วิธีการคำนวณค่าต่ำสุดหรือสูงสุดโดยใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ สุดขีดของฟังก์ชัน

สวัสดี! มาเข้าสู่การสอบ Unified State ที่กำลังจะมาถึงด้วยการเตรียมการอย่างเป็นระบบคุณภาพสูงและความพากเพียรในการบดหินแกรนิตแห่งวิทยาศาสตร์!!! ในมีภารกิจการแข่งขันอยู่ท้ายโพสต์เป็นคนแรก! ในบทความหนึ่งในส่วนนี้ คุณและฉัน ซึ่งมีการให้กราฟของฟังก์ชันและมีคำถามต่างๆ เกี่ยวกับสุดขั้ว ช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้น (ลดลง) และอื่นๆ

ในบทความนี้ เราจะพิจารณาปัญหาต่างๆ ที่รวมอยู่ใน Unified State Examination ในวิชาคณิตศาสตร์ โดยให้กราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชันและถามคำถามต่อไปนี้:

1. ณ จุดใดของเซกเมนต์ที่กำหนด ฟังก์ชันจะใช้ค่าที่ใหญ่ที่สุด (หรือน้อยที่สุด)

2. ค้นหาจำนวนจุดสูงสุด (หรือต่ำสุด) ของฟังก์ชันที่อยู่ในส่วนที่กำหนด

3. ค้นหาจำนวนจุดปลายสุดของฟังก์ชันที่อยู่ในส่วนที่กำหนด

4. ค้นหาจุดปลายสุดของฟังก์ชันที่อยู่ในส่วนที่กำหนด

5. ค้นหาช่วงเวลาของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น (หรือลดลง) และในคำตอบจะระบุผลรวมของจำนวนเต็มที่รวมอยู่ในช่วงเวลาเหล่านี้

6. ค้นหาช่วงของการเพิ่มขึ้น (หรือลดลง) ของฟังก์ชัน ในคำตอบของคุณ ให้ระบุความยาวของช่วงที่ใหญ่ที่สุดของช่วงเหล่านี้

7. ค้นหาจำนวนจุดที่แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันขนานหรือเกิดขึ้นพร้อมกับเส้นในรูปแบบ y = kx + b

8. ค้นหาจุด Abscissa ของจุดที่แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันขนานกับแกน Abscissa หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน

อาจมีคำถามอื่น ๆ แต่จะไม่ทำให้คุณลำบากหากคุณเข้าใจและ (มีลิงก์ไปยังบทความที่ให้ข้อมูลที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหา ฉันแนะนำให้ทำซ้ำ)

ข้อมูลพื้นฐาน (สั้นๆ):

1. อนุพันธ์ในช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้นมีสัญญาณบวก

หากอนุพันธ์ ณ จุดใดจุดหนึ่งจากช่วงหนึ่งมีค่าเป็นบวก กราฟของฟังก์ชันในช่วงเวลานี้จะเพิ่มขึ้น

2. เมื่อระยะห่างลดลง อนุพันธ์จะมีเครื่องหมายลบ

หากอนุพันธ์ ณ จุดใดจุดหนึ่งจากช่วงหนึ่งมีค่าเป็นลบ กราฟของฟังก์ชันจะลดลงในช่วงเวลานี้

3. อนุพันธ์ที่จุด x เท่ากับความชันของแทนเจนต์ที่วาดกับกราฟของฟังก์ชันที่จุดเดียวกัน

4. ที่จุดสุดขั้ว (สูงสุด-ต่ำสุด) ของฟังก์ชัน อนุพันธ์จะเท่ากับศูนย์ แทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ขนานกับแกน x

เรื่องนี้ต้องเข้าใจและจดจำให้ชัดเจน!!!

กราฟอนุพันธ์ “สับสน” หลายๆ คน บางคนเข้าใจผิดว่าเป็นกราฟของฟังก์ชันโดยไม่ได้ตั้งใจ ดังนั้นในอาคารดังกล่าวที่คุณเห็นว่าได้รับกราฟให้มุ่งความสนใจไปที่เงื่อนไขของสิ่งที่ได้รับทันที: กราฟของฟังก์ชันหรือกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน?

