Dacă urmați definiția, atunci derivata unei funcții într-un punct este limita raportului de creștere a funcției Δ y la argumentul increment Δ x:

Totul pare a fi clar. Dar încercați să utilizați această formulă pentru a calcula, să zicem, derivata funcției f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x păcat x. Dacă faci totul prin definiție, atunci după câteva pagini de calcule vei adormi pur și simplu. Prin urmare, există modalități mai simple și mai eficiente.

Pentru început, observăm că din întreaga varietate de funcții putem distinge așa-numitele funcții elementare. Acestea sunt expresii relativ simple, ale căror derivate au fost mult timp calculate și tabulate. Astfel de funcții sunt destul de ușor de reținut - împreună cu derivatele lor.

Derivate ale funcţiilor elementare

Funcțiile elementare sunt toate cele enumerate mai jos. Derivatele acestor funcții trebuie cunoscute pe de rost. În plus, nu este deloc dificil să le memorezi - de aceea sunt elementare.

Deci, derivate functii elementare:

Nume	Funcţie	Derivat
Constant	f(x) = C, C ∈ R	0 (da, zero!)
Putere cu exponent rațional	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinusul	f(x) = păcat x	cos x
Cosinus	f(x) = cos x	−păcat x(minus sinus)
Tangentă	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Cotangentă	f(x) = ctg x	− 1/sin 2 x
Logaritmul natural	f(x) = jurnal x	1/x
Logaritmul arbitrar	f(x) = jurnal o x	1/(x ln o)
Funcția exponențială	f(x) = e x	e x(nu s-a schimbat nimic)

Dacă o funcție elementară este înmulțită cu o constantă arbitrară, atunci derivata noii funcție este de asemenea ușor de calculată:

(C · f)’ = C · f ’.

În general, constantele pot fi scoase din semnul derivatei. De exemplu:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Evident, funcțiile elementare pot fi adăugate între ele, multiplicate, împărțite - și multe altele. Astfel vor apărea funcții noi, nu mai ales elementare, dar și diferențiabile în raport cu anumite reguli. Aceste reguli sunt discutate mai jos.

Derivată a sumei și diferenței

Să fie date funcțiile f(x) Și g(x), ale căror derivate ne sunt cunoscute. De exemplu, puteți lua funcțiile elementare discutate mai sus. Apoi puteți găsi derivata sumei și diferenței acestor funcții:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Deci, derivata sumei (diferența) a două funcții este egală cu suma (diferența) derivatelor. Pot exista mai mulți termeni. De exemplu, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strict vorbind, nu există un concept de „scădere” în algebră. Există un concept de „element negativ”. Prin urmare diferența f − g poate fi rescris ca o sumă f+ (−1) g, iar apoi rămâne o singură formulă - derivata sumei.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funcţie f(x) este suma a două funcții elementare, prin urmare:

f ’(x) = (x 2 + păcat x)’ = (x 2)’ + (păcat x)’ = 2x+ cos x;

Raționăm în mod similar pentru funcție g(x). Numai că există deja trei termeni (din punct de vedere al algebrei):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Răspuns:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat al produsului

Matematica este o știință logică, așa că mulți oameni cred că, dacă derivata unei sume este egală cu suma derivatelor, atunci derivata produsului grevă„>egal cu produsul derivatelor. Dar stricați-vă! Derivatul unui produs se calculează folosind o formulă complet diferită. Și anume:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula este simplă, dar este adesea uitată. Și nu numai școlari, ci și elevi. Rezultatul este probleme rezolvate incorect.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funcţie f(x) este produsul a două funcții elementare, deci totul este simplu:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x păcat x)

Funcţie g(x) primul factor este un pic mai complicat, dar schema generala asta nu se schimba. Evident, primul factor al funcției g(x) este un polinom și derivata sa este derivata sumei. Avem:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Răspuns:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x păcat x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Vă rugăm să rețineți că în ultimul pas derivata este factorizată. În mod formal, acest lucru nu trebuie făcut, dar majoritatea derivatelor nu sunt calculate singure, ci pentru a examina funcția. Aceasta înseamnă că în continuare derivata va fi egalată cu zero, semnele sale vor fi determinate și așa mai departe. Pentru un astfel de caz, este mai bine să aveți o expresie factorizată.

Dacă există două funcții f(x) Și g(x), și g(x) ≠ 0 pe mulțimea care ne interesează, putem defini caracteristică nouă h(x) = f(x)/g(x). Pentru o astfel de funcție puteți găsi și derivata:

Nu slab, nu? De unde a venit minusul? De ce g 2? Și așa! Aceasta este una dintre cele mai complexe formule - nu vă puteți da seama fără o sticlă. Prin urmare, este mai bine să-l studiați la exemple concrete.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor:

Numătorul și numitorul fiecărei fracții conțin funcții elementare, deci tot ce ne trebuie este formula pentru derivata coeficientului:

Conform tradiției, să factorizăm numărătorul - acest lucru va simplifica foarte mult răspunsul:

O funcție complexă nu este neapărat o formulă lungă de jumătate de kilometru. De exemplu, este suficient să luați funcția f(x) = păcat xși înlocuiți variabila x, să zicem, pe x 2 + ln x. Se va rezolva f(x) = păcat ( x 2 + ln x) - aceasta este o funcție complexă. Are și un derivat, dar nu va fi posibil să îl găsiți folosind regulile discutate mai sus.

Ce ar trebuii să fac? În astfel de cazuri, înlocuirea unei variabile și a unei formule pentru derivata unei funcții complexe ajută:

f ’(x) = f ’(t) · t', Dacă x este înlocuit cu t(x).

De regulă, situația cu înțelegerea acestei formule este și mai tristă decât cu derivata coeficientului. Prin urmare, este, de asemenea, mai bine să o explicați cu exemple specifice, cu descriere detaliată fiecare pas.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = păcat ( x 2 + ln x)

Rețineți că dacă în funcție f(x) în loc de expresia 2 x+ 3 va fi ușor x, atunci obținem o funcție elementară f(x) = e x. Prin urmare, facem o înlocuire: fie 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Căutăm derivata unei funcții complexe folosind formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Și acum - atenție! Efectuăm înlocuirea inversă: t = 2x+ 3. Obținem:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Acum să ne uităm la funcția g(x). Evident că trebuie înlocuit x 2 + ln x = t. Avem:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (păcat t)’ · t’ = cos t · t ’

Înlocuire inversă: t = x 2 + ln x. Apoi:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Asta este! După cum se poate vedea din ultima expresie, întreaga problemă a fost redusă la calcularea sumei derivate.

