การวิจัยฟังก์ชัน ในบทความนี้เราจะพูดถึงปัญหาในการพิจารณาฟังก์ชันและเงื่อนไขที่มีคำถามที่เกี่ยวข้องกับการศึกษา พิจารณาประเด็นทางทฤษฎีหลักที่ต้องรู้และเข้าใจเพื่อแก้ไข

นี่เป็นปัญหาทั้งกลุ่มที่รวมอยู่ในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ โดยปกติคำถามจะเกี่ยวกับการหาจุดสูงสุด (ต่ำสุด) หรือการกำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่กำหนดที่พิจารณา:

- ฟังก์ชันกำลังและอตรรกยะ

— ฟังก์ชันตรรกศาสตร์

– ศึกษาผลงานและเรื่องส่วนตัว

— ฟังก์ชันลอการิทึม

— ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

หากคุณเข้าใจทฤษฎีขีด จำกัด แนวคิดของอนุพันธ์คุณสมบัติของอนุพันธ์สำหรับการศึกษากราฟของฟังก์ชันและของมัน ปัญหาดังกล่าวจะไม่ทำให้คุณลำบากและคุณจะแก้ไขได้อย่างง่ายดาย

ข้อมูลด้านล่างเป็นจุดทางทฤษฎีซึ่งความเข้าใจจะช่วยให้คุณเข้าใจวิธีแก้ปัญหาดังกล่าว ฉันจะพยายามนำเสนอในลักษณะที่แม้แต่ผู้ที่พลาดหัวข้อนี้หรือศึกษามาไม่ดีก็สามารถแก้ไขปัญหาดังกล่าวได้โดยไม่ยาก

ในปัญหาของกลุ่มนี้ ตามที่กล่าวไปแล้ว จำเป็นต้องค้นหาจุดต่ำสุด (สูงสุด) ของฟังก์ชัน หรือค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของฟังก์ชันในช่วงเวลานั้น

คะแนนต่ำสุดและสูงสุดคุณสมบัติของอนุพันธ์

พิจารณากราฟของฟังก์ชัน:

จุด A คือจุดสูงสุด ในช่วงเวลาจาก O ถึง A ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น และในช่วงเวลาจาก A ถึง B ฟังก์ชันจะลดลง

จุด B คือจุดต่ำสุด ในช่วงเวลาจาก A ถึง B ฟังก์ชันจะลดลง และในช่วงเวลาจาก B ถึง C จะเพิ่มขึ้น

ณ จุดเหล่านี้ (A และ B) อนุพันธ์จะกลายเป็นศูนย์ (เท่ากับศูนย์)

เส้นสัมผัสที่จุดเหล่านี้จะขนานกับแกน วัว.

ฉันจะเพิ่มว่าจุดที่ฟังก์ชันเปลี่ยนพฤติกรรมจากเพิ่มขึ้นเป็นลดลง (และในทางกลับกันจากลดลงเป็นเพิ่มขึ้น) เรียกว่า extrema

จุดสำคัญ:

1. อนุพันธ์ในช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้นมีเครื่องหมายบวก (nเมื่อคุณแทนค่าจากช่วงหนึ่งเป็นอนุพันธ์ของมัน คุณจะได้จำนวนบวก)

ซึ่งหมายความว่าหากอนุพันธ์ ณ จุดใดจุดหนึ่งจากช่วงหนึ่งมีค่าเป็นบวก กราฟของฟังก์ชันในช่วงเวลานี้จะเพิ่มขึ้น

2. ที่ช่วงเวลาที่ลดลง อนุพันธ์จะมีเครื่องหมายลบ (เมื่อแทนที่ค่าจากช่วงเวลาเป็นนิพจน์อนุพันธ์ จะได้จำนวนลบ)

ซึ่งหมายความว่าหากอนุพันธ์ ณ จุดใดจุดหนึ่งจากช่วงหนึ่งมีค่าเป็นลบ กราฟของฟังก์ชันจะลดลงในช่วงเวลานี้

เรื่องนี้ต้องเข้าใจให้ชัดเจน!!!

ดังนั้น ด้วยการคำนวณอนุพันธ์และจัดให้เป็นศูนย์ คุณจะพบจุดที่แบ่งเส้นจำนวนออกเป็นระยะๆในแต่ละช่วงเวลาเหล่านี้ คุณสามารถกำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ จากนั้นจึงสรุปเกี่ยวกับการเพิ่มขึ้นหรือลดลง

*ควรกล่าวถึงเป็นพิเศษเกี่ยวกับจุดที่ไม่มีอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่น เราสามารถหาอนุพันธ์ที่ตัวส่วนหายไปที่ค่า x แน่นอน เห็นได้ชัดว่าสำหรับ x ดังกล่าวไม่มีอนุพันธ์อยู่ ดังนั้นจึงต้องคำนึงถึงประเด็นนี้ด้วยเมื่อกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้น (ลดลง)

ฟังก์ชัน ณ จุดที่อนุพันธ์เท่ากับศูนย์ไม่ได้เปลี่ยนเครื่องหมายเสมอไป จะมีบทความแยกต่างหากเกี่ยวกับเรื่องนี้ จะไม่มีงานดังกล่าวใน Unified State Examination เอง

คุณสมบัติข้างต้นจำเป็นต่อการศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชันในการเพิ่มขึ้นและลดลง

มีอะไรอีกที่คุณจำเป็นต้องรู้เพื่อแก้ไขปัญหาที่ระบุ: ตารางอนุพันธ์และกฎการสร้างความแตกต่าง ไม่มีทางหากไม่มีสิ่งนี้ นี่เป็นความรู้พื้นฐานในหัวข้ออนุพันธ์ คุณควรรู้อนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานเป็นอย่างดี

การคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนฉ(ก(x)), จินตนาการถึงฟังก์ชันก(x) นี่คือตัวแปรแล้วคำนวณอนุพันธ์ฉ’(ก(x)) โดยใช้สูตรตารางเป็นอนุพันธ์ตามปกติของตัวแปร จากนั้นคูณผลลัพธ์ด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันก(x) .

ชมวิดีโอบทช่วยสอนเกี่ยวกับฟังก์ชันที่ซับซ้อนของ Maxim Semenikhin:

ปัญหาการหาจุดสูงสุดและต่ำสุด

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาจุดสูงสุด (ต่ำสุด) ของฟังก์ชัน:

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ’(x).

