สูตรสำหรับการเพิ่มความน่าจะเป็น ข้อผิดพลาดทั่วไปในการแก้ปัญหาตามทฤษฎีความน่าจะเป็น
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A คืออัตราส่วนของจำนวน m ของผลลัพธ์การทดสอบที่สนับสนุนให้เกิดเหตุการณ์ A ต่อจำนวน n ทั้งหมดของผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้ทั้งหมดที่เป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกัน: P(A)=m/n
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ A (หรือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A โดยมีเงื่อนไขว่าเหตุการณ์ B เกิดขึ้น) คือตัวเลข P B (A) = P (AB) / P (B) โดยที่ A และ B เป็นเหตุการณ์สุ่มสองเหตุการณ์ในการทดลองเดียวกัน
ผลรวมของเหตุการณ์จำนวนจำกัด เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์เรียกว่า ผลรวมของสองเหตุการณ์จะแสดงเป็น A+B
กฎสำหรับการเพิ่มความน่าจะเป็น :
- กิจกรรมร่วมกัน
ก และ ข:
P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB) โดยที่ P(A) คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A, P(B) คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B, P(A+B) ) คือความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์จากสองเหตุการณ์ P(AB) คือความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นร่วมกันของสองเหตุการณ์ - กฎสำหรับการเพิ่มความน่าจะเป็น เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้
ก และ ข:
P(A+B) = P(A)+P(B) โดยที่ P(A) คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A, P(B) คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B
ผลคูณของเหตุการณ์จำนวนจำกัด เรียกได้ว่าเป็นเหตุการณ์ที่แต่ละคนจะเกิดขึ้น ผลคูณของสองเหตุการณ์แสดงว่า AB
กฎการคูณความน่าจะเป็น :
- เหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา
ก และ ข:
P(AB)= P(A)*P A (B)= P(B)*P B (A) โดยที่ P A (B) คือความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ B หากเหตุการณ์ A เกิดขึ้นแล้ว P B ( A ) คือความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ A หากเหตุการณ์ B เกิดขึ้นแล้ว - กฎการคูณความน่าจะเป็น กิจกรรมอิสระ
ก และ ข:
P(AB) = P(A)*P(B) โดยที่ P(A) คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A, P(B) คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B
ตัวอย่างการแก้ปัญหาในหัวข้อ “การดำเนินกิจกรรม กฎการบวกและคูณความน่าจะเป็น"
ปัญหาที่ 1 . ในกล่องประกอบด้วยหลอดไฟ 250 ดวง โดย 100 ดวงเป็น 90 วัตต์ 50 ดวงเป็น 60 วัตต์ 50 ดวงเป็น 25 วัตต์ และ 50 ดวงเป็น 15 วัตต์ กำหนดความน่าจะเป็นที่พลังงานของหลอดไฟที่เลือกแบบสุ่มจะไม่เกิน 60W
สารละลาย.
A = (กำลังไฟหลอดไฟ 90 วัตต์) ความน่าจะเป็น P(A) = 100/250 = 0.4;
B = (กำลังไฟของหลอดไฟคือ 60W);
C = (กำลังไฟของหลอดไฟคือ 25W);
D = (กำลังไฟหลอดไฟ 15W)
2. แบบฟอร์มเหตุการณ์ A, B, C, D ระบบที่สมบูรณ์ เนื่องจากทั้งหมดเข้ากันไม่ได้และหนึ่งในนั้นจะเกิดขึ้นอย่างแน่นอนในการทดลองนี้ (การเลือกหลอดไฟ) ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้นคือเหตุการณ์หนึ่ง ดังนั้น P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1
3. เหตุการณ์ (กำลังไฟหลอดไฟไม่เกิน 60W) (เช่น น้อยกว่าหรือเท่ากับ 60W) และ (กำลังไฟหลอดไฟมากกว่า 60W) (ในกรณีนี้ – 90W) ตรงกันข้าม ตามคุณสมบัติของจำนวนตรงข้าม P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)
4. เมื่อพิจารณาว่า P(B)+P(C)+P(D)=P(B+C+D) เราจะได้ P(B+C+D)= 1-P(A)=1-0 4=0.6
ปัญหาที่ 2
. ความน่าจะเป็นที่จะโจมตีเป้าหมายด้วยการยิงครั้งเดียวโดยผู้ยิงคนแรกคือ 0.7 และโดยผู้ยิงคนที่สอง – 0.9 จงหาความน่าจะเป็นนั้น
ก) เป้าหมายจะถูกโจมตีโดยผู้ยิงเพียงคนเดียว
b) เป้าหมายจะถูกโจมตีโดยผู้ยิงอย่างน้อยหนึ่งคน
สารละลาย.
1. พิจารณาเหตุการณ์ต่อไปนี้:
A1 = (ผู้ยิงคนแรกเข้าเป้า), P(A1) = 0.7 จากเงื่อนไขปัญหา
Ā1 = (นักกีฬาคนแรกพลาด) ขณะที่ P(A1)+P(Ā1) = 1 เนื่องจาก A1 และ Ā1 เป็นเหตุการณ์ตรงกันข้าม ดังนั้น P(Ā1)=1-0.7=0.3;
A2 = (ผู้ยิงคนที่สองเข้าเป้า), P(A2) = 0.9 จากเงื่อนไขปัญหา
Ā2 = (นักกีฬาคนที่สองพลาด) ขณะที่ P(Ā2) = 1-0.9 = 0.1
2. เหตุการณ์ A=(เป้าหมายถูกโจมตีโดยผู้ยิงเพียงคนเดียว) หมายความว่ามีเหตุการณ์หนึ่งจากสองเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้เกิดขึ้น: A1A2 หรือ A1A2
ตามกฎของการบวกความน่าจะเป็น P(A)= P(A1A2)+P(A1A2)
Р(А1А̄2)= Р(А1)*Р(А̄2)= 0.7*0.1=0.07;
ป(A1A2)= ป(A1)*ป(A2)=0.3*0.9=0.27
จากนั้น P(A)= P(A1A2)+P(A1A2)=0.07+0.27=0.34
3. เหตุการณ์ B=(เป้าหมายโดนผู้ยิงอย่างน้อยหนึ่งคน) หมายความว่าเป้าหมายถูกโจมตีโดยผู้ยิงคนแรก หรือเป้าหมายถูกโจมตีโดยผู้ยิงคนที่สอง หรือเป้าหมายถูกโจมตีโดยผู้ยิงทั้งสองคน
เหตุการณ์ B̄=(เป้าหมายไม่ถูกคนยิงโดน) ตรงกันข้ามกับเหตุการณ์ B ซึ่งหมายถึง P(B)=1-P(B̄)
เหตุการณ์ B̄ หมายถึง การเกิดขึ้นพร้อมกันของเหตุการณ์อิสระ Ā1 และ Ā2 ดังนั้น P(B̄)=P(Ā1Ā2)= P(Ā1)*P(Ā2)=0.3*0.1=0.3
จากนั้น P(B)= 1-P(B̄)=1-0.3=0.7
ปัญหา 3
. ตั๋วสอบประกอบด้วยคำถามสามข้อ ความน่าจะเป็นที่นักเรียนจะตอบคำถามแรกคือ 0.7; ในวินาที – 0.9; ในวันที่สาม – 0.6 ค้นหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนเลือกตั๋วจะตอบ:
ก) สำหรับคำถามทั้งหมด;
d) อย่างน้อยสองคำถาม
สารละลาย.
1. พิจารณาเหตุการณ์ต่อไปนี้:
A1 = (นักเรียนตอบคำถามแรก), P(A1) = 0.7 จากเงื่อนไขของปัญหา
Ā1 = (นักเรียนไม่ได้ตอบคำถามแรก) ในขณะที่ P(A1)+P(Ā1) = 1 เนื่องจาก A1 และ Ā1 เป็นเหตุการณ์ตรงกันข้าม ดังนั้น P(Ā1)=1-0.7=0.3;
A2 = (นักเรียนตอบคำถามที่สอง), P(A2) = 0.9 จากเงื่อนไขของปัญหา
Ā2 = (นักเรียนไม่ได้ตอบคำถามที่สอง) ในขณะที่ P(Ā2) = 1-0.9 = 0.1;
A3 = (นักเรียนตอบคำถามข้อที่สาม), P(A3) = 0.6 จากเงื่อนไขของปัญหา
Ā3 = (นักเรียนไม่ได้ตอบคำถามที่สาม) ในขณะที่ P(Ā3) = 1-0.6 = 0.4
2. เหตุการณ์ A = (นักเรียนตอบทุกคำถาม) หมายถึง การเกิดเหตุการณ์อิสระ A1, A2 และ A3 พร้อมกัน กล่าวคือ P(A)= P(A1A2A3) ตามกฎของการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ: P(A1A2A3)= P(A1)*P(A2)*P(A3)= 0.7*0.9*0.6=0.378
จากนั้น P(A)= P(A1A2A3)=0.378
3. เหตุการณ์ D = (นักเรียนตอบอย่างน้อย 2 คำถาม) หมายความว่า คำถามสองข้อใดข้อหนึ่งหรือทั้งสามข้อได้รับคำตอบแล้ว กล่าวคือ หนึ่งในสี่เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้เกิดขึ้น: A1A2Ā3 หรือ A1Ā2A3 หรือ Ā1A2A3 หรือ A1A2A3
ตามกฎสำหรับการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้: P(D)= P(A1A2Ā3)+ P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)
ตามกฎของการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:
P(A1A2Ā3)= P(A1)*P(A2)*P(Ā3)= 0.7*0.9*0.4=0.252;
P(A1Ā2A3)= P(A1)*P(Ā2)*P(A3)= 0.7*0.1*0.6=0.042;
P(Ā1A2A3)= P(Ā1)*P(A2)*P(A3)= 0.3*0.9*0.6=0.162;
P(A1A2A3)= P(A1)*P(A2)*P(A3)= 0.7*0.9*0.6=0.378
จากนั้น P(D)= 0.252+0.042+0.162+0.378= 0.834
สถาบันการศึกษา "รัฐเบลารุส"
สถาบันเกษตรกรรม"
ภาควิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง
การบวกและการคูณความน่าจะเป็น การทดสอบอิสระซ้ำแล้วซ้ำอีก
การบรรยายสำหรับนักศึกษาคณะการจัดการที่ดิน
หลักสูตรการติดต่อสื่อสาร
กอร์กี, 2012
การบวกและการคูณความน่าจะเป็น ซ้ำแล้วซ้ำเล่า
การทดสอบอิสระ
การบวกของความน่าจะเป็น
ผลรวมของสองเหตุการณ์ร่วมกัน กและ ในเรียกว่าเหตุการณ์ กับประกอบด้วยเหตุการณ์อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์ กหรือ ใน. ในทำนองเดียวกัน ผลรวมของเหตุการณ์ร่วมหลายเหตุการณ์คือเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยการเกิดขึ้นของเหตุการณ์เหล่านี้อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์
ผลรวมของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สองเหตุการณ์ กและ ในเรียกว่าเหตุการณ์ กับประกอบด้วยเหตุการณ์หรือเหตุการณ์ กหรือเหตุการณ์ต่างๆ ใน. ในทำนองเดียวกัน ผลรวมของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้หลายเหตุการณ์คือเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งเหล่านี้
ทฤษฎีบทสำหรับการเพิ่มความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้นั้นถูกต้อง: ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สองเหตุการณ์จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ , เช่น. . ทฤษฎีบทนี้สามารถขยายไปยังเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ในจำนวนจำกัด
จากทฤษฎีบทนี้มีดังนี้:
ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ก่อให้เกิดกลุ่มที่สมบูรณ์มีค่าเท่ากับหนึ่ง
ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้ามจะเท่ากับหนึ่งนั่นคือ 
.
