เส้นรอบวงและพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม เส้นรอบวงและพื้นที่ของสามเหลี่ยม เส้นรอบวงของสามเหลี่ยมหน้าจั่วคืออะไร

ข้อมูลเบื้องต้น

เส้นรอบวงของรูปทรงเรขาคณิตแบนใดๆ บนระนาบถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของความยาวของด้านทั้งหมด สามเหลี่ยมก็ไม่มีข้อยกเว้นในเรื่องนี้ ขั้นแรก เราจะนำเสนอแนวคิดของรูปสามเหลี่ยม รวมถึงประเภทของรูปสามเหลี่ยมขึ้นอยู่กับด้านข้าง

คำจำกัดความ 1

เราจะเรียกรูปสามเหลี่ยมว่าเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ประกอบด้วยสามจุดที่เชื่อมต่อกันด้วยส่วนต่างๆ (รูปที่ 1)

คำจำกัดความ 2

ภายในกรอบคำจำกัดความที่ 1 เราจะเรียกจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม

คำจำกัดความ 3

ภายในกรอบคำจำกัดความที่ 1 ส่วนต่างๆ จะถูกเรียกว่าด้านของรูปสามเหลี่ยม

แน่นอนว่าสามเหลี่ยมใดๆ ก็จะมีจุดยอด 3 จุดและมีด้าน 3 ด้านด้วย

ขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ของด้านแต่ละด้าน สามเหลี่ยมจะถูกแบ่งออกเป็นด้านไม่เท่ากัน หน้าจั่ว และด้านเท่ากันหมด

คำจำกัดความที่ 4

เราจะเรียกสามเหลี่ยมด้านไม่เท่ากัน หากไม่มีด้านใดเท่ากัน

คำจำกัดความที่ 5

เราจะเรียกสามเหลี่ยมหน้าจั่วถ้าด้านสองด้านเท่ากัน แต่ไม่เท่ากับด้านที่สาม

คำนิยาม 6

เราจะเรียกสามเหลี่ยมด้านเท่าถ้าด้านทุกด้านเท่ากัน

คุณสามารถดูสามเหลี่ยมเหล่านี้ได้ทุกประเภทในรูปที่ 2

จะหาเส้นรอบวงของสามเหลี่ยมด้านไม่ได้อย่างไร?

ขอให้เราได้รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่าซึ่งมีความยาวด้านเท่ากับ $α$, $β$ และ $γ$

บทสรุป:ในการหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมด้านไม่เท่ากัน คุณต้องบวกความยาวด้านทั้งหมดเข้าด้วยกัน

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาเส้นรอบวงของสามเหลี่ยมด้านไม่เท่าเท่ากับ $34$ cm, $12$ cm และ $11$ cm

$P=34+12+11=57$ ซม

คำตอบ: $57$ ซม.

ตัวอย่างที่ 2

หาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขาเท่ากับ $6$ และ $8$ cm

อันดับแรก เรามาค้นหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมนี้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ให้เราแสดงมันด้วย $α$ จากนั้น

$α=10$ ตามกฎสำหรับการคำนวณเส้นรอบวงของสามเหลี่ยมด้านไม่เท่าเราจะได้

$P=10+8+6=24$ ซม

คำตอบ: $24$ ดู.

จะหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้อย่างไร?

ให้เราได้รับสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ความยาวของด้านจะเท่ากับ $α$ และความยาวของฐานจะเท่ากับ $β$

โดยการกำหนดเส้นรอบวงของรูปทรงเรขาคณิตแบน เราก็จะได้สิ่งนั้น

$P=α+α+β=2α+β$

บทสรุป:ถ้าต้องการหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ให้บวกความยาวด้านเป็น 2 เท่าของความยาวฐาน

ตัวอย่างที่ 3

จงหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมหน้าจั่วถ้าด้านข้างเท่ากับ 12$ cm และฐานคือ 11$ cm

จากตัวอย่างที่กล่าวข้างต้นเราจะเห็นว่า

$P=2\cdot 12+11=35$ ซม

คำตอบ: $35$ ซม.

ตัวอย่างที่ 4

หาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมหน้าจั่วถ้าความสูงที่ลากไปถึงฐานคือ 8$ ซม. และฐานคือ 12$ ซม.

