ถ้าอนุพันธ์เท่ากับศูนย์ แสดงว่าฟังก์ชันนั้น การประยุกต์อนุพันธ์ในการศึกษาฟังก์ชัน

งาน.

ฟังก์ชัน y=f(x) ถูกกำหนดไว้ในช่วงเวลา (-5; 6) รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ค้นหาระหว่างจุด x 1, x 2, ..., x 7 จุดเหล่านั้นที่อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เท่ากับศูนย์ ในการตอบสนองให้เขียนจำนวนคะแนนที่พบ

สารละลาย:

หลักการในการแก้ปัญหานี้คือ: มีพฤติกรรมที่เป็นไปได้สามประการของฟังก์ชันในช่วงเวลานี้:

1) เมื่อฟังก์ชันเพิ่มขึ้น (อนุพันธ์มีมากกว่าศูนย์)

2) เมื่อฟังก์ชันลดลง (โดยที่อนุพันธ์น้อยกว่าศูนย์)

3) เมื่อฟังก์ชันไม่เพิ่มหรือลดลง (โดยที่อนุพันธ์เป็นศูนย์หรือไม่มีอยู่)

เราสนใจตัวเลือกที่สาม

อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์โดยที่ฟังก์ชันราบรื่นและไม่มีอยู่ที่จุดพัก ลองดูที่จุดเหล่านี้ทั้งหมด

x 1 - ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น ซึ่งหมายถึงอนุพันธ์ f′(x) >0

x 2 - ฟังก์ชันใช้เวลาน้อยที่สุดและราบรื่น ซึ่งหมายถึงอนุพันธ์ f ′(x) = 0

x 3 - ฟังก์ชั่นใช้เวลาสูงสุด แต่เมื่อถึงจุดนี้มีการหยุดพักซึ่งหมายถึงอนุพันธ์ฉ ′(x) ไม่มีอยู่

x 4 - ฟังก์ชั่นใช้เวลาสูงสุด แต่เมื่อถึงจุดนี้มีการหยุดพักซึ่งหมายถึงอนุพันธ์ฉ ′(x) ไม่มีอยู่

x 5 - อนุพันธ์ f ′(x) = 0

x 6 - ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น ซึ่งหมายถึงอนุพันธ์ f'(x) >0

x 7 - ฟังก์ชั่นใช้เวลาน้อยที่สุดและราบรื่นซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์ f ′(x) = 0

เราเห็นแล้วว่า f ′(x) = 0 ที่จุด x 2, x 5 และ x 7 รวมเป็น 3 คะแนน

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นหนึ่งในหัวข้อที่ยากในหลักสูตรของโรงเรียน ไม่ใช่ผู้สำเร็จการศึกษาทุกคนจะตอบคำถามว่าอนุพันธ์คืออะไร

บทความนี้จะอธิบายอย่างเรียบง่ายและชัดเจนว่าอนุพันธ์คืออะไร และเหตุใดจึงต้องมี. ตอนนี้เราจะไม่มุ่งมั่นเพื่อความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ในการนำเสนอ สิ่งที่สำคัญที่สุดคือการเข้าใจความหมาย

จำคำจำกัดความ:

อนุพันธ์คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันทั้งสาม คุณคิดว่าอันไหนเติบโตเร็วกว่ากัน?

คำตอบนั้นชัดเจน - ข้อที่สาม มีอัตราการเปลี่ยนแปลงสูงสุด นั่นคือ อนุพันธ์ที่ใหญ่ที่สุด

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง

Kostya, Grisha และ Matvey ได้งานในเวลาเดียวกัน มาดูกันว่ารายได้ของพวกเขาเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรในระหว่างปี:

กราฟแสดงทุกอย่างพร้อมกันใช่ไหม? รายได้ของ Kostya เพิ่มขึ้นกว่าสองเท่าในช่วงหกเดือน และรายได้ของ Grisha ก็เพิ่มขึ้นเช่นกันแต่เพียงเล็กน้อย และรายได้ของ Matvey ก็ลดลงเหลือศูนย์ เงื่อนไขการเริ่มต้นจะเหมือนกัน แต่อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันก็คือ อนุพันธ์, - แตกต่าง. สำหรับ Matvey โดยทั่วไปอนุพันธ์ของรายได้ของเขาจะเป็นลบ

โดยสัญชาตญาณ เราสามารถประมาณอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันได้อย่างง่ายดาย แต่เราจะทำอย่างไร?

สิ่งที่เรากำลังดูอยู่จริงๆ คือกราฟของฟังก์ชันจะขึ้น (หรือลง) ชันแค่ไหน กล่าวอีกนัยหนึ่ง y เปลี่ยนเร็วแค่ไหนเมื่อ x เปลี่ยน? แน่นอนว่าฟังก์ชันเดียวกันที่จุดต่างกันสามารถมีค่าอนุพันธ์ต่างกันได้ กล่าวคือ สามารถเปลี่ยนเร็วขึ้นหรือช้าลงได้

อนุพันธ์ของฟังก์ชันแสดงไว้

เราจะแสดงวิธีค้นหาโดยใช้กราฟ

มีการวาดกราฟของฟังก์ชันบางอย่างแล้ว มาดูประเด็นที่มีแอบซิสซากัน ให้เราวาดแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ เราต้องการประมาณว่ากราฟของฟังก์ชันเพิ่มขึ้นชันเพียงใด ความคุ้มค่าที่สะดวกสำหรับสิ่งนี้คือ แทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์.

