การฉายภาพพีชคณิตบนแกน หนังสือ : กลศาสตร์เทคนิค. ส่วนที่ 1. มีการรวบรวมสมการสมดุลจำนวนเท่าใดสำหรับระบบแรงตามอำเภอใจของระนาบ

วัสดุทางทฤษฎี

การเชื่อมต่อคือร่างกายที่ป้องกันการเคลื่อนไหวของอีกร่างหนึ่งภายใต้อิทธิพลของกำลัง

ปฏิกิริยาการสื่อสาร- แรงที่เกิดขึ้นภายในการเชื่อมต่อนั่นเอง ปฏิกิริยาจะตรงข้ามกับทิศทางที่การเชื่อมต่อขัดขวางการเคลื่อนไหวของร่างกายเสมอ ร่างกายทั้งหมดสามารถเป็นอิสระหรือไม่เป็นอิสระได้ ร่างกายที่เป็นอิสระไม่มีการเชื่อมต่อ วัตถุที่ไม่เป็นอิสระใดๆ สามารถแสดงได้ว่าเป็นอิสระหากพันธะที่ทำกับวัตถุนั้นถูกแทนที่ด้วยปฏิกิริยา

ประเภทของการเชื่อมต่อ:

ก) พื้นผิวเรียบหรือระนาบนั่นคือพื้นผิวที่ปราศจากการเสียดสี ปฏิกิริยาของการเชื่อมต่อนี้จะตั้งฉากกับจุดสัมผัสเสมอ R – ปฏิกิริยาพันธะ

ข) การสนับสนุนที่ราบรื่นปฏิกิริยาของการเชื่อมต่อนี้จะตั้งฉากกับจุดที่สัมผัสกัน (ปฏิกิริยาคือแรงภายในโครงสร้าง) ขนาดของมันขึ้นอยู่กับวัสดุ ขนาด และแรงภายนอก

วี) การสื่อสารที่ยืดหยุ่น- การเชื่อมต่อที่ใช้ได้เฉพาะในแรงดึงเท่านั้น ซึ่งดำเนินการโดยใช้สายเคเบิล เชือก หรือโซ่ ปฏิกิริยาของการเชื่อมต่อแบบยืดหยุ่นนั้นมุ่งไปตามจุดเชื่อมต่อนั้นเองจนถึงจุดยึดซึ่งก็คือตรงกันข้ามกับทิศทางของแรง

ช) แท่งแข็ง- ดำเนินการโดยคานต่างๆ, I-beam, ช่อง การเชื่อมต่อใช้งานได้ทั้งแรงดึงและแรงอัด หากแกนประสบกับความตึงเครียด ปฏิกิริยาจะพุ่งไปตามแกนไปยังตำแหน่งที่ยึด ถ้ามันอยู่ในการบีบอัด ปฏิกิริยาก็จะพุ่งไปทางด้านหลังแกน

ง) การสนับสนุนที่ชัดเจน- ส่วนรองรับสามารถเคลื่อนย้ายหรือแก้ไขได้ ส่วนรองรับคงที่จะมีปฏิกิริยาสองปฏิกิริยาตั้งฉากกัน ส่วนรองรับแบบเคลื่อนย้ายได้นั้นมีปฏิกิริยาหนึ่งปฏิกิริยาซึ่งตั้งฉากกับพื้นผิว

การสนับสนุนที่สามารถเคลื่อนย้ายการสนับสนุนคงที่

ภารกิจในการทำงานให้เสร็จสิ้น

1. วาดภาพเวอร์ชันของคุณ

2. อธิบายการวาดภาพ

3. กำหนดประเภทของการเชื่อมต่อและแทนที่ด้วยปฏิกิริยา

ตัวเลือกที่ 18

1.

2.

3.

คำถามควบคุม:

1. แกนและเส้นโครงต่างกันอย่างไร?

2. คุณสร้างสมการสมดุลจำนวนเท่าใดเมื่อแก้ไขปัญหา?

