พวกเขาทำด้วย 0 เป็นไปได้ไหมที่จะหารด้วยศูนย์? ศูนย์ปรากฏขึ้นเมื่อใด

ทำไมคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์? วันที่ 16 เมษายน 2018

ดังนั้นเราจึงพูดคุยกันเมื่อเร็ว ๆ นี้ นี่เป็นอีกข้อความที่น่าสนใจ “คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้!” - เด็กนักเรียนส่วนใหญ่เรียนรู้กฎนี้ด้วยใจโดยไม่ต้องถามคำถาม เด็กทุกคนรู้ว่า "คุณทำไม่ได้" คืออะไร และจะเกิดอะไรขึ้นหากคุณถามกลับว่า "ทำไม" นี่คือสิ่งที่จะเกิดขึ้นถ้า

แต่ในความเป็นจริงมันน่าสนใจและสำคัญมากที่ต้องรู้ว่าเหตุใดจึงเป็นไปไม่ได้

ประเด็นก็คือว่าการดำเนินการทั้งสี่ของเลขคณิต ได้แก่ การบวก การลบ การคูณ และการหาร นั้นแท้จริงแล้วไม่เท่ากัน นักคณิตศาสตร์ยอมรับว่ามีเพียงสองคนเท่านั้นที่ถูกต้อง - การบวกและการคูณ การดำเนินการและคุณสมบัติเหล่านี้รวมอยู่ในคำจำกัดความของแนวคิดเรื่องตัวเลข การกระทำอื่น ๆ ทั้งหมดถูกสร้างขึ้นไม่ทางใดก็ทางหนึ่งจากทั้งสองนี้

ตัวอย่างเช่น พิจารณาการลบ 5-3 หมายถึงอะไร? นักเรียนจะตอบคำถามง่ายๆ: คุณต้องนำสิ่งของห้าชิ้นออกไป (ลบ) สามชิ้นแล้วดูว่าเหลืออยู่กี่ชิ้น แต่นักคณิตศาสตร์มองปัญหานี้แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง ไม่มีการลบ มีเพียงการบวกเท่านั้น ดังนั้น สัญลักษณ์ 5 – 3 จึงหมายถึงตัวเลขที่เมื่อบวกเข้ากับตัวเลข 3 แล้ว จะได้เลข 5 กล่าวคือ 5 – 3 เป็นเพียงสัญลักษณ์ย่อของสมการ คือ x + 3 = 5 ไม่มีการลบออก ในสมการนี้ มีเพียงงาน - เพื่อค้นหาหมายเลขที่เหมาะสม

การคูณและการหารก็เช่นเดียวกัน รายการ 8:4 สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นผลจากการแบ่งแปดรายการออกเป็นสี่กองเท่าๆ กัน แต่จริงๆ แล้วมันเป็นแค่รูปแบบชวเลขของสมการ 4 x = 8

นี่คือจุดที่ชัดเจนว่าเหตุใดจึงเป็นไปไม่ได้ (หรือค่อนข้างเป็นไปไม่ได้) ที่จะหารด้วยศูนย์ การบันทึก 5: 0 เป็นตัวย่อของ 0 x = 5 นั่นคือ งานนี้คือการหาตัวเลขที่เมื่อคูณด้วย 0 จะได้ 5 แต่เรารู้ว่าเมื่อคูณด้วย 0 ผลลัพธ์จะเป็น 0 เสมอ สิ่งนี้ เป็นคุณสมบัติโดยธรรมชาติของศูนย์ หรือพูดอย่างเคร่งครัด ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของคำจำกัดความ

ไม่มีจำนวนใดที่เมื่อคูณด้วย 0 จะให้ค่าอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ นั่นคือปัญหาของเราไม่มีทางแก้ไข (ใช่ สิ่งนี้เกิดขึ้น ไม่ใช่ทุกปัญหาจะมีทางแก้) ซึ่งหมายความว่าค่า 5:0 ไม่ตรงกับตัวเลขใดๆ และมันก็ไม่ได้มีความหมายอะไรเลย ดังนั้นจึงไม่มีความหมาย ความไร้ความหมายของรายการนี้แสดงออกมาสั้นๆ โดยบอกว่าคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้

ผู้อ่านที่เอาใจใส่มากที่สุดในสถานที่นี้จะถามอย่างแน่นอน: เป็นไปได้ไหมที่จะหารศูนย์ด้วยศูนย์? อันที่จริงสมการ 0 x = 0 สามารถแก้ไขได้อย่างปลอดภัย ตัวอย่างเช่น เราสามารถหา x = 0 แล้วเราจะได้ 0 · 0 = 0 แล้ว 0: 0=0? แต่อย่ารีบเร่ง ลองหา x = 1 มาดูกัน จะได้ 0 · 1 = 0 จริงไหม? ดังนั้น 0:0 = 1? แต่วิธีนี้คุณสามารถใช้ตัวเลขใดก็ได้แล้วได้ 0: 0 = 5, 0: 0 = 317 เป็นต้น

