Model stohastičnega procesa. Stohastični minimax modeli Stohastični matematični model

Značilnosti stohastičnega modeliranja.

Značilnosti stohastičnega načina: stohastično modeliranje – modeliranje naključnih vplivov.

Stohastično modeliranje (SM) - m modeliranje naključnih procesov in naključnih dogodkov.

Bistvo SM– večkratno ponavljanje modelnih poskusov z namenom pridobitve statistike o lastnostih sistema, pridobitev podatkov o lastnostih naključnih dogodkov in količin.

Tarča– kot rezultat SM za parametre objektov je treba pridobiti oceno pričakovane vrednosti, disperzije in porazdelitvenega zakona slučajne spremenljivke.

Pojem naključnega dogodka in naključne spremenljivke.

Naključni dogodek je vsako dejstvo, ki se lahko zgodi ali ne zgodi kot rezultat izkušnje. Naključni dogodki so lahko: Zanesljivi (dogodek, ki se zgodi v vsakem poskusu). Nemogoče (dogodek, ki se ne more zgoditi kot rezultat izkušnje).

Številčna količina, ki naključno prevzame eno ali drugo vrednost kot rezultat izvedbe poskusa, se imenuje naključna spremenljivka .

Značilnosti naključnih spremenljivk in naključnih dogodkov.

Značilnosti naključnega dogodka:

Pogostost pojavljanja dogodka je verjetnost pojava določenega dogodka glede na neomejeno število poskusov.

Značilnosti naključne spremenljivke:

Matematično pričakovanje je število, okoli katerega so koncentrirane vrednosti naključne spremenljivke.

Varianca naključne spremenljivke označuje mero širjenja naključne spremenljivke okoli njenega matematičnega pričakovanja.

Gostote porazdelitve verjetnosti so vrsta funkcije, ki jo določa zakon porazdelitve naključnih spremenljivk.

Simulacija naključnih dogodkov.

Začetni podatki:

Verjetnost dogodka Pa;

Potrebno je zgraditi model dogodka A, ki se zgodi z verjetnostjo Pa.

Algoritem simulacije:

Uporabljen je senzor naključnega števila z enakomernim zakonom porazdelitve od 0 do 1:

Naključno določi (RND)  x i . 0<=x i <=1

Če je Xi zadovoljen<=Pa то событие A произошло. В противном случае произошло событие не A.

Simulacija celotne skupine naključnih dogodkov.

Skupina nezdružljivih dogodkov se imenuje popolna, če se med testiranjem zagotovo zgodi samo en dogodek (algoritem).

Primeri stohastičnih modelov.

Modeli za napovedovanje sprememb stanje na avtocesti podjetja.

Literatura: , .

3. Simulacijsko modeliranje

Koncept simulacijskega modeliranja.

Bistvo IM je računalniški eksperiment - preučevanje lastnosti predmeta s preizkušanjem njegovega računalniškega modela.

Pomen simulacijskega modeliranja.

1) modeliranje kompleksnih sistemov (kadar predmeta ni mogoče analitično uporabiti)

2) modeliranje delovanja naključnih dejavnikov (potrebna je večkratna ponovitev)

3) pomanjkanje matematičnega modela (pri preučevanju neznanih pojavov).

4) potreba po pridobitvi rezultatov do določenega datuma (najverjetneje najpomembnejši razlog)

Primeri simulacijskih problemov: modeli sistemov čakalnih vrst, modeli naključnih dogodkov, celični avtomati, modeli kompleksnih sistemov itd.

1. Modeli čakalnih sistemov

Shema SMO

Namen CFR: določitev optimalnih sistemskih parametrov

primer: vrsta v supermarketu

Zahteve za storitve so lahko prejete z višjo prioriteto. primer: bencinski servis (reševalno vozilo, policija).

2. Modeli naključnih dogodkov

Naključno poimenujte dogodek, ki se lahko zgodi ali ne zgodi kot rezultat testa. Celovita značilnost naključnega dogodka je verjetnost njegovega pojava. Primeri: količine izdelkov, ki jih podjetje proizvede vsak dan; tečaji valut v menjalnicah; časovni interval pred nastopom naslednje stranke, trajanje vzdrževanja vozila.

3. Celični avtomati

Celični avtomat- sistem, ki je skupek enakih celic. Vse celice tvorijo tako imenovano celično avtomatsko mrežo. Vsaka celica je končni avtomat, katerega stanja določajo stanja sosednjih celic in lastno stanje. Prvič je bila ideja o takšnih avtomatih opažena v delih Neumanna v 40. letih prejšnjega stoletja.

primer: igra "Življenje". Leta 1970 jo je napisal John Conway.

Zvezni stohastični modeli (Q-sheme)

Posebnosti zvezno stohastičnega modela bomo obravnavali na primeru čakalnih sistemov (QS) kot standardnih matematičnih modelov. V tem primeru je uporabljeni sistem formaliziran kot nekakšen storitveni sistem. Značilnost takih objektov je naključno pojav zahtev (vlog) za storitev in dokončanje storitve ob naključnih trenutkih. Tisti. Narava delovanja naprav je stohastična.

Osnovni koncepti teorije čakalnih vrst.

V vsakem elementarnem dejanju storitve je mogoče razlikovati dve glavni komponenti:

1) Čakanje na storitev

2) Pravzaprav storitev

Nekatere vrste vzdrževanja nekatere opreme:

OA – servisna naprava

K – kanal

Servisna naprava (i-ta) bo sestavljena iz:

Tok dogodkov je zaporedje dogodkov, ki se zgodijo drug za drugim v nekaterih naključnih trenutkih časa.

Tok dogodkov se imenuje homogena , če je označen le s trenutki prihoda teh dogodkov (trenutki, ki povzročajo) in je določen s časovnim zaporedjem: ,

Tok se imenuje heterogena , če je podan z naslednjim nizom, kjer je t n trenutek sprožitve, f n je niz atributov dogodka (prisotnost prioritete, pripadnost eni ali drugi vrsti aplikacije).

Če so časovni intervali med sporočili neodvisne naključne spremenljivke, potem se tak tok imenuje tok s omejeno naknadni učinek.

Tok dogodkov se imenuje navaden , če je verjetnost, da se v majhnem časovnem intervalu, ki meji na čas t, zgodi več kot en dogodek, zanemarljivo majhna v primerjavi z verjetnostjo, da se v istem intervalu zgodi točno en dogodek.

Tok se imenuje stacionarni , če je verjetnost pojava določenega števila dogodkov v določenem časovnem intervalu odvisna samo od dolžine intervala in ni odvisna od tega, kje na časovni osi je ta odsek vzet.

Za navaden tok bo povprečno število sporočil, ki prispejo v odsek, ki meji na določeno točko v času t, enako .

Potem bo povprečno število sporočil, ki se pojavijo v časovnem obdobju: - navadna intenzivnost toka .

Za stacionarni tok - njegova intenzivnost ni odvisna od časa in je konstantna vrednost, ki je enaka povprečnemu številu dogodkov, ki se zgodijo na časovno enoto.

Tok aplikacij (), tj. časovni intervali med trenutki aplikacij, ki se pojavijo na vhodu kanala (to je podmnožica nenadzorovanih spremenljivk)

Tok storitve () - tj. časovni intervali med začetkom in koncem servisnih zahtev spadajo v podmnožico upravljanih zahtev.