หากเป็นกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ให้ถือว่ากราฟนั้นเป็น "การสะท้อน" ของฟังก์ชันนั้นเอง ซึ่งจะให้ข้อมูลเกี่ยวกับฟังก์ชันนั้นแก่คุณ

พิจารณางาน:

รูปนี้แสดงกราฟ ย =ฉ'(เอ็กซ์)- อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)กำหนดไว้ในช่วงเวลา (–2;21)

เราจะตอบคำถามต่อไปนี้:

1. ฟังก์ชันอยู่ที่จุดใดของเซ็กเมนต์ ฉ(เอ็กซ์)รับคุณค่าสูงสุด

ในช่วงที่กำหนด อนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเป็นลบ ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันในช่วงเวลานี้จะลดลง (ลดลงจากขอบเขตด้านซ้ายของช่วงไปทางขวา) ดังนั้น ค่าสูงสุดของฟังก์ชันจึงได้มาจากขอบด้านซ้ายของเซ็กเมนต์ นั่นคือ ที่จุดที่ 7

คำตอบ: 7

2. ฟังก์ชันอยู่ที่จุดใดของเซ็กเมนต์ ฉ(เอ็กซ์)

จากกราฟอนุพันธ์นี้ เราสามารถพูดได้ดังนี้ ในช่วงที่กำหนด อนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเป็นค่าบวก ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันในช่วงเวลานี้จะเพิ่มขึ้น (เพิ่มขึ้นจากขอบเขตด้านซ้ายของช่วงไปทางด้านขวา) ดังนั้น ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันจึงได้มาจากขอบด้านซ้ายของเซ็กเมนต์ นั่นคือที่จุด x = 3

คำตอบ: 3

3. ค้นหาจำนวนจุดสูงสุดของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)

จุดสูงสุดสอดคล้องกับจุดที่เครื่องหมายอนุพันธ์เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ ลองพิจารณาว่าเครื่องหมายเปลี่ยนแปลงไปในลักษณะนี้ที่ใด

ในส่วน (3;6) อนุพันธ์เป็นบวก ส่วน (6;16) เป็นลบ

ในส่วน (16;18) อนุพันธ์เป็นบวก ส่วน (18;20) เป็นลบ

ดังนั้น ในส่วนที่กำหนด ฟังก์ชันจะมีจุดสูงสุดสองจุด x = 6 และ x = 18

คำตอบ: 2

4. ค้นหาจำนวนจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)ที่อยู่ในส่วนนั้น

คะแนนขั้นต่ำสอดคล้องกับจุดที่เครื่องหมายอนุพันธ์เปลี่ยนจากลบเป็นบวก อนุพันธ์ของเราเป็นลบในช่วงเวลา (0;3) และเป็นบวกในช่วงเวลา (3;4)

ดังนั้น ในส่วนของฟังก์ชันจะมีจุดต่ำสุดเพียงจุดเดียว x = 3

*โปรดใช้ความระมัดระวังในการเขียนคำตอบ - จำนวนคะแนนจะถูกบันทึกไว้ ไม่ใช่ค่า x ข้อผิดพลาดดังกล่าวอาจเกิดขึ้นได้เนื่องจากไม่ตั้งใจ

คำตอบ: 1

5. ค้นหาจำนวนจุดปลายสุดของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)ที่อยู่ในส่วนนั้น

โปรดทราบว่าคุณต้องค้นหาอะไร ปริมาณจุดสุดขั้ว (เป็นทั้งคะแนนสูงสุดและต่ำสุด)

จุดสุดโต่งสอดคล้องกับจุดที่สัญญาณของอนุพันธ์เปลี่ยนแปลง (จากบวกเป็นลบหรือในทางกลับกัน) ในกราฟที่กำหนดในเงื่อนไข ค่าเหล่านี้คือศูนย์ของฟังก์ชัน อนุพันธ์จะหายไปที่จุดที่ 3, 6, 16, 18

ดังนั้น ฟังก์ชันนี้จึงมีจุดปลายสุด 4 จุดบนเซ็กเมนต์

คำตอบ: 4

6. ค้นหาช่วงของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น ฉ(เอ็กซ์)