แต่หากหมายเลขใดเหมาะสมเราก็ไม่มีเหตุผลที่จะเลือกหมายเลขใดหมายเลขหนึ่ง นั่นคือเราไม่สามารถบอกได้ว่ารายการ 0:0 ตรงกับหมายเลขใด และหากเป็นเช่นนั้น เราก็ถูกบังคับให้ยอมรับว่ารายการนี้ไม่สมเหตุสมผลเช่นกัน ปรากฎว่าแม้แต่ศูนย์ก็ไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ (ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ มีหลายกรณีที่ เนื่องด้วยเงื่อนไขเพิ่มเติมของปัญหา เราสามารถให้ความสำคัญกับหนึ่งในคำตอบที่เป็นไปได้ของสมการ 0 x = 0 ในกรณีเช่นนี้ นักคณิตศาสตร์พูดถึง "การเปิดเผยความไม่แน่นอน" แต่เช่นนั้น กรณีไม่เกิดขึ้นในเลขคณิต)

นี่คือลักษณะเฉพาะของการดำเนินการฝ่าย แม่นยำยิ่งขึ้นการดำเนินการของการคูณและจำนวนที่เกี่ยวข้องนั้นมีศูนย์

คนที่พิถีพิถันที่สุดเมื่ออ่านมาถึงขนาดนี้อาจถามว่า: ทำไมคุณถึงหารด้วยศูนย์ไม่ได้ แต่คุณสามารถลบศูนย์ได้? ในแง่หนึ่ง นี่คือจุดเริ่มต้นของคณิตศาสตร์ที่แท้จริง คุณสามารถตอบได้โดยการทำความคุ้นเคยกับคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการของชุดตัวเลขและการดำเนินการกับชุดเหล่านั้นเท่านั้น

ศูนย์เองก็เป็นตัวเลขที่น่าสนใจมาก โดยตัวมันเองหมายถึงความว่างเปล่า ขาดความหมาย และถัดจากตัวเลขอื่นก็เพิ่มนัยสำคัญถึง 10 เท่า ตัวเลขใดๆ ก็ตามที่เป็นศูนย์ยกกำลังจะให้ 1 เสมอ เครื่องหมายนี้ใช้ในอารยธรรมมายา และยังแสดงถึงแนวคิดของ "จุดเริ่มต้น สาเหตุ" แม้แต่ปฏิทินก็ยังเริ่มต้นด้วยวันที่เป็นศูนย์ ตัวเลขนี้ยังเกี่ยวข้องกับการห้ามอย่างเข้มงวด

ตั้งแต่สมัยชั้นประถมศึกษา เราทุกคนได้เรียนรู้กฎเกณฑ์ที่ว่า “คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้” แต่ถ้าในวัยเด็กคุณเชื่อในหลายๆ เรื่องและคำพูดของผู้ใหญ่ไม่ค่อยทำให้เกิดความสงสัย เมื่อเวลาผ่านไป บางครั้งคุณยังต้องการเข้าใจเหตุผล เพื่อทำความเข้าใจว่าเหตุใดกฎเกณฑ์บางอย่างจึงถูกตั้งขึ้น

ทำไมคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์? ฉันต้องการคำอธิบายเชิงตรรกะที่ชัดเจนสำหรับคำถามนี้ ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 ครูไม่สามารถทำเช่นนี้ได้ เพราะในวิชาคณิตศาสตร์กฎต่างๆ อธิบายโดยใช้สมการ และในยุคนั้นเราไม่รู้ว่ามันคืออะไร และตอนนี้ก็ถึงเวลาหาคำตอบและรับคำอธิบายเชิงตรรกะที่ชัดเจนว่าเหตุใดคุณจึงหารด้วยศูนย์ไม่ได้

ความจริงก็คือในทางคณิตศาสตร์มีเพียงสองในสี่การดำเนินการพื้นฐาน (+, -, x, /) ที่มีตัวเลขเท่านั้นที่ได้รับการยอมรับว่าเป็นอิสระ: การคูณและการบวก การดำเนินงานที่เหลือถือเป็นอนุพันธ์ ลองดูตัวอย่างง่ายๆ

บอกฉันหน่อยว่าคุณจะได้เท่าไหร่ถ้าคุณลบ 18 จาก 20? โดยปกติแล้วคำตอบจะเกิดขึ้นในหัวของเราทันที มันจะเป็น 2 เรามาถึงผลลัพธ์นี้ได้อย่างไร? คำถามนี้อาจดูแปลกสำหรับบางคน - ท้ายที่สุดทุกอย่างชัดเจนว่าผลลัพธ์จะเป็น 2 บางคนจะอธิบายว่าเขารับ 18 จาก 20 kopecks และได้รับสอง kopecks ตามหลักเหตุผลแล้ว คำตอบทั้งหมดนี้ไม่ต้องสงสัย แต่จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ปัญหานี้ควรได้รับการแก้ไขแตกต่างออกไป ขอให้เราระลึกอีกครั้งว่าการดำเนินการหลักในคณิตศาสตร์คือการคูณและการบวก ดังนั้นในกรณีของเรา คำตอบอยู่ที่การแก้สมการต่อไปนี้: x + 18 = 20 จากนั้นจึงตามด้วย x = 20 - 18, x = 2 . ดูเหมือนว่าทำไมต้องอธิบายทุกอย่างโดยละเอียด? ท้ายที่สุดแล้วทุกอย่างก็ง่ายมาก อย่างไรก็ตาม หากไม่มีสิ่งนี้ ก็ยากที่จะอธิบายว่าทำไมคุณจึงไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้