3. ระเบียบวิธีในการแก้ปัญหา PSSS

4. กำหนดระบบระนาบของกองกำลังที่มาบรรจบกัน

5. แรงที่ฉายลงบนระนาบพิกัดมีขนาดเท่าใด?

วรรณกรรม:

1. เวไรน์ แอล.ไอ. กลศาสตร์ทางเทคนิค - M: Academy, 2549

2. มอฟนิน เอ็ม.เอส. พื้นฐานของกลศาสตร์ทางเทคนิค - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: Politekhnika, 2003

3. Molchanova E.V., Shurygina G.N. สถิตยศาสตร์และความต้านทานของวัสดุ - Tomsk, 2008

งานภาคปฏิบัติหมายเลข 2

หัวข้อบทเรียน:การกำหนดปฏิกิริยาคัปปลิ้งของระบบระนาบของแรงที่มาบรรจบกัน

ประเภทบทเรียน:การรวมความรู้ที่ได้รับ

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:เรียนรู้ที่จะกำหนดปฏิกิริยาการควบคู่ของระบบระนาบของแรงที่มาบรรจบกัน

สื่อสนับสนุน:

1. คำแนะนำด้านระเบียบวิธีในการปฏิบัติงาน

2. งานส่วนบุคคล

3. สมุดบันทึกสำหรับการปฏิบัติงาน

7. เครื่องคิดเลข.

เทคโนโลยีการทำงาน:

1. ศึกษาแนวปฏิบัติและเนื้อหาทางทฤษฎีที่นำเสนออย่างรอบคอบ

2.ตามตัวเลือกนี้ ให้ทำงานให้เสร็จสิ้นตามวิธีการที่แสดงด้านล่าง

3.สรุปผลงานที่ทำ

4.ตอบคำถามเพื่อความปลอดภัย

วัสดุทางทฤษฎี

เงื่อนไขและสมการสมดุลของระบบระนาบของแรงที่อยู่ตามอำเภอใจ

เมื่อระบบแรงมาถึงจุดหนึ่ง จะได้ R ch และ M ch

หากระบบแรงอยู่ในสมดุล ดังนั้น R gl = 0, M gl = 0

ให้เราเขียนสมการสมดุลสามประเภทสำหรับระบบนี้

มุมมองแรก

การสร้างรูปหลายเหลี่ยมแบบบังคับต้องใช้โครงสร้างที่ซับซ้อนและยุ่งยาก และไม่ได้ให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำเพียงพอ ในกรณีเช่นนี้ พวกเขาหันไปใช้วิธีอื่น โดยแทนที่การสร้างทางเรขาคณิตด้วยการคำนวณปริมาณสเกลาร์ ซึ่งสามารถทำได้โดยการฉายแรงที่ระบุบนแกนของระบบพิกัดสี่เหลี่ยม

แกนคือเส้นตรงที่กำหนดทิศทางเฉพาะเส้นโครงของเวกเตอร์บนแกนคือปริมาณสเกลาร์ ซึ่งถูกกำหนดโดยส่วนของแกนที่ตัดออกโดยตั้งฉากที่ตกลงไปบนเวกเตอร์ตั้งแต่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์

การฉายภาพเวกเตอร์จะถือเป็นค่าบวก (+) หากทิศทางจากจุดเริ่มต้นของการฉายภาพไปยังจุดสิ้นสุดนั้นเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางที่เป็นบวกของแกน เส้นโครงเวกเตอร์จะถือเป็นลบ (-) หากทิศทางจากจุดเริ่มต้นของเส้นโครงจนถึงจุดสิ้นสุดอยู่ตรงข้ามกับทิศทางบวกของแกน

ให้เราพิจารณาหลายกรณีของแรงที่ยื่นออกมาบนแกน

1. ให้แรง (รูปที่ 7, ก) อยู่ในระนาบเดียวกันกับแกน x- เวกเตอร์แรงสร้างมุมแหลม α โดยมีทิศทางบวกของแกน ในการค้นหาขนาดของเส้นโครง จากจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์แรง เราจะลดตั้งฉากกับแกน x- เราได้รับ