Răspuns:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Foarte des în lecțiile mele, în loc de termenul „derivat”, folosesc cuvântul „prim”. De exemplu, un prim din suma egal cu suma lovituri. Este mai clar? Ei bine, asta e bine.

Astfel, calcularea derivatei se reduce la a scăpa de aceleași lovituri conform regulilor discutate mai sus. Ca ultimul exemplu Să revenim la puterea derivată cu un exponent rațional:

(x n)’ = n · x n − 1

Puțini oameni știu asta în rol n poate fi un număr fracționar. De exemplu, rădăcina este x 0,5. Ce se întâmplă dacă există ceva fantezist sub rădăcină? Din nou, rezultatul va fi o funcție complexă - le place să dea astfel de construcții teste ah si examene.

Sarcină. Aflați derivata funcției:

Mai întâi, să rescriem rădăcina ca o putere cu un exponent rațional:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Acum facem un înlocuitor: let x 2 + 8x − 7 = t. Găsim derivata folosind formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Să facem înlocuirea inversă: t = x 2 + 8x− 7. Avem:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

În sfârșit, înapoi la rădăcini:

În această lecție vom învăța să aplicăm formule și reguli de diferențiere.

Exemple. Găsiți derivate ale funcțiilor.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Aplicarea regulii eu, formule 4, 2 și 1. Primim:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. Rezolvăm în mod similar, folosind aceleași formule și formulă 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Aplicarea regulii eu, formule 3, 5 Şi 6 Şi 1.

Aplicarea regulii IV, formule 5 Şi 1 .

În al cincilea exemplu, conform regulii eu derivata sumei este egală cu suma derivatelor și tocmai am găsit derivata primului termen (exemplu 4 ), prin urmare, vom găsi derivate al 2-leaŞi al 3-lea termeni, și pentru 1 sumand putem scrie imediat rezultatul.

Sa facem diferenta al 2-leaŞi al 3-lea termeni conform formulei 4 . Pentru a face acest lucru, transformăm rădăcinile puterii a treia și a patra din numitori în puteri cu exponenți negativi și apoi, conform 4 formula, găsim derivate ale puterilor.

Uită-te la acest exemplu si rezultatul obtinut. Ai prins modelul? Amenda. Aceasta înseamnă că avem o formulă nouă și o putem adăuga la tabelul nostru de derivate.

Să rezolvăm al șaselea exemplu și să obținem o altă formulă.

Să folosim regula IV si formula 4 . Să reducem fracțiile rezultate.

Să ne uităm la această funcție și la derivata ei. Desigur, înțelegeți modelul și sunteți gata să denumiți formula:

Învăț noi formule!

Exemple.

1. Găsiți incrementul argumentului și incrementul funcției y= x 2, dacă valoarea inițială a argumentului a fost egală cu 4 , și nou - 4,01 .

Soluţie.

Noua valoare a argumentului x=x 0 +Δx. Să substituim datele: 4.01=4+Δх, de unde și incrementul argumentului Δх=4,01-4=0,01. Creșterea unei funcții, prin definiție, este egală cu diferența dintre valorile noi și anterioare ale funcției, adică. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Din moment ce avem o funcție y=x2, Asta Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx)2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Răspuns: increment de argument Δх=0,01; creșterea funcției Δу=0,0801.

Incrementul funcției poate fi găsit diferit: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Aflați unghiul de înclinare al tangentei la graficul funcției y=f(x) la punct x 0, Dacă f „(x 0) = 1.

Soluţie.

Valoarea derivatei în punctul de tangență x 0și este valoarea tangentei unghiului tangentei ( sens geometric derivat). Avem: f „(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, deoarece tg45°=1.

Răspuns: tangenta la graficul acestei functii formeaza un unghi cu directia pozitiva a axei Ox egala cu 45°.

3. Deduceți formula derivatei funcției y=xn.

Diferenţiere este acțiunea de a găsi derivata unei funcții.

Când găsiți derivate, utilizați formule care au fost derivate pe baza definiției unei derivate, în același mod în care am derivat formula pentru gradul derivat: (x n)" = nx n-1.

Acestea sunt formulele.

Tabelul derivatelor Va fi mai ușor de memorat pronunțând formulări verbale:

1. Derivata unei marimi constante este zero.

2. X prim este egal cu unu.

3. Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei.

4. Derivata unui grad este egală cu produsul exponentului acestui grad cu un grad cu aceeași bază, dar exponentul este cu unul mai puțin.

5. Derivata unei rădăcini este egală cu una împărțită la două rădăcini egale.

6. Derivata lui unu împărțit la x este egală cu minus unu împărțit la x pătrat.

7. Derivata sinusului este egala cu cosinusul.

8. Derivata cosinusului este egală cu minus sinus.

9. Derivata tangentei este egală cu unu împărțit la pătratul cosinusului.

10. Derivata cotangentei este egală cu minus unu împărțit la pătratul sinusului.

Predăm reguli de diferențiere.

1. Derivata unei sume algebrice este egală cu suma algebrică a derivatelor termenilor.

2. Derivata unui produs este egala cu produsul derivatei primului factor si al doilea plus produsul primului factor si derivata celui de-al doilea.

3. Derivata lui „y” împărțită la „ve” este egală cu o fracție în care numărătorul este „y prim înmulțit cu „ve” minus „y înmulțit cu veți prim”, iar numitorul este „ve pătrat”.

4. Caz special formule 3.

Să învățăm împreună!

Pagina 1 din 1 1

Demonstrarea și derivarea formulelor pentru derivata exponențialului (e la puterea x) și a funcției exponențiale (a la puterea x). Exemple de calculare a derivatelor lui e^2x, e^3x și e^nx. Formule pentru derivate de ordin superior.

Derivata unui exponent este egală cu exponentul însuși (derivata lui e la puterea x este egală cu e la puterea x):
(1) (e x )′ = e x.

Derivata unei functii exponentiale cu baza a este egala cu functia insasi inmultita cu logaritmul natural al lui a:
(2) .

