Raziskava funkcije x x 3. Dokončana preiskava funkcije in izris grafa. Iskanje domene definicije

Če problem zahteva popolno študijo funkcije f (x) = x 2 4 x 2 - 1 s konstrukcijo njenega grafa, bomo to načelo podrobno preučili.

Če želite rešiti problem te vrste, morate uporabiti lastnosti in grafe osnovnih elementarnih funkcij. Raziskovalni algoritem vključuje naslednje korake:

Iskanje domene definicije

Ker raziskave potekajo na področju definicije funkcije, je treba začeti s tem korakom.

Primer 1

Navedeni primer vključuje iskanje ničel imenovalca, da bi jih izločili iz ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Kot rezultat lahko dobite korenine, logaritme itd. Nato lahko ODZ iščemo za koren sode stopnje tipa g (x) 4 z neenačbo g (x) ≥ 0, za logaritem log a g (x) z neenačbo g (x) > 0.

Preučevanje meja ODZ in iskanje navpičnih asimptot

Na mejah funkcije so navpične asimptote, ko so enostranske meje na takih točkah neskončne.

Primer 2

Na primer, upoštevajte mejne točke, ki so enake x = ± 1 2.

Potem je treba preučiti funkcijo, da najdemo enostransko mejo. Potem dobimo, da: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

To kaže, da so enostranske meje neskončne, kar pomeni, da so ravne črte x = ± 1 2 navpične asimptote grafa.

Preučevanje funkcije in ali je soda ali liha

Ko je pogoj y (- x) = y (x) izpolnjen, se funkcija šteje za sodo. To nakazuje, da se graf nahaja simetrično glede na Oy. Ko je pogoj y (- x) = - y (x) izpolnjen, se funkcija šteje za liho. To pomeni, da je simetrija relativna glede na izvor koordinat. Če vsaj ena neenakost ni izpolnjena, dobimo funkcijo splošne oblike.

Enakost y (- x) = y (x) pomeni, da je funkcija soda. Pri gradnji je treba upoštevati, da bo glede na Oy obstajala simetrija.

Za rešitev neenačbe se uporabljajo intervali naraščanja in padanja s pogoji f " (x) ≥ 0 oziroma f " (x) ≤ 0.

Definicija 1

Stacionarne točke- to so točke, ki spremenijo izpeljanko na nič.

Kritične točke- to so notranje točke iz domene definicije, kjer je odvod funkcije enak nič ali ne obstaja.

Pri odločanju je treba upoštevati naslednje opombe:

za obstoječe intervale naraščajočih in padajočih neenačb oblike f " (x) > 0 kritične točke niso vključene v rešitev;
točke, v katerih je funkcija definirana brez končnega odvoda, morajo biti vključene v intervale naraščanja in padanja (npr. y = x 3, kjer točka x = 0 naredi funkcijo definirano, odvod ima pri tem neskončno vrednost točka, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 je vključen v naraščajoči interval);
Da bi se izognili nesoglasjem, je priporočljivo uporabljati matematično literaturo, ki jo priporoča ministrstvo za šolstvo.

Vključitev kritičnih točk v intervale naraščanja in padanja, če zadoščajo domeni definicije funkcije.

Definicija 2

Za določanje intervalov naraščanja in padanja funkcije, je treba najti:

derivat;
kritične točke;
razdeli definicijsko domeno na intervale s pomočjo kritičnih točk;
določite predznak odvoda na vsakem od intervalov, kjer je + povečanje in - zmanjšanje.

Primer 3

Poiščite odvod na področju definicije f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2.

rešitev

Za rešitev potrebujete:

poiščite stacionarne točke, ta primer ima x = 0;
poiščite ničle imenovalca, primer vzame vrednost nič pri x = ± 1 2.

Na številsko os postavimo točke, da določimo odvod na vsakem intervalu. Če želite to narediti, je dovolj, da vzamete katero koli točko iz intervala in izvedete izračun. Če je rezultat pozitiven, na grafu prikažemo +, kar pomeni, da funkcija narašča, in -, da pada.

