คำนิยามเมทริกซ์ผกผันคืออะไร คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น

คล้ายกับการผกผันในคุณสมบัติหลายอย่าง

YouTube สารานุกรม

1 / 5

➤ วิธีค้นหาค่าผกผันของเมทริกซ์ - bezbotvy

, เมทริกซ์ผกผัน (ค้นหาได้ 2 วิธี)

, เมทริกซ์ผกผัน # 1

út 28-01-2558. เมทริกซ์ผกผัน 3x3

út 27-01-2558. เมทริกซ์ผกผัน 2x2

คำบรรยาย

คุณสมบัติของเมทริกซ์ผกผัน

det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), ที่ไหน เดช (\displaystyle \\det )หมายถึงปัจจัยกำหนด
(A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))สำหรับเมทริกซ์แปลงกลับได้สองตาราง เอ (\displaystyle A)และ B (\รูปแบบการแสดงผล B).
(AT) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), ที่ไหน (. . .) T (\displaystyle (...)^(T))หมายถึงเมทริกซ์ที่ถูกย้าย
(k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))สำหรับสัมประสิทธิ์ใดๆ k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
หากจำเป็นต้องแก้ระบบสมการเชิงเส้น (b คือเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์) โดยที่ x (\รูปแบบการแสดงผล x)เป็นเวกเตอร์ที่ต้องการ และถ้า A − 1 (\displaystyle A^(-1))มีอยู่แล้ว x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). มิฉะนั้น มิติของพื้นที่การแก้ปัญหาจะมากกว่าศูนย์ หรือไม่มีคำตอบเลย

วิธีการหาเมทริกซ์ผกผัน

หากเมทริกซ์กลับด้านได้ หากต้องการค้นหาเมทริกซ์ผกผันคุณสามารถใช้วิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้:

วิธีการที่แน่นอน (โดยตรง)

วิธีเกาส์-จอร์แดน

ลองหาเมทริกซ์สองตัวกัน: กและโสด อี. มานำเสนอเมทริกซ์กัน กกับเมทริกซ์เอกลักษณ์โดยใช้วิธี Gauss-Jordan โดยใช้การแปลงตามแถว (คุณสามารถใช้การแปลงตามคอลัมน์ได้ แต่ไม่ได้ผสมกัน) หลังจากใช้แต่ละการดำเนินการกับเมทริกซ์แรกแล้ว ให้นำการดำเนินการเดียวกันกับเมทริกซ์ตัวที่สอง เมื่อการลดขนาดเมทริกซ์แรกเป็นหน่วยเสร็จสมบูรณ์ เมทริกซ์ตัวที่สองจะเท่ากับ เอ−1.

เมื่อใช้วิธีเกาส์เซียน เมทริกซ์แรกจะถูกคูณทางซ้ายด้วยเมทริกซ์เบื้องต้นตัวใดตัวหนึ่ง Λ ฉัน (\displaystyle \แลมบ์ดา _(i))(เมทริกซ์การพาผ่านหรือเส้นทแยงมุมที่มีหน่วยอยู่บนเส้นทแยงมุมหลัก ยกเว้นตำแหน่งเดียว):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \ลูกศรขวา \แลมบ์ดา =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a mm m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(มม.)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).

เมทริกซ์ที่สองหลังจากใช้การดำเนินการทั้งหมดจะเท่ากับ Λ (\displaystyle \แลมบ์ดา)นั่นคือมันจะเป็นอันที่ต้องการ ความซับซ้อนของอัลกอริทึม - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

การใช้เมทริกซ์เสริมพีชคณิต

เมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ เอ (\displaystyle A), สามารถแสดงได้ในรูปแบบ

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

ที่ไหน adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- เมทริกซ์ที่อยู่ติดกัน;

ความซับซ้อนของอัลกอริทึมขึ้นอยู่กับความซับซ้อนของอัลกอริทึมในการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ O det และเท่ากับ O(n²)·O det

