ปัญหาทางคณิตศาสตร์สามารถนำไปใช้ได้ในหลายศาสตร์ สิ่งเหล่านี้ไม่เพียงแต่รวมถึงฟิสิกส์ เคมี เทคโนโลยีและเศรษฐศาสตร์ แต่ยังรวมไปถึงการแพทย์ นิเวศวิทยา และสาขาวิชาอื่น ๆ แนวคิดสำคัญประการหนึ่งที่ต้องเชี่ยวชาญเพื่อค้นหาวิธีแก้ไขประเด็นขัดแย้งที่สำคัญคืออนุพันธ์ของฟังก์ชัน ความหมายทางกายภาพของมันไม่ได้อธิบายยากเลยเพราะอาจดูเหมือนกับผู้ที่ไม่ได้ฝึกหัดในแก่นแท้ของปัญหา แค่ค้นหาตัวอย่างที่เหมาะสมในชีวิตจริงและสถานการณ์ในชีวิตประจำวันก็เพียงพอแล้ว ในความเป็นจริง ผู้ขับขี่รถยนต์คนใดก็ตามต้องรับมือกับงานที่คล้ายกันทุกวันเมื่อเขาดูมาตรวัดความเร็ว เพื่อระบุความเร็วของรถของเขาในช่วงเวลาที่กำหนด ท้ายที่สุดแล้วมันเป็นพารามิเตอร์นี้ที่มีสาระสำคัญของความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์

วิธีค้นหาความเร็ว

นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 ทุกคนสามารถกำหนดความเร็วของบุคคลบนท้องถนนได้อย่างง่ายดาย โดยรู้ระยะทางที่เดินทางและเวลาเดินทาง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หารค่าแรกของค่าที่กำหนดด้วยค่าที่สอง แต่ไม่ใช่ว่านักคณิตศาสตร์รุ่นเยาว์ทุกคนจะรู้ว่าขณะนี้พวกเขากำลังค้นหาอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันและการโต้แย้ง แท้จริงแล้ว หากคุณจินตนาการถึงการเคลื่อนไหวในรูปของกราฟ การวางแผนเส้นทางตามแกนพิกัด และเวลาตามแนวแอบสซิสซา มันจะเป็นเช่นนี้ทุกประการ

อย่างไรก็ตาม ความเร็วของคนเดินเท้าหรือวัตถุอื่นใดที่เรากำหนดไว้บนพื้นที่ส่วนใหญ่ของเส้นทาง เมื่อพิจารณาว่าการเคลื่อนไหวมีความสม่ำเสมอ อาจเปลี่ยนแปลงไปได้เช่นกัน มีการเคลื่อนไหวหลายรูปแบบที่รู้จักในวิชาฟิสิกส์ มันสามารถเกิดขึ้นได้ไม่เพียงแต่ด้วยความเร่งคงที่เท่านั้น แต่ยังช้าลงและเพิ่มขึ้นในลักษณะที่ต้องการอีกด้วย ควรสังเกตว่าในกรณีนี้เส้นที่อธิบายการเคลื่อนไหวจะไม่เป็นเส้นตรงอีกต่อไป ในรูปแบบกราฟิก มันสามารถใช้กับการกำหนดค่าที่ซับซ้อนที่สุดได้ แต่สำหรับจุดใดๆ บนกราฟ เราสามารถวาดแทนเจนต์ซึ่งแสดงด้วยฟังก์ชันเชิงเส้นได้เสมอ

เพื่อชี้แจงพารามิเตอร์ของการเปลี่ยนแปลงการกระจัดตามเวลา จำเป็นต้องลดส่วนที่วัดให้สั้นลง เมื่อมีค่าน้อยที่สุด ความเร็วที่คำนวณได้จะเป็นค่าทันที ประสบการณ์นี้ช่วยให้เรากำหนดอนุพันธ์ได้ ความหมายทางกายภาพของมันก็เป็นไปตามเหตุผลเช่นกัน

จากมุมมองทางเรขาคณิต

เป็นที่ทราบกันดีว่ายิ่งความเร็วของร่างกายมากขึ้นเท่าใดกราฟของการขึ้นอยู่กับการกระจัดตรงเวลาก็จะยิ่งชันมากขึ้นเท่านั้นและด้วยเหตุนี้มุมเอียงของแทนเจนต์กับกราฟ ณ จุดหนึ่ง ตัวบ่งชี้การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวอาจเป็นค่าแทนเจนต์ของมุมระหว่างแกนแอบซิสซาและเส้นสัมผัสกัน นี่คือสิ่งที่กำหนดค่าของอนุพันธ์อย่างแม่นยำและคำนวณโดยอัตราส่วนของความยาวของด้านตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกันในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งเกิดจากการตั้งฉากที่ตกลงมาจากจุดหนึ่งไปยังแกน abscissa