ช่วงการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันนี้ ฉ(เอ็กซ์)สอดคล้องกับช่วงที่อนุพันธ์ของมันเป็นบวก นั่นคือ ช่วง (3;6) และ (16;18) โปรดทราบว่าขอบเขตของช่วงเวลาจะไม่รวมอยู่ในนั้น (วงเล็บกลม - ขอบเขตจะไม่รวมอยู่ในช่วงเวลา, วงเล็บเหลี่ยม - รวมอยู่ด้วย) ช่วงเหล่านี้มีจุดจำนวนเต็ม 4, 5, 17 ผลรวมของพวกเขาคือ: 4 + 5 + 17 = 26

คำตอบ: 26

7. ค้นหาช่วงเวลาของฟังก์ชันที่ลดลง ฉ(เอ็กซ์)ในช่วงเวลาที่กำหนด ในคำตอบของคุณ ให้ระบุผลรวมของจำนวนเต็มที่อยู่ในช่วงเวลาเหล่านี้

การลดช่วงเวลาของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)สอดคล้องกับช่วงที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นลบ ในปัญหานี้ เหล่านี้คือช่วงเวลา (–2;3), (6;16), (18:21)

ช่วงเหล่านี้มีจุดจำนวนเต็มต่อไปนี้: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20 ผลรวมของพวกเขาคือ:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

คำตอบ: 140

*ให้ความสนใจกับเงื่อนไข: ไม่ว่าจะรวมขอบเขตไว้ในช่วงเวลาหรือไม่ หากมีการรวมขอบเขตไว้ด้วย ดังนั้นในช่วงเวลาที่พิจารณาในกระบวนการแก้ปัญหา จะต้องคำนึงถึงขอบเขตเหล่านี้ด้วย

8. ค้นหาช่วงของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น ฉ(เอ็กซ์)

ช่วงเวลาของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น ฉ(เอ็กซ์)สอดคล้องกับช่วงเวลาที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นบวก เราได้ระบุไว้แล้ว: (3;6) และ (16:18) ที่ใหญ่ที่สุดคือช่วงเวลา (3;6) ความยาวคือ 3

คำตอบ: 3

9. ค้นหาช่วงเวลาของฟังก์ชันที่ลดลง ฉ(เอ็กซ์)- ในคำตอบของคุณ ให้ระบุความยาวของส่วนที่ใหญ่ที่สุด

การลดช่วงเวลาของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)สอดคล้องกับช่วงที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นลบ เราได้ระบุไว้แล้ว นี่คือช่วง (–2;3), (6;16), (18;21) ความยาวของพวกเขาคือ 5, 10, 3 ตามลำดับ

ความยาวที่ใหญ่ที่สุดคือ 10

คำตอบ: 10

10. ค้นหาจำนวนจุดที่แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)ขนานหรือเกิดขึ้นพร้อมกับเส้นตรง y = 2x + 3

ค่าของอนุพันธ์ ณ จุดแทนเจนต์จะเท่ากับความชันของแทนเจนต์ เนื่องจากแทนเจนต์ขนานกับเส้นตรง y = 2x + 3 หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของพวกมันจึงเท่ากับ 2 ซึ่งหมายความว่าจำเป็นต้องค้นหาจำนวนจุดที่ y′(x 0) = 2 ในเชิงเรขาคณิต ค่านี้สอดคล้องกับจำนวนจุดตัดกันของกราฟอนุพันธ์ที่มีเส้นตรง y = 2 มีจุดดังกล่าว 4 จุดในช่วงเวลานี้

คำตอบ: 4

11. ค้นหาจุดปลายสุดของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)ที่อยู่ในส่วนนั้น

จุดปลายสุดของฟังก์ชันคือจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันมีค่าเท่ากับศูนย์ และในบริเวณใกล้กับจุดนี้ อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมาย (จากบวกเป็นลบหรือกลับกัน) ในส่วนนั้น กราฟอนุพันธ์จะตัดแกน x ซึ่งอนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวก ดังนั้น จุด x = 3 คือจุดสุดขั้ว

คำตอบ: 3

12. ค้นหาจุด Abscissa ของจุดที่แทนเจนต์ของกราฟ y = f (x) ขนานกับแกน abscissa หรือตรงกับจุดนั้น ในคำตอบของคุณ ให้ระบุสิ่งที่ใหญ่ที่สุด