การใช้การสลายตัวของ LU/LUP

สมการเมทริกซ์ A X = ฉัน n (\displaystyle AX=I_(n))สำหรับเมทริกซ์ผกผัน X (\รูปแบบการแสดงผล X)ถือได้ว่าเป็นของสะสม n (\displaystyle n)ระบบของแบบฟอร์ม A x = b (\displaystyle Ax=b). มาแสดงกันเถอะ ฉัน (\displaystyle i)คอลัมน์ที่ 3 ของเมทริกซ์ X (\รูปแบบการแสดงผล X)ผ่าน X ฉัน (\displaystyle X_(i)); แล้ว A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),เพราะว่า ฉัน (\displaystyle i)คอลัมน์ที่ 3 ของเมทริกซ์ ฉัน n (\displaystyle I_(n))คือเวกเตอร์หน่วย อี ฉัน (\displaystyle e_(i)). กล่าวอีกนัยหนึ่ง การค้นหาเมทริกซ์ผกผันต้องอาศัยการแก้สมการ n ด้วยเมทริกซ์เดียวกันและด้านขวามือต่างกัน หลังจากดำเนินการสลายตัว LUP (เวลา O(n³)) การแก้สมการ n แต่ละสมการจะใช้เวลา O(n²) ดังนั้นงานส่วนนี้จึงต้องใช้เวลา O(n³) ด้วย

หากเมทริกซ์ A ไม่ใช่เอกพจน์ จึงสามารถคำนวณการสลายตัวของ LUP ได้ P A = L U (\displaystyle PA=LU). อนุญาต P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). จากคุณสมบัติของเมทริกซ์ผกผันเราสามารถเขียนได้: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). หากคุณคูณความเท่าเทียมกันนี้ด้วย U และ L คุณจะได้รูปแบบที่เท่ากันสองแบบ UD = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))และ DL = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). ความเท่าเทียมกันประการแรกคือระบบสมการเชิงเส้นn²สำหรับ n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))ซึ่งทราบทางด้านขวามือ (จากคุณสมบัติของเมทริกซ์สามเหลี่ยม) ส่วนที่สองยังแสดงถึงระบบสมการเชิงเส้นn²ด้วย n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))ซึ่งทราบทางด้านขวามือ (จากคุณสมบัติของเมทริกซ์สามเหลี่ยมด้วย) เมื่อรวมกันแล้วจะเป็นตัวแทนของระบบความเท่าเทียมกันn² เมื่อใช้ความเท่าเทียมกันเหล่านี้ เราสามารถกำหนดองค์ประกอบ n² ทั้งหมดของเมทริกซ์ D แบบวนซ้ำได้ จากนั้นจากความเท่าเทียมกัน (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D เราได้ความเท่าเทียมกัน A − 1 = DP (\displaystyle A^(-1)=DP).

ในกรณีของการใช้การสลายตัวของ LU ไม่จำเป็นต้องมีการเรียงสับเปลี่ยนคอลัมน์ของเมทริกซ์ D แต่ผลเฉลยอาจแตกต่างออกไปแม้ว่าเมทริกซ์ A จะไม่เป็นเอกพจน์ก็ตาม

ความซับซ้อนของอัลกอริทึมคือ O(n³)

วิธีการวนซ้ำ

วิธีการของชูลทซ์

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(กรณี)))