นี่คือความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง ค่าทางกายภาพถูกเปิดเผยโดยข้อเท็จจริงที่ว่าค่าของด้านตรงข้ามในกรณีของเราแสดงถึงระยะทางที่เดินทาง และด้านที่อยู่ติดกันแทนเวลา ในกรณีนี้อัตราส่วนคือความเร็ว และอีกครั้งที่เราได้ข้อสรุปว่าความเร็วชั่วขณะซึ่งกำหนดเมื่อทั้งสองช่วงเวลามีแนวโน้มที่จะน้อยที่สุดนั้นเป็นสาระสำคัญ ซึ่งบ่งบอกถึงความหมายทางกายภาพของมัน อนุพันธ์อันดับสองในตัวอย่างนี้จะเป็นความเร่งของร่างกาย ซึ่งจะแสดงให้เห็นระดับการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว

ตัวอย่างการหาอนุพันธ์ทางฟิสิกส์

อนุพันธ์เป็นตัวบ่งชี้อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันใดๆ แม้ว่าเราจะไม่ได้พูดถึงการเคลื่อนไหวในความหมายที่แท้จริงของคำก็ตาม เพื่อแสดงให้เห็นอย่างชัดเจน เราจะยกตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงหลายประการ สมมติว่าความแรงในปัจจุบันขึ้นอยู่กับเวลาเปลี่ยนแปลงตามกฎหมายต่อไปนี้: ฉัน= 0.4ตัน 2 .จำเป็นต้องค้นหาค่าความเร็วที่พารามิเตอร์นี้เปลี่ยนแปลงเมื่อสิ้นสุดวินาทีที่ 8 ของกระบวนการ โปรดทราบว่าค่าที่ต้องการนั้นเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องซึ่งสามารถตัดสินได้จากสมการ

ในการแก้ปัญหามีความจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์อันดับแรกซึ่งความหมายทางกายภาพที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ ที่นี่ ดิไอ/ dt = 0,8 ที. ต่อไปเราจะพบมันได้ที่ ที=8 เราพบว่าอัตราที่การเปลี่ยนแปลงในปัจจุบันเกิดขึ้นมีค่าเท่ากับ 6,4 ก/ ค. ที่นี่ถือว่าความแรงของกระแสวัดเป็นแอมแปร์และเวลาตามลำดับเป็นวินาที

ทุกสิ่งสามารถเปลี่ยนแปลงได้

โลกรอบข้างที่มองเห็นได้ซึ่งประกอบด้วยสสารมีการเปลี่ยนแปลงอยู่ตลอดเวลาโดยอยู่ในการเคลื่อนที่ของกระบวนการต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นภายในนั้น สามารถใช้พารามิเตอร์ต่างๆ เพื่ออธิบายได้ หากพวกมันรวมกันเป็นหนึ่งด้วยการพึ่งพาพวกมันจะถูกเขียนทางคณิตศาสตร์ในรูปแบบของฟังก์ชันที่แสดงการเปลี่ยนแปลงอย่างชัดเจน และที่ใดมีการเคลื่อนไหว (ไม่ว่าจะแสดงออกมาในรูปแบบใดก็ตาม) ก็จะมีอนุพันธ์อยู่ด้วย ซึ่งเป็นความหมายทางกายภาพที่เรากำลังพิจารณาอยู่ในปัจจุบัน

ตัวอย่างต่อไปนี้เกี่ยวกับเรื่องนี้ สมมติว่าอุณหภูมิของร่างกายเปลี่ยนแปลงไปตามกฎหมาย ต=0,2 ที 2 . คุณควรหาอัตราการทำความร้อนเมื่อสิ้นสุดวินาทีที่ 10 ปัญหาได้รับการแก้ไขในลักษณะคล้ายกับที่อธิบายไว้ในกรณีก่อนหน้า นั่นคือเราค้นหาอนุพันธ์และทดแทนค่า ที= 10 , เราได้รับ ต= 0,4 ที= 4. ซึ่งหมายความว่าคำตอบสุดท้ายคือ 4 องศาต่อวินาที กล่าวคือ กระบวนการให้ความร้อนและการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิซึ่งวัดเป็นองศา เกิดขึ้นที่ความเร็วเท่านี้เป๊ะๆ

การแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ

แน่นอนว่าในชีวิตจริง ทุกสิ่งอาจซับซ้อนกว่าปัญหาทางทฤษฎีมาก ในทางปฏิบัติ โดยปกติแล้ว มูลค่าของปริมาณจะถูกกำหนดในระหว่างการทดลอง ในกรณีนี้จะใช้เครื่องมือที่ให้การอ่านระหว่างการวัดโดยมีข้อผิดพลาดบางอย่าง ดังนั้นเมื่อคำนวณคุณจะต้องจัดการกับค่าโดยประมาณของพารามิเตอร์และใช้วิธีปัดเศษตัวเลขที่ไม่สะดวกตลอดจนการลดความซับซ้อนอื่น ๆ เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้แล้ว ให้เราดำเนินการแก้ไขปัญหาเกี่ยวกับความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์อีกครั้ง โดยคำนึงว่าสิ่งเหล่านี้เป็นเพียงแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการที่ซับซ้อนที่สุดที่เกิดขึ้นในธรรมชาติ

การปะทุ

ลองจินตนาการว่าภูเขาไฟกำลังปะทุ เขามีอันตรายแค่ไหน? เพื่อชี้แจงประเด็นนี้ จำเป็นต้องพิจารณาปัจจัยหลายประการ เราจะพยายามคำนึงถึงหนึ่งในนั้น

จากปากของ "สัตว์ประหลาดไฟ" ก้อนหินจะถูกโยนขึ้นไปในแนวตั้งโดยมีความเร็วเริ่มต้นตั้งแต่วินาทีที่มันออกมา มีความจำเป็นต้องคำนวณความสูงสูงสุดที่พวกเขาสามารถเข้าถึงได้

เพื่อหาค่าที่ต้องการ เราจะสร้างสมการขึ้นกับความสูง H ซึ่งวัดเป็นเมตรกับค่าอื่นๆ ซึ่งรวมถึงความเร็วและเวลาเริ่มต้น เราถือว่าค่าความเร่งเป็นที่รู้จักและประมาณเท่ากับ 10 m/s 2

อนุพันธ์บางส่วน

ตอนนี้ให้เราพิจารณาความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์ของฟังก์ชันจากมุมที่แตกต่างกันเล็กน้อย เนื่องจากสมการนั้นอาจไม่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว แต่มีตัวแปรหลายตัว ตัวอย่างเช่นในปัญหาก่อนหน้านี้ การขึ้นต่อกันของความสูงของหินที่ถูกโยนออกจากปากภูเขาไฟนั้นไม่เพียงถูกกำหนดโดยการเปลี่ยนแปลงของลักษณะเวลาเท่านั้น แต่ยังรวมถึงค่าของความเร็วเริ่มต้นด้วย อย่างหลังถือเป็นค่าคงที่และคงที่ แต่ในปัญหาอื่นที่มีเงื่อนไขแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงทุกอย่างอาจแตกต่างกันได้ หากมีปริมาณหลายปริมาณที่ต้องอาศัยฟังก์ชันที่ซับซ้อน การคำนวณจะดำเนินการตามสูตรด้านล่าง

ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์ที่พบบ่อยควรถูกกำหนดตามปกติ นี่คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งเมื่อพารามิเตอร์ของตัวแปรเพิ่มขึ้น คำนวณในลักษณะที่ส่วนประกอบอื่นๆ ทั้งหมดถือเป็นค่าคงที่ โดยมีเพียงองค์ประกอบเดียวเท่านั้นที่ถือเป็นตัวแปร จากนั้นทุกอย่างก็เกิดขึ้นตามกฎปกติ

การทำความเข้าใจความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์นั้นไม่ใช่เรื่องยากที่จะยกตัวอย่างการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนและซับซ้อนซึ่งคำตอบสามารถพบได้ด้วยความรู้ดังกล่าว หากเรามีฟังก์ชันที่อธิบายปริมาณการใช้เชื้อเพลิงโดยขึ้นอยู่กับความเร็วของรถ เราสามารถคำนวณได้ว่าพารามิเตอร์ใดที่ปริมาณการใช้น้ำมันจะน้อยที่สุด

ในทางการแพทย์ มีความเป็นไปได้ที่จะทำนายว่าร่างกายมนุษย์จะตอบสนองต่อยาที่แพทย์สั่งจ่ายอย่างไร การรับประทานยาส่งผลต่อตัวบ่งชี้ทางสรีรวิทยาหลายประการ ซึ่งรวมถึงการเปลี่ยนแปลงของความดันโลหิต อัตราการเต้นของหัวใจ อุณหภูมิร่างกาย และอื่นๆ ทั้งหมดขึ้นอยู่กับปริมาณยาที่รับประทาน การคำนวณเหล่านี้ช่วยในการทำนายแนวทางการรักษาทั้งในลักษณะที่เป็นผลดีและในเหตุการณ์ไม่พึงประสงค์ที่อาจส่งผลร้ายแรงต่อการเปลี่ยนแปลงในร่างกายของผู้ป่วย