Na primer, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, kar pomeni, da ima prvi interval na levi predznak +. Razmislite na številski premici.

odgovor:

funkcija narašča na intervalu - ∞; - 1 2 in (- 1 2 ; 0 ] ;
pride do zmanjšanja intervala [ 0 ; 1 2) in 1 2 ; + ∞ .

V diagramu sta s + in - prikazani pozitivnost in negativnost funkcije, puščice pa kažejo zmanjšanje in povečanje.

Ekstremne točke funkcije so točke, kjer je funkcija definirana in skozi katere odvod spreminja predznak.

Primer 4

Če upoštevamo primer, kjer je x = 0, potem je vrednost funkcije v njem enaka f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Ko se predznak odvoda spremeni iz + v - in gre skozi točko x = 0, se točka s koordinatami (0; 0) šteje za največjo točko. Ko se predznak spremeni iz - v +, dobimo minimalno točko.

Konveksnost in konkavnost določimo z reševanjem neenačb oblike f "" (x) ≥ 0 in f "" (x) ≤ 0. Manj pogosto se uporablja ime konveksnost navzdol namesto konkavnost in konveksnost navzgor namesto konveksnost.

Definicija 3

Za določanje intervalov konkavnosti in konveksnosti potrebno:

poiščite drugo izpeljanko;
poiščite ničle funkcije drugega odvoda;
razdelite definicijsko območje na intervale s pojavnimi točkami;
določi predznak intervala.

Primer 5

Poiščite drugi odvod iz domene definicije.

rešitev

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Poiščemo ničle števca in imenovalca, pri čemer imamo v našem primeru, da so ničle imenovalca x = ± 1 2

Zdaj morate narisati točke na številski premici in določiti predznak drugega odvoda iz vsakega intervala. To razumemo

odgovor:

funkcija je konveksna iz intervala - 1 2 ; 1 2 ;
funkcija je konkavna iz intervalov - ∞ ; - 1 2 in 1 2; + ∞ .

Definicija 4

Prevojna točka– to je točka oblike x 0 ; f (x 0) . Ko ima tangento na graf funkcije, ko gre skozi x 0, funkcija spremeni predznak v nasprotni.

Z drugimi besedami, to je točka, skozi katero poteka drugi odvod in spreminja predznak, v samih točkah pa je enak nič ali pa ne obstaja. Vse točke veljajo za domeno funkcije.

V primeru je bilo razvidno, da prevojnih točk ni, saj drugi odvod med prehodom skozi točke x = ± 1 2 spremeni predznak. Ti pa niso vključeni v obseg opredelitve.

Iskanje vodoravnih in poševnih asimptot

Ko definirate funkcijo v neskončnosti, morate iskati vodoravne in poševne asimptote.

Definicija 5

Poševne asimptote so upodobljene z ravnimi črtami, podanimi z enačbo y = k x + b, kjer je k = lim x → ∞ f (x) x in b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Za k = 0 in b, ki ni enak neskončnosti, ugotovimo, da postane poševna asimptota vodoravno.

Z drugimi besedami, asimptote se štejejo za črte, ki se jim graf funkcije približuje v neskončnosti. To olajša hitro gradnjo funkcijskega grafa.

Če asimptot ni, je pa funkcija definirana na obeh neskončnostih, je treba izračunati limit funkcije na teh neskončnostih, da bi razumeli, kako se bo obnašal graf funkcije.

Primer 6

Vzemimo za primer to

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

je horizontalna asimptota. Ko preučite funkcijo, jo lahko začnete sestavljati.

Računanje vrednosti funkcije na vmesnih točkah

Da bi bil graf natančnejši, je priporočljivo najti več funkcijskih vrednosti na vmesnih točkah.