การประมาณการข้อผิดพลาด

การเลือกการประมาณเบื้องต้น

ปัญหาในการเลือกการประมาณเริ่มต้นในกระบวนการผกผันเมทริกซ์แบบวนซ้ำที่พิจารณาในที่นี้ไม่อนุญาตให้เราปฏิบัติต่อพวกมันในฐานะวิธีการสากลอิสระที่แข่งขันกับวิธีการผกผันโดยตรงตาม ตัวอย่างเช่น ในการสลายตัวของเมทริกซ์ LU มีคำแนะนำในการเลือก U 0 (\displaystyle U_(0))รับรองการปฏิบัติตามเงื่อนไข ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (รัศมีสเปกตรัมของเมทริกซ์น้อยกว่าเอกภาพ) ซึ่งจำเป็นและเพียงพอสำหรับการลู่เข้าของกระบวนการ อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ ประการแรก จำเป็นต้องทราบจากข้างบนค่าประมาณสำหรับสเปกตรัมของเมทริกซ์ที่แปลงกลับได้ A หรือเมทริกซ์ A A T (\displaystyle AA^(T))(กล่าวคือ ถ้า A เป็นเมทริกซ์แน่นอนเชิงบวกแบบสมมาตร และ ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta )จากนั้นคุณก็สามารถรับได้ U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), ที่ไหน ; ถ้า A เป็นเมทริกซ์ที่ไม่ใช่เอกพจน์ตามอำเภอใจ และ ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta )แล้วพวกเขาก็เชื่อ U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T))ที่ไหนด้วย α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); แน่นอนคุณสามารถทำให้สถานการณ์ง่ายขึ้นและใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงนั้นได้ ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), ใส่ U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). ประการที่สอง เมื่อระบุเมทริกซ์เริ่มต้นในลักษณะนี้ ก็ไม่รับประกันว่าจะเป็นเช่นนั้น ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)จะเล็ก (บางทีมันอาจจะกลายเป็นด้วยซ้ำ ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)) และอัตราการบรรจบกันระดับสูงจะไม่ถูกเปิดเผยทันที

ตัวอย่าง

เมทริกซ์ 2x2

A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] (\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf (A))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- bc))(\begin(bเมทริกซ์)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix)).)

การผกผันของเมทริกซ์ 2x2 สามารถทำได้ภายใต้เงื่อนไขนั้นเท่านั้น a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

พีชคณิตเมทริกซ์ - เมทริกซ์ผกผัน

เมทริกซ์ผกผัน

เมทริกซ์ผกผันคือเมทริกซ์ที่เมื่อคูณทั้งทางขวาและทางซ้ายด้วยเมทริกซ์ที่กำหนด จะได้เมทริกซ์เอกลักษณ์
ให้เราแสดงเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ กผ่าน จากนั้นตามคำจำกัดความที่เราได้รับ:

ที่ไหน อี- เมทริกซ์เอกลักษณ์.
เมทริกซ์จตุรัสเรียกว่า ไม่พิเศษ (ไม่เสื่อม) ถ้าดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์ ไม่เช่นนั้นจะเรียกว่า พิเศษ (เสื่อมโทรม) หรือ เอกพจน์.

ทฤษฎีบทถือ: เมทริกซ์ที่ไม่ใช่เอกพจน์ทุกเมทริกซ์มีเมทริกซ์ผกผัน

การดำเนินการค้นหาเมทริกซ์ผกผันเรียกว่า อุทธรณ์เมทริกซ์ ลองพิจารณาอัลกอริธึมการผกผันของเมทริกซ์ ปล่อยให้เมทริกซ์ที่ไม่ใช่เอกพจน์ได้รับ n-ลำดับที่:

โดยที่ Δ = เดช ก ≠ 0.

การบวกพีชคณิตขององค์ประกอบเมทริกซ์ n-ลำดับที่ กเรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่มีเครื่องหมายเฉพาะ ( n–1)ลำดับที่ได้มาโดยการลบ ฉัน-บรรทัดที่ และ เจคอลัมน์เมทริกซ์ที่ ก:

มาสร้างสิ่งที่เรียกว่า ที่แนบมาเมทริกซ์:

การเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์อยู่ที่ไหน ก.
โปรดทราบว่าการเพิ่มพีชคณิตขององค์ประกอบแถวเมทริกซ์ กถูกวางไว้ในคอลัมน์ที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์ Ã นั่นคือเมทริกซ์ถูกย้ายในเวลาเดียวกัน
โดยการแบ่งองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ Ã โดย Δ – ค่าของเมทริกซ์ดีเทอร์มิแนนต์ กเราจะได้เมทริกซ์ผกผันดังนี้:

ให้เราสังเกตคุณสมบัติพิเศษหลายประการของเมทริกซ์ผกผัน:
1) สำหรับเมทริกซ์ที่กำหนด กเมทริกซ์ผกผันของมัน เป็นคนเดียวเท่านั้น
2) หากมีเมทริกซ์ผกผันแล้ว ย้อนกลับขวาและ ถอยหลังซ้ายเมทริกซ์ตรงกับมัน
3) เมทริกซ์จตุรัสพิเศษ (เอกพจน์) ไม่มีเมทริกซ์ผกผัน

คุณสมบัติพื้นฐานของเมทริกซ์ผกผัน:
1) ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ผกผันและดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดั้งเดิมเป็นส่วนกลับ
2) เมทริกซ์ผกผันของผลิตภัณฑ์ของเมทริกซ์จัตุรัสเท่ากับผลคูณของเมทริกซ์ผกผันของปัจจัยโดยพิจารณาในลำดับย้อนกลับ:

3) เมทริกซ์ผกผันที่ถูกย้ายจะเท่ากับเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ที่ถูกย้ายที่กำหนด:

ตัวอย่าง คำนวณค่าผกผันของเมทริกซ์ที่กำหนด

โดยทั่วไปแล้ว การดำเนินการผกผันจะใช้เพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์พีชคณิตที่ซับซ้อน ตัวอย่างเช่น ถ้าปัญหาเกี่ยวข้องกับการดำเนินการหารด้วยเศษส่วน คุณสามารถแทนที่มันด้วยการดำเนินการคูณด้วยส่วนกลับของเศษส่วน ซึ่งเป็นการดำเนินการผกผัน ยิ่งไปกว่านั้น เมทริกซ์ไม่สามารถหารได้ ดังนั้นคุณต้องคูณเมทริกซ์ผกผัน การคำนวณค่าผกผันของเมทริกซ์ 3x3 นั้นค่อนข้างน่าเบื่อ แต่คุณต้องทำด้วยตนเอง คุณยังสามารถหาส่วนกลับได้โดยใช้เครื่องคำนวณกราฟที่ดี

ขั้นตอน

การใช้เมทริกซ์ที่อยู่ติดกัน

ย้ายเมทริกซ์ดั้งเดิมการขนย้ายคือการแทนที่แถวด้วยคอลัมน์ที่สัมพันธ์กับเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์นั่นคือคุณต้องสลับองค์ประกอบ (i,j) และ (j,i) ในกรณีนี้ องค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลัก (เริ่มต้นที่มุมซ้ายบนและสิ้นสุดที่มุมขวาล่าง) จะไม่เปลี่ยนแปลง

หากต้องการเปลี่ยนแถวเป็นคอลัมน์ ให้เขียนองค์ประกอบของแถวแรกในคอลัมน์แรก องค์ประกอบของแถวที่สองในคอลัมน์ที่สอง และองค์ประกอบของแถวที่สามในคอลัมน์ที่สาม ลำดับการเปลี่ยนตำแหน่งขององค์ประกอบจะแสดงในรูปซึ่งองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องจะวนเป็นวงกลมสี

ค้นหาคำจำกัดความของเมทริกซ์ขนาด 2x2 แต่ละตัวทุกองค์ประกอบของเมทริกซ์ใดๆ รวมถึงเมทริกซ์ที่ถูกย้ายจะสัมพันธ์กับเมทริกซ์ 2x2 ที่สอดคล้องกัน หากต้องการค้นหาเมทริกซ์ 2x2 ที่สอดคล้องกับองค์ประกอบเฉพาะ ให้ขีดฆ่าแถวและคอลัมน์ซึ่งมีองค์ประกอบที่กำหนดอยู่ นั่นคือ คุณต้องขีดฆ่าห้าองค์ประกอบของเมทริกซ์ 3x3 ดั้งเดิม องค์ประกอบสี่รายการจะยังคงไม่ถูกข้าม ซึ่งเป็นองค์ประกอบของเมทริกซ์ 2x2 ที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างเช่น หากต้องการค้นหาเมทริกซ์ 2x2 สำหรับองค์ประกอบซึ่งอยู่ที่จุดตัดของแถวที่สองและคอลัมน์แรก ให้ขีดฆ่าองค์ประกอบทั้งห้าที่อยู่ในแถวที่สองและคอลัมน์แรกออก องค์ประกอบที่เหลืออีกสี่องค์ประกอบคือองค์ประกอบของเมทริกซ์ 2x2 ที่สอดคล้องกัน
ค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 2x2 แต่ละตัว เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ลบผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมรองออกจากผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลัก (ดูรูป)
ข้อมูลโดยละเอียดเกี่ยวกับเมทริกซ์ 2x2 ที่สอดคล้องกับองค์ประกอบเฉพาะของเมทริกซ์ 3x3 สามารถพบได้บนอินเทอร์เน็ต

