صيغة فرق جيب التمام. شراء دبلوم التعليم العالي غير مكلفة
في هذا المقال سنتحدث عنه استبدال عالمي مثلثي. وهو يتضمن التعبير عن الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لأي زاوية من خلال ظل نصف زاوية. علاوة على ذلك ، يتم تنفيذ هذا الاستبدال بعقلانية ، أي بدون جذور.
أولاً ، نكتب صيغًا تعبر عن الجيب وجيب التمام والظل والظل بدلالة مماس نصف زاوية. بعد ذلك ، نعرض اشتقاق هذه الصيغ. وفي الختام ، لنلق نظرة على عدة أمثلة لاستخدام التعويض المثلثي العام.
التنقل في الصفحة.
الجيب وجيب التمام والظل والظل من خلال ظل نصف زاوية
أولًا ، لنكتب أربع صيغ تعبر عن الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية بدلالة ظل نصف زاوية.
هذه الصيغ صالحة لجميع الزوايا التي يتم فيها تحديد الظلال والمظلات المدرجة فيها:
اشتقاق الصيغ
دعونا نحلل اشتقاق الصيغ التي تعبر عن الجيب وجيب التمام والظل والظل لزاوية من خلال ظل نصف الزاوية. لنبدأ بصيغتي الجيب وجيب التمام.
نمثل الجيب وجيب التمام باستخدام صيغ الزاوية المزدوجة كـ 
و 
على التوالى. تعابير الآن 
و 
اكتب على شكل كسور مقامها 1 بالشكل 
و 
. علاوة على ذلك ، على أساس الهوية المثلثية الرئيسية ، نستبدل الوحدات في المقام بمجموع مربعات الجيب وجيب التمام ، وبعد ذلك نحصل على 
و 
. أخيرًا ، نقسم بسط ومقام الكسور الناتجة على (تختلف قيمتها عن الصفر ، بشرط 
). نتيجة لذلك ، تبدو سلسلة الإجراءات بأكملها كما يلي: 
و 
هذا يكمل اشتقاق الصيغ التي تعبر عن الجيب وجيب التمام من خلال ظل نصف زاوية.
يبقى اشتقاق الصيغ للظل والظل. الآن ، مع الأخذ في الاعتبار الصيغ التي تم الحصول عليها أعلاه ، والصيغ و 
، نحصل على الفور على صيغ تعبر عن الظل والظل من خلال ظل نصف زاوية: 
لذلك ، فقد اشتقنا جميع الصيغ الخاصة بالتعويض المثلثي العام.
أمثلة على استخدام التعويض المثلثي العام
أولًا ، لنأخذ مثالاً على استخدام التعويض المثلثي العام عند تحويل المقادير.
مثال.
أعط تعبيرا 
لتعبير يحتوي على دالة مثلثية واحدة فقط.
المحلول.
إجابه:
.
فهرس.
- الجبر:بروك. لـ 9 خلايا. متوسط المدرسة / Yu. ماكاريشيف ، إن جي مينديوك ، كي آي نيشكوف ، إس بي سوفوروفا ؛ إد. S. A. Telyakovsky.- M: Enlightenment، 1990. - 272 p .: Ill.- isbn 5-09-002727-7
- باشماكوف م.الجبر وبداية التحليل: Proc. لـ 10-11 خلية. متوسط مدرسة - الطبعة الثالثة. - م: التنوير ، 1993. - 351 ص: مريض. - ردمك 5-09-004617-4.
- الجبروبداية التحليل: Proc. لـ 10-11 خلية. تعليم عام المؤسسات / A. N. Kolmogorov ، A. M. Abramov ، Yu. P. Dudnitsyn وآخرون ؛ إد. أ.ن.كولموغوروفا. - الطبعة 14. - م: التنوير ، 2004. - 384 ص: مريض - ISBN 5-09-013651-3.
- جوسيف ف.أ ، مردكوفيتش أ.الرياضيات (دليل للمتقدمين للمدارس الفنية): Proc. بدل. - م ؛ أعلى المدرسة ، 1984. - 351 ص. ، مريض.
ترتبط مفاهيم الجيب () وجيب التمام () والظل () والظل () ارتباطًا وثيقًا بمفهوم الزاوية. من أجل فهم هذه المفاهيم المعقدة جيدًا للوهلة الأولى (التي تسبب حالة من الرعب لدى العديد من أطفال المدارس) ، وللتأكد من أن "الشيطان ليس مخيفًا كما يرسم" ، فلنبدأ من البداية ونفهم مفهوم الزاوية.
مفهوم الزاوية: راديان ، درجة
دعونا نلقي نظرة على الصورة. المتجه "تحول" بالنسبة للنقطة بمقدار معين. لذلك سيكون قياس هذا الدوران بالنسبة للموضع الأولي حقنة.
ماذا تريد أن تعرف أيضًا عن مفهوم الزاوية؟ حسنًا ، وحدات الزاوية بالطبع!
يمكن قياس الزاوية ، في كل من الهندسة وعلم المثلثات ، بالدرجات والراديان.
الزاوية عند (درجة واحدة) هي الزاوية المركزية في الدائرة ، بناءً على قوس دائري يساوي جزء الدائرة. وهكذا ، تتكون الدائرة بأكملها من "قطع" من أقواس دائرية ، أو أن الزاوية الموصوفة بالدائرة متساوية.
أي أن الشكل أعلاه يوضح زاوية متساوية ، أي أن هذه الزاوية تستند إلى قوس دائري بحجم المحيط.
الزاوية بالتقدير الدائري تسمى الزاوية المركزية في الدائرة ، بناءً على قوس دائري ، طوله يساوي نصف قطر الدائرة. حسنا هل فهمت إذا لم يكن كذلك ، فلنلقِ نظرة على الصورة.
إذن ، يوضح الشكل زاوية تساوي راديان ، أي أن هذه الزاوية تستند إلى قوس دائري ، طوله يساوي نصف قطر الدائرة (الطول يساوي الطول أو نصف القطر يساوي طول القوس). وبالتالي ، يتم حساب طول القوس بالصيغة التالية:
أين الزاوية المركزية بالتقدير الدائري.