Zahteve, ki jih streže kanal, ali zahteve, ki pustijo napravo neobdelano iz izhodnega toka. Proces delovanja i-te naprave lahko predstavimo kot proces spreminjanja stanj njenih elementov skozi čas.

Prehod v novo stanje za i-to napravo pomeni spremembo števila zahtev, ki so v pomnilniku ali kanalu:

kje - stanje pogona , če je = 0, je pogon prazen (ni zahtev), če se število zahtev ujema s kapaciteto pomnilnika, je pogon poln; - stanje kanala (0 – prosto ali 1 – zasedeno).

V praksi modeliranja se osnovna Q-vezja običajno kombinirajo in če so kanali različnih servisnih naprav povezani vzporedno, potem večkanalna storitev . In če zaporedno - večfazna storitev . Tako je za določitev Q-sheme potrebno uporabiti konjugacijski operator R, ki odraža odnos elementov strukture. Spreminjajte se odprto in zaprto Q-sheme.

Odpri – izhodni tok zahtev ne more doseči nobenega elementa, tj. brez povratne informacije

Zaprto – obstaja povratna informacija.

Lastni notranji parametri Q-sheme bodo:

• število faz
• število kanalov v vsaki fazi
• število pomnilniških naprav vsake faze
• skladiščna zmogljivost.

Glede na kapaciteto pogona se v teoriji čakalnih vrst uporablja naslednja terminologija: če je zmogljivost enaka nič (tj. ni pogona, ampak samo kanal), potem sistem z izgubami . Če se zmogljivost nagiba k neskončnosti, potem sistem čakanja , tj. čakalna vrsta prijav je neomejena.

Sistem mešanega tipa.

Za definiranje Q-sheme je potrebno opisati tudi algoritem njenega delovanja, ki določa nabor pravil za obnašanje zahtev v sistemu v različnih situacijah. Z uvedbo prednostnih razredov se upošteva heterogenost zahtevkov, ki odražajo procese v določenem realnem sistemu.

Celoten nabor možnih algoritmov za obnašanje zahtev v Q-shemi je mogoče predstaviti kot operator:

Q = (W, U, R, H, Z, A)

kjer je W podmnožica vhodnih tokov;

U je podmnožica storitvenega toka;

R - operator konjugacije elementov strukture;

H - podmnožica lastnih parametrov;

Z je množica stanj sistema;

A - operater algoritmov za obnašanje in servisiranje zahtev;

Za pridobitev odnosov, ki povezujejo značilnosti, ki določajo delovanje Q-sheme, so uvedene nekatere predpostavke glede vhodnih tokov, distribucijskih funkcij, trajanja storitve zahteve in discipline storitev.

Za matematični opis delovanja naprav, katerih proces delovanja se razvija v naključnem vrstnem redu, lahko uporabimo matematične modele za opis t.i. Markovski naključni procesi .

Naključni proces se imenuje Markov, če ima naslednjo lastnost - za vsak trenutek v času je verjetnost katerega koli stanja sistema v prihodnosti (tj. v neki točki v času) odvisna samo od stanja sistema v sedanjosti in ni odvisno od tega, kdaj in kako je sistem dosegel to stanje. Sicer pa je v markovskem naključnem procesu njegov prihodnji razvoj odvisen le od njegovega trenutnega stanja in ni odvisen od zgodovinskega procesa.

/* v resnici taki sistemi seveda ne obstajajo. Vendar obstajajo mehanizmi, ki nam omogočajo, da jih zmanjšamo na te procese.*/

Za markovske procese se običajno sestavijo Kolmogorove enačbe.

Na splošno Kolmogorove enačbe izgledajo takole:

kjer je vektor, ki določa določen niz koeficientov, ki so del sistema

Za stacionarno razmerje:

,

ki omogoča pridobitev stacionarne odvisnosti

In nato povežite izhodne značilnosti z nizom koeficientov, ki ustrezajo sistemu:

Zadnja relacija predstavlja odvisnost izhodnih parametrov od nekaterih notranjih parametrov modela in se imenuje osnovni model .

Kot rezultat vsega tega moramo najti:

Ki se bo imenoval model vmesnika .

Posledično je matematični model sistema zgrajen kot kombinacija osnovnega in vmesniškega modela, kar omogoča uporabo istih osnovnih modelov za različne načrtovalske naloge, ki se prilagajajo ustrezni nalogi s spremembo samo vmesniškega modela. Za Q-sheme mora matematični model zagotavljati izračun odzivnega časa in določitev zmogljivosti sistema.

Primer: naj obstaja nek sistem S, ki ima končno množico stanj (upoštevali bomo 4 stanja).

Dobimo usmerjen graf:

Gostote verjetnosti za niz stanj.

Poiščimo verjetnost, tj. verjetnost, da bo v trenutku t sistem v stanju .

Dajmo t majhen prirastek in ugotovimo, da bo v trenutku, ko bo sistem v stanju .

To je mogoče izvesti na dva načina:

Verjetnost prve metode bomo našli kot zmnožek verjetnosti in pogojne verjetnosti, da se sistem s časom ne bo premaknil iz tega stanja v stanje. Ta pogojna verjetnost, do neskončno majhnih vrednosti višjih redov, bo enaka:

Podobno je verjetnost druge metode enaka verjetnosti, da je bil v naslednjem trenutku t v stanju, pomnoženi s pogojno verjetnostjo prehoda v stanja, tj.

=>

Za prvo stanje smo izpeljali Kolmogorovo enačbo.

Integracija tega sistema daje zahtevane verjetnosti sistema kot funkcijo časa. Začetni pogoji so vzeti glede na to, kakšno je bilo začetno stanje sistema. Na primer, če je bil sistem v času t = 0 v stanju, bo začetni pogoj .

Poleg tega morate dodati stanje normalizacije (vsota verjetnosti = 1).

Kolmogorova enačba je sestavljena po naslednjem pravilu: na levi strani vsake enačbe je odvod verjetnosti stanja, na desni strani pa vsebuje toliko členov, kolikor puščic je povezanih z danim stanjem. Če je puščica usmerjena od države, ima dopisni član znak "-", v državo - "+". Vsak člen je enak zmnožku gostote verjetnosti (intenzivnosti) prehoda, ki ustreza dani puščici, pomnoženemu z verjetnostjo stanja, iz katerega prihaja puščica.

Laboratorijsko delo št. 1.

Določite povprečni relativni čas, ko sistem ostane v mejnem stacionarnem stanju. Intenzivnosti prehodov iz stanja v stanje so podane v obliki matrike velikosti ≤ 10.

Poročilo: naslov, namen, teoretični del in izračuni.

Razmislite o večkanalnem sistemu čakalne vrste z napakami.

Stanje sistema bomo oštevilčili s številom zasedenih kanalov. Tisti. glede na število aplikacij v sistemu.

Pokličimo države:

Vsi kanali so brezplačni

En kanal je zaseden, ostali so prosti

K kanalov je zasedenih, ostali so prosti

Vseh n kanalov je zasedenih

Graf stanja:

Označimo graf, tj. Uredimo intenzitete ustreznih dogodkov.

S puščicami od leve proti desni sistem prenese enak pretok z intenzivnostjo.

Določimo intenzivnost tokov dogodkov, ki prenašajo sistem z desne proti levi.

Naj bo sistem v. Potem, ko se servisiranje zahteve, ki zaseda ta kanal, konča, se sistem premakne v => tok, ki prenese sistem v drugo stanje, bo imel intenzivnost prehoda m. Če sta zasedena 2 kanala in ne en, bo intenzivnost prehoda 2 m.