Derivarea formulei pentru derivata exponențialului, e la puterea x

O exponențială este o funcție exponențială a cărei bază este egală cu numărul e, care este următoarea limită:
.
Aici poate fi fie un număr natural, fie un număr real. În continuare, derivăm formula (1) pentru derivata exponențialului.

Derivarea formulei derivate exponenţiale

Luați în considerare exponențialul, e la puterea x:
y = e x .
Această funcție este definită pentru toată lumea.
(3) .

Să găsim derivata ei în raport cu variabila x.
Prin definiție, derivata este următoarea limită: Să transformăm această expresie pentru a o reduce la proprietăți și reguli matematice cunoscute. Pentru a face acest lucru avem nevoie de următoarele fapte:
(4) ;
O) Proprietatea exponentului:
(5) ;
B) Proprietatea logaritmului:
(6) .
ÎN)
Continuitatea logaritmului și proprietatea limitelor pentru o funcție continuă: Iată o funcție care are o limită și această limită este pozitivă.
(7) .

G)
;
.

Semnificația celei de-a doua limite remarcabile:
Să aplicăm aceste fapte la limita noastră (3). Folosim proprietatea (4):
.
Să facem o înlocuire.
.

Apoi ; .
.

Datorită continuităţii exponenţialului,
Prin urmare, când , .
.

Ca rezultat obținem:
.
Să facem o înlocuire.
.

Apoi . La , . Si avem:

Să aplicăm proprietatea logaritmului (5):

.
(8)
Apoi

Să aplicăm proprietatea (6). Deoarece există o limită pozitivă și logaritmul este continuu, atunci: Aici am folosit și a doua limită remarcabilă (7). Apoi Astfel, am obţinut formula (1) pentru derivata exponenţialului.
;
.
Derivarea formulei pentru derivata unei funcții exponențiale
.

Acum derivăm formula (2) pentru derivata funcției exponențiale cu o bază de gradul a.

Acum să găsim derivate de ordin superior. Să ne uităm mai întâi la exponent:
(14) .
(1) .

Vedem că derivata funcției (14) este egală cu funcția (14) însăși. Diferențiând (1), obținem derivate de ordinul doi și trei:
;
.

Aceasta arată că derivata de ordinul n-lea este, de asemenea, egală cu funcția originală:
.

Derivate de ordine superioară ale funcției exponențiale

Acum considerăm o funcție exponențială cu o bază de grad a:
.
Am găsit derivata sa de ordinul întâi:
(15) .

Diferențiând (15), obținem derivate de ordinul doi și trei:
;
.

Vedem că fiecare diferențiere duce la înmulțirea funcției originale cu .
.

Prin urmare, derivata de ordinul n-a are următoarea formă:
Derivate complexe. Derivată logaritmică.

Derivată a unei funcții putere-exponențială

Continuăm să ne îmbunătățim tehnica de diferențiere. În această lecție, vom consolida materialul pe care l-am abordat, vom analiza derivate mai complexe și, de asemenea, ne vom familiariza cu noi tehnici și trucuri pentru găsirea unei derivate, în special, cu derivata logaritmică. Acelor cititori care au nivel scăzut pregătire, ar trebui să consultați articolul Cum să găsesc derivatul? Exemple de soluții , care vă va permite să vă îmbunătățiți abilitățile aproape de la zero. În continuare, trebuie să studiați cu atenție pagina Derivată a unei funcții complexe , înțelegeți și rezolvați Toate exemplele pe care le-am dat. Această lecție

logic al treilea, iar după ce o stăpânești vei diferenția cu încredere funcții destul de complexe. Nu este de dorit să luăm poziția „Unde altundeva? Este suficient!”, deoarece toate exemplele și soluțiile sunt preluate din teste reale și sunt adesea întâlnite în practică. , care vă va permite să vă îmbunătățiți abilitățile aproape de la zero. În continuare, trebuie să studiați cu atenție pagina Să începem cu repetarea. În clasă

Am analizat o serie de exemple cu comentarii detaliate. În timpul studierii calculului diferențial și a altor ramuri ale analizei matematice, va trebui să diferențiezi foarte des și nu este întotdeauna convenabil (și nu întotdeauna necesar) să descrii exemple în detaliu. Prin urmare, vom exersa găsirea derivatelor pe cale orală. Cei mai potriviți „candidați” pentru aceasta sunt derivate ale celei mai simple funcții complexe, de exemplu: :

Conform regulii de diferenţiere a funcţiilor complexe .

Primul exemplu va fi destinat imediat decizie independentă.

Exemplul 1

Găsiți oral următoarele derivate, într-o singură acțiune, de exemplu: . Pentru a finaliza sarcina trebuie doar să utilizați tabel de derivate ale funcțiilor elementare(dacă nu ți-ai amintit încă). Dacă aveți dificultăți, vă recomand să recitiți lecția , care vă va permite să vă îmbunătățiți abilitățile aproape de la zero. În continuare, trebuie să studiați cu atenție pagina.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Răspunsuri la sfârșitul lecției

Derivate complexe

După pregătirea preliminară a artileriei, exemplele cu 3-4-5 cuibări de funcții vor fi mai puțin înfricoșătoare. Următoarele două exemple pot părea complicate pentru unii, dar dacă le înțelegeți (cineva va avea de suferit), atunci aproape orice altceva din calculul diferențial va părea o glumă de copil.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții

După cum sa menționat deja, atunci când găsiți derivata unei funcții complexe, în primul rând, este necesar CorectÎNȚELEGEȚI investițiile dvs. În cazurile în care există îndoieli, vă reamintesc o tehnică utilă: luăm valoarea experimentală a lui „x”, de exemplu, și încercăm (mental sau în schiță) să înlocuim valoare datăîntr-o „expresie groaznică”.

1) Mai întâi trebuie să calculăm expresia, ceea ce înseamnă că suma este cea mai profundă încorporare.

2) Apoi trebuie să calculați logaritmul:

4) Apoi cubează cosinusul:

5) La al cincilea pas diferența este:

6) Și în sfârșit, cea mai externă funcție este rădăcină pătrată:

Formula pentru diferențierea unei funcții complexe va fi folosit în ordine inversă, de la funcția cea mai exterioară până la cea mai interioară. Noi decidem:

Se pare că nu există erori...

(1) Luați derivata rădăcinii pătrate.