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งจะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์ที่ลากไปยังกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนี้

โปรดทราบว่าเนื่องจากมุมเอียงของแทนเจนต์ เราจะใช้มุมระหว่างแทนเจนต์กับทิศทางบวกของแกน

บางครั้งนักเรียนถามว่าค่าแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันคืออะไร นี่คือเส้นตรงที่มีจุดร่วมจุดเดียวกับกราฟในส่วนนี้ และดังแสดงในรูปของเรา ดูเหมือนเส้นสัมผัสกันของวงกลม

มาหากันเถอะ เราจำได้ว่าค่าแทนเจนต์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด จากรูปสามเหลี่ยม:

เราพบอนุพันธ์โดยใช้กราฟโดยไม่รู้สูตรของฟังก์ชันด้วยซ้ำ ปัญหาดังกล่าวมักพบในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ตามหมายเลข

มีความสัมพันธ์ที่สำคัญอีกอย่างหนึ่ง จำได้ว่าเส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ

ปริมาณในสมการนี้เรียกว่า ความชันของเส้นตรง. มันเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นตรงกับแกน

.

เราเข้าใจแล้ว

เรามาจำสูตรนี้กัน เป็นการแสดงออกถึงความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งจะเท่ากับความชันของแทนเจนต์ที่ลากไปยังกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้น

กล่าวอีกนัยหนึ่ง อนุพันธ์จะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์

เราได้บอกไปแล้วว่าฟังก์ชันเดียวกันสามารถมีอนุพันธ์ต่างกันที่จุดต่างกันได้ เรามาดูกันว่าอนุพันธ์เกี่ยวข้องกับพฤติกรรมของฟังก์ชันอย่างไร

ลองวาดกราฟของฟังก์ชันบางอย่างกัน ปล่อยให้ฟังก์ชันนี้เพิ่มขึ้นในบางพื้นที่และลดในบางพื้นที่และในอัตราที่ต่างกัน และให้ฟังก์ชันนี้มีจุดสูงสุดและต่ำสุด

เมื่อถึงจุดหนึ่งฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น แทนเจนต์ของกราฟที่วาดที่จุดทำให้เกิดมุมแหลม โดยมีทิศทางแกนบวก ซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์ ณ จุดนั้นเป็นบวก

เมื่อถึงจุดที่ฟังก์ชันของเราลดลง แทนเจนต์ ณ จุดนี้ก่อให้เกิดมุมป้าน โดยมีทิศทางแกนบวก เนื่องจากแทนเจนต์ของมุมป้านเป็นลบ อนุพันธ์ ณ จุดนั้นจึงเป็นลบ

นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น:

หากฟังก์ชันเพิ่มขึ้น อนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเป็นค่าบวก

ถ้ามันลดลง อนุพันธ์ของมันจะเป็นลบ

จะเกิดอะไรขึ้นที่จุดสูงสุดและต่ำสุด? เราจะเห็นว่าที่จุด (จุดสูงสุด) และ (จุดต่ำสุด) เส้นสัมผัสกันเป็นแนวนอน ดังนั้นแทนเจนต์ของแทนเจนต์ที่จุดเหล่านี้จึงเป็นศูนย์ และอนุพันธ์ก็เป็นศูนย์เช่นกัน

จุด - จุดสูงสุด ณ จุดนี้ การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันจะถูกแทนที่ด้วยการลดลง ดังนั้น เครื่องหมายของอนุพันธ์จึงเปลี่ยน ณ จุดจาก "บวก" เป็น "ลบ"

ณ จุด - จุดต่ำสุด - อนุพันธ์ก็เป็นศูนย์เช่นกัน แต่เครื่องหมายเปลี่ยนจาก "ลบ" เป็น "บวก"

สรุป: การใช้อนุพันธ์ทำให้เราสามารถค้นหาทุกสิ่งที่เราสนใจเกี่ยวกับพฤติกรรมของฟังก์ชัน

หากอนุพันธ์เป็นบวก ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น

ถ้าอนุพันธ์เป็นลบ ฟังก์ชันจะลดลง

ที่จุดสูงสุด อนุพันธ์จะเป็นศูนย์และเปลี่ยนเครื่องหมายจาก "บวก" เป็น "ลบ"

ที่จุดต่ำสุด อนุพันธ์ยังเป็นศูนย์และเปลี่ยนเครื่องหมายจาก "ลบ" เป็น "บวก"

มาเขียนข้อสรุปเหล่านี้ในรูปแบบของตาราง:

	เพิ่มขึ้น	จุดสูงสุด	ลดลง	จุดต่ำสุด	เพิ่มขึ้น
+	0	-	0	+

ขอชี้แจงเล็กๆ น้อยๆ สองเรื่อง คุณจะต้องมีหนึ่งในนั้นเมื่อแก้ไขปัญหา อีกอย่างคือในปีแรกที่มีการศึกษาฟังก์ชันและอนุพันธ์อย่างจริงจังมากขึ้น