حسنًا ، بمعرفة ذلك ، هل يمكنك الإجابة على عدد الراديان التي تحتوي على زاوية موصوفة بالدائرة؟ نعم ، لهذا عليك أن تتذكر صيغة محيط الدائرة. ها هي:
حسنًا ، دعونا الآن نربط هاتين الصيغتين ونحصل على أن الزاوية الموضحة بالدائرة متساوية. أي بربط القيمة بالدرجات والراديان ، نحصل على ذلك. على التوالى، . كما ترى ، على عكس "الدرجات" ، تم حذف كلمة "راديان" ، لأن وحدة القياس عادة ما تكون واضحة من السياق.
كم عدد الراديان؟ هذا صحيح!
فهمتك؟ ثم اربط للأمام:
أي صعوبات؟ ثم ابحث الإجابات:
المثلث الأيمن: الجيب ، جيب التمام ، الظل ، ظل التمام لزاوية
لذلك ، مع مفهوم الزاوية برزت. ولكن ما هو الجيب وجيب التمام والظل والظل لزاوية؟ دعونا نفهم ذلك. لهذا ، سوف يساعدنا المثلث القائم.
ماذا تسمى أضلاع المثلث القائم الزاوية؟ هذا صحيح ، الوتر والساقين: الوتر هو الضلع الذي يقع مقابل الزاوية القائمة (في مثالنا ، هذا هو الضلع) ؛ الأرجل هي الضلعان المتبقيان و (تلك المجاورة للزاوية القائمة) ، علاوة على ذلك ، إذا أخذنا في الاعتبار الساقين بالنسبة للزاوية ، فإن الساق هي الساق المجاورة ، والساق هي الضلع المقابل. الآن ، دعنا نجيب على السؤال: ما هو الجيب وجيب التمام والظل والظل لزاوية؟
جيب الزاويةهي نسبة الضلع المقابلة (البعيدة) إلى الوتر.
في مثلثنا.
جيب التمام لزاوية- هذه هي نسبة الضلع المجاورة (القريبة) إلى الوتر.
في مثلثنا.
ظل الزاوية- هذه هي نسبة الضلع المقابلة (البعيدة) إلى المجاورة (القريبة).
في مثلثنا.
ظل التمام لزاوية- هذه هي نسبة الضلع المجاورة (القريبة) إلى الضلع المقابل (البعيد).
في مثلثنا.
هذه التعريفات ضرورية تذكر! لتسهيل تذكر الساق التي تقسم على ماذا ، عليك أن تفهم ذلك بوضوح ظلو ظل التمامفقط الساقان تجلسان ، ويظهر الوتر فقط في التجويفو جيب التمام. وبعد ذلك يمكنك الخروج بسلسلة من الجمعيات. على سبيل المثال ، هذا:
جيب التمام ← اللمس ← اللمس ← المجاور ؛
ظل التمام ← اللمس ← اللمس ← المجاور.
بادئ ذي بدء ، من الضروري أن نتذكر أن الجيب وجيب التمام والظل والظل كنسب لأضلاع المثلث لا تعتمد على أطوال هذه الجوانب (بزاوية واحدة). لا تثق؟ ثم تأكد من خلال النظر إلى الصورة:
ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، جيب التمام لزاوية. حسب التعريف ، من مثلث: ، لكن يمكننا حساب جيب تمام الزاوية من مثلث:. كما ترى ، أطوال الأضلاع مختلفة ، لكن قيمة جيب التمام لزاوية واحدة هي نفسها. وبالتالي ، فإن قيم الجيب وجيب التمام والظل والظل تعتمد فقط على حجم الزاوية.
إذا فهمت التعاريف ، فابدأ في إصلاحها!
للمثلث الموضح في الشكل أدناه ، نجد.
حسنًا ، هل فهمت ذلك؟ ثم جربها بنفسك: احسب نفس الزاوية.
دائرة الوحدة (المثلثية)
من خلال فهم مفاهيم الدرجات والراديان ، اعتبرنا الدائرة التي يساوي نصف قطرها. تسمى هذه الدائرة غير مرتبطة. إنه مفيد للغاية في دراسة علم المثلثات. لذلك ، فإننا نتناولها بمزيد من التفصيل.
كما ترى ، هذه الدائرة مبنية في نظام الإحداثيات الديكارتية. نصف قطر الدائرة يساوي واحدًا ، بينما يقع مركز الدائرة عند نقطة الأصل ، والموضع الأولي لمتجه نصف القطر ثابتًا على طول الاتجاه الموجب للمحور (في مثالنا ، هذا هو نصف القطر).
تتوافق كل نقطة في الدائرة مع رقمين: التنسيق على طول المحور والإحداثيات على طول المحور. ما هي هذه الأرقام الإحداثي؟ وبشكل عام ، ما علاقتهم بالموضوع المطروح؟ للقيام بذلك ، تذكر معلومات المثلث القائم الزاوية. في الشكل أعلاه ، يمكنك أن ترى مثلثين قائمين كاملين. خذ بعين الاعتبار المثلث. إنه مستطيل لأنه عمودي على المحور.
ماذا يساوي المثلث؟ هذا صحيح. بالإضافة إلى ذلك ، نعلم أن هذا هو نصف قطر دائرة الوحدة ، وبالتالي ،. عوّض بهذه القيمة في صيغة جيب التمام. إليك ما يحدث:
وماذا يساوي المثلث؟ حسنا بالطبع، ! عوض بقيمة نصف القطر في هذه الصيغة واحصل على:
لذا ، هل يمكن أن تخبرني ما هي إحداثيات النقطة التي تنتمي إلى الدائرة؟ حسنًا ، مستحيل؟ وإذا أدركت ذلك وهل هي مجرد أرقام؟ ما هو التنسيق الذي يتوافق معه؟ حسنًا ، بالطبع ، التنسيق! ما هو التنسيق الذي يتوافق معه؟ هذا صحيح ، قم بالتنسيق! وهكذا ، فإن النقطة.
وماذا بعد ذلك متساوون و؟ هذا صحيح ، دعنا نستخدم التعريفات المناسبة لـ tangent و cotangent ونحصل على ذلك ، a.
