Metode reševanja sistemov eksponentnih enačb. Povzetek lekcije "sistem eksponentnih enačb in neenačb." Reševanje tipičnih eksponentnih enačb

"Neenakosti z eno spremenljivko" - Ne morete se nehati učiti. Določite največje celo število, ki pripada intervalu. Učimo se iz primerov. Rešitev neenakosti v eni spremenljivki je vrednost spremenljivke. Linearna neenakost. Poiščite napako. Neenakosti. Cilji lekcije. Rešiti neenačbo pomeni najti vse njene rešitve. Zgodovinska referenca.

“Algoritem za reševanje neenačb” - Funkcija. Naloga. Dogajanje. Veliko rešitev. Reševanje neenačb. Neenakosti. Rešitev neenakosti. Upoštevajmo diskriminanto. Neenačbo rešimo z intervalno metodo. Najenostavnejša linearna neenakost. Algoritem za reševanje neenačb. Os. Zdaj pa rešimo kvadratno neenakost.

"Logaritemske enačbe in neenakosti" - Ugotovite, ali je število pozitivno ali negativno. Namen lekcije. Reši enačbo. Lastnosti logaritmov. Logaritmi. Formule za prehod na novo bazo. Urjenje spretnosti pri reševanju logaritemskih enačb in neenačb. Definicija logaritma. Izračunaj. Navedite postopek za reševanje naslednjih enačb.

“Dokaz neenakosti” - Uporaba metode matematične indukcije. Za n=3 dobimo. Dokažite to za vsak n? N Dokaz. z Bernoullijevim izrekom, kot je zahtevano. Toda to jasno dokazuje, da je naša predpostavka napačna. Metoda temelji na lastnosti nenegativnosti kvadratnega trinoma, če in. Neenakost Cauchy-Bunyakovsky.

"Reševanje neenačb z intervalno metodo" - Reševanje neenačb z intervalno metodo. 2. Algoritem za reševanje neenačbe z intervalno metodo. Podan je graf funkcije: Rešite neenačbo:

"Reševanje iracionalnih enačb in neenačb" - Tuje korenine. Nabor nalog. Vnesite množitelj pod znak korena. Delo z nalogo. Iracionalne enačbe in neenačbe. Posodabljanje znanja. Iracionalna enačba. Opredelitev. Izberite tiste, ki so neracionalni. Iracionalne enačbe. Za katere vrednosti A velja enakost. Iracionalne neenakosti.

V tej lekciji si bomo ogledali reševanje kompleksnejših eksponentnih enačb in se spomnili osnovnih teoretičnih principov v zvezi z eksponentno funkcijo.

1. Definicija in lastnosti eksponentne funkcije, metode reševanja najenostavnejših eksponentnih enačb

Spomnimo se definicije in osnovnih lastnosti eksponentne funkcije. Na teh lastnostih temelji rešitev vseh eksponentnih enačb in neenačb.

Eksponentna funkcija je funkcija oblike , kjer je osnova stopnja in tukaj je x neodvisna spremenljivka, argument; y je odvisna spremenljivka, funkcija.

riž. 1. Graf eksponentne funkcije

Graf prikazuje naraščajoče in padajoče eksponente, ki ponazarjajo eksponentno funkcijo z osnovo večjo od ena in manjšo od ena, vendar večjo od nič.

Obe krivulji potekata skozi točko (0;1)

Lastnosti eksponentne funkcije:

Domena: ;

Razpon vrednosti: ;

Funkcija je monotona, narašča z, pada z.

Monotona funkcija sprejme vsako svojo vrednost z eno samo vrednostjo argumenta.

Ko se argument poveča od minus do plus neskončnosti, se funkcija poveča od vključno nič do plus neskončnosti. Nasprotno, ko se argument poveča od minus do plus neskončnosti, se funkcija zmanjša od neskončnosti do nič, ne vključno.

2. Reševanje standardnih eksponentnih enačb

Naj vas spomnimo, kako rešiti najenostavnejše eksponentne enačbe. Njihova rešitev temelji na monotonosti eksponentne funkcije. Skoraj vse kompleksne eksponentne enačbe je mogoče reducirati na takšne enačbe.

Enakost eksponentov z enakimi bazami je posledica lastnosti eksponentne funkcije, in sicer njene monotonosti.

Metoda rešitve:

Izenačite stopinjske osnove;

Izenačite eksponente.

Pojdimo k obravnavanju bolj zapletenih eksponentnih enačb; naš cilj je reducirati vsako od njih na najpreprostejšo.

Znebimo se korena na levi strani in pripeljemo stopinje na isto osnovo:

Da bi zmanjšali kompleksno eksponentno enačbo na njeno najpreprostejšo, se pogosto uporablja zamenjava spremenljivk.