เป็นไปได้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่งจะเท่ากับศูนย์ แต่ฟังก์ชันนั้นไม่มีค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด ณ จุดนี้ นี่คือสิ่งที่เรียกว่า :

ณ จุดหนึ่ง เส้นสัมผัสของกราฟจะเป็นแนวนอนและอนุพันธ์เป็นศูนย์ อย่างไรก็ตาม ก่อนถึงจุด ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น - และหลังจากจุดนั้น ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นต่อไป เครื่องหมายของอนุพันธ์ไม่เปลี่ยนแปลง แต่ยังคงเป็นบวกเหมือนเดิม

นอกจากนี้ยังเกิดขึ้นว่า ณ จุดสูงสุดหรือต่ำสุดไม่มีอนุพันธ์อยู่ บนกราฟ สิ่งนี้สอดคล้องกับการหักกะทันหัน เมื่อไม่สามารถวาดเส้นสัมผัสกัน ณ จุดที่กำหนดได้

จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไรถ้าฟังก์ชันไม่ได้ถูกกำหนดโดยกราฟ แต่ถูกกำหนดโดยสูตร? ในกรณีนี้จะใช้ได้

ความต่อเนื่องและความแตกต่างของฟังก์ชัน

ทฤษฎีบทของดาร์บูซ์ . ช่วงเวลาของความน่าเบื่อ

จุดวิกฤติ . สุดขีด (ขั้นต่ำ, ขีดสุด).

การออกแบบการศึกษาฟังก์ชั่น

ความสัมพันธ์ระหว่างความต่อเนื่องและความสามารถในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ถ้าฟังก์ชัน f(x)สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง แล้วมันจะต่อเนื่องที่จุดนั้น สิ่งที่ตรงกันข้ามไม่เป็นความจริง: ฟังก์ชันต่อเนื่องอาจไม่มีอนุพันธ์

ภาพประกอบ. หากฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง ณ จุดใดจุดหนึ่ง มันไม่มีอนุพันธ์ ณ จุดนี้

สัญญาณที่เพียงพอของความน่าเบื่อหน่ายของฟังก์ชัน

ถ้าฉ’(x) > 0 ในแต่ละจุดของช่วงเวลา (ก, ข), แล้วฟังก์ชัน f (x)เพิ่มขึ้นในช่วงเวลานี้

ถ้าฉ’(x) < 0 ในแต่ละจุดของช่วงเวลา (ก, ข) แล้วฟังก์ชัน f(x)ลดลง ในช่วงเวลานี้

ทฤษฎีบทของดาร์บูซ์ จุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็น 0หรือไม่มีอยู่ ให้แบ่งโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันออกเป็นระยะที่อนุพันธ์ยังคงมีเครื่องหมายอยู่

เราสามารถหาช่วงเวลาเหล่านี้ได้ ช่วงเวลาของความน่าเบื่อฟังก์ชั่นต่างๆ ซึ่งมีความสำคัญมากเมื่อทำการศึกษา

ดังนั้น ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา (- , 0) และ ( 1, + ) และลดลงตามช่วงเวลา ( 0, 1) จุด x= 0 ไม่รวมอยู่ในโดเมนคำจำกัดความของฟังก์ชัน แต่เมื่อเราเข้าใกล้มากขึ้นx k0 เทอม x - 2 เพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนด ดังนั้นฟังก์ชันจึงเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนดเช่นกัน ตรงจุดx= 1 ค่าของฟังก์ชันคือ 3 จากการวิเคราะห์นี้ เราสามารถโพสต์ได้กราฟฟังก์ชัน (รูปที่ 4 ข ) .

จุดวิกฤติ จุดภายในของโดเมนฟังก์ชันซึ่งใน อนุพันธ์ก็เท่ากับเป็นโมฆะหรือไม่มีอยู่ ถูกเรียกว่า วิกฤต จุดฟังก์ชั่นนี้ จุดเหล่านี้มีความสำคัญมากในการวิเคราะห์ฟังก์ชันและวาดกราฟ เนื่องจากฟังก์ชันจะมีเฉพาะที่จุดเหล่านี้เท่านั้น สุดขั้ว (ขั้นต่ำ หรือ ขีดสุด , รูปที่ 5 ก,ข).

ตามจุดต่างๆ x 1 , x 2 (รูปที่ 5 ก) และ x 3 (รูปที่ 5 ข) อนุพันธ์คือ 0; ที่จุด x 1 , x 2 (รูปที่ 5 ข) ไม่มีอนุพันธ์ แต่ล้วนเป็นจุดสุดโต่ง

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับภาวะสุดขั้ว ถ้า x 0 - จุดปลายสุดของฟังก์ชันฉ(x) และอนุพันธ์ f’ มีอยู่ ณ จุดนี้ แล้ว f’(x 0)= 0.