Kolmogorove enačbe:

Mejne verjetnosti stanj p 0 in p n karakterizirajo ustaljeno stanje delovanja sistema čakalne vrste pri t® ¥.

Povprečno število zahtev, ki pridejo v sistem v povprečnem času servisiranja ene zahteve.

Poznavanje vseh verjetnosti stanj p 0 , … , p n, lahko najdete značilnosti QS:

• verjetnost neuspeha – verjetnost, da je vseh n kanalov zasedenih

• relativna prepustnost – verjetnost, da bo vloga sprejeta v storitev

• povprečno število vročenih vlog na časovno enoto

Nastala razmerja se lahko obravnavajo kot osnovni model za ocenjevanje značilnosti delovanja sistema. Parameter, vključen v ta model, je povprečna lastnost uporabnika. Parameter m je funkcija tehničnih lastnosti računalnika in nalog, ki jih rešujemo.

To razmerje je mogoče vzpostaviti z razmerji, imenovanimi model vmesnika. Če je čas vnosa/izhoda informacij za posamezno nalogo majhen v primerjavi s časom reševanja problema, potem je logično domnevati, da je čas rešitve enak 1 / m in je enako razmerju povprečnega števila operacij, ki jih procesor izvede pri reševanju enega problema, in povprečne hitrosti procesorja.

Naredi sam: Metoda ugnezdene Markovljeve verige

Zahteve za poročilo: naslov, namen, kratke teoretične informacije (napišite, česar ne veste), primer, besedilo programa.

Nemarkovski naključni procesi reducirani na markovske.

Realni procesi imajo zelo pogosto posledice in zato niso markovski procesi. Včasih je pri preučevanju takih procesov mogoče uporabiti metode, razvite za Markovljeve verige. Najpogostejši so:

1. Metoda razgradnje naključnega procesa v faze (metoda psevdo stanj)

2. Metoda ugnezdene verige

Klasična definicija verjetnosti

Probabilistični model eksperimenta s končnim številom rezultatov. Definicija verjetnostnega prostora, algebra, dogodki. Klasični verjetnostni problemi za izračun naključnih možnosti. Število elementarnih rezultatov, ko pride do izbire z/brez vrnitve, urejenih/neurejenih izbir. Povezava z nalogo štetja postavitev pelet v celice. Klasični verjetnostni problemi za izračun naključnih možnosti (problem naključja, dobitek na loteriji). Binomska porazdelitev. Multinomska porazdelitev. Multivariatna hipergeometrijska porazdelitev.

Pogojne verjetnosti. Neodvisnost. Pogojno matematično pričakovanje.

Definicija pogojne verjetnosti, lastnosti. Formula skupne verjetnosti. Bayesova formula, Bayesov izrek. Ugotavljanje neodvisnosti dogodkov. Primer je, da iz parne neodvisnosti dogodkov na splošno ne izhaja njihova neodvisnost. Bernoullijeva shema.

Diskretne naključne spremenljivke in njihove značilnosti

Porazdelitev naključne spremenljivke. Lastnosti porazdelitvene funkcije naključne spremenljivke. Opredelitev matematičnega pričakovanja, disperzije, kovariance in korelacije, lastnosti. Najboljša povprečna kvadratna linearna napoved vrednosti ene naključne spremenljivke iz vrednosti druge naključne spremenljivke.

Mejni izreki

Bernoullijeva shema. Čebiševljeva neenakost, posledice. Bernoullijev zakon velikih števil. Mejni izreki (lokalni, Moivre-Laplaceov, Poissonov).

Naključni sprehod

Verjetnost propada in povprečno trajanje v igri z metom kovanca. Načelo refleksije. Arkusinusni zakon.

Martingales

Opredelitev. Primeri martingalov. Določitev trenutka ustavitve. Waldove identitete.

Diskretne markovske verige. Ergodični izrek.

Splošna definicija markovskega procesa. Definicija diskretne markovske verige. Kolmogorov-Chapmanova enačba. Homogena Markovljeva veriga. Razvrstitev stanj Markovove verige (nebistvena, ponavljajoča se, komunicirajoča, ničelna, periodična, ergodična stanja), izrek o "solidarnosti" njihovih lastnosti. Nerazgradljiva diskretna Markovljeva veriga. Nujen in zadosten pogoj za ponovitev stanja homogene diskretne markovske verige. Definicija ergodične diskretne Markovljeve verige. Stacionarna distribucija. Ergodični izrek v primeru homogene diskretne markovske verige.

Probabilistični model eksperimenta z neskončnim številom dogodkov. Kolmogorova aksiomatika. Različne vrste konvergence slučajnih spremenljivk.

Kolmogorova aksiomatika. Algebre in sigma algebre. Merljivi prostori (R, B(R)), (Rd, B(Rd)), (R∞, B(R∞)) in (RT, B(RT)), kjer je T poljubna množica. Primeri diskretnih mer, primeri absolutno zveznih mer. Multivariatna normalna porazdelitev. Kolmogorov izrek o nadaljevanju mer v (R∞, B(R∞)) (brez dokaza). Definicija naključne spremenljivke in njenih lastnosti. Porazdelitvena funkcija in njene lastnosti. Konstrukcija Lebesgueovega integrala. Matematično pričakovanje, lastnosti. Izrek o monotoni konvergenci, Fatoujeva lema, Lebesgueov izrek o prevladujoči konvergenci (brez dokaza). Uniformna družina integrabilnih naključnih spremenljivk, zadosten pogoj za enotno integrabilnost. Neenakost Čebiševa, Cauchy-Bunyakovskega, Jensena, Ljapunova, Hölderja, Minkovskega. Radon-Nikodimov izrek (brez dokaza). Definicija pogojnega matematičnega pričakovanja in pogojne verjetnosti, lastnosti. Različne vrste konvergence zaporedij slučajnih spremenljivk, definicije, razmerja med različnimi vrstami konvergence, protiprimeri. Borel-Cantellijeva lema. Definicija karakteristične funkcije, lastnosti, primeri.

Do sedaj smo obravnavali modele z deterministično topologijo omrežja. Pri modeliranju kompleksnega projekta so omrežni modeli s stohastično strukturo pogosto najbolj prilagodljivi in ​​uporabni. Stohastično omrežje je definirano kot omrežje, ki vsebuje alternativna vozlišča (stanja), z loki (posli), za katere ni značilna samo verjetnostna porazdelitev trajanja, temveč tudi verjetnost njihove izvedbe.

Stohastični omrežni model s številnimi možnimi rezultati, ki je nadaljnji razvoj tradicionalnih omrežij, omogoča popolnejši prikaz procesa razvoja in ustvarjanja kompleksnega projekta. Matematični aparat, ki se uporablja za analizo stohastičnih omrežnih modelov, omogoča izračun verjetnosti različnih alternativnih rezultatov in oceno časa njihove možne izvedbe.

Stohastični omrežni model je končni graf G=(W,A), kjer je W niz determinističnih in alternativnih vozlišč, identificiranih z dogodki, tehnološka matrika A=(p ij ) pa določa niz usmerjenih lokov, identificiranih z opravili ( ali povezave). Za stohastična omrežja 0£ p ij £ 1 in p ij =1 določa delo (i,j), podobno kot definicije, sprejete v tradicionalnih omrežjih, in

0 < p ij < 1 соответствует альтернативному событию i, из которого с вероятностью p ij «выходит» работа (i,j). Другими словами p ij – вероятность того, что работа (i,j) будет выполнена при условии, что узел i выполнен.