Primer 7

Iz primera, ki smo ga obravnavali, je treba najti vrednosti funkcije v točkah x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Ker je funkcija soda, dobimo, da vrednosti sovpadajo z vrednostmi na teh točkah, to pomeni, da dobimo x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Zapišimo in rešimo:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Za določitev maksimumov in minimumov funkcije, prevojnih točk in vmesnih točk je potrebno zgraditi asimptote. Za priročno označevanje so zabeleženi intervali naraščanja, padanja, konveksnosti in konkavnosti. Poglejmo spodnjo sliko.

Skozi označene točke je treba narisati črte grafa, ki vam bodo omogočile približevanje asimptotam s sledenjem puščicam.

S tem se konča celotno raziskovanje funkcije. Obstajajo primeri konstruiranja nekaterih elementarnih funkcij, za katere se uporabljajo geometrijske transformacije.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Pri izrisovanju funkcijskih grafov se je koristno držati naslednjega načrta:

1. Poiščite domeno definicije funkcije in določite diskontinuitetne točke, če obstajajo.

2. Ugotovite, ali je funkcija soda ali liha ali nobena. Če je funkcija soda ali liha, potem je dovolj, da upoštevamo njene vrednosti pri x>0, nato pa simetrično glede na os OY ali izhodišče koordinat obnovite za vrednosti x<0 .

3. Preglejte funkcijo glede periodičnosti. Če je funkcija periodična, potem je dovolj, da jo upoštevamo na enem obdobju.

4. Poiščite točke presečišča grafa funkcije s koordinatnimi osemi (če je mogoče)

5. Izvedite študijo funkcije na ekstremumu in poiščite intervale naraščanja in padanja funkcije.

6. Poiščite prevojne točke krivulje ter intervale konveksnosti in konkavnosti funkcije.

7. Poiščite asimptote grafa funkcije.

8. Z uporabo rezultatov korakov 1-7 sestavite graf funkcije. Včasih je za večjo natančnost najdenih več dodatnih točk; njihove koordinate se izračunajo z uporabo enačbe krivulje.

Primer. Funkcija raziskovanja y=x 3 -3x in sestavite graf.

1) Funkcija je definirana na intervalu (-∞; +∞). Ni prelomnih točk.

2) Funkcija je liha, ker f(-x) = -x 3 -3(-x) = -x 3 +3x = -f(x), torej je simetričen glede izvora.

3) Funkcija ni periodična.

4) Točke presečišča grafa s koordinatnimi osemi: x 3 -3x=0, x = , x = -, x = 0, tiste. graf funkcije seka koordinatne osi v točkah: ( ; 0 ), (0; 0 ), (-; 0 ).

5) Poiščite možne ekstremne točke: y′ = 3x 2 -3; 3x 2 -3=0; x =-1; x = 1. Območje definiranja funkcije bo razdeljeno na intervale: (-∞; -1), (-1; 1), (1; +∞). Poiščimo znake odvoda v vsakem nastalem intervalu:

Na intervalu (-∞; -1) у′>0 – funkcija se poveča

Na intervalu (-1; 1) y'<0 – funkcija se zmanjšuje

Na intervalu (1; +∞) у′>0 – funkcija se poveča. Pika x =-1 – največja točka; x = 1 – minimalna točka.

6) Poiščite prevojne točke: y′′ = 6x; 6x = 0; x = 0. Pika x = 0 razdeli domeno definicije na intervale (-∞; 0), (0; +∞). Poiščimo znake drugega odvoda v vsakem nastalem intervalu:

Na intervalu (-∞;0) j''<0 – funkcija je konveksna

Na intervalu (0; +∞) y′′>0 – funkcija je konkavna. x = 0– prevojna točka.

7) Graf nima asimptot

8) Zgradimo graf funkcije:

Primer. Raziščite funkcijo in sestavite njen graf.

1) Področje definiranja funkcije so intervali (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥). Razpon vrednosti te funkcije je interval (-¥; ¥).