ทฤษฎีบทนี้คือ จำเป็นสภาพสุดขีด ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่งเป็น 0นั่นไม่ได้หมายความว่าอย่างนั้น ฟังก์ชันนี้มีจุดสิ้นสุด ณ จุดนี้ เช่น อนุพันธ์ของฟังก์ชันฉ (x) = x 3 เท่ากับ 0 ที่ x= 0 แต่ฟังก์ชันนี้ไม่มีจุดสิ้นสุด ณ จุดนี้ (รูปที่ 6)

ในทางกลับกันฟังก์ชั่นย = | x| แสดงในรูปที่ 3 มีจุดต่ำสุดx= 0 แต่ ณ จุดนี้อนุพันธ์ไม่มีอยู่จริง

เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับสุดขั้ว

ถ้าอนุพันธ์เมื่อผ่านจุด x 0 ก็เปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบแล้ว x 0 - จุดสูงสุด

ถ้าอนุพันธ์เมื่อผ่านจุด x 0 เปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวก แล้ว x 0 - จุดต่ำสุด

การออกแบบการศึกษาฟังก์ชั่น ในการพล็อตกราฟฟังก์ชันที่คุณต้องการ:

1) ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความและช่วงของค่าของฟังก์ชัน

2) ตรวจสอบว่าฟังก์ชันเป็นเลขคู่หรือคี่

3) ตรวจสอบว่าฟังก์ชันเป็นระยะหรือไม่

4) ค้นหาศูนย์ของฟังก์ชันและค่าของมันที่x = 0,

5) ค้นหาช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่

6) ค้นหาช่วงเวลาของความน่าเบื่อ

7) ค้นหาจุดสุดขีดและค่าฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้

8) วิเคราะห์พฤติกรรมของฟังก์ชันใกล้กับจุด "เอกพจน์"

และมีค่าโมดูลัสสูงx .

ตัวอย่าง สำรวจคุณสมบัติฉ(x) = x 3 + 2 x 2 - x- 2 และวาดกราฟ

สารละลาย เรามาศึกษาฟังก์ชันตามรูปแบบข้างต้นกัน

1) โดเมนxร (x– จริงใด ๆตัวเลข);

ช่วงของค่ายร , เพราะ ฉ (x) – พหุนามคี่

องศา;

2) ฟังก์ชั่น ฉ (x) ไม่เป็นคู่หรือคี่

(โปรดชี้แจง);

3) ฉ (x) เป็นฟังก์ชันที่ไม่เป็นคาบ (พิสูจน์ด้วยตัวเอง)

4) กราฟของฟังก์ชันตัดกับแกนยที่จุด (0, – 2)

เพราะ ฉ (0) = - 2 ; เพื่อค้นหาศูนย์ของฟังก์ชันที่คุณต้องการ

แก้สมการ:x 3 + 2 x 2 - x - 2 = 0 หนึ่งในราก

ที่ ( x= 1) ชัดเจน ส่วนรากอื่นๆก็มี

(ถ้าเป็น! ) จากการแก้สมการกำลังสอง:

x 2 + 3 x+ 2 = 0 ซึ่งได้มาจากการหารพหุนาม

x 3 + 2 x 2 - x- 2 ต่อทวินาม ( x- 1) ง่ายต่อการตรวจสอบ

อีกสองรากคืออะไร:x 2 = - 2 และ x 3 = - 1 ดังนั้น

ค่าศูนย์ของฟังก์ชันคือ: - 2, - 1 และ 1

5) ซึ่งหมายความว่าแกนจำนวนจะถูกหารด้วยรากเหล่านี้ด้วย

สี่ช่วงของความคงตัวของเครื่องหมาย ซึ่งภายในนั้น

ฟังก์ชั่นยังคงมีเครื่องหมาย:

ผลลัพธ์นี้สามารถได้รับโดยการขยาย

พหุนามเป็นปัจจัย:

x 3 + 2 x 2 - x - 2 = (x + 2) (x + 1 (x – 1)

และการประเมินผลงานป้าย .

6) อนุพันธ์ ฉ' (x) = 3 x 2 + 4 x- 1 ไม่มีจุดไหนเลย

มันไม่มีอยู่จริง ดังนั้นขอบเขตของคำจำกัดความจึงเป็นร (ทั้งหมด

จำนวนจริง); ศูนย์ฉ' (x) คือรากของสมการ:

3 x 2 + 4 x- 1 = 0 .

ผลลัพธ์ที่ได้สรุปไว้ในตาราง:

เมื่อแก้ไขปัญหาต่างๆ ในด้านเรขาคณิต กลศาสตร์ ฟิสิกส์ และความรู้สาขาอื่นๆ ความต้องการเกิดขึ้นโดยใช้กระบวนการวิเคราะห์เดียวกันจากฟังก์ชันนี้ y=ฉ(x)รับฟังก์ชั่นใหม่ที่เรียกว่า ฟังก์ชันอนุพันธ์(หรือเพียงแค่ อนุพันธ์) ของฟังก์ชันที่กำหนด f(x)และถูกกำหนดด้วยสัญลักษณ์

กระบวนการที่มาจากฟังก์ชันที่กำหนด ฉ(x)รับคุณสมบัติใหม่ ฉ" (x), เรียกว่า ความแตกต่างและประกอบด้วย 3 ขั้นตอนดังนี้ 1) ให้ข้อโต้แย้ง xเพิ่มขึ้น  xและกำหนดส่วนเพิ่มที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน  y = ฉ(x+ x) -ฉ(x); 2) สร้างความสัมพันธ์

