Folosind un șablon pentru fiecare nod intern al regiunii soluției, ecuația de căldură este aproximată

De aici găsim:

Folosind condițiile inițiale și la limită, valorile funcției grilă sunt găsite la toate nodurile la nivelul de timp zero.

Apoi folosind relațiile

valorile acestor funcții se găsesc în toate nodurile interne la primul nivel de timp, după care găsim valoarea la nodurile limită

Ca rezultat, găsim valoarea caracteristicilor în toate nodurile la primul nivel de timp. După aceea, folosind aceste relații găsim toate celelalte valori etc.

În schema de diferențe luată în considerare, valoarea funcției dorite la următorul nivel de timp este găsită direct, folosind în mod explicit formula

Prin urmare, schema de diferențe luată în considerare folosind acest model este numită schema de diferență explicită . Precizia sa este de ordinul mărimii.

Această schemă de diferențe este ușor de utilizat, dar are un dezavantaj semnificativ. Se pare că schema diferențelor explicite are o solutie stabila numai dacă dacă condiția este îndeplinită :

Schema diferențelor explicite este stabil conditionat . Dacă condiția nu este îndeplinită, erorile mici de calcul, de exemplu, cele asociate cu rotunjirea datelor computerului, duc la o schimbare bruscă a soluției. Soluția devine inutilizabilă. Această condiție impune restricții foarte stricte asupra pasului de timp, care pot fi inacceptabile din cauza creșterii semnificative a timpului de calcul pentru rezolvarea acestei probleme.

Luați în considerare o schemă de diferențe folosind un model diferit

Metoda 36

Schema diferențelor implicite pentru ecuația căldurii.

Să înlocuim în ecuația conducției căldurii:

Această relație este scrisă pentru fiecare nod intern la nivel de timp și este completată de două relații care determină valorile la nodurile limită. Rezultatul este un sistem de ecuații pentru determinarea valorilor necunoscute ale funcției la nivel de timp.

Schema de rezolvare a problemei este următoarea:

Folosind condițiile inițiale și la limită, valoarea funcției este găsită la nivelul de timp zero. Apoi, folosind aceste relații și condiții la limită, se construiește un sistem de ecuații algebrice liniare pentru a găsi valoarea funcției la primul nivel de timp, după care sistemul este construit din nou folosind aceste relații și se găsesc valorile. la al doilea nivel de timp etc.

Diferență față de schema explicită- valorile la nivelul următor de timp nu sunt calculate direct folosind o formulă gata făcută, ci sunt găsite prin rezolvarea unui sistem de ecuații, adică valorile necunoscutelor se găsesc implicit prin rezolvarea SLAE. Prin urmare, schema diferențelor se numește implicit. Spre deosebire de explicit, implicit este absolut stabil.

Subiectul nr. 9

Probleme de optimizare.

Aceste probleme sunt printre cele mai importante probleme din matematica aplicată. Optimizare înseamnă alegerea celei mai bune opțiuni dintre toate soluțiile posibile la o anumită problemă. Pentru a face acest lucru, este necesar să se formuleze problema care se rezolvă ca una matematică, dând un sens cantitativ conceptelor de mai bine sau de rău. De obicei, în timpul procesului de soluție este necesar să se găsească valorile optimizate ale parametrilor. Acești parametri sunt numiți proiecta. Și numărul de parametri de proiectare determină dimensiunea problemei.

O evaluare cantitativă a soluției se face folosind o anumită funcție în funcție de parametrii de proiectare. Această funcție este numită ţintă . Este construit în așa fel încât cea mai optimă valoare să corespundă maximului (minimului).

- funcţia obiectivă.

Cele mai simple cazuri sunt atunci când funcția obiectiv depinde de un parametru și este specificată printr-o formulă explicită. Pot exista mai multe funcții țintă.

De exemplu, la proiectarea unei aeronave, este necesar să se asigure simultan fiabilitate maximă, greutate și cost minim etc. În astfel de cazuri, intrați sistem prioritar . Fiecărei funcție obiectiv i se atribuie un anumit multiplicator țintă, rezultând o funcție obiectiv generalizată (funcția de compromis).

De obicei, soluția optimă este limitată de o serie de condiții legate de funcția fizică a problemei. Aceste condiții pot fi sub formă de egalități sau inegalități

Teoria și metodele de rezolvare a problemelor de optimizare în prezența restricțiilor fac obiectul cercetării într-una din ramurile matematicii aplicate - programare matematică.

Dacă funcția obiectiv este liniară în raport cu parametrii de proiectare și restricțiile impuse parametrilor sunt de asemenea liniare, atunci problema de programare liniara . Să luăm în considerare metode pentru rezolvarea unei probleme de optimizare unidimensională.

Este necesar să se găsească valorile la care funcția obiectiv are o valoare maximă. Dacă funcția obiectiv este specificată analitic și poate fi găsită o expresie pentru derivatele sale, atunci soluția optimă va fi atinsă fie la capetele segmentului, fie în punctele în care derivata dispare. Acestea sunt punctele critice și . Este necesar să găsiți valorile funcției obiectiv în toate punctele critice și să selectați cel maxim.

În general, pentru a găsi o soluție sunt folosite diverse metode de căutare. Ca urmare, segmentul care conține soluția optimă se îngustează.

Să ne uităm la câteva dintre metodele de căutare. Să presupunem că funcția obiectiv pe interval are un maxim. În acest caz, împărțind la punctele nodale, al căror număr este , funcția obiectiv este calculată la aceste puncte nodale. Să presupunem că valoarea maximă a funcției obiectiv va fi la nod , apoi putem presupune că soluția optimă este situată pe interval . Ca urmare, segmentul care conține soluția optimă a fost îngustat. Noul segment rezultat este din nou împărțit în părți etc. Cu fiecare partiție, segmentul care conține soluția optimă este redus cu un factor.

