Modelul procesului stocastic. Modele stocastice minimax Model stocastic matematic

Caracteristicile modelării stocastice.

Caracteristicile modului stocastic: modelarea stocastică – modelarea influențelor aleatoare.

Modelare Stochastică (SM) - m modelarea proceselor aleatoare și a evenimentelor aleatoare.

Esența SM– repetarea repetată a experimentelor model pentru a obține statistici despre proprietățile sistemului, obținerea de date despre proprietățile evenimentelor și cantităților aleatoare.

Ţintă– ca urmare a SM pentru parametrii obiectelor ar trebui să se obțină o estimare a valorii așteptate, a legii de dispersie și distribuție a variabilei aleatoare.

Conceptul de eveniment aleator și variabilă aleatoare.

Eveniment aleatoriu este orice fapt care se poate întâmpla sau nu ca urmare a experienței. Evenimentele aleatoare pot fi: Fiabile (un eveniment care are loc în fiecare experiment). Imposibil (un eveniment care nu se poate întâmpla ca urmare a experienței).

Se numește aleatoriu o mărime numerică care capătă o valoare sau alta ca urmare a implementării unui experiment variabilă aleatoare .

Caracteristicile variabilelor aleatoare și ale evenimentelor aleatoare.

Caracteristicile unui eveniment aleatoriu:

Frecvența de apariție a unui eveniment este probabilitatea de apariție a unui anumit eveniment, având în vedere un număr nelimitat de experimente.

Caracteristicile unei variabile aleatoare:

Așteptarea matematică este un număr în jurul căruia sunt concentrate valorile unei variabile aleatorii.

Varianta unei variabile aleatoare caracterizează măsura răspândirii unei variabile aleatoare în jurul așteptărilor sale matematice.

Densitățile distribuției de probabilitate sunt tipul de funcție care este determinat de legea distribuției variabilelor aleatoare.

Simularea evenimentelor aleatorii.

Date inițiale:

Probabilitatea evenimentului Pa;

Este necesar să se construiască un model al unui eveniment A care are loc cu probabilitatea Pa.

Algoritm de simulare:

Se folosește un senzor de numere aleatoare cu o lege de distribuție uniformă de la 0 la 1:

Randomize(RND)  x i . 0<=x i <=1

Dacă Xi este mulțumit<=Pa то событие A произошло. В противном случае произошло событие не A.

Simularea unui grup complet de evenimente aleatoare.

Un grup de evenimente incompatibile este numit complet dacă în timpul testării este sigur că va avea loc un singur eveniment (algoritm).

Exemple de modele stocastice.

Modele pentru prezicerea schimbării starea autostrăzii întreprinderilor.

Literatură: , .

3. Modelare prin simulare

Conceptul de modelare prin simulare.

Esența IM este un experiment pe computer - studierea proprietăților unui obiect prin experimentarea cu modelul său computerizat.

Relevanța modelării prin simulare.

1) modelarea sistemelor complexe (când este imposibil să se utilizeze obiectul analitic)

2) modelarea acțiunii factorilor aleatori (necesită repetiții multiple)

3) lipsa unui model matematic (la studierea fenomenelor necunoscute).

4) nevoia de a obține rezultate până la o anumită dată (cel mai probabil motivul cel mai important)

Exemple de probleme de simulare: modele de sisteme de așteptare, modele de evenimente aleatoare, automate celulare, modele de sisteme complexe etc.

1. Modele de sisteme de aşteptare

Schema SMO

Scopul CFR: determinarea parametrilor optimi de sistem

Exemplu: coadă la supermarket

Solicitările de servicii pot fi primite cu prioritate mai mare. Exemplu: benzinarie (ambulanta, politie).

2. Modele de evenimente aleatoare

Aleatoriu apelează la un eveniment care poate sau nu să apară în urma testului. O caracteristică cuprinzătoare a unui eveniment aleatoriu este probabilitatea apariției acestuia. Exemple: volumele de produse produse de întreprindere în fiecare zi; cotații valutare la casele de schimb valutar; intervalul de timp înainte de apariția următorului client, durata întreținerii vehiculului.

3. Automate celulare

Automat celular- un sistem care este o colecție de celule identice. Toate celulele formează așa-numita rețea de automate celulare. Fiecare celulă este o mașină cu stări finite ale cărei stări sunt determinate de stările celulelor învecinate și de propria sa stare. Pentru prima dată, ideea unor astfel de automate a fost remarcată în lucrările lui Neumann în anii 1940.

Exemplu: jocul „Viața”. A fost în 1970 de John Conway.

Modele continuu stocastice (Q-scheme)

Vom lua în considerare particularitatea modelului continuu stocastic folosind exemplul sistemelor de așteptare (QS) ca modele matematice standard. În acest caz, sistemul utilizat este formalizat ca un fel de sistem de servicii. Caracteristica unor astfel de obiecte este aleatoriu apariția cerințelor (aplicațiilor) pentru service și finalizarea serviciului în momente aleatorii. Aceste. Natura funcționării dispozitivelor este stocastică.

Concepte de bază ale teoriei cozilor.

În orice act elementar de serviciu, se pot distinge două componente principale:

1) În așteptarea service-ului

2) De fapt, serviciu

Câteva tipuri de întreținere a unor echipamente:

OA – dispozitiv de service

K – canal

Dispozitivul de service (i-th) va consta din:

Fluxul evenimentelor este o succesiune de evenimente care au loc unul după altul în anumite momente aleatorii în timp.

Fluxul de evenimente este numit omogen , dacă se caracterizează doar prin momentele de sosire a acestor evenimente (momente cauzatoare) și se specifică prin succesiunea temporală: ,

Fluxul este numit eterogen , dacă este dată de următoarea mulțime, unde t n este momentul declanșator, f n este un set de atribute de eveniment (prezența priorității, aparținând unuia sau altui tip de aplicație).

Dacă intervalul de timp dintre mesaje sunt variabile aleatoare independente, atunci un astfel de flux se numește flux cu limitat efect secundar.

Fluxul de evenimente este numit comun , dacă probabilitatea ca mai mult de un eveniment să apară într-un interval mic de timp adiacent timpului t este neglijabil de mică în comparație cu probabilitatea ca exact un eveniment să se producă în același interval.

Fluxul este numit staţionar , dacă probabilitatea apariției unui anumit număr de evenimente într-un anumit interval de timp depinde numai de lungimea intervalului și nu depinde de locul în care este luată această secțiune pe axa timpului.

Pentru un flux obișnuit, numărul mediu de mesaje care sosesc în secțiunea adiacentă unui anumit moment în timp t va fi egal cu .

Atunci numărul mediu de mesaje care apar în perioada de timp va fi: - intensitatea fluxului obișnuit .

Pentru staţionar flux - intensitatea sa nu depinde de timp și este o valoare constantă egală cu numărul mediu de evenimente care au loc pe unitatea de timp.

Fluxul aplicațiilor (), adică intervale de timp dintre momentele aplicațiilor care apar la intrarea canalului (acesta este un subset de variabile necontrolabile)

Fluxul de servicii () - adică intervalele de timp dintre începutul și sfârșitul cererilor de service aparțin subsetului de cereri gestionate.

Solicitările deservite de canal sau solicitările care au lăsat dispozitivul neservit formează fluxul de ieșire. Procesul de funcționare al i-lea dispozitiv poate fi reprezentat ca un proces de modificare a stărilor elementelor sale în timp.