2. ค้นหาศูนย์ของอนุพันธ์ (โดยการทำให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์ ฉ’(x)=0 และแก้สมการผลลัพธ์) นอกจากนี้เรายังพบจุดที่ไม่มีอนุพันธ์อยู่ด้วย(โดยเฉพาะสิ่งนี้ใช้กับฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน)

3. เราทำเครื่องหมายค่าที่ได้รับบนเส้นจำนวนและกำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ในช่วงเวลาเหล่านี้โดยการแทนที่ค่าจากช่วงเวลาเป็นนิพจน์อนุพันธ์

ข้อสรุปจะเป็นหนึ่งในสอง:

1. จุดสูงสุดคือจุดโดยอนุพันธ์จะเปลี่ยนค่าจากบวกเป็นลบ

2. จุดต่ำสุดคือจุดโดยอนุพันธ์จะเปลี่ยนค่าจากลบเป็นบวก

ปัญหาในการหาค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุด

ฟังก์ชั่นในช่วงเวลาหนึ่ง

ในปัญหาประเภทอื่น คุณจะต้องค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่กำหนด

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) ของฟังก์ชัน:

1. พิจารณาว่ามีคะแนนสูงสุด (ต่ำสุด) หรือไม่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะหาอนุพันธ์ ฉ’(x) แล้วเราก็ตัดสินใจ ฉ’(x)=0 (จุดที่ 1 และ 2 จากอัลกอริทึมก่อนหน้า)

2. เราพิจารณาว่าคะแนนที่ได้รับนั้นอยู่ในช่วงที่กำหนดหรือไม่และจดบันทึกคะแนนที่อยู่ในขอบเขตของมัน

3. เราแทนที่ฟังก์ชันดั้งเดิม (ไม่ใช่อนุพันธ์ แต่เป็นฟังก์ชันที่กำหนดในเงื่อนไข) ขอบเขตของช่วงเวลาที่กำหนดและจุด (สูงสุด-ต่ำสุด) ที่อยู่ภายในช่วงเวลา (ขั้นตอนที่ 2)

4. คำนวณค่าฟังก์ชัน

5. เราเลือกค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) จากค่าที่ได้รับ ขึ้นอยู่กับคำถามที่ถูกตั้งไว้ในปัญหา จากนั้นจึงจดคำตอบ

คำถาม: เหตุใดจึงจำเป็นต้องมองหาจุดสูงสุด (ต่ำสุด) ในปัญหาการหาค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของฟังก์ชัน

วิธีที่ดีที่สุดในการอธิบายสิ่งนี้คือการดูการแสดงแผนผังของกราฟของฟังก์ชันที่ระบุ:

ในกรณีที่ 1 และ 2 การแทนที่ขอบเขตของช่วงเวลาเพื่อกำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุดของฟังก์ชันก็เพียงพอแล้ว ในกรณีที่ 3 และ 4 จำเป็นต้องค้นหาศูนย์ของฟังก์ชัน (จุดสูงสุด-ต่ำสุด) หากเราแทนขอบเขตของช่วงเวลา (โดยไม่หาศูนย์ของฟังก์ชัน) เราจะได้คำตอบที่ผิด ซึ่งเห็นได้จากกราฟ

และประเด็นทั้งหมดก็คือ เมื่อพิจารณาจากฟังก์ชันที่กำหนด เราไม่สามารถมองเห็นได้ว่ากราฟจะเป็นอย่างไรในช่วงเวลานั้น (ไม่ว่าจะมีค่าสูงสุดหรือต่ำสุดภายในช่วงเวลานั้นก็ตาม) ดังนั้นจงหาเลขศูนย์ของฟังก์ชันให้เจอ!!!

ถ้าสมการ ฉ'(x)=0 จะไม่มีวิธีแก้ปัญหา ซึ่งหมายความว่าไม่มีจุดต่ำสุดสูงสุด (รูปที่ 1,2) และเพื่อค้นหาปัญหาที่เกิดขึ้น เราจะแทนที่เฉพาะขอบเขตของช่วงเวลาลงในฟังก์ชันนี้

อีกประเด็นสำคัญ จำไว้ว่าคำตอบต้องเป็นจำนวนเต็มหรือทศนิยมจำกัด เมื่อคุณคำนวณค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน คุณจะได้รับนิพจน์ที่มี e และ pi รวมถึงนิพจน์ที่มีราก จำไว้ว่าคุณไม่จำเป็นต้องคำนวณให้หมด และชัดเจนว่าผลลัพธ์ของสำนวนดังกล่าวจะไม่ใช่คำตอบ หากคุณต้องการคำนวณค่าดังกล่าว ให้ทำ (ตัวเลข: e µ 2.71 Pi µ 3.14)

ฉันเขียนเยอะมาก บางทีฉันอาจสับสน? เมื่อดูตัวอย่างเฉพาะเจาะจง คุณจะเห็นว่าทุกอย่างเรียบง่าย

ต่อไปฉันอยากจะบอกความลับเล็กน้อยแก่คุณ ความจริงก็คือปัญหาหลายอย่างสามารถแก้ไขได้โดยปราศจากความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของอนุพันธ์และแม้จะไม่มีกฎการแยกความแตกต่างก็ตาม ฉันจะบอกคุณเกี่ยวกับความแตกต่างเหล่านี้อย่างแน่นอนและแสดงให้คุณเห็นว่ามันทำอย่างไร? ไม่ควรพลาด!

แต่ทำไมผมถึงนำเสนอทฤษฎีเลยแล้วยังบอกว่าจำเป็นต้องรู้ด้วย ถูกต้อง - คุณจำเป็นต้องรู้ หากคุณเข้าใจก็ไม่มีปัญหาในหัวข้อนี้จะทำให้คุณสับสน

“เคล็ดลับ” ที่คุณจะได้เรียนรู้จะช่วยคุณในการแก้ปัญหาต้นแบบ (บางส่วน) ที่เฉพาะเจาะจง ถึงแน่นอนว่าการใช้เทคนิคเหล่านี้เป็นเครื่องมือเพิ่มเติมเป็นวิธีที่สะดวก ปัญหาสามารถแก้ไขได้เร็วขึ้น 2-3 เท่า และประหยัดเวลาในการแก้ part C

ขอให้ดีที่สุด!