Să presupunem că s-au efectuat pași de îngustare. Apoi segmentul original este redus cu un factor.

Adică o facem în timp ce rulează (*)

În acest caz, se calculează funcția obiectiv.

Este necesar să găsiți o valoare astfel încât expresia (*) să fie obținută la cel mai mic

numărul de calcule.

Metoda 37

Metoda semidiviziunii.

Să luăm în considerare metoda de căutare pentru . Se numește metoda de înjumătățire, deoarece la fiecare pas segmentul care conține soluția optimă este înjumătățit.

Eficiența căutării poate fi mărită prin selectarea specială a punctelor în care funcția obiectiv este calculată la un anumit pas de îngustare.

Metoda 38

Metoda secțiunii de aur.

O modalitate eficientă este metoda proporției de aur. Secțiunea de aur a unui segment este punctul pentru care condiția este îndeplinită

Există două astfel de puncte: =0,382 +0,618

0,618 +0,382 .

Segmentul este împărțit la puncte și apoi se găsește un punct la care funcția obiectiv este maximă. Ca rezultat, se găsește un segment modificat cu o lungime de 0,618( - ).

O valoare a secțiunii de aur pentru segmentul îngustat este deja cunoscută, așa că la fiecare pas ulterior este necesar să se calculeze funcția obiectiv doar la un punct (al doilea punct al secțiunii de aur).

Metoda 39

Metoda de urcare (coborare) coordonată cu coordonată.

Să trecem la considerarea problemei de optimizare în cazul în care funcția obiectiv depinde de mai multe valori ale parametrilor. Cea mai simplă metodă de căutare este metoda ascensiunii (coborârii) coordonată cu coordonată.

Există trei metode pentru a construi scheme de diferențe pe un șablon dat:

· metoda de aproximare a diferenţelor;

· metoda integro-interpolării;

· metoda coeficienților nedeterminați.

Metodă aproximarea diferențelor Am folosit deja (24), (26) la elaborarea schemelor. Conform acestei metode, fiecare derivată inclusă în ecuație și condiția la limită este înlocuită cu o expresie a diferenței ținând cont de nodurile unui șablon dat. Metoda facilitează construirea schemelor de diferențe cu aproximarea de ordinul întâi și al doilea atunci când coeficienții ecuației sunt funcții suficient de netede. Generalizarea acestei abordări la un număr de cazuri importante este dificilă. De exemplu, dacă coeficienții ecuației sunt discontinui sau se presupune că trebuie utilizată o plasă nedreptunghiulară și neuniformă, apare incertitudine în construirea schemei de diferențe.

Când se utilizează metoda integro-interpolării sau metoda echilibrului folosiți considerații fizice suplimentare, care se rezumă la elaborarea ecuațiilor de conservare pentru anumite mărimi. În această metodă, după selectarea unui șablon, zona este împărțită în celule. Ecuația diferențială este integrată peste celulă și, folosind formule de analiză vectorială, se reduce la o formă integrală care corespunde unei anumite legi integrale. Integralele sunt calculate aproximativ folosind una dintre formulele de cuadratura și se obține o schemă de diferențe.

Să prezentăm ecuația conductivității termice cu un coeficient de conductivitate termică variabil sub forma: . Pentru a o aproxima, alegem șablonul prezentat în Fig. 8, unde celula corespunzătoare este evidențiată cu o linie punctată.

Să efectuăm integrarea peste celulă:

și apoi aproximați prima integrală cu formula mediilor și a doua integrală prin formula dreptunghiurilor

În ultima expresie înlocuim derivatele cu diferențe finite și, considerând grila uniformă, obținem o schemă de diferențe

Dacă k= const, atunci schema (35) coincide cu schema implicită (24).

Fig.8. Șablon și celulă de integro-interpolare
metoda pentru ecuația căldurii

Metoda integro-interpolării este cea mai utilă atunci când coeficienții ecuației sunt neliniști sau chiar discontinui. În acest caz, trecerea la mai generale - legi integrale - ne întoarce la soluții generalizate mai corecte.

Să luăm în considerare un exemplu de utilizare a schemei de diferențe (35) pentru a calcula conductivitatea termică a unui mediu format din trei medii cu coeficienți de conductivitate termică diferiți, i.e.

(36)

Unde k 1 , k 2 , k 3 sunt, în general, numere distincte nenegative. În acest caz, ecuația inițială poate fi scrisă astfel:

(37)

Pentru a calcula folosind schema (35) cu coeficientul de conductivitate termică (36), vom presupune că

iar în stânga x= 0 și dreapta x = o limita conform (37), vom menține temperatura zero, adică. Și .

Lista_Nr. 4 arată codul programului care rezolvă ecuația (36), (37) conform schemei de diferențe (35), (38).

Lista_Nr.4

%Program pentru rezolvarea ecuației căldurii

%(37) cu un coeficient de decalaj

% conductivitate termică (36)

global a k1 k2 k3

%definiți segmentul de integrare și

%trei valori ale coeficientului de conductivitate termică

%in trei zone ale intervalului de integrare

a=3; k1=0,1; k2=100; k3=10;

%determină pasul în timp și spațiu

tau=0,05; h=0,05;

x=0:h:a; N=lungime(x);

%Construirea distribuției inițiale a temperaturii

dacă x(i)<=0.5*a

y(i)=((2*Tm)/a)*x(i);

dacă x(i)>0,5*a

y(i)=((2*Tm)/a)*(a-x(i));

%desenați profilul de temperatură inițial

%linie roșie groasă

plot(x,y,"Color","red","LineWidth",3);

%calculați coeficienții de baleiaj A(n), B(n)

%C(n): A(n)y2(n+1)+B(n)y2(n)+C(n)y2(n-1)=y(n)

A(n)=-(tau/h^2)*k(x(n)+0,5*h);

B(n)=1+(tau/h^2)*...