ลองดูรูปวาดตามเงื่อนไขปัญหา:

เนื่องจากสามเหลี่ยมเป็นหน้าจั่ว $BD$ จึงเป็นค่ามัธยฐานด้วย ดังนั้น $AD=6$ cm

เมื่อใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส จากสามเหลี่ยม $ADB$ เราจะพบด้านข้าง ให้เราแสดงมันด้วย $α$ จากนั้น

ตามกฎสำหรับการคำนวณเส้นรอบวงของสามเหลี่ยมหน้าจั่วเราได้

$P=2\cdot 10+12=32$ ซม

คำตอบ: $32$ ดู.

จะค้นหาเส้นรอบวงของสามเหลี่ยมด้านเท่าได้อย่างไร?

ขอให้เราได้รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าซึ่งความยาวของทุกด้านเท่ากับ $α$

โดยการกำหนดเส้นรอบวงของรูปทรงเรขาคณิตแบน เราก็จะได้สิ่งนั้น

$P=α+α+α=3α$

บทสรุป:หากต้องการหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมด้านเท่า ให้คูณความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมด้วย $3$

ตัวอย่างที่ 5

หาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมด้านเท่าถ้าด้านของมันคือ $12$ cm

จากตัวอย่างที่กล่าวข้างต้นเราจะเห็นว่า

$P=3\cdot 12=36$ ซม

เส้นรอบวงคือผลรวมของทุกด้านของรูป ลักษณะนี้พร้อมกับพื้นที่เป็นที่ต้องการสำหรับตัวเลขทั้งหมดเท่าเทียมกัน สูตรสำหรับเส้นรอบวงของสามเหลี่ยมหน้าจั่วตามตรรกะจากคุณสมบัติของมัน แต่สูตรนี้ไม่ซับซ้อนเท่ากับการได้มาและรวบรวมทักษะในทางปฏิบัติ

สูตรคำนวณปริมณฑล

ด้านด้านข้างของสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะเท่ากัน สิ่งนี้เกิดขึ้นจากคำจำกัดความและมองเห็นได้ชัดเจนแม้กระทั่งจากชื่อของรูปก็ตาม มาจากคุณสมบัตินี้ที่สูตรเส้นรอบวงเกิดขึ้น:

P=2a+b โดยที่ b คือฐานของสามเหลี่ยม a คือค่าของด้าน

ข้าว. 1. สามเหลี่ยมหน้าจั่ว

จากสูตรเป็นที่ชัดเจนว่าการหาเส้นรอบวงก็เพียงพอที่จะทราบขนาดของฐานและด้านใดด้านหนึ่ง พิจารณาปัญหาหลายๆ ข้อเพื่อหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เราจะแก้ปัญหาเมื่อความซับซ้อนเพิ่มขึ้นซึ่งจะช่วยให้เราเข้าใจวิธีคิดที่ต้องปฏิบัติตามเพื่อค้นหาปริมณฑลได้ดีขึ้น

ปัญหาที่ 1

• ในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ฐานคือ 6 และระดับความสูงที่ลากมายังฐานนี้คือ 4 จำเป็นต้องค้นหาเส้นรอบวงของรูป

ข้าว. 2. การวาดภาพสำหรับงานที่ 1

ความสูงของสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ลากไปที่ฐานก็เป็นค่ามัธยฐานและความสูงเช่นกัน คุณสมบัตินี้มักใช้ในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

สามเหลี่ยม ABC ที่มีความสูง BM แบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป: ABM และ BCM ในสามเหลี่ยม ABM ทราบขา BM ส่วนขา AM เท่ากับครึ่งหนึ่งของฐานของสามเหลี่ยม ABC เนื่องจาก BM คือค่ามัธยฐานของเส้นแบ่งครึ่งและระดับความสูง เมื่อใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราจะหาค่าของด้านตรงข้ามมุมฉาก AB

$$АВ^2=AM^2+BM^2$$

$$AB=\sqrt(AM^2+BM^2)=\sqrt(3^2+4^2)=\sqrt(9+16)=\sqrt(25)=5$$

ลองหาเส้นรอบวง: P=AC+AB*2=6+5*2=16

ปัญหาที่ 2

• ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ระดับความสูงที่ลากไปยังฐานคือ 10 และมุมแหลมที่ฐานคือ 30 องศา คุณต้องหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม

ข้าว. 3. การวาดภาพสำหรับงานที่ 2

งานนี้มีความซับซ้อนเนื่องจากขาดข้อมูลเกี่ยวกับด้านข้างของสามเหลี่ยม แต่เมื่อทราบค่าของความสูงและมุมแล้ว คุณจะพบขา AH ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABH จากนั้นวิธีแก้ไขจะเป็นไปตามสถานการณ์เดียวกันกับปัญหา 1.