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh

ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับเว็บไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก

เนื้อหาของบทความ

อนุพันธ์– อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ย = ฉ(x) กำหนดในช่วงเวลาหนึ่ง ( ก, ข) ณ จุดนั้น xของช่วงเวลานี้เรียกว่าลิมิตซึ่งอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันมีแนวโน้ม ฉณ จุดนี้การเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ที่สอดคล้องกันเมื่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์

อนุพันธ์มักจะแสดงดังนี้:

การกำหนดอื่น ๆ ก็ใช้กันอย่างแพร่หลายเช่นกัน:

ความเร็วทันที

ปล่อยให้ประเด็น มเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง ระยะทาง สจุดที่เคลื่อนที่นับจากตำแหน่งเริ่มต้นบางตำแหน่ง ม 0 ขึ้นอยู่กับเวลา ที, เช่น. สมีฟังก์ชันของเวลา ที: ส= ฉ(ที). ปล่อยให้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง ทีจุดเคลื่อนที่ มอยู่ในระยะไกล สจากตำแหน่งเริ่มต้น ม 0 และในเวลาต่อมา ที+ดี ทีพบว่าตัวเองอยู่ในตำแหน่ง ม 1 - ในระยะทาง ส+ดี สจากตำแหน่งเริ่มต้น ( ดูรูป.).

ดังนั้นในช่วงเวลาหนึ่ง D ทีระยะทาง สเปลี่ยนตามจำนวน D ส. ในกรณีนี้พวกเขาบอกว่าในช่วงเวลา D ทีขนาด สได้รับการเพิ่มขึ้น D ส.

ความเร็วเฉลี่ยไม่สามารถระบุลักษณะความเร็วของการเคลื่อนที่ของจุดได้อย่างแม่นยำในทุกกรณี มในช่วงเวลาหนึ่ง ที. ตัวอย่างเช่น หากร่างกายอยู่ที่จุดเริ่มต้นของช่วงเวลา D ทีเคลื่อนที่เร็วมากและสุดท้ายช้ามากแล้วความเร็วเฉลี่ยจะไม่สามารถสะท้อนลักษณะการเคลื่อนที่ของจุดที่ระบุและให้ทราบความเร็วที่แท้จริงของการเคลื่อนที่ในขณะนั้นได้ ที. หากต้องการแสดงความเร็วที่แท้จริงโดยใช้ความเร็วเฉลี่ยได้แม่นยำยิ่งขึ้น คุณต้องใช้เวลา D น้อยลง ที. ระบุลักษณะความเร็วของการเคลื่อนที่ของจุดในขณะนั้นได้อย่างสมบูรณ์ที่สุด ทีขีดจำกัดความเร็วเฉลี่ยมีแนวโน้มที่ D ที® 0 ขีดจำกัดนี้เรียกว่าความเร็วปัจจุบัน:

ดังนั้น ความเร็วของการเคลื่อนที่ ณ ขณะหนึ่งเรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนการเพิ่มเส้นทาง D สการเพิ่มเวลา D ทีเมื่อการเพิ่มเวลามีแนวโน้มเป็นศูนย์ เพราะ

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน

การสร้างเส้นสัมผัสกันเป็นหนึ่งในปัญหาที่นำไปสู่การเกิดแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ งานตีพิมพ์ครั้งแรกที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ซึ่งเขียนโดยไลบ์นิซมีชื่อว่า วิธีการใหม่ของค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด รวมถึงแทนเจนต์ซึ่งปริมาณทั้งเศษส่วนและจำนวนอตรรกยะไม่เป็นอุปสรรค และเป็นแคลคูลัสชนิดพิเศษสำหรับสิ่งนี้.

ให้เส้นโค้งเป็นกราฟของฟังก์ชัน ย =ฉ(x) ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ( ซม. ข้าว.).

ในระดับหนึ่งค่า xฟังก์ชั่นมีความสำคัญ ย =ฉ(x). ค่านิยมเหล่านี้ xและ ยจุดบนเส้นโค้งสอดคล้องกัน ม 0(x, ย). ถ้าจะโต้แย้ง. xให้ เพิ่มขึ้น D xแล้วค่าใหม่ของอาร์กิวเมนต์ x+ดี xสอดคล้องกับค่าฟังก์ชันใหม่ ย+ดี ย = ฉ(x + ดี x). จุดที่สอดคล้องกันของเส้นโค้งจะเป็นจุด ม 1(x+ดี x,ย+ดี ย). ถ้าคุณวาดเส้นตัด ม 0ม 1 และเขียนแทนด้วย j มุมที่เกิดจากเส้นตัดขวางที่มีทิศทางบวกของแกน วัวจากรูปก็ชัดเจนทันทีว่า

ถ้าตอนนี้ D xมีแนวโน้มเป็นศูนย์ แล้วจึงถึงจุด ม 1 เคลื่อนที่ไปตามโค้งเข้าใกล้จุด ม 0 และมุม เจ เปลี่ยนแปลงด้วย D x. ที่ ดีเอ็กซ์® 0 มุม j มีแนวโน้มที่จะถึงขีดจำกัด a และเส้นตรงที่ผ่านจุดนั้น ม 0 และองค์ประกอบที่มีทิศทางบวกของแกน x มุม a จะเป็นแทนเจนต์ที่ต้องการ ความชันของมันคือ:

เพราะฉะนั้น, ฉ´( x) = ทีจีเอ

เหล่านั้น. มูลค่าอนุพันธ์ ฉ´( x) สำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ที่กำหนด xเท่ากับแทนเจนต์ของมุมที่เกิดจากแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ฉ(x) ณ จุดที่สอดคล้องกัน ม 0(x,ย) โดยมีทิศทางแกนบวก วัว.

ความแตกต่างของฟังก์ชัน

คำนิยาม. ถ้าฟังก์ชั่น ย = ฉ(x) มีอนุพันธ์ ณ จุดนั้น x = x 0 จากนั้นฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนี้

ความต่อเนื่องของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ ทฤษฎีบท.

ถ้าฟังก์ชั่น ย = ฉ(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ในบางจุด x = x 0 แล้วมันจะต่อเนื่อง ณ จุดนี้

ดังนั้นฟังก์ชันนี้จึงไม่สามารถมีอนุพันธ์ที่จุดไม่ต่อเนื่องได้ ข้อสรุปตรงกันข้ามไม่ถูกต้องเช่น จากข้อเท็จจริงที่ว่าเมื่อถึงจุดหนึ่ง x = x 0 ฟังก์ชัน ย = ฉ(x) มีความต่อเนื่องไม่ได้หมายความว่าสามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนี้ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน ย = |x| อย่างต่อเนื่องสำหรับทุกคน x(–Ґ x x = 0 ไม่มีอนุพันธ์ ณ จุดนี้กราฟไม่มีแทนเจนต์ มีแทนเจนต์ขวาและซ้าย แต่ไม่ตรงกัน

ทฤษฎีบทบางประการเกี่ยวกับฟังก์ชันเชิงอนุพันธ์ ทฤษฎีบทเรื่องรากของอนุพันธ์ (ทฤษฎีบทของโรล)ถ้าฟังก์ชั่น ฉ(x) มีความต่อเนื่องในส่วนนี้ [ก,ข] สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดภายในทั้งหมดของส่วนนี้และที่ส่วนท้าย x = กและ x = ขไปที่ศูนย์ ( ฉ(ก) = ฉ(ข) = 0) จากนั้นอยู่ภายในส่วน [ ก,ข] มีอย่างน้อยหนึ่งจุด x= กับ, ก c b ซึ่งอนุพันธ์ ฉў( x) ไปที่ศูนย์ เช่น ฉў( ค) = 0.