ตัวอย่างที่ 1 . กล่องประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 2 ลูก สีแดง 3 ลูก และสีน้ำเงิน 5 ลูก ลูกบอลผสมกันและสุ่มหยิบลูกบอลหนึ่งลูก ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลจะถูกระบายสีเป็นเท่าใด?
สารละลาย . เรามาแสดงถึงเหตุการณ์:
ก=(ลูกบอลสีที่วาด);
บี=(ดึงลูกบอลสีขาว);
ค=(จับลูกบอลสีแดง);
ดี=(ดึงลูกบอลสีน้ำเงิน)
แล้ว ก= ค+ ดี. ตั้งแต่เหตุการณ์ ค, ดีไม่สอดคล้องกัน เราจะใช้ทฤษฎีบทเพื่อเพิ่มความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้:
ตัวอย่างที่ 2 . โกศประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 4 ลูกและลูกบอลสีดำ 6 ลูก สุ่มหยิบลูกบอล 3 ลูกจากโกศ ความน่าจะเป็นที่พวกมันมีสีเดียวกันทั้งหมดเป็นเท่าไหร่?
สารละลาย . เรามาแสดงถึงเหตุการณ์:
ก=(สุ่มลูกบอลที่มีสีเดียวกัน);
บี=(ลูกบอลสีขาวถูกนำออกมา);
ค=(ลูกบอลสีดำถูกนำออกมา)
เพราะ ก=
บี+
คและเหตุการณ์ต่างๆ ในและ กับไม่สอดคล้องกัน จากนั้นจึงใช้ทฤษฎีบทบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ 
. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ในเท่ากับ 
, ที่ไหน 
4,
. มาทดแทนกันเถอะ เคและ nลงในสูตรแล้วเราก็จะได้ 
ในทำนองเดียวกัน เราค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ กับ:
, ที่ไหน 
,
, เช่น. 
. แล้ว 
.
ตัวอย่างที่ 3 . จากสำรับไพ่ 36 ใบ จะมีการสุ่มไพ่ 4 ใบ ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะมีเอซอย่างน้อยสามแต้ม
สารละลาย . เรามาแสดงถึงเหตุการณ์:
ก=(ในบรรดาไพ่ที่หยิบออกมามีเอซอย่างน้อยสามใบ);
บี=(ในบรรดาไพ่ที่หยิบออกมานั้นมีเอซสามใบ);
ค=(ในบรรดาไพ่ที่หยิบออกมามีเอซสี่ใบ)
เพราะ ก=
บี+
คและเหตุการณ์ต่างๆ ในและ กับเข้ากันไม่ได้แล้ว 
. เรามาค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์กัน ในและ กับ:
,
. ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ไพ่ที่จั่วออกมาจะมีเอซอย่างน้อยสามใบจึงเท่ากับ
0.0022.
การคูณความน่าจะเป็น
การทำงาน
สองเหตุการณ์ กและ ในเรียกว่าเหตุการณ์ กับซึ่งประกอบด้วยเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นร่วมกันดังต่อไปนี้ 
. คำจำกัดความนี้ใช้กับเหตุการณ์จำนวนจำกัด
ทั้งสองเหตุการณ์เรียกว่า เป็นอิสระ
ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์อื่นเกิดขึ้นหรือไม่ กิจกรรม 
,
,
… ,
ถูกเรียก เป็นอิสระร่วมกัน
หากความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นของแต่ละเหตุการณ์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์อื่นเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้น
ตัวอย่างที่ 4 . มือปืนสองคนยิงไปที่เป้าหมาย เรามาแสดงถึงเหตุการณ์:
ก=(ผู้ยิงคนแรกเข้าเป้า);
บี=(มือปืนคนที่สองเข้าเป้า)
แน่นอนว่า ความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงคนแรกจะโดนเป้าหมายนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าผู้ยิงคนที่สองจะโดนหรือพลาด และในทางกลับกัน ดังนั้นเหตุการณ์ต่างๆ กและ ในเป็นอิสระ.
ทฤษฎีบทสำหรับการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระนั้นถูกต้อง: ความน่าจะเป็นของผลคูณของเหตุการณ์อิสระสองเหตุการณ์จะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ : .
ทฤษฎีบทนี้ยังใช้ได้กับ nเหตุการณ์อิสระร่วมกัน: .
ตัวอย่างที่ 5 . มือปืนสองคนยิงไปที่เป้าหมายเดียวกัน ความน่าจะเป็นที่จะยิงผู้ยิงคนแรกคือ 0.9 และคนที่สองคือ 0.7 ผู้ยิงทั้งสองยิงทีละนัด กำหนดความน่าจะเป็นที่เป้าหมายจะโดนสองครั้ง
สารละลาย . เรามาแสดงถึงเหตุการณ์:
ก
บี
ค=(ผู้ยิงทั้งสองคนจะเข้าเป้า)
เพราะ 
และเหตุการณ์ต่างๆ กและ ในเป็นอิสระแล้ว 
, เช่น..
กิจกรรม กและ ในถูกเรียก ขึ้นอยู่กับ
หากความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้นนั้นขึ้นอยู่กับว่ามีเหตุการณ์อื่นเกิดขึ้นหรือไม่ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น กโดยมีเงื่อนไขว่าเหตุการณ์นั้น ในมาถึงแล้วเรียกว่า ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
และถูกกำหนดไว้ 
หรือ 
.
ตัวอย่างที่ 6 . โกศประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 4 ลูกและลูกบอลสีดำ 7 ลูก ลูกบอลถูกดึงออกมาจากโกศ เรามาแสดงถึงเหตุการณ์:
ก=(จับลูกบอลสีขาว) ;
บี=(ดึงลูกบอลสีดำ)
ก่อนจะเริ่มเอาลูกบอลออกจากโกศ 
. ลูกบอลลูกหนึ่งถูกนำออกมาจากโกศและกลายเป็นสีดำ แล้วความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ กหลังจากเหตุการณ์ ในจะมีอีกอันหนึ่งที่เท่าเทียมกัน 
. ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ กขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ ใน, เช่น. เหตุการณ์เหล่านี้จะขึ้นอยู่กับ
ทฤษฎีบทสำหรับการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพานั้นถูกต้อง: ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ขึ้นต่อกันสองเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งและความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของอีกเหตุการณ์หนึ่ง คำนวณภายใต้สมมติฐานว่าเหตุการณ์แรกได้เกิดขึ้นแล้ว, เช่น. หรือ.
ตัวอย่างที่ 7 . โกศประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 4 ลูกและลูกบอลสีแดง 8 ลูก ลูกบอลสองลูกจะถูกดึงออกมาตามลำดับโดยการสุ่ม จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลทั้งสองลูกเป็นสีดำ
สารละลาย . เรามาแสดงถึงเหตุการณ์:
ก=(ลูกบอลสีดำถูกดึงก่อน);
บี=(ลูกบอลสีดำลูกที่สองถูกหยิบขึ้นมา)
กิจกรรม กและ ในพึ่งเพราะ 
, ก 
. แล้ว 
.
ตัวอย่างที่ 8 . มือปืนสามคนยิงไปที่เป้าหมายโดยแยกจากกัน ความน่าจะเป็นที่จะยิงเข้าเป้าสำหรับนักกีฬาคนแรกคือ 0.5 สำหรับครั้งที่สอง – 0.6 และสำหรับครั้งที่สาม – 0.8 ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะมีการโดนเป้าหมายสองครั้งหากผู้ยิงแต่ละคนยิงหนึ่งนัด
สารละลาย . เรามาแสดงถึงเหตุการณ์:
ก=(จะมีการโจมตีสองครั้งที่เป้าหมาย);
บี=(ผู้ยิงคนแรกจะโดนเป้าหมาย);
ค=(ผู้ยิงคนที่สองจะเข้าเป้า);
ดี=(ผู้ยิงคนที่สามจะเข้าเป้า);
=(ผู้ยิงคนแรกจะไม่โดนเป้าหมาย);
=(ผู้ยิงคนที่สองจะไม่โดนเป้าหมาย);
=(ผู้ยิงคนที่สามจะไม่โดนเป้าหมาย)
ตามตัวอย่าง 
,
,
,
,
,
. เนื่องจากการใช้ทฤษฎีบทในการเพิ่มความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้และทฤษฎีบทสำหรับการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ เราจึงได้:
ปล่อยให้เหตุการณ์ 
จัดกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ของการทดสอบบางส่วนและเหตุการณ์ต่างๆ กสามารถเกิดขึ้นได้กับเหตุการณ์เหล่านี้อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น หากทราบความน่าจะเป็นและความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ กจากนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A จะคำนวณโดยสูตร:
หรือ 
. สูตรนี้มีชื่อว่า สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด
และเหตุการณ์ต่างๆ 
สมมติฐาน
.
ตัวอย่างที่ 9
. สายการประกอบได้รับชิ้นส่วน 700 ชิ้นจากเครื่องจักรเครื่องแรก และ 300 ชิ้นส่วน 
จากวินาที เครื่องแรกผลิตเศษเหล็ก 0.5% และเครื่องที่สอง - 0.7% ค้นหาความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนที่นำมาจะชำรุด
สารละลาย . เรามาแสดงถึงเหตุการณ์:
ก=(ชิ้นส่วนที่นำมาจะชำรุด);
=(ชิ้นส่วนถูกสร้างขึ้นในเครื่องแรก);
=(ชิ้นงานทำในเครื่องที่ 2)
ความน่าจะเป็นที่ชิ้นงานจะทำในเครื่องแรกเท่ากับ 
. สำหรับเครื่องที่สอง 
. ตามเงื่อนไขความน่าจะเป็นที่จะได้รับชิ้นส่วนชำรุดที่ผลิตในเครื่องแรกเท่ากับ 
. สำหรับเครื่องที่ 2 ความน่าจะเป็นนี้เท่ากับ 
. จากนั้นความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนที่นำมาจะชำรุดจะคำนวณโดยใช้สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด 
หากทราบว่ามีเหตุการณ์บางอย่างเกิดขึ้นอันเป็นผลจากการทดสอบ กแล้วความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์นี้จะเกิดขึ้นพร้อมกับสมมติฐาน 
มีค่าเท่ากัน 
, ที่ไหน 
- ความน่าจะเป็นรวมของเหตุการณ์ ก. สูตรนี้มีชื่อว่า สูตรเบย์
และช่วยให้คุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ได้ 
หลังจากที่ได้ทราบเหตุการณ์ดังกล่าวแล้ว กมาถึงแล้ว
ตัวอย่างที่ 10 . ชิ้นส่วนรถยนต์ประเภทเดียวกันนี้ผลิตที่โรงงาน 2 แห่งและส่งถึงร้านค้า โรงงานแห่งแรกผลิต 80% ของจำนวนชิ้นส่วนทั้งหมด และโรงงานแห่งที่สอง - 20% ผลิตภัณฑ์ของโรงงานแห่งแรกประกอบด้วยชิ้นส่วนมาตรฐาน 90% และโรงงานที่สอง - 95% ผู้ซื้อซื้อชิ้นส่วนหนึ่งชิ้นและกลายเป็นมาตรฐาน ค้นหาความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนนี้ผลิตที่โรงงานแห่งที่สอง
สารละลาย . เรามาแสดงถึงเหตุการณ์:
ก=(ซื้ออะไหล่มาตรฐาน);
=(ชิ้นส่วนนี้ผลิตที่โรงงานแห่งแรก);
=(ชิ้นส่วนผลิตที่โรงงานแห่งที่สอง)
ตามตัวอย่าง 
,
,
และ 
. มาคำนวณความน่าจะเป็นรวมของเหตุการณ์กัน ก: 0.91. เราคำนวณความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนนั้นผลิตขึ้นที่โรงงานแห่งที่สองโดยใช้สูตร Bayes: 
.