Lomne točke funkcije so točke x = 1, x = -1.

2) Funkcija je liha, ker .

3) Funkcija ni periodična.

4) Graf seka koordinatne osi v točki (0; 0).

5) Poiščite kritične točke.

Kritične točke: x = 0; x = -; x = ; x = -1; x = 1.

Poiščemo intervale naraščajoče in padajoče funkcije. Da bi to naredili, določimo znake odvoda funkcije na intervalih.

-¥ < x< -, y¢> 0, funkcija narašča

-< x < -1, l¢ < 0, функция убывает

1 < x < 0, l¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, l¢ < 0, функция убывает

1 < x < , l¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, l¢ > 0, funkcija narašča

Jasno je, da je točka X= - je največja točka in točka X= je najmanjša točka. Vrednosti funkcije na teh točkah so enake 3/2 oziroma -3/2.

6) Poiščite drugi odvod funkcije

Enačba poševne asimptote: y = x.

8) Zgradimo graf funkcije.

Reševalec Kuznetsov.
III Karte

Naloga 7. Izvedite popolno študijo funkcije in sestavite njen graf.

Preden začnete prenašati svoje možnosti, poskusite rešiti težavo v skladu s spodnjim primerom za možnost 3. Nekatere možnosti so arhivirane v formatu .rar

7.3 Izvedite popolno študijo funkcije in jo narišite

rešitev.

1) Obseg definicije: ali , to je .
.
Tako: .

2) Ni presečišč z osjo Ox. Enačba res nima rešitev.
Ni presečišč z osjo Oy, saj .

3) Funkcija ni niti soda niti liha. Glede ordinatne osi ni simetrije. Tudi glede izvora ni simetrije. Ker
.
Vidimo, da in .

4) Funkcija je zvezna v domeni definicije
.

; .

; .
Posledično je točka točka diskontinuitete druge vrste (neskončna diskontinuiteta).

5) Navpične asimptote:

Poiščimo poševno asimptoto . Tukaj

;
.
Posledično imamo vodoravno asimptoto: y=0. Poševnih asimptot ni.

6) Poiščimo prvo izpeljanko. Prva izpeljanka:
.
In tukaj je razlog
.
Poiščimo stacionarne točke, kjer je odvod enak nič, tj
.

7) Poiščimo drugo izpeljanko. Drugi derivat:
.
In to je enostavno preveriti, saj

Naloga je izvesti popolno študijo funkcije in zgraditi njen graf.

Vsak učenec je šel skozi podobne naloge.

Nadaljnja predstavitev predvideva dobro znanje. Priporočamo, da si ogledate ta razdelek, če imate kakršna koli vprašanja.

Algoritem raziskovanja funkcij je sestavljen iz naslednjih korakov.

Iskanje domene definicije funkcije.

To je zelo pomemben korak pri proučevanju funkcije, saj bodo vsa nadaljnja dejanja izvedena na področju definicije.

V našem primeru moramo najti ničle imenovalca in jih izključiti iz območja realnih števil.

(V drugih primerih so lahko koreni, logaritmi itd. Spomnimo se, da se v teh primerih domena definicije išče na naslednji način:
za koren sode stopnje, na primer, domeno definicije najdemo iz neenakosti;
za logaritem - domeno definicije najdemo iz neenakosti ).

Preučevanje obnašanja funkcije na meji definicijskega področja, iskanje navpičnih asimptot.

Na mejah domene definicije ima funkcija navpične asimptote, če je na teh mejnih točkah neskončno.

V našem primeru so mejne točke domene definicije .

Oglejmo si obnašanje funkcije pri približevanju tem točkam z leve in desne, za katere najdemo enostranske meje:

Ker so enostranske meje neskončne, so ravne črte navpične asimptote grafa.

Pregled funkcije za sodo ali liho.

Funkcija je celo, Če . Pariteta funkcije označuje simetrijo grafa glede na ordinato.