แทนเจนต์ของกราฟ y = f (x) สามารถขนานกับแกน abscissa หรือตรงกับมัน เฉพาะที่จุดที่อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์ (อาจเป็นจุดสุดขั้วหรือจุดที่หยุดนิ่งในบริเวณใกล้เคียงที่อนุพันธ์ทำ ไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย) กราฟนี้แสดงว่าอนุพันธ์เป็นศูนย์ที่จุด 3, 6, 16,18 ที่ใหญ่ที่สุดคือ 18

คุณสามารถสร้างเหตุผลได้ดังนี้:

ค่าของอนุพันธ์ ณ จุดแทนเจนต์จะเท่ากับความชันของแทนเจนต์ เนื่องจากแทนเจนต์ขนานหรือเกิดขึ้นพร้อมกับแกน x ความชันของมันคือ 0 (แท้จริงแล้ว แทนเจนต์ของมุมที่เป็นศูนย์องศาคือศูนย์) ดังนั้นเราจึงมองหาจุดที่ความชันเท่ากับศูนย์ และอนุพันธ์จึงเท่ากับศูนย์ อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์ ณ จุดที่กราฟตัดแกน x และนี่คือจุด 3, 6, 16,18

คำตอบ: 18

รูปนี้แสดงกราฟ ย =ฉ'(เอ็กซ์)- อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)กำหนดไว้ในช่วงเวลา (–8;4) ฟังก์ชันอยู่ที่จุดใดของเซ็กเมนต์ [–7;–3] ฉ(เอ็กซ์)ใช้ค่าที่น้อยที่สุด

รูปนี้แสดงกราฟ ย =ฉ'(เอ็กซ์)- อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)กำหนดไว้ในช่วงเวลา (–7;14) ค้นหาจำนวนจุดสูงสุดของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)ที่เป็นของกลุ่ม [–6;9]

รูปนี้แสดงกราฟ ย =ฉ'(เอ็กซ์)- อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)กำหนดไว้ในช่วงเวลา (–18;6) ค้นหาจำนวนจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)ที่เป็นของกลุ่ม [–13;1]

รูปนี้แสดงกราฟ ย =ฉ'(เอ็กซ์)- อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)กำหนดไว้ในช่วงเวลา (–11; –11) ค้นหาจำนวนจุดปลายสุดของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)ที่เป็นของกลุ่ม [–10; -10].

รูปนี้แสดงกราฟ ย =ฉ'(เอ็กซ์)- อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)กำหนดไว้ในช่วงเวลา (–7;4) ค้นหาช่วงของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น ฉ(เอ็กซ์)- ในคำตอบของคุณ ให้ระบุผลรวมของจำนวนเต็มที่อยู่ในช่วงเวลาเหล่านี้

รูปนี้แสดงกราฟ ย =ฉ'(เอ็กซ์)- อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)กำหนดไว้ในช่วงเวลา (–5;7) ค้นหาช่วงของฟังก์ชันที่ลดลง ฉ(เอ็กซ์)- ในคำตอบของคุณ ให้ระบุผลรวมของจำนวนเต็มที่อยู่ในช่วงเวลาเหล่านี้

รูปนี้แสดงกราฟ ย =ฉ'(เอ็กซ์)- อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์)กำหนดไว้ในช่วงเวลา (–11;3) ค้นหาช่วงของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น ฉ(เอ็กซ์)- ในคำตอบของคุณ ให้ระบุความยาวของส่วนที่ใหญ่ที่สุด

F รูปนี้แสดงกราฟ

เงื่อนไขของปัญหาเหมือนกัน (ซึ่งเราพิจารณาแล้ว) ค้นหาผลรวมของตัวเลขสามตัว:

1. ผลรวมของกำลังสองของส่วนปลายของฟังก์ชัน f (x)

2. ความแตกต่างระหว่างกำลังสองของผลรวมของคะแนนสูงสุดและผลรวมของคะแนนต่ำสุดของฟังก์ชัน f (x)

3. จำนวนแทนเจนต์ถึง f (x) ขนานกับเส้นตรง y = –3x + 5

ผู้ที่ตอบถูกคนแรกจะได้รับรางวัลจูงใจ 150 รูเบิล เขียนคำตอบของคุณในความคิดเห็น หากนี่เป็นความคิดเห็นแรกของคุณในบล็อก ความคิดเห็นนั้นจะไม่ปรากฏขึ้นทันที แต่หลังจากนั้นเล็กน้อย (ไม่ต้องกังวล เวลาที่เขียนความคิดเห็นจะถูกบันทึกไว้)

ขอให้โชคดี!