Tranziția la o nouă stare pentru dispozitivul i-lea înseamnă o modificare a numărului de solicitări care sunt în stocare sau canal:

Unde - starea unității , dacă este = 0, atunci unitatea este goală (fără solicitări), dacă numărul de solicitări se potrivește cu capacitatea de stocare, atunci unitatea este plină; - starea canalului (0 – liber sau 1 – ocupat).

În practica de modelare, circuitele Q elementare sunt de obicei combinate, iar dacă canalele diferitelor dispozitive de serviciu sunt conectate în paralel, atunci serviciu multicanal . Și dacă secvenţial - serviciu în mai multe faze . Astfel, pentru a specifica o schemă Q, este necesar să se folosească operatorul de conjugare R, care reflectă relația dintre elementele structurii. Varia deschideŞi închis Scheme Q.

Deschide – fluxul de ieșire al cererilor nu poate ajunge la niciun element, adică nici un feedback

Închis – există feedback.

Parametrii interni ai schemei Q vor fi:

• numărul de faze
• numărul de canale în fiecare fază
• numărul de dispozitive de stocare din fiecare fază
• capacitatea de stocare.

În funcție de capacitatea unității, următoarea terminologie este utilizată în teoria coadă: dacă capacitatea este zero (adică nu există o unitate, ci doar un canal), atunci sistem cu pierderi . Dacă capacitatea tinde spre infinit, atunci sistem de așteptare , adică coada de aplicații este nelimitată.

Sistem de tip mixt.

Pentru a defini o schemă Q, este, de asemenea, necesar să se descrie algoritmul de funcționare a acesteia, care determină un set de reguli pentru comportamentul cererilor în sistem în diferite situații. Eterogenitatea cererilor, reflectând procese într-un anumit sistem real, este luată în considerare prin introducerea claselor de prioritate.

Întregul set de algoritmi posibili pentru comportamentul cererilor în schema Q poate fi reprezentat ca un operator:

Q = (W, U, R, H, Z, A)

Unde W este un subset de fluxuri de intrare;

U este un subset al fluxului de servicii;

R - operator de conjugare a elementelor de structură;

H - subset de parametri proprii;

Z este mulţimea stărilor sistemului;

A - operator de algoritmi de comportament si deservire a solicitarilor;

Pentru a obține relațiile care leagă caracteristicile care determină funcționarea schemei Q, sunt introduse câteva ipoteze privind fluxurile de intrare, funcțiile de distribuție, durata deservirii cererilor și disciplinele de servicii.

Pentru o descriere matematică a funcționării dispozitivelor, al cărei proces de funcționare se dezvoltă într-o ordine aleatorie, pot fi folosite modele matematice pentru a descrie așa-numitele procese aleatorii Markov .

Un proces aleatoriu se numește Markov dacă are următoarea proprietate - pentru fiecare moment în timp, probabilitatea oricărei stări a sistemului în viitor (adică la un moment dat în timp) depinde numai de starea sistemului în prezent și nu depinde de când și cum a ajuns sistemul în această stare. În caz contrar, într-un proces aleatoriu Markov, dezvoltarea sa viitoare depinde doar de starea sa prezentă și nu depinde de procesul istoric.

/* în realitate, astfel de sisteme, desigur, nu există. Dar există mecanisme care ne permit să le reducem la aceste procese.*/

Pentru procesele Markov, ecuațiile Kolmogorov sunt de obicei compilate.

În general, ecuațiile lui Kolmogorov arată astfel:

unde este un vector care definește un anumit set de coeficienți inerenți sistemului

Pentru o relație staționară:

,

ceea ce face posibilă obţinerea dependenţei staţionare

Și apoi conectați caracteristicile de ieșire printr-un set de coeficienți corespunzători sistemului:

Ultima relație reprezintă dependența parametrilor de ieșire de unii parametri interni ai modelului și este numită model de bază .

Ca urmare a tuturor acestor lucruri, trebuie să găsim:

Care se va numi model de interfață .

În consecință, modelul matematic al sistemului este construit ca un set de modele de bază și de interfață, ceea ce permite ca aceleași modele de bază să fie utilizate pentru diverse sarcini de proiectare, ajustându-se la sarcina corespunzătoare prin schimbarea doar a modelului de interfață. Pentru schemele Q, modelul matematic trebuie să ofere calculul timpului de răspuns și determinarea performanței sistemului.

Exemplu: să fie un sistem S care are un set finit de stări (vom lua în considerare pentru 4 stări).

Obținem un grafic direcționat:

Densități de probabilitate pentru un set de stări.

Să găsim probabilitatea, i.e. probabilitatea ca în momentul t sistemul să fie în stare .

Să dăm t o mică creștere și să aflăm că în momentul de față sistemul va fi în stare.

Acest lucru poate fi implementat în două moduri:

Vom găsi probabilitatea primei metode ca produsul dintre probabilitatea și probabilitatea condiționată ca, fiind într-o stare, sistemul să nu se deplaseze de la ea la o stare în timp. Această probabilitate condiționată, până la valori infinitezimale de ordine superioare, va fi egală cu:

În mod similar, probabilitatea celei de-a doua metode este egală cu probabilitatea ca în momentul următor t să fie într-o stare înmulțită cu probabilitatea condiționată de tranziție la stări, adică:

=>

Am derivat ecuația lui Kolmogorov pentru prima stare.

Integrarea acestui sistem oferă probabilitățile necesare sistemului în funcție de timp. Condițiile inițiale sunt luate în funcție de starea inițială a sistemului. De exemplu, dacă la momentul t = 0, sistemul era într-o stare, atunci condiția inițială va fi .

În plus, trebuie să adăugați starea de normalizare (suma probabilităților = 1).

Ecuația Kolmogorov este construită după următoarea regulă: în partea stângă a fiecărei ecuații se află derivata probabilității unei stări, iar în partea dreaptă conține atât de mulți termeni câte săgeți sunt asociate unei stări date. Dacă săgeata este îndreptată dinspre stat, atunci membrul corespunzător are semnul „-”, către starea – „+”. Fiecare termen este egal cu produsul densității (intensității) probabilității de tranziție corespunzătoare unei săgeți date, înmulțit cu probabilitatea stării din care provine săgeata.

Lucrare de laborator nr 1.

Determinați timpul relativ mediu în care sistemul rămâne în stare limită staționară. Intensitățile tranzițiilor de la stare la stare sunt specificate sub forma unei matrice de dimensiune ≤ 10.

Raport: titlu, scop, parte teoretică și calcule.

Luați în considerare un sistem de așteptare cu mai multe canale cu defecțiuni.

Vom numerota starea sistemului după numărul de canale ocupate. Aceste. după numărul de aplicații din sistem.

Să numim statele:

Toate canalele sunt gratuite

Un canal este ocupat, restul sunt libere

K canale sunt ocupate, restul sunt libere

Toate cele n canale sunt ocupate

Graficul de stare:

Să marchem graficul, adică Să aranjam intensitățile evenimentelor corespunzătoare.

Folosind săgețile de la stânga la dreapta, sistemul transferă același flux cu intensitate.

Să determinăm intensitatea fluxurilor de evenimente care transferă sistemul de la dreapta la stânga.

Lasă sistemul să fie în . Apoi, la încheierea deservirii cererii care ocupă acest canal, sistemul se va muta la => fluxul care transferă sistemul în altă stare va avea o intensitate de tranziție m. Dacă sunt ocupate 2 canale și nu unul, atunci intensitatea tranziției va fi 2 m.

