2 definiția integralei nedefinite și proprietățile acesteia. Cele mai simple proprietăți ale integralelor. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul

În acest articol vom enumera principalele proprietăți ale integralei definite. Cele mai multe dintre aceste proprietăți sunt dovedite pe baza conceptelor de integrală definită Riemann și Darboux.

Calculul integralei definite se face foarte des folosind primele cinci proprietăți, așa că ne vom referi la ele atunci când este necesar. Proprietățile rămase ale integralei definite sunt utilizate în principal pentru a evalua diferite expresii.

Înainte de a trece mai departe proprietățile de bază ale integralei definite, să fim de acord că a nu depășește b.

Pentru funcția y = f(x) definită la x = a, egalitatea este adevărată.

Adică, valoarea unei integrale definite cu aceleași limite de integrare este egală cu zero. Această proprietate este o consecință a definiției integralei Riemann, deoarece în acest caz fiecare sumă integrală pentru orice partiție a intervalului și orice alegere de puncte este egală cu zero, deoarece, prin urmare, limita sumelor integrale este zero.

Pentru o funcție integrabilă pe un interval, .

Cu alte cuvinte, atunci când limitele superioare și inferioare ale integrării își schimbă locurile, valoarea integralei definite se schimbă la opus. Această proprietate a unei integrale definite rezultă și din conceptul de integrală Riemann, doar numerotarea partiției segmentului ar trebui să înceapă din punctul x = b.

pentru funcții integrabile pe un interval y = f(x) și y = g(x) .

Dovada.

Să notăm suma integrală a funcției pentru o anumită partiție a unui segment și o anumită alegere de puncte:

unde și sunt sumele integrale ale funcțiilor y = f(x) și respectiv y = g(x) pentru o partiție dată a segmentului.

Mergând la limită la obținem că, prin definiția integralei Riemann, este echivalentă cu afirmația proprietății care se dovedește.

Factorul constant poate fi scos din semnul integralei definite. Adică, pentru o funcție y = f(x) integrabilă pe un interval și un număr arbitrar k, este valabilă următoarea egalitate: .

Dovada acestei proprietăți a integralei definite este absolut similară cu cea anterioară:


Fie funcția y = f(x) integrabilă pe intervalul X și si apoi .

Această proprietate este valabilă atât pentru , cât și pentru .

Demonstrarea poate fi efectuată pe baza proprietăților anterioare ale integralei definite.

Dacă o funcție este integrabilă pe un interval, atunci este integrabilă pe orice interval intern.

Dovada se bazează pe proprietatea sumelor Darboux: dacă se adaugă puncte noi la o partiție existentă a unui segment, atunci suma Darboux inferioară nu va scădea, iar cea superioară nu va crește.

Dacă funcția y = f(x) este integrabilă pe interval și pentru orice valoare a argumentului, atunci .

Această proprietate este dovedită prin definiția integralei Riemann: orice sumă integrală pentru orice alegere de puncte de partiție a segmentului și puncte la va fi nenegativă (nu pozitivă).

Consecinţă.

Pentru funcțiile y = f(x) și y = g(x) integrabile pe un interval, sunt valabile următoarele inegalități:


Această afirmație înseamnă că integrarea inegalităților este permisă. Vom folosi acest corolar pentru a demonstra următoarele proprietăți.

Fie funcția y = f(x) integrabilă pe intervalul , atunci inegalitatea este valabilă .

Dovada.

Este evident că . În proprietatea anterioară, am aflat că inegalitatea poate fi integrată termen cu termen, prin urmare, este adevărat . Această dublă inegalitate poate fi scrisă ca .

Fie ca funcțiile y = f(x) și y = g(x) să fie integrabile pe interval și pentru orice valoare a argumentului , atunci , Unde Şi .

Dovada se realizează în mod similar. Deoarece m și M sunt cele mai mici și mai mari valori ale funcției y = f(x) pe segment, atunci . Înmulțirea inegalității duble cu o funcție nenegativă y = g(x) ne conduce la următoarea inegalitate dublă. Integrându-l pe intervalul , ajungem la afirmația care se dovedește.

Formulele de integrare de bază sunt obținute prin inversarea formulelor pentru derivate, prin urmare, înainte de a începe să studiați subiectul luat în considerare, trebuie să repetați formulele pentru diferențierea a 1 funcții de bază (adică, amintiți-vă tabelul derivatelor).

Când se familiarizează cu conceptul de antiderivată, definiția unei integrale nedefinite și compară operațiile de diferențiere și integrare, elevii ar trebui să acorde atenție faptului că operația de integrare este multivalorică, deoarece oferă un set infinit de antiderivate pe intervalul luat în considerare. Cu toate acestea, de fapt, problema găsirii unui singur antiderivat este rezolvată, deoarece toate antiderivatele unei funcții date diferă între ele printr-o valoare constantă

Unde C– valoarea arbitrară 2.