ทฤษฎีบทการเพิ่มขึ้นจำกัด (ทฤษฎีบทลากรองจ์)ถ้าฟังก์ชั่น ฉ(x) ต่อเนื่องในช่วงเวลา [ ก, ข] และสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดภายในทั้งหมดของส่วนนี้ จากนั้นจึงอยู่ภายในส่วน [ ก, ข] มีอย่างน้อยหนึ่งจุด กับ, กค ข อันนั้น

ฉ(ข) – ฉ(ก) = ฉў( ค)(ข– ก).

ทฤษฎีบทเรื่องอัตราส่วนส่วนเพิ่มของสองฟังก์ชัน (ทฤษฎีบทของคอชี)ถ้า ฉ(x) และ ก(x) – สองฟังก์ชันต่อเนื่องกันบนเซ็กเมนต์ [ก, ข] และหาอนุพันธ์ได้ที่จุดภายในทั้งหมดของเซ็กเมนต์นี้ และ กў( x) จะไม่หายไปจากส่วนใดภายในส่วนนี้ จากนั้นจึงอยู่ภายในส่วน [ ก, ข] มีจุดดังกล่าว x = กับ, กค ข อันนั้น

อนุพันธ์ของคำสั่งต่างๆ

ให้ฟังก์ชัน ย =ฉ(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ในบางช่วง [ ก, ข] ค่าอนุพันธ์ ฉ ў( x) พูดโดยทั่วไปขึ้นอยู่กับ x, เช่น. อนุพันธ์ ฉ ў( x) ยังเป็นฟังก์ชันของ x. เมื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันนี้ เราจะได้สิ่งที่เรียกว่าอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน ฉ(x) ซึ่งแสดงแทน ฉ ўў ( x).

อนุพันธ์ ไม่มีลำดับที่ของฟังก์ชัน ฉ(x) เรียกว่าอนุพันธ์ (ลำดับแรก) ของอนุพันธ์ ไม่มี 1- th และแสดงด้วยสัญลักษณ์ ย(n) = (ย(n– 1))ў.

ส่วนต่างของคำสั่งต่างๆ

ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล ย = ฉ(x), ที่ไหน x– ตัวแปรอิสระ ใช่ ดี้ = ฉ ў( x)ดีเอ็กซ์, ฟังก์ชั่นบางอย่างจาก x, แต่จาก xขึ้นอยู่กับปัจจัยแรกเท่านั้น ฉ ў( x) ปัจจัยที่สอง ( ดีเอ็กซ์) คือการเพิ่มขึ้นของตัวแปรอิสระ xและไม่ขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปรนี้ เพราะ ดี้มีฟังก์ชันจาก xจากนั้นเราจะหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ได้ ดิฟเฟอเรนเชียลของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันเรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลที่สองหรือดิฟเฟอเรนเชียลลำดับที่สองของฟังก์ชันนี้ และแสดงแทนด้วย ง 2ย:

ง(ดีเอ็กซ์) = ง 2ย = ฉ ўў( x)(ดีเอ็กซ์) 2 .

ดิฟเฟอเรนเชียล ไม่มีของลำดับแรกเรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลแรกของดิฟเฟอเรนเชียล ไม่มี 1- ลำดับที่:

ไม่เป็นไร = ง(ดีเอ็น–1ย) = ฉ(n)(x)ดีเอ็กซ์(n).

อนุพันธ์บางส่วน

หากฟังก์ชันไม่ได้ขึ้นอยู่กับข้อโต้แย้งเพียงข้อเดียว แต่ขึ้นอยู่กับข้อโต้แย้งหลายข้อ x ฉัน(ฉันแตกต่างกันไปตั้งแต่ 1 ถึง n,ฉัน= 1, 2,… n),ฉ(x 1,x 2,… เอ็กซ์เอ็น) จากนั้นในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์จะมีการนำแนวคิดของอนุพันธ์บางส่วนมาใช้ซึ่งแสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวเมื่อมีการเปลี่ยนแปลงอาร์กิวเมนต์เดียวเท่านั้นเช่น x ฉัน. อนุพันธ์ย่อยอันดับ 1 เทียบกับ x ฉันถูกกำหนดให้เป็นอนุพันธ์สามัญและถือว่าอาร์กิวเมนต์ทั้งหมดยกเว้น x ฉัน, คงค่าคงที่ไว้ สำหรับอนุพันธ์บางส่วน ให้ใช้สัญลักษณ์

อนุพันธ์บางส่วนอันดับ 1 ที่กำหนดในลักษณะนี้ (เป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์เดียวกัน) ก็สามารถมีอนุพันธ์บางส่วนได้เช่นกัน ซึ่งเป็นอนุพันธ์บางส่วนอันดับสอง เป็นต้น อนุพันธ์ดังกล่าวที่นำมาจากข้อโต้แย้งที่แตกต่างกันเรียกว่าแบบผสม อนุพันธ์แบบผสมต่อเนื่องในลำดับเดียวกันไม่ขึ้นอยู่กับลำดับของความแตกต่างและมีค่าเท่ากัน

แอนนา ชูไกโนวา

คำนิยาม.ปล่อยให้ฟังก์ชัน \(y = f(x)\) ถูกกำหนดในช่วงเวลาหนึ่งซึ่งมีจุด \(x_0\) ลองเพิ่มค่าอาร์กิวเมนต์ \(\Delta x \) เพื่อไม่ให้ออกจากช่วงเวลานี้ เรามาค้นหาส่วนเพิ่มที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน \(\Delta y \) (เมื่อย้ายจากจุด \(x_0 \) ไปยังจุด \(x_0 + \Delta x \)) และเขียนความสัมพันธ์ \(\frac(\Delta y)(\เดลต้า x) \) หากมีขีดจำกัดของอัตราส่วนนี้ที่ \(\Delta x \rightarrow 0\) ขีดจำกัดที่ระบุจะถูกเรียก อนุพันธ์ของฟังก์ชัน\(y=f(x) \) ที่จุด \(x_0 \) และแสดงถึง \(f"(x_0) \)

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

สัญลักษณ์ y มักใช้เพื่อแสดงอนุพันธ์ โปรดทราบว่า y" = f(x) เป็นฟังก์ชันใหม่ แต่โดยธรรมชาติแล้วจะเกี่ยวข้องกับฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่งกำหนดไว้ที่ทุกจุด x ซึ่งมีขีดจำกัดข้างต้นอยู่ ฟังก์ชันนี้เรียกว่าดังนี้: อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x).