Naj bo j(t ij) gostota porazdelitve časa izvajanja dela (i,j). M[x] – matematično pričakovanje naključne spremenljivke x.

Uvedemo pogojno generirajočo funkcijo momentov naključne spremenljivke t ij kot М ij (s)=М [е st ij ], tj.

M ij (s)= ò e st ij j(t ij)dt ij (za zvezno naključno spremenljivko),

е st ij j(t ij) (za diskretno naključno spremenljivko).

Zlasti M ij (s)=M[e sа ] = е sа za t ij =a=const, M ij (0)=1.

Za vsak lok (i,j) je Y-funkcija definirana kot

Y ij (s) = p ij М ij (s).

Prvotno omrežje se pretvori v enakovredno s tremi osnovnimi transformacijami:

· zaporedni loki,

· vzporedni loki,

Za zaporedne loke (slika 7)

Y ik (s) = Y ij (s)Y jk (s).

Za vzporedne loke (slika 8)

Y ij (s) = Y a (s) + Y b (s).

Za zanke oblike (slika 9)

Y ij (s) = Y b (s)/.

S kombiniranjem osnovnih transformacij se lahko katero koli omrežje pretvori v enakovredno omrežje, sestavljeno iz enega loka (E-lok).

Namen časovne analize stohastičnega omrežja je izračunati pričakovanje in varianco časa izvajanja omrežja (ali katerega koli njegovega fragmenta) ter verjetnost dokončanja končnega (ali katerega koli drugega dogodka) omrežja.

Tu se uporablja teorija zaprtih grafov toka, kjer se zgoraj uvedena Y-funkcija interpretira kot ustrezen koeficient prepustnosti obloka. Za uporabo rezultatov te teorije v odprtem omrežju z želenim parametrom Y E (s) je uveden dodaten lok s parametrom Y A (s), ki povezuje končni dogodek (ponor) z začetnim (vir).

Topološka enačba za zaprte grafe, znana kot Masonovo pravilo, se nato uporabi na naslednji način:

1 – åT(L 1) + åT(L 2) – åT(L 3) +…+ (-1) m åT(L m) + … =0, (10)

kjer je åT(L m) vsota ekvivalentnih koeficientov prepustnosti za vse možne zanke m-tega reda.

Ekvivalentna prepustnost za zanko m-tega reda je enaka produktu prepustnosti m nepovezano zanke prvega reda, tj.

T(L m)=Õ m k=1 T k .

Iz Masonovega pravila neposredno sledi, da je 1–Y A (s)Y E (s)=0 ali Y A (s)=1/Y E (s). Z uporabo tega rezultata se v topološki enačbi (10) Y A (s) nadomesti z 1/Y E (s), nato pa se reši za Y E (s), s čimer se pridobi enakovredna funkcija Y za prvotno stohastično omrežje.

Ker je Y E (s) = p E M E (s) in M ​​E (0) = 1, potem je p E = Y E (0), kar pomeni, da

M E (s)= DA (s)/p E = DA E (s) /DA E (0). (11)

Po pridobitvi analitičnega izraza za M E (s) izračunajte prvi in ​​drugi delni odvod glede na s funkcije M E (s) v točki s=0, tj.

m 1E =¶/¶s[M E (s)] s=0 (12)

m 2E =¶ 2 /¶s 2 [M E (s)] s=0 (13)

Prvi trenutek m 1E glede na izvor je matematično pričakovanje časa izvajanja omrežja (pretvorjeno v njegov ekvivalent E-loka), disperzija časa izvajanja omrežja pa je enaka razliki med drugim trenutkom m 2E in kvadratom prvega, tj.

s 2 = m 2E – (m 1E) 2. (14)

Tako vam zgoraj opisana naprava omogoča izračun časovnih parametrov vseh dogodkov, ki so zanimivi za uporabnika v stohastičnem omrežju, kot tudi določitev verjetnosti njihovega pojava.

Z uporabo pridobljenih informacij je mogoče z uporabo neenakosti Čebiševa oceniti verjetnost morebitnih intervalov zaupanja časa dokončanja projekta po poljubnih zakonih porazdelitve časa za dokončanje posameznih operacij. Če je čas izvajanja vsake operacije normalno porazdeljen, potem je tudi rezultatni čas normalno porazdeljen. V tem primeru je možno pridobiti verjetnostne ocene časa dokončanja projekta z uporabo Moivre-Laplaceovega integralnega izreka. Poleg tega, če je število delovnih mest v omrežju dovolj veliko in so izpolnjeni določeni pogoji (zlasti neodvisnost delovnih mest), lahko uporabite Lyapunovov mejni izrek in menite, da je posledični čas dokončanja projekta normalno porazdeljena naključna spremenljivka z značilnostmi izračunano po zgoraj opisani metodi.

Model stohastičnega omrežja torej vključuje vsa naključna odstopanja in negotovosti, ki nastanejo neposredno med izvajanjem posameznega dela.

3.4. Formalizacija splošne formulacije problema načrtovanja dela pri vodenju projektov in opis modela univerzalnega omrežja ter problemov časovne analize, rešenih na njegovi podlagi

Kot rezultat analize in sinteze zgornjih modelov je predlagan univerzalni matematični model, katerega posebni primeri so klasični, generalizirani in stohastični mrežni modeli.

Ta model (imenovan ciklični stohastični mrežni model - TSSM) je bolj fleksibilno in primerno orodje za opisovanje procesa vodenja razvoja kompleksnega projekta.

CSSM je končen, usmerjen, ciklični graf G(W,A), sestavljen iz niza dogodkov W in lokov (i,j)(dogodki i, jОW), definiranih z matriko sosednosti A=(p ij ). 0Ј p ij Ј1 in p ij =1 definira deterministični lok (i,j) in 0< p ij <1 определяет альтернативное событие i, которое с вероятностью p ij связано дугой с событием j. Множество дуг подразделяется на дуги-работы и дуги-связи. Первые реализуют определенный объем производственной деятельности во времени, второй тип дуг отражает исключительно логические связи между последними. Событиями могут быть как начала и окончания выполняемых работ, так некоторые их промежуточные состояния.

Označimo s T i čas dokončanja i-tega dogodka, potem je razmerje med časom dogodkov, ki jih povezuje lok (i,j), podano z neenakostjo:

T j – T i i y ij , (15)

kjer je y ij v splošnem primeru naključna spremenljivka, porazdeljena po nekem zakonu v intervalu od – Ґ do 0 ali od 0 do +Ґ.

Poleg tega so v času izvajanja dogodka i možne absolutne omejitve:

l i Ј T i ЈL i . (16)

Relacije (15)-(16) so posplošitev ustreznih neenakosti pri opisu posplošenih omrežnih modelov, kjer sta parameter y ij in matrika sosednosti A deterministične narave.

Upoštevajmo pomensko obremenitev relacije (15) z verjetnostno naravo parametra y ij.