P x = ab = P cos α. (4)

เส้นโครงของเวกเตอร์ในกรณีนี้เป็นบวก

2. ให้แรง (รูปที่ 7, ข) ซึ่งอยู่ในระนาบเดียวกันกับแกน xแต่เวกเตอร์ของมันสร้างมุมป้าน α โดยมีทิศทางบวกของแกน การฉายภาพกำลัง ถามต่อแกน xเชิงลบ

Q x = - ab = - Q cos α (5)

3. อำนาจที่ได้รับ ตั้งฉากกับแกน x(รูปที่ 7, ค) การฉายภาพกำลัง ต่อแกน xเท่ากับศูนย์ นั่นคือ N x = N cos 90° = 0.

ดังนั้น, การฉายแรงลงบนแกนพิกัดเท่ากับผลคูณของโมดูลัสของแรงและโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์แรงกับทิศทางบวกของแกน.

แรงที่ตั้งอยู่บนเครื่องบิน xOy(รูปที่ 8) สามารถฉายภาพได้บนแกนพิกัดสองแกน วัวและ เฮ้ย- รูปนี้แสดงแรงและเส้นโครงของมัน พิกเซลและ พาย- เนื่องจากความจริงที่ว่าเส้นโครงสร้างมุมฉากจากสามเหลี่ยมมุมฉาก เอบีซีดังต่อไปนี้:

(6)

สูตรเหล่านี้สามารถใช้เพื่อกำหนดขนาดและทิศทางของแรงเมื่อทราบเส้นโครงบนแกนพิกัด

และสภาวะสมดุลเชิงวิเคราะห์ซึ่งขึ้นอยู่กับวิธีการฉายภาพ

การฉายแรงลงบนแกนคือส่วนของแกนที่อยู่ระหว่างจุดตั้งฉากสองอันที่ลดระดับลงบนแกนจากจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์แรง

ปล่อยให้แกนพิกัด x, y ได้รับแรง P ที่จุด A และอยู่ในระนาบของแกนพิกัด (รูปที่ 2.3)

เส้นโครงของแรง P บนแกนจะเป็นส่วนของ ab และ a"b" ให้เราแสดงการคาดการณ์ทางชาติพันธุ์เป็น Р„ และ Р„ ตามลำดับ แล้ว

P„= P ดังนั้น ฉัน; P„= พี ไอ พี.

การฉายแรงลงบนแกนเป็นปริมาณเชิงพีชคณิตซึ่งอาจเป็นค่าบวกหรือลบ ซึ่งกำหนดไว้ในทิศทางของการฉายภาพ สำหรับทิศทางของการฉายภาพ เราจะใช้ทิศทางตั้งแต่การฉายภาพจุดเริ่มต้นไปจนถึงการฉายภาพจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์แรง

ให้เราสร้างกฎการลงชื่อต่อไปนี้:

ถ้าทิศทางของเส้นโครงแรงบนแกนเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางบวกของแกน เส้นโครงนี้จะถือว่าเป็นค่าบวก และในทางกลับกัน

หากเวกเตอร์แรงขนานกับแกน ก็จะฉายภาพลงบนแกนนี้ในขนาดธรรมชาติ (รูปที่ 2.3 แรง D)

หากเวกเตอร์แรงตั้งฉากกับแกน ดังนั้นการฉายภาพบนแกนนี้จะเป็นศูนย์ (รูปที่ 2.3 แรง R)

เมื่อทราบเส้นโครงทั้งสอง P และ P จากสามเหลี่ยม ABC เราจะกำหนดขนาดและทิศทางของแรงเวกเตอร์ P โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