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์เป็นดังนี้ หากเป็นไปได้ที่จะวาดเส้นสัมผัสกันบนกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ที่จุดที่มี abscissa x=a ซึ่งไม่ขนานกับแกน y แล้ว f(a) จะแสดงความชันของเส้นสัมผัสกัน : :
\(k = ฉ"(ก)\)

เนื่องจาก \(k = tg(a) \) ดังนั้น ความเท่าเทียมกัน \(f"(a) = tan(a) \) จึงเป็นจริง

ทีนี้มาตีความคำจำกัดความของอนุพันธ์จากมุมมองของความเท่าเทียมกันโดยประมาณ ปล่อยให้ฟังก์ชัน \(y = f(x)\) มีอนุพันธ์ ณ จุดเฉพาะ \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
ซึ่งหมายความว่า เมื่อใกล้กับจุด x ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\) เช่น \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ เดลต้า x\) ความหมายที่มีความหมายของความเท่าเทียมกันโดยประมาณที่เกิดขึ้นมีดังนี้: การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันคือ "เกือบเป็นสัดส่วน" กับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์และค่าสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนคือค่าของอนุพันธ์ ณ จุดที่กำหนด x ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชัน \(y = x^2\) ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) นั้นใช้ได้ หากเราวิเคราะห์คำจำกัดความของอนุพันธ์อย่างรอบคอบ เราจะพบว่ามันมีอัลกอริธึมในการค้นหา

มากำหนดกัน

จะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x) ได้อย่างไร?

1. แก้ไขค่าของ \(x\), หา \(f(x)\)
2. เพิ่มค่าอาร์กิวเมนต์ \(x\) \(\Delta x\) ไปที่จุดใหม่ \(x+ \Delta x \) ค้นหา \(f(x+ \Delta x) \)
3. ค้นหาส่วนเพิ่มของฟังก์ชัน: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. สร้างความสัมพันธ์ \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. คำนวณ $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
ลิมิตนี้คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด x

ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) มีอนุพันธ์ที่จุด x จะเรียกว่าหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x ขั้นตอนการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x) เรียกว่า ความแตกต่างฟังก์ชัน y = ฉ(x)

ให้เราอภิปรายคำถามต่อไปนี้: ความต่อเนื่องและความแตกต่างของฟังก์ชัน ณ จุดที่เกี่ยวข้องกันเป็นอย่างไร

ปล่อยให้ฟังก์ชัน y = f(x) หาอนุพันธ์ได้ที่จุด x จากนั้นสามารถวาดแทนเจนต์ไปที่กราฟของฟังก์ชันที่จุด M(x; f(x)) และจำได้ว่าค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์เท่ากับ f "(x) กราฟดังกล่าวไม่สามารถ "แตกหัก" ที่จุด M นั่นคือ ฟังก์ชันจะต้องต่อเนื่องที่จุด x

สิ่งเหล่านี้เป็นข้อโต้แย้งแบบ "ลงมือปฏิบัติ" ให้เราให้เหตุผลที่เข้มงวดมากขึ้น หากฟังก์ชัน y = f(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x ดังนั้นความเท่าเทียมกันโดยประมาณ \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) ยังคงอยู่ หากในความเท่าเทียมกันนี้ \(\Delta x \) มีแนวโน้มเป็นศูนย์ จากนั้น \(\Delta y \) จะมีแนวโน้มเป็นศูนย์ และนี่คือเงื่อนไขสำหรับความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง

ดังนั้น, ถ้าฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ที่จุด x แสดงว่าฟังก์ชันดังกล่าวมีความต่อเนื่องที่จุดนั้น.

ข้อความย้อนกลับไม่เป็นความจริง ตัวอย่างเช่น: ฟังก์ชัน y = |x| มีความต่อเนื่องในทุกที่ โดยเฉพาะที่จุด x = 0 แต่ไม่มีค่าแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่ "จุดเชื่อมต่อ" (0; 0) หาก ณ จุดหนึ่งไม่สามารถวาดแทนเจนต์ไปที่กราฟของฟังก์ชันได้ แสดงว่าอนุพันธ์นั้นไม่มีอยู่ที่จุดนั้น

อีกตัวอย่างหนึ่ง ฟังก์ชัน \(y=\sqrt(x)\) ต่อเนื่องกันบนเส้นจำนวนทั้งหมด รวมถึงที่จุด x = 0 และค่าแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันนั้นมีอยู่ที่จุดใดๆ รวมถึงที่จุด x = 0 แต่ ณ จุดนี้ แทนเจนต์เกิดขึ้นพร้อมกับแกน y กล่าวคือ มันตั้งฉากกับแกนแอบซิสซา สมการของมันมีรูปแบบ x = 0 เส้นตรงดังกล่าวไม่มีสัมประสิทธิ์มุม ซึ่งหมายความว่า \(f "(0)\) ไม่มีอยู่

ดังนั้นเราจึงได้ทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติใหม่ของฟังก์ชัน - การหาอนุพันธ์ เราจะสรุปจากกราฟของฟังก์ชันว่ามันหาอนุพันธ์ได้อย่างไร

คำตอบได้รับจริงข้างต้น หาก ณ จุดใดจุดหนึ่ง มีความเป็นไปได้ที่จะวาดแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชันที่ไม่ตั้งฉากกับแกนแอบซิสซา เมื่อถึงจุดนี้ ฟังก์ชันจะสามารถหาอนุพันธ์ได้ ถ้า ณ จุดหนึ่ง แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันไม่มีอยู่หรือตั้งฉากกับแกนแอบซิสซา เมื่อถึงจุดนี้ ฟังก์ชันจะไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้

กฎของความแตกต่าง

การดำเนินการหาอนุพันธ์เรียกว่า ความแตกต่าง. เมื่อดำเนินการนี้ คุณมักจะต้องทำงานกับผลหาร ผลรวม ผลคูณของฟังก์ชัน รวมถึง "ฟังก์ชันของฟังก์ชัน" ซึ่งก็คือฟังก์ชันที่ซับซ้อน จากคำจำกัดความของอนุพันธ์ เราสามารถหากฎการหาอนุพันธ์ที่ทำให้งานนี้ง่ายขึ้น ถ้า C เป็นจำนวนคงที่และ f=f(x) g=g(x) เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ แล้วสิ่งต่อไปนี้เป็นจริง กฎความแตกต่าง:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันบางอย่าง

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln ก) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

อนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัว

การแนะนำ.