งานสำหรับงานอิสระ
ความน่าจะเป็นที่จะยิงเข้าเป้าสำหรับมือปืนคนแรกคือ 0.8 สำหรับมือปืนคนที่สอง – 0.7 และมือที่สาม – 0.9 คนยิงยิงคนละนัด ค้นหาความน่าจะเป็นที่เป้าหมายจะโดนอย่างน้อยสองครั้ง
ร้านซ่อมได้รับรถแทรกเตอร์จำนวน 15 คัน เป็นที่ทราบกันดีว่า 6 คนจำเป็นต้องเปลี่ยนเครื่องยนต์และส่วนที่เหลือต้องเปลี่ยนส่วนประกอบแต่ละส่วน รถแทรกเตอร์สามคันถูกสุ่มเลือก ค้นหาความน่าจะเป็นที่จำเป็นต้องเปลี่ยนเครื่องยนต์สำหรับรถแทรกเตอร์ที่เลือกไม่เกินสองคัน
โรงงานคอนกรีตเสริมเหล็กผลิตแผง 80% มีคุณภาพสูงสุด ค้นหาความน่าจะเป็นที่จากสามแผงที่เลือกแบบสุ่ม อย่างน้อยสองแผงจะเป็นเกรดสูงสุด
คนงานสามคนกำลังประกอบตลับลูกปืน ความน่าจะเป็นที่ตลับลูกปืนที่ประกอบโดยคนงานคนแรกมีคุณภาพสูงสุดคือ 0.7 โดยคนที่สอง – 0.8 และคนที่สาม – 0.6 สำหรับการควบคุม ตลับลูกปืนหนึ่งอันถูกสุ่มจากตลับลูกปืนที่ประกอบโดยคนงานแต่ละคน ค้นหาความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยสองรายการจะมีคุณภาพสูงสุด
ความน่าจะเป็นที่จะชนะลอตเตอรี่ใบแรกคือ 0.2 อันที่สองคือ 0.3 และอันที่สามคือ 0.25 มีตั๋วหนึ่งใบสำหรับแต่ละฉบับ ค้นหาความน่าจะเป็นที่ตั๋วอย่างน้อยสองใบจะชนะ
นักบัญชีทำการคำนวณโดยใช้หนังสืออ้างอิงสามเล่ม ความน่าจะเป็นที่ข้อมูลที่เขาสนใจอยู่ในไดเรกทอรีแรกคือ 0.6 ในไดเรกทอรีที่สอง - 0.7 และในไดเรกทอรีที่สาม - 0.8 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ข้อมูลที่นักบัญชีสนใจมีอยู่ในไดเร็กทอรีไม่เกินสองไดเร็กทอรี
เครื่องจักรสามเครื่องผลิตชิ้นส่วน เครื่องจักรเครื่องแรกผลิตชิ้นส่วนที่มีคุณภาพสูงสุดโดยมีความน่าจะเป็น 0.9 เครื่องที่สองมีความน่าจะเป็น 0.7 และเครื่องที่สามมีความน่าจะเป็น 0.6 จะมีการสุ่มชิ้นส่วนหนึ่งชิ้นจากแต่ละเครื่อง ค้นหาความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยสองรายการมีคุณภาพสูงสุด
ชิ้นส่วนประเภทเดียวกันได้รับการประมวลผลในเครื่องจักรสองเครื่อง ความน่าจะเป็นในการผลิตชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานสำหรับเครื่องแรกคือ 0.03 สำหรับเครื่องที่สอง – 0.02 ชิ้นส่วนที่ผ่านการประมวลผลจะถูกจัดเก็บไว้ในที่เดียว ในจำนวนนี้ 67% มาจากเครื่องแรก และที่เหลือมาจากเครื่องที่สอง ส่วนที่ถ่ายแบบสุ่มกลายเป็นมาตรฐาน ค้นหาความน่าจะเป็นที่เกิดขึ้นในเครื่องแรก
การประชุมเชิงปฏิบัติการได้รับตัวเก็บประจุชนิดเดียวกันสองกล่อง กล่องแรกประกอบด้วยตัวเก็บประจุ 20 ตัว ซึ่งชำรุด 2 ตัว กล่องที่สองประกอบด้วยตัวเก็บประจุ 10 ตัว ซึ่งมีข้อบกพร่อง 3 ตัว คาปาซิเตอร์ถูกวางไว้ในกล่องเดียว ค้นหาความน่าจะเป็นที่ตัวเก็บประจุที่สุ่มมาจากกล่องจะอยู่ในสภาพดี
เครื่องจักรสามเครื่องผลิตชิ้นส่วนประเภทเดียวกันซึ่งจ่ายให้กับสายพานลำเลียงทั่วไป ในบรรดาชิ้นส่วนทั้งหมด 20% มาจากเครื่องแรก 30% จากเครื่องที่สองและ 505 จากเครื่องที่สาม ความน่าจะเป็นในการผลิตชิ้นส่วนมาตรฐานในเครื่องแรกคือ 0.8 ในเครื่องที่สอง – 0.6 และในเครื่องที่สาม – 0.7 ส่วนที่นำมากลายเป็นมาตรฐาน ค้นหาความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนนี้ถูกสร้างขึ้นในเครื่องที่ 3
ช่างประกอบจะได้รับชิ้นส่วน 40% จากโรงงานมาประกอบ กและที่เหลือ - จากโรงงาน ใน. โอกาสที่ชิ้นส่วนจะมาจากโรงงาน ก– คุณภาพที่เหนือกว่าเท่ากับ 0.8 และจากโรงงาน ใน– 0.9. ผู้ประกอบสุ่มชิ้นส่วนหนึ่งชิ้นและพบว่ามีคุณภาพไม่ดี จงหาความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนนี้จะมาจากโรงงาน ใน.
นักเรียนกลุ่มแรกจำนวน 10 คน และกลุ่มที่สองจำนวน 8 คน เข้าร่วมการแข่งขันกีฬานักเรียน ความน่าจะเป็นที่นักเรียนจากกลุ่มแรกจะรวมอยู่ในทีมสถาบันการศึกษาคือ 0.8 และจากกลุ่มที่สอง - 0.7 สุ่มเลือกนักเรียนเข้าร่วมทีม ค้นหาความน่าจะเป็นที่เขามาจากกลุ่มแรก
สูตรของเบอร์นูลลี
การทดสอบที่เรียกว่า เป็นอิสระ
ถ้าสำหรับแต่ละคนเหตุการณ์ กเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็นเดียวกัน 
โดยไม่ขึ้นกับว่าเหตุการณ์นี้ปรากฏหรือไม่ปรากฏในการทดลองอื่น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้าม 
ในกรณีนี้เท่ากับ 
.
ตัวอย่างที่ 11
. ลูกเต๋ากำลังถูกโยน nครั้งหนึ่ง. เรามาแสดงถึงเหตุการณ์ ก=(กลิ้งสามแต้ม). ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น กในการทดลองแต่ละครั้งจะเท่ากันและไม่ขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์นี้เกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นในการทดลองอื่น ดังนั้นการทดสอบเหล่านี้จึงเป็นอิสระ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้าม 
(ไม่กลิ้งสามแต้ม) ก็เท่ากับ 
.
ความน่าจะเป็นที่ว่าใน nการทดลองอิสระ ซึ่งในแต่ละกรณีมีความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น กเท่ากับ พีเหตุการณ์จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน เคครั้ง (ไม่สำคัญว่าเรียงลำดับอะไร) คำนวณโดยสูตร 
, ที่ไหน 
. สูตรนี้มีชื่อว่า สูตรของเบอร์นูลลี
และจะสะดวกหากจำนวนการทดสอบ n ไม่มากเกินไป
ตัวอย่างที่ 12 . สัดส่วนของผลไม้ที่ติดเชื้อโรคในรูปแบบแฝงคือ 25% 6 ผลไม้จะถูกสุ่มเลือก ค้นหาความน่าจะเป็นที่ในบรรดาผู้ที่ถูกเลือกจะมี: ก) ผลไม้ที่ติดเชื้อ 3 ผลอย่างแน่นอน; b) ผลไม้ที่ติดเชื้อไม่เกินสองผล
สารละลาย . ตามเงื่อนไขตัวอย่าง
ก) ตามสูตรของเบอร์นูลลี ความน่าจะเป็นที่ผลไม้ที่เลือกมาหกชนิดจะติดเชื้อสามผลเท่ากับ
0.132.
b) ให้เราแสดงถึงเหตุการณ์ ก=(ผลไม้จะติดเชื้อไม่เกินสองผล) แล้ว . ตามสูตรของเบอร์นูลลี:
0.297.
เพราะฉะนั้น, 
0.178+0.356+0.297=0.831.
ทฤษฎีบทของลาปลาซและปัวซอง
สูตรของเบอร์นูลลีใช้ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งๆ กจะมา เคทุกครั้ง nการทดลองอิสระและความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในการทดลองแต่ละครั้ง กคงที่ สำหรับค่า n ที่มีขนาดใหญ่ การคำนวณโดยใช้สูตรของเบอร์นูลลีจะกลายเป็นเรื่องลำบาก ในกรณีนี้ ให้คำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ กควรใช้สูตรอื่นจะดีกว่า
ทฤษฎีบทลาปลาซท้องถิ่น . ปล่อยให้ความน่าจะเป็น พีการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ กในการทดลองแต่ละครั้งจะคงที่และแตกต่างจากศูนย์และหนึ่ง แล้วความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์นั้น กจะมาแน่เลย เคคูณด้วยจำนวนการทดสอบจำนวนมากเพียงพอ คำนวณโดยสูตร
, ที่ไหน 
และค่าฟังก์ชัน 
จะได้รับในตาราง
คุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน 
เป็น:
การทำงาน 
กำหนดและต่อเนื่องในช่วงเวลา 
.
การทำงาน 
เป็นบวก เช่น 
>0.
การทำงาน 
แม้กระทั่งนั่นคือ 
.
ตั้งแต่ฟังก์ชั่น 
เป็นคู่ จากนั้นตารางจะแสดงค่าเฉพาะค่าบวกเท่านั้น เอ็กซ์.
ตัวอย่างที่ 13 . อัตราการงอกของเมล็ดข้าวสาลีคือ 80% เลือกเมล็ดพืช 100 เมล็ดสำหรับการทดลอง ค้นหาความน่าจะเป็นที่เมล็ดที่เลือกไว้ 90 เมล็ดจะงอกอย่างแน่นอน
สารละลาย
. ตามตัวอย่าง n=100,
เค=90,
พี=0.8,
ถาม=1-0.8=0.2. แล้ว 
. เมื่อใช้ตารางเราจะค้นหาค่าของฟังก์ชัน 
:
. ความน่าจะเป็นที่เมล็ดที่เลือกไว้จะงอก 90 เมล็ดเท่ากับ 
0.0044.