ไม่ต้องสงสัยเลยว่า สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์ในเรื่องทางเทคนิค โดยเฉพาะอย่างยิ่งในด้านวิศวกรรมไฟฟ้า อิเล็กทรอนิกส์ การออกแบบ และการก่อสร้าง

ระยะเบรก

ลองพิจารณาปัญหาต่อไป เมื่อเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ รถที่เข้าใกล้สะพานต้องเบรกก่อนถึงทางเข้า 10 วินาที เนื่องจากคนขับสังเกตเห็นป้ายถนนห้ามไม่ให้เคลื่อนที่ด้วยความเร็วเกิน 36 กม./ชม. คนขับฝ่าฝืนกฎหรือไม่หากสูตร S = 26t - t 2 สามารถอธิบายระยะเบรกของเขาได้

เมื่อคำนวณอนุพันธ์อันดับแรกแล้ว เราจะพบสูตรสำหรับความเร็ว เราได้ v = 28 - 2t ต่อไป เราจะแทนที่ค่า t=10 ลงในนิพจน์ที่ระบุ

เนื่องจากค่านี้แสดงเป็นวินาที ความเร็วจึงกลายเป็น 8 เมตร/วินาที ซึ่งหมายถึง 28.8 กม./ชม. ทำให้สามารถเข้าใจได้ว่าผู้ขับขี่เริ่มเบรกตรงเวลาและไม่ฝ่าฝืนกฎจราจรดังนั้นจึงมีการจำกัดความเร็วไว้บนป้าย

สิ่งนี้พิสูจน์ความสำคัญของความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์ ตัวอย่างของการแก้ปัญหานี้แสดงให้เห็นถึงการใช้แนวคิดนี้อย่างกว้างขวางในด้านต่างๆ ของชีวิต รวมถึงในสถานการณ์ประจำวันด้วย

อนุพันธ์ทางเศรษฐศาสตร์

จนถึงศตวรรษที่ 19 นักเศรษฐศาสตร์ส่วนใหญ่ดำเนินการโดยใช้ค่าเฉลี่ย ไม่ว่าจะเป็นผลิตภาพแรงงานหรือราคาของผลิตภัณฑ์ที่ผลิต แต่เมื่อถึงจุดหนึ่ง ค่าจำกัดก็จำเป็นมากขึ้นในการคาดการณ์ที่มีประสิทธิภาพในพื้นที่นี้ สิ่งเหล่านี้อาจรวมถึงค่าสาธารณูปโภคส่วนเพิ่ม รายได้ หรือต้นทุน การทำความเข้าใจสิ่งนี้เป็นแรงผลักดันให้เกิดการสร้างเครื่องมือใหม่ในการวิจัยทางเศรษฐศาสตร์ซึ่งมีอยู่และพัฒนามานานกว่าร้อยปี

ในการคำนวณดังกล่าว โดยที่แนวคิดดังกล่าวมีอิทธิพลเหนือค่าต่ำสุดและสูงสุด จำเป็นต้องเข้าใจความหมายทางเรขาคณิตและทางกายภาพของอนุพันธ์ ในบรรดาผู้สร้างพื้นฐานทางทฤษฎีของสาขาวิชาเหล่านี้ เราสามารถตั้งชื่อนักเศรษฐศาสตร์ชาวอังกฤษและออสเตรียที่มีชื่อเสียง เช่น W. S. Jevons, K. Menger และคนอื่นๆ ได้ แน่นอนว่าการใช้ค่าจำกัดในการคำนวณทางเศรษฐศาสตร์ไม่สะดวกเสมอไป และตัวอย่างเช่น รายงานรายไตรมาสไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับโครงการที่มีอยู่ แต่การนำทฤษฎีดังกล่าวไปประยุกต์ใช้ในหลายกรณีก็มีประโยชน์และมีประสิทธิภาพ

ลองพิจารณาเส้นตรงโดยพลการที่ผ่านจุดบนกราฟของฟังก์ชัน - จุด A(x 0,ฉ (x 0)) และตัดกราฟที่จุดใดจุดหนึ่ง B(x; ฉ(x )). เส้นตรงดังกล่าว (AB) เรียกว่าเส้นตัด จาก ∆ABC: ​​​​AC = ∆เอ็กซ์ ; ВС =∆у; tgβ =∆ y /∆ x .