(k(x(n)+0,5*h)+k(x(n)-0,5*h));

C(n)=-(tau/h^2)*k(x(n)-0,5*h);

%definiți condiția de limită stângă

alfa(2)=0; beta(2)=0;

alfa(n+1)=-A(n)/(B(n)+C(n)*alfa(n));

beta(n+1)=(y(n)-C(n)*beta(n))/...

(B(n)+C(n)*alfa(n));

%setează condiția de limită corectă

pentru n=(N-1):-1:1

y(n)=alfa(n+1)*y(n+1)+beta(n+1);

%desenați profilul de temperatură curent

% determină coeficientul de conductivitate termică

global a k1 k2 k3

dacă (x>=0)&(x<=a/3)

dacă (x>a/3)&(x<=(2*a)/3)

dacă (x>(2*a)/3)&(x<=a)

Figura 9 arată rezultatul codului programului din Lista_Nr. Profilul inițial de temperatură triunghiular este desenat cu o linie roșie îndrăzneață. Săgețile verticale de pe grafic separă zone cu coeficienți de conductivitate termică diferiți. Conform codului lista_nr.4, coeficienții de conductivitate termică diferă unul de celălalt cu trei ordine de mărime.

Fig.9. Rezolvarea ecuației căldurii (37) cu discontinuu
coeficient de conductivitate termică (36)

Metoda coeficientului incert este că o combinație liniară de soluții la nodurile unui anumit șablon este luată ca o schemă de diferențe. Coeficienții unei combinații liniare sunt determinați din condiția ordinului maxim al reziduului corespunzător în termeni de tŞi h.

Deci, pentru ecuația din șablonul din Fig. 8 putem scrie următoarea schemă cu coeficienți nedeterminați

Determinarea reziduului

Să înlocuim (31) în (40), atunci

(41)

Majoritatea termenilor din (41) dispar sub condiția

. (42)

Înlocuind (42) în (39) obținem schema de diferențe (24).

Metoda coeficienților nedeterminați este aplicabilă și cazurilor mai complexe. De exemplu, pentru o plasă triunghiulară, al cărei șablon este prezentat în Fig. 10, puteți obține următoarea schemă de diferențe

Fig. 10. Șablon de plasă triunghiulară pentru ecuația diferențelor (43)

Să luăm în considerare nodurile neregulate ale schemei de diferențe, i.e. condiţiile sale limită. Pentru ecuația căldurii u t = k u xx nodurile limită sunt neregulate n= 0 și n = N. Dacă se ia în considerare prima problemă a valorii la limită

atunci este ușor să notezi condițiile de diferență corespunzătoare

care sunt efectuate cu acurateţe, deoarece rezidualul pentru ei este zero.

Mai complex este cazul celei de-a doua probleme a valorii la limită, când condiția la limită conține derivata față de x. De exemplu, atunci când se specifică un flux de căldură la margini, condițiile la limită iau următoarea formă:

Derivatele din (44) pot fi aproximate prin diferența finită din dreapta (stânga):

Discrepanța ecuațiilor diferențelor (45) este ușor de estimat:

(46)

Astfel, conform (46), discrepanța condițiilor la limită are primul ordin de acuratețe în h, în timp ce la punctele obișnuite ordinea preciziei este a doua în h, adică atunci când alegeți o aproximare a condițiilor la limită folosind formulele (45), are loc o pierdere a preciziei.

Pentru a îmbunătăți acuratețea condițiilor la limită, luați în considerare metoda punctului fictiv. Să introducem două puncte fictive în afara segmentului: , și scrieți-l cu puncte n= 0 și n = N schema de diferențe explicite (26), atunci

Aproximăm condițiile la limită din stânga și din dreapta folosind diferența centrală, adică

Excluzând punctele fictive și valorile funcției din ele din (47), (48), găsim condițiile la limită de ordinul doi de precizie în h:

(49)

Condițiile la limită (49) sunt explicite, deoarece conțin o singură valoare pe următorul strat.

Pe lângă metoda punctului fictiv, există o altă metodă pentru reducerea discrepanței, este mai universală, dar mai puțin vizuală. Să ne descompunem u(t,x 1) în vecinătate x 0 atunci

Conform (44), , iar din ecuația conducției căldurii găsim . Înlocuind aceste estimări în expansiunea Taylor, găsim

Făcând substituția în (50), obținem condiția de limită stângă (49).

Conform procedurii de mai sus, se poate obține o precizie crescută în aproximarea condițiilor la limită.

Apropiere

Lasă zona să fie dată G variabile x = (x 1 ,x 2 ,…,xp) cu limita G și se pune problema corectă de rezolvare a ecuației cu condiții la limită:

Au(x) - f(x) = 0, x Î G; (51)

Ru(x) - m(x) = 0, xО G. (52)

Să intrăm în zonă G+ G grilă cu pași h, care conține noduri regulate (interne). w hși noduri neregulate (de frontieră). g h.