ทีนี้ลองดูว่าจะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราอยากหาร 18 ด้วยศูนย์. มาสร้างสมการอีกครั้ง: 18: 0 = x เนื่องจากการหารเป็นอนุพันธ์ของขั้นตอนการคูณ การแปลงสมการของเราจึงได้ x * 0 = 18 นี่คือจุดเริ่มต้นของทางตัน จำนวนใดๆ แทนที่ X เมื่อคูณด้วยศูนย์จะได้ 0 และเราจะไม่สามารถได้ 18 ตอนนี้มันชัดเจนมากว่าทำไมคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ ศูนย์สามารถหารด้วยจำนวนใดก็ได้ แต่ในทางกลับกัน - อนิจจามันเป็นไปไม่ได้

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณหารศูนย์ด้วยตัวเอง? สามารถเขียนได้ดังนี้: 0: 0 = x หรือ x * 0 = 0 สมการนี้มีคำตอบจำนวนอนันต์ ดังนั้นผลลัพธ์สุดท้ายจึงไม่มีที่สิ้นสุด ดังนั้นการดำเนินการในกรณีนี้จึงไม่สมเหตุสมผลเช่นกัน

การหารด้วย 0 เป็นรากฐานของเรื่องตลกทางคณิตศาสตร์ในจินตนาการมากมายที่สามารถใช้เพื่อไขปริศนาคนโง่เขลาได้หากต้องการ ตัวอย่างเช่น พิจารณาสมการ: 4*x - 20 = 7*x - 35 ลองเอา 4 ออกจากวงเล็บทางด้านซ้ายและ 7 ทางด้านขวา เราจะได้: 4*(x - 5) = 7*(x - 5) ทีนี้ลองคูณด้านซ้ายและด้านขวาของสมการด้วยเศษส่วน 1 / (x - 5) สมการจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้: 4*(x - 5)/(x - 5) = 7*(x - 5)/ (x - 5) ลองลดเศษส่วนลง (x - 5) แล้วปรากฎว่า 4 = 7 จากนี้สรุปได้ว่า 2*2 = 7! แน่นอน สิ่งที่จับได้ตรงนี้ก็คือ มันเท่ากับ 5 และเป็นไปไม่ได้ที่จะหักล้างเศษส่วน เนื่องจากสิ่งนี้นำไปสู่การหารด้วยศูนย์ ดังนั้น เมื่อลดเศษส่วน คุณต้องตรวจสอบเสมอว่าศูนย์ไม่ได้ไปอยู่ในตัวส่วนโดยไม่ตั้งใจ ไม่เช่นนั้นผลลัพธ์จะไม่สามารถคาดเดาได้อย่างสมบูรณ์

ทำไมคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์? ใครห้าม? โรงเรียนห้ามไม่ให้เราหารด้วยศูนย์อย่างดื้อรั้น แต่ทันทีที่เราผ่านเกณฑ์ของมหาวิทยาลัยก็จะได้รับความยินยอม สิ่งที่ถือเป็นข้อห้ามในโรงเรียนตอนนี้เป็นไปได้แล้ว คุณสามารถหารด้วยศูนย์และรับอนันต์ คณิตศาสตร์ขั้นสูง... เกือบแล้ว

ประวัติศาสตร์และปรัชญาของศูนย์

ในความเป็นจริง เรื่องราวของการหารด้วยศูนย์หลอกหลอนนักประดิษฐ์ (ก) แต่ชาวอินเดียนแดงเป็นนักปรัชญาที่คุ้นเคยกับปัญหาเชิงนามธรรม การแบ่งโดยไม่มีอะไรเลยหมายความว่าอย่างไร? สำหรับชาวยุโรปในสมัยนั้น คำถามดังกล่าวไม่มีอยู่เลย เนื่องจากพวกเขาไม่รู้เกี่ยวกับศูนย์หรือจำนวนลบเลย (ซึ่งอยู่ทางด้านซ้ายของ 0 บนตาชั่ง)

ในอินเดีย การลบจำนวนที่มากกว่าออกจากจำนวนที่น้อยกว่าแล้วได้จำนวนที่ติดลบไม่ใช่ปัญหา ท้ายที่สุดแล้ว 3-5=-2 ในชีวิตประจำวันหมายถึงอะไร? ซึ่งหมายความว่ามีคนเป็นหนี้ใครบางคน 2. มีการเรียกเลขลบ หนี้.