3) การนับ xคงที่และ  x0, เราหาได้
ซึ่งเราแสดงโดย ฉ" (x)ราวกับว่าเน้นว่าฟังก์ชันผลลัพธ์นั้นขึ้นอยู่กับค่าเท่านั้น xซึ่งเราไปถึงขีดจำกัดแล้ว คำนิยาม: อนุพันธ์ y " =f " (x) ฟังก์ชันที่กำหนด y=f(x) สำหรับ x ที่กำหนดเรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ โดยมีเงื่อนไขว่าการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ ถ้าแน่นอน มีขีดจำกัดนี้อยู่ เช่น มีจำกัด ดังนั้น,
, หรือ

โปรดทราบว่าหากมีค่าบางอย่าง xเช่น เมื่อใด x=ก, ทัศนคติ
ที่  x0 ไม่มีแนวโน้มไปที่ขีดจำกัดอันจำกัด ในกรณีนี้ เขาจะบอกว่าฟังก์ชันนั้น ฉ(x)ที่ x=ก(หรือตรงจุด. x=ก) ไม่มีอนุพันธ์หรือหาอนุพันธ์ ณ จุดนั้นไม่ได้ x=ก.

2. ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

พิจารณากราฟของฟังก์ชัน y = f (x) ซึ่งหาอนุพันธ์ได้ในบริเวณใกล้กับจุด x 0

ฉ(x)

ลองพิจารณาเส้นตรงใดๆ ที่ผ่านจุดบนกราฟของฟังก์ชัน - จุด A(x 0, f (x 0)) และตัดกราฟที่จุดใดจุดหนึ่ง B(x;f(x)) เส้นตรงดังกล่าว (AB) เรียกว่าเส้นตัด จาก ∆ABC: ​​​​AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x

ตั้งแต่ AC || Ox แล้ว ALO = BAC = β (สอดคล้องกับขนาน) แต่ ALO คือมุมเอียงของเส้นตัด AB กับทิศทางบวกของแกน Ox ซึ่งหมายความว่า tanβ = k คือความชันของเส้นตรง AB

ตอนนี้เราจะลด ∆х เช่น ∆х→ 0 ในกรณีนี้ จุด B จะเข้าใกล้จุด A ตามกราฟ และเส้นตัด AB จะหมุน ตำแหน่งจำกัดของเส้นตัด AB ที่ ∆x→ 0 จะเป็นเส้นตรง (a) เรียกว่าแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = f (x) ที่จุด A

ถ้าเราไปถึงขีดจำกัดเป็น ∆x → 0 ในความเท่าเทียมกัน tgβ =∆y/∆x เราจะได้
ortg =f "(x 0) เนื่องจาก
-มุมเอียงของแทนเจนต์กับทิศทางบวกของแกน Ox
ตามคำนิยามของอนุพันธ์ แต่ tg = k คือสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์ซึ่งหมายถึง k = tg = f "(x 0)

ดังนั้น ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์จึงเป็นดังนี้:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด x 0 เท่ากับความชันของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่วาดที่จุดด้วย abscissa x 0 .

3. ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์

พิจารณาการเคลื่อนที่ของจุดตามแนวเส้นตรง ให้พิกัดของจุด ณ เวลาใดก็ได้ x(t) เป็นที่ทราบกันดี (จากหลักสูตรฟิสิกส์) ว่าความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาหนึ่งเท่ากับอัตราส่วนของระยะทางที่เดินทางในช่วงเวลานี้ต่อเวลา กล่าวคือ

วาฟ = ∆x/∆t ไปที่ขีดจำกัดของความเสมอภาคสุดท้ายด้วย ∆t → 0

lim Vav (t) = (t 0) - ความเร็วทันทีที่เวลา t 0, ∆t → 0

และ lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์)

ดังนั้น (t) =x"(t)

ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์มีดังนี้ อนุพันธ์ของฟังก์ชันย = ฉ(x) ณ จุดนั้นx 0 คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันฉ(x) ณ จุดนั้นx 0

อนุพันธ์นี้ใช้ในฟิสิกส์เพื่อค้นหาความเร็วจากฟังก์ชันที่ทราบของพิกัดเทียบกับเวลา ความเร่งจากฟังก์ชันที่ทราบของความเร็วเทียบกับเวลา

(t) = x"(t) - ความเร็ว

a(f) = "(t) - ความเร่งหรือ

หากทราบกฎการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุในวงกลม เราสามารถหาความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุมระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุนได้:

φ = φ(t) - การเปลี่ยนแปลงมุมเมื่อเวลาผ่านไป

ω = φ"(t) - ความเร็วเชิงมุม

ε = φ"(t) - ความเร่งเชิงมุมหรือ ε = φ"(t)

หากทราบกฎการกระจายมวลของแท่งที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน ก็จะสามารถหาความหนาแน่นเชิงเส้นของแท่งที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันได้:

ม. = ม.(x) - มวล

x  , ล. - ความยาวของไม้เรียว

p = m"(x) - ความหนาแน่นเชิงเส้น

เมื่อใช้อนุพันธ์ ปัญหาจากทฤษฎีความยืดหยุ่นและการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกจะได้รับการแก้ไข ดังนั้นตามกฎของฮุค

F = -kx, x – พิกัดตัวแปร, k – สัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นของสปริง เมื่อ ω 2 =k/m เราจะได้สมการเชิงอนุพันธ์ของลูกตุ้มสปริง x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

โดยที่ ω = √k/√m ความถี่การสั่น (l/c), k คือความแข็งของสปริง (H/m)

