Kako izvesti formulu za zapreminu krnje piramide. Formule za zapreminu pune i skraćene piramide. Volumen Keopsove piramide. Za pravilnu piramidu ispravne su sljedeće formule:

12.01.2017

HA13118 je pojačalo klase AB, sadrži minimalan broj eksternih elemenata i ima veliku snagu uz relativno nizak napon napajanja, pojačalo također ima visoko pojačanje od 55 dB, što vam omogućava da radite bez prethodnog pojačanja signala. Glavne tehničke karakteristike: Izlazna snaga 18 W (maksimalno) na opterećenje od 4 Ohma 10 W ...

30.10.2014

Sva navedena mikro kola su izrađena u SIP1 paketu sa 11 pinova i dvokanalna su stereo niskofrekventna pojačala i imaju isti priključak eksternih elemenata. *TDA2005 je posebno dizajniran za upotrebu u mostu. Parametri: TDA2004A(TDA2004S) Napon napajanja 8…18V Struja mirovanja 65mA Frekvencijski opseg 40…20000Hz Rn -2 Ohm Izlazna snaga 10 W K…

05.10.2014

Digitalno kontrolirano regulirano kolo napajanja sastoji se od pozitivnog regulatora napona na KM317, KPOM dekadnog brojača CD4017, NE555 tajmera i negativnog regulatora napona na LM7912. Napon mreže se transformatorom smanjuje na napon od +/-12V sa strujom od 1A u sekundarnom namotu, zatim se ispravlja. C1-C5 kapacitivni filter konstantnog napona. LED1 označava...

19.08.2018

Na slici je prikazan dijagram 8-kanalnog vremenskog releja koji koristi Arduino Nano, DS3231 sat realnog vremena (modul), sedmosegmentni četvorocifreni indikator zasnovan na drajveru TM1637 (modul TM1637) i četiri; kontrolna dugmad. U svakom kanalu možete podesiti vrijeme za uključivanje i isključivanje releja sve vrijednosti vremena za uključivanje i isključivanje releja pohranjene su u ...;

20.09.2014

Trofazni asinhroni motor normalnog dizajna može stvoriti obrtni moment bez poduzimanja posebnih mjera kada se napaja iz jednofazne strujne mreže. Pretpostavimo da je krug jedne od žica motora koji radi priključen na trofaznu mrežu otvoren (na primjer, zbog pregorenog osigurača). Mašina koja se nalazi u monofaznom režimu sa serijskim ili serijski paralelnim povezivanjem namotaja statora...

Piramida je poliedar, čije je jedno lice mnogougao ( baza ), a sva ostala lica su trokuti sa zajedničkim vrhom ( bočne strane ) (Sl. 15). Piramida se zove ispravan , ako je njegova osnova pravilan mnogougao i vrh piramide je projektovan u centar osnove (Sl. 16). Zove se trouglasta piramida čiji su svi rubovi jednaki tetraedar .

Lateralno rebro piramide je strana bočne strane koja ne pripada osnovici Visina piramida je udaljenost od njenog vrha do ravni baze. Sve bočne ivice pravilne piramide su jednake jedna drugoj, sve bočne strane su jednaki jednakokraki trouglovi. Visina bočne strane pravilne piramide povučena iz vrha naziva se apothem . Dijagonalni presjek naziva se presjek piramide ravninom koja prolazi kroz dvije bočne ivice koje ne pripadaju istoj površini.

Bočna površina piramida je zbir površina svih bočnih strana. Ukupna površina naziva se zbir površina svih bočnih strana i baze.

Teoreme

1. Ako su u piramidi sve bočne ivice jednako nagnute prema ravni osnove, tada se vrh piramide projektuje u centar kružnice opisane u blizini baze.

2. Ako su sve bočne ivice piramide jednake dužine, tada se vrh piramide projektuje u centar kružnice opisane blizu osnove.