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitsikh

ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับเว็บไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก

77419. ค้นหาจุดสูงสุดของฟังก์ชัน y=x 3 –48x+17

มาหาศูนย์ของอนุพันธ์กัน:

มารับรากกันเถอะ:

พิจารณาสัญญาณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยการแทนที่ค่าจากช่วงเวลาเป็นอนุพันธ์ผลลัพธ์และพรรณนาพฤติกรรมของฟังก์ชันในรูป:

เราพบว่า ณ จุด –4 อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ ดังนั้น จุด x=–4 คือจุดสูงสุดที่ต้องการ

คำตอบ: –4

77423. ค้นหาจุดสูงสุดของฟังก์ชัน y=x 3 –3x 2 +2

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด:

ลองเทียบอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์แล้วแก้สมการ:

ณ จุด x=0 อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ ซึ่งหมายความว่านี่คือจุดสูงสุด

77427. ค้นหาจุดสูงสุดของฟังก์ชัน y=x 3 +2x 2 +x+3

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด:

เมื่อเราทำให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ:

พิจารณาสัญญาณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันและพรรณนาในรูปช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดของฟังก์ชันโดยการแทนที่ค่าจากแต่ละช่วงเวลาเป็นการแสดงออกของอนุพันธ์:

ณ จุด x=–1 อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ ซึ่งหมายความว่านี่คือจุดสูงสุดที่ต้องการ

คำตอบ: –1

77431. หาจุดสูงสุดของฟังก์ชัน y=x 3 –5x 2 +7x–5

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

มาหาศูนย์ของอนุพันธ์กัน:

3x 2 – 10x + 7 = 0

3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0

3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0

ณ จุด x = 1 อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ ซึ่งหมายความว่านี่คือจุดสูงสุดที่ต้องการ

77435. หาจุดสูงสุดของฟังก์ชัน y=7+12x–x 3

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

มาหาศูนย์ของอนุพันธ์กัน:

12 – 3x 2 = 0

การแก้สมการกำลังสองที่เราได้รับ:

*จุดเหล่านี้คือจุดสูงสุด (ต่ำสุด) ที่เป็นไปได้ของฟังก์ชัน

มาสร้างเส้นจำนวนและทำเครื่องหมายศูนย์ของอนุพันธ์กันดีกว่า เรามาพิจารณาสัญญาณของอนุพันธ์โดยการแทนที่ค่าที่กำหนดเองจากแต่ละช่วงเวลาเป็นการแสดงออกของอนุพันธ์ของฟังก์ชันและแสดงการเพิ่มขึ้นและลดตามแผนผังตามแผนผัง:

12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0

12 – 3∙0 2 = 12 > 0

12 – 3∙3 2 = –15 < 0

ณ จุด x = 2 อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ ซึ่งหมายความว่านี่คือจุดสูงสุดที่ต้องการ

*สำหรับฟังก์ชันเดียวกัน จุดต่ำสุดคือจุด x = – 2

77439. หาจุดสูงสุดของฟังก์ชัน y=9x 2 – x 3

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

มาหาศูนย์ของอนุพันธ์กัน:

18x –3x 2 = 0

3x(6 – x) = 0

การแก้สมการที่เราได้รับ:

*จุดเหล่านี้คือจุดสูงสุด (ต่ำสุด) ที่เป็นไปได้ของฟังก์ชัน

มาสร้างเส้นจำนวนและทำเครื่องหมายศูนย์ของอนุพันธ์กันดีกว่า เรามาพิจารณาสัญญาณของอนุพันธ์โดยการแทนที่ค่าที่กำหนดเองจากแต่ละช่วงเวลาเป็นการแสดงออกของอนุพันธ์ของฟังก์ชันและแสดงการเพิ่มขึ้นและลดตามแผนผังตามแผนผัง:

18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0

18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0

18∙7 –3∙7 2 = –1 < 0

ณ จุด x=6 อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ ซึ่งหมายความว่านี่คือจุดสูงสุดที่ต้องการ