(2) Luăm derivata diferenței folosind regula

(3) Derivata unui triplu este zero. În al doilea termen luăm derivata gradului (cubul).

(4) Luați derivata cosinusului.

(5) Luați derivata logaritmului.

(6) Și, în sfârșit, luăm derivata celei mai profunde încorporare.

Poate părea prea dificil, dar acesta nu este cel mai brutal exemplu. Luați, de exemplu, colecția lui Kuznetsov și veți aprecia toată frumusețea și simplitatea derivatului analizat. Am observat că le place să dea un lucru similar la un examen pentru a verifica dacă un student înțelege cum să găsească derivata unei funcții complexe sau nu înțelege.

Următorul exemplu este pe care îl puteți rezolva singur.

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții

Sugestie: Mai întâi aplicăm regulile de liniaritate și regula de diferențiere a produsului

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Este timpul să trecem la ceva mai mic și mai frumos.
Nu este neobișnuit ca un exemplu să arate produsul nu a două, ci a trei funcții. Cum să găsiți derivata produsului a trei factori?

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții

Mai întâi ne uităm, este posibil să transformăm produsul a trei funcții în produsul a două funcții? De exemplu, dacă am avea două polinoame în produs, am putea deschide parantezele. Dar în exemplul luat în considerare, toate funcțiile sunt diferite: grad, exponent și logaritm.

În astfel de cazuri este necesar secvenţial aplica regula de diferentiere a produselor de două ori

Trucul este că prin „y” notăm produsul a două funcții: , iar cu „ve” notăm logaritmul: . De ce se poate face asta? Este cu adevărat – acesta nu este un produs al doi factori și regula nu funcționează?! Nu este nimic complicat:

Acum rămâne să aplici regula a doua oară la paranteză:

Poți în continuare să fii pervertit și să scoți ceva din paranteze, dar înăuntru în acest caz, Este mai bine să lăsați răspunsul în acest formular - va fi mai ușor de verificat.

Exemplul luat în considerare poate fi rezolvat în al doilea mod:

Ambele soluții sunt absolut echivalente.

Exemplul 5

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă în probă se rezolvă folosind prima metodă.

Să ne uităm la exemple similare cu fracții.

Exemplul 6

Aflați derivata unei funcții

Există mai multe moduri prin care puteți merge aici:

Sau cam asa:

Dar soluția se va scrie mai compact dacă folosim mai întâi regula de diferențiere a coeficientului , luând pentru întregul numărător:

În principiu, exemplul este rezolvat, iar dacă este lăsat așa cum este, nu va fi o eroare. Dar, dacă aveți timp, este întotdeauna indicat să verificați schița pentru a vedea dacă răspunsul poate fi simplificat? Să reducem expresia numărătorului la un numitor comun și să scăpăm de fracția cu trei etaje:

Dezavantajul simplificărilor suplimentare este că există riscul de a greși nu la găsirea derivatei, ci în timpul transformărilor școlare banale. Pe de altă parte, profesorii resping adesea sarcina și cer să „aducă în minte” derivatul.

Un exemplu mai simplu de rezolvat singur:

Exemplul 7

Aflați derivata unei funcții

Continuăm să stăpânim metodele de găsire a derivatei și acum vom lua în considerare un caz tipic în care se propune un logaritm „teribil” pentru diferențiere

Exemplul 8

Aflați derivata unei funcții

Aici puteți merge pe calea lungă, folosind regula pentru diferențierea unei funcții complexe:

Dar chiar primul pas te cufundă imediat în deznădejde - trebuie să iei derivatul neplăcut dintr-o putere fracțională și apoi și dintr-o fracțiune.

De aceea înainte cum să luăm derivata unui logaritm „sofisticat”, aceasta este mai întâi simplificată folosind proprietățile școlii bine-cunoscute:

! Dacă aveți la îndemână un caiet de practică, copiați aceste formule direct acolo. Dacă nu aveți un caiet, copiați-le pe o foaie de hârtie, deoarece exemplele rămase ale lecției se vor învârti în jurul acestor formule.

Soluția în sine poate fi scrisă cam așa:

Să transformăm funcția:

Găsirea derivatei:

Pre-conversia funcției în sine a simplificat foarte mult soluția. Astfel, atunci când se propune un logaritm similar pentru diferențiere, este întotdeauna recomandabil să-l „defalci”.

Și acum câteva exemple simple pe care să le rezolvați singur:

Exemplul 9

Aflați derivata unei funcții

Exemplul 10

Aflați derivata unei funcții

Toate transformările și răspunsurile sunt la sfârșitul lecției.

Derivată logaritmică

Dacă derivatul logaritmilor este o muzică atât de dulce, atunci se pune întrebarea: este posibil în unele cazuri să se organizeze logaritmul în mod artificial? Poate! Și chiar necesar.

Exemplul 11

Aflați derivata unei funcții

Am analizat recent exemple similare. Ce să fac? Puteți aplica succesiv regula de diferențiere a coeficientului, iar apoi regula de diferențiere a produsului. Dezavantajul acestei metode este că ajungeți cu o fracție uriașă de trei etaje, cu care nu doriți să vă ocupați deloc.

Dar în teorie și practică există un lucru atât de minunat precum derivata logaritmică. Logaritmii pot fi organizați artificial prin „atârnând” pe ambele părți:

Acum trebuie să „despărțiți” cât mai mult posibil logaritmul din partea dreaptă (formulele din fața ochilor?). Voi descrie acest proces în detaliu:

Să începem cu diferențierea.
Încheiem ambele părți sub primul:

Derivatul din partea dreaptă este destul de simplu, nu îl voi comenta, pentru că dacă citiți acest text, ar trebui să îl puteți gestiona cu încredere.

Dar partea stângă?

Pe partea stângă avem functie complexa. Prevăd întrebarea: „De ce, există o literă „Y” sub logaritm?”

Faptul este că acest „joc cu o literă” - ESTE ÎNȘI O FUNCȚIE(dacă nu este foarte clar, consultați articolul Derivată a unei funcții specificată implicit). Prin urmare, logaritmul este o funcție externă, iar „y” este o funcție internă. Și folosim regula pentru diferențierea unei funcții complexe :

În partea stângă, ca prin farmec bagheta magică avem o derivată . Apoi, conform regulii proporției, transferăm „y” de la numitorul părții stângi în partea de sus a părții drepte:

Și acum să ne amintim despre ce fel de funcție „jucător” am vorbit în timpul diferențierii? Să ne uităm la starea:

Raspuns final:

Exemplul 12

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Exemplu de proiectare de acest tip la sfarsitul lectiei.