ลองหา AH จากค่าไซน์:

$$sin (ABH)=(BH\over AB)=(1\over2)$$ - ไซน์ของ 30 องศาเป็นค่าในตาราง

แสดงด้านที่ต้องการ:

$$AB=((BH\โอเวอร์ (1\มากกว่า 2))) =BH*2=10*2=20$$

เมื่อใช้โคแทนเจนต์เราจะหาค่าของ AH:

$$ctg(BAH)=(AH\โอเวอร์ BH)=(1\over\sqrt(3))$$

$$AH=(BH\over\sqrt(3))=10*\sqrt(3)=17.32$$ - ปัดเศษค่าผลลัพธ์ให้เป็นทศนิยมที่ใกล้ที่สุด

มาหาพื้นฐานกัน:

เอซี=AH*2=17.32*2=34.64

เมื่อพบค่าที่ต้องการทั้งหมดแล้ว เรามากำหนดขอบเขตกัน:

P=AC+2*AB=34.64+2*20=74.64

ปัญหา 3

• สามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC มีพื้นที่ $$16\over\sqrt(3)$$ และมีมุมแหลมที่ฐาน 30 องศา หาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม.

ค่าในเงื่อนไขมักจะได้รับเป็นผลคูณของรูทและตัวเลข สิ่งนี้ทำเพื่อปกป้องวิธีแก้ปัญหาที่ตามมาให้มากที่สุดจากข้อผิดพลาด เป็นการดีกว่าที่จะปัดเศษผลลัพธ์เมื่อสิ้นสุดการคำนวณ

ด้วยการกำหนดปัญหาเช่นนี้ อาจดูเหมือนไม่มีวิธีแก้ปัญหา เนื่องจากเป็นการยากที่จะแสดงด้านใดด้านหนึ่งหรือความสูงจากข้อมูลที่มีอยู่ เรามาลองแก้ปัญหากันดู

ให้เราแสดงความสูงและครึ่งหนึ่งของฐานด้วยตัวอักษรละติน: BH=h และ AH=a

จากนั้นฐานจะเท่ากับ: AC=AH+HC=AH*2=2a

พื้นที่: $$S=(1\over 2)*AC*BH=(1\over 2)*2a*h=ah$$

ในทางกลับกัน ค่าของ h สามารถแสดงได้จากสามเหลี่ยม ABH ในรูปของแทนเจนต์ของมุมแหลม ทำไมต้องแทนเจนต์? เพราะในรูปสามเหลี่ยม ABH เราได้กำหนดขา a และ h ไว้สองขาแล้ว สิ่งหนึ่งจะต้องแสดงออกผ่านสิ่งอื่น สองขาเชื่อมต่อกันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ ตามเนื้อผ้า โคแทนเจนต์และโคไซน์จะใช้ก็ต่อเมื่อแทนเจนต์หรือไซน์ไม่พอดีเท่านั้น นี่ไม่ใช่กฎ คุณสามารถตัดสินใจได้ตามสะดวก แต่เป็นเพียงการยอมรับเท่านั้น

$$tg(BAH)=(h\over(a))=(1\over\sqrt(3))$$

$$h=(a\over\sqrt(3))$$

ลองแทนค่าผลลัพธ์ลงในสูตรพื้นที่

$$S=a*h=a*(a\over\sqrt(3))=((a^2)\over\sqrt(3))$$

มาแสดง:

$$a=\sqrt(S*\sqrt(3))=\sqrt(16\over\sqrt(3)*\sqrt(3))=\sqrt(16)=4$$

แทนค่า a ลงในสูตรพื้นที่แล้วกำหนดค่าความสูง:

$$S=a*h=(16\over\sqrt(3))$$

$$h=(S\over(a))=((16\over\sqrt(3))\over(4))=(4\over\sqrt(3))=2.31$$- ค่าที่ได้รับ มาปัดกัน ถึงหนึ่งในร้อยที่ใกล้ที่สุด

จากการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราจะหาด้านด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมได้:

$$AB^2=AH^2+BH^2$$

$$AB=\sqrt(AH^2+BH^2)=\sqrt(4^2+2.31^2)=4.62$$

ลองแทนค่าลงในสูตรเส้นรอบวง:

P=AB*2+AH*2=4.62*2+4*2=17.24

เราได้เรียนรู้อะไรบ้าง?