Uporabimo lastnost moči:

Uvajamo zamenjavo. Naj bo potem

Pomnožimo dobljeno enačbo z dve in premaknimo vse člene na levo stran:

Prvi koren ne zadošča obsegu vrednosti y, zato ga zavržemo. Dobimo:

Zmanjšajmo stopinje na isti indikator:

Predstavimo zamenjavo:

Naj bo potem . S takšno zamenjavo je očitno, da y zavzame strogo pozitivne vrednosti. Dobimo:

Če znamo rešiti takšne kvadratne enačbe, lahko zapišemo odgovor:

Da bi se prepričali, ali so korenine pravilno najdene, lahko preverite z uporabo Vietovega izreka, tj. poiščete vsoto korenin in njihov produkt ter ju primerjate z ustreznimi koeficienti enačbe.

Dobimo:

3. Metodologija reševanja homogenih eksponentnih enačb druge stopnje

Preučimo naslednjo pomembno vrsto eksponentnih enačb:

Enačbe te vrste se imenujejo homogene druge stopnje glede na funkciji f in g. Na njegovi levi strani je kvadratni trinom glede na f s parametrom g ali kvadratni trinom glede na g s parametrom f.

Metoda rešitve:

To enačbo je mogoče rešiti kot kvadratno enačbo, vendar je lažje narediti drugače. Upoštevati je treba dva primera:

V prvem primeru dobimo

V drugem primeru imamo pravico deliti z najvišjo stopnjo in dobiti:

Treba je uvesti spremembo spremenljivk, dobimo kvadratno enačbo za y:

Naj opozorimo, da sta funkciji f in g lahko poljubni, vendar nas zanima primer, ko gre za eksponentne funkcije.

4. Primeri reševanja homogenih enačb

Premaknimo vse člene na levo stran enačbe:

Ker eksponentne funkcije pridobijo strogo pozitivne vrednosti, imamo pravico, da enačbo takoj razdelimo na , ne da bi upoštevali primer, ko:

Dobimo:

Predstavimo zamenjavo: (glede na lastnosti eksponentne funkcije)

Dobili smo kvadratno enačbo:

Korene določimo z uporabo Vietovega izreka:

Prvi koren ne izpolnjuje obsega vrednosti y, ga zavržemo, dobimo:

Uporabimo lastnosti stopinj in reduciramo vse stopnje na preproste baze:

Funkciji f in g je enostavno opaziti:

Oddelki: Matematika

Cilji lekcije:

Izobraževalna: naučiti se reševati sisteme eksponentnih enačb; utrditi spretnosti pri reševanju enačb, vključenih v te sisteme

Vzgojni: gojiti urejenost.

Razvojni: razvijati kulturo pisnega in ustnega govora.

Oprema: računalnik; multimedijski projektor.

Med poukom

Organiziranje časa

učiteljica. Danes bomo nadaljevali s preučevanjem poglavja "Eksponentna funkcija". Temo lekcije bomo oblikovali malo kasneje. Med lekcijo boste izpolnjevali obrazce za odgovore, ki so na vaših mizah ( cm. prijava št. 1 ). Odgovori bodo povzeti.

Posodabljanje znanja.

Učenci odgovarjajo na vprašanja:

Kakšna je oblika eksponentne funkcije?

Ustno delo. Delajte na diapozitivih od 1 do 5.

Katera enačba se imenuje eksponentna?

Katere metode reševanja poznate?

Ustno delo na diapozitivih 6 do 10.

Katero lastnost eksponentne funkcije uporabljamo pri reševanju eksponentnih neenačb?

Ustno delo na diapozitivih 11 do 15.

telovadba. Odgovore na ta vprašanja zapišite na list za odgovore št. ( cm. prijava št. 1 ). (diapozitivi od 16 do 31)

Preverjanje domače naloge
.

Domače naloge preverjamo na naslednji način.

Zamenjajte korene enačb z ustrezno črko in uganite besedo.

Učenci si ogledajo list za odgovore št. 2 ( Priloga 1) . Učitelj pokaže diapozitiv številka 33

(Učenci poimenujejo besedo (prosojnica št. 34)).

Kateri pojavi se dogajajo po zakonitostih te funkcije?

Študente prosimo, da rešijo naloge iz enotnega državnega izpita B12 (diapozitiv 35) in zapišejo rešitev na obrazcu za odgovore št. 3 ( Priloga 1).

Pri preverjanju domače naloge in reševanju naloge B12 bomo ponovili metode reševanja eksponentnih enačb.

Učenci ugotovijo, da je za rešitev enačbe v dveh spremenljivkah potrebna še ena enačba.