การพัฒนาระเบียบวิธีเหล่านี้มีไว้สำหรับนักศึกษาคณะวิศวกรรมศาสตร์อุตสาหกรรมและโยธา รวบรวมมาจากโปรแกรมรายวิชาคณิตศาสตร์ในหัวข้อ “แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว”

การพัฒนานี้เป็นแนวทางด้านระเบียบวิธีฉบับเดียว ซึ่งรวมถึง: ข้อมูลทางทฤษฎีโดยย่อ; ปัญหาและแบบฝึกหัด “มาตรฐาน” พร้อมแนวทางแก้ไขโดยละเอียดและคำอธิบายสำหรับแนวทางแก้ไขเหล่านี้ ตัวเลือกการทดสอบ

มีแบบฝึกหัดเพิ่มเติมในตอนท้ายของแต่ละย่อหน้า โครงสร้างการพัฒนานี้ทำให้เหมาะสำหรับการเรียนรู้อย่างอิสระในส่วนนี้โดยได้รับความช่วยเหลือจากครูเพียงเล็กน้อย

§1. ความหมายของอนุพันธ์

ความหมายทางกลและเรขาคณิต

อนุพันธ์

แนวคิดเรื่องอนุพันธ์เป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เกิดขึ้นในศตวรรษที่ 17 การก่อตัวของแนวคิดเรื่องอนุพันธ์ในอดีตมีความเกี่ยวข้องกับปัญหาสองประการ: ปัญหาความเร็วของการเคลื่อนที่แบบสลับและปัญหาเส้นสัมผัสเส้นโค้ง

ปัญหาเหล่านี้แม้จะมีเนื้อหาต่างกันแต่นำไปสู่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์แบบเดียวกันที่ต้องดำเนินการกับฟังก์ชัน การดำเนินการนี้ได้รับชื่อพิเศษในวิชาคณิตศาสตร์ เรียกว่าการดำเนินการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ผลลัพธ์ของการดำเนินการหาความแตกต่างเรียกว่าอนุพันธ์

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=f(x) ที่จุด x0 คือขีดจำกัด (ถ้ามี) ของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์
ที่
.

อนุพันธ์มักจะแสดงดังนี้:
.

ดังนั้นตามคำนิยาม

สัญลักษณ์นี้ยังใช้เพื่อแสดงอนุพันธ์อีกด้วย
.

ความหมายทางกลของอนุพันธ์

ถ้า s=s(t) คือกฎการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงของจุดวัสดุ ดังนั้น
คือความเร็วของจุดนี้ ณ เวลา t

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

ถ้าฟังก์ชัน y=f(x) มีอนุพันธ์อยู่ที่จุดนั้น แล้วค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้น
เท่ากับ
.

ตัวอย่าง.

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ตรงจุด =2:

1) ให้มันเป็นจุด =2 เพิ่มขึ้น
. สังเกตว่า.

2) ค้นหาส่วนเพิ่มของฟังก์ชัน ณ จุดนั้น =2:

3) มาสร้างอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์:

ให้เราหาลิมิตของอัตราส่วนกันที่
:

.

ดังนั้น,
.

§ 2. อนุพันธ์ของบางส่วน

ฟังก์ชั่นที่ง่ายที่สุด

นักเรียนต้องเรียนรู้วิธีการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันเฉพาะ: y=x,y= และโดยทั่วไป= .

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=x กัน

เหล่านั้น. (x)'=1.

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน

อนุพันธ์

อนุญาต
แล้ว

เป็นเรื่องง่ายที่จะสังเกตเห็นรูปแบบในนิพจน์สำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง
ด้วย n=1,2,3

เพราะฉะนั้น,

. (1)

สูตรนี้ใช้ได้กับ n จริงใดๆ

โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อใช้สูตร (1) เรามี:

;

.

ตัวอย่าง.

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

.

.

ฟังก์ชันนี้เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันของแบบฟอร์ม

ที่
.

โดยใช้สูตร (1) เรามี

.

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=sin x และ y=cos x

ให้ y=sinx

หารด้วย ∆x เราได้

ผ่านไปถึงขีดจำกัดที่ ∆x→0 เราก็ได้

ให้ y=cosx

เมื่อผ่านไปยังขีดจำกัดที่ ∆x→0 เราก็จะได้

;
. (2)

§3 กฎพื้นฐานของการสร้างความแตกต่าง

พิจารณากฎของความแตกต่าง

ทฤษฎีบท1 . ถ้าฟังก์ชัน u=u(x) และ v=v(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดที่กำหนด x แล้วผลรวมของฟังก์ชันนี้จะหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนี้ และอนุพันธ์ของผลรวมจะเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ของเทอม : (u+v)"=u"+v".(3 )

พิสูจน์: พิจารณาฟังก์ชัน y=f(x)=u(x)+v(x)

ส่วนเพิ่ม ∆x ของอาร์กิวเมนต์ x สอดคล้องกับส่วนเพิ่ม ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) ของฟังก์ชัน u และ v จากนั้นฟังก์ชัน y จะเพิ่มขึ้น

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

เพราะฉะนั้น,

ดังนั้น (u+v)"=u"+v"

ทฤษฎีบท2. หากฟังก์ชัน u=u(x) และ v=v(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดที่กำหนด x ดังนั้นผลคูณของฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ได้ที่จุดเดียวกัน ในกรณีนี้ อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์จะพบได้จากสูตรต่อไปนี้: ( ยูวี)"=u"วี+ยูวี" ( 4)

พิสูจน์: ให้ y=uv โดยที่ u และ v เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของ x ได้ ลองให้ x เพิ่มขึ้นเป็น ∆x จากนั้น u จะได้รับการเพิ่มขึ้นเป็น ∆u, v จะได้รับการเพิ่มขึ้นเป็น ∆v และ y จะได้รับการเพิ่มขึ้นเป็น ∆y

เรามี y+∆y=(u+∆u)(v+∆v) หรือ

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

ดังนั้น ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v

จากที่นี่

เมื่อผ่านไปจนถึงขีดจำกัดที่ ∆x→0 และพิจารณาว่า u และ v ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ ∆x เราจะได้

ทฤษฎีบท 3. อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชันจะเท่ากับเศษส่วน โดยตัวส่วนจะเท่ากับกำลังสองของตัวหาร และตัวเศษคือผลต่างระหว่างผลคูณของอนุพันธ์ของเงินปันผลกับตัวหารกับผลคูณของ เงินปันผลและอนุพันธ์ของตัวหาร เช่น

ถ้า
ที่
(5)

ทฤษฎีบท 4อนุพันธ์ของค่าคงที่คือศูนย์ เช่น ถ้า y=C โดยที่ C=const แล้ว y"=0

ทฤษฎีบท 5ปัจจัยคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้เช่น ถ้า y=Cu(x) โดยที่ С=const แล้ว y"=Cu"(x)

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

.