Funkcija je liho, Če . Lihost funkcije kaže na simetrijo grafa glede na izvor.

Če nobena od enakosti ni izpolnjena, potem imamo funkcijo splošne oblike.

V našem primeru enakost velja, torej je naša funkcija soda. To bomo upoštevali pri izdelavi grafa - simetričen bo glede na os oy.

Iskanje intervalov naraščajočih in padajočih funkcij, ekstremnih točk.

Intervali naraščanja in padanja so rešitve neenačb oz.

Točke, v katerih odvod izgine, imenujemo stacionarni.

Kritične točke funkcije Imenujejo notranje točke definicijskega področja, v katerih je odvod funkcije enak nič ali ne obstaja.

KOMENTIRAJ(ali vključiti kritične točke v intervale naraščanja in padanja).

Kritične točke bomo vključili v naraščajoče in padajoče intervale, če pripadajo domeni funkcije.

torej določiti intervale naraščajočih in padajočih funkcij

najprej najdemo izpeljanko;
drugič, najdemo kritične točke;
tretjič, področje definicije s kritičnimi točkami razdelimo na intervale;
četrtič, določimo predznak odvoda na vsakem izmed intervalov. Znak plus bo ustrezal intervalu povečanja, znak minus intervalu padanja.

Gremo!

Izpeljanko najdemo na domeni definicije (če se pojavijo težave, glejte poglavje).

Za to najdemo kritične točke:

Te točke narišemo na številsko os in znotraj vsakega nastalega intervala določimo predznak odvoda. Druga možnost je, da vzamete katero koli točko v intervalu in izračunate vrednost derivata na tej točki. Če je vrednost pozitivna, potem nad to vrzeljo postavimo znak plus in preidemo na naslednjo, če je negativna, potem postavimo znak minus itd. na primer , zato nad prvim intervalom na levi postavimo plus.

Sklepamo:

Shematično plusi/minusi označujejo intervale, kjer je odvod pozitiven/negativen. Naraščajoča/padajoča puščica prikazuje smer povečanja/zmanjšanja.

Ekstremne točke funkcije so točke, v katerih je funkcija definirana in skozi katere odvod spremeni predznak.

V našem primeru je ekstremna točka x=0. Vrednost funkcije na tej točki je . Ker odvod spremeni predznak iz plusa v minus, ko gre skozi točko x=0, potem je (0; 0) točka lokalnega maksimuma. (Če bi izpeljanka spremenila predznak iz minusa v plus, bi imeli lokalno minimalno točko).

Iskanje intervalov konveksnosti in konkavnosti funkcije in prevojnih točk.

Intervala konkavnosti in konveksnosti funkcije najdemo z reševanjem neenačb oz.

Včasih se konkavnost imenuje konveksna navzdol, konveksna pa se imenuje konveksna navzgor.

Tudi tukaj veljajo opombe, podobne tistim iz odstavka o intervalih naraščanja in zmanjševanja.

torej določiti intervale konkavnosti in konveksnosti funkcije:

najprej najdemo drugo izpeljanko;
drugič, najdemo ničle števca in imenovalca drugega odvoda;
tretjič, razdelimo področje definicije z dobljenimi točkami na intervale;
četrtič, določimo predznak drugega odvoda na vsakem izmed intervalov. Znak plus bo ustrezal intervalu konkavnosti, znak minus pa konveksnemu intervalu.

Gremo!

Drugi odvod najdemo na domeni definicije.

V našem primeru ni ničel v števcu, temveč ničle v imenovalcu.

Te točke narišemo na številsko premico in znotraj vsakega nastalega intervala določimo predznak drugega odvoda.

Sklepamo:

Točka se imenuje prevojna točka, če je v dani točki tangenta na graf funkcije in drugi odvod funkcije pri prehodu skozi .

Z drugimi besedami, prevojne točke so lahko točke, skozi katere drugi odvod spremeni predznak; v samih točkah je nič ali ne obstaja, vendar so te točke vključene v domeno definicije funkcije.