Folosind derivata logaritmică, a fost posibil să se rezolve oricare dintre exemplele nr. 4-7, un alt lucru este că funcțiile de acolo sunt mai simple și, poate, utilizarea derivatei logaritmice nu este foarte justificată.

Derivată a unei funcții putere-exponențială

Nu am luat în considerare această funcție încă. O funcție exponențială putere este o funcție pentru care atât gradul cât și baza depind de „x”. Exemplu clasic, care vă va fi oferit în orice manual sau la orice prelegere:

Cum se găsește derivata unei funcții putere-exponențială?

Este necesar să se folosească tehnica tocmai discutată - derivata logaritmică. Agățăm logaritmi pe ambele părți:

De regulă, în partea dreaptă, gradul este scos de sub logaritm:

Ca urmare, în partea dreaptă avem produsul a două funcții, care vor fi diferențiate conform formulei standard .

Găsim derivata pentru a face acest lucru, închidem ambele părți sub linii:

Următorii pași sunt simple:

In sfarsit:

Dacă orice conversie nu este complet clară, vă rugăm să recitiți cu atenție explicațiile din Exemplul #11.

În sarcinile practice, funcția putere-exponențială va fi întotdeauna mai complexă decât exemplul de prelegere discutat.

Exemplul 13

Aflați derivata unei funcții

Folosim derivata logaritmică.

În partea dreaptă avem o constantă și produsul a doi factori - „x” și „logaritmul logaritmului x” (un alt logaritm este imbricat sub logaritm). Când diferențiem, așa cum ne amintim, este mai bine să mutați imediat constanta din semnul derivat, astfel încât să nu împiedice; și, bineînțeles, aplicăm regula familiară :

După cum puteți vedea, algoritmul pentru utilizarea derivatei logaritmice nu conține niciun truc sau truc special, iar găsirea derivatei unei funcții exponențiale de putere nu este de obicei asociată cu „chin”.

Nivel de intrare

Derivată a unei funcții. Ghid cuprinzător (2019)

Să ne imaginăm un drum drept care trece printr-o zonă deluroasă. Adică merge în sus și în jos, dar nu se întoarce la dreapta sau la stânga. Dacă axa este îndreptată orizontal de-a lungul drumului și vertical, atunci linia drumului va fi foarte similară cu graficul unei funcții continue:

Axa este un anumit nivel de altitudine zero în viață, folosim nivelul mării.

Pe măsură ce avansăm pe un astfel de drum, ne deplasăm și în sus sau în jos. Mai putem spune: atunci când argumentul se schimbă (deplasare de-a lungul axei absciselor), se modifică valoarea funcției (deplasare de-a lungul axei ordonatelor). Acum să ne gândim cum să determinăm „abrupta” drumului nostru? Ce fel de valoare ar putea fi aceasta? Este foarte simplu: cât de mult se va schimba înălțimea atunci când înaintezi o anumită distanță. La urma urmei, pe zone diferite drumuri, mergând înainte (de-a lungul axei x) cu un kilometru, ne vom ridica sau vom coborî cantități diferite metri în raport cu nivelul mării (de-a lungul axei ordonatelor).

Să notăm progresul (a se citi „delta x”).

Litera greacă (delta) este folosită în mod obișnuit în matematică ca prefix care înseamnă „schimbare”. Adică - aceasta este o schimbare în cantitate, - o schimbare; atunci ce este? Așa e, o schimbare de amploare.

Important: o expresie este un singur întreg, o variabilă. Nu separa niciodată „delta” de „x” sau de orice altă literă!

Adică, de exemplu, .

Deci, am avansat, pe orizontală, cu. Dacă comparăm linia drumului cu graficul funcției, atunci cum notăm creșterea? Cu siguranță, . Adică, pe măsură ce înaintăm, ne ridicăm mai sus.

Valoarea este ușor de calculat: dacă la început eram la înălțime, iar după mutare ne-am trezit la înălțime, atunci. Dacă punctul final este mai jos decât punctul de început, va fi negativ - asta înseamnă că nu urcăm, ci coborăm.

Să revenim la „abrupte”: aceasta este o valoare care arată cât de mult (abrupt) crește înălțimea atunci când avansăm cu o unitate de distanță:

Să presupunem că pe o anumită porțiune de drum, atunci când înaintează cu un kilometru, drumul se ridică cu un kilometru. Atunci panta în acest loc este egală. Și dacă drumul, în timp ce mergea înainte cu m, scădea cu km? Atunci panta este egală.

Acum să ne uităm la vârful unui deal. Dacă luați începutul porțiunii cu jumătate de kilometru înainte de vârf, iar sfârșitul cu jumătate de kilometru după acesta, puteți vedea că înălțimea este aproape aceeași.

Adică, conform logicii noastre, se dovedește că panta aici este aproape egală cu zero, ceea ce în mod clar nu este adevărat. Puțin peste o distanță de kilometri se pot schimba multe. Este necesar să se ia în considerare suprafețe mai mici pentru o evaluare mai adecvată și mai precisă a abruptului. De exemplu, dacă măsurați modificarea înălțimii pe măsură ce vă deplasați cu un metru, rezultatul va fi mult mai precis. Dar chiar și această precizie poate să nu fie suficientă pentru noi - la urma urmei, dacă există un stâlp în mijlocul drumului, putem pur și simplu să-l depășim. Ce distanță ar trebui să alegem atunci? Centimetru? Milimetru? Mai puțin înseamnă mai mult! ÎN viata reala Măsurarea distanțelor la cel mai apropiat milimetru este mai mult decât suficientă. Dar matematicienii luptă întotdeauna spre perfecțiune. Prin urmare, conceptul a fost inventat infinitezimal , adică valoarea absolută este mai mică decât orice număr pe care îl putem numi. De exemplu, spui: o trilionime! Cu cât mai puțin? Și împărțiți acest număr la - și va fi și mai puțin. Și așa mai departe. Dacă vrem să scriem că o mărime este infinitezimală, scriem astfel: (citim „x tinde spre zero”). Este foarte important să înțelegeți Dar foarte aproape de ea. Aceasta înseamnă că puteți împărți cu el.

