Ravnovesje mehanskega sistema. Ravnovesje teles. Vrste ravnovesja teles Ravnotežje mehanskega sistema

Omogoča analizo splošnih vzorcev gibanja, če je znana odvisnost potencialne energije od koordinat. Oglejmo si na primer enodimenzionalno gibanje materialne točke (delca) vzdolž osi 0x v potencialnem polju, prikazanem na sl. 4.12.

Slika 4.12. Gibanje delca v bližini položajev stabilnega in nestabilnega ravnovesja

Ker je v enakomernem gravitacijskem polju potencialna energija sorazmerna z višino dviga telesa, si lahko predstavljamo ledeni tobogan (brez upoštevanja trenja) s profilom, ki ustreza funkciji P(x) na sliki.

Iz zakona o ohranitvi energije E = K + P in iz dejstva, da kinetična energija K = E - P je vedno nenegativen, sledi, da je delec lahko le v regijah, kjer je E > P. Slika prikazuje delec s celotno energijo E se lahko gibljejo le po območjih

V prvem območju bo njegovo gibanje omejeno (končno): z dano zalogo celotne energije delec ne more premagati "zdrsov" na svoji poti (imenujejo se potencialne ovire) in je obsojen, da za vedno ostane v »dolini« med njima. Večno - z vidika klasične mehanike, ki jo zdaj preučujemo. Na koncu tečaja bomo videli, kako kvantna mehanika pomaga delcu, da pobegne iz zapora v potencialnem vodnjaku - regiji.

V drugem območju gibanje delca ni omejeno (neskončno), lahko se premika neskončno daleč od izhodišča v desno, na levi pa je njegovo gibanje še vedno omejeno s potencialno pregrado:

Video 4.6. Demonstracija končnega in neskončnega gibanja.

Na potencialnih energijskih ekstremnih točkah x MIN in x MAKS sila, ki deluje na delec, je enaka nič, ker je odvod potencialne energije enak nič:

Če postavite delec na te točke v mirovanje, bi ostal tam... spet za vedno, če ne bi bilo nihanj v njegovem položaju. Na tem svetu ni ničesar, kar bi bilo v mirovanju; delec lahko doživi majhnost odstopanja (nihanja) iz ravnotežnega položaja. V tem primeru seveda nastanejo sile. Če delec vrnejo v ravnotežni položaj, se takšno ravnovesje imenuje trajnostno. Če delec ob odstopanju sile, ki iz tega izhajajo, še bolj odnesejo iz njegovega ravnotežnega položaja, potem imamo opravka z nestabilen ravnovesje in delec običajno ne ostane dolgo v tem položaju. Po analogiji z ledenim toboganom lahko sklepamo, da bo stabilen položaj pri najmanjši potencialni energiji, nestabilni pa pri maksimalni.

Dokažimo, da je temu res tako. Za delec v ekstremni točki x M (x MIN oz x MAKS) sila, ki deluje nanj F x (x M) = 0. Pustimo, da se koordinata delca zaradi nihanja nekoliko spremeni x. S takšno spremembo koordinat bo na delec začela delovati sila

(praštevilka označuje odvod glede na koordinato x). Glede na to F x =-P", dobimo izraz za silo

V točki minimuma je drugi odvod potencialne energije pozitiven: U"(x MIN) > 0. Nato za pozitivna odstopanja od ravnotežnega položaja x > 0 nastala sila je negativna in kdaj x<0 sila je pozitivna. V obeh primerih sila preprečuje, da bi delec spremenil svoje koordinate, ravnotežni položaj pri najmanjši potencialni energiji pa je stabilen.

Nasprotno, na najvišji točki je drugi derivat negativen: U"(x MAX)<0 . Nato povečanje koordinate delca Δx povzroči nastanek pozitivne sile, ki še poveča odstopanje od ravnotežnega položaja. pri x<0 sila je negativna, to pomeni, da v tem primeru prispeva k nadaljnjemu odklonu delca. Ta ravnotežni položaj je nestabilen.

Tako lahko položaj stabilnega ravnotežja najdemo s skupnim reševanjem enačbe in neenačbe

Video 4.7. Potencialne luknje, potencialne ovire in ravnovesje: stabilno in nestabilno.