เมื่อแก้ไขปัญหาในทางปฏิบัติ จำเป็นต้องค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น กที่ nการทดสอบอิสระไม่น้อย 
ครั้งเดียวและไม่มีอีกแล้ว 
ครั้งหนึ่ง. ปัญหานี้แก้ไขได้โดยใช้ ทฤษฎีบทอินทิกรัลของลาปลาซ
: ปล่อยให้ความน่าจะเป็น พีการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ กในแต่ละ nการทดสอบอิสระนั้นคงที่และแตกต่างจากศูนย์และหนึ่ง จากนั้นความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นเป็นอย่างน้อย 
ครั้งเดียวและไม่มีอีกแล้ว 
ครั้งที่มีจำนวนการทดสอบจำนวนมากเพียงพอ ให้คำนวณโดยสูตร
ที่ไหน 
,
.
การทำงาน 
เรียกว่า ฟังก์ชันลาปลาซ
และไม่ได้แสดงออกผ่านฟังก์ชันเบื้องต้น ค่าของฟังก์ชันนี้กำหนดไว้ในตารางพิเศษ
คุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน 
เป็น:
.
การทำงาน 
เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา 
.
ที่ 
.
การทำงาน 
แปลก เช่น 
.
ตัวอย่างที่ 14 . บริษัทผลิตสินค้า 13% ซึ่งไม่ได้คุณภาพสูงสุด กำหนดความน่าจะเป็นที่ในชุดที่ยังไม่ได้ทดสอบจำนวน 150 หน่วยของผลิตภัณฑ์คุณภาพสูงสุดจะมีค่าไม่น้อยกว่า 125 และไม่เกิน 135
สารละลาย
. มาแสดงกัน. มาคำนวณกัน 
,
การศึกษาทฤษฎีความน่าจะเป็นเริ่มต้นด้วยการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการบวกและการคูณความน่าจะเป็น เป็นมูลค่าการกล่าวขวัญทันทีว่านักเรียนอาจประสบปัญหาเมื่อเชี่ยวชาญความรู้ด้านนี้: หากกระบวนการทางกายภาพหรือทางเคมีสามารถแสดงได้ด้วยสายตาและเข้าใจในเชิงประจักษ์ ระดับของนามธรรมทางคณิตศาสตร์จะสูงมาก และความเข้าใจมาที่นี่เท่านั้น ด้วยประสบการณ์
อย่างไรก็ตามเกมนี้คุ้มค่ากับเทียนเพราะสูตร - ทั้งที่กล่าวถึงในบทความนี้และสูตรที่ซับซ้อนกว่า - ถูกนำมาใช้ทุกที่ในปัจจุบันและอาจมีประโยชน์ในการทำงาน
ต้นทาง
น่าแปลกที่แรงผลักดันในการพัฒนาสาขาคณิตศาสตร์นี้คือ... การพนัน แท้จริงแล้ว ลูกเต๋า การทอยเหรียญ โป๊กเกอร์ รูเล็ต เป็นตัวอย่างทั่วไปที่ใช้การบวกและการคูณของความน่าจะเป็น จะเห็นได้ชัดเจนโดยใช้ตัวอย่างปัญหาในตำราเรียนทุกเล่ม ผู้คนสนใจที่จะเรียนรู้วิธีเพิ่มโอกาสในการชนะ และต้องบอกว่ามีบางคนประสบความสำเร็จในเรื่องนี้
ตัวอย่างเช่นในศตวรรษที่ 21 บุคคลคนหนึ่งซึ่งเราจะไม่เปิดเผยชื่อใช้ความรู้นี้ที่สะสมมานานหลายศตวรรษเพื่อ "ทำความสะอาด" คาสิโนอย่างแท้จริงและชนะรูเล็ตหลายสิบล้านดอลลาร์
อย่างไรก็ตาม แม้ว่าความสนใจในเรื่องนี้จะเพิ่มขึ้น เฉพาะในศตวรรษที่ 20 เท่านั้นที่กรอบทางทฤษฎีได้รับการพัฒนาซึ่งทำให้ "ทฤษฎีบท" เสร็จสมบูรณ์ ทุกวันนี้ ในวิทยาศาสตร์เกือบทุกประเภทเราสามารถค้นหาการคำนวณโดยใช้วิธีความน่าจะเป็นได้
การบังคับใช้
จุดสำคัญเมื่อใช้สูตรในการบวกและคูณความน่าจะเป็นและความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขคือความพึงพอใจของทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง มิฉะนั้น แม้ว่านักเรียนอาจไม่ตระหนักรู้ แต่การคำนวณทั้งหมดไม่ว่าจะดูเป็นไปได้เพียงใด ก็จะไม่ถูกต้อง
ใช่แล้ว นักเรียนที่มีแรงจูงใจสูงจะถูกล่อลวงให้ใช้ความรู้ใหม่ในทุกโอกาส แต่ในกรณีนี้จำเป็นต้องชะลอความเร็วลงเล็กน้อยและกำหนดขอบเขตของการบังคับใช้อย่างเคร่งครัด
ทฤษฎีความน่าจะเป็นเกี่ยวข้องกับเหตุการณ์สุ่ม ซึ่งในแง่เชิงประจักษ์แสดงถึงผลลัพธ์ของการทดลอง เช่น เราสามารถทอยลูกเต๋าหกด้าน จั่วไพ่จากสำรับ ทำนายจำนวนชิ้นส่วนที่ชำรุดในแบตช์ อย่างไรก็ตาม ในบางคำถาม ห้ามมิให้ใช้สูตรจากคณิตศาสตร์ส่วนนี้โดยเด็ดขาด เราจะพูดถึงคุณลักษณะในการพิจารณาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ทฤษฎีบทของการบวกและการคูณเหตุการณ์ในตอนท้ายของบทความ แต่ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างกันดีกว่า
แนวคิดพื้นฐาน
เหตุการณ์สุ่มหมายถึงกระบวนการหรือผลลัพธ์บางอย่างที่อาจปรากฏหรือไม่ปรากฏอันเป็นผลมาจากการทดลอง ตัวอย่างเช่น เราโยนแซนด์วิช โดยอาจหงายเนยขึ้นหรือคว่ำลงก็ได้ ผลลัพธ์ทั้งสองอย่างจะเป็นแบบสุ่ม และเราไม่ทราบล่วงหน้าว่าผลลัพธ์ใดจะเกิดขึ้น
เมื่อศึกษาการบวกและการคูณของความน่าจะเป็น เราจำเป็นต้องมีแนวคิดเพิ่มเติมอีกสองแนวคิด
เหตุการณ์ดังกล่าวเรียกว่าร่วมซึ่งการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งไม่รวมถึงการเกิดของอีกเหตุการณ์หนึ่ง สมมติว่าคนสองคนยิงไปที่เป้าหมายพร้อมกัน หากหนึ่งในนั้นประสบความสำเร็จ มันจะไม่ส่งผลกระทบต่อความสามารถของคนที่สองในการตีตาวัวหรือพลาดในทางใดทางหนึ่ง
เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้คือเหตุการณ์ที่ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ ตัวอย่างเช่น หากคุณหยิบลูกบอลออกมาจากกล่องเพียงลูกเดียว คุณจะไม่สามารถรับทั้งสีน้ำเงินและสีแดงพร้อมกันได้
การกำหนด
แนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นเขียนแทนด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ P ส่วนถัดไปในวงเล็บคือข้อโต้แย้งที่แสดงถึงเหตุการณ์บางอย่าง
ในสูตรของทฤษฎีบทการบวก ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข และทฤษฎีบทการคูณ คุณจะเห็นนิพจน์ในวงเล็บ เช่น A+B, AB หรือ A|B พวกเขาจะคำนวณด้วยวิธีต่างๆ และตอนนี้เราจะมาดูกัน
ส่วนที่เพิ่มเข้าไป
ลองพิจารณากรณีที่ใช้สูตรสำหรับการเพิ่มและการคูณความน่าจะเป็น
สำหรับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ สูตรการบวกที่ง่ายที่สุดมีความเกี่ยวข้อง: ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แบบสุ่มใดๆ จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แต่ละรายการเหล่านี้
สมมติว่ามีกล่องหนึ่งที่มีลูกหินสีน้ำเงิน 2 ลูก สีแดง 3 ลูก และสีเหลือง 5 ลูก ในกล่องมีทั้งหมด 10 รายการ ความจริงของคำกล่าวที่ว่าเราจะวาดลูกบอลสีน้ำเงินหรือสีแดงคืออะไร? จะเท่ากับ 2/10 + 3/10 เช่น ห้าสิบเปอร์เซ็นต์
ในกรณีของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ สูตรจะซับซ้อนมากขึ้น เนื่องจากมีการเพิ่มคำศัพท์เพิ่มเติม ย้อนกลับไปในหนึ่งย่อหน้าหลังจากพิจารณาสูตรอื่นแล้ว
การคูณ
การบวกและการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระจะใช้ในกรณีต่างๆ หากตามเงื่อนไขของการทดลอง เราพอใจกับผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ใดๆ จากสองผลลัพธ์ เราจะคำนวณผลรวม หากเราต้องการได้ผลลัพธ์ที่แน่นอนสองอย่างติดต่อกัน เราจะหันไปใช้สูตรอื่น
กลับมาที่ตัวอย่างจากส่วนก่อนหน้า เราต้องการวาดลูกบอลสีน้ำเงินก่อนแล้วจึงวาดลูกบอลสีแดง เรารู้เลขตัวแรก - มันคือ 2/10 จะเกิดอะไรขึ้นต่อไป? เหลือลูกบอลอยู่ 9 ลูก และยังมีลูกสีแดงจำนวนเท่าเดิม - สามลูก ตามการคำนวณจะเป็น 3/9 หรือ 1/3 แต่ตอนนี้จะทำอย่างไรกับตัวเลขสองตัว? คำตอบที่ถูกต้องคือคูณเพื่อให้ได้ 2/30
กิจกรรมร่วมกัน
ตอนนี้เราหันไปใช้สูตรผลรวมสำหรับกิจกรรมร่วมได้อีกครั้ง เหตุใดเราจึงฟุ้งซ่านจากหัวข้อนี้? เพื่อค้นหาว่าความน่าจะเป็นคูณกันอย่างไร ตอนนี้เราจะต้องมีความรู้นี้
เรารู้แล้วว่าสองเทอมแรกจะเป็นเช่นไร (เหมือนกับในสูตรบวกที่กล่าวไว้ข้างต้น) แต่ตอนนี้เราต้องลบผลคูณของความน่าจะเป็นซึ่งเราเพิ่งเรียนรู้ที่จะคำนวณ เพื่อความชัดเจน ลองเขียนสูตร: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) ปรากฎว่ามีการใช้ทั้งการบวกและการคูณความน่าจะเป็นในนิพจน์เดียว