เราได้เข้าใจรายละเอียดที่ซับซ้อนทั้งหมดในการค้นหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมหน้าจั่วแล้ว เราได้แก้ไขปัญหาสามข้อที่มีระดับความซับซ้อนต่างกัน โดยแสดงตัวอย่างว่าปัญหาทั่วไปในการแก้สามเหลี่ยมหน้าจั่วได้รับการแก้ไขอย่างไร

ทดสอบในหัวข้อ

การให้คะแนนบทความ

คะแนนเฉลี่ย: 4.4. คะแนนรวมที่ได้รับ: 83

ข้อมูลเบื้องต้น

เส้นรอบวงของรูปทรงเรขาคณิตแบนใดๆ บนระนาบถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของความยาวของด้านทั้งหมด สามเหลี่ยมก็ไม่มีข้อยกเว้นในเรื่องนี้ ขั้นแรก เราจะนำเสนอแนวคิดของรูปสามเหลี่ยม รวมถึงประเภทของรูปสามเหลี่ยมขึ้นอยู่กับด้านข้าง

คำจำกัดความ 1

เราจะเรียกรูปสามเหลี่ยมว่าเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ประกอบด้วยสามจุดที่เชื่อมต่อกันด้วยส่วนต่างๆ (รูปที่ 1)

คำจำกัดความ 2

ภายในกรอบคำจำกัดความที่ 1 เราจะเรียกจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม

คำจำกัดความ 3

ภายในกรอบคำจำกัดความที่ 1 ส่วนต่างๆ จะถูกเรียกว่าด้านของรูปสามเหลี่ยม

แน่นอนว่าสามเหลี่ยมใดๆ ก็จะมีจุดยอด 3 จุดและมีด้าน 3 ด้านด้วย

ขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ของด้านแต่ละด้าน สามเหลี่ยมจะถูกแบ่งออกเป็นด้านไม่เท่ากัน หน้าจั่ว และด้านเท่ากันหมด

คำจำกัดความที่ 4

เราจะเรียกสามเหลี่ยมด้านไม่เท่ากัน หากไม่มีด้านใดเท่ากัน

คำจำกัดความที่ 5

เราจะเรียกสามเหลี่ยมหน้าจั่วถ้าด้านสองด้านเท่ากัน แต่ไม่เท่ากับด้านที่สาม

คำนิยาม 6

เราจะเรียกสามเหลี่ยมด้านเท่าถ้าด้านทุกด้านเท่ากัน

คุณสามารถดูสามเหลี่ยมเหล่านี้ได้ทุกประเภทในรูปที่ 2

จะหาเส้นรอบวงของสามเหลี่ยมด้านไม่ได้อย่างไร?

ขอให้เราได้รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่าซึ่งมีความยาวด้านเท่ากับ $α$, $β$ และ $γ$

บทสรุป:ในการหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมด้านไม่เท่ากัน คุณต้องบวกความยาวด้านทั้งหมดเข้าด้วยกัน

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาเส้นรอบวงของสามเหลี่ยมด้านไม่เท่าเท่ากับ $34$ cm, $12$ cm และ $11$ cm

$P=34+12+11=57$ ซม

คำตอบ: $57$ ซม.

ตัวอย่างที่ 2

หาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขาเท่ากับ $6$ และ $8$ cm

อันดับแรก เรามาค้นหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมนี้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ให้เราแสดงมันด้วย $α$ จากนั้น

$α=10$ ตามกฎสำหรับการคำนวณเส้นรอบวงของสามเหลี่ยมด้านไม่เท่าเราจะได้

$P=10+8+6=24$ ซม

คำตอบ: $24$ ดู.

จะหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้อย่างไร?

ให้เราได้รับสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ความยาวของด้านจะเท่ากับ $α$ และความยาวของฐานจะเท่ากับ $β$

โดยการกำหนดเส้นรอบวงของรูปทรงเรขาคณิตแบน เราก็จะได้สิ่งนั้น

$P=α+α+β=2α+β$

บทสรุป:ถ้าต้องการหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ให้บวกความยาวด้านเป็น 2 เท่าของความยาวฐาน

ตัวอย่างที่ 3

จงหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมหน้าจั่วถ้าด้านข้างเท่ากับ 12$ cm และฐานคือ 11$ cm

จากตัวอย่างที่กล่าวข้างต้นเราจะเห็นว่า

$P=2\cdot 12+11=35$ ซม

คำตอบ: $35$ ซม.