สร้างเมทริกซ์โคแฟกเตอร์เขียนผลลัพธ์ที่ได้รับก่อนหน้านี้ในรูปแบบของเมทริกซ์โคแฟกเตอร์ใหม่ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้เขียนดีเทอร์มิแนนต์ที่พบของเมทริกซ์ 2x2 แต่ละตัวซึ่งมีองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์ 3x3 อยู่ ตัวอย่างเช่น หากคุณกำลังพิจารณาเมทริกซ์ขนาด 2x2 สำหรับองค์ประกอบ (1,1) ให้เขียนดีเทอร์มิแนนต์ในตำแหน่ง (1,1) จากนั้นเปลี่ยนสัญญาณขององค์ประกอบที่เกี่ยวข้องตามรูปแบบที่กำหนดซึ่งแสดงในรูป

โครงการเปลี่ยนสัญญาณ: เครื่องหมายขององค์ประกอบแรกของบรรทัดแรกไม่เปลี่ยนแปลง เครื่องหมายขององค์ประกอบที่สองของบรรทัดแรกกลับด้าน เครื่องหมายขององค์ประกอบที่สามของบรรทัดแรกไม่เปลี่ยนแปลงและทีละบรรทัด โปรดทราบว่าเครื่องหมาย "+" และ "-" ที่แสดงในแผนภาพ (ดูรูป) ไม่ได้ระบุว่าองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องจะเป็นค่าบวกหรือลบ ในกรณีนี้ เครื่องหมาย "+" บ่งชี้ว่าเครื่องหมายขององค์ประกอบไม่เปลี่ยนแปลง และเครื่องหมาย "-" บ่งชี้ถึงการเปลี่ยนแปลงในเครื่องหมายขององค์ประกอบ
ข้อมูลโดยละเอียดเกี่ยวกับเมทริกซ์โคแฟกเตอร์สามารถพบได้บนอินเทอร์เน็ต
ด้วยวิธีนี้คุณจะพบเมทริกซ์ประชิดของเมทริกซ์ดั้งเดิม บางครั้งเรียกว่าเมทริกซ์คอนจูเกตเชิงซ้อน เมทริกซ์ดังกล่าวแสดงเป็น adj(M)

แบ่งแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ adjoint ด้วยดีเทอร์มิแนนต์ของมันดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ M ถูกคำนวณตั้งแต่เริ่มต้นเพื่อตรวจสอบว่าเมทริกซ์ผกผันมีอยู่จริง ตอนนี้ให้แบ่งแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ adjoint ด้วยดีเทอร์มิแนนต์นี้ เขียนผลลัพธ์ของการดำเนินการแต่ละแผนกซึ่งมีองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องอยู่ ด้วยวิธีนี้คุณจะพบเมทริกซ์ผกผันกับเมทริกซ์ดั้งเดิม

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่แสดงในรูปคือ 1 ดังนั้น เมทริกซ์ประชิดในที่นี้จึงเป็นเมทริกซ์ผกผัน (เพราะเมื่อหารจำนวนใดๆ ด้วย 1 จะไม่เปลี่ยนแปลง)
ในบางแหล่ง การดำเนินการหารจะถูกแทนที่ด้วยการดำเนินการคูณด้วย 1/det(M) อย่างไรก็ตามผลลัพธ์สุดท้ายจะไม่เปลี่ยนแปลง