Če je (i,j) ločno opravilo (ali njegov del), potem pozitivno porazdeljena naključna spremenljivka y ij podaja porazdelitev minimalnega trajanja tega opravila (povezanega z največjo nasičenostjo njegovega definirajočega vira). Delo kaže, da je porazdelitev količine y ij unimodalna in asimetrična, te zahteve pa izpolnjuje beta porazdelitev, torej minimalni čas delovanja je naključna spremenljivka y ij =t min (i,j), porazdeljena po beta zakonu porazdelitve na segmentu [a, b] z gostoto

j(t)=С(t – a) p-1 (b – t) q-1 , (17)

kjer je C določen iz pogoja

Če je naključna spremenljivka y ij v (15), ki ustreza loku (i,j), porazdeljena v intervalu od – Ґ do 0, potem –y ij =t max (j,i) podaja porazdelitev dolžina največjega časovnega intervala, v katerem je treba delo (i,j) začeti in dokončati tudi z minimalno nasičenostjo njegovega določujočega vira. Za to količino smo dobili porazdelitev podobne oblike (17). Ob poznavanju porazdelitve naključne spremenljivke y ij za vsako delovno mesto (i, j) se z ustreznimi formulami izračunata njeno matematično pričakovanje in varianca.

Uvedba v (15) negativno porazdeljenih vrednosti y ij za ločna dela (i, j) bistveno razširi možnosti opisovanja časovnih značilnosti dela, zaradi česar je široko uporabljeni verjetnostni model le eden od posebnih primerov.

Za ločne povezave (i,j) vrednost y ij podaja porazdelitev časovne odvisnosti med dogodki i in j, pozitivno porazdeljena vrednost y ij pa določa razmerje tipa »ne prej« (dogodek j se ne more zgoditi prej kot y ij dni po dogodku i), negativno porazdeljena vrednost y ij pa določa razmerje tipa »ne pozneje« (dogodek i se lahko zgodi najkasneje –y ij dni po pojavu dogodka j). V slednjem primeru se takšne povezave imenujejo "obratne".

Tako smo tukaj dobili posplošitev teh povezav ob upoštevanju njihove morebitne verjetnostne narave.

Ker je časovna razporeditev dogodkov T i določena z vsoto trajanja del, ki jim tehnološko sledijo, potem z dovolj velikim številom takih del, v skladu s centralnim mejnim izrekom, porazdelitev slučajne spremenljivke T i teži k normali s parametri – matematičnim pričakovanjem MT i in varianco DT i . Tudi parameter y ij, ki ustreza "obratnim" lokom, ima normalno porazdelitev, kar potrjuje tudi statistična analiza.

Absolutne omejitve časovnega razporeda dogodkov, podane s (16), odražajo ustrezne politične, organizacijske in tehnološke omejitve časovnega razporeda dela ali njegovih delov, določene v »absolutni« (realni ali pogojni) časovni lestvici. Za absolutne omejitve je značilen tudi tip »ne prej« ali »ne pozneje« in imajo obliko: T i – T 0 i l i, T 0 – T i i –L i. Tako so absolutne omejitve oblike (16) poseben primer omejitev oblike (15) za določene ločne povezave.

Uvedba stohastične matrike sosednosti A v kombinaciji s posplošenimi povezavami nudi dodatne možnosti za opis procesa ustvarjanja kompleksnega projekta.

Naj bo L(i,j) neka pot, ki povezuje dogodka i in j:

L(i,j)=(i=i 0 ®i 1 ®i 2 ®…®i v =j). (18)

to deterministična pot, če je za vse kO pi k-1 i k =1 res, in stohastično, drugače. Tako stohastična pot vsebuje vsaj en lok, katerega verjetnost "izvedbe" je strogo manjša od 1.

Podobno opredeljeno deterministično in stohastično vezjeК(i)=(i=i 0 ®i 1 ®i 2 ®…®i v =i). (takšni dogodki se imenujejo "kontura").

Če sta dogodka i in j povezana s potjo L(i,j), potem je verjetnost pojava dogodka j, pod pogojem, da se je dogodek i zgodil P(j/i), zmnožek koeficientov matrike sosednosti A, ki ustreza loki povezovalne poti:

Р(j/i)=Х v k=1 p i k-1 i k . (19)

Če sta dogodka i in j povezana z več potmi, se izvede enakovredna GERT transformacija danega mrežnega fragmenta v skladu s formulami, podanimi v delu, izračuna se generativna funkcija Y ij (s) transformiranega fragmenta in verjetnost, da se zgodi dogodek j, pod pogojem, da se zgodi dogodek i P (j/i)= Y ij (0).

Prvi odvod funkcije Y ij (s)/ Y ij (0) glede na s v točki s=0 (prvi trenutek m 1 (j/i)) določa matematično pričakovanje M(j/i) časa pojava dogodka j glede na čas nastanka dogodka i. Drugi odvod funkcije Y ij (s)/ Y ij (0) glede na s v točki s=0 (drugi moment m 2 (j/i)) nam omogoča izračun disperzije časa nastanka dogodka j glede na čas nastanka dogodka i z uporabo formule

s 2 (j/i) =m 2 (j/i) – (m 1 (j/i)) 2. (20)

Dolžina poti L(i,j) je naključna spremenljivka, katere matematično pričakovanje ML(i,j) je vsota matematičnih pričakovanj dolžin vseh lokov, ki sestavljajo to pot, in variance DL (i,j) je enaka vsoti varianc.

Pod temi pogoji lahko traja dolžina poti (kroga). negativno vrednosti, ki se razlagajo na naslednji način:

če L(i,j)<0 и дуга (j,i) имеет отрицательно распределенный параметр y ji , то событие j должно свершиться najkasneje do kot –y ji dni po pojavu dogodka i. Parameter y ji je verjetnostne narave, kar omogoča bolj fleksibilen (glede na ciklične mrežne modele) opis logično-časovnih povezav med dogodki.

Kot parameter loka y ij lahko upoštevamo tudi katerikoli značilni parameter, ki je aditivnost vzdolž lokov poljubne poti (na primer strošek dela), in z uporabo ekvivalentne transformacije GERT dobimo matematično pričakovanje in disperzijo stroški fragmenta omrežja ali projekta kot celote.

Problemi časovne analize CSSM (in algoritmi za njihovo rešitev) kot tudi časovne analize klasičnih, posplošenih ali stohastičnih omrežnih modelov predstavljajo osnovo za reševanje vseh problemov načrtovanja in vodenja projektov. Imajo neodvisen pomen pri reševanju problemov vodenja projektov brez upoštevanja omejitev virov.

Naloge časovne analize so potrebne tudi za ustvarjanje različnih možnosti načrta za določene vrednosti vektorja razpoložljivosti virov z namenom njihove naknadne primerjave, ocene kakovosti možnosti načrta in izbire smeri za njegovo nadaljnje izboljšanje.

Pri reševanju problemov optimalnega načrtovanja dela pri vodenju projektov se algoritmi časovne analize CSSM uporabljajo kot orodje za izračun potrebnih parametrov, ki se uporabljajo v ustreznih optimizacijskih algoritmih za zagotavljanje skladnosti s tehnološkimi omejitvami.

Naloga časovne analize CSSM se zmanjša na iskanje naključnega vektorja T=(T 0 ,T 1 ,…,T n), kjer je T i čas nastanka i-tega dogodka, katerega koordinate izpolnjujejo neenakosti (15), (16) in obrnemo na ekstrem neko ciljno funkcijo f(T).