Să trecem în (51), (52) la analogii de diferență corespunzători

A h y h(x) - jh(x) = 0, x Î w h; (51 ¢)

R h y h(x) - c h(x) = 0, x Î g h. (52¢)

Apropierea schemei de diferențe (51¢), (52¢) față de problema inițială (51), (52) este determinată de valorile reziduurilor:

Circuit diferență (51¢), (52¢) aproximative problema (51), (52), când

aproximarea are p comanda când

Să facem câteva comentarii cu privire la alegerea normelor. Pentru simplitate, vom lua în considerare cazul unidimensional, i.e. G = [o,b].

Puteți folosi Chebyshev sau norma locală

,

sau pătratul mediu Hilbert:

.

Deseori construit asociat sau asociat cu un operator O standardele energetice. De exemplu,

Alegerea normei este guvernată de două considerente opuse. Pe de o parte, este de dorit ca soluția diferenței y era aproape de soluția exactă în cea mai puternică normă. De exemplu, în problemele care implică distrugerea structurilor, micimea deformărilor nu garantează integritatea structurilor, dar micimea celor normale o face. Pe de altă parte, cu cât norma este mai slabă, cu atât este mai ușor să construiești o schemă de diferențe și să dovedești convergența acesteia.

Funcții y h, jh, c h, incluse în (51¢), (52¢), sunt definite pe grilă, deci pentru ele este necesar să se determine normele de grilă corespunzătoare , și . De obicei, acestea sunt introduse astfel încât să intre în normele selectate și când h® 0. Următoarele expresii sunt alese ca analogi de diferență ai normelor Chebyshev și Hilbert:

sau analogi apropiati.

Sustenabilitate

Prin stabilitatea (instabilitatea) unei scheme de diferențe înțelegem că micile erori care apar în timpul procesului de calcul (sau introduse cu datele de intrare) scad (măresc) în calculele ulterioare.

Să luăm în considerare un exemplu de schemă de diferențe instabile pentru problema Cauchy a unei ecuații diferențiale u¢ = un u. Să alegem următoarea familie de scheme de diferențe cu un singur parametru:

. (53)

Investigarea creșterii erorii dy n datele inițiale ale ecuației (53). Deoarece ecuația (53) este liniară, eroarea dy n satisface aceeași ecuație (53). Să studiem un tip special de eroare dy n = l n. Să substituim această reprezentare în (53), atunci

Rezolvarea ecuației pătratice (54) la h® 0 oferă următoarele estimări pentru rădăcini

Din estimările rădăcinilor din (55) rezultă că pt s < ½ второй корень |l 2 | > 1, adică într-un singur pas eroarea crește de câteva ori. Să verificăm.

Lista_Nr. 5 arată codul programului care ilustrează calculul pentru condiții instabile s= 0,25 schema (53) si conform unei scheme stabile la s= 0,75. În datele inițiale au fost selectate mici tulburări. În continuare, au fost efectuate o serie de calcule cu o valoare descrescătoare a pasului de grilă h. Figura 11 prezintă graficele finale ale dependenței valorii perturbației în datele inițiale la capătul drept al segmentului de integrare în funcție de pasul grilei. Este clar cât de dramatic diferă calculele pentru schemele instabile și stabile. Folosind acest program puteți verifica valoarea de prag a parametrului s= 0,5: la s < 0,5 схема неустойчива, при s³ 0,5 - stabil.

Lista_Nr.5

% Program de calcul pentru o schemă instabilă la

%sigma=0,25 si conform unei scheme stabile la sigma=0,75

% curățarea spațiului de lucru

%definiți constanta ecuației u"=alpha*u

%definiți valorile sigma=0,25; 0,75

sigm=0,25:0,5:0,75;

pentru s=1:lungime(sigm)

%definiți valoarea inițială a pasului de grilă

x=0:h:1; N=lungime(x);

%determină perturbări ale datelor inițiale

dy(1)=1e-6; dy(2)=1e-6;

%efectuam calculul perturbarii initialului

% de date la capătul din dreapta al segmentului de integrare

dy(n+1)=(2+(alfa*h-1)/sigma)*dy(n)+...

(1/sigma-1)*dy(n-1);

%ţine minte perturbarea de la capătul drept şi

% spațiere între grilă

deltay(i)=dy(N);

%desenați un grafic al dependenței perturbației de

%chenar dreapta de la pasul grilă

plot(pas,deltay);

Fig. 11. Grafice ale dependenței perturbației la calcularea conform
diagrama (53) de la limita dreaptă a treptei grilei h

Schema de diferențe(51¢), (52¢) stabil, dacă soluția unui sistem de ecuații diferențiale depinde continuu de datele de intrare j, c iar această dependență este uniformă față de pasul grilei. Să clarificăm dependența continuă. Asta înseamnă că pentru oricine e> 0 există așa ceva d(e), independent de h, Ce

, (56)

Dacă schema diferențelor (51¢), (52¢) este liniară, atunci soluția diferenței depinde liniar de datele de intrare. În acest caz putem presupune că d(e) = e/(M + M 1), unde M, M 1 - unele mărimi nenegative independente de h. Ca rezultat, condiția de stabilitate pentru schemele de diferențe liniare poate fi scrisă ca:

Dependența continuă a soluției diferenței de j numit stabilitate pe partea dreaptă, și de la c - stabilitate conform datelor de limită.

Pe viitor vom lua în considerare scheme de diferență în două straturi, adică astfel de scheme care conțin un strat cunoscut și unul nou, necunoscut.