ฟังก์ชันนี้มีรูปแบบ
, โดยที่=x,v=cosx. เราพบการใช้กฎการสร้างความแตกต่าง (4)

.

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

.

ลองใช้สูตร (5) กัน

ที่นี่
;
.

งาน

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

การดำเนินการหาอนุพันธ์เรียกว่าอนุพันธ์

อันเป็นผลมาจากการแก้ปัญหาในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ง่ายที่สุด (และไม่ง่ายนัก) โดยการกำหนดอนุพันธ์เป็นขีด จำกัด ของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ตารางอนุพันธ์และกฎการแยกความแตกต่างที่กำหนดไว้อย่างแม่นยำปรากฏขึ้น . คนแรกที่ทำงานในด้านการค้นหาอนุพันธ์คือ Isaac Newton (1643-1727) และ Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

ดังนั้นในยุคของเราในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใด ๆ คุณไม่จำเป็นต้องคำนวณขีด จำกัด ดังกล่าวข้างต้นของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ แต่คุณเพียงต้องใช้ตารางของ อนุพันธ์และกฎของความแตกต่าง อัลกอริธึมต่อไปนี้เหมาะสำหรับการค้นหาอนุพันธ์

เพื่อหาอนุพันธ์คุณต้องมีนิพจน์ใต้เครื่องหมายเฉพาะ แบ่งฟังก์ชันง่ายๆ ออกเป็นส่วนประกอบต่างๆและกำหนดการกระทำใด (ผลิตภัณฑ์ ผลรวม ผลหาร)ฟังก์ชันเหล่านี้เกี่ยวข้องกัน ต่อไปเราจะค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานในตารางอนุพันธ์และสูตรสำหรับอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ผลรวมและผลหาร - ในกฎการสร้างความแตกต่าง ตารางอนุพันธ์และกฎการแยกความแตกต่างจะได้รับหลังจากสองตัวอย่างแรก

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. จากกฎการหาความแตกต่าง เราพบว่าอนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชันคือผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เช่น

จากตารางอนุพันธ์ เราพบว่าอนุพันธ์ของ "x" เท่ากับ 1 และอนุพันธ์ของไซน์เท่ากับโคไซน์ เราแทนที่ค่าเหล่านี้เป็นผลรวมของอนุพันธ์และค้นหาอนุพันธ์ที่ต้องการตามเงื่อนไขของปัญหา:

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. เราแยกความแตกต่างเป็นอนุพันธ์ของผลรวมโดยที่เทอมที่สองมีปัจจัยคงที่ สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้:

หากยังคงมีคำถามเกิดขึ้นเกี่ยวกับที่มาของบางสิ่ง คำถามเหล่านั้นมักจะถูกกระจ่างหลังจากทำความคุ้นเคยกับตารางอนุพันธ์และกฎการแยกความแตกต่างที่ง่ายที่สุด เรากำลังดำเนินการไปหาพวกเขาในขณะนี้

ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันอย่างง่าย

1. อนุพันธ์ของค่าคงที่ (ตัวเลข) ตัวเลขใดๆ (1, 2, 5, 200...) ที่อยู่ในนิพจน์ฟังก์ชัน เท่ากับศูนย์เสมอ นี่เป็นสิ่งสำคัญมากที่ต้องจำไว้เนื่องจากต้องใช้บ่อยมาก
2. อนุพันธ์ของตัวแปรอิสระ ส่วนใหญ่มักจะเป็น "X" เท่ากับหนึ่งเสมอ นี่เป็นสิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้เป็นเวลานาน
3. อนุพันธ์ของปริญญา เมื่อแก้ไขปัญหา คุณต้องแปลงรากที่ไม่ใช่กำลังสองให้เป็นกำลัง
4. อนุพันธ์ของตัวแปรยกกำลัง -1
5. อนุพันธ์ของรากที่สอง
6. อนุพันธ์ของไซน์
7. อนุพันธ์ของโคไซน์
8. อนุพันธ์ของแทนเจนต์
9. อนุพันธ์ของโคแทนเจนต์
10. อนุพันธ์ของอาร์คไซน์
11. อนุพันธ์ของอาร์คโคไซน์
12. อนุพันธ์ของอาร์กแทนเจนต์
13. อนุพันธ์ของอาร์คโคแทนเจนต์
14. อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ
15. อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม
16. อนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง
17. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

กฎของความแตกต่าง

1. อนุพันธ์ของผลรวมหรือผลต่าง
2. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์
2ก. อนุพันธ์ของนิพจน์คูณด้วยตัวประกอบคงที่
3. อนุพันธ์ของผลหาร
4. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

กฎข้อที่ 1ถ้าฟังก์ชั่น

สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง จากนั้นฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ได้ที่จุดเดียวกัน

และ

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลรวมพีชคณิตของฟังก์ชันเท่ากับผลรวมพีชคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้

ผลที่ตามมา หากฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้สองฟังก์ชันต่างกันด้วยเทอมคงที่ อนุพันธ์ของฟังก์ชันทั้งสองจะเท่ากัน, เช่น.

กฎข้อที่ 2ถ้าฟังก์ชั่น

สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง แล้วผลิตภัณฑ์ของเขาก็หาอนุพันธ์ได้ที่จุดเดียวกัน

และ

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของแต่ละฟังก์ชันเหล่านี้กับอนุพันธ์ของอีกฟังก์ชันหนึ่ง

ข้อพิสูจน์ 1. ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้:

ข้อพิสูจน์ 2. อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันอนุพันธ์หลายฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมของผลคูณของอนุพันธ์ของแต่ละปัจจัยและอื่นๆ ทั้งหมด

ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวคูณสามตัว:

กฎข้อที่ 3ถ้าฟังก์ชั่น

แยกแยะได้ในบางจุด และ , เมื่อมาถึงจุดนี้ ผลหารของพวกมันก็สามารถหาอนุพันธ์ได้เช่นกันคุณ/v และ

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชันเท่ากับเศษส่วน โดยตัวเศษคือผลต่างระหว่างผลคูณของตัวส่วนกับอนุพันธ์ของตัวเศษกับตัวเศษและอนุพันธ์ของตัวส่วน และตัวส่วนคือกำลังสองของ อดีตตัวเศษ

จะค้นหาสิ่งต่าง ๆ ในหน้าอื่นได้ที่ไหน

เมื่อค้นหาอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และผลหารในปัญหาจริง จำเป็นต้องใช้กฎการสร้างความแตกต่างหลายข้อในคราวเดียวเสมอ ดังนั้นจึงมีตัวอย่างเพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุพันธ์เหล่านี้ในบทความ"อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และผลหารของฟังก์ชัน".