Conceptul opus infinitezimal este infinit de mare (). Probabil l-ați întâlnit deja când lucrați la inegalități: acest număr este modulo mai mare decât orice număr la care vă puteți gândi. Dacă găsiți cel mai mare număr posibil, înmulțiți-l cu doi și veți obține un număr și mai mare. Și infinitul încă în plus ce se va întâmpla. De fapt, infinit de mare și infinit de mic sunt invers unul față de celălalt, adică la și invers: la.

Acum să ne întoarcem la drumul nostru. Panta calculată în mod ideal este panta calculată pentru un segment infinitezimal al traseului, adică:

Observ că, cu o deplasare infinitezimală, modificarea înălțimii va fi și ea infinitezimală. Dar permiteți-mi să vă reamintesc că infinitezimal nu înseamnă egal cu zero. Dacă împărțiți numere infinitezimale între ele, puteți obține un număr complet obișnuit, de exemplu, . Adică, o valoare mică poate fi de exact ori mai mare decât alta.

Pentru ce sunt toate acestea? Drumul, abruptul... Nu mergem la un raliu de mașini, dar predăm matematică. Și în matematică totul este exact la fel, doar numit diferit.

Conceptul de derivat

Derivata unei funcții este raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului pentru o creștere infinitezimală a argumentului.

Treptatîn matematică ei numesc schimbare. Se numește măsura în care argumentul () se schimbă pe măsură ce se mișcă de-a lungul axei increment de argumentși este desemnat cât de mult s-a schimbat funcția (înălțimea) când se deplasează înainte de-a lungul axei cu o distanță creșterea funcției si este desemnat.

Deci, derivata unei funcții este raportul față de când. Notăm derivata cu aceeași literă ca și funcția, doar cu un prim în dreapta sus: sau pur și simplu. Deci, să scriem formula derivată folosind aceste notații:

Ca și în analogia cu drumul, aici când funcția crește, derivata este pozitivă, iar când scade, este negativă.

Derivata poate fi egala cu zero? Cu siguranţă. De exemplu, dacă conducem pe un drum orizontal plat, abruptul este zero. Și este adevărat, înălțimea nu se schimbă deloc. Așa este și cu derivata: derivata unei funcții constante (constante) este egală cu zero:

deoarece incrementul unei astfel de funcții este egal cu zero pentru oricare.

Să ne amintim exemplul de pe deal. S-a dovedit că este posibil să se aranjeze capetele segmentului pe părți opuse ale vârfului astfel încât înălțimea la capete să fie aceeași, adică segmentul este paralel cu axa:

Dar segmentele mari sunt un semn de măsurare inexactă. Ne vom ridica segmentul paralel cu el însuși, apoi lungimea acestuia va scădea.

În cele din urmă, când suntem infinit aproape de vârf, lungimea segmentului va deveni infinitezimală. Dar, în același timp, a rămas paralel cu axa, adică diferența de înălțime la capete este egală cu zero (nu tinde, dar este egală cu). Deci derivata

Acest lucru poate fi înțeles astfel: când stăm în vârf, o mică deplasare la stânga sau la dreapta ne schimbă neglijabil înălțimea.

Există și o explicație pur algebrică: la stânga vârfului funcția crește, iar la dreapta scade. După cum am aflat mai devreme, atunci când o funcție crește, derivata este pozitivă, iar când scade, este negativă. Dar se schimbă lin, fără sărituri (întrucât drumul nu își schimbă brusc panta nicăieri). Prin urmare, între negativ și valori pozitive trebuie să existe cu siguranță. Acesta va fi acolo unde funcția nici nu crește, nici nu scade - în punctul de vârf.

Același lucru este valabil și pentru jgheab (zona în care funcția din stânga scade și din dreapta crește):

Mai multe despre creșteri.

Deci schimbăm argumentul în mărime. Ne schimbăm de la ce valoare? Ce a devenit (argumentul) acum? Putem alege orice punct, iar acum vom dansa din el.

Luați în considerare un punct cu o coordonată. Valoarea funcției din ea este egală. Apoi facem aceeași creștere: creștem coordonatele cu. Care este argumentul acum? Foarte usor: . Care este valoarea funcției acum? Unde merge argumentul, la fel merge și funcția: . Cum rămâne cu creșterea funcției? Nimic nou: aceasta este încă suma cu care funcția s-a schimbat:

Exersați găsirea incrementelor:

1. Găsiți incrementul funcției într-un punct în care incrementul argumentului este egal cu.
2. Același lucru este valabil și pentru funcția la un punct.

Solutii:

În puncte diferite cu același argument increment, incrementul funcției va fi diferit. Aceasta înseamnă că derivata în fiecare punct este diferită (am discutat despre asta chiar de la început - abruptul drumului este diferit în puncte diferite). Prin urmare, atunci când scriem o derivată, trebuie să indicăm în ce moment:

Funcția de putere.

O funcție de putere este o funcție în care argumentul este într-o anumită măsură (logic, nu?).

Mai mult – în orice măsură: .

Cel mai simplu caz este când exponentul este:

Să-i găsim derivata la un punct. Să ne amintim definiția unei derivate:

Deci argumentul se schimbă de la la. Care este incrementul funcției?

Incrementul este acesta. Dar o funcție în orice punct este egală cu argumentul său. De aceea:

Derivata este egala cu:

Derivata lui este egala cu:

b) Acum luați în considerare funcţie pătratică (): .

Acum să ne amintim asta. Aceasta înseamnă că valoarea incrementului poate fi neglijată, deoarece este infinitezimală și, prin urmare, nesemnificativă pe fondul celuilalt termen:

Deci, am venit cu o altă regulă:

c) Continuăm seria logică: .

Această expresie poate fi simplificată în diferite moduri: deschideți prima paranteză folosind formula de înmulțire abreviată a cubului sumei sau factorizați întreaga expresie folosind formula diferenței cuburilor. Încercați să o faceți singur folosind oricare dintre metodele sugerate.