Označeno trije razredi problemov časovne analize:

· klasična, pri katerem se za izračun (Ti) uporabljajo matematična pričakovanja trajanja vseh lokov;

· verjetnostni v katerem se na podlagi Liapunovega mejnega izreka ali drugih analitičnih sredstev izračunajo matematična pričakovanja časovnega razporeda i-tih dogodkov - (MT i), ki so argumenti ciljne funkcije f(T);

· statistični, v katerem za dano stopnjo zaupanja p z uporabo metode, opisane v delu, p-kvantilne ocene empiričnih porazdelitev tako časovnega razporeda i-tih dogodkov - (W p (T i)) kot njihovih derivatov, vključno z vrednostmi ciljne funkcije f(W p (T)), kjer je W p (T)=(W p (T 0),W p (T 1),…,W p (T n)).

Predstavljen je koncept konsistentnosti CSSM.

Model cikličnega stohastičnega omrežja se imenuje dosledno,če obstaja vsaj en izvedljiv načrt, izračunan za ustrezen razred problemov časovne analize (klasični, verjetnostni ali statistični), ki zadošča sistemu neenačb (15), (16).

Oglejmo si te tri koncepte.

Klasična skladnost modela.

Izračunajo se matematična pričakovanja trajanja vseh lokov, nakar se oblikuje mreža s konstantnimi dolžinami lokov. Ob upoštevanju stohastične narave obravnavanega modela in prisotnosti posplošenih povezav lahko v CSSM po zgornjih izračunih pride do stohastičnih in determinističnih kontur. Naslednji izrek je dokazan:

1. izrek . Da bi bil ciklični stohastični model, v katerem se trajanja lokov izračunavajo po klasični shemi, skladen z dano verjetnostjo a, je nujno in zadostno, da dolžine vseh determinističnih kontur niso pozitivne.

Doslednost verjetnostnega modela.

Matematično pričakovanje MT i in varianca s 2 T i časovnega razporeda dogodkov se izračunata analitično. Tako izračunani parametri se razlikujejo po vrednosti za 15-20 % od tistih izračunanih na klasičen način (glede na matematično pričakovanje trajanja obloka).

Pogovorimo se o verjetnostna konsistentnost modela v povprečju, če tako dobljena množica zadošča neenačbam (15)-(16), kjer je njeno matematično pričakovanje vzeto kot vrednost y ij. Dokazana je veljavnost naslednjega izreka:

2. izrek . Da bi bil ciklični stohastični model v povprečju verjetnostno konsistenten, je nujno in zadostno, da matematična pričakovanja dolžin vseh determinističnih kontur niso pozitivna.

Ob predpostavki, da ima T i normalno porazdelitev z naslednjimi parametri: matematično pričakovanje - MT i in varianca - s 2 T i, uvedemo širši koncept e- verjetnostna konsistentnost modela.

Rekli bomo, da je CSSM e-verjetnostno konsistenten, če obstaja e > 0 tako, da za vse T i velja neenakost

|T i –MT i |< e, справедливы соотношения (15)-(16). В работе доказано следующее:

Izrek 3 . Da bi bil ciklični alternativni model e-verjetnostno konsistenten, je nujno in zadostno, da matematična pričakovanja dolžin vseh determinističnih kontur zadoščajo razmerju ML(K(i)) Ј –4e.

Verjetnostna konsistentnost modela v povprečju je poseben primer e-verjetnostne konsistentnosti za e=0.

Statistična konsistentnost modela.

S statistično metodo izračuna parametrov mrežnega modela obravnavamo njihove p-kvantilne ocene vrednosti, ki so verjetnostnoteoretični analogi ustreznih indikatorjev. Rečeno je, da je ciklični stohastični model statistično skladno z verjetnostjo p, če za vsak dogodek i obstajajo p-kvantilne ocene časovnega razporeda dogodkov W p (T i), ki izpolnjujejo neenakosti:

W p (T j) – W p (T i)i W p (y ij), (21)

l i ЈW p (Т i)ЈL i . (22)

Tu so razmerja (21)-(22) verjetnostni analogi (15)-(16), W p (y ij) je p-kvantilna ocena dolžine loka (i,j). Dokazano je naslednje:

Izrek 4 . Da bi bil ciklični alternativni model statistično skladen z verjetnostjo p, je nujno in zadostno, da p-kvantilne ocene dolžin vseh determinističnih kontur zadoščajo razmerju W p (L(K(i))) Ј 0.

Algoritmi za izračun časovnih parametrov CSSM.

Zgodnji in pozni načrti.

Za izračun zgodnjih in poznih datumov dogodkov je predlagan spremenjeni algoritem "Pendulum". Ideja modifikacije je sintetizirati statistično metodo za izračun parametrov, ki se uporablja za verjetnostna omrežja, in algoritem "Pendulum", ki se uporablja v generaliziranih omrežjih, in jo nato uporabiti v CSSM.

Slika 10. Shematski blok diagram algoritma za izračun

p-kvantilne ocene zgodnji datumi uresničitev dogodkov

blok 1. Vnos začetnih podatkov (koeficienti matrike A, porazdelitveni parametri y ij, stopnja zaupanja p).

Blok 2. Izračun zahtevanega števila "žrebanj" N za zagotovitev določene točnosti rezultatov. Opravljeni izračuni so pokazali, da pri p=0,95, e=0,05 dobimo N»270.

blok 3. v:=v+1 (v je "žrebano" število).

blok 4. Risba v-te variante naključnih spremenljivk y ij , vsaka v skladu s svojim porazdelitvenim zakonom, pri čemer dobimo konstante y ij (v) - dolžino loka (i, j) na v-ti risbi.

blok 5. Risba za vsako alternativno točko i prehoda v sosednjo točko j (nariše se diskretna slučajna spremenljivka p ij, ki jo predstavlja i-ta vrstica matrike sosednosti A, 0< р ij <1 и е j р ij =1). Выбранная дуга помечается, остальные из графа исключаются. Если в полученном графе образовался контур К(i), содержащий хотя бы одну помеченную дугу, это есть стохастический контур, вычисляем его длину L (v) K(i) и опять для вершины i разыгрываем дискретную случайную величину р ij . В соответствие с доказанной в работе lema 1 se lahko ista stohastična kontura za dano stopnjo zaupanja p oblikuje največ k-krat, kjer je k ocenjen z ustrezno formulo. Dolžini loka, ki smo ga »odigrali« na (k+1) koraku, prištejemo k-kratno dolžino konture in nadaljujemo z analizo druge stohastične konture (če obstaja). V tem primeru se lahko pojavijo protislovja v omrežju (pozitivna deterministična vezja), nato pa v skladu s formulami, podanimi v delu, dodamo d-kratno dolžino vezja in tako ocenimo čas zaključka dogodka "izstop" iz kroga v povprečju.

blok 6. Nastalo deterministično generalizirano mrežo G (v) razdelimo na dve mreži G 1 (v) in G 2 (v), tako da niti G 1 (v) niti G 2 (v) ne vsebujeta kontur. Točke v omrežju G 1 (v) razporedimo po rangih in v skladu z njimi nastavimo »pravilno« oštevilčenje. To oštevilčenje prenesemo v mrežo G 2 (v) in v original G (v).

Blok 7. Za vsa vozlišča i mreže G 1 (v) izračunamo zgodnje roke

Т i 0(v) :=max j (Т i 0(v) , Т j 0(v) + y ij (v) ).

Blok 8. Postopke, podobne bloku 7, izvajamo za vozlišča mreže G 2 (v).

Blok 9. Če se rezultati blokov 7 in 8 ne ujemajo vsaj na enem indikatorju, se vrnemo na blok 7 (takšnih povratkov ni več kot število zadnjih lokov v G 2 (v)), sicer blok 10.