ตั้งแต่ AC || Ox แล้ว Ð ALO = Ð BAC = β (สอดคล้องกันเมื่อขนานกัน) แต่Ð ALO คือมุมเอียงของเส้นตัด AB กับทิศทางบวกของแกน Ox วิธี, tgβ = k - สัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรง AB

ตอนนี้เราจะลด ∆х เช่น ∆х→ 0 ในกรณีนี้ จุด B จะเข้าใกล้จุด A ตามกราฟ และเส้นตัด AB จะหมุน ตำแหน่งจำกัดของเส้นตัด AB ที่ ∆х→ 0 จะเป็นเส้นตรง (ก ) เรียกว่าแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = f (x) ที่จุด A

หากเราไปถึงขีดจำกัดเป็น ∆x → 0 ในความเท่าเทียมกัน tg β =∆ y /∆ x แล้วเราจะได้

หรือ tg a = f "(x 0 ) เนื่องจาก
ก - มุมเอียงของแทนเจนต์กับทิศทางบวกของแกนวัว

ตามคำนิยามของอนุพันธ์ แต่จริงๆ แล้วก = k คือสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์ ซึ่งหมายถึง k = tgก = ฉ "(x 0 ).

ดังนั้น ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์จึงเป็นดังนี้:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด x 0 เท่ากับความชัน สัมผัสกันกับกราฟของฟังก์ชันที่วาด ณ จุดที่มีแอบซิสซา x 0

ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์

พิจารณาการเคลื่อนที่ของจุดตามแนวเส้นตรง ให้พิกัดของจุดได้รับเมื่อใดก็ได้ x(ต ). เป็นที่ทราบกันดี (จากหลักสูตรฟิสิกส์) ว่าความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาหนึ่ง [เสื้อ 0 ; เสื้อ 0 + ∆ เสื้อ ] เท่ากับอัตราส่วนของระยะทางที่เดินทางในช่วงเวลานี้ต่อเวลา กล่าวคือ

V โดย = ∆ x /∆ เสื้อ . ให้เราผ่านไปยังขีดจำกัดในความเสมอภาคสุดท้ายที่ ∆เสื้อ → 0

ลิม V av (t) = n (t 0 ) - ความเร็วทันทีในขณะนั้นเสื้อ 0 , ∆ เสื้อ → 0

และ lim = ∆ x /∆ t = x "(t 0 ) (ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์)

ดังนั้น n(t) = x"(t)

ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์มีดังนี้ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ย = ฉ( x) ณ จุดนั้นx 0 คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ฉ(x) ณ จุดนั้นx 0

อนุพันธ์นี้ใช้ในฟิสิกส์เพื่อค้นหาความเร็วจากฟังก์ชันที่ทราบของพิกัดเทียบกับเวลา ความเร่งจากฟังก์ชันที่ทราบของความเร็วเทียบกับเวลา

คุณ (t) = x "(t) - ความเร็ว

ก(ฉ) = n"(เสื้อ ) - การเร่งความเร็วหรือ

ก(เสื้อ) = x"(เสื้อ).

หากทราบกฎการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุในวงกลม เราสามารถหาความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุมระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุนได้:

φ = φ (เสื้อ ) - เปลี่ยนมุมตามเวลา

ω = φ "(ต ) - ความเร็วเชิงมุม,

ε = φ "(ต ) - ความเร่งเชิงมุมหรือε = φ "(t)

หากทราบกฎการกระจายมวลของแท่งที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน ก็จะสามารถหาความหนาแน่นเชิงเส้นของแท่งที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันได้:

ม. = ม. (x) - มวล

x О , ล. - ความยาวของแกน

พี = ม "(x) - ความหนาแน่นเชิงเส้น

เมื่อใช้อนุพันธ์ ปัญหาจากทฤษฎีความยืดหยุ่นและการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกจะได้รับการแก้ไข ดังนั้นตามกฎของฮุค

ฉ = - kx, x – พิกัดตัวแปรเค - ค่าสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นของสปริง วางω2 = k/m เราจะได้สมการเชิงอนุพันธ์ของลูกตุ้มสปริง x"(เสื้อ ) + ω 2 x(เสื้อ ) = 0,

โดยที่ ω = √ k /√ ม ความถี่การสั่น (แอล/ซี ), k - ความแข็งของสปริง (ชั่วโมง/นาที)

สมการของรูปแบบ y" +ω2y = 0 เรียกว่าสมการของการออสซิลเลชันฮาร์มอนิก (เครื่องกล ไฟฟ้า แม่เหล็กไฟฟ้า) การแก้สมการดังกล่าวคือฟังก์ชัน

y = Asin (ωt + φ 0) หรือ y = Acos (ωt + φ 0) โดยที่

A คือแอมพลิจูดของการแกว่งω - ความถี่วงจร

φ 0 - ระยะเริ่มแรก

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f (x) ที่จุด x0 คือขีด จำกัด (ถ้ามี) ของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่จุด x0 ต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ Δx หากการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มที่จะ ศูนย์และเขียนแทนด้วย f '(x0) การค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเรียกว่าการหาอนุพันธ์
อนุพันธ์ของฟังก์ชันมีความหมายทางกายภาพดังนี้ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนดคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์. อนุพันธ์ที่จุด x0 เท่ากับความชันของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ณ จุดนี้

ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์หากจุดเคลื่อนที่ไปตามแกน x และพิกัดของจุดเปลี่ยนแปลงไปตามกฎ x(t) ความเร็วขณะนั้นของจุดจะเป็น:

แนวคิดเรื่องดิฟเฟอเรนเชียล คุณสมบัติของมัน กฎของความแตกต่าง ตัวอย่าง.