V našem primeru prevojnih točk ni, saj drugi odvod pri prehodu skozi točke spremeni predznak in te niso vključene v domeno definicije funkcije.

Iskanje vodoravnih in poševnih asimptot.

Horizontalne ali poševne asimptote je treba iskati le, če je funkcija definirana v neskončnosti.

Poševne asimptote se iščejo v obliki ravnih črt, kjer in .

če k=0 in b ni enak neskončnosti, potem bo poševna asimptota postala vodoravno.

Kdo sploh so te asimptote?

To so premice, ki se jim graf funkcije približuje v neskončnosti. Tako so zelo koristni pri grafu funkcije.

Če ni vodoravnih ali poševnih asimptot, ampak je funkcija definirana pri plus neskončnosti in (ali) minus neskončnosti, potem bi morali izračunati limit funkcije pri plus neskončnosti in (ali) minus neskončnosti, da bi imeli predstavo o obnašanje grafa funkcije.

Za naš primer

- horizontalna asimptota.

S tem zaključimo preučevanje funkcije; nadaljujemo z risanjem grafa.

Izračunamo vrednosti funkcij na vmesnih točkah.

Za natančnejšo sestavo grafa priporočamo iskanje več vrednosti funkcije na vmesnih točkah (to je na kateri koli točki iz domene definicije funkcije).

Za naš primer bomo našli vrednosti funkcije v točkah x=-2, x=-1, x=-3/4, x=-1/4. Zaradi parnosti funkcije bodo te vrednosti sovpadale z vrednostmi v točkah x=2, x=1, x=3/4, x=1/4.

Gradnja grafa.

Najprej sestavimo asimptote, narišemo točke lokalnih maksimumov in minimumov funkcije, prevojne točke in vmesne točke. Za udobje konstruiranja grafa lahko shematično označite tudi intervale naraščanja, padanja, konveksnosti in konkavnosti, nismo zaman preučevali funkcije =).

Preostalo je, da narišemo črte grafa skozi označene točke, približamo se asimptotam in sledimo puščicam.

S to mojstrovino likovne umetnosti je naloga popolnega preučevanja funkcije in konstruiranja grafa zaključena.

Grafe nekaterih elementarnih funkcij lahko sestavimo z uporabo grafov osnovnih elementarnih funkcij.

Ta lekcija pokriva temo "Raziskava funkcije in povezanih problemov." Ta lekcija pokriva grafične funkcije z uporabo izpeljank. Funkcijo preučujemo, sestavimo njen graf in rešimo številne povezane probleme.

Tema: Izpeljanka

Lekcija: Raziskovanje funkcijein s tem povezane naloge

To funkcijo je treba preučiti, zgraditi graf, poiskati intervale monotonosti, maksimume, minimume in kakšne težave spremljajo znanje o tej funkciji.

Najprej v celoti izkoristimo informacije, ki jih nudi funkcija brez izpeljanke.

1. Poiščite intervale konstantnega znaka funkcije in sestavite skico grafa funkcije:

1) Poiščimo.

2) Funkcijski koreni: , od tukaj

3) Intervali konstantnega znaka funkcije (glej sliko 1):

riž. 1. Intervali konstantnega predznaka funkcije.

Zdaj vemo, da je v intervalu in graf nad X-osjo, v intervalu - pod X-osjo.

2. Zgradimo graf v bližini vsakega korena (glej sliko 2).

riž. 2. Graf funkcije v okolici korena.

3. Zgradite graf funkcije v okolici vsake diskontinuitetne točke v domeni definicije. Domena definicije se prekine v točki . Če je vrednost blizu točke, se vrednost funkcije nagiba k (glej sliko 3).

riž. 3. Graf funkcije v okolici diskontinuitetne točke.