เขียนเมทริกซ์ผกผันเขียนองค์ประกอบที่อยู่ครึ่งขวาของเมทริกซ์ขนาดใหญ่เป็นเมทริกซ์แยกกัน ซึ่งก็คือเมทริกซ์ผกผัน

ใส่เมทริกซ์ดั้งเดิมลงในหน่วยความจำของเครื่องคิดเลขเมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คลิกปุ่มเมทริกซ์ หากมี สำหรับเครื่องคิดเลขของ Texas Instruments คุณอาจต้องกดปุ่มที่ 2 และปุ่มเมทริกซ์

เลือกเมนูแก้ไขทำสิ่งนี้โดยใช้ปุ่มลูกศรหรือปุ่มฟังก์ชั่นที่เหมาะสมซึ่งอยู่ที่ด้านบนของแป้นพิมพ์เครื่องคิดเลข (ตำแหน่งของปุ่มจะแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับรุ่นของเครื่องคิดเลข)

ป้อนสัญกรณ์เมทริกซ์เครื่องคิดเลขกราฟิกส่วนใหญ่สามารถทำงานได้กับเมทริกซ์ 3-10 ตัว ซึ่งสามารถกำหนดได้ด้วยตัวอักษร A-J โดยทั่วไป เพียงเลือก [A] เพื่อกำหนดเมทริกซ์ดั้งเดิม จากนั้นกดปุ่ม Enter

ป้อนขนาดเมทริกซ์บทความนี้พูดถึงเมทริกซ์ 3x3 แต่เครื่องคิดเลขกราฟิกสามารถทำงานกับเมทริกซ์ขนาดใหญ่ได้ ป้อนจำนวนแถว กด Enter จากนั้นป้อนจำนวนคอลัมน์ แล้วกด Enter อีกครั้ง

ป้อนองค์ประกอบเมทริกซ์แต่ละรายการเมทริกซ์จะปรากฏบนหน้าจอเครื่องคิดเลข หากคุณได้ป้อนเมทริกซ์ลงในเครื่องคิดเลขก่อนหน้านี้ เมทริกซ์นั้นจะปรากฏบนหน้าจอ เคอร์เซอร์จะเน้นองค์ประกอบแรกของเมทริกซ์ ป้อนค่าสำหรับองค์ประกอบแรกแล้วกด Enter เคอร์เซอร์จะย้ายไปยังองค์ประกอบเมทริกซ์ถัดไปโดยอัตโนมัติ

วิธีการหาเมทริกซ์ผกผัน พิจารณาเมทริกซ์จตุรัส

ให้เราแสดงว่า Δ =det A

เรียกว่าเมทริกซ์จตุรัส A ไม่เสื่อมโทรมหรือ ไม่พิเศษถ้าดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์ และ เสื่อมถอย,หรือ พิเศษ, ถ้าΔ = 0.

เมทริกซ์จัตุรัส B ใช้สำหรับเมทริกซ์จัตุรัส A ที่มีลำดับเดียวกัน หากผลคูณของเมทริกซ์คือ A B = B A = E โดยที่ E คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีลำดับเดียวกันกับเมทริกซ์ A และ B

ทฤษฎีบท . เพื่อให้เมทริกซ์ A มีเมทริกซ์ผกผัน จำเป็นและเพียงพอที่ปัจจัยกำหนดของมันจะแตกต่างจากศูนย์

เมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ A เขียนแทนด้วย A- 1 ดังนั้น B = A - 1 และคำนวณตามสูตร

, (1)

โดยที่ A i j เป็นส่วนเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบ a i j ของเมทริกซ์ A..