Întrebări de autotest.

Dați definiția unei funcții antiderivate.

Ce este o integrală nedefinită?

Ce este o funcție integrand?

Ce este un integrand?

Indicați semnificația geometrică a familiei de funcții antiderivate.

6. În familie, găsiți curba care trece prin punct

2. Proprietăţile integralei nedefinite.

TABEL INTEGRALLOR SIMPLE

Aici elevii trebuie să învețe următoarele proprietăți ale integralei nedefinite.

Proprietate 1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul functiei a 3-a (prin definitie)

Proprietate 2. Diferenţiala integralei este egală cu integrandul

aceste. dacă semnul diferențial vine înaintea semnului integral, atunci se anulează reciproc.

Proprietate 3. Dacă semnul integral vine înaintea semnului diferențial, atunci se anulează reciproc și se adaugă o valoare constantă arbitrară funcției

Proprietate 4. Diferența dintre două antiderivate cu aceeași funcție este o valoare constantă.

Proprietate 5. Factorul constant poate fi scos de sub semnul integral

Unde O– număr constant.

Apropo, această proprietate este ușor de demonstrat prin diferențierea ambelor părți ale egalității (2.4) ținând cont de proprietatea 2.

Proprietate 6. Integrala sumei (diferența) unei funcții este egală cu suma (diferența) integralelor acestor funcții (dacă acestea există separat)

Această proprietate este, de asemenea, ușor dovedită prin diferențiere.

Generalizarea naturală a proprietății 6

. (2.6)

Considerând integrarea ca acțiune inversă a diferențierii, direct din tabelul celor mai simple derivate se poate obține următorul tabel al celor mai simple integrale.

Tabelul celor mai simple integrale nedefinite

1. , unde, (2.7)

2. , unde, (2.8)

4. , unde ,, (2.10)

9. , (2.15)

10. . (2.16)

Formulele (2.7) – (2.16) ale celor mai simple integrale nedefinite trebuie învățate pe de rost. Cunoașterea lor este necesară, dar departe de a fi suficientă pentru a învăța cum să se integreze. Abilitățile susținute în integrare se obțin doar prin rezolvarea unui număr suficient de mare de probleme (de obicei aproximativ 150 - 200 de exemple de diferite tipuri).

Mai jos sunt exemple de simplificare a integralelor prin conversia lor în suma integralelor cunoscute (2.7) – (2.16) din tabelul de mai sus.

Exemplu 1.

.

Sarcina principală a calculului diferențial este de a găsi derivata f'(x) sau diferential df=f'(x)dx funcții f(x).În calculul integral se rezolvă problema inversă. Conform unei funcţii date f(x) trebuie să găsiți o astfel de funcție F(x), Ce F'(x)=f(x) sau dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx.

Astfel, sarcina principală a calculului integral este restabilirea funcției F(x) prin derivata (diferenţialul) cunoscută a acestei funcţii. Calculul integral are numeroase aplicații în geometrie, mecanică, fizică și tehnologie. Oferă o metodă generală de găsire a zonelor, volumelor, centrelor de greutate etc.

Definiţie. FuncţieF(x), , se numește antiderivată pentru funcțief(x) pe multimea X daca este diferentiabila pentru oricare siF'(x)=f(x) saudF(x)=f(x)dx.

Teorema. Orice linie continuă pe intervalul [o;b] funcţiaf(x) are o antiderivată pe acest segmentF(x).

Teorema. DacăF 1 (x) șiF 2 (x) – două antiderivate diferite cu aceeași funcțief(x) pe mulțimea x, atunci ele diferă între ele printr-un termen constant, adică.F 2 (x)=F 1x)+C, unde C este o constantă.

Integrală nedefinită, proprietățile sale.

Definiţie. TotalitateF(x)+Din toate funcţiile antiderivatef(x) pe mulțimea X se numește integrală nedefinită și se notează:

- (1)

În formula (1) f(x)dx numit expresie integrantă,f(x) – funcție integrand, x – variabilă de integrare, O C – constanta de integrare.

Să luăm în considerare proprietățile integralei nedefinite care decurg din definiția ei.

1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul, diferentiala integralei nedefinite este egala cu integrandul:

Și .

2. Integrala nedefinită a diferenţialului unei anumite funcţii este egală cu suma acestei funcţii şi a unei constante arbitrare:

3. Factorul constant a (a≠0) poate fi luat ca semn al integralei nedefinite:

4. Integrala nedefinită a sumei algebrice a unui număr finit de funcții este egală cu suma algebrică a integralelor acestor funcții:

5. DacăF(x) – antiderivată a funcțieif(x), atunci:

6 (invarianța formulelor de integrare). Orice formulă de integrare își păstrează forma dacă variabila de integrare este înlocuită cu orice funcție diferențiabilă a acestei variabile:

Undeu este o funcție diferențiabilă.