Se numește schema de diferență cu două straturi uniform stabil prin datele inițiale, dacă la selectarea datelor inițiale din orice strat t * (t 0 £ t * < T) schema de diferențe este stabilă față de acestea, iar stabilitatea este uniformă față de t*. Pentru schemele liniare, condiția de stabilitate uniformă poate fi scrisă sub formă

unde este constanta K nu depinde de t* Și h, - soluții ale schemei de diferențe A h y = j cu datele inițiale si cu aceeasi latura dreapta.

Un semn suficient de stabilitate uniformă. Pentru o stabilitate uniformă conform datelor inițiale, este suficient ca pentru toți m efectuate

Dovada. Condiția (60) înseamnă că dacă apare o eroare pe un strat dy, apoi la trecerea la stratul următor norma perturbării || dy|| crește cu cel mult (1 + Сt) £ e C t dată. Conform (59), la trecerea din strat t*pe strat t necesar m = (t - t *)/t pași de timp, adică eroarea crește cu cel mult . Ca rezultat avem

care, conform definiției din (59), înseamnă stabilitate uniformă conform datelor inițiale.

Teorema. Să fie schema de diferență cu două straturi A h y = j este uniform stabil în raport cu datele inițiale și este astfel încât dacă două soluții de diferență A h y k = jk sunt egale pe un anumit strat, adică , atunci stratul următor satisface relația

Unde o= const. Apoi, schema de diferențe este stabilă în partea dreaptă.

Dovada. Pe langa solutie y Să considerăm soluția corespunzătoare laturii drepte perturbate. În cele ce urmează vom presupune că . Acest lucru poate fi presupus, deoarece Se studiază stabilitatea pe partea dreaptă.

1. În sistemul de coordonate xOt construiți o grilă dreptunghiulară cu trepte h de-a lungul axei Oh iar cu pasul τ de-a lungul axei Ot:

o) x i =ih, i= eu n , n=L/h;

b) t k =kτ, k= eum , m=T/τ;

V) Şi i , k = u(x i ,t k) = u(ih,kτ).

2. Calculați valorile funcției u(x i , t k) la nodurile situate pe linii drepte x= 0 și x=L:

3. Calculați u i ,0 =f(ih),i= 1, n .

4. Folosind (1.16) sau (1.23), găsim o soluție pentru toate nodurile interne: u i , k + n , i= eun -l, k= 0, m -l.

1.3. Rezolvarea unei probleme mixte pentru ecuația undelor folosind metoda grilei

1.3.1. Enunțarea problemei. Algoritmul metodei

Să luăm în considerare o problemă mixtă (adică sunt date condiții inițiale și de limită) pentru ecuația de undă

în zonă D=(0≤x≤ L, 0≤t≤T) cu condiții inițiale

și condițiile de limită

Vom presupune că f(x),g(x) sunt funcții destul de bune, iar condițiile de potrivire sunt îndeplinite în două colțuri ale regiunii D(x=0, t=0), (x=L, t=0), asigurând existența și unicitatea soluției u(x, t).

Pentru a discretiza problema inițială, construim în domeniu

grilă dreptunghiulară

Unde h – grila pas în direcție X, τ – pasul grilei în direcție t,

Folosind diferențele centrale de ordinul doi (1.10) pentru a aproxima derivatele parțiale, pentru fiecare nod al grilei interne obținem un sistem de ecuații ale diferențelor

care aproximează ecuația de undă (1.24) la nodul ( X i , t k) cu eroare O(h 2 + τ 2).

Aici u i , k– valoarea aproximativă a funcției Şi(X,t) la nod ( x i ,t k).

Presupunând λ = aτ/ h, obținem o schemă de diferențe cu trei straturi:

Schema (1.28) se numește trei straturi deoarece conectează valorile u i , k funcții Şi(X,t) pe trei straturi de timp cu numere ( k-l), k, (k+1).

Schema de diferențe (1.28) corespunde unui model „în cruce” cu trei straturi în cinci puncte (Fig. 1.2).

Schema (1.28) conectează valorile u i , k =u(ih, kτ) pe trei straturi în timp și pentru a merge la nivelul ( k+1), trebuie să știi cum u i , k, deci u i , k-1, care este o consecință a faptului că ecuația diferențială (1.24) conține o derivată a doua în raport cu timpul. Rezolvarea numerică a problemei (1.24) – (1.26) constă în calcularea unor valori aproximative u i , k solutii u(X, t) în noduri ( X i ,t) la i = 1, n , k=1, m . Schema de calcul conform (1.28) este explicită, permite calcularea aproximativă a valorilor funcției la noduri (; k+1)-al-lea strat pe baza valorilor sale cunoscute pe cele două straturi anterioare. Pe primele două straturi, valorile funcției sunt determinate din condițiile inițiale (1.25). Noi credem

Pentru derivata în timp folosim aproximarea (1.5)

Ordinea de aproximare (1.30) este egală cu DESPRE(τ).

Rețineți că (1.29), (1.31) oferă soluții pentru primele două linii: k=0, k=1. Înlocuind k= 1 în (1.28), obținem:

Toți termenii din partea dreaptă a ecuației (1.32) includ valorile Şi i , k numai din primele două rânduri ale grilei; dar toate aceste valori sunt cunoscute din condițiile inițiale.

După aceea, cunoașterea soluțiilor Şi i ,1 ,Şi i,2, putem folosi (1.28) pentru a calcula valorile funcției Şi i , k pe al treilea strat de timp, al patrulea etc.

Schema de calcul (1.28) – (1.31) descrisă mai sus aproximează problema (1.24) – (1.26) cu o precizie DESPRE(τ+ h 2). Ordinea scăzută de aproximare în raport cu τ este explicată prin utilizarea unei aproximări prea grosiere pentru derivată în raport cu t în formula (1.30).