Deci, am primit următoarele:

Și din nou să ne amintim asta. Aceasta înseamnă că putem neglija toți termenii care conțin:

Primim: .

d) Reguli similare pot fi obținute pentru puteri mari:

e) Rezultă că această regulă poate fi generalizată pentru o funcție de putere cu un exponent arbitrar, nici măcar un număr întreg:

(2)

Regula poate fi formulată în cuvintele: „gradul este prezentat ca coeficient și apoi redus cu ”.

Vom demonstra această regulă mai târziu (aproape la sfârșit). Acum să ne uităm la câteva exemple. Aflați derivata funcțiilor:

1. (în două moduri: prin formulă și folosind definiția derivatei - prin calcularea incrementului funcției);

1. . Credeți sau nu, aceasta este o funcție de putere. Dacă aveți întrebări precum „Cum este asta? Unde este gradul?”, amintiți-vă subiectul „”!
   Da, da, rădăcina este și ea un grad, doar fracțional: .
   Aceasta înseamnă că rădăcina noastră pătrată este doar o putere cu un exponent:
   .
   Căutăm derivata folosind formula recent învățată:

   Dacă în acest moment devine din nou neclar, repetați subiectul „”!!! (aproximativ un grad cu un exponent negativ)

2. . Acum exponentul:

   Și acum prin definiție (ai uitat încă?):
   ;
   .
   Acum, ca de obicei, neglijăm termenul care conține:
   .

3. . Combinație de cazuri anterioare: .

Funcții trigonometrice.

Aici vom folosi un fapt din matematica superioară:

Cu expresie.

Dovada o vei învăța în primul an de institut (și pentru a ajunge acolo, trebuie să treci bine Examenul Unificat de Stat). Acum o voi arăta doar grafic:

Vedem că atunci când funcția nu există - punctul de pe grafic este tăiat. Dar cu cât este mai aproape de valoare, cu atât funcția este mai aproape de aceasta.

În plus, puteți verifica această regulă folosind un calculator. Da, da, nu fi timid, ia un calculator, nu suntem încă la examenul de stat unificat.

Deci, să încercăm: ;

Nu uitați să comutați calculatorul în modul Radians!

etc. Vedem că cu cât mai puțin, cu atât valoare mai apropiată relatie cu

a) Luați în considerare funcția. Ca de obicei, să-i găsim incrementul:

Să transformăm diferența de sinusuri într-un produs. Pentru a face acest lucru, folosim formula (rețineți subiectul „”): .

Acum derivata:

Să facem un înlocuitor: . Atunci pentru infinitezimal este și infinitezimal: . Expresia pentru ia forma:

Și acum ne amintim asta cu expresia. Și, de asemenea, ce se întâmplă dacă o cantitate infinitezimală poate fi neglijată în sumă (adică la).

Deci primim următoarea regulă:derivata sinusului este egală cu cosinusul:

Acestea sunt derivate de bază („tabulare”). Iată-le într-o singură listă:

Mai târziu le vom adăuga câteva, dar acestea sunt cele mai importante, deoarece sunt folosite cel mai des.

Practica:

1. Aflați derivata funcției într-un punct;
2. Aflați derivata funcției.

Solutii:

1. Mai întâi, să găsim derivata în vedere generală, și apoi înlocuiți valoarea acestuia:
   ;
   .
2. Aici avem ceva asemănător functie de putere. Să încercăm să o aducem la
   vedere normală:
   .
   Grozav, acum poți folosi formula:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Ce este asta????

Bine, ai dreptate, încă nu știm cum să găsim astfel de derivate. Aici avem o combinație de mai multe tipuri de funcții. Pentru a lucra cu ei, trebuie să înveți mai multe reguli:

Exponent și logaritm natural.

Există o funcție în matematică a cărei derivată pentru orice valoare este egală cu valoarea funcției însăși în același timp. Se numește „exponent” și este o funcție exponențială

Baza acestei funcții este o constantă - este infinită zecimal, adică un număr irațional (cum ar fi). Se numește „numărul Euler”, motiv pentru care este notat cu o literă.

Deci, regula:

Foarte ușor de reținut.

Ei bine, să nu mergem departe, să ne uităm la asta imediat functie inversa. Care funcție este inversul funcției exponențiale? Logaritm:

În cazul nostru, baza este numărul:

Un astfel de logaritm (adică un logaritm cu bază) se numește „natural” și folosim o notație specială pentru el: scriem în schimb.

Cu ce ​​este egal? Desigur.

Derivata logaritmului natural este, de asemenea, foarte simplă:

Exemple:

1. Aflați derivata funcției.
2. Care este derivata functiei?

Raspunsuri: Logaritmul exponențial și natural sunt funcții unice simple dintr-o perspectivă derivată. Funcțiile exponențiale și logaritmice cu orice altă bază vor avea o derivată diferită, pe care o vom analiza mai târziu, după ce vom parcurge regulile de diferențiere.

Reguli de diferențiere

Reguli de ce? Din nou un nou termen, din nou?!...

Diferenţiere este procesul de găsire a derivatei.

Asta e tot. Ce altceva poți numi acest proces într-un singur cuvânt? Nu derivată... Matematicienii numesc diferenţialul acelaşi increment al unei funcţii la. Acest termen provine din latinescul diferentia - diferenta. Aici.

Când derivăm toate aceste reguli, vom folosi două funcții, de exemplu, și. De asemenea, vom avea nevoie de formule pentru incrementele lor:

Sunt 5 reguli în total.

Constanta este scoasă din semnul derivatului.

Dacă - un număr constant (constant), atunci.

Evident, această regulă funcționează și pentru diferența: .

Să demonstrăm. Să fie, sau mai simplu.

Exemple.

Aflați derivatele funcțiilor:

1. la un punct;
2. la un punct;
3. la un punct;
4. la punct.

Solutii:

1. (derivata este aceeași în toate punctele, deoarece aceasta funcţie liniară, îți amintești?);

Derivat al produsului

Totul este similar aici: să introducem o nouă funcție și să găsim incrementul acesteia:

Derivat:

Exemple:

1. Aflați derivatele funcțiilor și;
2. Aflați derivata funcției într-un punct.

Solutii:

Derivată a unei funcții exponențiale

Acum cunoștințele tale sunt suficiente pentru a învăța cum să găsești derivata oricărei funcții exponențiale și nu doar exponenți (ai uitat încă ce este asta?).

Deci, unde este un număr.

