cumpărate dacă fiecare palton pentru băieți costa 31 de mărci, iar pentru fete 28 de mărci?

13) Ferma colectivă aducea tot atâtea lăzi cu mere și pere. Fiecare cutie de pere cântărea 50 kg, iar fiecare cutie de mere 40 kg. Toate fructele împreună cântăreau 810 kg. Câte kilograme din acestea și alte fructe au fost aduse separat?

14) În două bucăți 24 m pânză. O bucată costă 240 USD, iar cealaltă 480 USD. Câți metri de pânză sunt în fiecare bucată?

15) „Moskvich” consumă 9 litri de benzină la 100 km, „Volga” - 13 litri. Ambele mașini sunt furnizate cu 66 de litri de benzină la 300 km. Câți litri de benzină sunt furnizați fiecărei mașini?

(modulul Adaptive Adsense bloc la sfârșitul articolului)

1. Pentru a împărți un anumit număr proporțional cu numerele date (împărțiți într-un raport dat), trebuie să împărțiți acest număr la suma acestor numere și să înmulțiți rezultatul cu fiecare dintre ele.

2. Pentru a împărți un număr în părți invers proporționale cu numerele date, este suficient să împărțiți acest număr în părți direct proporționale cu numerele invers proporționale cu numerele date.

EXERCIȚII CU SOLUȚII

1. Împărțiți un segment de 15 cm lungime în raport cu Soluția. cm.

2. Împărțiți numărul 27 invers proporțional cu numerele 4 și 5.

Soluţie. reciprocele numerelor date sunt după cum urmează:

MATERIAL DIDACTIC

A. 1. Un segment de lungime a fost împărțit în patru părți proporționale cu numerele 2, 3, 4 și 5. Aflați lungimile acestor părți.

2. Laturile unui triunghi al cărui perimetru este proporțional cu numerele 5, 7 și 8. Aflați laturile triunghiului.

3. Împărțiți numărul 196 în părți proporționale cu numerele:

4. Împărțiți numărul 434 în părți invers proporționale cu numerele: a) 15 și 16; b) 2, 3 și 5.

B. 1. Suprafețele câmpurilor semănate cu secară, grâu și orz sunt proporționale cu cifrele 9, 5 și 3. Câte hectare se seamănă cu secară și câte cu orz, dacă se știe că se seamănă cu grâu.