Nato se oblikuje tema lekcije (številka diapozitiva 37).

Sistem je zapisan v zvezke (prosojnica št. 38).

Za rešitev tega sistema ponovimo metodo zamenjave (diapozitiv številka 39).

Metodo seštevanja ponovimo ob reševanju sistema (prosojnice 38 do 39).

Primarna konsolidacija preučenega gradiva
:

Dijaki samostojno rešujejo sisteme enačb v odgovorih št. 4 ( Priloga 1 ), prejemanje individualnih svetovanj učiteljev.

Povzemanje. Odsev.

Nadaljuj povedi.

Danes sem v razredu ponavljal...
Danes sem pri pouku utrjeval...
Danes sem se v razredu naučil...
Danes sem se v razredu naučil...

Ob koncu ure učenci zapišejo domačo nalogo in oddajo obrazce za odgovore.

Domača naloga:
št. 59 (sodo) in št. 62 (sodo).

Literatura

Vse naloge Enotnega državnega izpita skupine 3000 problemov - Založba "Izpit" Moskva, 2011. Uredil A.L. Semenova, I.V. Jaščenko.
S.A. Šestakov, P.I. Zakharov Unified State Exam 2010 matematični problem C1, ki ga je uredil A.L. Semenova, I.V. Yashchenko Moskovska založba "MCNMO".
Učbenik Algebra in začetki matematične analize, 10. razred Yu.M Kolyagin Moskva “Razsvetljenje”, 2008.

Na stopnji priprave na zaključni test morajo srednješolci izboljšati svoje znanje na temo "Eksponentne enačbe". Izkušnje preteklih let kažejo, da takšne naloge šolarjem povzročajo določene težave. Zato morajo srednješolci, ne glede na stopnjo pripravljenosti, temeljito obvladati teorijo, si zapomniti formule in razumeti princip reševanja takšnih enačb. Ko so se naučili obvladovati tovrstne težave, lahko diplomanti računajo na visoke ocene pri opravljanju enotnega državnega izpita iz matematike.

Pripravite se na izpitno testiranje s Shkolkovo!

Pri pregledu gradiva, ki so ga obravnavali, se veliko študentov sooči s problemom iskanja formul, potrebnih za reševanje enačb. Šolski učbenik ni vedno pri roki, izbiranje potrebnih informacij o temi na internetu pa traja dolgo.

Izobraževalni portal Shkolkovo vabi študente k uporabi naše baze znanja. Uvajamo popolnoma nov način priprave na zaključni test. S študijem na naši spletni strani boste lahko prepoznali vrzeli v znanju in se posvetili tistim nalogam, ki povzročajo največ težav.

Učitelji Shkolkova so zbrali, sistematizirali in predstavili vse gradivo, potrebno za uspešno opravljanje enotnega državnega izpita, v najpreprostejši in najbolj dostopni obliki.

Osnovne definicije in formule so predstavljene v poglavju “Teoretično ozadje”.

Za boljše razumevanje snovi priporočamo, da vadite izpolnjevanje nalog. Previdno preglejte primere eksponentnih enačb z rešitvami, predstavljene na tej strani, da boste razumeli algoritem izračuna. Po tem nadaljujte z izvajanjem nalog v razdelku »Imeniki«. Začnete lahko z najlažjimi nalogami ali pa se takoj lotite reševanja kompleksnih eksponentnih enačb z več neznankami ali . Baza vadb na naši spletni strani se nenehno dopolnjuje in posodablja.

Tiste primere z indikatorji, ki so vam povzročali težave, lahko dodate med »Priljubljene«. Tako jih lahko hitro najdete in se o rešitvi pogovorite z učiteljem.

Če želite uspešno opraviti enotni državni izpit, se vsak dan učite na portalu Shkolkovo!

Metode reševanja sistemov enačb

Za začetek se na kratko spomnimo, kakšne metode na splošno obstajajo za reševanje sistemov enačb.

obstajati štiri glavne načine rešitve sistemov enačb:

Metoda substitucije: vzemite katero koli od danih enačb in izrazite $y$ z $x$, nato $y$ substituiramo v sistemsko enačbo, od koder najdemo spremenljivko $x.$. Nato lahko enostavno izračunamo spremenljivka $y.$

Metoda seštevanja: pri tej metodi morate eno ali obe enačbi pomnožiti s takimi številkami, da ko seštejete obe skupaj, ena od spremenljivk »izgine«.

Grafična metoda: obe enačbi sistema upodobimo na koordinatni ravnini in poiščemo njuno presečišče.

Metoda uvajanja novih spremenljivk: pri tej metodi zamenjamo nekaj izrazov, da poenostavimo sistem, nato pa uporabimo eno od zgornjih metod.