Ecuații Kolmogorov:

Limitarea probabilităților stărilor p 0Şi p n caracterizează starea staționară de funcționare a sistemului de așteptare la t® ¥.

Numărul mediu de cereri care vin în sistem în timpul mediu de deservire a unei cereri.

Cunoscând toate probabilitățile stărilor p 0 , … , p n, puteți găsi caracteristicile QS:

• probabilitatea de eșec - probabilitatea ca toate n canalele să fie ocupate

• debit relativ - probabilitatea ca cererea să fie acceptată pentru comunicare

• numărul mediu de cereri deservite pe unitatea de timp

Relațiile rezultate pot fi considerate ca un model de bază pentru evaluarea caracteristicilor de performanță a sistemului. Parametrul inclus în acest model este caracteristica medie a utilizatorului. Parametru m este o funcție a caracteristicilor tehnice ale calculatorului și a sarcinilor care se rezolvă.

Această relație poate fi stabilită folosind relații numite model de interfață. Dacă timpul de intrare/ieșire a informațiilor pentru fiecare sarcină este mic în comparație cu timpul de rezolvare a problemei, atunci este logic să presupunem că timpul de rezolvare este egal cu 1 / mși este egal cu raportul dintre numărul mediu de operații efectuate de procesor la rezolvarea unei probleme și viteza medie a procesorului.

DIY: Metoda lanțului Markov imbricat

Cerințe pentru raport: titlu, scop, scurte informații teoretice (scrieți ceea ce nu știți), exemplu, textul programului.

Procesele aleatoare non-markoviene reduse la cele markoviene.

Procesele reale au foarte adesea efecte secundare și, prin urmare, nu sunt markoviane. Uneori, atunci când se studiază astfel de procese, este posibil să se utilizeze metode dezvoltate pentru lanțurile Markov. Cele mai frecvente sunt:

1. Metoda de descompunere a unui proces aleatoriu în faze (metoda pseudo stărilor)

2. Metoda lanțului imbricat

Definiția clasică a probabilității

Model probabilistic al unui experiment cu un număr finit de rezultate. Definirea spațiului de probabilitate, algebră, evenimente. Probleme clasice de probabilitate pentru calcularea șanselor aleatoare. Numărul de rezultate elementare atunci când are loc o alegere cu/fără returnare, selecții ordonate/neordonate. Legătura cu sarcina de numărare a numărului de plasări de pelete în celule. Probleme probabilistice clasice pentru calcularea șanselor aleatoare (problema coincidențelor, câștigarea la loterie). Distribuție binomială. Distribuție multinomială. Distribuție hipergeometrică multivariată.

Probabilități condiționate. Independenţă. Așteptări matematice condiționate.

Definiția probabilitate condiționată, proprietăți. Formula probabilității totale. Formula lui Bayes, teorema lui Bayes. Determinarea independenței evenimentelor. Un exemplu este că din independența perechi a evenimentelor, în general, nu decurge independența lor. Schema Bernoulli.

Variabile aleatoare discrete și caracteristicile acestora

Distribuția unei variabile aleatoare. Proprietăți ale funcției de distribuție a unei variabile aleatoare. Definirea așteptării matematice, dispersie, covarianță și corelație, proprietăți. Cea mai bună prognoză liniară rădăcină pătrată medie a valorilor unei variabile aleatoare din valorile altei variabile aleatoare.

Teoreme limită

Schema Bernoulli. Inegalitatea lui Cebyshev, consecințe. Legea numerelor mari a lui Bernoulli. Teoreme limită (locale, Moivre-Laplace, Poisson).

Plimbare aleatorie

Probabilitățile de ruinare și durata medie într-un joc de aruncare a monedelor. Principiul reflexiei. Legea arcsinului.

Martingales

Definiţie. Exemple de martingale. Determinarea momentului opririi. Identități Wald.

Lanțuri Markov discrete. Teorema ergodica.

Definiția generală a unui proces Markov. Definiția unui lanț Markov discret. Ecuația Kolmogorov-Chapman. Lanț Markov omogen. Clasificarea stărilor unui lanț Markov (stări neesențiale, recurente, comunicante, zero, periodice, ergodice), teorema privind „solidaritatea” proprietăților lor. Lanț Markov discret indecomposabil. O condiție necesară și suficientă pentru reapariția stării unui lanț Markov discret omogen. Definiția unui lanț Markov discret ergodic. Distribuție staționară. Teoremă ergodică în cazul unui lanț Markov discret omogen.

Model probabilistic al unui experiment cu un număr infinit de evenimente. axiomatica lui Kolmogorov. Diferite tipuri de convergență a variabilelor aleatoare.

axiomatica lui Kolmogorov. Algebre și algebre sigma. Spații măsurabile (R, B(R)), (Rd, B(Rd)), (R∞, B(R∞)) și (RT, B(RT)), unde T este o mulțime arbitrară. Exemple de măsuri discrete, exemple de măsuri absolut continue. Distribuție normală multivariată. Teorema lui Kolmogorov privind continuarea măsurilor în (R∞, B(R∞)) (fără dovezi). Definirea unei variabile aleatoare și proprietățile acesteia. Funcția de distribuție și proprietățile acesteia. Construcția integralei Lebesgue. Așteptări matematice, proprietăți. Teorema privind convergența monotonă, lema lui Fatou, teorema lui Lebesgue asupra convergenței dominate (fără dovezi). O familie uniformă de variabile aleatoare integrabile, o condiție suficientă pentru integrabilitatea uniformă. Inegalitatea lui Cebyshev, Cauci-Bunyakovsky, Jensen, Lyapunov, Hölder, Minkowski. Teorema Radon-Nikodym (fără dovezi). Definirea așteptării matematice condiționate și a probabilității condiționate, proprietăți. Diferite tipuri de convergență a secvențelor de variabile aleatoare, definiții, relații între diferite tipuri de convergență, contraexemple. Borel-Cantelli Lema. Definirea funcției caracteristice, proprietăți, exemple.

Până acum, am luat în considerare modele cu topologie de rețea deterministă. Atunci când modelați un proiect complex, modelele de rețea cu o structură stocastică sunt adesea cele mai flexibile și utile. O rețea stocastică este definită ca o rețea care conține noduri (stări) alternative, cu arcuri (lucrări) caracterizate nu numai printr-o distribuție probabilistică a duratei, ci și prin probabilitatea executării lor.

Un model de rețea stocastic cu multe rezultate posibile, fiind o dezvoltare ulterioară a rețelelor tradiționale, face posibilă reflectarea mai completă a procesului de dezvoltare și creare a unui proiect complex. Aparatul matematic utilizat pentru analiza modelelor stocastice de rețea permite calcularea probabilităților diferitelor rezultate alternative și estimarea timpului posibilei lor implementări.

Un model de rețea stocastică este un grafic finit G=(W,A), unde W este un set de vârfuri deterministe și alternative identificate cu evenimente, iar matricea tehnologică A=(p ij ) specifică un set de arce orientate identificate cu locuri de muncă ( sau conexiuni). Pentru rețelele stocastice 0£ p ij £ 1, iar p ij =1 determină munca (i,j) similară cu definițiile acceptate în rețelele tradiționale și

0 < p ij < 1 соответствует альтернативному событию i, из которого с вероятностью p ij «выходит» работа (i,j). Другими словами p ij – вероятность того, что работа (i,j) будет выполнена при условии, что узел i выполнен.

Fie j(t ij) densitatea de distribuție a timpului de execuție a lucrării (i,j). M[x] – așteptarea matematică a variabilei aleatoare x.

