ผลเฉลยเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ y การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่ง่ายที่สุดของลำดับแรก

การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ ด้วยบริการออนไลน์ของเรา คุณสามารถแก้สมการเชิงอนุพันธ์ทุกประเภทและความซับซ้อนได้ เช่น สมการเชิงอนุพันธ์ เอกพันธ์ ไม่เชิงเส้น เชิงเส้น ลำดับที่หนึ่ง ลำดับที่สอง พร้อมตัวแปรที่แยกได้หรือแยกไม่ได้ ฯลฯ คุณจะได้รับคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบการวิเคราะห์พร้อมคำอธิบายโดยละเอียด หลายคนสนใจ: เหตุใดจึงจำเป็นต้องแก้สมการเชิงอนุพันธ์ทางออนไลน์? สมการประเภทนี้พบได้ทั่วไปในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ปัญหาต่างๆ มากมายโดยไม่ต้องคำนวณสมการเชิงอนุพันธ์ สมการเชิงอนุพันธ์ยังพบได้ทั่วไปในเศรษฐศาสตร์ การแพทย์ ชีววิทยา เคมี และวิทยาศาสตร์อื่นๆ การแก้สมการทางออนไลน์ทำให้งานของคุณง่ายขึ้นอย่างมาก เปิดโอกาสให้คุณเข้าใจเนื้อหาได้ดีขึ้นและทดสอบตัวเอง ข้อดีของการแก้สมการเชิงอนุพันธ์แบบออนไลน์ เว็บไซต์บริการทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่ช่วยให้คุณสามารถแก้สมการเชิงอนุพันธ์ออนไลน์ได้ทุกความซับซ้อน ดังที่คุณทราบ มีสมการเชิงอนุพันธ์หลายประเภทและแต่ละประเภทก็มีวิธีการแก้ของตัวเอง ในบริการของเรา คุณสามารถค้นหาวิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับและประเภทใดก็ได้ทางออนไลน์ เพื่อรับวิธีแก้ไข เราขอแนะนำให้คุณกรอกข้อมูลเบื้องต้นแล้วคลิกปุ่ม "วิธีแก้ไข" ไม่รวมข้อผิดพลาดในการให้บริการดังนั้นคุณจึงมั่นใจได้ 100% ว่าคุณได้รับคำตอบที่ถูกต้อง แก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยบริการของเรา แก้สมการเชิงอนุพันธ์ออนไลน์ ตามค่าเริ่มต้น ในสมการดังกล่าว ฟังก์ชัน y จะเป็นฟังก์ชันของตัวแปร x แต่คุณยังสามารถระบุการกำหนดตัวแปรของคุณเองได้ ตัวอย่างเช่น หากคุณระบุ y(t) ในสมการเชิงอนุพันธ์ บริการของเราจะกำหนดโดยอัตโนมัติว่า y เป็นฟังก์ชันของตัวแปร t ลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์ทั้งหมดจะขึ้นอยู่กับลำดับสูงสุดของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่มีอยู่ในสมการ การแก้สมการดังกล่าวหมายถึงการค้นหาฟังก์ชันที่ต้องการ บริการของเราจะช่วยคุณแก้สมการเชิงอนุพันธ์ทางออนไลน์ คุณไม่จำเป็นต้องใช้ความพยายามมากนักในการแก้สมการ คุณเพียงแค่ต้องป้อนด้านซ้ายและด้านขวาของสมการลงในช่องที่ต้องกรอกแล้วคลิกปุ่ม "วิธีแก้ไข" เมื่อป้อนอนุพันธ์ของฟังก์ชันจะต้องแสดงด้วยเครื่องหมายอะพอสทรอฟี ในเวลาไม่กี่วินาที คุณจะได้รับคำตอบโดยละเอียดสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ บริการของเราฟรีอย่างแน่นอน สมการเชิงอนุพันธ์กับตัวแปรที่แยกไม่ออก หากในสมการเชิงอนุพันธ์มีนิพจน์ทางด้านซ้ายซึ่งขึ้นอยู่กับ y และทางด้านขวามีนิพจน์ที่ขึ้นอยู่กับ x สมการเชิงอนุพันธ์ดังกล่าวจะถูกเรียกพร้อมกับตัวแปรที่แยกได้ ด้านซ้ายอาจมีอนุพันธ์ของ y การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ประเภทนี้จะอยู่ในรูปของฟังก์ชัน y ซึ่งแสดงผ่านอินทิกรัลของด้านขวาของสมการ หากทางด้านซ้ายมีค่าฟังก์ชัน y ต่างกัน ในกรณีนี้ ทั้งสองข้างของสมการจะรวมกัน เมื่อตัวแปรในสมการเชิงอนุพันธ์ไม่ถูกแยกออกจากกัน จะต้องแยกตัวแปรเหล่านั้นเพื่อให้ได้สมการเชิงอนุพันธ์ที่แยกออกจากกัน สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีฟังก์ชันและอนุพันธ์ทั้งหมดอยู่ในระดับแรกเรียกว่าเชิงเส้น รูปแบบทั่วไปของสมการ: y’+a1(x)y=f(x) f(x) และ a1(x) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของ x การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ประเภทนี้ลดการรวมสมการเชิงอนุพันธ์สองตัวเข้ากับตัวแปรที่แยกจากกัน ลำดับสมการเชิงอนุพันธ์ สมการเชิงอนุพันธ์อาจเป็นลำดับที่หนึ่ง สอง และที่ n ลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์จะกำหนดลำดับของอนุพันธ์สูงสุดที่มีอยู่ ในบริการของเรา คุณสามารถแก้สมการเชิงอนุพันธ์ทางออนไลน์สำหรับสมการที่หนึ่ง สอง สาม ฯลฯ คำสั่ง. การแก้สมการจะเป็นฟังก์ชันใดๆ y=f(x) เมื่อแทนมันลงในสมการ คุณจะได้เอกลักษณ์ กระบวนการหาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่าอินทิเกรต ปัญหาคอชี่. นอกเหนือจากสมการเชิงอนุพันธ์แล้ว หากให้เงื่อนไขเริ่มต้น y(x0)=y0 เข้าไปด้วย จะเรียกว่าปัญหาคอชี ตัวบ่งชี้ y0 และ x0 จะถูกเพิ่มเข้าไปในคำตอบของสมการ และค่าของค่าคงที่ C จะถูกกำหนด จากนั้นจึงหาคำตอบเฉพาะของสมการที่ค่า C นี้ นี่คือวิธีแก้ของปัญหาคอชี ปัญหาคอชีเรียกอีกอย่างว่าปัญหาเกี่ยวกับเงื่อนไขขอบเขต ซึ่งพบได้ทั่วไปในฟิสิกส์และกลศาสตร์ คุณยังมีโอกาสที่จะตั้งปัญหาคอชี นั่นคือ จากคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดไปจนถึงสมการ เลือกผลหารที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด

สมการเชิงอนุพันธ์ (DE) - นี่คือสมการ
โดยที่ตัวแปรอิสระอยู่ที่ไหน y คือฟังก์ชันและเป็นอนุพันธ์ย่อย

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีตัวแปรอิสระเพียงตัวเดียว

สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีตัวแปรอิสระตั้งแต่สองตัวขึ้นไป

คำว่า "สามัญ" และ "อนุพันธ์บางส่วน" อาจละเว้นได้หากมีความชัดเจนว่าสมการใดที่กำลังพิจารณาอยู่ ต่อไปนี้จะพิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ

ลำดับสมการเชิงอนุพันธ์ คือลำดับของอนุพันธ์สูงสุด

นี่คือตัวอย่างของสมการลำดับที่หนึ่ง:

นี่คือตัวอย่างของสมการลำดับที่สี่:

บางครั้งสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งจะถูกเขียนในรูปของอนุพันธ์:

ในกรณีนี้ ตัวแปร x และ y เท่ากัน นั่นคือตัวแปรอิสระสามารถเป็นได้ทั้ง x หรือ y ในกรณีแรก y เป็นฟังก์ชันของ x ในกรณีที่สอง x เป็นฟังก์ชันของ y หากจำเป็น เราสามารถลดสมการนี้ให้อยู่ในรูปแบบที่มีอนุพันธ์ y′ ไว้อย่างชัดเจน
หารสมการนี้ด้วย dx เราจะได้:
.
ตั้งแต่ และ มันเป็นไปตามนั้น
.