ماذا لو كانت الزاوية أكبر؟ هنا على سبيل المثال كما في هذه الصورة:
ما الذي تغير في هذا المثال؟ دعونا نفهم ذلك. للقيام بذلك ، ننتقل مرة أخرى إلى مثلث قائم الزاوية. ضع في اعتبارك مثلث قائم الزاوية: زاوية (كمجاورة لزاوية). ما هي قيمة الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية؟ هذا صحيح ، نحن نلتزم بالتعريفات المقابلة للوظائف المثلثية:
حسنًا ، كما ترى ، لا تزال قيمة جيب الزاوية تتوافق مع الإحداثي ؛ قيمة جيب التمام للزاوية - الإحداثي ؛ وقيم الظل والظل للنسب المقابلة. وبالتالي ، فإن هذه العلاقات قابلة للتطبيق على أي دوران لمتجه نصف القطر.
لقد سبق أن ذكرنا أن الموضع الأولي لمتجه نصف القطر يقع على طول الاتجاه الإيجابي للمحور. حتى الآن قمنا بتدوير هذا المتجه عكس اتجاه عقارب الساعة ، ولكن ماذا يحدث إذا قمنا بتدويره في اتجاه عقارب الساعة؟ لا شيء غير عادي ، ستحصل أيضًا على زاوية بحجم معين ، لكنها ستكون سالبة فقط. وهكذا ، عند تدوير متجه نصف القطر عكس اتجاه عقارب الساعة ، نحصل على زوايا موجبة، وعند الدوران في اتجاه عقارب الساعة - نفي.
لذلك ، نعلم أن الثورة الكاملة لمتجه نصف القطر حول الدائرة تساوي أو. هل من الممكن تدوير متجه نصف القطر بواسطة أم بجانبه؟ حسنا بالطبع يمكنك! لذلك ، في الحالة الأولى ، يقوم متجه نصف القطر بعمل ثورة كاملة ويتوقف عند الموضع أو.
في الحالة الثانية ، أي ، يقوم متجه نصف القطر بثلاث دورات كاملة ويتوقف عند الموضع أو.
وبالتالي ، من الأمثلة المذكورة أعلاه ، يمكننا أن نستنتج أن الزوايا التي تختلف في أو (أين يوجد أي عدد صحيح) تتوافق مع نفس موضع متجه نصف القطر.
يوضح الشكل أدناه زاوية. نفس الصورة تتوافق مع الزاوية ، وهكذا. يمكن أن تستمر هذه القائمة إلى أجل غير مسمى. يمكن كتابة كل هذه الزوايا بالصيغة العامة أو (أين يوجد أي عدد صحيح)
الآن ، بعد معرفة تعريفات الدوال المثلثية الأساسية واستخدام دائرة الوحدة ، حاول الإجابة عن القيم التي تساويها:
فيما يلي دائرة الوحدة لمساعدتك:
أي صعوبات؟ ثم دعونا نكتشف ذلك. لذلك نحن نعلم أن:
من هنا نحدد إحداثيات النقاط المقابلة لقياسات معينة للزاوية. حسنًا ، لنبدأ بالترتيب: الزاوية عند تتوافق مع نقطة ذات إحداثيات ، لذلك:
غير موجود؛
علاوة على ذلك ، بالالتزام بالمنطق نفسه ، نجد أن الزوايا تتوافق مع النقاط ذات الإحداثيات ، على التوالي. بمعرفة ذلك ، من السهل تحديد قيم الدوال المثلثية في النقاط المقابلة. جربها بنفسك أولاً ، ثم تحقق من الإجابات.
الإجابات:
غير موجود
غير موجود
غير موجود
غير موجود
وهكذا يمكننا عمل الجدول التالي:
ليست هناك حاجة لتذكر كل هذه القيم. يكفي تذكر المراسلات بين إحداثيات النقاط على دائرة الوحدة وقيم الدوال المثلثية:
لكن قيم الدوال المثلثية للزوايا في ، والمذكورة في الجدول أدناه ، يجب تذكرها:
لا تخافوا ، الآن سنعرض أحد الأمثلة إلى حد ما حفظ بسيط للقيم المقابلة:
لاستخدام هذه الطريقة ، من الضروري تذكر قيم الجيب لجميع مقاييس الزاوية () ، بالإضافة إلى قيمة ظل الزاوية في. من خلال معرفة هذه القيم ، من السهل جدًا استعادة الجدول بأكمله - يتم نقل قيم جيب التمام وفقًا للأسهم ، أي:
بمعرفة هذا ، يمكنك استعادة قيم. سيتطابق البسط "" ويتطابق المقام "". يتم نقل قيم ظل التمام وفقًا للأسهم الموضحة في الشكل. إذا فهمت هذا وتذكرت الرسم التخطيطي بالسهام ، فسيكون ذلك كافيًا لتذكر القيمة بأكملها من الجدول.
إحداثيات نقطة على دائرة
هل من الممكن إيجاد نقطة (إحداثياتها) على دائرة ، معرفة إحداثيات مركز الدائرة ونصف قطرها وزاوية الدوران?
حسنا بالطبع يمكنك! دعونا نخرج الصيغة العامة لإيجاد إحداثيات نقطة.
هنا ، على سبيل المثال ، لدينا مثل هذه الدائرة:
نعلم أن النقطة هي مركز الدائرة. نصف قطر الدائرة متساوي. من الضروري إيجاد إحداثيات النقطة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة بالدرجات.
كما يتضح من الشكل ، فإن تنسيق النقطة يتوافق مع طول المقطع. يتوافق طول المقطع مع إحداثيات مركز الدائرة ، أي أنه يساوي. يمكن التعبير عن طول المقطع باستخدام تعريف جيب التمام:
ثم لدينا هذا بالنسبة للنقطة الإحداثي.
بنفس المنطق ، نجد قيمة إحداثي ص للنقطة. في هذا الطريق،
لذلك ، بشكل عام ، يتم تحديد إحداثيات النقاط بواسطة الصيغ:
إحداثيات مركز الدائرة ،
دائرة نصف قطرها
زاوية دوران متجه نصف القطر.
كما ترى ، بالنسبة لدائرة الوحدة التي ندرسها ، يتم تقليل هذه الصيغ بشكل كبير ، نظرًا لأن إحداثيات المركز تساوي صفرًا ونصف القطر يساوي واحدًا:
حسنًا ، لنجرب هذه الصيغ للتذوق ، ونتدرب على إيجاد النقاط على الدائرة؟
1. أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة التي تم الحصول عليها عن طريق تشغيل نقطة.
2. أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة التي تم الحصول عليها بتدوير نقطة على.
3. أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة التي تم الحصول عليها عن طريق تشغيل نقطة.
4. نقطة - مركز الدائرة. نصف قطر الدائرة متساوي. من الضروري إيجاد إحداثيات النقطة التي تم الحصول عليها بتدوير متجه نصف القطر الأولي بمقدار.
5. نقطة - مركز الدائرة. نصف قطر الدائرة متساوي. من الضروري إيجاد إحداثيات النقطة التي تم الحصول عليها بتدوير متجه نصف القطر الأولي بمقدار.
هل تواجه مشكلة في العثور على إحداثيات نقطة في دائرة؟
قم بحل هذه الأمثلة الخمسة (أو افهم الحل جيدًا) وسوف تتعلم كيفية العثور عليها!
1.
ويمكن أن نرى أن. ونعرف ما يتوافق مع الانعطاف الكامل لنقطة البداية. وبالتالي ، ستكون النقطة المرغوبة في نفس الموضع عند التحول إلى. بمعرفة هذا نجد الإحداثيات المرغوبة للنقطة:
2. الدائرة عبارة عن وحدة مركزها نقطة ، مما يعني أنه يمكننا استخدام صيغ مبسطة:
ويمكن أن نرى أن. نحن نعلم ما يتوافق مع دورتين كاملتين لنقطة البداية. وبالتالي ، ستكون النقطة المرغوبة في نفس الموضع عند التحول إلى. بمعرفة هذا نجد الإحداثيات المرغوبة للنقطة:
الجيب وجيب التمام هما قيمتان جدوليتان. نتذكر قيمهم ونحصل على:
وبالتالي ، فإن النقطة المطلوبة لها إحداثيات.
3. الدائرة عبارة عن وحدة مركزها نقطة ، مما يعني أنه يمكننا استخدام صيغ مبسطة:
ويمكن أن نرى أن. دعنا نصور المثال المدروس في الشكل:
يجعل نصف القطر زوايا مع المحور تساوي و. مع العلم أن القيم الجدولية لجيب التمام والجيب متساوية ، وبعد تحديد أن جيب التمام هنا يأخذ قيمة سالبة ، وجيب الجيب موجب ، لدينا:
يتم تحليل أمثلة مماثلة بمزيد من التفصيل عند دراسة الصيغ لتقليل الدوال المثلثية في الموضوع.
وبالتالي ، فإن النقطة المطلوبة لها إحداثيات.
4.
زاوية دوران متجه نصف القطر (حسب الشرط)
لتحديد علامات الجيب وجيب التمام المقابلة ، نقوم ببناء دائرة وحدة وزاوية:
كما ترى ، القيمة ، أي موجبة ، والقيمة أي سالبة. بمعرفة القيم الجدولية للوظائف المثلثية المقابلة ، نحصل على ما يلي:
دعنا نعوض بالقيم التي تم الحصول عليها في الصيغة الخاصة بنا ونوجد الإحداثيات:
وبالتالي ، فإن النقطة المطلوبة لها إحداثيات.
5. لحل هذه المشكلة ، نستخدم الصيغ بشكل عام ، أين
إحداثيات مركز الدائرة (في مثالنا ،
نصف قطر الدائرة (حسب الشرط)
زاوية دوران متجه نصف القطر (حسب الشرط).
عوّض بكل القيم في الصيغة واحصل على:
و- قيم الجدول. نتذكرها ونستبدلها بالصيغة:
وبالتالي ، فإن النقطة المطلوبة لها إحداثيات.
ملخص وصيغة أساسية
جيب الزاوية هو نسبة الضلع المقابل (البعيد) إلى الوتر.
جيب تمام الزاوية هو نسبة الضلع المجاورة (القريبة) إلى الوتر.
ظل الزاوية هو نسبة الضلع المقابلة (البعيدة) إلى المجاورة (القريبة).
ظل التمام لزاوية هو نسبة الضلع المجاورة (القريبة) إلى الضلع المقابل (البعيد).
نواصل حديثنا حول الصيغ الأكثر استخدامًا في علم المثلثات. أهمها صيغ الإضافة.
التعريف 1
تسمح لك صيغ الجمع بالتعبير عن وظائف الفرق أو مجموع زاويتين باستخدام الدوال المثلثية لهذه الزوايا.
بادئ ذي بدء ، سنقدم قائمة كاملة بصيغ الإضافة ، ثم نثبتها ونحلل بعض الأمثلة التوضيحية.
Yandex.RTB R-A-339285-1
صيغ الجمع الأساسية في علم المثلثات
هناك ثماني صيغ أساسية: جيب المجموع وجيب الفرق بين زاويتين ، وجيب التمام للجمع والفرق ، والظل والظل للجمع والفرق ، على التوالي. فيما يلي صيغهم وحساباتهم القياسية.
1. يمكن الحصول على جيب مجموع الزاويتين على النحو التالي:
نحسب حاصل ضرب جيب الزاوية الأولى بجيب جيب الزاوية الثانية ؛
اضرب جيب التمام للزاوية الأولى بجيب الأول ؛
اجمع القيم الناتجة.
تبدو الكتابة الرسومية للصيغة على النحو التالي: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
2. يتم حساب جيب الاختلاف بنفس الطريقة تقريبًا ، ولا يجب إضافة سوى النواتج الناتجة ، بل يجب طرحها من بعضها البعض. وهكذا نحسب حاصل ضرب جيب الزاوية الأولى بجيب جيب التمام الثاني وجيب تمام الزاوية الأولى بجيب الجيب الثاني ونوجد الفرق بينهما. تمت كتابة الصيغة على النحو التالي: sin (α - β) = sin α cos β + sin α sin β
3. جيب التمام للمبلغ. بالنسبة لها ، نجد حاصل ضرب جيب التمام للزاوية الأولى بجيب جيب التمام الثاني وجيب الزاوية الأولى بجيب الجيب الثاني ، على التوالي ، ونوجد الفرق بينهما: cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
4. فرق جيب التمام: نحسب حاصل ضرب الجيب وجيب التمام للزوايا المعطاة ، كما في السابق ، ونجمعها. الصيغة: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5. ظل المجموع. يتم التعبير عن هذه الصيغة في صورة كسر ، في بسطه مجموع ظل الزاوية المرغوبة ، وفي المقام هو الوحدة التي يُطرح منها حاصل ضرب مماسات الزوايا المرغوبة. كل شيء واضح من تدوينها البياني: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α t g β
6. ظل الاختلاف. نحسب قيم الفرق وحاصل ضرب مماسات هذه الزوايا ونتعامل معها بطريقة مماثلة. في المقام ، نضيف إلى واحد وليس العكس: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
7. ظل التمام من المجموع. بالنسبة للحسابات التي تستخدم هذه الصيغة ، نحتاج إلى حاصل ضرب هذه الزوايا ومجموع ظلها ، والتي نتبعها على النحو التالي: c t g (α + β) = - 1 + c t g α c t g g β c t g α + c t g β
8. ظل التمام من الاختلاف . الصيغة مماثلة للصيغة السابقة ، ولكن في البسط والمقام - ناقص ، وليس زائد c t g (α - β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β.