O funcție generatoare condițională a momentelor variabilei aleatoare t ij este introdusă ca М ij (s)=М [е st ij ], i.e.

M ij (s)= ò e st ij j(t ij)dt ij (pentru o variabilă aleatoare continuă),

е st ij j(t ij) (pentru o variabilă aleatoare discretă).

În special, M ij (s)=M[e sа ] = е sа pentru t ij =a=const, M ij (0)=1.

Pentru fiecare arc (i,j) funcția Y este definită ca

Y ij (s) = p ij М ij (s).

Rețeaua originală este transformată într-una echivalentă folosind trei transformări de bază:

· arcuri succesive,

· arce paralele,

Pentru arcuri succesive (Fig. 7)

Y ik (s) = Y ij (s)Y jk (s).

Pentru arce paralele (Fig. 8)

Y ij (s) = Y a (s) +Y b (s).

Pentru bucle de formă (Fig. 9)

Y ij (s) = Y b (s)/.

Prin combinarea transformărilor de bază, orice rețea poate fi transformată într-o rețea echivalentă constând dintr-un singur arc (E-arc).

Scopul analizei temporale a unei rețele stocastice este de a calcula așteptarea și varianța timpului de execuție al rețelei (sau a oricărui fragment al acesteia) și probabilitatea finalului (sau a oricărui alt eveniment) al executării rețelei.

Aici este utilizată teoria graficelor de flux închise, unde funcția Y introdusă mai sus este interpretată ca coeficientul de transmisie a arcului corespunzător. Pentru a aplica rezultatele acestei teorii la o rețea deschisă cu parametrul dorit Y E (s), se introduce un arc suplimentar cu parametrul Y A (s), conectând evenimentul final (sink) cu cel inițial (sursă).

O ecuație topologică pentru grafice închise, cunoscută sub numele de regula lui Mason, este apoi utilizată după cum urmează:

1 – åT(L 1) + åT(L 2) – åT(L 3) +…+ (-1) m åT(L m) + … =0, (10)

unde åT(L m) este suma coeficienților de transmisie echivalentă pentru toate buclele posibile de ordinul mth.

Transmitanța echivalentă pentru o buclă de ordinul al m-lea este egală cu produsul transmitanțelor m fără legătură bucle de ordinul întâi, adică

T(L m)=Õ m k=1 Tk.

Rezultă direct din regula lui Mason că 1–Y A (s)Y E (s)=0 sau Y A (s)=1/Y E (s). Folosind acest rezultat, în ecuația topologică (10) Y A (s) este înlocuit cu 1/Y E (s) și apoi se rezolvă pentru Y E (s), obținându-se astfel o funcție Y echivalentă pentru rețeaua stocastică originală.

Deoarece Y E (s) = p E M E (s) și M E (0) = 1, atunci p E = Y E (0), ceea ce înseamnă că

M E (s) = Y E (s)/p E =Y E (s) /Y E (0). (11)

După obținerea expresiei analitice pentru M E (s), se calculează derivatele parțiale prima și a doua față de s ale funcției M E (s) în punctul s=0, adică.

m 1E =¶/¶s[M E (s)] s=0 (12)

m 2E =¶ 2 /¶s 2 [M E (s)] s=0 (13)

Primul moment m 1E relativ la origine este așteptarea matematică a timpului de execuție a rețelei (transformat în echivalentul său E-arc), iar dispersia timpului de execuție a rețelei este egală cu diferența dintre al doilea moment m 2E și pătrat. din primul, adică

s 2 = m 2E – (m 1E) 2. (14)

Astfel, aparatul descris mai sus vă permite să calculați parametrii de timp ai oricăror evenimente de interes pentru utilizator într-o rețea stocastică, precum și să determinați probabilitatea apariției acestora.

Folosind informațiile obținute, puteți utiliza inegalitatea lui Chebyshev pentru a estima probabilitatea oricăror intervale de încredere pentru timpul de finalizare a proiectului în conformitate cu legile arbitrare de distribuție a timpului pentru finalizarea operațiunilor individuale. Dacă timpul de execuție al fiecărei operații este distribuit normal, atunci timpul rezultat este de asemenea distribuit normal. În acest caz, este posibil să se obțină estimări probabilistice ale timpului de finalizare a proiectului folosind teorema integrală Moivre-Laplace. În plus, dacă numărul de locuri de muncă din rețea este suficient de mare și sunt îndeplinite anumite condiții (în special, independența locurilor de muncă), puteți utiliza teorema limitei lui Lyapunov și puteți considera timpul de finalizare a proiectului rezultat ca fiind o variabilă aleatorie distribuită normal, cu caracteristici. calculate folosind metoda descrisă mai sus.

Astfel, modelul de rețea stocastică include toate abaterile aleatoare și incertitudinea care apar direct în timpul executării fiecărei lucrări individuale.

3.4. Formalizarea formulării generale a problemei de planificare a lucrărilor în managementul proiectelor și descrierea modelului de rețea universală și a problemelor de analiză a timpului rezolvate pe baza acestuia

Ca urmare a analizei și sintezei modelelor de mai sus, se propune un model matematic universal, modelele de rețea clasice, generalizate și stocastice fiind cazurile sale speciale.

Acest model (numit modelul rețelei stocastice ciclice - TSSM) este un instrument mai flexibil și mai adecvat pentru descrierea procesului de gestionare a dezvoltării unui proiect complex.

CSSM este un grafic finit, orientat, ciclic G(W,A), format dintr-un set de evenimente W și arce (i,j)(evenimente i, jОW), definite de matricea de adiacență A=(p ij ). 0Ј p ij Ј1, iar p ij =1 definește un arc determinist (i,j) și 0< p ij <1 определяет альтернативное событие i, которое с вероятностью p ij связано дугой с событием j. Множество дуг подразделяется на дуги-работы и дуги-связи. Первые реализуют определенный объем производственной деятельности во времени, второй тип дуг отражает исключительно логические связи между последними. Событиями могут быть как начала и окончания выполняемых работ, так некоторые их промежуточные состояния.

Să notăm cu T i momentul finalizării evenimentului i, atunci relația dintre sincronizarea evenimentelor legate de arcul (i, j) este dată de inegalitatea:

T j – T i i y ij , (15)

unde y ij este în cazul general o variabilă aleatoare distribuită după o lege în intervalul de la – Ґ la 0 sau de la 0 la +Ґ.

În plus, sunt posibile restricții absolute în momentul implementării evenimentului i:

l i Ј T i ЈL i . (16)

Relațiile (15)-(16) sunt o generalizare a inegalităților corespunzătoare atunci când se descriu modele de rețea generalizate, unde parametrul y ij și matricea de adiacență A sunt de natură deterministă.

Să considerăm încărcarea semantică a relației (15) cu natura probabilistă a parametrului y ij.

Dacă (i,j) este un arc-job (sau o parte a acestuia), atunci o variabilă aleatoare distribuită pozitiv y ij specifică distribuția duratei minime a acestui job (asociată cu saturația maximă a resursei sale definitorii). Lucrarea arată că distribuția cantității y ij este unimodală și asimetrică, iar aceste cerințe sunt satisfăcute de distribuția beta, astfel timp minim de operare este o variabilă aleatoare y ij =t min (i,j), distribuită conform legii distribuției beta pe segmentul [a, b] cu densitate

j(t)=С(t – a) p-1 (b – t) q-1 , (17)

unde C este determinată din condiție

Dacă variabila aleatoare y ij din (15), corespunzătoare arcului (i,j), este distribuită în intervalul de la – Ґ la 0, atunci –y ij =t max (j,i) specifică distribuția lungimea intervalului maxim de timp, pe parcursul căruia trebuie începută și finalizată lucrarea (i,j) chiar și cu o saturație minimă a resursei sale definitorii. Pentru această cantitate, am obținut o distribuție de formă similară (17). Cunoscând distribuția variabilei aleatoare y ij pentru fiecare loc de muncă (i, j), așteptările și varianța sa matematică sunt calculate folosind formulele adecvate.