ตัวอย่างที่ 4

หาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมหน้าจั่วถ้าความสูงที่ลากไปถึงฐานคือ 8$ ซม. และฐานคือ 12$ ซม.

ลองดูรูปวาดตามเงื่อนไขปัญหา:

เนื่องจากสามเหลี่ยมเป็นหน้าจั่ว $BD$ จึงเป็นค่ามัธยฐานด้วย ดังนั้น $AD=6$ cm

เมื่อใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส จากสามเหลี่ยม $ADB$ เราจะพบด้านข้าง ให้เราแสดงมันด้วย $α$ จากนั้น

ตามกฎสำหรับการคำนวณเส้นรอบวงของสามเหลี่ยมหน้าจั่วเราได้

$P=2\cdot 10+12=32$ ซม

คำตอบ: $32$ ดู.

จะค้นหาเส้นรอบวงของสามเหลี่ยมด้านเท่าได้อย่างไร?

ขอให้เราได้รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าซึ่งความยาวของทุกด้านเท่ากับ $α$

โดยการกำหนดเส้นรอบวงของรูปทรงเรขาคณิตแบน เราก็จะได้สิ่งนั้น

$P=α+α+α=3α$

บทสรุป:หากต้องการหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมด้านเท่า ให้คูณความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมด้วย $3$

ตัวอย่างที่ 5

หาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมด้านเท่าถ้าด้านของมันคือ $12$ cm

จากตัวอย่างที่กล่าวข้างต้นเราจะเห็นว่า

$P=3\cdot 12=36$ ซม

เส้นรอบวงของรูปสามเหลี่ยมเช่นเดียวกับรูปใดๆ เรียกว่าผลรวมของความยาวของด้านทุกด้าน บ่อยครั้งที่ค่านี้ช่วยในการค้นหาพื้นที่หรือใช้ในการคำนวณพารามิเตอร์อื่นๆ ของรูป
สูตรสำหรับเส้นรอบวงของรูปสามเหลี่ยมมีลักษณะดังนี้:

ตัวอย่างการคำนวณเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม ให้รูปสามเหลี่ยมมีด้าน a = 4 ซม., b = 6 ซม., c = 7 ซม. แทนข้อมูลลงในสูตร: cm

สูตรคำนวณปริมณฑล สามเหลี่ยมหน้าจั่วจะมีลักษณะเช่นนี้:

สูตรคำนวณปริมณฑล สามเหลี่ยมด้านเท่า:

ตัวอย่างการคำนวณเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมด้านเท่า เมื่อทุกด้านของรูปเท่ากัน ก็สามารถคูณด้วยสามได้ สมมติว่าเราได้รับรูปสามเหลี่ยมปกติซึ่งมีด้านยาว 5 ซม. ในกรณีนี้: ซม

โดยทั่วไป เมื่อให้ทุกด้านแล้ว การหาเส้นรอบรูปก็ค่อนข้างง่าย ในสถานการณ์อื่นๆ คุณต้องค้นหาขนาดของด้านที่หายไป ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณสามารถหาด้านที่สามได้จาก ทฤษฎีบทพีทาโกรัส. ตัวอย่างเช่น หากทราบความยาวของขา คุณสามารถหาด้านตรงข้ามมุมฉากได้โดยใช้สูตร:

ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณเส้นรอบวงของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว โดยที่เราทราบความยาวของขาในสามเหลี่ยมหน้าจั่วขวา
ให้รูปสามเหลี่ยมมีขา a =b =5 ซม. จงหาเส้นรอบรูป ก่อนอื่น มาหาด้านที่หายไป c ซม
ทีนี้มาคำนวณเส้นรอบวง: ซม
เส้นรอบวงของสามเหลี่ยมหน้าจั่วขวาจะเท่ากับ 17 ซม.

ในกรณีที่ทราบด้านตรงข้ามมุมฉากและความยาวของขาข้างหนึ่ง คุณสามารถค้นหาส่วนที่ขาดหายไปได้โดยใช้สูตร:
ถ้าทราบด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลมมุมหนึ่งในสามเหลี่ยมมุมฉาก ก็จะพบด้านที่หายไปโดยใช้สูตร