ทีนี้มาจัดการกับปัญหาการหารด้วยศูนย์แบบง่ายๆ กันดีกว่า ย้อนกลับไปในปีคริสตศักราช 598 (ลองคิดดูว่าเมื่อนานมาแล้วมากกว่า 1,400 ปีที่แล้ว!) นักคณิตศาสตร์พรหมคุปต์เกิดที่อินเดีย และเขาก็สงสัยเรื่องการหารด้วยศูนย์ด้วย

เขาแนะนำว่าถ้าเรานำมะนาวมาเริ่มแบ่งเป็นส่วน ไม่ช้าก็เร็ว เราก็จะพบว่ามะนาวเป็นชิ้นเล็กมาก ในจินตนาการของเรา เราสามารถไปถึงจุดที่สไลซ์มีค่าเท่ากับศูนย์ได้ คำถามคือ หากคุณแบ่งมะนาวออกเป็น 2, 4 หรือ 10 ส่วน แต่แบ่งเป็นจำนวนไม่สิ้นสุด มะนาวฝานจะมีขนาดเท่าใด? คุณจะได้รับ "ศูนย์สไลซ์" จำนวนอนันต์ ทุกอย่างค่อนข้างง่าย หั่นมะนาวอย่างประณีตเราได้แอ่งน้ำที่มีส่วนไม่สิ้นสุด - น้ำมะนาว

เพียงถามคำถามกับตัวเอง:

หากการหารด้วยอนันต์ทำให้เกิดศูนย์ การหารด้วยศูนย์จะต้องทำให้เกิดอนันต์

x/ ∞=0 หมายถึง x/0=∞

แต่ถ้าคุณเรียนคณิตศาสตร์มันจะดูไร้เหตุผล:

ก*0=0? จะเกิดอะไรขึ้นถ้า b*0=0? ซึ่งหมายความว่า: a*0=b*0

และจากตรงนี้: a=b

นั่นคือจำนวนใด ๆ เท่ากับจำนวนใด ๆ ความไม่ถูกต้องประการแรกของการหารด้วยศูนย์ มาดูกันดีกว่า ในทางคณิตศาสตร์ การหารถือเป็นการผกผันของการคูณ ซึ่งหมายความว่าถ้าเราหาร 4 ด้วย 2, เราต้องหาตัวเลขที่เมื่อคูณด้วย 2 ได้ 4.

หาร 4 ด้วยศูนย์ - คุณต้องหาตัวเลขที่เมื่อคูณด้วยศูนย์จะได้ 4 นั่นคือ x*0=4? แต่ x*0=0! โชคร้ายอีกแล้ว ดังนั้นเราจึงถาม: “คุณต้องใช้เลขศูนย์กี่ตัวจึงจะสร้าง 4 ได้”อินฟินิตี้? จำนวนศูนย์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดจะยังคงรวมกันเป็นศูนย์

และการหาร 0 ด้วย 0 โดยทั่วไปจะให้ความไม่แน่นอน เนื่องจาก 0*x=0 โดยที่ x คืออะไรก็ได้ นั่นคือมีวิธีแก้ไขมากมายนับไม่ถ้วน

ไม่อนุญาตให้ใช้ความไร้เหตุผลและความนามธรรมของการดำเนินการที่มีศูนย์ภายในกรอบแคบของพีชคณิต ต้องใช้เครื่องมือที่จริงจังกว่านี้ - คณิตศาสตร์ระดับสูง ดังนั้น ในทางหนึ่ง คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ แต่ถ้าคุณต้องการจริงๆ คุณสามารถหารด้วยศูนย์ได้ แต่คุณต้องเตรียมพร้อมที่จะเข้าใจสิ่งต่างๆ เช่น ฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac และสิ่งที่เข้าใจยากอื่นๆ แชร์เพื่อสุขภาพของคุณ

คำอธิบายง่ายๆจากชีวิต

นี่คือปัญหาในชีวิตจริงสำหรับคุณ สมมติว่าเราต้องการคำนวณว่าจะใช้เวลาเดิน 10 กิโลเมตรนานแค่ไหน นั่นหมายถึง ความเร็ว * เวลา = ระยะทาง (S=Vt) หากต้องการทราบเวลา ให้หารระยะทางด้วยความเร็ว (t=S/V) จะเกิดอะไรขึ้นถ้าความเร็วของเราเป็น 0? เสื้อ=10/0. จะมีอนันต์!

เรายืนนิ่ง ความเร็วเป็นศูนย์ และด้วยความเร็วเท่านี้ เราจะไปถึงเครื่องหมาย 10 กม. ตลอดไป ดังนั้นเวลาจะเป็น... t=∞. ดังนั้นเราจึงมีอนันต์!