การคำนวณ A -1 โดยใช้สูตร (1) สำหรับเมทริกซ์ระดับสูงนั้นต้องใช้แรงงานมาก ดังนั้นในทางปฏิบัติ จึงสะดวกที่จะหา A -1 โดยใช้วิธีการแปลงเบื้องต้น (ET) เมทริกซ์ A ที่ไม่ใช่เอกพจน์ใดๆ สามารถลดลงเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ E ได้โดยใช้ ED ของคอลัมน์เท่านั้น (หรือเฉพาะแถว) ถ้า ED ที่ถูกทำให้สมบูรณ์เหนือเมทริกซ์ A ถูกนำไปใช้ในลำดับเดียวกันกับเมทริกซ์เอกลักษณ์ E แล้วผลลัพธ์ก็คือ เมทริกซ์ผกผัน สะดวกในการแสดง EP บนเมทริกซ์ A และ E พร้อมๆ กัน โดยเขียนเมทริกซ์ทั้งสองแบบเคียงข้างกันผ่านเส้นตรง โปรดทราบอีกครั้งว่าเมื่อค้นหารูปแบบมาตรฐานของเมทริกซ์ เพื่อที่จะค้นหา คุณสามารถใช้การแปลงแถวและคอลัมน์ได้ หากคุณต้องการค้นหาค่าผกผันของเมทริกซ์ คุณควรใช้เฉพาะแถวหรือคอลัมน์เท่านั้นในระหว่างขั้นตอนการแปลง

ตัวอย่าง 2.10. สำหรับเมทริกซ์ หา A -1 .

สารละลาย.อันดับแรก เราจะหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A
ซึ่งหมายความว่ามีเมทริกซ์ผกผันอยู่ และเราสามารถค้นหาได้โดยใช้สูตร: โดยที่ A i j (i,j=1,2,3) คือการบวกพีชคณิตขององค์ประกอบ a i j ของเมทริกซ์ดั้งเดิม

ที่ไหน .

ตัวอย่าง 2.11. โดยใช้วิธีการแปลงเบื้องต้น หา A -1 สำหรับเมทริกซ์: A =

สารละลาย.เรากำหนดเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีลำดับเดียวกันให้กับเมทริกซ์ดั้งเดิมทางด้านขวา: . เมื่อใช้การแปลงเบื้องต้นของคอลัมน์ เราจะลด "ครึ่ง" ด้านซ้ายให้เหลือเพียงค่าเอกลักษณ์หนึ่ง โดยดำเนินการแปลงเดียวกันทุกประการบนเมทริกซ์ด้านขวา
เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้สลับคอลัมน์แรกและคอลัมน์ที่สอง: ~ . เราเพิ่มคอลัมน์แรกลงในคอลัมน์ที่สามและคอลัมน์ที่สอง - คอลัมน์แรกคูณด้วย -2: . จากคอลัมน์แรกเราลบคอลัมน์ที่สองเป็นสองเท่าและจากคอลัมน์ที่สาม - คอลัมน์ที่สองคูณด้วย 6 . เพิ่มคอลัมน์ที่สามลงในคอลัมน์แรกและคอลัมน์ที่สอง: . คูณคอลัมน์สุดท้ายด้วย -1: . เมทริกซ์จตุรัสที่ได้รับทางด้านขวาของแถบแนวตั้งคือเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ A ที่กำหนด ดังนั้น
.

เมทริกซ์ A -1 เรียกว่าเมทริกซ์ผกผันเทียบกับเมทริกซ์ A ถ้า A*A -1 = E โดยที่ E คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับที่ n เมทริกซ์ผกผันจะมีได้เฉพาะกับเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้น

วัตถุประสงค์ของการบริการ. เมื่อใช้บริการออนไลน์ คุณจะพบการเสริมพีชคณิต เมทริกซ์ทรานสโพสเอต เมทริกซ์พันธมิตร และเมทริกซ์ผกผัน การตัดสินใจจะดำเนินการโดยตรงบนเว็บไซต์ (ออนไลน์) และไม่มีค่าใช้จ่าย ผลการคำนวณจะแสดงในรายงานในรูปแบบ Word และ Excel (เช่น สามารถตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาได้) ดูตัวอย่างการออกแบบ

คำแนะนำ. เพื่อให้ได้วิธีแก้ปัญหา จำเป็นต้องระบุขนาดของเมทริกซ์ ถัดไป กรอกเมทริกซ์ A ในกล่องโต้ตอบใหม่