Blok 10. Če je številka risbe vЈN, pojdite na blok 4, drugače na blok 11.

blok 11. Iz nastale množice (T i 0(v)) za vsako vozlišče i sestavimo variacijsko vrsto. Fiksiramo vrednost Т i 0(x) tako, da je N x /N=р, kjer je N x število članov variacijske serije, manjše od Т i 0(x) . Vrednost T i 0(x) je želeni p-kvantil zgodnjega obdobja i-tega dogodka – W p (T i 0). Podobno z uporabo variacijske serije (y ij (v) ) sestavimo p-kvantilne ocene dolžin lokov – W p (y ij).

Vhod bloka 6 prejme v-to različico generaliziranega omrežnega modela G (v) in dejansko bloki 6–9 predstavljajo povečan blokovni diagram algoritma "nihala" za izračun zgodnjih datumov dogodkov v OSM. Z uporabo ustreznega algoritma za izračun pozni datumi dogodkov v blokih 7 in 8 dobimo T i 1(v) - pozni čas dogodkov za v-to različico generaliziranega omrežnega modela, medtem ko nam blok 11 poda W p (T i 1) - p-kvantilne ocene pozni datumi zaključek dogodkov.

Načrti z minimalnim trajanjem.

Trajanje L(T (v)) katerega koli dopustnega načrta T (v) = (T i (v) ) v-te možnosti omrežja G (v) je določeno s formulo:

L(T (v))=max ij |T i (v) – T j (v) |. (23)

Zamenjava v blokovnem diagramu na sl. 10 blokov 6 – 9 na blok za iskanje minimuma funkcije (23) dobimo načrt minimalnega trajanja za omrežje G (v) (ali »stisnjen« načrt). Magnituda

L(T* (v))=min max ij |T i (v) – T j (v) | (24)

je kritični čas omrežja G(v).

Z metodo iskanja stisnjenega načrta za OSM v blokih 6-9 in posredovanjem nastalih načrtov skozi blok 11 dobimo verjetnostne p-kvantilne ocene stisnjenih načrtov.

Časovne rezerve za delo (i,j) ustrezajo njihovim p-kvantilnim analogom, izračunanim po formulah:

R p p (i,j)= W p (T j 1) - W p (T i 0) - W p (y ij) za polna rezerva, (25)

R s p (i,j) = W p (T j 0) - W p (T i 0) - W p (y ij) za prosta rezerva. (26)

Z uporabo ustreznih formul se izračunajo p-kvantili napetostni koeficienti dela W p (k n (i,j)), potem p-kvantil kritično območje, p-kvantil rezervno območje in p-kvantil vmesno območje.

Kot parameter loka smo upoštevali čas izvedbe operacije (dela). Upoštevamo lahko tudi kateri koli značilni parameter, ki je aditivnost vzdolž lokov katere koli poti. To so lahko stroški dela, količina potrebnih akumuliranih sredstev itd.

Opozoriti je treba, da so doslej široko praktično uporabo našle le metode determinističnega modeliranja omrežij, nekatere hevristične metode za optimalno razporejanje virov in parametrične metode za oceno stroškov (predvsem na področju zračnih in vesoljskih poletov). Čeprav je bila teoretično najdena natančna rešitev za probleme razporejanja stroškov, ki temeljijo na klasičnih omrežnih modelih (opisano v), je njena praktična uporaba povezana s težavami pri pridobivanju dejanskih podatkov o razmerjih med časom in stroški.

Vsak od zgoraj obravnavanih modelov ima svoje predmetno področje, na svoj način (bolj ali manj v celoti) izvaja osnovne funkcije projektnega vodenja in le sinteza analiziranih modelov in metod nam omogoča zgraditi model, ki ustrezno odraža proces izvajanja kompleksnega projekta v pogojih negotovosti in hkrati pridobiti sprejemljivo rešitev formuliranega problema.

Tema 4. OPTIMIZACIJA PORABE VIROV NA PODLAGI OMREŽNIH MODELOV

Splošni pojmi.

Omrežni modeli so bili obravnavani zgoraj brez upoštevanja omejenih virov, tj. problem najboljše alokacije sredstev kot tak ni bil postavljen. Pri metodah uporabe omrežnih modelov, ki smo jih pregledali, je bila glavna pozornost namenjena časovni razporeditvi posameznih del in identifikaciji najpomembnejših (kritičnih in podkritičnih) verig del, na katerih je pravočasen zaključek projekta (uvedba objekta v delovanje) je odvisno. Tako je značilnost teh metod razvrščanje informacij glede na njihovo pomembnost za pravočasno dokončanje celotnega kompleksa dela.

Kvantitativno merilo pomembnosti informacij so rezerve delovnega časa oz napetostni koeficienti

K ij =1 – R p ij /(T n 0 –T cr (i,j)), (25)

kjer je R p ij polna rezerva dela (i,j), T n 0 je kritični čas projekta, T cr (i,j) je trajanje največjega segmenta poti, ki vsebuje delo (i,j), ki sovpada s kritično potjo. 0 £ K ij £ 1, in bližje ko je K ij 1, relativno manj rezerve je na zalogi za delo (i, j), zato je večje tveganje, da le-to ne bo opravljeno v danem časovnem okviru. Na primer, za delo (2,5) (slika 5) T cr (2,5) = 5, R p 25 = 3, od koder je K 25 = 1 –3/(22 – 5) = 0,82, in za delo ( 5,8) T cr (5,8)=0, R p 58 =12, od koder je K 58 =1 –12/(22 – 0)=0,45. Dela imajo lahko enake skupne rezerve, vendar je lahko stopnja napetosti v času njihovega dokončanja različna. Nasprotno pa lahko različne polne rezerve ustrezajo istim koeficientom intenzivnosti. S tako razvrščenimi informacijami lahko vodja projekta kadar koli določi, kam naj usmeri pozornost (in vire), da odpravi morebitna odstopanja od ciljnega datuma dokončanja za vse delo.

Preden opišemo nadaljnje načine za izboljšanje metod načrtovanja in upravljanja omrežja, se podrobneje posvetimo nekaterim glavnim pomanjkljivostim zgoraj obravnavanih metod.

Pri časovni oceni trajanja katerega koli dela smo predpostavili uporabo določenih virov z določeno intenzivnostjo za opravljanje tega dela (intenzivnost porabe virov je količina porabljenega vira na časovno enoto).

V času določitve časovne ocene ni znano, kdaj bo to delo potrebno zaključiti oziroma katere druge projektne aktivnosti, ki porabljajo isto vrsto virov, se bodo izvajale sočasno. Poleg tega so lahko praviloma isti viri hkrati potrebni za različne projekte. Zato je možno, da skupno povpraševanje po določenem viru v določenih trenutkih preseže razpoložljivo raven. V teh primerih bo treba bodisi zmanjšati intenzivnost porabe virov na posameznih delovnih mestih bodisi preložiti izvedbo določenega števila opravil na poznejši čas, pogosto preko polnih rezerv teh delovnih mest. Med potekom projekta to vodi do pogostih prilagoditev prvotnega načrta, z drugimi besedami, do nestabilnosti načrta.

Očitno je, da je mogoče dobiti veliko bolj zanesljiv načrt, če se pri načrtovanju postopka izvedbe projekta vnaprej upoštevajo omejitve virov.

Razpoložljiva raven sredstev in možni roki zaključka projekta so med seboj povezani. Čas za dokončanje celotnega projekta bo odvisen od tega, kdaj in koliko virov je dodeljenih posamezni dejavnosti, to pa je v veliki meri odvisno od njihove pričakovane razpoložljivosti v danem trenutku.