และในตัวอย่างนี้ การหารด้วยศูนย์เป็นไปได้ ประสบการณ์ชีวิตเอื้ออำนวย น่าเสียดายที่ครูในโรงเรียนไม่สามารถอธิบายเรื่องแบบนี้ง่ายๆ ได้

ว่ากันว่าคุณสามารถหารด้วยศูนย์ได้หากคุณกำหนดผลลัพธ์ของการหารด้วยศูนย์ คุณเพียงแค่ต้องขยายพีชคณิต ด้วยความบังเอิญที่แปลกประหลาด จึงไม่สามารถหาตัวอย่างส่วนขยายดังกล่าวอย่างน้อยบางส่วนหรือที่เข้าใจง่ายและดีกว่าได้ ในการแก้ไขอินเทอร์เน็ตคุณต้องมีการสาธิตวิธีใดวิธีหนึ่งสำหรับส่วนขยายดังกล่าวหรือคำอธิบายว่าทำไมจึงไม่สามารถทำได้

บทความนี้เขียนขึ้นเพื่อความต่อเนื่องของเทรนด์:

ข้อสงวนสิทธิ์

วัตถุประสงค์ของบทความนี้คือเพื่ออธิบายด้วย "ภาษามนุษย์" ว่าหลักการพื้นฐานของคณิตศาสตร์ทำงานอย่างไร เพื่อจัดโครงสร้างความรู้ และฟื้นฟูความสัมพันธ์ระหว่างเหตุและผลที่พลาดไประหว่างสาขาวิชาคณิตศาสตร์ การให้เหตุผลทั้งหมดเป็นไปตามหลักปรัชญา ในการตัดสินบางอย่าง เหตุผลเหล่านั้นแตกต่างจากที่ยอมรับโดยทั่วไป (ด้วยเหตุนี้ จึงไม่เสแสร้งว่าเข้มงวดทางคณิตศาสตร์) บทความนี้ออกแบบมาสำหรับระดับผู้อ่านที่ "ผ่านหอคอยเมื่อหลายปีก่อน"

ความเข้าใจในหลักการของเลขคณิต ประถมศึกษา พีชคณิตทั่วไปและพีชคณิตเชิงเส้น การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และที่ไม่ได้มาตรฐาน ทฤษฎีเซต โทโพโลยีทั่วไป เรขาคณิตโปรเจ็กต์และเรขาคณิตสัมพันธ์ เป็นสิ่งที่พึงประสงค์ แต่ไม่จำเป็น

ไม่มีความเสียหายอันไม่มีที่สิ้นสุดระหว่างการทดลอง

อารัมภบท

การก้าว “เกินขอบเขต” เป็นกระบวนการธรรมชาติในการค้นหาความรู้ใหม่ๆ แต่ไม่ใช่ว่าการค้นหาทุกครั้งจะนำมาซึ่งความรู้ใหม่ ๆ และก่อให้เกิดประโยชน์

1. จริงๆ แล้วทุกอย่างถูกแบ่งแยกต่อหน้าเราแล้ว!

1.1 กำหนดส่วนขยายของเส้นจำนวน

เริ่มจากจุดที่นักผจญภัยทุกคนอาจเริ่มต้นเมื่อหารด้วยศูนย์ มาจำกราฟของฟังก์ชันกัน .

ทางซ้ายและขวาของศูนย์ ฟังก์ชันจะไปสู่ทิศทางที่ต่างกันของ "การไม่มีอยู่จริง" ด้านล่างสุดจะมี "สระน้ำ" ทั่วไปและมองไม่เห็นอะไรเลย

แทนที่จะวิ่งหัวทิ่มลงไปในสระ มาดูกันว่ามีอะไรไหลเข้าและอะไรออกมาจากสระบ้าง ในการทำเช่นนี้ เราจะใช้ลิมิตซึ่งเป็นเครื่องมือหลักของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ “เคล็ดลับ” หลักคือขีดจำกัดช่วยให้คุณไปยังจุดที่กำหนดให้ใกล้ที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ แต่ไม่ใช่ “ก้าวขึ้นไป” “รั้ว” แบบนี้หน้า “สระน้ำ”

ต้นฉบับ

เอาล่ะ "รั้ว" ถูกสร้างขึ้นแล้ว มันไม่น่ากลัวอีกต่อไป เรามีทางไปสระว่ายน้ำ 2 ทาง ไปทางซ้าย - ทางลงชัน ทางขวา - ทางขึ้นชัน เดินเข้าหา “รั้ว” แค่ไหนก็เข้าใกล้ไม่ได้ ไม่มีทางที่จะข้าม "ความว่างเปล่า" ทั้งล่างและบนได้ ความสงสัยเกิดขึ้น: บางทีเราอาจจะเป็นวงกลม? แม้ว่าจะไม่ แต่ตัวเลขก็เปลี่ยนไป ซึ่งหมายความว่าตัวเลขไม่อยู่ในวงกลม เรามาค้นหาเครื่องมือวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เพิ่มเติมกัน นอกเหนือจากข้อจำกัดด้วย "รั้ว" แล้ว ชุดนี้ยังรวมถึงค่าอนันต์บวกและลบด้วย ปริมาณเป็นแบบนามธรรมโดยสมบูรณ์ (ไม่ใช่ตัวเลข) มีการจัดระบบอย่างดีและพร้อมใช้งาน! มันเหมาะกับเรา มาเสริม “ความเป็นอยู่” (เซตของจำนวนจริง) ด้วยค่าอนันต์ที่มีเครื่องหมายสองตัวกัน