การแก้สมการเชิงอนุพันธ์

อนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานจะแสดงผ่านฟังก์ชันพื้นฐาน อินทิกรัลของฟังก์ชันพื้นฐานมักไม่แสดงในรูปของฟังก์ชันพื้นฐาน ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ สถานการณ์ยิ่งแย่ลงไปอีก จากผลลัพธ์ของการแก้ปัญหา คุณจะได้รับ:

• การพึ่งพาฟังก์ชันกับตัวแปรอย่างชัดเจน

  การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ คือฟังก์ชัน y = u (เอ็กซ์)ซึ่งถูกกำหนดไว้ หารอนุพันธ์ได้ n เท่า และ

• การพึ่งพาโดยนัยในรูปแบบของสมการประเภท Φ (x, y) = 0หรือระบบสมการ

  อินทิกรัลของสมการเชิงอนุพันธ์ เป็นการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีรูปแบบโดยปริยาย

• การพึ่งพาอาศัยกันแสดงผ่านฟังก์ชันพื้นฐานและปริพันธ์จากพวกมัน

  การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส - นี่คือการค้นหาคำตอบในรูปแบบของการรวมกันของฟังก์ชันพื้นฐานและอินทิกรัลของมัน

• การแก้ปัญหาอาจไม่แสดงผ่านฟังก์ชันพื้นฐาน

เนื่องจากการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ขึ้นอยู่กับการคำนวณอินทิกรัล วิธีแก้ปัญหาจึงรวมชุดของค่าคงที่ C 1, C 2, C 3, ... C n จำนวนค่าคงที่เท่ากับลำดับของสมการ อินทิกรัลบางส่วนของสมการเชิงอนุพันธ์ เป็นอินทิกรัลทั่วไปสำหรับค่าที่กำหนดของค่าคงที่ C 1, C 2, C 3, ..., C n

อ้างอิง:
วี.วี. Stepanov หลักสูตรสมการเชิงอนุพันธ์ "LKI" ปี 2558
น.เอ็ม. กันเตอร์, อาร์.โอ. Kuzmin, ชุดของปัญหาทางคณิตศาสตร์ขั้นสูง, “ลาน”, 2546.

6.1. แนวคิดพื้นฐานและคำจำกัดความ

เมื่อแก้ไขปัญหาต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ชีววิทยาและการแพทย์ บ่อยครั้งที่ไม่สามารถสร้างความสัมพันธ์เชิงหน้าที่ได้ทันทีในรูปแบบของสูตรที่เชื่อมโยงตัวแปรที่อธิบายกระบวนการที่กำลังศึกษาอยู่ โดยปกติแล้ว คุณจะต้องใช้สมการที่นอกจากตัวแปรอิสระและฟังก์ชันที่ไม่รู้จักแล้ว ยังมีอนุพันธ์ของตัวแปรด้วย

คำนิยาม.สมการที่เชื่อมต่อตัวแปรอิสระ ฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก และอนุพันธ์ของลำดับต่างๆ เรียกว่า ส่วนต่าง

ฟังก์ชันที่ไม่รู้จักมักจะแสดงแทน ใช่(x)หรือเพียงแค่ ใช่และอนุพันธ์ของมัน - คุณ", คุณ"ฯลฯ

การกำหนดอื่นๆ ก็เป็นไปได้เช่นกัน เช่น ถ้า ย= x(t) แล้ว x"(เสื้อ), x""(เสื้อ)- อนุพันธ์ของมันและ ที- ตัวแปรอิสระ

คำนิยาม.หากฟังก์ชันขึ้นอยู่กับตัวแปรตัวหนึ่ง สมการเชิงอนุพันธ์จะเรียกว่าสามัญ แบบฟอร์มทั่วไป สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ:

หรือ

ฟังก์ชั่น เอฟและ ฉอาจไม่มีข้อโต้แย้งบางประการ แต่เพื่อให้สมการมีความแตกต่าง การมีอนุพันธ์ถือเป็นสิ่งสำคัญ