คำนิยาม.ดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง x คือส่วนเชิงเส้นหลักของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น ส่วนต่างของฟังก์ชัน y = f(x) เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของมันและการเพิ่มขึ้นของตัวแปรอิสระ x ( การโต้แย้ง).

มันเขียนแบบนี้:

หรือ

หรือ


คุณสมบัติที่แตกต่าง
ส่วนต่างมีคุณสมบัติคล้ายกับอนุพันธ์:





ถึง กฎพื้นฐานของการสร้างความแตกต่างรวม:
1) วางตัวประกอบคงที่ไว้นอกเครื่องหมายของอนุพันธ์
2) อนุพันธ์ของผลรวม, อนุพันธ์ของผลต่าง
3) อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน
4) อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน (อนุพันธ์ของเศษส่วน)

ตัวอย่าง.
ให้เราพิสูจน์สูตร: ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์ที่เรามี:

ปัจจัยตามอำเภอใจสามารถนำไปเกินกว่าเครื่องหมายของการผ่านไปยังขีดจำกัดได้ (ซึ่งทราบจากคุณสมบัติของขีดจำกัด) ดังนั้น

ตัวอย่างเช่น:ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
สารละลาย:ลองใช้กฎการวางตัวคูณไว้นอกเครื่องหมายอนุพันธ์ :

บ่อยครั้งที่จำเป็นต้องทำให้รูปแบบของฟังก์ชันหาอนุพันธ์ง่ายขึ้นก่อนเพื่อใช้ตารางอนุพันธ์และกฎในการค้นหาอนุพันธ์ ตัวอย่างต่อไปนี้ยืนยันเรื่องนี้อย่างชัดเจน

สูตรสร้างความแตกต่าง การประยุกต์ส่วนต่างในการคำนวณโดยประมาณ ตัวอย่าง.

การใช้ส่วนต่างในการคำนวณโดยประมาณทำให้คุณสามารถใช้ส่วนต่างเพื่อประมาณค่าของฟังก์ชันได้
ตัวอย่าง.
ใช้ส่วนต่างคำนวณโดยประมาณ
ในการคำนวณค่านี้ เราใช้สูตรจากทฤษฎี
ให้เราแนะนำฟังก์ชันมาพิจารณาและแสดงค่าที่กำหนดในรูปแบบ
ถ้าอย่างนั้นมาคำนวณกันดีกว่า

ในที่สุดเราก็แทนทุกอย่างลงในสูตรได้
คำตอบ:

16. กฎของโลปิตาลในการเปิดเผยความไม่แน่นอนในรูปแบบ 0/0 หรือ ∞/∞ ตัวอย่าง.
ขีดจำกัดของอัตราส่วนของปริมาณที่น้อยอย่างไม่สิ้นสุดสองตัวหรือปริมาณที่มากอย่างไม่สิ้นสุดสองตัวจะเท่ากับขีดจำกัดของอัตราส่วนของอนุพันธ์ของพวกมัน

1)

17. การเพิ่มและลดฟังก์ชัน สุดขั้วของฟังก์ชัน อัลกอริทึมสำหรับศึกษาฟังก์ชันสำหรับความซ้ำซากจำเจและสุดขั้ว ตัวอย่าง.

การทำงาน เพิ่มขึ้นในช่วงเวลาหนึ่ง ถ้าจุดสองจุดใดๆ ของช่วงเวลานี้เชื่อมต่อกันด้วยความสัมพันธ์ อสมการจะเป็นจริง นั่นคือค่าที่มากขึ้นของอาร์กิวเมนต์จะสอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน และกราฟของมันจะเปลี่ยนจากล่างขึ้นบน ฟังก์ชั่นการสาธิตจะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา

ในทำนองเดียวกันฟังก์ชั่น ลดลงในช่วงเวลาหนึ่ง หากจุดสองจุดใดๆ ของช่วงเวลาที่กำหนด เช่นนั้น อสมการจะเป็นจริง นั่นคือค่าที่มากกว่าของอาร์กิวเมนต์จะสอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน และกราฟของมันจะไป "จากบนลงล่าง" ของเราลดลงเป็นระยะๆ ลดลงเป็นระยะๆ .