สมมติว่าเราต้องแก้ปัญหาใดๆ จากสองปัญหาเพื่อที่จะได้เครดิต เราสามารถแก้ปัญหาอันแรกได้ด้วยความน่าจะเป็น 0.3 และอันที่สองด้วยความน่าจะเป็น 0.6 วิธีแก้ปัญหา: 0.3 + 0.6 - 0.18 = 0.72 โปรดทราบว่าการเพิ่มตัวเลขที่นี่จะไม่เพียงพอ
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
สุดท้าย มีแนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ข้อโต้แย้งที่ระบุอยู่ในวงเล็บและคั่นด้วยแถบแนวตั้ง ข้อความ P(A|B) อ่านได้ดังนี้: “ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ที่กำหนดเหตุการณ์ B”
ลองดูตัวอย่าง: เพื่อนให้อุปกรณ์บางอย่างแก่คุณ ปล่อยให้เป็นโทรศัพท์ มันอาจจะแตกหัก (20%) หรือไม่เสียหาย (80%) คุณสามารถซ่อมแซมอุปกรณ์ใด ๆ ที่มาถึงมือคุณได้ด้วยความน่าจะเป็น 0.4 หรือไม่สามารถทำได้ (0.6) สุดท้ายนี้ หากอุปกรณ์ยังใช้งานได้ดี คุณสามารถเข้าถึงบุคคลที่เหมาะสมได้โดยมีความน่าจะเป็น 0.7
เป็นเรื่องง่ายที่จะดูว่าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขในกรณีนี้เกิดขึ้นอย่างไร คุณจะไม่สามารถเข้าถึงบุคคลได้หากโทรศัพท์เสีย แต่ถ้าใช้งานได้ คุณไม่จำเป็นต้องซ่อมแซม ดังนั้น เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ใดๆ ที่ "ระดับที่สอง" คุณต้องค้นหาว่าเหตุการณ์ใดที่ดำเนินการในครั้งแรก
การคำนวณ
ลองดูตัวอย่างการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการบวกและการคูณความน่าจะเป็นโดยใช้ข้อมูลจากย่อหน้าที่แล้ว
ขั้นแรก เรามาค้นหาความน่าจะเป็นที่คุณจะซ่อมแซมอุปกรณ์ที่มอบให้ ในการดำเนินการนี้ ประการแรก จะต้องมีข้อผิดพลาด และประการที่สอง คุณต้องสามารถแก้ไขได้ นี่เป็นปัญหาทั่วไปเมื่อใช้การคูณ เราได้ 0.2 * 0.4 = 0.08
โอกาสที่คุณจะเข้าถึงคนที่เหมาะสมในทันทีคืออะไร? ง่ายๆ ก็แค่: 0.8*0.7 = 0.56 ในกรณีนี้ คุณพบว่าโทรศัพท์ใช้งานได้และโทรออกได้สำเร็จ
สุดท้าย ให้พิจารณาสถานการณ์นี้: คุณได้รับโทรศัพท์ที่เสีย ซ่อมแล้วกดหมายเลข จากนั้นคนที่อยู่อีกด้านหนึ่งก็รับสาย ตรงนี้เราต้องคูณสามองค์ประกอบแล้ว: 0.2*0.4*0.7 = 0.056
จะทำอย่างไรถ้าคุณมีโทรศัพท์ที่ไม่ทำงานสองเครื่องพร้อมกัน? คุณมีแนวโน้มที่จะแก้ไขอย่างน้อยหนึ่งรายการมากน้อยเพียงใด เกี่ยวกับการบวกและการคูณความน่าจะเป็น เนื่องจากมีการใช้เหตุการณ์ร่วม วิธีแก้ไข: 0.4 + 0.4 - 0.4*0.4 = 0.8 - 0.16 = 0.64 ดังนั้นหากคุณได้รับอุปกรณ์ที่เสียสองเครื่อง คุณจะสามารถแก้ไขได้ในกรณี 64%
ใช้อย่างระมัดระวัง
ตามที่ระบุไว้ในตอนต้นของบทความ การใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็นควรใช้อย่างรอบคอบและมีสติ
ยิ่งชุดการทดลองมีขนาดใหญ่เท่าใด ค่าที่คาดการณ์ตามทฤษฎีก็จะใกล้เคียงกับค่าที่ได้รับในทางปฏิบัติมากขึ้นเท่านั้น เช่น เราโยนเหรียญ ตามทฤษฎีแล้ว เมื่อทราบสูตรการบวกและการคูณความน่าจะเป็น เราก็สามารถทำนายได้ว่า "หัว" และ "ก้อย" จะปรากฏขึ้นมากี่ครั้งหากเราทำการทดลอง 10 ครั้ง เราทำการทดลอง และโดยบังเอิญ อัตราส่วนของด้านที่วาดคือ 3 ต่อ 7 แต่ถ้าเราดำเนินการต่อเนื่องกัน 100, 1,000 ครั้งขึ้นไป ปรากฎว่ากราฟการกระจายเข้าใกล้กราฟทางทฤษฎีมากขึ้นเรื่อยๆ: 44 ถึง 56, 482 ถึง 518 และอื่นๆ
ลองจินตนาการว่าการทดลองนี้ไม่ได้ดำเนินการด้วยเหรียญ แต่ด้วยการผลิตสารเคมีชนิดใหม่ ความน่าจะเป็นที่เราไม่ทราบ เราจะทำการทดลอง 10 ครั้ง และหากไม่ประสบผลสำเร็จ เราก็สามารถสรุปได้ว่า "เป็นไปไม่ได้ที่จะได้สารนี้มา" แต่ใครจะรู้ถ้าเราทำครั้งที่สิบเอ็ดเราจะบรรลุเป้าหมายหรือไม่?
ดังนั้น หากคุณกำลังจะเข้าไปในพื้นที่ที่ไม่รู้จัก เข้าไปในพื้นที่ที่ยังไม่ได้สำรวจ ทฤษฎีความน่าจะเป็นอาจไม่สามารถใช้ได้ ความพยายามครั้งต่อไปแต่ละครั้งในกรณีนี้อาจประสบความสำเร็จ และลักษณะทั่วไปเช่น "ไม่มี X" หรือ "X เป็นไปไม่ได้" จะเกิดก่อนกำหนด
คำสุดท้าย
ดังนั้นเราจึงดูการบวกสองประเภท การคูณ และความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข จากการศึกษาเพิ่มเติมในพื้นที่นี้ จำเป็นต้องเรียนรู้ที่จะแยกแยะสถานการณ์เมื่อมีการใช้สูตรเฉพาะแต่ละสูตร นอกจากนี้ คุณต้องจินตนาการว่าโดยทั่วไปแล้ววิธีการความน่าจะเป็นนั้นสามารถนำมาใช้ในการแก้ปัญหาของคุณหรือไม่
หากคุณฝึกฝน หลังจากนั้นไม่นานคุณจะเริ่มดำเนินการที่จำเป็นทั้งหมดในใจของคุณโดยเฉพาะ สำหรับผู้ที่สนใจเกมไพ่ ทักษะนี้ถือว่ามีคุณค่าอย่างยิ่ง - คุณจะเพิ่มโอกาสในการชนะได้อย่างมากเพียงแค่คำนวณความน่าจะเป็นที่การ์ดหรือชุดใดชุดหนึ่งจะหลุดออกมา อย่างไรก็ตาม คุณสามารถค้นหาการประยุกต์ใช้ความรู้ที่ได้รับในด้านอื่นๆ ของกิจกรรมได้อย่างง่ายดาย
ที่ เมื่อประเมินความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์สุ่มใดๆ สิ่งสำคัญมากคือต้องมีความเข้าใจที่ดีว่าความน่าจะเป็น () ของการเกิดเหตุการณ์ที่เราสนใจนั้นขึ้นอยู่กับการพัฒนาของเหตุการณ์อื่นๆ อย่างไร
ในกรณีของรูปแบบคลาสสิก เมื่อผลลัพธ์ทั้งหมดมีความน่าจะเป็นเท่ากัน เราสามารถประมาณค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์แต่ละเหตุการณ์ที่เราสนใจได้อย่างอิสระ เราสามารถทำได้แม้ว่าเหตุการณ์จะเป็นการรวบรวมผลลัพธ์เบื้องต้นที่ซับซ้อนหลายอย่างก็ตาม จะเกิดอะไรขึ้นหากเหตุการณ์สุ่มหลายเหตุการณ์เกิดขึ้นพร้อมกันหรือต่อเนื่องกัน? สิ่งนี้ส่งผลต่อโอกาสที่เหตุการณ์ที่เราสนใจจะเกิดขึ้นอย่างไร?
ถ้าฉันทอยลูกเต๋าหลายครั้งและต้องการให้ได้หกแต้ม และฉันโชคไม่ดี นั่นหมายความว่าฉันควรเพิ่มเดิมพันเพราะตามทฤษฎีความน่าจะเป็น ฉันกำลังจะโชคดีใช่หรือไม่ อนิจจา ทฤษฎีความน่าจะเป็นไม่ได้ระบุอะไรเช่นนี้ ไม่มีลูกเต๋า ไม่มีไพ่ ไม่มีเหรียญ จำไม่ได้ สิ่งที่พวกเขาแสดงให้เราเห็นครั้งสุดท้าย มันไม่สำคัญสำหรับพวกเขาเลย ไม่ว่าจะเป็นครั้งแรกหรือครั้งที่สิบที่ฉันทดสอบโชคในวันนี้ ทุกครั้งที่ฉันทอยซ้ำ ฉันรู้เพียงสิ่งเดียว: และคราวนี้ความน่าจะเป็นที่จะได้หกก็คืออีกครั้งหนึ่งในหก แน่นอนว่านี่ไม่ได้หมายความว่าจำนวนที่ฉันต้องการจะไม่มีวันเกิดขึ้น นี่หมายความว่าการสูญเสียของฉันหลังจากการโยนครั้งแรกและหลังจากการโยนครั้งอื่นเป็นเหตุการณ์ที่เป็นอิสระ
มีการเรียกเหตุการณ์ A และ B เป็นอิสระหากการดำเนินการอย่างใดอย่างหนึ่งไม่ส่งผลกระทบต่อความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อื่นในทางใดทางหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นที่จะโจมตีเป้าหมายด้วยอาวุธชิ้นแรกจากสองชิ้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าเป้าหมายนั้นถูกโจมตีด้วยอาวุธอีกชิ้นหรือไม่ ดังนั้นเหตุการณ์ “อาวุธชิ้นแรกโจมตีเป้าหมาย” และ “อาวุธชิ้นที่สองโจมตีเป้าหมาย” คือ เป็นอิสระ.
หากเหตุการณ์ A และ B สองเหตุการณ์เป็นอิสระจากกัน และทราบความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B จะเกิดขึ้นพร้อมกัน (แสดงโดย AB) สามารถคำนวณได้โดยใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้
ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์อิสระ
พี(เอบี) = พี(เอ)*พี(บี)- ความน่าจะเป็น พร้อมกันการโจมตีของสองคน เป็นอิสระเหตุการณ์ก็เท่ากับ งานความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ตัวอย่าง.ความน่าจะเป็นที่จะโจมตีเป้าหมายเมื่อทำการยิงปืนกระบอกแรกและปืนที่สองมีค่าเท่ากันตามลำดับ: p 1 =0.7; หน้า 2 =0.8 ค้นหาความน่าจะเป็นของการโจมตีด้วยปืนทั้งสองกระบอกพร้อมกัน
สารละลาย:ดังที่เราได้เห็นไปแล้ว เหตุการณ์ A (โดนปืนนัดแรก) และ B (โดนปืนนัดที่สอง) เป็นอิสระจากกัน กล่าวคือ P(AB)=P(A)*P(B)=p 1 *p 2 =0.56.