*สำหรับฟังก์ชันเดียวกัน จุดต่ำสุดคือจุด x = 0

ด้วยบริการนี้คุณสามารถทำได้ ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันตัวแปรหนึ่งตัว f(x) พร้อมโซลูชันที่จัดรูปแบบใน Word ถ้ากำหนดฟังก์ชัน f(x,y) ไว้ ก็จำเป็นต้องค้นหาจุดสิ้นสุดของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว คุณยังสามารถค้นหาช่วงเวลาของฟังก์ชันเพิ่มและลดได้

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน

ย=

บนส่วน [ ;]

รวมทฤษฎีด้วย

กฎสำหรับการเข้าฟังก์ชั่น:

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับฟังก์ชันสุดขั้วของตัวแปรหนึ่งตัว

สมการ f" 0 (x *) = 0 เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับปลายสุดของฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง นั่นคือ ณ จุด x * อนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันจะต้องหายไป โดยระบุจุดที่คงที่ x c ซึ่งฟังก์ชันไม่อยู่ เพิ่มขึ้นหรือลดลง

เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับปลายสุดของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัว

ให้ f 0 (x) สามารถหาอนุพันธ์ได้สองเท่าโดยเทียบกับ x ที่อยู่ในเซต D หากตรงจุด x * ตรงตามเงื่อนไข:

ฉ" 0 (x *) = 0
ฉ"" 0 (x *) > 0

จากนั้นจุด x * คือจุดต่ำสุดภายใน (ทั่วโลก) ของฟังก์ชัน

หากตรงจุด x * ตรงตามเงื่อนไข:

ฉ" 0 (x *) = 0
ฉ"" 0 (x *)< 0

จากนั้นจุด x * คือค่าสูงสุดเฉพาะที่ (ทั่วโลก)

ตัวอย่างหมายเลข 1 ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน: บนเซ็กเมนต์
สารละลาย.

จุดวิกฤติคือหนึ่ง x 1 = 2 (f’(x)=0) จุดนี้เป็นของกลุ่ม (จุด x=0 ไม่สำคัญ เนื่องจาก 0∉)
เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนและที่จุดวิกฤติ
ฉ(1)=9, ฉ(2)= 5 / 2 , ฉ(3)=3 8 / 81
คำตอบ: f นาที = 5/2 ที่ x=2; f สูงสุด =9 ที่ x=1

ตัวอย่างหมายเลข 2 ใช้อนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่า หาจุดสิ้นสุดของฟังก์ชัน y=x-2sin(x)
สารละลาย.
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: y’=1-2cos(x) . มาหาจุดวิกฤตกัน: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z เราพบว่า y''=2sin(x) คำนวณ ซึ่งหมายความว่า x= π / 3 +2πk, k∈Z คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน ซึ่งหมายความว่า x=- π / 3 +2πk, k∈Z คือจุดสูงสุดของฟังก์ชัน

ตัวอย่างหมายเลข 3 ตรวจสอบฟังก์ชันปลายสุดในบริเวณใกล้กับจุด x=0
สารละลาย. ในที่นี้จำเป็นต้องค้นหาจุดสุดขีดของฟังก์ชัน หากค่าสุดขีด x=0 ให้ค้นหาประเภทของค่านั้น (ต่ำสุดหรือสูงสุด) หากจุดที่พบไม่มี x = 0 ให้คำนวณค่าของฟังก์ชัน f(x=0)
ควรสังเกตว่าเมื่ออนุพันธ์ในแต่ละด้านของจุดที่กำหนดไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย สถานการณ์ที่เป็นไปได้จะไม่หมดลงแม้แต่ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้: มันสามารถเกิดขึ้นได้สำหรับย่านใกล้เคียงขนาดเล็กโดยพลการที่ด้านหนึ่งของจุด x 0 หรือ ทั้งสองด้านมีเครื่องหมายการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์ ณ จุดเหล่านี้ จำเป็นต้องใช้วิธีอื่นเพื่อศึกษาฟังก์ชันในระดับสุดขั้ว

ค่าฟังก์ชันและจุดสูงสุดและต่ำสุด

ค่าฟังก์ชันที่ใหญ่ที่สุด

ค่าฟังก์ชันที่น้อยที่สุด

ดังที่พ่อทูนหัวกล่าวว่า: "ไม่มีอะไรเป็นส่วนตัว" อนุพันธ์เท่านั้น!