ดูเพิ่มเติมที่เมทริกซ์ผกผันโดยใช้วิธี Jordano-Gauss

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

ค้นหาเมทริกซ์ที่ถูกย้าย A T
ความหมายของการเติมเต็มพีชคณิต แทนที่แต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ด้วยส่วนเสริมพีชคณิตของมัน
การรวบรวมเมทริกซ์ผกผันจากการบวกพีชคณิต: แต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ผลลัพธ์จะถูกหารด้วยดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดั้งเดิม เมทริกซ์ที่ได้คือค่าผกผันของเมทริกซ์ดั้งเดิม

ต่อไป อัลกอริธึมสำหรับการค้นหาเมทริกซ์ผกผันคล้ายกับขั้นตอนก่อนหน้ายกเว้นบางขั้นตอน: ขั้นแรกให้คำนวณการเสริมพีชคณิต จากนั้นจึงกำหนดเมทริกซ์พันธมิตร C

ตรวจสอบว่าเมทริกซ์เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือไม่ ถ้าไม่เช่นนั้น ก็ไม่มีเมทริกซ์ผกผันสำหรับมัน
การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A หากมันไม่เท่ากับศูนย์ เราจะแก้โจทย์ต่อไป ไม่เช่นนั้นจะไม่มีเมทริกซ์ผกผัน
ความหมายของการเติมเต็มพีชคณิต
การกรอกเมทริกซ์สหภาพ (ร่วมกันติดกัน) C .
การรวบรวมเมทริกซ์ผกผันจากการบวกพีชคณิต: แต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์เสริม C จะถูกหารด้วยดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดั้งเดิม เมทริกซ์ที่ได้คือค่าผกผันของเมทริกซ์ดั้งเดิม
พวกเขาตรวจสอบ: พวกเขาคูณเมทริกซ์ดั้งเดิมและเมทริกซ์ผลลัพธ์ ผลลัพธ์ควรเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์

ตัวอย่างหมายเลข 1 ลองเขียนเมทริกซ์ในรูปแบบ:

การบวกพีชคณิต

เอ 1,1 = (-1) 1+1

-1	-2
5	4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

เอ 1,2 = (-1) 1+2

2	-2
-2	4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

เอ 1.3 = (-1) 1+3

2	-1
-2	5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

เอ 2,1 = (-1) 2+1

2	3
5	4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

เอ 2,2 = (-1) 2+2

-1	3
-2	4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

เอ 2,3 = (-1) 2+3

-1	2
-2	5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

เอ 3.1 = (-1) 3+1

2	3
-1	-2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

เอ 3.2 = (-1) 3+2

-1	3
2	-2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

เอ 3.3 = (-1) 3+3

-1	2
2	-1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
แล้ว เมทริกซ์ผกผันสามารถเขียนเป็น:

เอ -1 = 1/10

6	-4	8
7	2	1
-1	4	-3

เอ -1 =

0,6	-0,4	0,8
0,7	0,2	0,1
-0,1	0,4	-0,3

อัลกอริธึมอื่นสำหรับการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

ให้เรานำเสนอรูปแบบอื่นในการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

ค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จตุรัส A ที่กำหนด
เราพบการเสริมพีชคณิตกับองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ A
เราเขียนการบวกพีชคณิตขององค์ประกอบแถวลงในคอลัมน์ (การขนย้าย)
เราแบ่งแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ผลลัพธ์ด้วยดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A

ดังที่เราเห็น การดำเนินการขนย้ายสามารถใช้ได้ทั้งที่จุดเริ่มต้น บนเมทริกซ์ดั้งเดิม และในตอนท้าย บนผลลัพธ์ของการบวกพีชคณิต

เป็นกรณีพิเศษ: ค่าผกผันของเมทริกซ์เอกลักษณ์ E คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ E

เราก็ขอแนะนำเช่นกัน

กำลังโหลด...

บ้าน > การปรับ