Știm deja derivata funcției, așa că să încercăm să ne reducem funcția la o nouă bază:

Pentru aceasta vom folosi regula simpla: . Apoi:

Ei bine, a funcționat. Acum încercați să găsiți derivata și nu uitați că această funcție este complexă.

A funcționat?

Iată, verifică-te:

Formula s-a dovedit a fi foarte asemănătoare cu derivata unui exponent: așa cum a fost, rămâne aceeași, a apărut doar un factor, care este doar un număr, dar nu o variabilă.

Exemple:
Aflați derivatele funcțiilor:

Raspunsuri:

Acesta este doar un număr care nu poate fi calculat fără un calculator, adică nu mai poate fi notat în formă simplă. Prin urmare, îl lăsăm în această formă în răspuns.

Derivată a unei funcții logaritmice

Este similar aici: cunoașteți deja derivata logaritmului natural:

Prin urmare, pentru a găsi un logaritm arbitrar cu o bază diferită, de exemplu:

Trebuie să reducem acest logaritm la bază. Cum schimbi baza unui logaritm? Sper să vă amintiți această formulă:

Abia acum vom scrie în schimb:

Numitorul este pur și simplu o constantă (un număr constant, fără o variabilă). Derivata se obține foarte simplu:

Derivate ale funcțiilor exponențiale și logaritmice nu se găsesc aproape niciodată în examenul de stat unificat, dar nu va fi de prisos să le cunoaștem.

Derivată a unei funcții complexe.

Ce este o „funcție complexă”? Nu, acesta nu este un logaritm și nu o arctangentă. Aceste funcții pot fi greu de înțeles (deși dacă ți se pare dificil logaritmul, citește subiectul „Logaritmi” și vei fi bine), dar din punct de vedere matematic, cuvântul „complex” nu înseamnă „dificil”.

Imaginați-vă o bandă rulantă mică: două persoane stau și fac niște acțiuni cu unele obiecte. De exemplu, primul învelește un baton de ciocolată într-un ambalaj, iar al doilea îl leagă cu o panglică. Rezultatul este un obiect compozit: un baton de ciocolată înfășurat și legat cu o panglică. Pentru a mânca un baton de ciocolată, trebuie să faceți pașii inversi în ordine inversă.

Să creăm o conductă matematică similară: mai întâi vom găsi cosinusul unui număr, apoi vom pătrat numărul rezultat. Așadar, ni se dă un număr (ciocolată), îi găsesc cosinus (înveliș), iar apoi pătrați ce am primit (legați-l cu o panglică). Ce s-a întâmplat? Funcţie. Acesta este un exemplu de funcție complexă: când, pentru a-i găsi valoarea, executăm prima acțiune direct cu variabila, iar apoi o a doua acțiune cu ceea ce a rezultat din prima.

Putem face cu ușurință aceiași pași în ordine inversă: mai întâi îl pătrați, iar apoi caut cosinusul numărului rezultat: . Este ușor de ghicit că rezultatul va fi aproape întotdeauna diferit. Caracteristică importantă funcții complexe: atunci când ordinea acțiunilor se schimbă, funcția se schimbă.

Cu alte cuvinte, o funcție complexă este o funcție al cărei argument este o altă funcție: .

Pentru primul exemplu, .

Al doilea exemplu: (același lucru). .

Acțiunea pe care o facem ultima va fi numită funcția „externă”., iar acțiunea efectuată prima - în consecință funcția „internă”.(acestea sunt nume informale, le folosesc doar pentru a explica materialul într-un limbaj simplu).

Încercați să determinați singur ce funcție este externă și care este internă:

Raspunsuri: Separarea funcțiilor interioare și exterioare este foarte asemănătoare cu schimbarea variabilelor: de exemplu, într-o funcție

1. Ce acțiune vom efectua mai întâi? Mai întâi, să calculăm sinusul și abia apoi să-l cubăm. Aceasta înseamnă că este o funcție internă, dar una externă.
   Iar funcția inițială este compoziția lor: .
2. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
3. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
4. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
5. Intern: ; extern: .
   Examinare: .

Schimbăm variabilele și obținem o funcție.

Ei bine, acum ne vom extrage batonul de ciocolată și vom căuta derivatul. Procedura este întotdeauna inversată: mai întâi căutăm derivata funcției exterioare, apoi înmulțim rezultatul cu derivata funcției interioare. În raport cu exemplu original arata cam asa:

Un alt exemplu:

Deci, să formulăm în sfârșit regula oficială:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

Pare simplu, nu?

Să verificăm cu exemple:

Solutii:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(Nu încercați să o tăiați până acum! Nu iese nimic de sub cosinus, vă amintiți?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Este imediat clar că aceasta este o funcție complexă pe trei niveluri: la urma urmei, aceasta este deja o funcție complexă în sine și extragem și rădăcina din ea, adică efectuăm a treia acțiune (punem ciocolata într-un ambalaj iar cu o panglică în servietă). Dar nu există niciun motiv să ne fie frică: vom „despacheta” această funcție în aceeași ordine ca de obicei: de la sfârșit.

Adică, mai întâi diferențiem rădăcina, apoi cosinusul și abia apoi expresia dintre paranteze. Și apoi înmulțim totul.

În astfel de cazuri, este convenabil să numerotați acțiunile. Adică să ne imaginăm ce știm. În ce ordine vom efectua acțiuni pentru a calcula valoarea acestei expresii? Să ne uităm la un exemplu:

Cu cât acțiunea este efectuată mai târziu, cu atât funcția corespunzătoare va fi mai „externă”. Secvența acțiunilor este aceeași ca înainte:

Aici cuibărirea este în general pe 4 niveluri. Să stabilim cursul acțiunii.

1. Exprimarea radicală. .

2. Rădăcină. .

3. Sine. .

4. Pătrat. .

5. Punând totul împreună:

DERIVAT. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Derivata unei functii- raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului pentru o creștere infinitezimală a argumentului:

Derivate de bază:

Reguli de diferentiere:

Constanta este scoasă din semnul derivat:

Derivată a sumei:

Derivat al produsului:

Derivată a coeficientului:

Derivata unei functii complexe:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

1. Definim funcția „internă” și găsim derivata ei.
2. Definim funcția „externă” și găsim derivata ei.
3. Înmulțim rezultatele primului și celui de-al doilea punct.