Tako se pojavi problem distribucije virov v omrežni nastavitvi.

Na splošno vsak proces načrtovanja proizvodnje ni nič drugega kot reševanje problema učinkovite rabe virov.

Kriteriji učinkovitosti so lahko različni, o tej pomembni točki načrtovanja (izbira in utemeljitev merila) se bomo v nadaljevanju obravnavi konkretnih nalog.

Predstavimo nekaj konceptov in definicij.

· Program dela Poimenujmo določen niz operacij (del), ki jih je treba izvesti za dosego enega ali več ciljev, izvajanje dela programa pa je podrejeno enemu samemu centru vodenja. Lahko govorimo o delovnem programu lansirnega kompleksa, delovnem programu lokacije, gradbene organizacije, projektantskega inštituta itd.

· Enotematski delovni program poimenovali bomo program, sestavljen iz enega sklopa tehnološko povezanih del, namenjenih doseganju enega (enonamenska tema) ali več ciljev (večnamenska tema).

· Večtematski program dela bomo imenovali program, sestavljen iz več kompleksov dela, ki so tehnološko povezani znotraj vsakega kompleksa. Vsak sklop dela ima lahko enega ali več končnih ciljev. Dela, ki pripadajo različnim kompleksom, med seboj niso tehnološko povezana. Pripadnost tem enemu večtematskemu programu je določena z enotnostjo nadzornega centra in skupnostjo rezervoarja virov.

Najprej razmislimo o različnih formulacijah problemov dodeljevanja virov enotematski, enonamenski program.

Na podlagi dveh možnih ciljev pri vodenju projekta, opisanega z omrežnim modelom, sta možni dve glavni vrsti postavljanja nalog. Prvi tip je osredotočen na dosledno upoštevanje omejitev virov, drugi tip pa vključuje dosledno upoštevanje rokov dokončanja projektov.

Oblikovanje prve vrste navedbe problema (»kalibracija«).

Glede na dane omejitve porabe virov poiščite njihovo porazdelitev ob upoštevanju tehnološkega zaporedja dela, ki ga določa topologija omrežnega diagrama, ki zagotavlja dokončanje celotnega programa v najkrajšem možnem času.

Oblikovanje druge vrste problemske izjave (»glajenje«).

Ob ohranjanju določenega trajanja izvajanja programa je potrebno sredstva porazdeliti med posamezna opravila tako, da je njihova poraba optimalna. Posebej bomo obravnavali vprašanje izbire merila optimalnosti za to formulacijo.

Zaradi različnih mehanizmov zadovoljevanja potreb po virih jih običajno delimo v dve skupini: akumulirane (skladiščene) in neakumulirane (neskladiščene). Druga skupina virov se pogosto imenuje "viri vrste zmogljivosti".

V prvo skupino spadajo viri, ki po svoji naravi omogočajo akumulacijo z možnostjo njihove kasnejše uporabe, na primer denar, različni materiali in strukture itd. V tem primeru je mogoče omejitve virov določiti z integralno nepadajočo funkcijo, ki v vsakem trenutku prikazuje skupno količino zalog virov za celotno prejšnje obdobje.

Druga skupina vključuje vire, katerih kopičenje za nadaljnjo uporabo je nemogoče. Na primer viri delovnega in računalniškega časa. Izpad delavcev in strojev je nepopravljiva izguba. Omejitve virov za to skupino nastavi funkcija razpoložljivosti virov ob vsaki časovni točki.

Stohastični model je metoda finančnega modeliranja, pri kateri je ena ali več spremenljivk v modelu stohastične narave, to pomeni, da predstavljajo naključen proces. Posledično se izkaže, da so tudi rešitev enačbe stohastični procesi. Stohastična enačba temelji na Brownovem gibanju.

Pogosto se uporablja za napovedovanje delovanja delniških trgov, obveznic in vrednostnih papirjev v prihodnosti. Statistično modeliranje je sredstvo za ocenjevanje verjetnosti izidov in napovedovanje pogojev v različnih situacijah. Uporabljene naključne spremenljivke so običajno omejene na pretekle podatke, kot so nedavni tržni donosi. Na primer, pri uporabi modela pri vrednotenju portfelja se naredi več simulacij predstavitve portfelja na podlagi verjetnostnih porazdelitev donosov posameznih delnic. Statistična analiza rezultatov lahko pomaga določiti verjetnost, da bo portfelj zagotovil želeno uspešnost. Glavni cilj statističnega raziskovanja je iz lastnosti vzorca ugotoviti lastnosti populacije. Na primer, narediti napoved pomeni ugotoviti porazdelitev verjetnosti prihodnjih opazovanj populacije na podlagi vzorca vrednosti iz preteklosti. Za to moramo znati opisati stohastične procese in časovne vrste ter poznati razrede stohastičnih modelov, ki so primerni za opisovanje situacij v praksi. Zagovorniki stohastičnega modeliranja trdijo, da je naključnost temeljna značilnost finančnih trgov.

Statistično modeliranje zagotavlja strukturiran način za preučevanje portfelja ob upoštevanju naključnih dejavnikov, kot sta inflacija ali toleranca tveganja. Če modeliranje kaže majhno verjetnost doseganja naložbenih ciljev, se lahko sklad diverzificira ali spremenijo ravni prispevkov.

Statistično modeliranje je metoda predstavljanja podatkov ali napovedovanja rezultatov, ki omogoča določeno stopnjo naključnosti ali nepredvidljivosti. Zavarovalniški trg se na primer v veliki meri zanaša na stohastično modeliranje za napovedovanje prihodnjega stanja bilanc stanja podjetja, saj lahko nanje vplivajo nepredvidljivi dogodki, ki vodijo do plačila odškodnin. Številne druge panoge in študijska področja imajo lahko koristi od stohastičnega modeliranja, kot so statistika, naložbe v delnice, biologija, jezikoslovje in kvantna fizika.

Zlasti v svetu zavarovalništva je stohastično modeliranje ključnega pomena pri določanju, kakšni rezultati se lahko pričakujejo in kateri se verjetno ne bodo zgodili. Namesto uporabe fiksnih spremenljivk kot v drugih matematičnih modelih stohastični modeli vključujejo naključne spremembe za napovedovanje prihodnjih pogojev in ugotavljanje, kakšni bi lahko bili. Seveda možnost ene naključne spremembe pomeni, da je možnih veliko rezultatov. Zaradi tega stohastični procesi ne delujejo le enkrat, ampak več sto ali celo tisočkrat. Veliko zbiranje podatkov ne izraža le možnih rezultatov, ampak tudi pričakovana nihanja.

Druga uporaba stohastičnega modeliranja v realnem svetu, poleg zavarovanja, je proizvodnja. Proizvodnja se obravnava kot stohastični proces zaradi vpliva neznanih ali naključnih spremenljivk na končni rezultat. Na primer, tovarna, ki izdeluje določen izdelek, vedno ve, da se majhen odstotek izdelkov ne izkaže, kot je bilo predvideno, in jih ni mogoče prodati. To je lahko posledica številnih dejavnikov, kot so kakovost vložkov, stanje delovanja proizvodne opreme, pa tudi usposobljenost zaposlenih in še veliko več. Kako ti dejavniki vplivajo na rezultate, je mogoče modelirati za napovedovanje določene stopnje proizvodnih napak za načrtovanje proizvodnje.