โมดูลแรง

ทิศทางแทนเจนต์ของมุมระหว่างเวกเตอร์แรง

แกน P และ x

โปรดทราบว่าแรง P สามารถแสดงเป็นผลจากส่วนประกอบสองส่วนของแรง P„ และ P ซึ่งขนานกับแกนพิกัด (รูปที่ 2.3) ส่วนประกอบ Р„ และ Р„ และเส้นโครง Р„ และ Рх โดยพื้นฐานแล้วแตกต่างกัน เนื่องจากองค์ประกอบนั้นเป็นปริมาณเวกเตอร์ และการฉายภาพเป็นปริมาณพีชคณิต แต่การฉายแรงลงบนแกน x และ y สองแกนตั้งฉากกันและโมดูลัสของส่วนประกอบที่มีแรงเท่ากันจะเท่ากันตามลำดับเมื่อแรงถูกขยายในสองทิศทางที่ตั้งฉากกันซึ่งขนานกับแกน x และ y

$2.4. วิธีการวิเคราะห์การตัดสินใจ

ระบบระนาบผลลัพธ์ของกองกำลังที่มาบรรจบกัน

ให้ระบบระนาบที่มีแรงมาบรรจบกัน

ผลลัพธ์ของระบบนี้

ในระนาบการกระทำของระบบนี้ เราเลือกแกนพิกัดและฉายแรงเหล่านี้และผลลัพธ์ของพวกมันลงบนแกนนี้

จากคณิตศาสตร์เรารู้คุณสมบัติของเส้นโครงของผลรวมเวกเตอร์บนพื้นฐานที่สามารถระบุได้ว่าการฉายภาพของผลลัพธ์บนแกนนั้นเท่ากับผลรวมพีชคณิตของเส้นโครงของแรงองค์ประกอบบนแกนเดียวกัน เช่น.

เราเขียนทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้ด้วยวิธีง่ายๆ:

กล่าวคือ:

เพื่อที่จะหาผลลัพธ์ของระบบระนาบใดๆ ของแรงที่มาบรรจบกัน เราฉายพวกมันลงบนแกนพิกัด x และ y จากนั้นบวกเส้นโครงของแรงทั้งหมดเข้าด้วยกันทางพีชคณิต แล้วจึงหาเส้นโครงของผลลัพธ์

การแก้ปัญหาสมดุลของแรงที่มาบรรจบกันโดยการสร้างรูปหลายเหลี่ยมแรงปิดนั้นเกี่ยวข้องกับโครงสร้างที่ยุ่งยาก วิธีการสากลในการแก้ปัญหาดังกล่าวคือการกำหนดเส้นโครงของแรงที่กำหนดบนแกนพิกัดและดำเนินการโดยใช้เส้นโครงเหล่านี้ แกนคือเส้นตรงที่กำหนดทิศทางเฉพาะ

เส้นโครงของเวกเตอร์บนแกนคือปริมาณสเกลาร์ ซึ่งกำหนดโดยส่วนของแกนที่ตัดออกโดยเส้นตั้งฉากที่ตกลงไปบนเวกเตอร์ตั้งแต่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์

การฉายภาพเวกเตอร์จะถือเป็นค่าบวกหากทิศทางจากจุดเริ่มต้นของการฉายภาพไปยังจุดสิ้นสุดนั้นเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางที่เป็นบวกของแกน เส้นโครงเวกเตอร์จะถือเป็นลบหากทิศทางจากจุดเริ่มต้นของเส้นโครงไปยังจุดสิ้นสุดนั้นอยู่ตรงข้ามกับทิศทางบวกของแกน

ดังนั้น การฉายแรงลงบนแกนพิกัดจะเท่ากับผลคูณของโมดูลัสแรงและโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์แรงกับทิศทางบวกของแกน

ลองพิจารณาหลายกรณีของแรงที่ฉายลงบนแกน:

เวกเตอร์แรง เอฟ(รูปที่ 15) สร้างมุมแหลมโดยมีทิศทางบวกของแกน x

ในการค้นหาเส้นโครง จากจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์แรง เราจะลดตั้งฉากกับแกนลง โอ้- เราได้รับ