ربما لاحظت أن هذه الصيغ متشابهة في الاتجاهين. باستخدام العلامتين ± (زائد ناقص) و (ناقص زائد) ، يمكننا تجميعها لتسهيل التدوين:
sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β tg (α ± β) = tg α ± tg β 1 ∓ tg α tg β ctg (α ± β) = - 1 ± ctg α ctg β ctg α ± ctg β
وفقًا لذلك ، لدينا صيغة تسجيل واحدة لمجموع وفرق كل قيمة ، فقط في حالة واحدة نولي اهتمامًا للعلامة العليا ، في الحالة الأخرى - إلى العلامة السفلية.
التعريف 2
يمكننا أخذ أي زاويتين α و ، وستعمل صيغ الجمع لجيب التمام والجيب معها. إذا تمكنا من تحديد قيم الظل والظل لهذه الزوايا بشكل صحيح ، فستكون صيغ الإضافة للظل والظل صالحة أيضًا بالنسبة لهم.
مثل معظم المفاهيم في الجبر ، يمكن إثبات صيغ الجمع. الصيغة الأولى التي سنثبتها هي صيغة فرق جيب التمام. من خلاله ، يمكنك بسهولة استنتاج بقية الأدلة.
دعونا نوضح المفاهيم الأساسية. نحن بحاجة إلى دائرة وحدة. سيظهر إذا أخذنا نقطة معينة A وقمنا بالتدوير حول المركز (النقطة O) الزاويتين α و. ثم الزاوية بين المتجهات O A 1 → و O A → 2 ستكون مساوية لـ (α - β) + 2 π z أو 2 π - (α - β) + 2 π z (z هو أي عدد صحيح). تشكل المتجهات الناتجة زاوية تساوي α - β أو 2 π - (α - β) ، أو قد تختلف عن هذه القيم بعدد صحيح من الثورات الكاملة. نلقي نظرة على الصورة:
استخدمنا صيغ التخفيض وحصلنا على النتائج التالية:
cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)
الخلاصة: جيب تمام الزاوية بين المتجهين O A 1 → و O A 2 → يساوي جيب تمام الزاوية α - β ، لذلك ، cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).
تذكر تعريفات الجيب وجيب التمام: الجيب هو دالة لزاوية تساوي نسبة ضلع الزاوية المقابلة إلى الوتر ، وجيب التمام هو جيب الزاوية الإضافية. لذلك ، فإن النقاط أ 1و أ 2لها إحداثيات (cos α، sin α) و (cos β، sin β).
نحصل على ما يلي:
O A 1 → = (cos α، sin α) و O A 2 → = (cos β، sin β)
إذا لم يكن واضحًا ، انظر إلى إحداثيات النقاط الموجودة في بداية ونهاية المتجهات.
أطوال المتجهات تساوي 1 لأن لدينا دائرة واحدة.
دعونا الآن نحلل الناتج القياسي للمتجهات O A 1 → و O A 2 →. في الإحداثيات يبدو كالتالي:
(O A 1 → ، O A 2) → = cos α cos β + sin α sin β
من هذا يمكننا أن نستنتج المساواة:
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
وهكذا ، تم إثبات صيغة جيب التمام للفرق.
الآن سنثبت الصيغة التالية - جيب تمام الجمع. هذا أسهل لأنه يمكننا استخدام الحسابات السابقة. خذ التمثيل α + β = α - (- β). لدينا:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β
هذا دليل على صيغة جيب تمام الجمع. يستخدم السطر الأخير خاصية الجيب وجيب التمام للزوايا المتقابلة.
يمكن اشتقاق صيغة جيب المجموع من صيغة جيب تمام الاختلاف. لنأخذ صيغة التخفيض لهذا:
من النموذج sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). وبالتالي
الخطيئة (α + β) \ u003d cos (π 2 (α + β)) \ u003d cos ((π 2 - α) - β) \ u003d \ u003d cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β
وهذا دليل على صيغة جيب الاختلاف:
الخطيئة (α - β) = الخطيئة (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
لاحظ استخدام خصائص الجيب وجيب التمام للزوايا المتقابلة في الحساب الأخير.
بعد ذلك ، نحتاج إلى براهين على صيغ الجمع للظل والظل. دعونا نتذكر التعريفات الأساسية (الظل هو نسبة الجيب إلى جيب التمام ، وظل التمام هو العكس) ونأخذ الصيغ المشتقة مسبقًا مسبقًا. لقد فعلناها:
t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β
لدينا كسر مركب. بعد ذلك ، علينا قسمة البسط والمقام على cos α cos β ، إذا علمنا أن cos α ≠ 0 و cos β ≠ 0 ، نحصل على:
sin α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β = sin α cos β cos α cos β + cos α sin β cos α cos cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β
الآن نختصر الكسور ونحصل على الصيغة بالشكل التالي: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α t g β.
حصلنا على t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. هذا هو إثبات صيغة الجمع المماس.