สุดขั้วจุดหนึ่งเรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชัน y=f(x) ถ้าความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับ x ทุกตัวที่อยู่ในบริเวณใกล้เคียง เรียกว่าค่าของฟังก์ชันที่จุดสูงสุด สูงสุดของฟังก์ชันและแสดงถึง
จุดหนึ่งเรียกว่าจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน y=f(x) ถ้าความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับ x ทุกตัวที่อยู่ในบริเวณใกล้เคียง เรียกว่าค่าของฟังก์ชันที่จุดต่ำสุด ฟังก์ชั่นขั้นต่ำและแสดงถึง
พื้นที่ใกล้เคียงของจุดหนึ่งๆ เข้าใจว่าเป็นช่วงเวลา โดยที่จำนวนบวกที่น้อยเพียงพอ
จุดต่ำสุดและสูงสุดเรียกว่าจุดสุดขีดและค่าฟังก์ชันที่ตรงกับจุดสุดขีดเรียกว่า สุดขั้วของฟังก์ชัน.

เพื่อสำรวจฟังก์ชั่น ถึงความน่าเบื่อให้ใช้โครงร่างต่อไปนี้:
- ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน
- ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและโดเมนของคำจำกัดความของอนุพันธ์
- ค้นหาศูนย์ของอนุพันธ์เช่น ค่าของอาร์กิวเมนต์ที่อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์
- บนเส้นตัวเลขให้ทำเครื่องหมายส่วนร่วมของโดเมนคำจำกัดความของฟังก์ชันและโดเมนของคำจำกัดความของอนุพันธ์ของมันและบนนั้น - เป็นศูนย์ของอนุพันธ์
- กำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ในแต่ละช่วงผลลัพธ์
- การใช้เครื่องหมายของอนุพันธ์ กำหนดว่าฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นในช่วงใดและลดลงเมื่อใด
- เขียนช่วงเวลาที่เหมาะสมโดยคั่นด้วยเครื่องหมายอัฒภาค

อัลกอริทึมสำหรับศึกษาฟังก์ชันต่อเนื่อง y = f(x) สำหรับความน่าเบื่อและสุดขั้ว:
1) ค้นหาอนุพันธ์ f ′(x)
2) ค้นหาจุดคงที่ (f ′(x) = 0) และจุดวิกฤต (ไม่มี f ′(x)) ของฟังก์ชัน y = f(x)
3) ทำเครื่องหมายจุดคงที่และจุดวิกฤตบนเส้นจำนวนและกำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ในช่วงเวลาผลลัพธ์
4) สรุปผลเกี่ยวกับความน่าเบื่อของฟังก์ชันและจุดปลายสุด

18. ความนูนของฟังก์ชัน จุดเปลี่ยน อัลกอริทึมสำหรับศึกษาฟังก์ชันสำหรับตัวอย่างความนูน (เว้า).

นูนลงบนช่วง X หากกราฟของมันอยู่ไม่ต่ำกว่าค่าแทนเจนต์ ณ จุดใด ๆ ของช่วง X

เรียกว่าฟังก์ชันที่จะแยกความแตกต่าง นูนขึ้นบนช่วง X ถ้ากราฟของมันอยู่ไม่สูงกว่าค่าแทนเจนต์ ณ จุดใดๆ ของช่วง X

สูตรจุดเรียกว่า จุดเปลี่ยนเว้าของกราฟฟังก์ชัน y=f(x) หาก ณ จุดที่กำหนด มีเส้นสัมผัสกันกับกราฟของฟังก์ชัน (สามารถขนานกับแกน Oy ได้) และมีพื้นที่ใกล้เคียงของจุดสูตรซึ่งอยู่ทางซ้ายและขวา ของจุด M กราฟของฟังก์ชันมีทิศทางความนูนต่างกัน

การหาช่วงเวลาของความนูน:

ถ้าฟังก์ชัน y=f(x) มีอนุพันธ์อันดับสองที่มีขอบเขตจำกัดในช่วง X และถ้าอสมการยังคงอยู่ () จากนั้นกราฟของฟังก์ชันจะมีความนูนพุ่งลง (ขึ้น) ที่ X
ทฤษฎีบทนี้ช่วยให้คุณค้นหาช่วงเว้าและความนูนของฟังก์ชันได้ คุณเพียงแค่ต้องแก้อสมการและในขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันดั้งเดิมตามลำดับ

ตัวอย่าง: ค้นหาช่วงเวลาที่กราฟของฟังก์ชัน ค้นหาช่วงเวลาที่กราฟของฟังก์ชัน มีความนูนชี้ขึ้นและนูนชี้ลง มีความนูนชี้ขึ้นและนูนชี้ลง
สารละลาย:ขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้คือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด
ลองหาอนุพันธ์อันดับสองกัน