1. เอฟเอ็กซ์ = เอฟ cos α

เส้นโครงของเวกเตอร์ในกรณีนี้เป็นบวก

บังคับ เอฟ(รูปที่ 16) มีทิศทางบวกของแกน เอ็กซ์มุมป้าน α

แล้ว เอฟ x= เอฟ cos α แต่เนื่องจาก α = 180 0 - φ

เอฟ x= เอฟ cos α = เอฟ cos180 0 - φ =- เอฟเพราะφ

การฉายภาพกำลัง เอฟต่อแกน โอ้ในกรณีนี้มันเป็นค่าลบ

บังคับ เอฟ(รูปที่ 17) ตั้งฉากกับแกน โอ้.

การฉายแรง F ไปที่แกน เอ็กซ์เท่ากับศูนย์

เอฟ x= เอฟเพราะ 90° = 0

แรงที่ตั้งอยู่บนเครื่องบิน ฮาววี่(รูปที่ 18) สามารถฉายภาพได้บนแกนพิกัดสองแกน โอ้และ อู๋.

ความแข็งแกร่ง เอฟสามารถแบ่งออกเป็นองค์ประกอบได้: เอฟ x และ เอฟย. โมดูลเวกเตอร์ เอฟ x เท่ากับเส้นโครงของเวกเตอร์ เอฟต่อแกน วัวและโมดูลัสเวกเตอร์ เอฟ y เท่ากับเส้นโครงของเวกเตอร์ เอฟต่อแกน โอ้.

จาก ∆ โอเอวี: เอฟ x= เอฟเพราะอัลฟ่า, เอฟ x= เอฟบาป α

จาก ∆ โอเอเอส: เอฟ x= เอฟเพราะφ, เอฟ x= เอฟบาป φ

ขนาดของแรงหาได้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

เส้นโครงของผลรวมเวกเตอร์หรือผลลัพธ์บนแกนใดๆ เท่ากับผลรวมพีชคณิตของเส้นโครงของผลรวมของเวกเตอร์บนแกนเดียวกัน

พิจารณากองกำลังที่มาบรรจบกัน เอฟ 1 , เอฟ 2 , เอฟ 3 และ เอฟ 4, (รูปที่ 19, ก) ผลรวมเรขาคณิตหรือผลลัพธ์ของแรงเหล่านี้ เอฟกำหนดโดยด้านปิดของรูปหลายเหลี่ยมแรง

ให้เราปล่อยจากจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมแรงไปยังแกน xตั้งฉาก

เมื่อพิจารณาถึงการคาดการณ์แรงที่ได้รับโดยตรงจากการก่อสร้างที่เสร็จสมบูรณ์แล้ว

เอฟ= เอฟ 1x+ เอฟ 2x+ เอฟ 3x+ เอฟ 4x

โดยที่ n คือจำนวนเทอมเวกเตอร์ เส้นโครงของพวกเขาเข้าสู่สมการข้างต้นพร้อมกับเครื่องหมายที่เกี่ยวข้อง

ในระนาบ ผลรวมทางเรขาคณิตของแรงสามารถฉายบนแกนพิกัดสองแกน และในอวกาศ ตามลำดับ บนสามแกน

วิธีการวิเคราะห์สำหรับการแก้ปัญหาสถิตยศาสตร์มีพื้นฐานอยู่บนแนวคิดของการฉายแรงลงบนแกน เส้นโครงของแรง (เช่นเดียวกับเวกเตอร์อื่นๆ) บนแกนเป็นปริมาณพีชคณิตเท่ากับผลคูณของขนาดของแรงและโคไซน์ของมุมระหว่างแรงกับทิศทางบวกของแกน

ถ้ามุมนี้เป็นมุมแหลม เส้นโครงจะเป็นค่าบวก ถ้าเป็นมุมป้าน ก็จะเป็นลบ และถ้าแรงตั้งฉากกับแกน เส้นโครงของมันจะเข้าสู่แกนจะเป็นศูนย์ ดังนั้น สำหรับแรงที่แสดงในรูป 18,