الصيغة التالية التي سنثبتها هي صيغة فرق الظل. يظهر كل شيء بوضوح في الحسابات:
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (-) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
تم إثبات صيغ ظل التمام بطريقة مماثلة:
ctg (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α cos β - sin α sin β sin α cos β + cos α sin β = = cos α cos β - sin α sin β sin α sin β sin α cos β + cos α sin β sin α sin β = cos α cos β sin α sin β - 1 sin α cos β sin α sin β + cos α sin β sin α sin β = = - 1 + ctg α ctg β ctg α + ctg β
بالإضافة إلى ذلك:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (-) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β
يتم إعطاء النسب بين الدوال المثلثية الرئيسية - الجيب وجيب التمام والظل والظل - الصيغ المثلثية. ونظرًا لوجود عدد كبير جدًا من الروابط بين الدوال المثلثية ، فإن هذا يفسر أيضًا وفرة الصيغ المثلثية. بعض الصيغ تربط الدوال المثلثية لنفس الزاوية ، والبعض الآخر - وظائف الزاوية المتعددة ، والبعض الآخر - يسمح لك بخفض الدرجة ، والرابع - للتعبير عن جميع الوظائف من خلال ظل نصف الزاوية ، إلخ.
في هذه المقالة ، نسرد بالترتيب جميع الصيغ المثلثية الأساسية ، والتي تكفي لحل الغالبية العظمى من مسائل علم المثلثات. لسهولة الحفظ والاستخدام ، سنقوم بتجميعها حسب الغرض منها ، وندخلها في جداول.
التنقل في الصفحة.
الهويات المثلثية الأساسية
الهويات المثلثية الأساسيةضبط العلاقة بين الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية واحدة. وهي تتبع من تعريف الجيب وجيب التمام والظل والظل ، بالإضافة إلى مفهوم دائرة الوحدة. إنها تسمح لك بالتعبير عن دالة مثلثية واحدة من خلال أي دالة أخرى.
للحصول على وصف تفصيلي لهذه الصيغ في علم المثلثات ، وأمثلة على اشتقاقها وتطبيقها ، راجع المقالة.
صيغ الصب
صيغ الصبتتبع من خصائص الجيب وجيب التمام والظل والظل ، أي أنها تعكس خاصية دورية الدوال المثلثية ، وخاصية التناظر ، وكذلك خاصية الانزياح بزاوية معينة. تسمح لك هذه الصيغ المثلثية بالانتقال من العمل بزوايا عشوائية إلى العمل بزوايا تتراوح من صفر إلى 90 درجة.
يمكن دراسة الأساس المنطقي لهذه الصيغ ، وقاعدة ذاكري لحفظها ، وأمثلة على تطبيقها في المقالة.
صيغ الجمع
صيغ الجمع المثلثيةأظهر كيف يتم التعبير عن الدوال المثلثية لمجموع أو فرق الزاويتين من حيث الدوال المثلثية لهذه الزوايا. تعمل هذه الصيغ كأساس لاشتقاق الصيغ المثلثية التالية.
صيغ مزدوجة وثلاثية وما إلى ذلك. ركن
صيغ مزدوجة وثلاثية وما إلى ذلك. زاوية (يطلق عليها أيضًا معادلات متعددة الزوايا) توضح كيف الدوال المثلثية لمضاعفة وثلاثية وما إلى ذلك. يتم التعبير عن الزوايا () من حيث الدوال المثلثية لزاوية واحدة. اشتقاقهم يعتمد على صيغ الجمع.
يتم جمع معلومات أكثر تفصيلاً في معادلات المقالات للثنائي أو الثلاثي ، إلخ. زاوية .
صيغ نصف زاوية
صيغ نصف زاويةاظهر كيف يتم التعبير عن الدوال المثلثية لنصف زاوية بدلالة جيب التمام لزاوية عدد صحيح. تتبع هذه الصيغ المثلثية من صيغ الزاوية المزدوجة.
يمكن العثور على استنتاجهم وأمثلة التطبيق في المقالة.
صيغ التخفيض
الصيغ المثلثية للدرجات المتناقصةصُممت لتسهيل الانتقال من القوى الطبيعية للوظائف المثلثية إلى الجيب وجيب التمام من الدرجة الأولى ، ولكن الزوايا المتعددة. بعبارة أخرى ، تسمح للفرد بتقليل قوى الدوال المثلثية إلى الأولى.
صيغ مجموع واختلاف الدوال المثلثية
الوجهة الرئيسية معادلات الجمع والفرق للوظائف المثلثيةيتكون من الانتقال إلى منتج الوظائف ، وهو أمر مفيد للغاية عند تبسيط التعبيرات المثلثية. تُستخدم هذه الصيغ أيضًا على نطاق واسع في حل المعادلات المثلثية ، لأنها تسمح بحساب مجموع واختلاف الجيب وجيب التمام.
الصيغ لمنتج الجيب وجيب التمام والجيب بجيب التمام
يتم الانتقال من ناتج الدوال المثلثية إلى المجموع أو الاختلاف من خلال الصيغ الخاصة بمنتج الجيب وجيب التمام والجيب بواسطة جيب التمام.
حقوق التأليف والنشر من قبل الطلاب الأذكياء
كل الحقوق محفوظة.
محمي بقانون حقوق التأليف والنشر. لا يجوز إعادة إنتاج أي جزء من موقع www.site ، بما في ذلك المواد الداخلية والتصميم الخارجي ، بأي شكل من الأشكال أو استخدامه دون إذن كتابي مسبق من صاحب حقوق الطبع والنشر.
علم المثلثات هو أحد فروع الرياضيات التي يتعامل معها تلاميذ المدارس مع أكبر الصعوبات. لا عجب: من أجل إتقان هذا المجال من المعرفة بحرية ، فأنت بحاجة إلى التفكير المكاني ، والقدرة على إيجاد الجيب وجيب التمام والظلال والمظلات باستخدام الصيغ ، وتبسيط التعبيرات ، والقدرة على استخدام الرقم pi في العمليات الحسابية. بالإضافة إلى ذلك ، يجب أن تكون قادرًا على تطبيق علم المثلثات عند إثبات النظريات ، وهذا يتطلب إما ذاكرة رياضية مطورة أو القدرة على استنتاج سلاسل منطقية معقدة.
أصول علم المثلثات
يجب أن يبدأ التعرف على هذا العلم بتعريف الجيب وجيب التمام والظل للزاوية ، ولكن عليك أولاً معرفة ما يفعله علم المثلثات بشكل عام.