Primer. Potencialna energija dvoatomne molekule (npr. H 2 oz O 2) je opisan z izrazom oblike

kje r je razdalja med atomi in A, B- pozitivne konstante. Določite ravnotežno razdaljo r M med atomi molekule. Ali je dvoatomska molekula stabilna?

rešitev. Prvi člen opisuje odboj atomov na kratkih razdaljah (molekula se upira stiskanju), drugi pa privlačnost na velikih razdaljah (molekula se upira zlomu). V skladu s povedanim se ravnotežna razdalja najde z rešitvijo enačbe

Z razlikovanjem potencialne energije dobimo

Zdaj najdemo drugi odvod potencialne energije

in tam nadomestite vrednost ravnotežne razdalje r M :

Ravnotežni položaj je stabilen.

Na sl. 4.13 predstavlja poskus preučevanja potencialnih krivulj in ravnotežnih pogojev krogle. Če je na modelu potencialne krivulje kroglica postavljena na višino večjo od višine potencialne ovire (energija kroglice je večja od energije ovire), potem žogica premaga potencialno oviro. Če je začetna višina krogle manjša od višine pregrade, ostane krogla znotraj potencialne jame.

Kroglica, postavljena na najvišjo točko potencialne pregrade, je v nestabilnem ravnovesju, saj kakršen koli zunanji vpliv povzroči, da se kroglica premakne na najnižjo točko potencialne jame. Na spodnji točki potencialne vrtine je kroglica v stabilnem ravnovesju, saj vsak zunanji vpliv povzroči vrnitev kroglice na spodnjo točko potencialne jamice.

riž. 4.13. Eksperimentalna študija potencialnih krivulj

Dodatne informacije

http://vivovoco.rsl.ru/quantum/2001.01/KALEID.PDF – Dodatek k reviji “Quantum” - razprave o stabilnem in nestabilnem ravnovesju (A. Leonovich);

http://mehanika.3dn.ru/load/24-1-0-3278 – Targ S.M. Kratek tečaj teoretične mehanike, Založba, Višja šola, 1986 – str. 11–15, §2 – začetne določbe statike.

Naj razmislim o materialni točki, katere gibanje je omejeno tako, da ima samo eno prostostno stopnjo.

To pomeni, da je njegov položaj mogoče določiti z eno samo količino, kot je koordinata x. Primer je kroglica, ki drsi brez trenja vzdolž fiksne žice, upognjene v navpični ravnini (slika 26.1a).

Drug primer je krogla, pritrjena na konec vzmeti, ki drsi brez trenja na vodoravno vodilo (slika 26.2, a).

Na kroglo deluje konservativna sila: v prvem primeru je to sila težnosti, v drugem primeru pa prožnostna sila deformirane vzmeti. Grafi potencialne energije so prikazani na sl. 26.1, b in 26.2, b.

Ker se kroglice po žici gibljejo brez trenja, je sila, s katero žica deluje na žogico, v obeh primerih pravokotna na hitrost žogice in zato na žogico ne deluje. Zato se varčuje z energijo:

Iz (26.1) sledi, da se kinetična energija lahko poveča le zaradi zmanjšanja amplitudne energije. Če je torej žogica v takem stanju, da je njena hitrost enaka nič in ima potencialna energija minimalno vrednost, se brez zunanjega vpliva ne bo mogla premakniti, to je, da bo v ravnotežju.

Minimumi U ustrezajo enakim vrednostim v grafih (na sliki 26.2 je dolžina nedeformirane ekipe) Pogoj za najmanjšo potencialno energijo ima obliko

V skladu s t (22.4) je pogoj (26.2) enakovreden dejstvu, da

(v primeru, da je U funkcija samo ene spremenljivke, ). Tako ima položaj, ki ustreza najmanjši potencialni energiji, to lastnost, da je sila, ki deluje na telo, enaka nič.

V primeru, prikazanem na sl. 26.1 sta pogoja (26.2) in (26.3) izpolnjena tudi za x, ki je enak (tj. za največ U). Tudi položaj žoge, določen s to vrednostjo, bo ravnotežni. Vendar pa bo to ravnovesje, za razliko od ravnotežja pri , nestabilno: dovolj je, da rahlo odstranite žogo iz tega položaja in pojavila se bo sila, ki bo žogo premaknila stran od položaja . Sile, ki nastanejo, ko se kroglica premakne iz stabilnega ravnotežnega položaja (za katerega ), so usmerjene tako, da težijo vrniti kroglico v ravnotežni položaj.