Introducerea în (15) a valorilor distribuite negativ y ij pentru lucrările cu arc (i, j) extinde semnificativ posibilitățile de descriere a caracteristicilor de timp ale muncii, făcând modelul probabilistic utilizat pe scară largă doar unul dintre cazurile speciale.

Pentru conexiunile cu arc (i,j), valoarea y ij specifică distribuția dependenței de timp între evenimentele i și j, iar valoarea distribuită pozitiv y ij determină relația de tip „nu mai devreme” (evenimentul j nu poate avea loc mai devreme decât y ij zile după evenimentul eveniment i), iar valoarea distribuită negativ y ij determină relația de tip „nu mai târziu” (evenimentul i poate apărea nu mai târziu de –y ij zile după apariția evenimentului j). În acest din urmă caz, astfel de conexiuni sunt numite „invers”.

Astfel, aici am obţinut o generalizare a acestor conexiuni, ţinând cont de natura lor eventual probabilistică.

Întrucât sincronizarea evenimentelor T i este determinată de suma duratelor lucrărilor care le preced tehnologic, atunci cu un număr suficient de mare de astfel de lucrări, în conformitate cu teorema centrală a limitei, distribuția variabilei aleatoare T i tinde spre normal cu parametrii – așteptarea matematică MT i și varianța DT i . Parametrul y ij, corespunzător arcelor „inversare”, are și o distribuție normală, care este confirmată și de analiza statistică.

Restricțiile absolute privind calendarul evenimentelor, date de (16), reflectă politica corespunzătoare, restricțiile organizatorice și tehnologice privind calendarul de lucru sau părți ale acestuia, specificate într-o scală de timp „absolută” (reală sau condiționată). Restricțiile absolute se caracterizează și prin tipul „nu mai devreme” sau „nu mai târziu” și iau forma: T i – T 0 i l i, T 0 – T i i –L i. Astfel, restricțiile absolute ale formei (16) sunt un caz special de restricții ale formei (15) pentru anumite conexiuni cu arc.

Introducerea unei matrice de adiacență stocastică A în combinație cu conexiuni generalizate oferă oportunități suplimentare pentru descrierea procesului de creare a unui proiect complex.

Fie L(i,j) o cale care conectează evenimentele i și j:

L(i,j)=(i=i 0 ®i 1 ®i 2 ®…®i v =j). (18)

Acest cale deterministă, dacă pentru toate kО pi k-1 i k =1 este adevărată și stocastică, altfel. Astfel, o cale stocastică conține cel puțin un arc, a cărui probabilitate de „execuție” este strict mai mică de 1.

Definit în mod similar circuit determinist și stocasticК(i)=(i=i 0 ®i 1 ®i 2 ®…®i v =i). (astfel de evenimente i sunt numite „contur”).

Dacă evenimentele i și j sunt conectate prin calea L(i,j), atunci probabilitatea de apariție a evenimentului j, cu condiția ca evenimentul i să aibă loc P(j/i) este produsul coeficienților matricei de adiacență A corespunzători arcurile traseului de legătură:

Р(j/i)=Х v k=1 p i k-1 i k . (19)

Dacă evenimentele i și j sunt conectate prin mai multe căi, atunci se realizează o transformare GERT echivalentă a unui fragment de rețea dat în conformitate cu formulele date în lucrare, se calculează funcția generatoare Y ij (s) a fragmentului transformat și se calculează probabilitatea producerii evenimentului j, cu condiția ca evenimentul i să se producă P (j/i)= Y ij (0).

Prima derivată a funcției Y ij (s)/ Y ij (0) față de s în punctul s=0 (primul moment m 1 (j/i)) determină așteptarea matematică M(j/i) a timpului de producere a evenimentului j relativ la momentul producerii evenimentului i . Derivata a doua a funcției Y ij (s)/ Y ij (0) față de s în punctul s=0 (al doilea moment m 2 (j/i)) ne permite să calculăm dispersia timpului de apariție a evenimentului j raportat la momentul producerii evenimentului i folosind formula

s 2 (j/i) =m 2 (j/i) – (m 1 (j/i)) 2. (20)

Lungimea traseului L(i,j) este o variabilă aleatorie, a cărei așteptare matematică ML(i,j) este suma așteptărilor matematice ale lungimilor tuturor arcelor care alcătuiesc această cale și a varianței DL (i,j) este egală cu suma varianțelor.

În aceste condiții, lungimea traseului (circuitului) poate lua negativ valori, care se interpretează după cum urmează:

dacă L(i,j)<0 и дуга (j,i) имеет отрицательно распределенный параметр y ji , то событие j должно свершиться nu mai târziu de decât –y ji zile după producerea evenimentului i. Parametrul y ji este de natură probabilistică, ceea ce permite o descriere mai flexibilă (în raport cu modelele de rețele ciclice) a conexiunilor logico-temporale dintre evenimente.

Ca parametru al arcului y ij, putem considera, de asemenea, orice parametru caracteristic care este aditivitatea de-a lungul arcurilor oricărei căi (de exemplu, costul muncii), iar folosind transformarea GERT echivalentă obținem așteptarea și dispersia matematică a costul unui fragment de rețea sau al proiectului în ansamblu.

Probleme de analiza temporală a CSSM (și algoritmi pentru soluționarea acestora) precum și analiza temporală a modelelor de rețea clasice, generalizate sau stocastice, formează baza pentru rezolvarea tuturor problemelor de planificare și management de proiect. Ele au o semnificație independentă atunci când rezolvă probleme de management de proiect fără a ține cont de restricțiile de resurse.

Sarcinile de analiză temporală sunt, de asemenea, necesare pentru a genera diferite opțiuni de plan pentru anumite valori ale vectorului de disponibilitate a resurselor în scopul comparării lor ulterioare, a evaluării calității opțiunilor de plan și a alegerii direcției pentru îmbunătățirea ulterioară a acestuia.

La rezolvarea problemelor de planificare optimă a muncii în managementul proiectelor, algoritmii de analiză a timpului ai CSSM sunt utilizați ca instrument de calcul al parametrilor necesari utilizați în algoritmii de optimizare corespunzători pentru a asigura respectarea constrângerilor tehnologice.

Sarcina de analiză a timpului a CSSM se reduce la găsirea unui vector aleatoriu T=(T 0 ,T 1 ,…,T n), unde T i este momentul de apariție al i-lea eveniment, ale cărui coordonate satisfac inegalitățile (15), (16) și transformă la un extrem o funcție țintă f(T).

Evidențiat trei clase de probleme de analiză a timpului:

· clasic, în care așteptările matematice ale duratelor tuturor arcelor sunt folosite pentru a calcula (Ti);

· probabilisticăîn care, pe baza teoremei limitei lui Lyapunov sau a altor mijloace analitice, se calculează așteptările matematice ale momentului i-lea evenimente - (MT i), care sunt argumentele funcției țintă f(T);

· statistic, în care, pentru un nivel dat de fiabilitate p, folosind metoda descrisă în lucrare, estimări p-quantile ale distribuțiilor empirice atât ale momentului de i-lea evenimente - (W p (T i)), cât și derivatelor lor, inclusiv valorile funcției obiectiv f(W p (T)), unde W p (T)=(W p (T 0),W p (T 1),…,W p (T n)).