Să luăm acum în considerare problemele de convergență și stabilitate. Fără a prezenta dovezi aici, ne vom limita la formularea rezultatelor finale. Schema de calcul va fi stabilă dacă este îndeplinită condiția Courant

Aceasta înseamnă că atunci când (1.33) este satisfăcută, erorile mici care apar, de exemplu, în timpul calculelor pe primul strat, nu vor crește la infinit la trecerea la fiecare nou strat de timp. Când condiția Courant este îndeplinită, schema de diferențe (1.28) are convergență uniformă, adică atunci când h→0 iar τ→0 soluția problemei diferențelor (1.28) – (1.31) tinde uniform către rezolvarea problemei inițiale (1.24) – (1.26).

Condiția (1.33) este suficientă pentru convergență, dar nu este necesară. Cu alte cuvinte, există ecuații și valori ale intervalului pentru care (1.33) nu este valabil, dar rezultatul corect se obține totuși. Ideea este că atunci convergența nu poate fi garantată. În cazul general, desigur, este de dorit să se asigure convergența cu siguranță și, prin urmare, cerința ca condiția (1.33) să fie îndeplinită este obligatorie.

Astfel, odată ce dimensiunea pasului este selectată h in directie X, atunci există o limitare a mărimii pasului de timp τ. O trăsătură distinctivă a tuturor metodelor explicite este că atunci când le folosesc, trebuie respectată o anumită condiție precum (1.33), asigurând convergența și stabilitatea metodei.

Secțiunea Nr. 10. Rezolvarea numerică a ecuațiilor cu diferențe parțiale

Scheme de diferențe pentru ecuații de tip eliptic
Diverse probleme de valoare la limită și aproximarea condițiilor la limită
Construirea unei scheme de diferențe în cazul problemei Dirichlet pentru ecuația Poisson
Metoda de baleiaj a matricei
Metodă iterativă pentru rezolvarea unei scheme de diferențe pentru problema Dirichlet
Ecuație de tip parabolic. Metode explicite și implicite cu diferențe finite
Metode de măturare pentru ecuații parabolice
Index de subiect

Scheme de diferențe. Concepte de bază

Fie D o anumită zonă de schimbare a variabilelor independente x, y, limitată de un contur. Ei spun că în domeniul D există o ecuație diferențială liniară de ordinul doi pentru funcția U(x, y), dacă pentru orice punct din domeniul D este valabilă următoarea relație:

			∂2U				∂2U		∂2U
			∂x2						∂x2
						G(x, y)U = f(x, y),

unde a(x, y), b(x, y), . . . - coeficienți, f(x, y) - termen liber al ecuației. Aceste funcții sunt cunoscute și sunt considerate de obicei definite în regiunea închisă D = D +.

Graficul soluției reprezintă o suprafață în spațiul Oxyz.

Înapoi Primul Anterior Următorul Ultimul Mergeți la Index

Să notăm δ(x, y) = b2 − ac. Ecuația L(U) = f se numește eliptică, parabolică sau

hiperbolic în D dacă condițiile δ(x, y) sunt îndeplinite în mod corespunzător< 0, δ(x, y) = 0, δ(x, y) >0 pentru

toate (x, y) D.

În funcție de tipul de ecuație diferențială, valorile la limită inițiale sunt setate diferit

(10.1):

Ecuația lui Poisson (ecuația de tip eliptică)

∂2U ∂2U

∂x 2 + ∂y 2 = f(x, y)

Înapoi Primul Anterior Următorul Ultimul Mergeți la Index

Ecuația căldurii (ecuația de tip parabolic)

∂U = ∂ 2 U + f(x, t) ∂t ∂x2

Ecuație de undă (ecuație de tip hiperbolic)

∂2U ∂2U

∂x 2 + ∂y 2 = f(x, y)

Convergența, aproximarea și stabilitatea schemelor de diferențe

Fie U o soluție a ecuației diferențiale

dat în D. Se consideră o anumită mulţime Dh = (Mh) formată din puncte izolate Mh aparţinând regiunii închise D = D +. Numărul de puncte din Dh va fi caracterizat de valoarea h; cu cât h este mai mic, cu atât este mai mare numărul de puncte în Dh. Mulțimea Dh se numește grilă, iar punctele Mh Dh sunt numite noduri de grilă. O funcție definită la noduri se numește funcție grilă. Să notăm cu U spațiul funcțiilor V (x, y) continue în D. Fie Uh spațiul format din mulțimea de funcții grilă Vh (x, y) definite pe Dh. În metoda grilei, spațiul U este înlocuit cu spațiul Uh.

Fie U(x, y) o soluție exactă a ecuației ((10.2)) și U(x, y) aparține lui U. Să ne punem problema găsirii valorilor lui Uh (x, y). Aceste valori formează împreună un tabel în care numărul de valori

Înapoi Primul Anterior Următorul Ultimul Mergeți la Index

egal cu numărul de puncte din Dh. Rareori se poate rezolva o problemă pusă cu precizie. De regulă, este posibil să se calculeze unele valori ale grilei U(h) în raport cu care se poate presupune că

U(h) ≈ Uh (x, y).

Mărimile U(h) se numesc valori de grilă aproximative ale soluției U(x, y). Pentru a le calcula, construim un sistem de ecuații numerice, pe care le vom scrie sub forma

Lh (U(h) ) = fh ,

există un operator de diferență,

corespunzător operatorului

este format din F la fel ca U

s-a format conform U. Vom numi formula (10.3) diferenţa

sistem. Fie introduse normele k · kU h și k · kF h în spațiile liniare Uh și respectiv Fh, care sunt analogi de grilă ai normelor k · kU și k · kF în spațiile originale. Vom spune că schema de diferențe (10.3) este convergentă dacă condiția este îndeplinită ca h → 0

kUh (x, y) − Uh kU h → 0.