ในภาษาคณิตศาสตร์:

เป็นส่วนขยายนี้ที่อนุญาตให้คุณใช้ขีดจำกัดเมื่ออาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดและได้รับอนันต์อันเป็นผลมาจากการใช้ขีดจำกัด

คณิตศาสตร์มีสองสาขาที่อธิบายสิ่งเดียวกันโดยใช้คำศัพท์ที่แตกต่างกัน

สรุป:

บรรทัดล่างคือ วิธีการแบบเก่าใช้ไม่ได้อีกต่อไป ความซับซ้อนของระบบในรูปแบบของ "ifs", "for all but" ฯลฯ ได้เพิ่มขึ้น เรามีความไม่แน่นอนเพียงสองประการ 1/0 และ 0/0 (เราไม่ได้พิจารณาการดำเนินการด้านพลังงาน) ดังนั้นจึงมีห้ารายการ การเปิดเผยความไม่แน่นอนประการหนึ่งทำให้เกิดความไม่แน่นอนมากยิ่งขึ้น

1.2 ล้อ

มันไม่ได้หยุดอยู่กับการแนะนำอินฟินิตี้ที่ไม่ได้ลงนาม เพื่อที่จะหลุดพ้นจากความไม่แน่นอน คุณต้องมีลมครั้งที่สอง

เรามีเซตของจำนวนจริงและความไม่แน่นอนสองตัวคือ 1/0 และ 0/0 เพื่อกำจัดอันแรก เราทำการขยายเส้นจำนวนแบบฉายภาพ (นั่นคือ เราแนะนำอินฟินิตี้ที่ไม่ได้ลงนาม) ลองจัดการกับความไม่แน่นอนที่สองของรูปแบบ 0/0 กัน ลองทำเช่นเดียวกัน เรามาเพิ่มองค์ประกอบใหม่ให้กับชุดตัวเลขซึ่งแสดงถึงความไม่แน่นอนที่สอง

คำจำกัดความของการดำเนินการหารขึ้นอยู่กับการคูณ สิ่งนี้ไม่เหมาะกับเรา ลองแยกการดำเนินการออกจากกัน แต่คงพฤติกรรมปกติสำหรับจำนวนจริงไว้ เรามานิยามการดำเนินการหารแบบเอกภาคซึ่งแสดงด้วยเครื่องหมาย "/"

เรามากำหนดการดำเนินการกัน

โครงสร้างนี้เรียกว่า "วงล้อ" คำนี้ถูกนำมาใช้เนื่องจากมีความคล้ายคลึงกับภาพทอพอโลยีของส่วนขยายที่ฉายของเส้นจำนวนและจุด 0/0

ดูเหมือนทุกอย่างจะดูดี แต่ปีศาจอยู่ในรายละเอียด:

เพื่อสร้างคุณสมบัติทั้งหมด นอกเหนือจากการขยายชุดองค์ประกอบแล้ว โบนัสจะถูกแนบมาในรูปแบบที่ไม่ใช่แค่หนึ่ง แต่มีสองตัวตนที่อธิบายกฎการกระจาย

ในภาษาคณิตศาสตร์:

จากมุมมองของพีชคณิตทั่วไป เราดำเนินการกับภาคสนาม และดังที่คุณทราบในสาขานี้ มีการกำหนดการดำเนินการเพียงสองรายการเท่านั้น (การบวกและการคูณ) แนวคิดเรื่องการหารได้มาจากองค์ประกอบหน่วยที่ผกผันและลึกลงไปอีก การเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นได้แปลงระบบพีชคณิตของเราให้เป็นโมโนด์สำหรับทั้งการดำเนินการบวก (โดยมีศูนย์เป็นองค์ประกอบที่เป็นกลาง) และการดำเนินการคูณ (โดยที่หนึ่งเป็นองค์ประกอบที่เป็นกลาง)

ผลงานของผู้บุกเบิกไม่ได้ใช้สัญลักษณ์ ∞ และ ⊥ เสมอไป คุณสามารถค้นหารายการในรูปแบบ /0 และ 0/0 แทนได้

โลกไม่ได้วิเศษอีกต่อไปแล้วใช่ไหม? ถึงกระนั้นก็ไม่จำเป็นต้องรีบเร่ง เรามาตรวจสอบว่าอัตลักษณ์ใหม่ของกฎการกระจายสามารถรับมือกับชุดขยายของเราได้หรือไม่ .