Este introdus conceptul de coerență al CSSM.

Se numește modelul de rețea stocastică ciclică consistent, dacă există cel puțin un plan fezabil, calculat pentru clasa corespunzătoare de probleme de analiză a timpului (clasică, probabilistică sau statistică), care să satisfacă sistemul de inegalități (15), (16).

Să ne uităm la aceste trei concepte.

Consistența clasică a modelului.

Se calculează așteptările matematice ale duratelor tuturor arcurilor, după care se formează o rețea cu lungimi constante de arc. Ținând cont de natura stocastică a modelului luat în considerare și de prezența conexiunilor generalizate, în CSSM, după calculele de mai sus, pot avea loc contururi stocastice și deterministe. Se demonstrează următoarea teoremă:

Teorema 1 . Pentru ca un model stocastic ciclic, în care duratele arcurilor sunt calculate după schema clasică, să fie consecvent cu o probabilitate dată a, este necesar și suficient ca lungimile tuturor contururilor deterministe să nu fie pozitive.

Consistența modelului probabilistic.

Așteptările matematice MT i și varianța s 2 T i a timpului evenimentelor sunt calculate analitic. Parametrii astfel calculați diferă cu 15-20% ca valoare de cei calculați în mod clasic (conform așteptărilor matematice ale duratelor arcului).

Să vorbim despre consistenta probabilistica a modelului in medie, dacă mulțimea astfel obținută satisface inegalitățile (15)-(16), unde așteptarea sa matematică este luată ca valoare a lui y ij. Valabilitatea următoarei teoreme a fost demonstrată:

Teorema 2 . Pentru ca un model stocastic ciclic să fie consecvent probabil în medie, este necesar și suficient ca așteptările matematice ale lungimilor tuturor contururilor deterministe să nu fie pozitive.

Presupunând că T i are o distribuție normală cu următorii parametri: așteptarea matematică - MT i și varianța - s 2 T i, introducem un concept mai larg de e- consistenta probabilistica a modelului.

Vom spune că CSSM este e-probabilistic consistent dacă există e > 0 astfel încât pentru tot T i satisface inegalitatea

|T i –MT i |< e, справедливы соотношения (15)-(16). В работе доказано следующее:

Teorema 3 . Pentru ca modelul alternativ ciclic să fie e-probabilistic consistent, este necesar și suficient ca așteptările matematice ale lungimilor tuturor contururilor deterministe să satisfacă relația ML(K(i)) Ј –4e.

Consistența probabilistică a modelului în medie este un caz special de consistență e-probabilistă pentru e=0.

Consistența statistică a modelului.

Cu metoda statistică de calculare a parametrilor unui model de rețea, ne ocupăm de estimările lor p-quantile ale valorilor, care sunt analogi teoretici-probabilitati ai indicatorilor corespunzători. Se spune că modelul stocastic ciclic statistic în concordanță cu probabilitatea p, dacă pentru fiecare eveniment i există estimări p-quantile ale momentului evenimentelor W p (T i), satisfăcând inegalitățile:

W p (T j) – W p (T i)i W p (y ij), (21)

l i ЈW p (Т i)ЈL i . (22)

Aici relațiile (21)-(22) sunt analogi probabilistici ai (15)-(16), W p (y ij) este o estimare p-cuantilă a lungimii arcului (i,j). S-au dovedit următoarele:

Teorema 4 . Pentru ca modelul alternativ ciclic să fie consecvent statistic cu probabilitatea p, este necesar și suficient ca estimările p-quantile ale lungimii tuturor contururilor deterministe să satisfacă relația W p (L(K(i))) Ј 0.

Algoritmi pentru calcularea parametrilor de sincronizare ai CSSM.

Planuri timpurii și târzii.

Pentru a calcula datele timpurii și târzii ale evenimentelor, se propune un algoritm „Pendul” modificat. Ideea modificării este de a sintetiza metoda statistică de calculare a parametrilor utilizați pentru rețelele probabilistice și algoritmul „Pendul” utilizat în rețelele generalizate, și apoi de a o aplica la CSSM.

Fig. 10. Diagrama bloc schematică a algoritmului de calcul

estimări p-quantile întâlniri timpurii realizările evenimentelor

Blocul 1. Introducerea datelor inițiale (coeficienții matricei A, parametrii de distribuție y ij, nivelul de încredere p).

Blocul 2. Calculul numărului necesar de „trageri” N pentru a asigura acuratețea specificată a rezultatelor. Calculele efectuate au arătat că la p=0,95, e=0,05 obţinem N»270.

Blocul 3. v:=v+1 (v este numărul „remiză”).

Blocul 4. Desenul variantei a v a variabilelor aleatoare y ij , fiecare în conformitate cu legea sa de distribuție, obținându-se constante y ij (v) - lungimea arcului (i, j) din desenul v-a.

Blocul 5. Desen pentru fiecare vârf alternativ i al unei tranziții la un vârf adiacent j (se desenează o variabilă aleatoare discretă p ij, reprezentată de al i-lea rând al matricei de adiacență A, 0< р ij <1 и е j р ij =1). Выбранная дуга помечается, остальные из графа исключаются. Если в полученном графе образовался контур К(i), содержащий хотя бы одну помеченную дугу, это есть стохастический контур, вычисляем его длину L (v) K(i) и опять для вершины i разыгрываем дискретную случайную величину р ij . В соответствие с доказанной в работе lema 1, același contur stocastic pentru un anumit nivel de încredere p poate fi format de cel mult de k ori, unde k este estimat folosind formula corespunzătoare. Adăugăm lungimea k-fold a conturului la lungimea arcului pe care l-am „jucat” la pasul (k+1) și trecem la analiza unui alt contur stocastic (dacă există). În acest caz, pot apărea contradicții în rețea (circuite deterministe pozitive), apoi, în conformitate cu formulele date în lucrare, adăugăm lungimea d-fold a circuitului, estimând astfel timpul de finalizare a evenimentului „ieșire” din circuit în medie.

Blocul 6. Împărțim rețeaua generalizată deterministă rezultată G (v) în două rețele G 1 (v) și G 2 (v), astfel încât nici G 1 (v) și nici G 2 (v) să nu conțină contururi. Aranjam vârfurile în rețeaua G 1 (v) pe rânduri și setăm numerotarea „corectă” în conformitate cu acestea. Transferăm această numerotare în rețeaua G 2 (v) și în originalul G (v).

Blocul 7. Pentru toate vârfurile i ale rețelei G 1 (v) calculăm termenele limită timpurii

Т i 0(v) :=max j (Т i 0(v) , Т j 0(v) + y ij (v) ).

Blocul 8. Efectuăm proceduri similare blocului 7 pentru vârfurile rețelei G 2 (v).

Blocul 9. Dacă rezultatele blocurilor 7 și 8 nu coincid la cel puțin un indicator, atunci revenim la blocul 7 (nu există mai multe astfel de întoarceri decât numărul de arce din spate din G 2 (v)), în caz contrar, blocul 10.

Blocul 10. Dacă numărul desenului este vЈN, atunci mergeți la blocul 4, în caz contrar la blocul 11.