Dacă condiția este îndeplinită

kUh (x, y) − Uh kU h 6 chs ,

unde c este o constantă independentă de h și s > 0, atunci spunem că există convergență cu o viteză de ordinul lui s relativ la h.

Ei spun că schema de diferențe (10.3) aproximează problema (10.2) pe soluția U(x, y) dacă

Lh (Uh (x, y)) = f(h) + δf(h) și	δf(h) F h → 0 ca h → 0.

Înapoi Primul Anterior Următorul Ultimul Mergeți la Index

Mărimea δf(h) se numește eroare de aproximare sau rezidual al schemei de diferențe. Dacă

δf (h) F h 6 Mh σ , unde M este o constantă independentă de h și σ > 0, atunci spunem că o schemă de diferențe ( 10.3 ) pe soluția U(x, y) cu o eroare de ordinul lui σ relativ la h.

Schema de diferențe (3) se numește stabilă dacă există h0 > 0 astfel încât pentru toate h< h0 и любых f(h) Fh выполняются условия

	Schema diferențelor (10.3) are o soluție unică;
	U (h) U h			f(h) F h , unde M este o constantă independentă de h și f(h) .

Cu alte cuvinte, o schemă de diferențe este stabilă dacă soluția sa depinde continuu de datele de intrare. Stabilitatea caracterizează sensibilitatea schemei la diferite tipuri de erori este o proprietate internă a problemei diferențelor și această proprietate nu este direct legată de problema diferențială inițială, spre deosebire de convergență și aproximare. Există o legătură între conceptele de convergență, aproximare și stabilitate. Constă în faptul că din aproximare și stabilitate rezultă convergența.

Teorema 1 Lasă schema diferențelor L h (U h (x, y)) = f (h) aproximează problema L(U) = f pe soluția U(x, y) cu ordinul s relativ la h și durabil. Atunci această schemă va converge, iar ordinea convergenței sale va coincide cu ordinea aproximării, adică. ar fi o evaluare corectă

Uh (x, y) − Uh U h 6 khs ,

unde k este o constantă independentă de h.

Dovada . Prin definiția aproximării avem

(h) F h 6 M(Chs) = Khs,

unde K = MC. Astfel, se stabilește estimarea (10.4) și se demonstrează teorema. De obicei, aplicarea metodei grilei este după cum urmează:

1. În primul rând, este specificată regula de selecție a grilei, adică. este indicată o metodă pentru înlocuirea zonei D și a conturului D cu o zonă de plasă. Cel mai adesea, grila este aleasă să fie dreptunghiulară și uniformă.

2. Apoi sunt specificate și construite una sau mai multe scheme de diferențe. Se verifică condiția de aproximare și se stabilește ordinea acesteia.

3. Se dovedeşte stabilitatea schemelor de diferenţe construite. Aceasta este una dintre cele mai importante și dificile probleme. Dacă schema de diferențe are aproximare și stabilitate, atunci convergența este judecată de teorema dovedită.

4. Este luată în considerare problema soluției numerice a schemelor de diferențe.

ÎN În cazul schemelor de diferențe liniare, acesta va fi un sistem de ecuații algebrice liniare. Ordinea unor astfel de sisteme poate fi mare.

Înapoi Primul Anterior Următorul Ultimul Mergeți la Index

Schema de diferențe

Schema de diferențe- acesta este un sistem finit de ecuații algebrice, pus în corespondență cu o problemă diferențială care conține o ecuație diferențială și condiții suplimentare (de exemplu, condiții la limită și/sau distribuție inițială). Astfel, schemele de diferențe sunt folosite pentru a reduce o problemă diferențială, care are o natură continuă, la un sistem finit de ecuații, a cărui soluție numerică este în principiu posibilă pe computere. Ecuațiile algebrice puse în corespondență cu o ecuație diferențială se obțin folosind metoda diferențelor, care distinge teoria schemelor diferențiale de alte metode numerice de rezolvare a problemelor diferențiale (de exemplu, metode de proiecție, precum metoda Galerkin).

Rezolvarea schemei de diferențe se numește soluție aproximativă a problemei diferențiale.

Deși definiția formală nu impune restricții semnificative asupra tipului de ecuații algebrice, în practică are sens să se ia în considerare doar acele scheme care corespund într-un fel problemei diferențiale. Concepte importante în teoria schemelor diferențelor sunt conceptele de convergență, aproximare, stabilitate și conservatorism.

Apropiere

Ei spun că un operator diferențial definit pe funcții definite în domeniu este aproximat pe o anumită clasă de funcții de un operator cu diferențe finite definit pe funcții definite pe o plasă în funcție de pasul dacă

Se spune că o aproximare este de ordin dacă

unde este o constantă care depinde de o anumită funcție, dar nu depinde de pas. Norma folosită mai sus poate fi diferită, iar conceptul de aproximare depinde de alegerea sa. Analogul discret al normei de continuitate uniformă este adesea folosit:

uneori se folosesc analogi discreti ai normelor integrale.

Exemplu. Aproximarea operatorului printr-un operator cu diferențe finite

pe un interval limitat are ordinul doi pe clasa funcțiilor netede.

O problemă cu diferențe finite aproximează o problemă diferențială, iar aproximarea are ordine , dacă atât ecuația diferențială în sine, cât și condițiile la limită (și inițiale) sunt aproximate prin operatorii corespunzători de diferență finită, iar aproximările au ordin .