Če poznamo vrsto funkcije t, ki izraža potencialno energijo, lahko naredimo številne zaključke o naravi gibanja delca. Naj to razložimo z grafom, prikazanim na sl. 26.1, b. Če ima skupna energija vrednost, prikazano na sliki, se lahko delec giblje v območju od do ali v območju od do neskončnosti. Delec ne more prodreti v območje, saj potencialna energija ne more postati večja od skupne energije (če bi se to zgodilo, bi kinetična energija postala negativna). Tako območje predstavlja potencialno oviro, skozi katero delec ne more prodreti glede na dano količino celotne energije. Območje se imenuje potencialni vodnjak.

Če se delec med svojim gibanjem ne more oddaljiti v neskončnost, imenujemo gibanje končno. Če gre delec tako daleč, kot želimo, se gibanje imenuje neskončno. Delec v potencialni jami je podvržen končnemu gibanju. Tudi gibanje delca z negativno skupno energijo v osrednjem polju privlačnih sil bo končno (predpostavimo, da potencialna energija v neskončnosti izniči).

Ravnotežje mehanskega sistema je stanje, v katerem vse točke obravnavanega sistema mirujejo glede na izbrani referenčni sistem.

Moment sile okoli katere koli osi je zmnožek velikosti te sile F z roko d.

Pogoje ravnotežja najlažje ugotovimo na primeru najpreprostejšega mehanskega sistema - materialne točke. Po prvem zakonu dinamike (glej Mehanika) je pogoj za mirovanje (ali enakomerno linearno gibanje) materialne točke v inercialnem koordinatnem sistemu ta, da je vektorska vsota vseh sil, ki delujejo nanjo, enaka nič.

Pri prehodu na bolj zapletene mehanske sisteme samo ta pogoj ni dovolj za njihovo ravnovesje. Poleg translacijskega gibanja, ki ga povzročajo nekompenzirane zunanje sile, je lahko zapleten mehanski sistem podvržen rotacijskemu gibanju ali deformaciji. Ugotovimo ravnotežne pogoje za absolutno togo telo - mehanski sistem, sestavljen iz zbirke delcev, med katerimi se medsebojne razdalje ne spreminjajo.

Možnost translacijskega gibanja (s pospeševanjem) mehanskega sistema lahko odpravimo na enak način kot v primeru materialne točke, tako da zahtevamo, da je vsota sil, ki delujejo na vse točke sistema, enaka nič. To je prvi pogoj za ravnotežje mehanskega sistema.

V našem primeru se trdno telo ne more deformirati, saj smo se dogovorili, da se medsebojne razdalje med njegovimi točkami ne spreminjajo. Toda za razliko od materialne točke lahko na absolutno togo telo deluje par enakih in nasprotno usmerjenih sil v različnih točkah. Poleg tega, ker je vsota teh dveh sil enaka nič, obravnavani mehanski sistem ne bo izvajal translacijskega gibanja. Vendar pa je očitno, da se bo telo pod vplivom takega para sil začelo vrteti glede na določeno os z vedno večjo kotno hitrostjo.

Pojav rotacijskega gibanja v obravnavanem sistemu je posledica prisotnosti nekompenziranih momentov sil. Moment sile okoli katere koli osi je zmnožek velikosti te sile $F$ z krakom $d,$ tj. z dolžino navpičnice, spuščene iz točke $O$ (glej sliko), skozi katero gre os , s smerjo sile . Upoštevajte, da je moment sile s to definicijo algebrska količina: šteje se za pozitivnega, če sila vodi do vrtenja v nasprotni smeri urnega kazalca, in negativnega drugače. Tako je drugi pogoj za ravnotežje togega telesa zahteva, da je vsota momentov vseh sil glede na katero koli os vrtenja enaka nič.

V primeru, ko sta izpolnjena oba najdena pogoja ravnovesja, bo trdno telo mirovalo, če so bile v trenutku, ko so sile začele delovati, hitrosti vseh njegovih točk enake nič. V nasprotnem primeru se bo enakomerno gibal po vztrajnosti.