Blocul 11. Din mulțimea rezultată (T i 0(v)) pentru fiecare vârf i construim o serie de variații. Fixăm o valoare a lui Т i 0(x) astfel încât N x /N=р, unde N x este numărul de membri ai seriei de variații mai mic decât Т i 0(x) . Valoarea T i 0(x) este p-quantila dorită a perioadei timpurii a i-lea eveniment – ​​​​W p (T i 0). În mod similar, folosind seria de variații (y ij (v) ) construim estimări p-quantile ale lungimii arcului – W p (y ij).

Intrarea blocului 6 primește versiunea a v-a a modelului de rețea generalizat G (v) și, de fapt, blocurile 6 – 9 reprezintă o diagramă bloc mărită a algoritmului „Pendul” pentru calcularea datelor timpurii ale evenimentelor din OSM. Prin aplicarea algoritmului adecvat pentru a calcula întâlniri târzii evenimente din blocurile 7 și 8, obținem T i 1(v) - sincronizarea tardivă a evenimentelor pentru versiunea a v-a a modelului de rețea generalizat, în timp ce blocul 11 ​​ne oferă W p (T i 1) - estimări p-quantile întâlniri târzii finalizarea evenimentelor.

Planuri de durată minimă.

Durata L(T (v)) a oricărui plan admisibil T (v) = (T i (v) ) v-a opțiune a rețelei G (v) este determinată de formula:

L(T (v))=max ij |T i (v) – T j (v) |. (23)

Înlocuirea în schema bloc din Fig. 10 blocuri 6 – 9 pe bloc pentru găsirea minimului funcției (23), obținem un plan de durată minimă pentru rețeaua G (v) (sau un plan „comprimat”). Magnitudinea

L(T* (v))=min max ij |T i (v) – T j (v) | (24)

este timpul critic al rețelei G(v).

Folosind metoda găsirii unui plan comprimat pentru OSM în blocurile 6-9 și trecerea planurilor rezultate prin blocul 11, obținem estimări probabilistice p-quantile ale planurilor comprimate.

Rezervele de timp pentru muncă (i,j) corespund analogilor lor p-quantile, calculate folosind formulele:

R p p (i,j)= W p (T j 1) - W p (T i 0) - W p (y ij) pentru rezervă completă, (25)

R cu p (i,j)= W p (T j 0) - W p (T i 0) - W p (y ij) pentru rezervare gratuita. (26)

Folosind formulele adecvate, se calculează p-quantile coeficienții de tensiune funcționează W p (k n (i,j)), apoi p-quantila zona critica, p-quantila zona de rezervași p-quantila zona intermediara.

Ca parametru de arc am luat în considerare timpul de execuție al operației (lucrării). De asemenea, putem lua în considerare orice parametru caracteristic care este aditivitatea de-a lungul arcurilor oricărei căi. Acesta poate fi costul muncii, cantitatea de resurse acumulate necesare etc.

De remarcat că până în prezent doar metodele de modelare deterministă a rețelelor, unele metode euristice de alocare optimă a resurselor și metode parametrice de estimare a costurilor (în special în domeniul zborurilor aeriene și spațiale) și-au găsit aplicații practice largă. Deși s-a găsit teoretic o soluție exactă la problemele de planificare a costurilor bazate pe modele clasice de rețea (descrisă în), utilizarea sa practică este asociată cu dificultatea de a obține date reale privind relațiile timp-cost.

Fiecare dintre modelele discutate mai sus are propria temă, în felul său (mai mult sau mai puțin pe deplin) implementează funcțiile de bază ale managementului de proiect, iar doar sinteza modelelor și metodelor analizate ne permite să construim un model care să reflecte adecvat procesul de implementare a unui proiect complex în condiții de incertitudine, și în același timp obținerea unui acceptabil în rezolvarea problemei formulate.

Subiectul 4. OPTIMIZAREA CONSUMULUI DE RESURSE PE BAZĂ DE MODELE DE REȚEA

Concepte generale.

Mai sus, modelele de rețea au fost luate în considerare fără a lua în considerare resursele limitate, adică. problema celei mai bune alocări a resurselor ca atare nu s-a pus. În metodele de utilizare a modelelor de rețea pe care le-am examinat, atenția principală a fost acordată momentului de lucru individual și identificării celor mai importante lanțuri de lucru (critice și subcritice), pe care finalizarea la timp a proiectului (punerea în funcțiune a instalației). funcţionarea) depinde. Astfel, o trăsătură caracteristică a acestor metode este clasificarea informațiilor în funcție de gradul de importanță a acesteia în ceea ce privește finalizarea la timp a întregului complex de lucru.

O măsură cantitativă a importanței informațiilor este rezervele de timp de lucru sau coeficienții de tensiune

K ij =1 – R p ij /(T n 0 –T cr (i,j)), (25)

unde R p ij este rezerva totală de lucru (i,j), T n 0 este timpul critic al proiectului, T cr (i,j) este durata segmentului de cale maximă care conține lucrul (i,j) care coincide cu calea critică. 0 £ K ij £ 1, iar cu cât K ij este mai aproape de 1, cu atât mai puțină rezervă este în stoc pentru muncă (i, j), prin urmare, cu atât este mai mare riscul ca ea să nu fie finalizată în intervalul de timp dat. De exemplu, pentru lucru (2.5) (Fig. 5) T cr (2.5) = 5, R p 25 = 3, din care K 25 = 1 –3/(22 – 5) = 0.82, iar pentru muncă ( 5.8) T cr (5,8)=0, R p 58 =12, de unde K 58 =1 –12/(22 – 0)=0,45. Lucrările pot avea aceleași rezerve totale, dar gradul de tensiune în momentul finalizării lor poate fi diferit. În schimb, rezerve complete diferite pot corespunde acelorași coeficienți de intensitate. Cu informațiile clasificate în acest fel, managerul de proiect poate determina în orice moment unde să concentreze atenția (și resursele) pentru a elimina orice potențiale abateri de la data țintă de finalizare pentru toate lucrările.

Înainte de a evidenția alte modalități de îmbunătățire a metodelor de planificare și management al rețelei, să ne oprim mai detaliat asupra unora dintre principalele dezavantaje inerente metodelor discutate mai sus.

Dând o estimare în timp a duratei oricărei lucrări, am presupus utilizarea anumitor resurse cu o anumită intensitate pentru a efectua această muncă (intensitatea consumului de resurse este cantitatea de resursă consumată pe unitatea de timp).

La momentul atribuirii unei estimari de timp, nu se stie cand va trebui finalizata aceasta lucrare sau ce alte activitati de proiect care consuma acelasi tip de resursa vor fi realizate simultan. În plus, de regulă, aceleași resurse pot fi necesare simultan pentru proiecte diferite. Prin urmare, este posibil ca cererea totală pentru o anumită resursă în anumite momente în timp să depășească nivelul ei disponibil. În aceste cazuri, va fi necesar fie reducerea intensității consumului de resurse în locurile de muncă individuale, fie amânarea executării unui număr de locuri de muncă la o dată ulterioară, adesea dincolo de rezervele depline ale acestor locuri de muncă. Pe parcursul derulării proiectului, acest lucru duce la ajustări frecvente ale planului inițial, cu alte cuvinte, la instabilitatea planului.

Evident, dacă limitările de resurse sunt luate în considerare în prealabil la planificarea procesului de execuție a proiectului, atunci se poate obține un plan mult mai fiabil.