Starea Courant

Condiție Courant (în literatura de limbă engleză engleză. Starea Courant-Friedrichs-Levy , CFL) - viteza de propagare a perturbațiilor într-o problemă de diferență nu trebuie să fie mai mică decât într-una diferențială. Dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci rezultatul schemei de diferențe poate să nu țină să rezolve ecuația diferențială. Cu alte cuvinte, într-un singur pas de timp, particula nu ar trebui să „trece” prin mai mult de o celulă.

În cazul schemelor ai căror coeficienți nu depind de soluția ecuației diferențiale, din stabilitate rezultă condiția Courant.

Scheme pe rețele offset

În aceste scheme, grilele pe care este dat rezultatul și datele sunt compensate unele față de altele. De exemplu, punctele de rezultat sunt la jumătatea distanței dintre punctele de date. În unele cazuri, acest lucru permite utilizarea unor condiții la limită mai simple.

Vezi de asemenea

Legături

• „Scheme de diferențe” - capitol din wikibooks cu tema „Scheme de diferențe pentru ecuații hiperbolice”
• Demyanov A. Yu., Cijikov D. V. Schema de diferențe monotone hibride implicite de ordinul doi de precizie
• V. S. Ryabenkiy, A. F. Filippov. Despre stabilitatea ecuațiilor diferențelor. - M.: Gostekhizdat, 1956.
• S. K. Godunov, V. S. Ryabenky. Introducere în teoria schemelor diferențelor. - M.: Fizmatgiz, 1962.
• K. I. Babenko. Fundamentele analizei numerice. - M.: Știință, 1986.
• Berezin I.S., Zhidkov N.P. Metode de calcul, - Orice ediție.
• Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobelkov G.M. Metode numerice, - Orice ediție.
• G. I. Marchuk. Metode de matematică computațională. - M.: Știință, 1977.

Note

Fundația Wikimedia.

2010.

Vedeți ce este o „schemă de diferențe” în alte dicționare: Un sistem de ecuații diferențiale care aproximează ecuația diferențială și condițiile suplimentare (inițiale, de limită etc.). Aproximarea problemei diferențiale inițiale R. s. aceasta este una dintre modalitățile de aproximare a discretizării problemei inițiale...

Enciclopedie matematică diferență schema cu elemente finite

- metoda elementelor finite - [A.S. Dicționar energetic englez-rus. 2006] Subiecte energie în general Sinonime metoda elementului finit EN programul diferențelor de volum finit...

O schemă de diferențe este un sistem finit de ecuații algebrice, pus în corespondență cu orice problemă diferențială care conține o ecuație diferențială și condiții suplimentare (de exemplu, condiții la limită și/sau inițiale ... ... Wikipedia schema de calcul cu diferențe finite bazată pe volume de control Ghidul tehnic al traducătorului

Contur: document grafic; prezentare, imagine, prezentare a ceva în termenii cei mai generali, simplificată (de exemplu, o diagramă a unui raport); un dispozitiv electronic care conține multe componente (circuit integrat). Document grafic... ... Wikipedia

O schemă de diferențe construită pe baza unei probleme variaționale corespunzătoare unei probleme de valoare la limită pentru o ecuație diferențială. Ideea principală a construirii lui R. v. Cu. este că cu o alegere specială de funcții de coordonate în metoda Ritz... ... Un sistem de ecuații diferențiale care aproximează ecuația diferențială și condițiile suplimentare (inițiale, de limită etc.). Aproximarea problemei diferențiale inițiale R. s. aceasta este una dintre modalitățile de aproximare a discretizării problemei inițiale...

Metode numerice de rezolvare a metodelor de rezolvare a ecuațiilor giierbolpch. tip bazat pe algoritmi de calcul. Diverse matematice modelele conduc în multe cazuri la ecuații diferențiale hiperbolice. tip. Astfel de ecuații au aialit exact... ... Un sistem de ecuații diferențiale care aproximează ecuația diferențială și condițiile suplimentare (inițiale, de limită etc.). Aproximarea problemei diferențiale inițiale R. s. aceasta este una dintre modalitățile de aproximare a discretizării problemei inițiale...

O ramură a matematicii computaționale care studiază metode de rezolvare aproximativă a ecuațiilor diferențiale prin înlocuirea lor cu ecuații cu diferențe finite (scheme de diferențe). R.s. t. studiază metode de construire a schemelor de diferențe,... ... Un sistem de ecuații diferențiale care aproximează ecuația diferențială și condițiile suplimentare (inițiale, de limită etc.). Aproximarea problemei diferențiale inițiale R. s. aceasta este una dintre modalitățile de aproximare a discretizării problemei inițiale...

Metodele numerice de rezolvare a ecuațiilor cu diferențe parțiale sunt metode de rezolvare aproximativă, în urma cărora soluția problemei este reprezentată printr-un tabel de numere. Soluții exacte (sub formă de formule explicite, serii etc.) K.Z. poate fi construit doar în rare... Un sistem de ecuații diferențiale care aproximează ecuația diferențială și condițiile suplimentare (inițiale, de limită etc.). Aproximarea problemei diferențiale inițiale R. s. aceasta este una dintre modalitățile de aproximare a discretizării problemei inițiale...

Metode de rezolvare a problemelor de dinamică a gazelor bazate pe algoritmi de calcul. Să luăm în considerare principalele aspecte ale teoriei metodelor numerice de rezolvare a problemelor de dinamică a gazelor, scriind ecuațiile de dinamică a gazelor sub formă de legi de conservare în inerțiale... ... Enciclopedie matematică e-carte