تاريخيًا ، كانت المثلثات القائمة على اليمين هي الهدف الرئيسي للدراسة في هذا القسم من العلوم الرياضية. إن وجود زاوية 90 درجة يجعل من الممكن إجراء عمليات مختلفة تسمح للشخص بتحديد قيم جميع معلمات الشكل قيد النظر باستخدام جانبين وزاوية واحدة أو زاويتين وجانب واحد. في الماضي ، لاحظ الناس هذا النمط وبدأوا في استخدامه بنشاط في تشييد المباني ، والملاحة ، وعلم الفلك ، وحتى الفن.
المرحلة الأولى
في البداية ، تحدث الناس عن علاقة الزوايا والأضلاع حصريًا بمثال المثلثات القائمة. ثم تم اكتشاف الصيغ الخاصة التي جعلت من الممكن توسيع حدود الاستخدام في الحياة اليومية لهذا القسم من الرياضيات.
تبدأ دراسة علم المثلثات في المدرسة اليوم بمثلثات قائمة الزاوية ، وبعد ذلك يتم استخدام المعرفة المكتسبة من قبل الطلاب في الفيزياء وحل المعادلات المثلثية المجردة ، والتي يبدأ العمل بها في المدرسة الثانوية.
علم المثلثات الكروية
في وقت لاحق ، عندما وصل العلم إلى المستوى التالي من التطور ، بدأ استخدام الصيغ ذات الجيب وجيب التمام والظل والظل في الهندسة الكروية ، حيث يتم تطبيق قواعد مختلفة ، ومجموع الزوايا في المثلث دائمًا أكثر من 180 درجة. لم يتم دراسة هذا القسم في المدرسة ، ولكن من الضروري معرفة وجوده ، على الأقل لأن سطح الأرض ، وسطح أي كوكب آخر ، محدب ، مما يعني أن أي علامة على السطح ستكون "على شكل قوس" في مساحة ثلاثية الأبعاد.
خذ الكرة الأرضية وخيط. اربط الخيط بأي نقطتين على الكرة الأرضية بحيث يكون مشدودًا. انتبه - لقد اكتسب شكل قوس. بهذه الأشكال تتعامل الهندسة الكروية ، التي تُستخدم في الجيوديسيا ، وعلم الفلك ، وغيرهما من المجالات النظرية والتطبيقية.
مثلث قائم
بعد أن تعلمنا القليل عن طرق استخدام علم المثلثات ، دعنا نعود إلى علم المثلثات الأساسي لفهم ماهية الجيب وجيب التمام والظل ، وما هي الحسابات التي يمكن إجراؤها بمساعدتهم وما هي الصيغ التي يجب استخدامها.
الخطوة الأولى هي فهم المفاهيم المتعلقة بالمثلث القائم الزاوية. أولًا ، الوتر هو الضلع المقابل للزاوية 90 درجة. هي الأطول. نتذكر أنه وفقًا لنظرية فيثاغورس ، فإن قيمتها العددية تساوي جذر مجموع مربعي الضلعين الآخرين.
على سبيل المثال ، إذا كان طول ضلعين 3 و 4 سنتيمترات على التوالي ، فسيكون طول الوتر 5 سنتيمترات. بالمناسبة ، عرف المصريون القدماء عن هذا منذ حوالي أربعة آلاف ونصف سنة.
يسمى الجانبان المتبقيان اللذان يشكلان الزاوية اليمنى الأرجل. بالإضافة إلى ذلك ، يجب أن نتذكر أن مجموع زوايا المثلث في نظام إحداثيات مستطيل يساوي 180 درجة.
تعريف
أخيرًا ، بفهم قوي للقاعدة الهندسية ، يمكننا أن ننتقل إلى تعريف الجيب وجيب التمام والظل للزاوية.
جيب الزاوية هو نسبة الضلع المقابل (أي الضلع المقابل للزاوية المرغوبة) إلى الوتر. جيب تمام الزاوية هو نسبة الضلع المجاورة إلى الوتر.
تذكر أنه لا الجيب ولا جيب التمام يمكن أن يكون أكبر من واحد! لماذا ا؟ لأن الوتر هو الأطول بشكل افتراضي ، وبغض النظر عن طول الساق ، سيكون أقصر من الوتر ، مما يعني أن نسبته ستكون دائمًا أقل من واحد. وبالتالي ، إذا حصلت على شرط أو جيب التمام بقيمة أكبر من 1 في إجابة المشكلة ، فابحث عن خطأ في الحسابات أو التفكير. من الواضح أن هذه الإجابة خاطئة.
أخيرًا ، ظل الزاوية هو نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور. نفس النتيجة ستعطي قسمة الجيب على جيب التمام. انظر: وفقًا للصيغة ، نقسم طول الضلع على الوتر ، وبعد ذلك نقسم على طول الضلع الثاني ونضرب في الوتر. وبالتالي ، نحصل على نفس النسبة كما في تعريف الظل.
ظل التمام ، على التوالي ، هو نسبة الضلع المجاور للزاوية إلى الضلع المقابل. نحصل على نفس النتيجة بقسمة الوحدة على الظل.
لذا ، فقد درسنا تعريفات ما هي الجيب وجيب التمام والظل والظل ، ويمكننا التعامل مع الصيغ.
أبسط الصيغ
في علم المثلثات ، لا يمكن للمرء الاستغناء عن الصيغ - كيف يمكن إيجاد الجيب وجيب التمام والظل والظل بدونها؟ وهذا بالضبط ما هو مطلوب عند حل المشكلات.
الصيغة الأولى التي تحتاج إلى معرفتها عند البدء في دراسة علم المثلثات تنص على أن مجموع مربعي الجيب وجيب التمام لزاوية يساوي واحدًا. هذه الصيغة هي نتيجة مباشرة لنظرية فيثاغورس ، لكنها توفر الوقت إذا كنت تريد معرفة قيمة الزاوية ، وليس الضلع.
لا يستطيع العديد من الطلاب تذكر الصيغة الثانية ، والتي تحظى أيضًا بشعبية كبيرة عند حل مشكلات المدرسة: مجموع واحد ومربع ظل الزاوية يساوي واحدًا مقسومًا على مربع جيب تمام الزاوية. ألقِ نظرة فاحصة: بعد كل شيء ، هذا هو نفس البيان كما في الصيغة الأولى ، تم تقسيم جانبي الهوية فقط على مربع جيب التمام. اتضح أن عملية حسابية بسيطة تجعل الصيغة المثلثية غير معروفة تمامًا. تذكر: معرفة ما هي الجيب وجيب التمام والظل والظل ، وقواعد التحويل وبعض الصيغ الأساسية ، يمكنك في أي وقت اشتقاق الصيغ الأكثر تعقيدًا المطلوبة بشكل مستقل على ورقة.