สมการของรูปแบบ y" + ω 2 y = 0 เรียกว่าสมการของการออสซิลเลชันฮาร์มอนิก (เครื่องกล, ไฟฟ้า, แม่เหล็กไฟฟ้า) วิธีแก้สมการดังกล่าวคือฟังก์ชัน

y = Asin(ωt + φ 0) หรือ y = Acos(ωt + φ 0) โดยที่

เอ - แอมพลิจูดของการแกว่ง, ω - ความถี่ไซคลิก

φ 0 - เฟสเริ่มต้น

ปัญหา B9 ให้กราฟของฟังก์ชันหรืออนุพันธ์ที่คุณต้องการหาปริมาณใดปริมาณหนึ่งต่อไปนี้:

1. มูลค่าของอนุพันธ์ ณ จุดใดจุดหนึ่ง x 0
2. คะแนนสูงสุดหรือต่ำสุด (คะแนนสุดขีด)
3. ช่วงของฟังก์ชันการเพิ่มและลด (ช่วงของความน่าเบื่อ)

ฟังก์ชันและอนุพันธ์ที่นำเสนอในปัญหานี้มีความต่อเนื่องกันอยู่เสมอ ทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นมาก แม้ว่างานนี้จะอยู่ในส่วนของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ แต่แม้แต่นักเรียนที่อ่อนแอที่สุดก็สามารถทำได้ เนื่องจากไม่จำเป็นต้องมีความรู้เชิงทฤษฎีเชิงลึกที่นี่

ในการค้นหาค่าของอนุพันธ์ จุดสุดขั้ว และช่วงความซ้ำซ้อน มีอัลกอริธึมที่ง่ายและเป็นสากล - ทั้งหมดนี้จะกล่าวถึงด้านล่าง

อ่านเงื่อนไขของปัญหา B9 อย่างละเอียดเพื่อหลีกเลี่ยงการทำผิดพลาดโง่ๆ: บางครั้งคุณอาจเจอข้อความที่ค่อนข้างยาว แต่มีเงื่อนไขสำคัญบางประการที่ส่งผลต่อแนวทางการแก้ปัญหา

การคำนวณมูลค่าอนุพันธ์ วิธีสองจุด

หากปัญหาได้รับกราฟของฟังก์ชัน f(x) แทนเจนต์กับกราฟนี้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง x 0 และจำเป็นต้องค้นหาค่าของอนุพันธ์ ณ จุดนี้ อัลกอริทึมต่อไปนี้จะถูกนำมาใช้:

1. ค้นหาจุด "เพียงพอ" สองจุดบนกราฟแทนเจนต์: พิกัดของมันต้องเป็นจำนวนเต็ม ลองแสดงจุดเหล่านี้เป็น A (x 1 ; y 1) และ B (x 2 ; y 2) จดพิกัดให้ถูกต้อง - นี่คือประเด็นสำคัญในการแก้ปัญหา และข้อผิดพลาดใดๆ ที่จะนำไปสู่คำตอบที่ไม่ถูกต้อง
2. เมื่อรู้พิกัดแล้ว ง่ายต่อการคำนวณการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ Δx = x 2 − x 1 และการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน Δy = y 2 − y 1 .
3. ในที่สุด เราก็พบค่าของอนุพันธ์ D = Δy/Δx กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณต้องหารการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันด้วยการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ และนี่จะเป็นคำตอบ

โปรดทราบอีกครั้ง: จะต้องค้นหาจุด A และ B บนเส้นสัมผัสกันอย่างแม่นยำ ไม่ใช่บนกราฟของฟังก์ชัน f(x) ดังที่มักเกิดขึ้น เส้นสัมผัสกันจะต้องมีจุดดังกล่าวอย่างน้อยสองจุด มิฉะนั้นโจทย์จะกำหนดไม่ถูกต้อง

พิจารณาจุด A (−3; 2) และ B (−1; 6) และค้นหาส่วนเพิ่ม:
∆x = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4

มาหาค่าของอนุพันธ์กันดีกว่า: D = Δy/Δx = 4/2 = 2

งาน. รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) และแทนเจนต์ของฟังก์ชันที่จุดที่มี abscissa x 0 ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x 0 .

พิจารณาจุด A (0; 3) และ B (3; 0) ค้นหาส่วนเพิ่ม:
∆x = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3

ตอนนี้เราพบค่าของอนุพันธ์แล้ว: D = Δy/Δx = −3/3 = −1

งาน. รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) และแทนเจนต์ของฟังก์ชันที่จุดที่มี abscissa x 0 ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x 0 .