ความคิดเห็นคุณไม่ควรสับสนระหว่างค่าคงที่ (นั่นคือตัวเลข) ในรูปของผลรวมและตัวประกอบคงที่! ในกรณีของเทอม อนุพันธ์ของมันจะเท่ากับศูนย์ และในกรณีของตัวประกอบคงที่ อนุพันธ์ของเทอมนั้นจะถูกนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ นี่เป็นข้อผิดพลาดทั่วไปที่เกิดขึ้นในระยะเริ่มต้นของการศึกษาอนุพันธ์ แต่เมื่อนักเรียนทั่วไปแก้ตัวอย่างที่มีหนึ่งและสองส่วน เขาจะไม่ทำผิดพลาดอีกต่อไป

และถ้าเมื่อคุณแยกแยะผลิตภัณฑ์หรือผลหาร คุณมีคำศัพท์ ยู"โวลต์, ซึ่งใน ยู- ตัวเลข เช่น 2 หรือ 5 นั่นคือค่าคงที่ จากนั้นอนุพันธ์ของตัวเลขนี้จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นพจน์ทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์ (ในกรณีนี้จะกล่าวถึงในตัวอย่างที่ 10)

ข้อผิดพลาดทั่วไปอีกประการหนึ่งคือการแก้อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนโดยกลไกให้เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงเดียว นั่นเป็นเหตุผล อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนมีการอุทิศบทความแยกต่างหาก แต่ก่อนอื่น เราจะเรียนรู้การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันง่ายๆ ก่อน

ระหว่างทาง คุณไม่สามารถทำได้โดยไม่เปลี่ยนการแสดงออก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณอาจต้องเปิดคู่มือในหน้าต่างใหม่ การกระทำที่มีพลังและรากและ การดำเนินการกับเศษส่วน .

หากคุณกำลังมองหาคำตอบของอนุพันธ์ของเศษส่วนที่มีกำลังและราก นั่นคือเมื่อฟังก์ชันมีลักษณะเช่นนี้ จากนั้นติดตามบทเรียน “อนุพันธ์ของผลบวกของเศษส่วนที่มีพลังและราก”

หากคุณมีงานเช่น จากนั้น คุณจะได้เรียนรู้บทเรียน “อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างง่าย”

ตัวอย่างทีละขั้นตอน - วิธีค้นหาอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. เรากำหนดส่วนของนิพจน์ฟังก์ชัน: นิพจน์ทั้งหมดแสดงถึงผลิตภัณฑ์ และตัวประกอบของมันคือผลรวม ในวินาทีที่คำศัพท์ตัวใดตัวหนึ่งมีค่าคงที่ เราใช้กฎการสร้างความแตกต่างของผลคูณ: อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของแต่ละฟังก์ชันเหล่านี้ด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันอื่น:

ต่อไป เราใช้กฎการหาความแตกต่างของผลรวม: อนุพันธ์ของผลรวมพีชคณิตของฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมพีชคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ ในกรณีของเรา ในแต่ละผลรวม เทอมที่สองจะมีเครื่องหมายลบ ในแต่ละผลรวมเราจะเห็นทั้งตัวแปรอิสระ โดยมีอนุพันธ์เท่ากับ 1 และค่าคงที่ (ตัวเลข) ซึ่งอนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น "X" จะกลายเป็นหนึ่ง และลบ 5 จะกลายเป็นศูนย์ ในนิพจน์ที่สอง "x" คูณด้วย 2 ดังนั้นเราจึงคูณสองด้วยหน่วยเดียวกันกับอนุพันธ์ของ "x" เราได้รับค่าอนุพันธ์ดังต่อไปนี้:

เราแทนที่อนุพันธ์ที่พบเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์และรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันทั้งหมดที่กำหนดตามเงื่อนไขของปัญหา:

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. เราจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของผลหาร เราใช้สูตรในการหาความแตกต่างของผลหาร: อนุพันธ์ของผลหารของฟังก์ชันทั้งสองมีค่าเท่ากับเศษส่วน ซึ่งตัวเศษคือความแตกต่างระหว่างผลคูณของตัวส่วนกับอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวเศษและอนุพันธ์ของ ตัวส่วน และตัวส่วนคือกำลังสองของตัวเศษเดิม เราได้รับ:

เราพบอนุพันธ์ของปัจจัยในตัวเศษในตัวอย่างที่ 2 แล้ว อย่าลืมว่าผลคูณซึ่งเป็นตัวประกอบตัวที่สองในตัวเศษในตัวอย่างปัจจุบันนั้นมีเครื่องหมายลบ:

หากคุณกำลังมองหาวิธีแก้ไขปัญหาโดยต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันซึ่งมีรากและกำลังอย่างต่อเนื่อง เช่น แล้วยินดีต้อนรับเข้าสู่ชั้นเรียน “อนุพันธ์ของผลบวกของเศษส่วนด้วยกำลังและราก” .

หากคุณต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุพันธ์ของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ นั่นคือเมื่อฟังก์ชันมีลักษณะดังนี้ แล้วบทเรียนสำหรับคุณ "อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างง่าย" .

ตัวอย่างที่ 5ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. ในฟังก์ชันนี้ เราจะเห็นผลคูณ หนึ่งในปัจจัยคือรากที่สองของตัวแปรอิสระ ซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่เราคุ้นเคยในตารางอนุพันธ์ เมื่อใช้กฎในการแยกความแตกต่างผลิตภัณฑ์และค่าตารางของอนุพันธ์ของรากที่สองเราได้รับ:

ตัวอย่างที่ 6ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. ในฟังก์ชันนี้ เราจะเห็นผลหารซึ่งเงินปันผลคือรากที่สองของตัวแปรอิสระ เมื่อใช้กฎการแยกความแตกต่างของผลหารซึ่งเราทำซ้ำและนำไปใช้ในตัวอย่างที่ 4 และค่าตารางของอนุพันธ์ของรากที่สอง เราได้:

หากต้องการกำจัดเศษส่วนในตัวเศษ ให้คูณทั้งเศษและส่วนด้วย