Tabelul integralelor nedefinite.

Să dăm reguli de bază pentru integrarea funcţiilor.

Să dăm tabelul integralelor nedefinite de bază.(Rețineți că aici, ca și în calculul diferențial, litera u poate fi desemnată ca o variabilă independentă (u=x), și o funcție a variabilei independente (u=tu(x)).)

(n≠-1). (a >0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|u| > |a|).(|u|< |a|).

Se numesc integralele 1 – 17 tabular.

Unele dintre formulele de mai sus din tabelul de integrale, care nu au un analog în tabelul de derivate, sunt verificate prin diferențierea părților din dreapta.

Schimbarea variabilei și integrarea pe părți în integrala nedefinită.

Integrare prin substituire (înlocuire variabilă). Să fie necesar să se calculeze integrala

, care nu este tabelar. Esența metodei substituției este aceea că în integrală variabila Xînlocuiți cu o variabilă t conform formulei x=φ(t), unde dx=φ’(t)dt.

Teorema. Lasă funcțiax=φ(t) este definită și diferențiabilă pe o anumită mulțime T și fie X mulțimea de valori ale acestei funcție pe care este definită funcțiaf(x). Atunci dacă pe setul X funcțiaf(

Aceste proprietăți sunt folosite pentru a transforma integrala pentru a o reduce la una dintre integralele elementare și pentru a efectua un calcul suplimentar.

1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul:

2. Diferenţiala integralei nedefinite este egală cu integrandul:

3. Integrala nedefinită a diferenţialului unei anumite funcţii este egală cu suma acestei funcţii şi a unei constante arbitrare:

4. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:

Mai mult, a ≠ 0

5. Integrala sumei (diferența) este egală cu suma (diferența) integralelor:

6. Proprietatea este o combinație de proprietăți 4 și 5:

Mai mult, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Proprietatea de invarianță a integralei nedefinite:

Dacă, atunci

8. Proprietate:

Dacă, atunci

De fapt, această proprietate este un caz special de integrare folosind metoda schimbării variabilei, care este discutată mai detaliat în secțiunea următoare.

Să ne uităm la un exemplu:

Mai întâi am aplicat proprietatea 5, apoi proprietatea 4, apoi am folosit tabelul de antiderivate și am obținut rezultatul.

Algoritmul calculatorului nostru integral online acceptă toate proprietățile enumerate mai sus și va găsi cu ușurință o soluție detaliată pentru integrala dvs.

engleză: Wikipedia face site-ul mai sigur. Utilizați un browser web vechi care nu se va putea conecta la Wikipedia în viitor. Actualizați-vă dispozitivul sau contactați administratorul IT.

中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器，这在将来无在将来无法癴秴无法迴无法迴无注旧的浏览器以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。

spaniola: Wikipedia face el sitio mai sigur. Utilizați un browser web care nu va fi capabil să se conecteze la Wikipedia în viitor. Actualice su dispozitiv sau contact a su administrator informático. Mai jos există o actualizare mai lungă și mai tehnică în engleză.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

franceză: Wikipédia va bientôt augmenter la securité de son site. Utilizați în prezent un navigator web ancien, care ne pourra plus se connecter à Wikipédia atunci când va fi făcut. Vă rugăm să puneți în ziua dvs. aparatul sau să contactați administratorul informatic al acestui fin. Informațiile suplimentare plus techniques et en anglais sunt disponibile ci-dessous.

日本語: ????す るか情報は以下に英語で提供しています。

German: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

Italiano: Wikipedia va face mai mult pe site. Stay using an browser web che non will will in grado di connettersi a Wikipedia in viitor. Per favore, actualizați dispozitivul sau contactați administratorul informatic. Più in basso è disponibil un aggiornamento più dettagliato e tecnico în engleză.

maghiar: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Svenska: Wikipedia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Uppdatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Înlăturăm suportul pentru versiunile de protocol TLS nesigure, în special TLSv1.0 și TLSv1.1, pe care software-ul browserului se bazează pentru a se conecta la site-urile noastre. Acest lucru este cauzat de obicei de browsere învechite sau de smartphone-uri Android mai vechi. Sau ar putea fi interferența din partea software-ului „Web Security” corporativ sau personal, care de fapt scade securitatea conexiunii.

Trebuie să vă actualizați browserul web sau să remediați în alt mod această problemă pentru a accesa site-urile noastre. Acest mesaj va rămâne până la 1 ianuarie 2020. După această dată, browserul dvs. nu va putea stabili o conexiune la serverele noastre.