صيغ الزاوية المزدوجة وإضافة الوسيطات
هناك صيغتان أخريان تحتاج إلى تعلمهما تتعلقان بقيم الجيب وجيب التمام لمجموع الزوايا وفرقها. يتم عرضها في الشكل أدناه. يرجى ملاحظة أنه في الحالة الأولى ، يتم ضرب الجيب وجيب التمام في المرتين ، وفي الحالة الثانية ، يُضاف حاصل الضرب الزوجي للجيب وجيب التمام.
هناك أيضًا صيغ مرتبطة بحجج مزدوجة الزاوية. إنها مشتقة تمامًا من سابقاتها - كممارسة ، حاول الحصول عليها بنفسك ، مع أخذ زاوية ألفا مساوية لزاوية بيتا.
أخيرًا ، لاحظ أنه يمكن تحويل صيغ الزاوية المزدوجة لخفض درجة الجيب وجيب التمام والظل ألفا.
نظريات
النظريتان الرئيسيتان في علم المثلثات الأساسيان هما نظرية الجيب ونظرية جيب التمام. بمساعدة هذه النظريات ، يمكنك بسهولة فهم كيفية العثور على الجيب وجيب التمام والظل ، وبالتالي مساحة الشكل وحجم كل جانب ، إلخ.
تنص نظرية الجيب على أنه نتيجة قسمة طول كل جانب من ضلعي المثلث على قيمة الزاوية المقابلة ، نحصل على نفس العدد. علاوة على ذلك ، سيكون هذا الرقم مساويًا لنصف قطر الدائرة المقيدة ، أي الدائرة التي تحتوي على جميع نقاط المثلث المحدد.
تعمم نظرية جيب التمام نظرية فيثاغورس ، وتسقطها على أي مثلثات. اتضح أنه من مجموع مربعي الضلعين ، اطرح حاصل ضربهما مضروبًا في جيب التمام المزدوج للزاوية المجاورة لهما - ستكون القيمة الناتجة مساوية لمربع الضلع الثالث. وهكذا ، تبين أن نظرية فيثاغورس حالة خاصة من نظرية جيب التمام.
أخطاء ناتجة عن عدم الانتباه
حتى مع معرفة ماهية الجيب وجيب التمام والظل ، فمن السهل ارتكاب خطأ بسبب شرود الذهن أو خطأ في أبسط الحسابات. لتجنب مثل هذه الأخطاء ، دعنا نتعرف على أكثرها شهرة.
أولاً ، لا يجب تحويل الكسور العادية إلى كسور عشرية حتى يتم الحصول على النتيجة النهائية - يمكنك ترك الإجابة ككسر عادي ، ما لم ينص الشرط على خلاف ذلك. لا يمكن تسمية هذا التحول بالخطأ ، ولكن يجب أن نتذكر أنه في كل مرحلة من مراحل المهمة ، قد تظهر جذور جديدة ، والتي ، وفقًا لفكرة المؤلف ، يجب تقليصها. في هذه الحالة ، سوف تضيع الوقت في عمليات حسابية غير ضرورية. هذا صحيح بشكل خاص لقيم مثل جذر ثلاثة أو اثنين ، لأنها تحدث في المهام في كل خطوة. الأمر نفسه ينطبق على تقريب الأرقام "القبيحة".
علاوة على ذلك ، لاحظ أن نظرية جيب التمام تنطبق على أي مثلث ، لكن ليس نظرية فيثاغورس! إذا نسيت عن طريق الخطأ طرح ضعف حاصل ضرب الأضلاع في جيب تمام الزاوية بينهما ، فلن تحصل على نتيجة خاطئة تمامًا فحسب ، بل ستظهر أيضًا سوء فهم كامل للموضوع. هذا هو أسوأ من خطأ الإهمال.
ثالثًا ، لا تخلط بين قيم الزوايا 30 و 60 درجة للجيب وجيب التمام والظل والظل. تذكر هذه القيم ، لأن جيب الزاوية 30 درجة يساوي جيب التمام 60 ، والعكس صحيح. من السهل خلطها ، ونتيجة لذلك ستحصل حتمًا على نتيجة خاطئة.
تطبيق
كثير من الطلاب ليسوا في عجلة من أمرهم لبدء دراسة علم المثلثات ، لأنهم لا يفهمون معناها التطبيقي. ما هو الجيب وجيب التمام والظل للمهندس أو الفلكي؟ هذه هي المفاهيم التي بفضلها يمكنك حساب المسافة إلى النجوم البعيدة ، والتنبؤ بسقوط نيزك ، وإرسال مسبار بحث إلى كوكب آخر. بدونها ، من المستحيل بناء مبنى أو تصميم سيارة أو حساب الحمل على السطح أو مسار كائن ما. وهذه ليست سوى الأمثلة الأكثر وضوحًا! بعد كل شيء ، يتم استخدام علم المثلثات بشكل أو بآخر في كل مكان ، من الموسيقى إلى الطب.
أخيرا
إذن أنت شرط ، جيب تمام ، ظل. يمكنك استخدامها في العمليات الحسابية وحل مشاكل المدرسة بنجاح.
يتلخص جوهر علم المثلثات بأكمله في حقيقة أنه يجب حساب المعلمات غير المعروفة من المعلمات المعروفة للمثلث. هناك ستة معامِلات في المجموع: أطوال الأضلاع الثلاثة وقياسات الزوايا الثلاث. يكمن الاختلاف الكامل في المهام في حقيقة أنه يتم تقديم بيانات إدخال مختلفة.
كيف تجد الجيب وجيب التمام والظل بناءً على الأطوال المعروفة للساقين أو الوتر ، كما تعلم الآن. نظرًا لأن هذه المصطلحات لا تعني أكثر من نسبة ، والنسبة هي كسر ، فإن الهدف الرئيسي للمسألة المثلثية هو إيجاد جذور معادلة عادية أو نظام معادلات. وهنا سوف تساعدك الرياضيات المدرسية العادية.
جار التحميل...