4. Ugotovimo, kako se graf obnaša v bližini neskončno oddaljenih točk:

Zapišimo ga z uporabo omejitev

. Pomembno je, da se pri zelo velikih vrednostih funkcija skoraj ne razlikuje od enote.

Poiščimo odvod, intervale njegovega konstantnega predznaka in ti bodo intervali monotonosti funkcije, poiščimo tiste točke, v katerih je odvod enak nič, in ugotovimo, kje je točka maksimuma in kje točka minimuma.

Od tu naprej,. Te točke so notranje točke domene definicije. Ugotovimo, kakšen predznak ima odvod na intervalih in katera od teh točk je točka maksimuma in katera točka minimuma (glej sliko 4).

riž. 4. Intervali konstantnega predznaka odvoda.

Iz sl. 4 je razvidno, da je točka minimalna točka, točka maksimalna točka. Vrednost funkcije v točki je . Vrednost funkcije v točki je 4. Sedaj pa zgradimo graf funkcije (glej sliko 5).

riž. 5. Funkcijski graf.

Tako smo zgradili graf funkcije. Opišimo ga. Zapišimo intervale, v katerih funkcija monotono pada: , - to so intervali, kjer je odvod negativen. Funkcija monotono narašča na intervalih in . - minimalna točka, - maksimalna točka.

Poiščite število korenov enačbe glede na vrednosti parametrov.

1. Zgradite graf funkcije. Graf te funkcije je narisan zgoraj (glej sliko 5).

2. Razrežite graf z družino ravnih črt in zapišite odgovor (glej sliko 6).

riž. 6. Presečišče grafa funkcije z ravnimi črtami.

1) Kdaj - ena rešitev.

2) Za - dve rešitvi.

3) Kdaj - tri rešitve.

4) At - dve rešitvi.

5) Kdaj - tri rešitve.

6) Kdaj - dve rešitvi.

7) Kdaj - ena rešitev.

Tako smo rešili enega izmed pomembnih problemov, in sicer iskanje števila rešitev enačbe v odvisnosti od parametra . Obstajajo lahko različni posebni primeri, na primer, ko bo obstajala ena rešitev, dve rešitvi ali tri rešitve. Upoštevajte, da so ti posebni primeri, vsi odgovori na te posebne primere vsebovani v splošnem odgovoru.

1. Algebra in začetek analize, 10. razred (v dveh delih). Učbenik za splošne izobraževalne ustanove (raven profila), ed. A. G. Mordkovič. -M .: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra in začetek analize, 10. razred (v dveh delih). Problemska knjiga za izobraževalne ustanove (raven profila), ed. A. G. Mordkovič. -M .: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra in matematična analiza za 10. razred (učbenik za učence šol in razredov s poglobljenim študijem matematike).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Poglobljena študija algebre in matematične analize.-M .: Izobraževanje, 1997.

5. Zbirka nalog iz matematike za kandidate za visokošolske ustanove (urednik M.I. Skanavi - M.: Višja šola, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraični simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavič L.I., Shlyapochnik L.Ya., Činkina algebra in začetki analize. 8-11 razredi: Priročnik za šole in razrede s poglobljenim študijem matematike (didaktična gradiva). - M.: Bustard, 2002.

8. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Težave o algebri in načelih analize (priročnik za učence 10-11 razredov splošnoizobraževalnih ustanov - M.: Prosveshchenie, 2003).

9. Karp A.P. Zbirka nalog o algebri in načelih analize: učbenik. dodatek za 10-11 razrede. z globino študiral Matematika.-M .: Izobraževanje, 2006.

10. Glazer G.I. Zgodovina matematike v šoli. Razredi 9-10 (priročnik za učitelje).-M .: Izobraževanje, 1983

Dodatni spletni viri

2. Portal naravoslovja ().

Pripravite ga doma

Št. 45.7, 45.10 (Algebra in začetki analize, 10. razred (v dveh delih). Knjiga problemov za splošne izobraževalne ustanove (raven profila), ki jo je uredil A. G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2007.)