คำนิยาม.ลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่าลำดับของอนุพันธ์สูงสุดที่รวมอยู่ในนั้น

ตัวอย่างเช่น, x 2 ปี"- ย= 0, y" + บาป x= 0 คือสมการอันดับหนึ่ง และ คุณ"+ 2 คุณ"+ 5 ย= x- สมการอันดับสอง

เมื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์จะใช้การดำเนินการบูรณาการซึ่งสัมพันธ์กับลักษณะของค่าคงที่ตามอำเภอใจ หากมีการใช้การดำเนินการบูรณาการ nครั้งแล้วเห็นได้ชัดว่าวิธีแก้ปัญหาจะมีอยู่ nค่าคงที่ตามอำเภอใจ

6.2. สมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับที่หนึ่ง

แบบฟอร์มทั่วไป สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งถูกกำหนดโดยการแสดงออก

สมการอาจไม่ระบุอย่างชัดเจน xและ ใช่แต่จำเป็นต้องมี y"

ถ้าเขียนสมการได้เป็น

จากนั้นเราจะได้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่แก้ไขด้วยความเคารพต่ออนุพันธ์

คำนิยาม.ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง (6.3) (หรือ (6.4)) คือชุดของคำตอบ , ที่ไหน กับ- ค่าคงที่ตามอำเภอใจ

กราฟของการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่ากราฟ เส้นโค้งอินทิกรัล

ให้ค่าคงที่ตามอำเภอใจ กับค่าที่แตกต่างกันสามารถหาคำตอบได้บางส่วน บนพื้นผิว xOyคำตอบทั่วไปคือกลุ่มของเส้นโค้งอินทิกรัลที่สอดคล้องกับคำตอบเฉพาะแต่ละข้อ

ถ้าจะตั้งจุด. ก (x 0 , y 0),ซึ่งตามกฎแล้วจะต้องผ่านเส้นโค้งอินทิกรัลจากชุดฟังก์ชัน เราสามารถเลือกหนึ่งรายการได้ - โซลูชันส่วนตัว

คำนิยาม.การตัดสินใจส่วนตัวของสมการเชิงอนุพันธ์คือคำตอบที่ไม่มีค่าคงที่ใดๆ

ถ้า เป็นคำตอบทั่วไปแล้วจากเงื่อนไข

คุณสามารถหาค่าคงที่ได้ กับ.เงื่อนไขที่เรียกว่า สภาพเริ่มต้น

ปัญหาการหาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ (6.3) หรือ (6.4) ที่เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น ที่ เรียกว่า ปัญหาคอชี่.ปัญหานี้จะมีทางแก้ไขเสมอหรือไม่? คำตอบอยู่ในทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบทของคอชี(ทฤษฎีบทการดำรงอยู่และเอกลักษณ์ของการแก้ปัญหา) ปล่อยในสมการเชิงอนุพันธ์ คุณ"= ฉ(x,y)การทำงาน ฉ(x,y)และเธอ

อนุพันธ์บางส่วน กำหนดและต่อเนื่องในบางเรื่อง

ภูมิภาค ง,มีจุด แล้วในพื้นที่ ดีมีอยู่จริง

คำตอบเดียวของสมการที่เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น ที่

ทฤษฎีบทของคอชีระบุว่าภายใต้เงื่อนไขบางประการ จะมีเส้นโค้งอินทิกรัลเฉพาะตัว ย= ฉ(x)ผ่านจุดหนึ่ง จุดที่ไม่ตรงตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท

Cauchies เรียกว่า พิเศษ.เมื่อถึงจุดนี้มันก็แตก ฉ(x, y) หรือ

เส้นโค้งอินทิกรัลหลายเส้นหรือไม่มีเส้นใดเลยผ่านจุดเอกพจน์

คำนิยาม.หากพบคำตอบ (6.3), (6.4) ในรูปแบบ ฉ(x, y, ค)= 0 ไม่อนุญาตให้สัมพันธ์กับ y จึงเรียกว่า อินทิกรัลทั่วไปสมการเชิงอนุพันธ์.