พิจารณาจุด A (0; 2) และ B (5; 2) และค้นหาส่วนเพิ่ม:
∆x = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0

ยังคงต้องค้นหาค่าของอนุพันธ์: D = Δy/Δx = 0/5 = 0

จากตัวอย่างสุดท้าย เราสามารถกำหนดกฎได้: ถ้าแทนเจนต์ขนานกับแกน OX อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดแทนเจนต์จะเป็นศูนย์ ในกรณีนี้ คุณไม่จำเป็นต้องนับอะไรเลย เพียงแค่ดูกราฟ

การคำนวณคะแนนสูงสุดและต่ำสุด

บางครั้ง แทนที่จะเป็นกราฟของฟังก์ชัน ปัญหา B9 จะให้กราฟของอนุพันธ์ และจำเป็นต้องค้นหาจุดสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชัน ในสถานการณ์นี้ วิธีสองจุดไม่มีประโยชน์ แต่มีอัลกอริธึมอื่นที่ง่ายกว่าด้วยซ้ำ ขั้นแรก เรามากำหนดคำศัพท์กันก่อน:

1. จุด x 0 เรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชัน f(x) หากในย่านใกล้เคียงของจุดนี้มีความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: f(x 0) ≥ f(x)
2. จุด x 0 เรียกว่าจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน f(x) หากในย่านใกล้เคียงของจุดนี้มีความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: f(x 0) ≤ f(x)

หากต้องการค้นหาจุดสูงสุดและต่ำสุดจากกราฟอนุพันธ์ ให้ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

1. เขียนกราฟอนุพันธ์ใหม่ โดยลบข้อมูลที่ไม่จำเป็นออกทั้งหมด ตามที่แสดงในทางปฏิบัติ ข้อมูลที่ไม่จำเป็นจะรบกวนการตัดสินใจเท่านั้น ดังนั้นเราจึงทำเครื่องหมายศูนย์ของอนุพันธ์บนแกนพิกัด - เท่านี้ก็เรียบร้อย
2. ค้นหาสัญญาณของอนุพันธ์ในช่วงเวลาระหว่างศูนย์ ถ้าในบางจุด x 0 ทราบว่า f'(x 0) ≠ 0 แสดงว่าเป็นไปได้เพียงสองตัวเลือกเท่านั้น: f'(x 0) ≥ 0 หรือ f'(x 0) ≤ 0 เครื่องหมายของอนุพันธ์คือ ระบุได้ง่ายจากภาพวาดต้นฉบับ: หากกราฟอนุพันธ์อยู่เหนือแกน OX ดังนั้น f'(x) ≥ 0 และในทางกลับกัน หากกราฟอนุพันธ์อยู่ใต้แกน OX ดังนั้น f'(x) ≤ 0
3. เราตรวจสอบศูนย์และสัญญาณของอนุพันธ์อีกครั้ง โดยที่เครื่องหมายเปลี่ยนจากลบเป็นบวกคือจุดต่ำสุด ในทางกลับกัน หากเครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ นี่คือจุดสูงสุด การนับจะทำจากซ้ายไปขวาเสมอ

รูปแบบนี้ใช้ได้กับฟังก์ชันต่อเนื่องเท่านั้น ไม่มีฟังก์ชันอื่นในปัญหา B9

งาน. รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนดในช่วงเวลา [−5; 5]. ค้นหาจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน f(x) บนส่วนนี้

กำจัดข้อมูลที่ไม่จำเป็นออกไปและเหลือเพียงขอบเขต [−5; 5] และศูนย์ของอนุพันธ์ x = −3 และ x = 2.5 เรายังสังเกตสัญญาณ:

แน่นอนว่า ณ จุด x = −3 เครื่องหมายของอนุพันธ์จะเปลี่ยนจากลบเป็นบวก นี่คือจุดต่ำสุด

งาน. รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนดในช่วงเวลา [−3; 7]. ค้นหาจุดสูงสุดของฟังก์ชัน f(x) บนส่วนนี้

ลองวาดกราฟใหม่โดยเหลือเพียงขอบเขต [−3; 7] และศูนย์ของอนุพันธ์ x = −1.7 และ x = 5 ให้เราสังเกตสัญญาณของอนุพันธ์บนกราฟผลลัพธ์ เรามี:

เห็นได้ชัดว่า ณ จุด x = 5 เครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ - นี่คือจุดสูงสุด

งาน. รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ซึ่งกำหนดบนช่วง [−6; 4]. ค้นหาจำนวนจุดสูงสุดของฟังก์ชัน f(x) ที่อยู่ในเซกเมนต์ [−4; 3].

จากเงื่อนไขของปัญหา เป็นไปตามว่าเพียงพอที่จะพิจารณาเฉพาะส่วนของกราฟที่ถูกจำกัดโดยเซ็กเมนต์ [−4; 3]. ดังนั้นเราจึงสร้างกราฟใหม่โดยทำเครื่องหมายเฉพาะขอบเขต [−4; 3] และศูนย์ของอนุพันธ์ข้างใน กล่าวคือ คะแนน x = −3.5 และ x = 2 เราได้รับ:

บนกราฟนี้มีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียว x = 2 ณ จุดนี้เองที่เครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ

หมายเหตุเล็กๆ น้อยๆ เกี่ยวกับจุดที่มีพิกัดที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น ในโจทย์ข้อสุดท้ายถือว่าจุด x = −3.5 แต่ด้วยความสำเร็จแบบเดียวกัน เราจึงได้ x = −3.4 หากรวบรวมปัญหาอย่างถูกต้องการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวไม่ควรส่งผลกระทบต่อคำตอบเนื่องจากคะแนน "ไม่มีที่อยู่อาศัยที่แน่นอน" ไม่ได้มีส่วนร่วมในการแก้ไขปัญหาโดยตรง แน่นอนว่าเคล็ดลับนี้ใช้ไม่ได้กับจำนวนเต็ม