Obravnavana definicija ravnovesja mehanskega sistema ne pove ničesar o tem, kaj se bo zgodilo, če se sistem nekoliko premakne iz ravnotežnega položaja. V tem primeru obstajajo tri možnosti: sistem se bo vrnil v prejšnje stanje ravnovesja; sistem kljub odstopanju ne bo spremenil svojega ravnotežnega stanja; bo sistem šel iz ravnovesja. Prvi primer se imenuje stabilno stanje ravnotežja, drugi - brezbrižno, tretji - nestabilno. Narava ravnotežnega položaja je določena z odvisnostjo potencialne energije sistema od koordinat. Na sliki so prikazane vse tri vrste ravnovesja na primeru težke žoge, ki se nahaja v depresiji (stabilno ravnovesje), na gladki vodoravni mizi (indiferentno), na vrhu tuberkuloze (nestabilno).

Zgornji pristop k problemu ravnovesja mehanskega sistema so znanstveniki obravnavali že v antičnem svetu. Tako je zakon o ravnotežju vzvoda (tj. togega telesa s fiksno osjo vrtenja) našel Arhimed v 3. stoletju. pr. n. št e.

Leta 1717 je Johann Bernoulli razvil popolnoma drugačen pristop k iskanju ravnotežnih pogojev mehanskega sistema - metodo virtualnih premikov. Temelji na lastnosti reakcijskih sil vezi, ki izhajajo iz zakona o ohranitvi energije: pri majhnem odstopanju sistema od ravnotežnega položaja je skupno delo reakcijskih sil vezi nič.

Pri reševanju problemov statike (glej Mehanika) na podlagi zgoraj opisanih ravnotežnih pogojev so povezave, ki obstajajo v sistemu (nosilci, niti, palice), označene z reakcijskimi silami, ki nastanejo v njih. Potreba po upoštevanju teh sil pri določanju ravnotežnih pogojev v primeru sistemov, sestavljenih iz več teles, vodi do okornih izračunov. Ker pa je delo reakcijskih sil vezi pri majhnih odstopanjih od ravnotežnega položaja enako nič, se je možno izogniti upoštevanju teh sil v celoti.

Poleg reakcijskih sil na točke mehanskega sistema delujejo tudi zunanje sile. Kakšno je njihovo delo pri majhnem odstopanju od ravnotežnega položaja? Ker sistem na začetku miruje, je za vsako gibanje potrebno opraviti pozitivno delo. Načeloma lahko to delo opravljajo zunanje sile in sile reakcije vezi. Toda, kot že vemo, je skupno delo, ki ga opravijo reakcijske sile, nič. Da torej sistem zapusti stanje ravnovesja, mora biti skupno delo zunanjih sil za morebitni premik pozitivno. Posledično lahko pogoj za nezmožnost gibanja, tj. pogoj ravnotežja, formuliramo kot zahtevo, da je skupno delo zunanjih sil nepozitivno za morebitno gibanje: $ΔA≤0.$

Predpostavimo, da se je pri premikanju točk sistema $Δ\overrightarrow(γ)_1…\ Δ\overrightarrow(γ)_n$ izkazalo, da je vsota dela zunanjih sil enaka $ΔA1.$ In kaj se zgodi, če sistem izvaja premike $−Δ\overrightarrow(γ ​​)_1,−Δ\overrightarrow(γ)_2,\ …,−Δ\overrightarrow(γ)_n?$ Ti premiki so možni na enak način kot prvi; vendar pa bo delo zunanjih sil zdaj spremenilo predznak: $ΔA2 =−ΔA1.$ Podobno kot v prejšnjem primeru bomo sklepali, da ima sedaj ravnotežni pogoj sistema obliko: $ΔA1≥0,$ delo zunanjih sil mora biti nenegativno. Edini način za »spravo« teh dveh skoraj nasprotujočih si pogojev je zahtevati natančno enakost celotnega dela zunanjih sil na nič za morebitno (navidezno) premikanje sistema iz ravnotežnega položaja: $ΔA=0.$ Z možnim (virtualno) gibanje tu mislimo na infinitezimalno miselno gibanje sistema, ki ni v nasprotju s povezavami, ki so mu vsiljene.

Torej je ravnotežni pogoj mehanskega sistema v obliki načela navideznih premikov formuliran na naslednji način:

"Za ravnotežje katerega koli mehanskega sistema z idealnimi povezavami je potrebno in zadostno, da je vsota elementarnih del sil, ki delujejo na sistem za morebitni premik, enaka nič."