ทฤษฎีบทของคอชีรับประกันว่าจะมีคำตอบเท่านั้น เนื่องจากไม่มีวิธีเดียวในการค้นหาคำตอบ เราจะพิจารณาเฉพาะสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งบางประเภทเท่านั้นที่สามารถรวมเข้ากับสมการได้ การสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส

คำนิยาม.สมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่า บูรณาการได้ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหากการค้นหาวิธีแก้ปัญหานั้นมาจากการรวมฟังก์ชันเข้าด้วยกัน

6.2.1. สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่มีตัวแปรที่แยกไม่ออก

คำนิยาม.สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งเรียกว่าสมการด้วย ตัวแปรที่แยกส่วนได้

ด้านขวาของสมการ (6.5) คือผลคูณของฟังก์ชัน 2 ฟังก์ชัน ซึ่งแต่ละฟังก์ชันขึ้นอยู่กับตัวแปรเพียงตัวเดียว

ตัวอย่างเช่นสมการ เป็นสมการที่มีการแยก

มีตัวแปร
และสมการ

ไม่สามารถแสดงในรูปแบบ (6.5)

เมื่อพิจารณาแล้วว่า เราเขียนใหม่ (6.5) ในรูปแบบ

จากสมการนี้ เราได้สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีตัวแปรที่แยกจากกัน โดยที่ค่าดิฟเฟอเรนเชียลเป็นฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรที่สอดคล้องกันเท่านั้น:

เรามีการรวมคำศัพท์ทีละเทอม

โดยที่ C = C 2 - C 1 - ค่าคงที่ตามอำเภอใจ นิพจน์ (6.6) คืออินทิกรัลทั่วไปของสมการ (6.5)

โดยการหารทั้งสองข้างของสมการ (6.5) ด้วย เราจะสูญเสียคำตอบเหล่านั้นไป ซึ่ง จริงๆ แล้วถ้า. ที่

ที่ เห็นได้ชัดว่าเป็นการแก้สมการ (6.5)

ตัวอย่างที่ 1หาคำตอบของสมการที่ตรงใจ

เงื่อนไข: ย= 6 ณ x= 2 (ย(2) = 6).

สารละลาย.เราจะมาแทนที่ คุณ"แล้ว - คูณทั้งสองข้างด้วย

ดีเอ็กซ์,เนื่องจากในระหว่างการบูรณาการเพิ่มเติมจะไม่สามารถออกไปได้ ดีเอ็กซ์ในตัวส่วน:

แล้วหารทั้งสองส่วนด้วย เราได้สมการ

ซึ่งสามารถบูรณาการได้ มาบูรณาการกัน:

แล้ว - ที่มีศักยภาพ เราได้ y = C (x + 1) - ob-

วิธีแก้ปัญหาทั่วไป

เมื่อใช้ข้อมูลเริ่มต้น เราจะกำหนดค่าคงที่ตามใจชอบ โดยแทนที่ลงในโซลูชันทั่วไป

ในที่สุดเราก็ได้ ย= 2(x + 1) เป็นคำตอบเฉพาะ มาดูตัวอย่างเพิ่มเติมของการแก้สมการด้วยตัวแปรที่แยกกันไม่ได้

ตัวอย่างที่ 2หาคำตอบของสมการ

สารละลาย.เมื่อพิจารณาแล้วว่า , เราได้รับ .

เราได้อินทิเกรตทั้งสองด้านของสมการแล้ว

ที่ไหน

ตัวอย่างที่ 3หาคำตอบของสมการ สารละลาย.เราแบ่งทั้งสองด้านของสมการออกเป็นปัจจัยที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรที่ไม่ตรงกับตัวแปรภายใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล เช่น และบูรณาการ แล้วเราก็ได้

และในที่สุดก็

ตัวอย่างที่ 4หาคำตอบของสมการ

สารละลาย.รู้ว่าเราจะได้อะไร ส่วน

ตัวแปรลิม แล้ว

บูรณาการเราได้รับ

ความคิดเห็นในตัวอย่างที่ 1 และ 2 ฟังก์ชันที่ต้องการ ยแสดงอย่างชัดเจน (วิธีแก้ปัญหาทั่วไป) ในตัวอย่างที่ 3 และ 4 - โดยปริยาย (อินทิกรัลทั่วไป) ในอนาคตจะไม่ระบุรูปแบบการตัดสินใจ

ตัวอย่างที่ 5หาคำตอบของสมการ สารละลาย.