คราวนี้ผลลัพธ์ดีขึ้นมาก

สรุป:

บรรทัดล่างคือ พีชคณิตทำงานได้ดีมาก อย่างไรก็ตาม แนวคิดของ "ไม่ได้กำหนด" ถูกนำมาใช้เป็นพื้นฐาน ซึ่งพวกเขาเริ่มพิจารณาว่าเป็นสิ่งที่มีอยู่และดำเนินการตามนั้น วันหนึ่งจะมีคนบอกว่าทุกอย่างไม่ดี และคุณต้องแยก "ไม่ได้กำหนด" นี้ออกเป็น "ไม่ได้กำหนด" อีกหลายอัน แต่พีชคณิตที่เล็กกว่าจะพูดว่า: "ไม่มีปัญหาครับพี่ชาย!"
นี่เป็นค่าโดยประมาณว่าหน่วยจินตภาพเพิ่มเติม (j และ k) ถูกสมมุติฐานในควอเทอร์เนียนเพิ่มแท็กอย่างไร

ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดจะดำเนินการด้วยจำนวนจริง เซตของตัวเลขเหล่านี้ (หรือช่องเรียงลำดับต่อเนื่อง) มีคุณสมบัติหลายประการ (สัจพจน์): การสลับและการเชื่อมโยงของการคูณและการบวก การมีอยู่ของศูนย์ หนึ่ง องค์ประกอบที่ตรงกันข้ามและผกผัน นอกจากนี้ สัจพจน์ของลำดับและความต่อเนื่องที่ใช้ในการวิเคราะห์เชิงเปรียบเทียบ ยังทำให้สามารถระบุคุณสมบัติทั้งหมดของจำนวนจริงได้

เนื่องจากการหารเป็นการดำเนินการผกผันของการคูณ ปัญหาที่แก้ไม่ได้สองข้อจึงเกิดขึ้นเมื่อหารจำนวนจริงด้วยศูนย์อย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ ขั้นแรก การตรวจสอบผลลัพธ์ของการหารด้วยศูนย์โดยใช้การคูณนั้นไม่มีนิพจน์ตัวเลข ไม่ว่าผลหารจะเป็นจำนวนเท่าใด หากคูณด้วยศูนย์ ก็จะไม่สามารถรับเงินปันผลได้ ประการที่สอง ในตัวอย่าง 0:0 คำตอบอาจเป็นตัวเลขใดก็ได้ ซึ่งเมื่อคูณด้วยตัวหารจะกลายเป็นศูนย์เสมอ

หารด้วยศูนย์ในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง

ความยากลำบากที่ระบุไว้ในการหารด้วยศูนย์นำไปสู่การกำหนดข้อห้ามในการดำเนินการนี้ อย่างน้อยก็อยู่ในกรอบของหลักสูตรของโรงเรียน อย่างไรก็ตาม ในคณิตศาสตร์ชั้นสูง พวกเขาพบวิธีที่จะหลีกเลี่ยงข้อห้ามนี้

ตัวอย่างเช่น โดยการสร้างโครงสร้างพีชคณิตที่แตกต่างไปจากเส้นจำนวนที่คุ้นเคย ตัวอย่างของโครงสร้างดังกล่าวคือล้อ มีกฎหมายและกฎเกณฑ์อยู่ที่นี่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การหารไม่ได้เชื่อมโยงกับการคูณ และเปลี่ยนจากการดำเนินการไบนารี่ (ที่มีสองอาร์กิวเมนต์) ไปเป็นการดำเนินการแบบเอกนารี (ที่มีอาร์กิวเมนต์เดียว) ซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์ /x

การขยายตัวของสนามของจำนวนจริงเกิดขึ้นเนื่องจากการนำเข้าของจำนวนไฮเปอร์เรียล ซึ่งครอบคลุมปริมาณที่มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์และมีจำนวนไม่สิ้นสุด แนวทางนี้ช่วยให้เราพิจารณาคำว่า "อนันต์" เป็นจำนวนหนึ่งได้ ยิ่งไปกว่านั้น เมื่อเส้นจำนวนขยายออกไป ตัวเลขนี้ก็จะสูญเสียเครื่องหมายไป และกลายเป็นจุดในอุดมคติที่เชื่อมปลายทั้งสองของเส้นนี้ วิธีการนี้สามารถเปรียบเทียบกับเส้นวันที่ได้ เมื่อเคลื่อนที่ระหว่างสองโซนเวลา UTC+12 และ UTC-12 คุณจะพบว่าตัวเองอยู่ในวันถัดไปหรือในโซนก่อนหน้า ในกรณีนี้ คำสั่ง x/0=∞ สำหรับ x≠0 ใดๆ จะกลายเป็นจริง

เพื่อขจัดความไม่แน่นอน 0/0 จึงมีการใช้องค์ประกอบใหม่ ⏊=0/0 สำหรับวงล้อ ในเวลาเดียวกันโครงสร้างพีชคณิตนี้มีความแตกต่างในตัวเอง: 0 x≠0; x-x≠0 ในกรณีทั่วไป นอกจากนี้ x·/x≠1 เนื่องจากการหารและการคูณจะไม่ถือเป็นการดำเนินการผกผันอีกต่อไป แต่คุณลักษณะเหล่านี้ของวงล้อได้รับการอธิบายอย่างดีโดยใช้ข้อมูลเฉพาะตัวของกฎการกระจาย ซึ่งดำเนินการค่อนข้างแตกต่างออกไปในโครงสร้างพีชคณิตดังกล่าว คำอธิบายโดยละเอียดเพิ่มเติมสามารถพบได้ในวรรณกรรมเฉพาะทาง