Nivelul resurselor disponibile și posibilele date de finalizare a proiectului sunt interconectate. Timpul de finalizare a întregului proiect va depinde de când și câte resurse sunt alocate fiecărei activități, iar acest lucru este determinat în mare măsură de disponibilitatea așteptată a acestora la un moment dat.

Astfel, se pune problema distribuției resurselor într-un cadru de rețea.

În general, orice proces de planificare a producției nu este altceva decât rezolvarea problemei utilizării eficiente a resurselor.

Criteriile de eficiență pot fi diferite, ne vom opri mai jos asupra acestui punct important în planificare (selectarea și justificarea unui criteriu) atunci când luăm în considerare sarcini specifice.

Să introducem câteva concepte și definiții.

· Program de lucru Să numim un anumit set de operațiuni (lucrări) care trebuie efectuate pentru a atinge unul sau mai multe obiective, iar implementarea activității programului este subordonată unui singur centru de conducere. Putem vorbi despre programul de lucru pentru complexul de lansare, programul de lucru pentru un șantier, o organizație de construcții, un institut de proiectare etc.

· Program de lucru cu un singur subiect vom numi un program alcătuit dintr-un set de lucrări interconectate tehnologic care vizează atingerea unuia (temă cu un singur scop) sau mai multe obiective (temă multifuncțională).

· Program de lucru cu mai multe teme vom numi un program format din mai multe complexe de lucru, interconectate tehnologic în cadrul fiecărui complex. Fiecare set de lucrări poate avea unul sau mai multe obiective finale. Lucrările aparținând diferitelor complexe nu sunt legate tehnologic unele de altele. Apartenența subiectelor la un program cu mai multe subiecte este determinată de unitatea centrului de control și de comunitatea rezervorului de resurse.

Să luăm în considerare mai întâi diferite formulări ale problemelor de alocare a resurselor pentru program cu un singur subiect, cu un singur scop.

Pe baza celor două obiective posibile atunci când gestionați un proiect descris de modelul de rețea, sunt posibile două tipuri principale de stabilire a sarcinilor. Primul tip este axat pe respectarea strictă la restricțiile de resurse, în timp ce al doilea tip implică respectarea strictă a termenelor de finalizare a proiectelor.

Formularea primului tip de enunț al problemei („calibrare”).

Având în vedere restricțiile date privind consumul de resurse, găsiți o astfel de distribuție a acestora, ținând cont de succesiunea tehnologică a lucrărilor, determinată de topologia diagramei de rețea, care asigură finalizarea întregului program în timp minim.

Formularea celui de-al doilea tip de enunț de problemă („netezire”).

În timp ce se menține durata specificată de execuție a programului, este necesar să se distribuie resursele între joburile individuale, astfel încât consumul acestora să fie optim. Vom lua în considerare în mod specific problema alegerii unui criteriu de optimitate pentru această formulare.

Datorită diferitelor mecanisme de satisfacere a nevoii de resurse, acestea sunt de obicei împărțite în două grupe: acumulate (depozitate) și neacumulate (nestocate). Al doilea grup de resurse este adesea numit „resurse de tip capacitate”.

Prima grupă include resurse care, prin natura lor, permit acumularea cu posibilitatea utilizării lor ulterioare, de exemplu, bani, diverse materiale și structuri etc. În acest caz, restricțiile de resurse pot fi specificate printr-o funcție integrală nedescrescătoare, arătând în fiecare moment de timp cantitatea totală de resurse pentru întreaga perioadă anterioară.

Al doilea grup include resurse a căror acumulare pentru utilizarea ulterioară este imposibilă. De exemplu, resursele de lucru și timpul de calculator. Perioada de nefuncționare a lucrătorilor și a utilajelor este o pierdere irecuperabilă. Restricțiile de resurse pentru acest grup sunt stabilite de funcția de disponibilitate a resurselor la fiecare moment.

Un model stocastic este o metodă de modelare financiară în care una sau mai multe variabile din model sunt de natură stocastică, adică reprezintă un proces aleatoriu. În consecință, soluția ecuației se dovedește a fi și procese stocastice. Ecuația stocastică se bazează pe mișcarea browniană.

Este utilizat pe scară largă pentru a prezice evoluția piețelor de valori, a obligațiunilor și a valorilor mobiliare în viitor. Modelarea statistică este un mijloc de estimare a probabilității rezultatelor și de predicție a condițiilor în diferite situații. Variabilele aleatoare utilizate sunt de obicei limitate la date istorice, cum ar fi randamentele recente ale pieței. De exemplu, atunci când se utilizează un model în evaluarea portofoliului, se fac mai multe simulări ale reprezentării portofoliului pe baza distribuțiilor de probabilitate ale randamentelor individuale ale acțiunilor. Analiza statistică a rezultatelor poate ajuta la determinarea probabilității ca un portofoliu să ofere performanța dorită. Scopul principal al cercetării statistice este de a afla proprietățile populației din proprietățile eșantionului. De exemplu, a face o prognoză înseamnă a afla distribuția probabilității observațiilor viitoare ale unei populații pe baza unui eșantion de valori din trecut. Pentru a face acest lucru, trebuie să fim capabili să descriem procesele stocastice și serii de timp și să cunoaștem clasele de modele stocastice potrivite pentru descrierea situațiilor întâlnite în practică. Susținătorii modelării stocastice susțin că aleatorietatea este o caracteristică fundamentală a piețelor financiare.

Modelarea statistică oferă o modalitate structurată de a studia un portofoliu, luând în considerare factori aleatori precum inflația sau toleranța la risc. Dacă modelarea indică o probabilitate scăzută de a atinge obiectivele de investiții, fondul poate fi diversificat sau nivelurile de contribuție modificate.

Modelarea statistică este o metodă de reprezentare a datelor sau de predicție a rezultatelor care permite un anumit grad de aleatorie sau imprevizibilitate. Piața asigurărilor, de exemplu, se bazează în mare măsură pe modelarea stocastică pentru a prezice starea viitoare a bilanțurilor unei companii, deoarece acestea pot fi afectate de evenimente imprevizibile care conduc la plata daunelor. Multe alte industrii și domenii de studiu pot beneficia de modelarea stocastică, cum ar fi statistica, investițiile în acțiuni, biologia, lingvistica și fizica cuantică.

În special în lumea asigurărilor, modelarea stocastică este esențială pentru a determina ce rezultate pot fi așteptate și ce este puțin probabil să apară. În loc să utilizeze variabile fixe ca în alte modele matematice, modelele stocastice implică modificări aleatorii pentru a prezice condițiile viitoare și a vedea care ar putea fi acestea. Desigur, posibilitatea unei schimbări aleatorii înseamnă că sunt posibile multe rezultate. Din acest motiv, procesele stocastice operează nu o singură dată, ci de sute sau chiar mii de ori. Colectarea mare de date nu numai că exprimă rezultate posibile, ci și fluctuații așteptate.

O altă aplicație reală a modelării stocastice, pe lângă asigurări, este producția. Fabricarea este privită ca un proces stocastic datorită efectului modului în care variabilele necunoscute sau aleatorii pot influența rezultatul final. De exemplu, o fabrică care fabrică un anumit produs știe întotdeauna că un mic procent din produse nu ies conform intenției și nu poate fi vândut. Acest lucru se poate datora unui număr de factori, cum ar fi calitatea intrărilor, starea de funcționare a echipamentului de producție, precum și competența angajaților și multe altele. Modul în care acești factori influențează rezultatele poate fi modelat pentru a prezice o anumită rată de eroare de producție pentru planificarea producției.