ตัวอย่างที่ 6หาคำตอบของสมการ น่าพอใจ

เงื่อนไข ใช่(อี)= 1.

สารละลาย.เรามาเขียนสมการในรูปแบบกัน

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย ดีเอ็กซ์และต่อไปเราได้รับ

เราได้รับอินทิกรัลทั้งสองด้านของสมการ (อินทิกรัลทางด้านขวาถูกแยกเป็นชิ้นส่วน)

แต่ตามเงื่อนไข ย= 1 ณ x= จ- แล้ว

ลองแทนค่าที่พบ กับสู่วิธีแก้ปัญหาทั่วไป:

ผลลัพธ์ที่ได้เรียกว่าผลเฉลยบางส่วนของสมการเชิงอนุพันธ์

6.2.2. สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์ของลำดับแรก

คำนิยาม.สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่หนึ่งเรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกันหากสามารถแสดงออกมาในรูปแบบได้

ให้เรานำเสนออัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเอกพันธ์

1.แทน ยเรามาแนะนำฟังก์ชั่นใหม่กันดีกว่า และดังนั้นจึง

2.ในแง่ของการทำงาน ยูสมการ (6.7) อยู่ในรูปแบบ

นั่นคือ การแทนที่จะลดสมการเอกพันธ์ให้เป็นสมการที่มีตัวแปรที่แยกออกได้

3. การแก้สมการ (6.8) เราจะหาคุณก่อนแล้วจึงหา ย= เอ็กซ์

ตัวอย่างที่ 1แก้สมการ สารละลาย.เรามาเขียนสมการในรูปแบบกัน

เราทำการทดแทน:
แล้ว

เราจะมาแทนที่

คูณด้วย dx: หารด้วย xและต่อไป แล้ว

เราได้รวมทั้งสองด้านของสมการเข้ากับตัวแปรที่สอดคล้องกันแล้ว

หรือเมื่อกลับไปสู่ตัวแปรเก่า ในที่สุดเราก็ได้

ตัวอย่างที่ 2แก้สมการ สารละลาย.อนุญาต แล้ว

ลองหารทั้งสองข้างของสมการด้วย x2: มาเปิดวงเล็บแล้วจัดเรียงเงื่อนไขใหม่:

จากตัวแปรเก่า เราจะได้ผลลัพธ์สุดท้าย:

ตัวอย่างที่ 3หาคำตอบของสมการ ระบุว่า

สารละลาย.ดำเนินการเปลี่ยนมาตรฐาน เราได้รับ

หรือ

หรือ

ซึ่งหมายความว่าโซลูชันเฉพาะมีรูปแบบ ตัวอย่างที่ 4หาคำตอบของสมการ

สารละลาย.

ตัวอย่างที่ 5หาคำตอบของสมการ สารละลาย.

ทำงานอิสระ

ค้นหาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ด้วยตัวแปรที่แยกออกจากกัน (1-9).

หาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์ (9-18).

6.2.3. การประยุกต์สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

ปัญหาการสลายกัมมันตภาพรังสี

อัตราการสลายตัวของ Ra (เรเดียม) ในแต่ละช่วงเวลาจะแปรผันตามมวลที่มีอยู่ จงหากฎการสลายตัวของสารกัมมันตภาพรังสีของ Ra หากทราบว่า ณ ขณะแรกมี Ra และครึ่งชีวิตของ Ra คือ 1,590 ปี

สารละลาย.ให้มวลราเป็นทันที x= เอ็กซ์(ที)ก. และ ดังนั้นอัตราการสลายตัว Ra เท่ากับ

ตามเงื่อนไขของปัญหา

ที่ไหน เค

เราได้แยกตัวแปรในสมการสุดท้ายและอินทิเกรตแล้ว

ที่ไหน

สำหรับการกำหนด คเราใช้เงื่อนไขเริ่มต้น: เมื่อ .