Z uporabo principa navideznih pomikov se rešujejo problemi ne samo statike, ampak tudi hidrostatike in elektrostatike.

Znano je, da je za ravnotežje sistema z idealnimi povezavami nujno in dovolj, da oz. (7)

Ker so variacije generaliziranih koordinat neodvisne druga od druge in na splošno niso enake nič, je potrebno, da
,
,…,
.

Za ravnotežje sistema s holonomnimi zadrževalnimi, stacionarnimi, idealnimi omejitvami je potrebno in zadostno, da so vse posplošene sile, ki ustrezajo izbranim posplošenim koordinatam, enake nič.

Primer potencialnih sil:

Če je sistem v potencialnem polju sile, potem

,
,…,

,
,…,

To pomeni, da so lahko ravnotežni položaji sistema samo za tiste vrednosti posplošenih koordinat, za katere je funkcija sile U in potencialno energijo p imajo ekstremne vrednosti ( maks oz min).

Koncept ravnotežne stabilnosti.

Po določitvi položajev, v katerih je lahko sistem v ravnovesju, je mogoče ugotoviti, kateri od teh položajev so uresničljivi in ​​kateri neuresničljivi, to pomeni, kateri položaj je stabilen in kateri nestabilen.

Na splošno potrebno znak stabilnosti ravnotežja po Lyapunovu lahko formuliramo na naslednji način:

Odpravimo sistem iz ravnotežnega položaja z zagotavljanjem majhnih vrednosti modula generaliziranih koordinat in njihovih hitrosti. Če pri nadaljnji obravnavi sistema generalizirane koordinate in njihove hitrosti ostanejo majhne, ​​to pomeni, da sistem ne odstopa daleč od ravnotežnega položaja, potem je takšen ravnotežni položaj stabilen.

Zadosten pogoj za ravnotežno stabilnost sistem je določen Lagrange-Dirichletov izrek :

Če ima v ravnotežnem položaju mehanskega sistema z idealnimi povezavami potencialna energija najmanjšo vrednost, potem je tak ravnotežni položaj stabilen.

,
- trajnostno.

OPREDELITEV

Stabilno ravnotežje- to je ravnotežje, v katerem se telo, ki se odstrani iz ravnotežnega položaja in prepusti samo sebi, vrne v prejšnji položaj.

To se zgodi, če z rahlim premikom telesa v katero koli smer od prvotnega položaja rezultanta sil, ki delujejo na telo, postane različna od nič in je usmerjena proti ravnotežnemu položaju. Na primer krogla, ki leži na dnu sferične vdolbine (slika 1 a).

OPREDELITEV

Nestabilno ravnotežje- to je ravnotežje, v katerem bo telo, vzeto iz ravnotežnega položaja in prepuščeno samo sebi, še bolj odstopalo od ravnotežnega položaja.

V tem primeru je z rahlim premikom telesa iz ravnotežnega položaja rezultanta sil, ki delujejo nanj, enaka nič in je usmerjena iz ravnotežnega položaja. Primer je krogla, ki se nahaja na zgornji točki konveksne sferične površine (slika 1 b).

OPREDELITEV

Indiferentno ravnotežje- to je ravnotežje, v katerem telo, vzeto iz ravnotežnega položaja in prepuščeno samo sebi, ne spremeni svojega položaja (stanja).

V tem primeru z majhnimi premiki telesa iz prvotnega položaja ostane rezultanta sil, ki delujejo na telo, enaka nič. Na primer žoga, ki leži na ravni površini (slika 1c).

Slika 1. Različne vrste ravnotežja telesa na opori: a) stabilno ravnotežje; b) nestabilno ravnotežje; c) indiferentno ravnotežje.

Statično in dinamično ravnotežje teles

Če telo zaradi delovanja sil ne dobi pospeška, lahko miruje ali pa se giblje enakomerno premo. Zato lahko govorimo o statičnem in dinamičnem ravnovesju.

OPREDELITEV

Statično ravnotežje- to je ravnovesje, ko pod vplivom uporabljenih sil telo miruje.

Dinamično ravnotežje- to je ravnotežje, ko zaradi delovanja sil telo ne spremeni svojega gibanja.

Luč, obešena na kable, ali katera koli gradbena konstrukcija je v statičnem ravnovesju. Kot primer dinamičnega ravnovesja razmislite o kolesu, ki se kotali po ravni površini brez tornih sil.