พีชคณิตซึ่งทุกคนคุ้นเคย ที่จริงแล้วเป็นกรณีพิเศษของระบบที่ซับซ้อนกว่า เช่น วงล้อเดียวกัน อย่างที่คุณเห็น การหารด้วยศูนย์เป็นไปได้ในทางคณิตศาสตร์ชั้นสูง สิ่งนี้ต้องก้าวข้ามขอบเขตของแนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับตัวเลข การดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต และกฎที่พวกเขาปฏิบัติตาม แม้ว่านี่จะเป็นกระบวนการทางธรรมชาติที่สมบูรณ์ที่มาพร้อมกับการค้นหาความรู้ใหม่ก็ตาม

บทความที่เกี่ยวข้อง

แหล่งที่มา:

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่มีศูนย์มักจะถูกแยกแยะตามกฎพิเศษและแม้กระทั่งข้อห้าม ดังนั้น นักเรียนชั้นประถมศึกษาทุกคนจึงเรียนรู้กฎที่ว่า “คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้” ยังมีกฎและแบบแผนเพิ่มเติมเกี่ยวกับจำนวนลบอีกด้วย ทั้งหมดนี้ทำให้ความเข้าใจของนักเรียนในเนื้อหามีความซับซ้อนอย่างมาก ดังนั้นบางครั้งจึงไม่ชัดเจนด้วยซ้ำว่าศูนย์สามารถหารด้วยจำนวนลบได้หรือไม่

การแบ่งคืออะไร

ก่อนอื่น หากต้องการทราบว่าศูนย์สามารถหารด้วยจำนวนลบได้หรือไม่ คุณควรจำไว้ว่าโดยทั่วไปการหารจำนวนลบนั้นดำเนินการอย่างไร การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของการหารคือการผกผันของการคูณ

สามารถอธิบายได้ดังต่อไปนี้: ถ้า a และ b เป็นจำนวนตรรกยะ การหาร a ด้วย b หมายถึงการค้นหาตัวเลข c ซึ่งเมื่อคูณด้วย b จะได้ผลลัพธ์เป็นตัวเลข a คำจำกัดความของการหารนี้ใช้ได้กับทั้งจำนวนบวกและลบตราบใดที่ตัวหารไม่เป็นศูนย์ ในกรณีนี้ มีการปฏิบัติตามเงื่อนไขอย่างเคร่งครัดว่าคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้

ดังนั้น เช่น หากต้องการหารเลข 32 ด้วยเลข -8 ก็ควรหาตัวเลขที่เมื่อคูณด้วยเลข -8 ก็จะได้ผลลัพธ์เป็นเลข 32 ตัวเลขนี้จะเป็น -4 เนื่องจาก

(-4) x (-8) = 32 เครื่องหมายบวกกัน และลบด้วยลบก็จะได้บวกในที่สุด

ดังนั้น:

ตัวอย่างอื่นๆ ของการหารจำนวนตรรกยะ:

21: 7 = 3 เนื่องจาก 7 x 3 = 21

(−9) : (−3) = 3 เนื่องจาก 3 · (−3) = −9

กฎสำหรับการหารจำนวนลบ

ในการหาโมดูลัสของผลหาร คุณต้องหารโมดูลัสของจำนวนที่คุณหารด้วยโมดูลัสของตัวหาร สิ่งสำคัญคือต้องคำนึงถึงสัญญาณของทั้งสององค์ประกอบของการดำเนินการ

หากต้องการหารตัวเลขสองตัวที่มีเครื่องหมายเหมือนกัน คุณต้องแบ่งโมดูลของการจ่ายเงินปันผลด้วยโมดูลของตัวหาร และใส่เครื่องหมายบวกไว้หน้าผลลัพธ์

หากต้องการหารตัวเลขสองตัวที่มีเครื่องหมายต่างกัน คุณจะต้องแบ่งโมดูลของเงินปันผลด้วยโมดูลของตัวหาร แต่ให้ใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าผลลัพธ์ และไม่สำคัญว่าองค์ประกอบใด ตัวหาร หรือเงินปันผล เป็นลบ

กฎและความสัมพันธ์ที่ระบุระหว่างผลลัพธ์ของการคูณและการหารซึ่งรู้จักกันในชื่อจำนวนบวก ยังใช้ได้กับจำนวนตรรกยะทั้งหมดยกเว้นศูนย์

มีกฎสำคัญสำหรับศูนย์: ผลหารของศูนย์หารด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ก็จะเป็นศูนย์เช่นกัน

0: b = 0, b ≠ 0 นอกจากนี้ b อาจเป็นได้ทั้งจำนวนบวกและจำนวนลบ

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าศูนย์สามารถหารด้วยจำนวนลบได้ และผลลัพธ์จะเป็นศูนย์เสมอ