แล้ว และดังนั้นจึง,

ปัจจัยสัดส่วน เคกำหนดจากเงื่อนไขเพิ่มเติม:

เรามี

จากที่นี่ และสูตรที่ต้องการ

ปัญหาอัตราการสืบพันธุ์ของแบคทีเรีย

อัตราการสืบพันธุ์ของแบคทีเรียนั้นแปรผันตามจำนวนของมัน ในช่วงแรกมีแบคทีเรีย 100 ตัว ภายใน 3 ชั่วโมง จำนวนพวกเขาก็เพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า ค้นหาการพึ่งพาจำนวนแบคทีเรียตรงเวลา ภายใน 9 ชั่วโมง จำนวนแบคทีเรียจะเพิ่มขึ้นกี่เท่า?

สารละลาย.อนุญาต x- จำนวนแบคทีเรียในแต่ละครั้ง ทีแล้วตามเงื่อนไขที่ว่า

ที่ไหน เค- สัมประสิทธิ์สัดส่วน

จากที่นี่ จากสภาพเป็นที่ทราบกันว่า - วิธี,

จากเงื่อนไขเพิ่มเติม - แล้ว

ฟังก์ชั่นที่คุณกำลังมองหา:

ดังนั้นเมื่อ ที= 9 x= 800 เช่น ภายใน 9 ชั่วโมง จำนวนแบคทีเรียเพิ่มขึ้น 8 เท่า

ปัญหาการเพิ่มปริมาณเอนไซม์

ในการเพาะเลี้ยงยีสต์ของผู้ผลิตเบียร์ อัตราการเติบโตของเอนไซม์ที่ทำงานอยู่จะเป็นสัดส่วนกับปริมาณตั้งต้น x.ปริมาณเอนไซม์เริ่มต้น กเพิ่มขึ้นสองเท่าภายในหนึ่งชั่วโมง ค้นหาการพึ่งพา

x(ท)

สารละลาย.ตามเงื่อนไขสมการเชิงอนุพันธ์ของกระบวนการจะมีรูปแบบ

จากที่นี่

แต่ - วิธี, ค= กแล้ว

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า

เพราะฉะนั้น,

6.3. สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง

6.3.1. แนวคิดพื้นฐาน

คำนิยาม.สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเรียกว่าความสัมพันธ์ที่เชื่อมโยงตัวแปรอิสระ ฟังก์ชันที่ต้องการและอนุพันธ์อันดับ 1 และ 2

ในกรณีพิเศษ x อาจหายไปจากสมการ ที่หรือ y" อย่างไรก็ตาม สมการอันดับสองจะต้องมี y อยู่ด้วย" ในกรณีทั่วไป สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเขียนเป็น:

หรือถ้าเป็นไปได้ในรูปแบบที่ได้รับการแก้ไขด้วยความเคารพต่ออนุพันธ์อันดับสอง:

เช่นเดียวกับในกรณีของสมการลำดับที่หนึ่ง สำหรับสมการลำดับที่สอง อาจมีวิธีแก้ปัญหาทั่วไปและเฉพาะเจาะจงได้ วิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ:

ค้นหาวิธีแก้ปัญหาโดยเฉพาะ

ภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้น - ให้ไว้

ตัวเลข) เรียกว่า ปัญหาคอชี่.ในเชิงเรขาคณิต นี่หมายความว่าเราต้องหาเส้นโค้งอินทิกรัล ที่= ใช่(x)ผ่านจุดที่กำหนด และมีแทนเจนต์ตรงจุดนี้ซึ่งก็คือ

สอดคล้องกับทิศทางของแกนบวก วัวมุมที่กำหนด จ. (รูปที่ 6.1) ปัญหาคอชีมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะหากอยู่ทางขวามือของสมการ (6.10) ไม่หยุดหย่อน

ไม่ต่อเนื่องและมีอนุพันธ์บางส่วนต่อเนื่องกันด้วยความเคารพ เอ่อ เอ่อ"ในบริเวณใกล้จุดเริ่มต้น

เพื่อหาค่าคงที่ รวมอยู่ในโซลูชันส่วนตัว ระบบจะต้องได้รับการแก้ไข

ข้าว. 6.1.เส้นโค้งอินทิกรัล