เส้นโครงของแรง F บนระนาบคือเวกเตอร์ที่อยู่ระหว่างเส้นโครงของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของแรง F บนระนาบนี้ (รูปที่ 19) ดังนั้น ตรงกันข้ามกับการฉายแรงบนแกน การฉายแรงบนระนาบนั้นเป็นปริมาณเวกเตอร์ เนื่องจากไม่เพียงแต่แสดงลักษณะเฉพาะด้วยค่าตัวเลขเท่านั้น แต่ยังรวมถึงทิศทางในระนาบด้วยด้วย มุมระหว่างทิศทางของแรง F กับการฉายภาพ

ในบางกรณี หากต้องการหาเส้นโครงของแรงบนแกน จะสะดวกกว่าหากหาเส้นโครงบนระนาบที่แกนนี้อยู่ก่อน แล้วจึงฉายเส้นโครงที่พบบนระนาบบนแกนนี้ ตัวอย่างเช่น ในกรณีที่แสดงในรูปที่. 19 เราพบเช่นนั้น

วิธีการวิเคราะห์การระบุแรง ในการระบุแรงในการวิเคราะห์ จำเป็นต้องเลือกระบบพิกัดแกน Oxyz ซึ่งสัมพันธ์กับทิศทางของแรงในอวกาศที่จะถูกกำหนด

ในกลศาสตร์ เราจะใช้ระบบพิกัดทางขวามือ กล่าวคือ ระบบที่การจัดแนวแกนกับแกนสั้นที่สุดเกิดขึ้นเมื่อมองจากปลายด้านบวกของแกนทวนเข็มนาฬิกา (รูปที่ 20)

เวกเตอร์ที่แทนแรง F สามารถสร้างขึ้นได้หากทราบโมดูลัสของแรงนี้และมุมที่แรงก่อตัวพร้อมกับแกนพิกัด ดังนั้น ปริมาณจะกำหนดแรง F จุด A ของการใช้แรงจะต้องระบุแยกกันตามพิกัดของมัน

ในการแก้ปัญหาของกลศาสตร์ จะสะดวกกว่าในการระบุแรงโดยการฉายลงบนแกนพิกัด เมื่อทราบเส้นโครงเหล่านี้ คุณสามารถกำหนดโมดูลัสของแรงและมุมที่เกิดขึ้นกับแกนพิกัดได้โดยใช้สูตร:

ถ้าแรงทั้งหมดที่พิจารณาอยู่ในระนาบเดียวกัน แรงแต่ละแรงสามารถระบุได้ด้วยการฉายภาพลงบนสองแกน จากนั้นสูตรที่กำหนดแรงจากการฉายภาพจะอยู่ในรูปแบบ:

วิธีวิเคราะห์การเพิ่มแรง การเปลี่ยนจากการพึ่งพาระหว่างเวกเตอร์เป็นการพึ่งพาระหว่างการฉายภาพจะดำเนินการโดยใช้ทฤษฎีบทเรขาคณิตต่อไปนี้: การฉายภาพเวกเตอร์ผลรวมบนแกนใด ๆ เท่ากับผลรวมพีชคณิตของการฉายภาพเวกเตอร์ผลรวมบนแกนเดียวกัน ตามทฤษฎีบทนี้ ถ้า R คือผลรวมของแรงแล้ว

เมื่อรู้จากสูตร (6) เราพบว่า:

สูตร (8), (9) ช่วยให้เราสามารถแก้ปัญหาการเพิ่มกำลังในเชิงวิเคราะห์ได้

สำหรับแรงที่อยู่ในระนาบเดียว สูตรที่เกี่ยวข้องจะอยู่ในรูปแบบ:

หากแรงได้รับจากโมดูลและมุมด้วยแกน ดังนั้นเพื่อใช้วิธีการวิเคราะห์ของการบวก จำเป็นต้องคำนวณการฉายภาพของแรงเหล่านี้ลงบนแกนพิกัดก่อน