การหาช่วงเวลาของฟังก์ชันเพิ่มและลด

ในปัญหาดังกล่าว เช่น จุดสูงสุดและต่ำสุด ขอเสนอให้ใช้กราฟอนุพันธ์เพื่อค้นหาพื้นที่ที่ฟังก์ชันนั้นเพิ่มขึ้นหรือลดลง ก่อนอื่น เรามานิยามกันก่อนว่าอะไรเพิ่มขึ้นและลดลง:

1. ฟังก์ชัน f(x) กล่าวกันว่าเพิ่มขึ้นบนเซ็กเมนต์ ถ้าจุดสองจุดใดๆ x 1 และ x 2 จากเซ็กเมนต์นี้ ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . กล่าวอีกนัยหนึ่ง ยิ่งค่าอาร์กิวเมนต์มากขึ้น ค่าฟังก์ชันก็จะยิ่งมากขึ้นตามไปด้วย
2. ฟังก์ชัน f(x) เรียกว่าการลดลงบนเซ็กเมนต์ ถ้าจุดสองจุดใดๆ x 1 และ x 2 จากเซ็กเมนต์นี้ ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) เหล่านั้น. ค่าอาร์กิวเมนต์ที่ใหญ่กว่าจะสอดคล้องกับค่าฟังก์ชันที่น้อยกว่า

ให้เรากำหนดเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการเพิ่มขึ้นและลดลง:

1. เพื่อให้ฟังก์ชันต่อเนื่อง f(x) เพิ่มขึ้นในส่วน ก็เพียงพอแล้วที่อนุพันธ์ภายในส่วนจะเป็นค่าบวก เช่น ฉ’(x) ≥ 0
2. เพื่อให้ฟังก์ชันต่อเนื่อง f(x) ลดลงในส่วน ก็เพียงพอแล้วที่อนุพันธ์ภายในส่วนจะเป็นลบเช่น ฉ’(x) ≤ 0.

ให้เรายอมรับข้อความเหล่านี้โดยไม่มีหลักฐาน ดังนั้นเราจึงได้โครงร่างสำหรับการค้นหาช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงซึ่งคล้ายกับอัลกอริทึมในการคำนวณจุดสุดขั้วหลายประการ:

1. ลบข้อมูลที่ไม่จำเป็นทั้งหมด ในกราฟดั้งเดิมของอนุพันธ์ เราสนใจศูนย์ของฟังก์ชันเป็นหลัก ดังนั้นเราจะเหลือไว้เพียงศูนย์เท่านั้น
2. ทำเครื่องหมายสัญญาณของอนุพันธ์ในช่วงเวลาระหว่างศูนย์ เมื่อ f’(x) ≥ 0 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น และเมื่อ f’(x) ≤ 0 ฟังก์ชันจะลดลง หากปัญหาทำให้เกิดข้อจำกัดกับตัวแปร x เราจะทำเครื่องหมายตัวแปรเหล่านั้นบนกราฟใหม่เพิ่มเติม
3. ตอนนี้เรารู้พฤติกรรมของฟังก์ชันและข้อจำกัดแล้ว เหลือเพียงการคำนวณปริมาณที่ต้องการในปัญหา

งาน. รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนดในช่วงเวลา [−3; 7.5]. ค้นหาช่วงการลดลงของฟังก์ชัน f(x) ในคำตอบของคุณ ให้ระบุผลรวมของจำนวนเต็มที่อยู่ในช่วงเวลาเหล่านี้

ตามปกติ เราจะวาดกราฟใหม่และทำเครื่องหมายขอบเขต [−3; 7.5] เช่นเดียวกับศูนย์ของอนุพันธ์ x = −1.5 และ x = 5.3 จากนั้นเราสังเกตสัญญาณของอนุพันธ์ เรามี:

เนื่องจากอนุพันธ์เป็นลบในช่วงเวลา (− 1.5) นี่คือช่วงของฟังก์ชันที่ลดลง ยังคงต้องรวมจำนวนเต็มทั้งหมดที่อยู่ในช่วงเวลานี้:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

งาน. รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ซึ่งกำหนดบนช่วง [−10; 4]. ค้นหาช่วงการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน f(x) ในคำตอบของคุณ ให้ระบุความยาวของส่วนที่ใหญ่ที่สุด

มากำจัดข้อมูลที่ไม่จำเป็นกันเถอะ ให้เราเหลือเพียงขอบเขต [−10; 4] และศูนย์ของอนุพันธ์ ซึ่งคราวนี้มีสี่ตัว: x = −8, x = −6, x = −3 และ x = 2 ลองทำเครื่องหมายเครื่องหมายของอนุพันธ์แล้วได้ภาพต่อไปนี้:

เราสนใจในช่วงเวลาของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น เช่น โดยที่ f’(x) ≥ 0 มีช่วงเวลาดังกล่าวสองช่วงบนกราฟ: (−8; −6) และ (−3; 2) มาคำนวณความยาวกัน:
ลิตร 1 = − 6 − (−8) = 2;
ลิตร 2 = 2 − (−3) = 5

เนื่องจากเราจำเป็นต้องค้นหาความยาวของช่วงที่ใหญ่ที่สุด เราจึงเขียนค่า l 2 = 5 เป็นคำตอบ