จะเกิดอะไรขึ้นกับการประมาณการของเราหากเหตุการณ์เริ่มแรกไม่เป็นอิสระจากกัน ลองเปลี่ยนตัวอย่างก่อนหน้านี้เล็กน้อย
ตัวอย่าง.นักยิงปืนสองคนยิงใส่เป้าหมายในการแข่งขัน และหากคนใดคนหนึ่งยิงได้อย่างแม่นยำ คู่ต่อสู้จะเริ่มวิตกกังวลและผลลัพธ์ของเขาแย่ลง จะเปลี่ยนสถานการณ์ในชีวิตประจำวันให้กลายเป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์และสรุปวิธีแก้ปัญหาได้อย่างไร เป็นที่ชัดเจนโดยสัญชาตญาณว่าจำเป็นต้องแยกสองตัวเลือกสำหรับการพัฒนากิจกรรมออก เพื่อสร้างสถานการณ์สองสถานการณ์ ซึ่งเป็นสองงานที่แตกต่างกัน ในกรณีแรก หากคู่ต่อสู้พลาด สถานการณ์จะเอื้ออำนวยต่อนักกีฬาประสาทและความแม่นยำของเขาจะสูงขึ้น ในกรณีที่สอง หากฝ่ายตรงข้ามใช้โอกาสอย่างเหมาะสม ความน่าจะเป็นที่จะเข้าเป้าสำหรับนักกีฬาคนที่สองจะลดลง
เพื่อแยกสถานการณ์ที่เป็นไปได้ (มักเรียกว่าสมมติฐาน) สำหรับการพัฒนาเหตุการณ์ เรามักจะใช้แผนภาพ "แผนผังความน่าจะเป็น" แผนภาพนี้มีความหมายคล้ายกับแผนผังการตัดสินใจที่คุณอาจเผชิญอยู่แล้ว แต่ละสาขาแสดงถึงสถานการณ์ที่แยกจากกันสำหรับการพัฒนากิจกรรม แต่ตอนนี้มันมีความหมายของตัวเองในสิ่งที่เรียกว่า มีเงื่อนไขความน่าจะเป็น (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1)
รูปแบบนี้สะดวกมากสำหรับการวิเคราะห์เหตุการณ์สุ่มตามลำดับ
ยังคงต้องชี้แจงคำถามที่สำคัญอีกข้อหนึ่ง: ค่าเริ่มต้นของความน่าจะเป็นมาจากไหน? สถานการณ์จริง ? ท้ายที่สุดแล้ว ทฤษฎีความน่าจะเป็นใช้ไม่ได้กับแค่เหรียญและลูกเต๋าใช่ไหม โดยปกติแล้วการประมาณการเหล่านี้จะมาจากสถิติ และเมื่อไม่มีข้อมูลทางสถิติ เราจะดำเนินการวิจัยของเราเอง และเรามักจะต้องเริ่มต้นด้วยการไม่รวบรวมข้อมูล แต่ต้องเริ่มต้นด้วยคำถามว่าเราต้องการข้อมูลใดจริงๆ
ตัวอย่าง.สมมติว่าเราต้องประมาณปริมาณตลาดในเมืองที่มีประชากรหนึ่งแสนคนสำหรับผลิตภัณฑ์ใหม่ที่ไม่จำเป็น เช่น ยาหม่องสำหรับดูแลผมทำสี ลองพิจารณาแผนภาพ "ต้นไม้ความน่าจะเป็น" ในกรณีนี้ เราจำเป็นต้องประมาณค่าความน่าจะเป็นของแต่ละ "สาขา" โดยประมาณ ดังนั้นการประมาณการกำลังการผลิตในตลาดของเรา:
1) ของชาวเมืองทั้งหมด 50% เป็นผู้หญิง
2) ของผู้หญิงทุกคน มีเพียง 30% เท่านั้นที่ย้อมผมบ่อย
3) ในจำนวนนี้มีเพียง 10% เท่านั้นที่ใช้บาล์มสำหรับผมทำสี
4) มีเพียง 10% เท่านั้นที่สามารถรวบรวมความกล้าที่จะลองผลิตภัณฑ์ใหม่
5) 70% ของพวกเขามักจะซื้อทุกอย่างที่ไม่ใช่จากเรา แต่ซื้อจากคู่แข่งของเรา
สารละลาย:ตามกฎของการคูณความน่าจะเป็น เรากำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เราสนใจ A = (ชาวเมืองซื้อยาหม่องใหม่นี้จากเรา) = 0.00045
ลองคูณค่าความน่าจะเป็นนี้ด้วยจำนวนผู้อยู่อาศัยในเมือง เป็นผลให้เรามีผู้มีโอกาสเป็นลูกค้าเพียง 45 ราย และเมื่อพิจารณาว่าผลิตภัณฑ์นี้หนึ่งขวดกินเวลานานหลายเดือน การค้าขายก็ไม่คึกคักมากนัก
และยังมีประโยชน์บางประการจากการประเมินของเรา
ประการแรก เราสามารถเปรียบเทียบการคาดการณ์ของแนวคิดทางธุรกิจที่แตกต่างกันได้ โดยจะมี "ทางแยก" ที่แตกต่างกันในไดอะแกรม และแน่นอนว่า ค่าความน่าจะเป็นก็จะแตกต่างกันด้วย
ประการที่สอง ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว ตัวแปรสุ่มไม่เรียกว่าสุ่ม เนื่องจากไม่ได้ขึ้นอยู่กับสิ่งใดเลย แค่เธอ ที่แน่นอนความหมายไม่เป็นที่รู้จักล่วงหน้า เรารู้ว่าคุณสามารถเพิ่มจำนวนผู้ซื้อโดยเฉลี่ยได้ (เช่น โดยการโฆษณาผลิตภัณฑ์ใหม่) ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่จะมุ่งเน้นความพยายามของเราไปที่ "ทางแยก" ซึ่งการแจกแจงความน่าจะเป็นไม่เหมาะกับเราเป็นพิเศษ บนปัจจัยเหล่านั้นที่เราสามารถมีอิทธิพลต่อได้
ลองดูตัวอย่างเชิงปริมาณอีกตัวอย่างหนึ่งของการวิจัยพฤติกรรมผู้บริโภค
ตัวอย่าง.โดยเฉลี่ยแล้วมีคนมาเยี่ยมชมตลาดอาหารประมาณ 10,000 คนต่อวัน ความน่าจะเป็นที่ผู้เข้าชมตลาดจะเข้าสู่ศาลาผลิตภัณฑ์นมคือ 1/2 เป็นที่รู้กันว่าศาลาแห่งนี้จำหน่ายสินค้าต่างๆ โดยเฉลี่ย 500 กิโลกรัมต่อวัน
เราสามารถพูดได้ว่าการซื้อเฉลี่ยในศาลามีน้ำหนักเพียง 100 กรัมหรือไม่?
การอภิปราย.ไม่แน่นอน เห็นได้ชัดว่าไม่ใช่ทุกคนที่เข้าไปในศาลาสุดท้ายที่จะซื้อของที่นั่น
ดังแสดงในแผนภาพ เพื่อตอบคำถามเกี่ยวกับน้ำหนักเฉลี่ยของการซื้อ เราต้องหาคำตอบว่า ความน่าจะเป็นที่คนที่เข้ามาในศาลาจะซื้อของที่นั่นเป็นเท่าใด หากเราไม่มีข้อมูลดังกล่าว แต่เราจำเป็นต้องใช้ เราจะต้องได้มาเองโดยการสังเกตผู้มาเยี่ยมชมศาลาเป็นระยะเวลาหนึ่ง สมมติว่าข้อสังเกตของเราแสดงให้เห็นว่ามีผู้เข้าชมศาลาเพียงหนึ่งในห้าเท่านั้นที่ซื้อของบางอย่าง
เมื่อเราได้รับค่าประมาณเหล่านี้แล้ว งานก็กลายเป็นเรื่องง่าย จากผู้ที่มาตลาด 10,000 คน 5,000 คนจะไปศาลาผลิตภัณฑ์นม โดยจะมีการซื้อเพียง 1,000 ครั้ง น้ำหนักซื้อเฉลี่ย 500 กรัม เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าเพื่อสร้างภาพที่สมบูรณ์ของสิ่งที่เกิดขึ้น จะต้องกำหนดตรรกะของ "การแตกแขนง" แบบมีเงื่อนไขในแต่ละขั้นตอนของการให้เหตุผลของเราให้ชัดเจนราวกับว่าเรากำลังทำงานกับสถานการณ์ "เฉพาะเจาะจง" และไม่ ด้วยความน่าจะเป็น
งานทดสอบตัวเอง
1. ให้มีวงจรไฟฟ้าที่ประกอบด้วยองค์ประกอบ n ตัวต่ออนุกรมกัน โดยแต่ละองค์ประกอบทำงานแยกจากกัน
ทราบความน่าจะเป็น p ของความล้มเหลวของแต่ละองค์ประกอบ กำหนดความน่าจะเป็นของการทำงานที่เหมาะสมของส่วนทั้งหมดของวงจร (เหตุการณ์ A)
2. นักเรียนรู้ข้อสอบ 20 ข้อจาก 25 ข้อ ค้นหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนรู้คำถามสามข้อที่ผู้คุมสอบมอบให้
3. การผลิตประกอบด้วยสี่ขั้นตอนติดต่อกันโดยแต่ละอุปกรณ์ทำงานซึ่งความน่าจะเป็นของความล้มเหลวในเดือนถัดไปจะเท่ากับ p 1, p 2, p 3 และ p 4 ตามลำดับ ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะไม่มีการหยุดการผลิตเนื่องจากอุปกรณ์ขัดข้องในหนึ่งเดือน
การนับกรณีโดยตรงที่สนับสนุนเหตุการณ์ที่กำหนดอาจเป็นเรื่องยาก ดังนั้น เพื่อพิจารณาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ อาจเป็นประโยชน์ที่จะจินตนาการว่าเหตุการณ์นี้เป็นการรวมกันของเหตุการณ์อื่นๆ ที่เรียบง่ายกว่า อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ คุณจำเป็นต้องรู้กฎที่ควบคุมความน่าจะเป็นในการรวมเหตุการณ์ต่างๆ เป็นไปตามกฎเหล่านี้ซึ่งทฤษฎีบทที่กล่าวถึงในชื่อเรื่องของย่อหน้าเกี่ยวข้องกัน
อย่างแรกเกี่ยวข้องกับการคำนวณความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์จะเกิดขึ้น
ทฤษฎีบทการบวก
ให้ A และ B เป็นเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สองเหตุการณ์ จากนั้น ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์อย่างน้อยหนึ่งในสองเหตุการณ์จะเกิดขึ้นจะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็น:
การพิสูจน์. ให้เป็นกลุ่มเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้แบบคู่ที่สมบูรณ์ ถ้าในบรรดาเหตุการณ์เบื้องต้นเหล่านี้ มีเหตุการณ์ที่เป็นที่ชื่นชอบของ A และเหตุการณ์ที่เป็นที่ชื่นชอบของ B อย่างแน่นอน เนื่องจากเหตุการณ์ A และ B เข้ากันไม่ได้ ดังนั้นจึงไม่มีเหตุการณ์ใดที่จะสนับสนุนทั้งสองเหตุการณ์นี้ได้ เหตุการณ์ (A หรือ B) ซึ่งประกอบด้วยเหตุการณ์อย่างน้อยหนึ่งในสองเหตุการณ์นี้ เห็นได้ชัดว่าได้รับการสนับสนุนจากทั้งสองเหตุการณ์ที่สนับสนุน A และแต่ละเหตุการณ์
โปรดปราน B ดังนั้น จำนวนรวมของเหตุการณ์ที่เอื้ออำนวยต่อเหตุการณ์ (A หรือ B) เท่ากับผลรวมดังต่อไปนี้:
Q.E.D.
เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าทฤษฎีบทการบวกที่กำหนดไว้ข้างต้นสำหรับกรณีของเหตุการณ์สองเหตุการณ์สามารถถ่ายโอนไปยังกรณีที่มีจำนวนจำกัดใดๆ ได้อย่างง่ายดาย แม่นยำหากมีเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้แบบคู่
ในกรณีของเหตุการณ์สามเหตุการณ์ เช่น หนึ่งเหตุการณ์สามารถเขียนได้
ผลลัพธ์ที่สำคัญของทฤษฎีบทการบวกคือข้อความที่ว่า หากเหตุการณ์เข้ากันไม่ได้ในเชิงคู่และเป็นไปได้โดยเฉพาะ
โดยแท้จริงแล้ว เหตุการณ์อย่างใดอย่างหนึ่งหรือหรือเป็นไปตามสมมติฐานที่แน่นอน และความน่าจะเป็นของมัน ดังที่ระบุไว้ใน § 1 มีค่าเท่ากับหนึ่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากพวกเขาหมายถึงเหตุการณ์สองเหตุการณ์ที่ตรงกันข้ามกัน
ให้เราแสดงทฤษฎีบทการบวกพร้อมตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 1 เมื่อยิงไปที่เป้าหมาย ความน่าจะเป็นในการยิงที่ยอดเยี่ยมคือ 0.3 และความน่าจะเป็นในการยิงที่ "ดี" คือ 0.4 ความน่าจะเป็นที่จะได้คะแนนอย่างน้อย "ดี" สำหรับช็อตหนึ่งคือเท่าใด
สารละลาย. หากเหตุการณ์ A หมายถึงได้รับคะแนน “ดีเยี่ยม” และเหตุการณ์ B หมายถึงได้รับคะแนน “ดี” เช่นนั้น
ตัวอย่างที่ 2 ในโกศบรรจุลูกบอลสีขาว แดง และดำ มีลูกสีขาว และลูกบอลสีแดง ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลที่ไม่เป็นสีดำเป็นเท่าใด
สารละลาย. ถ้าเหตุการณ์ A ประกอบด้วยลักษณะลูกบอลสีขาว และเหตุการณ์ B ประกอบด้วยลูกบอลสีแดง ลักษณะของลูกบอลจะไม่เป็นสีดำ
หมายถึง ลักษณะเป็นลูกบอลสีขาวหรือสีแดง เนื่องจากตามคำจำกัดความของความน่าจะเป็น
จากนั้น ตามทฤษฎีบทการบวก ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่ไม่ใช่สีดำจะปรากฏจะเท่ากัน
ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีนี้ ให้เหตุการณ์ C มีลักษณะเป็นลูกบอลสีดำ จำนวนลูกบอลสีดำจะเท่ากัน ดังนั้น P (C) การปรากฏตัวของลูกบอลที่ไม่ใช่สีดำนั้นเป็นเหตุการณ์ตรงกันข้ามกับ C ดังนั้น จากข้อพิสูจน์ข้างต้นจากทฤษฎีบทการบวก เราจึงได้:
เหมือนก่อน.
ตัวอย่างที่ 3 ในลอตเตอรีเงินสด สำหรับชุดตั๋ว 1,000 ใบ จะมีเงินสด 120 ใบและเงินรางวัล 80 รายการ ความน่าจะเป็นที่จะชนะสิ่งใดๆ จากลอตเตอรีหนึ่งใบคือเท่าใด?
สารละลาย. หากเราแสดงโดย A เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยกำไรทางการเงินและโดย B เป็นกำไรที่เป็นสาระสำคัญ จากคำจำกัดความของความน่าจะเป็น มันจะเป็นไปตาม
เหตุการณ์ที่เราสนใจแสดงด้วย (A หรือ B) ดังนั้นจึงเป็นไปตามทฤษฎีบทการบวก
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 0.2
ก่อนที่จะไปยังทฤษฎีบทถัดไป จำเป็นต้องทำความคุ้นเคยกับแนวคิดใหม่ที่สำคัญ นั่นคือ แนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข เพื่อจุดประสงค์นี้ เราจะเริ่มต้นด้วยการพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้
สมมติว่ามีหลอดไฟ 400 ดวงในโกดังซึ่งผลิตในโรงงานสองแห่งที่แตกต่างกัน และโรงงานแรกผลิตหลอดไฟ 75% ของหลอดไฟทั้งหมด และโรงงานที่สอง - 25% สมมติว่าในบรรดาหลอดไฟที่ผลิตโดยโรงงานแห่งแรกนั้น 83% เป็นไปตามเงื่อนไขของมาตรฐานหนึ่ง ๆ และสำหรับผลิตภัณฑ์ของโรงงานแห่งที่สองเปอร์เซ็นต์นี้คือ 63 เราจะพิจารณาความน่าจะเป็นที่หลอดไฟสุ่มนำมาจาก คลังสินค้าจะเป็นไปตามเงื่อนไขของมาตรฐาน
โปรดทราบว่าจำนวนหลอดไฟมาตรฐานที่มีอยู่ทั้งหมดประกอบด้วยหลอดไฟที่ผลิตโดยหลอดแรก
โรงงานแห่งที่สอง และหลอดไฟ 63 หลอดที่ผลิตโดยโรงงานแห่งที่สอง ซึ่งเท่ากับ 312 หลอด เนื่องจากการเลือกหลอดไฟแบบใดแบบหนึ่งก็ถือว่าเป็นไปได้เท่าเทียมกัน เราจึงมีกรณีที่เป็นประโยชน์ 312 กรณีจากทั้งหมด 400 กรณี ดังนั้น
โดยที่เหตุการณ์ B คือหลอดไฟที่เราเลือกเป็นหลอดไฟมาตรฐาน
ในระหว่างการคำนวณนี้ ไม่มีการตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับผลิตภัณฑ์ของพืชที่เราเลือกเป็นหลอดไฟ หากเราตั้งสมมติฐานในลักษณะนี้ ก็ชัดเจนว่าความน่าจะเป็นที่เราสนใจอาจมีการเปลี่ยนแปลง ตัวอย่างเช่น หากทราบว่าหลอดไฟที่เลือกนั้นผลิตที่โรงงานแห่งแรก (เหตุการณ์ A) ความน่าจะเป็นที่จะเป็นหลอดไฟมาตรฐานจะไม่เป็น 0.78 อีกต่อไป แต่เป็น 0.83
ความน่าจะเป็นประเภทนี้ ซึ่งก็คือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B เมื่อเหตุการณ์ A เกิดขึ้น เรียกว่าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ B เมื่อพิจารณาจากเหตุการณ์ A และเขียนแทนด้วย
หากในตัวอย่างก่อนหน้านี้เราแสดงด้วย A ว่ามีการผลิตหลอดไฟที่เลือกที่โรงงานแห่งแรก เราก็สามารถเขียนได้
ตอนนี้เราสามารถกำหนดทฤษฎีบทสำคัญที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณความน่าจะเป็นของการรวมเหตุการณ์ได้
ทฤษฎีบทการคูณ
ความน่าจะเป็นของการรวมเหตุการณ์ A และ B เท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งและความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของอีกเหตุการณ์หนึ่ง โดยสมมติว่าเหตุการณ์แรกเกิดขึ้น:
ในกรณีนี้ การรวมกันของเหตุการณ์ A และ B หมายถึงการเกิดขึ้นของแต่ละเหตุการณ์ นั่นคือ การเกิดขึ้นของทั้งเหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B
การพิสูจน์. ขอให้เราพิจารณากลุ่มที่สมบูรณ์ของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้แบบคู่ที่เป็นไปได้เท่ากัน ซึ่งแต่ละเหตุการณ์อาจมีผลดีหรือไม่เอื้ออำนวยสำหรับทั้งเหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B
เราขอแบ่งเหตุการณ์ทั้งหมดนี้ออกเป็นสี่กลุ่มดังนี้ กลุ่มแรกประกอบด้วยเหตุการณ์ที่สนับสนุนทั้งเหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B; กลุ่มที่สองและสามประกอบด้วยเหตุการณ์ที่สนับสนุนหนึ่งในสองเหตุการณ์ที่เราสนใจและไม่สนับสนุนอีกเหตุการณ์หนึ่ง เช่น กลุ่มที่สองรวมถึงเหตุการณ์ที่สนับสนุน A แต่ไม่สนับสนุน B และกลุ่มที่สามรวมถึงเหตุการณ์ที่ ชอบ B แต่อย่าชอบ A; ในที่สุดก็ถึง
กลุ่มที่สี่ประกอบด้วยเหตุการณ์ที่ไม่เข้าข้าง A หรือ B
เนื่องจากจำนวนเหตุการณ์ไม่สำคัญ เราจึงสามารถสรุปได้ว่าการแบ่งกลุ่มออกเป็นสี่กลุ่มมีลักษณะดังนี้:
กลุ่มที่ 1:
กลุ่มที่สอง:
กลุ่มที่สาม:
กลุ่มที่สี่:
ดังนั้น ในบรรดาเหตุการณ์ที่เป็นไปได้เท่ากันและเข้ากันไม่ได้แบบคู่ มีเหตุการณ์ที่สนับสนุนทั้งเหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B, เหตุการณ์ที่สนับสนุนเหตุการณ์ A แต่ไม่สนับสนุนเหตุการณ์ A, เหตุการณ์ที่สนับสนุน B แต่ไม่สนับสนุน A และสุดท้าย เหตุการณ์ที่ไม่เข้าข้างทั้ง A และ B
โปรดทราบว่าทั้งสี่กลุ่มที่เราได้พิจารณา (และมากกว่าหนึ่งกลุ่ม) อาจไม่มีเหตุการณ์เดียว ในกรณีนี้ หมายเลขที่เกี่ยวข้องซึ่งระบุจำนวนเหตุการณ์ในกลุ่มดังกล่าวจะเท่ากับศูนย์
การแบ่งกลุ่มของเราช่วยให้คุณสามารถเขียนได้ทันที
สำหรับการรวมกันของเหตุการณ์ A และ B จะได้รับการสนับสนุนจากเหตุการณ์ของกลุ่มแรกและมีเพียงพวกเขาเท่านั้น จำนวนรวมของกิจกรรมที่สนับสนุน A เท่ากับจำนวนรวมของกิจกรรมในกลุ่มที่หนึ่งและสอง และกิจกรรมที่สนับสนุน B เท่ากับจำนวนรวมของกิจกรรมในกลุ่มที่หนึ่งและสาม
ตอนนี้ให้เราคำนวณความน่าจะเป็น ซึ่งก็คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B โดยมีเงื่อนไขว่าเหตุการณ์ A เกิดขึ้น ขณะนี้เหตุการณ์ที่อยู่ในกลุ่มที่สามและสี่หายไป เนื่องจากการเกิดขึ้นจะขัดแย้งกับการเกิดเหตุการณ์ A และจำนวนกรณีที่เป็นไปได้จะไม่เท่ากับ อีกต่อไป ในจำนวนนี้ กิจกรรม B จะได้รับการสนับสนุนจากกิจกรรมของกลุ่มแรกเท่านั้น ดังนั้นเราจึงได้:
เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท ตอนนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะเขียนอัตลักษณ์ที่ชัดเจน:
และแทนที่เศษส่วนทั้งสามด้วยความน่าจะเป็นที่คำนวณไว้ข้างต้น เรามาถึงความเท่าเทียมกันที่ระบุไว้ในทฤษฎีบท:
เป็นที่ชัดเจนว่าอัตลักษณ์ที่เราเขียนไว้ข้างต้นจะสมเหตุสมผลก็ต่อเมื่อมันเป็นจริงเสมอ เว้นแต่ว่า A เป็นเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้
เนื่องจากเหตุการณ์ A และ B เท่ากัน เมื่อสลับกัน เราจะได้ทฤษฎีบทการคูณอีกรูปแบบหนึ่ง:
อย่างไรก็ตามความเท่าเทียมกันนี้สามารถรับได้ในลักษณะเดียวกับครั้งก่อนหากคุณสังเกตเห็นว่าใช้ข้อมูลประจำตัว
เมื่อเปรียบเทียบทางด้านขวามือของนิพจน์ทั้งสองสำหรับความน่าจะเป็น P(A และ B) เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่เป็นประโยชน์:
ตอนนี้ให้เราพิจารณาตัวอย่างที่แสดงให้เห็นทฤษฎีบทการคูณ
ตัวอย่างที่ 4 ในผลิตภัณฑ์ขององค์กรบางแห่ง 96% ของผลิตภัณฑ์ถือว่าเหมาะสม (เหตุการณ์ A) ผลิตภัณฑ์ 75 รายการจากทุก ๆ ร้อยรายการที่เหมาะสมกลายเป็นของเกรด 1 (เหตุการณ์ B) กำหนดความน่าจะเป็นที่ผลิตภัณฑ์ที่เลือกแบบสุ่มจะเหมาะสมและเป็นของเกรดหนึ่ง
สารละลาย. ความน่าจะเป็นที่ต้องการคือความน่าจะเป็นของการรวมเหตุการณ์ A และ B ตามเงื่อนไขที่เรามี: ดังนั้นทฤษฎีบทการคูณจึงให้
ตัวอย่างที่ 5 ความน่าจะเป็นที่จะยิงโดนเป้าหมายด้วยนัดเดียว (เหตุการณ์ A) คือ 0.2 ความน่าจะเป็นที่จะชนเป้าหมายคือเท่าไรหากฟิวส์ 2% ล้มเหลว (เช่น ในกรณี 2% ฟิวส์ไม่เสียหาย
สารละลาย. ให้เหตุการณ์ B เป็นเหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้น และให้ B หมายถึงเหตุการณ์ตรงกันข้าม จากนั้นตามเงื่อนไขและตามข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทการบวก ต่อไปตามเงื่อนไข
การชนเป้าหมายหมายถึงเหตุการณ์ A และ B รวมกัน (การยิงจะยิงแล้วโดน) ดังนั้นตามทฤษฎีบทการคูณ
กรณีพิเศษที่สำคัญของทฤษฎีบทการคูณสามารถหาได้โดยใช้แนวคิดเรื่องความเป็นอิสระของเหตุการณ์
เหตุการณ์สองเหตุการณ์เรียกว่าเหตุการณ์อิสระหากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งไม่เปลี่ยนแปลงอันเป็นผลมาจากว่าอีกเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้น
ตัวอย่างของเหตุการณ์อิสระคือการเกิดขึ้นของจำนวนแต้มที่แตกต่างกันเมื่อโยนลูกเต๋าอีกครั้งหรือเหรียญด้านใดด้านหนึ่งเมื่อโยนเหรียญอีกครั้งเนื่องจากเห็นได้ชัดว่าความน่าจะเป็นที่จะได้แขนเสื้อในการโยนครั้งที่สองนั้นเท่ากัน ไม่ว่าแขนเสื้อจะขึ้นเป็นครั้งแรกหรือไม่ก็ตาม
ในทำนองเดียวกัน ความน่าจะเป็นที่จะจั่วลูกบอลสีขาวเป็นครั้งที่สองจากโกศที่มีลูกบอลสีขาวและสีดำ หากลูกบอลแรกที่หยิบออกมาก่อนหน้านี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าลูกบอลถูกดึงในครั้งแรก สีขาวหรือสีดำ ดังนั้นผลลัพธ์ของการกำจัดครั้งแรกและครั้งที่สองจึงเป็นอิสระจากกัน ในทางตรงกันข้าม หากลูกบอลที่นำออกมาก่อนไม่กลับคืนสู่โกศ ผลลัพธ์ของการนำออกครั้งที่สองจะขึ้นอยู่กับครั้งแรก เนื่องจากองค์ประกอบของลูกบอลในโกศหลังจากการดึงออกครั้งแรกจะเปลี่ยนไปขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ เรามีตัวอย่างของเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพากันที่นี่
การใช้สัญลักษณ์ที่ใช้กับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข เราสามารถเขียนเงื่อนไขสำหรับความเป็นอิสระของเหตุการณ์ A และ B ในรูปแบบได้
เมื่อใช้ความเท่าเทียมกันเหล่านี้ เราสามารถลดทฤษฎีบทการคูณสำหรับเหตุการณ์อิสระให้อยู่ในรูปแบบต่อไปนี้
ถ้าเหตุการณ์ A และ B เป็นอิสระต่อกัน ความน่าจะเป็นของการรวมจะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้:
อันที่จริง มันก็เพียงพอแล้วที่จะใส่นิพจน์เริ่มต้นของทฤษฎีบทการคูณซึ่งตามมาจากความเป็นอิสระของเหตุการณ์ และเราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ต้องการ
ให้เราพิจารณาหลายเหตุการณ์: เราจะเรียกพวกมันว่าเป็นอิสระร่วมกันหากความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นของเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าเหตุการณ์อื่น ๆ ที่อยู่ระหว่างการพิจารณาเกิดขึ้นหรือไม่
ในกรณีของเหตุการณ์ที่เป็นอิสระต่อกัน ทฤษฎีบทการคูณสามารถขยายไปยังจำนวนจำกัดใดๆ ของเหตุการณ์เหล่านั้นได้ จึงสามารถกำหนดได้ดังนี้
ความน่าจะเป็นของการรวมเหตุการณ์อิสระเข้าด้วยกันจะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้:
ตัวอย่างที่ 6 ผู้ปฏิบัติงานกำลังซ่อมบำรุงเครื่องจักรอัตโนมัติสามเครื่อง ซึ่งแต่ละเครื่องจะต้องได้รับการติดต่อเพื่อแก้ไขความผิดปกติหากเครื่องจักรหยุดทำงาน ความน่าจะเป็นที่เครื่องแรกจะไม่หยุดภายในหนึ่งชั่วโมงคือ 0.9 ความน่าจะเป็นเดียวกันสำหรับเครื่องที่สองคือ 0.8 และสำหรับเครื่องที่สาม - 0.7 กำหนดความน่าจะเป็นที่ภายในหนึ่งชั่วโมง ผู้ปฏิบัติงานจะไม่ต้องเข้าใกล้เครื่องจักรใดๆ ที่เขาให้บริการ
ตัวอย่างที่ 7 ความน่าจะเป็นในการยิงเครื่องบินตกด้วยปืนไรเฟิล ความน่าจะเป็นในการทำลายเครื่องบินข้าศึกเป็นเท่าใดหากยิงปืนไรเฟิล 250 กระบอกพร้อมกัน
สารละลาย. ความน่าจะเป็นที่เครื่องบินจะไม่ถูกยิงตกด้วยการยิงนัดเดียวจะเท่ากับทฤษฎีบทบวก จากนั้น เราก็สามารถคำนวณโดยใช้ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นที่เครื่องบินจะไม่ถูกยิงตกด้วยการยิง 250 นัด เป็นความน่าจะเป็นที่จะรวม เหตุการณ์ต่างๆ จะเท่ากับ หลังจากนี้ เราสามารถใช้ทฤษฎีบทการบวกอีกครั้งและหาความน่าจะเป็นที่เครื่องบินจะถูกยิงตกตามความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้าม
จากนี้จะเห็นได้ว่าแม้ว่าความน่าจะเป็นในการยิงเครื่องบินลงด้วยปืนไรเฟิลนัดเดียวนั้นมีน้อยมาก แต่เมื่อทำการยิงจากปืนไรเฟิล 250 กระบอก ความน่าจะเป็นในการยิงเครื่องบินตกนั้นชัดเจนมากแล้ว มันจะเพิ่มขึ้นอย่างมากหากจำนวนปืนไรเฟิลเพิ่มขึ้น ดังนั้น เมื่อยิงจากปืนไรเฟิล 500 กระบอก ความน่าจะเป็นในการยิงเครื่องบินตก ตามที่คำนวณได้ง่าย จะเท่ากับเมื่อยิงจากปืนไรเฟิล 1,000 กระบอกด้วยซ้ำ
ทฤษฎีบทการคูณที่พิสูจน์แล้วข้างต้นช่วยให้เราสามารถขยายทฤษฎีบทการบวกออกไปได้บ้าง โดยขยายไปถึงกรณีของเหตุการณ์ที่เข้ากันได้ เป็นที่ชัดเจนว่าหากเหตุการณ์ A และ B เข้ากันได้ ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นอย่างน้อย 1 เหตุการณ์จะไม่เท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็น เช่น ถ้าเหตุการณ์ A หมายถึงเลขคู่
จำนวนแต้มเมื่อขว้างลูกเต๋า และเหตุการณ์ B คือการเสียแต้มจำนวนที่เป็นทวีคูณของสามแต้ม แล้วเหตุการณ์ (A หรือ B) เสียเปรียบ 2, 3, 4 และ 6 แต้ม นั่นคือ
ในทางกลับกันนั่นคือ ดังนั้นในกรณีนี้
จากนี้เห็นได้ชัดว่าในกรณีของเหตุการณ์ที่เข้ากันได้ ทฤษฎีบทของการบวกความน่าจะเป็นจะต้องมีการเปลี่ยนแปลง ดังที่เราจะได้เห็นในตอนนี้ มันสามารถกำหนดได้ในลักษณะที่ถูกต้องสำหรับทั้งเหตุการณ์ที่เข้ากันได้และเข้ากันไม่ได้ ดังนั้นทฤษฎีบทการบวกที่พิจารณาไว้ก่อนหน้านี้จะกลายเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทใหม่
เหตุการณ์ที่ไม่เอื้ออำนวยต่อ ก.
เหตุการณ์เบื้องต้นทั้งหมดที่สนับสนุนเหตุการณ์ (A หรือ B) จะต้องสนับสนุนเฉพาะ A หรือ B เท่านั้น หรือทั้ง A และ B ดังนั้น จำนวนรวมของเหตุการณ์ดังกล่าวจะเท่ากับ
และความน่าจะเป็น
Q.E.D.
เราใช้สูตร (9) กับตัวอย่างข้างต้นของจำนวนคะแนนที่ปรากฏขึ้นเมื่อโยนลูกเต๋าเราได้รับ:
ซึ่งตรงกับผลการคำนวณโดยตรง
แน่นอนว่าสูตร (1) เป็นกรณีพิเศษของ (9) อันที่จริงถ้าเหตุการณ์ A และ B เข้ากันไม่ได้ ความน่าจะเป็นของการรวมกัน
ตัวอย่างเช่น. ฟิวส์สองตัวเชื่อมต่อแบบอนุกรมกับวงจรไฟฟ้า ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวของฟิวส์ตัวแรกคือ 0.6 และตัวที่สองคือ 0.2 ให้เราพิจารณาความน่าจะเป็นของไฟฟ้าขัดข้องอันเป็นผลมาจากความล้มเหลวของฟิวส์เหล่านี้อย่างน้อยหนึ่งตัว
สารละลาย. เนื่องจากเหตุการณ์ A และ B ซึ่งประกอบด้วยความล้มเหลวของฟิวส์ตัวแรกและตัวที่สองเข้ากันได้ ความน่าจะเป็นที่ต้องการจะถูกกำหนดโดยสูตร (9):
การออกกำลังกาย
กำลังโหลด...