โดเมนของคำจำกัดความของอนุพันธ์อันดับสองเกิดขึ้นพร้อมกับโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันดั้งเดิม ดังนั้นเพื่อหาช่วงเวลาของความเว้าและความนูนก็เพียงพอที่จะแก้ไขและตามลำดับ ดังนั้น ฟังก์ชันจะนูนขึ้นบนสูตรช่วงเวลา และนูนขึ้นบนสูตรช่วงเวลา

19) เส้นกำกับของฟังก์ชัน ตัวอย่าง.

เส้นตรงเรียกว่า เส้นกำกับแนวตั้งกราฟของฟังก์ชันหากค่าขีดจำกัดอย่างน้อยหนึ่งค่าเท่ากับ หรือ

ความคิดเห็นเส้นตรงไม่สามารถเป็นเส้นกำกับแนวตั้งได้หากฟังก์ชันต่อเนื่องกันที่จุดนั้น ดังนั้น ควรหาเส้นกำกับแนวตั้งที่จุดไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชัน

เส้นตรงเรียกว่า เส้นกำกับแนวนอนกราฟของฟังก์ชันถ้าค่าขีดจำกัดอย่างน้อยหนึ่งค่าหรือเท่ากับ

ความคิดเห็นกราฟของฟังก์ชันสามารถมีได้เพียงเส้นกำกับแนวนอนด้านขวาหรือด้านซ้ายเท่านั้น

เส้นตรงเรียกว่า เส้นกำกับเฉียงกราฟฟังก์ชันถ้า

ตัวอย่าง:

ออกกำลังกาย.ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน

สารละลาย.ขอบเขตฟังก์ชัน:

ก) เส้นกำกับแนวตั้ง: เส้นตรง - เส้นกำกับแนวตั้งตั้งแต่นั้นมา

b) เส้นกำกับแนวนอน: เราพบขีด จำกัด ของฟังก์ชันที่ระยะอนันต์:

นั่นคือไม่มีเส้นกำกับแนวนอน

c) เส้นกำกับเฉียง:

ดังนั้นเส้นกำกับเฉียงคือ:

คำตอบ.เส้นกำกับแนวตั้งจะเป็นเส้นตรง

เส้นกำกับเฉียงจะเป็นเส้นตรง

20) รูปแบบทั่วไปสำหรับการศึกษาฟังก์ชันและการพล็อตกราฟ ตัวอย่าง.

ก.
ค้นหา ODZ และจุดไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชัน

ข. ค้นหาจุดตัดของกราฟของฟังก์ชันด้วยแกนพิกัด

2. ศึกษาฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์อันดับ 1 ได้แก่ หาจุดปลายสุดของฟังก์ชันและช่วงของการเพิ่มขึ้นและลดลง

3. ตรวจสอบฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์อันดับสอง กล่าวคือ หาจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟฟังก์ชันและช่วงของความนูนและความเว้า

4. ค้นหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน: a) แนวตั้ง, b) เฉียง

5. จากการวิจัย ให้สร้างกราฟของฟังก์ชัน

โปรดทราบว่าก่อนจะพล็อตกราฟ จะมีประโยชน์ในการพิจารณาว่าฟังก์ชันที่กำหนดเป็นเลขคี่หรือคู่

โปรดจำไว้ว่าฟังก์ชันถูกเรียกใช้แม้ว่าการเปลี่ยนเครื่องหมายของอาร์กิวเมนต์จะไม่เปลี่ยนค่าของฟังก์ชัน: ฉ(-x) = ฉ(x)และฟังก์ชันเรียกว่าคี่ถ้า ฉ(-x) = -ฉ(x).

ในกรณีนี้ ก็เพียงพอที่จะศึกษาฟังก์ชันและสร้างกราฟสำหรับค่าบวกของอาร์กิวเมนต์ที่เป็นของ ODZ สำหรับค่าลบของอาร์กิวเมนต์กราฟจะเสร็จสมบูรณ์บนพื้นฐานว่าสำหรับฟังก์ชันคู่นั้นมีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน เฮ้ยและสำหรับคี่สัมพันธ์กับจุดกำเนิด

ตัวอย่าง.สำรวจฟังก์ชันและสร้างกราฟ

โดเมนฟังก์ชัน D(y)= (–∞; +∞)ไม่มีจุดแตกหัก

จุดตัดกับแกน วัว: x = 0,ย= 0.

ฟังก์ชันเป็นเลขคี่จึงศึกษาได้เฉพาะในช่วงเวลาเท่านั้น)