งานสถิติ 12 ถือว่าค่อนข้างยากและทั้งหมดเป็นเพราะพวกเขาไม่ได้อ่านบทความนี้ (ตลก) ในกรณีส่วนใหญ่ ความประมาทถือเป็นความผิด

12 งานมีสองประเภท:

1. ค้นหาจุดสูงสุด/ต่ำสุด (ขอให้ค้นหาค่า “x”)
2. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุด/น้อยที่สุดของฟังก์ชัน (ขอให้ค้นหาค่า “y”)

จะทำอย่างไรในกรณีเหล่านี้?

ค้นหาจุดสูงสุด/ต่ำสุด

1. ทำให้มันเท่ากับศูนย์
2. “x” ที่พบหรือพบจะเป็นจุดต่ำสุดหรือสูงสุด
3. กำหนดสัญญาณโดยใช้วิธีช่วงเวลาและเลือกจุดที่ต้องการในงาน

งานการตรวจสอบ Unified State:

ค้นหาจุดสูงสุดของฟังก์ชัน

• เราใช้อนุพันธ์:

ถูกต้องก่อนอื่นฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นแล้วลดลง - นี่คือจุดสูงสุด!
คำตอบ: −15

ค้นหาจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน

• มาแปลงและหาอนุพันธ์กัน:

• ยอดเยี่ยม! ขั้นแรกฟังก์ชันจะลดลง จากนั้นจึงเพิ่มขึ้น - นี่คือจุดต่ำสุด!

คำตอบ: −2

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุด/น้อยที่สุดของฟังก์ชัน

1. หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่เสนอ
   
2. ทำให้มันเท่ากับศูนย์
   
3. “x” ที่พบจะเป็นจุดต่ำสุดหรือสูงสุด
   
4. กำหนดสัญญาณโดยใช้วิธีช่วงเวลาและเลือกจุดที่ต้องการในงาน
5. ในงานดังกล่าว จะมีการระบุช่องว่างเสมอ: ต้องรวม X ที่พบในขั้นตอนที่ 3 ไว้ในช่องว่างนี้
6. แทนค่าสูงสุดหรือต่ำสุดที่ได้ลงในสมการดั้งเดิม แล้วเราจะได้ค่าที่มากที่สุดหรือน้อยที่สุดของฟังก์ชัน

งานการตรวจสอบ Unified State:

ค้นหาค่าสูงสุดของฟังก์ชันในช่วงเวลา [−4; −1]

คำตอบ: −6

ค้นหาค่าสูงสุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์

• ค่าสูงสุดของฟังก์ชันคือ “11” ที่จุดสูงสุด (ในส่วนนี้) “0”

คำตอบ: 11

ข้อสรุป:

1. 70% ของข้อผิดพลาดคือผู้ชายจำไม่ได้ว่าตอบอะไร ค่าที่ใหญ่ที่สุด/น้อยที่สุดของฟังก์ชันควรเขียนเป็น "y"และต่อไป เขียนจุดสูงสุด/ต่ำสุด “x”
2. ไม่มีทางแก้อนุพันธ์เมื่อค้นหาค่าของฟังก์ชัน?ไม่มีปัญหา แทนที่จุดสุดขั้วของช่องว่าง!
3. คำตอบสามารถเขียนเป็นตัวเลขหรือทศนิยมได้เสมอเลขที่? จากนั้นให้คิดใหม่ตามตัวอย่าง
4. ในงานส่วนใหญ่เราจะได้หนึ่งแต้มและความเกียจคร้านในการตรวจสอบค่าสูงสุดหรือต่ำสุดจะเป็นสิ่งที่สมเหตุสมผล เรามีประเด็นหนึ่ง - คุณสามารถเขียนกลับได้อย่างปลอดภัย
5. และที่นี่ คุณไม่ควรทำสิ่งนี้เมื่อค้นหาค่าของฟังก์ชัน!ตรวจสอบว่านี่คือจุดที่ถูกต้อง ไม่เช่นนั้นค่าสุดขีดของช่องว่างอาจมีขนาดใหญ่หรือเล็กกว่า