3. Ako su sva lica u piramidi podjednako nagnuta prema ravni osnove, tada se vrh piramide projektuje u centar kruga upisanog u bazu.

Za izračunavanje zapremine proizvoljne piramide, ispravna formula je:

Gdje V- zapremina;

S baza– osnovna površina;

H– visina piramide.

Za pravilnu piramidu ispravne su sljedeće formule:

Gdje str– perimetar baze;

h a– apotema;

H- visina;

S puna

S strana

S baza– osnovna površina;

V– zapremina pravilne piramide.

Krnja piramida naziva se dio piramide zatvoren između osnove i rezne ravni paralelne sa osnovom piramide (slika 17). Pravilna skraćena piramida naziva se dio pravilne piramide zatvoren između osnove i rezne ravni paralelne s osnovom piramide.

Grounds skraćena piramida - slični poligoni. Bočne strane – trapezi. Visina krnje piramide je rastojanje između njenih osnova. Dijagonala skraćena piramida je segment koji povezuje njene vrhove koji ne leže na istoj površini. Dijagonalni presjek je presjek skraćene piramide ravninom koja prolazi kroz dvije bočne ivice koje ne pripadaju istoj površini.

Za skraćenu piramidu važe sljedeće formule:

(4)

Gdje S 1 , S 2 – površine gornje i donje osnove;

S puna– ukupna površina;

S strana– bočna površina;

H- visina;

V– zapremina krnje piramide.

Za pravilnu skraćenu piramidu formula je tačna:

Gdje str 1 , str 2 – perimetri osnova;

h a– apotema pravilne krnje piramide.

Primjer 1. U pravilnoj trouglastoj piramidi, ugao diedara u osnovi je 60º. Pronađite tangentu ugla nagiba bočne ivice prema ravni baze.

Rješenje. Napravimo crtež (slika 18).

Piramida je pravilna, što znači da se u osnovi nalazi jednakostranični trougao, a sve bočne strane su jednaki jednakokraki trouglovi. Diedarski ugao u osnovi je ugao nagiba bočne strane piramide prema ravni osnove. Linearni ugao je ugao a između dvije okomice: itd. Vrh piramide projektovan je u centar trougla (središte opisane i upisane kružnice trokuta ABC). Ugao nagiba bočne ivice (npr S.B.) je ugao između samog ruba i njegove projekcije na ravan baze. Za rebro S.B. ovaj ugao će biti ugao SBD. Da biste pronašli tangentu, morate znati noge SO I O.B.. Neka je dužina segmenta BD jednako 3 A. Dot O linijski segment BD je podijeljen na dijelove: i Od nalazimo SO: Od nalazimo:

odgovor:

Primjer 2. Nađite zapreminu pravilne skraćene četvorougaone piramide ako su dijagonale njenih osnova jednake cm i cm, a visina 4 cm.

Rješenje. Da bismo pronašli zapreminu krnje piramide, koristimo formulu (4). Da biste pronašli površinu baza, morate pronaći stranice osnovnih kvadrata, znajući njihove dijagonale. Stranice baza su jednake 2 cm, odnosno 8 cm To znači da su površine baza i Zamjenjujući sve podatke u formulu, izračunavamo volumen skraćene piramide:

odgovor: 112 cm 3.

Primjer 3. Nađite površinu bočne strane pravilne trokutaste skraćene piramide čije su stranice osnova 10 cm i 4 cm, a visina piramide 2 cm.

Rješenje. Napravimo crtež (slika 19).

Bočna strana ove piramide je jednakokraki trapez. Da biste izračunali površinu trapeza, morate znati osnovu i visinu. Osnove su date prema uslovu, samo visina ostaje nepoznata. Naći ćemo je odakle A 1 E okomito iz tačke A 1 na ravni donje baze, A 1 D– okomito od A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, jer je ovo visina piramide. Naći DE Napravimo dodatni crtež koji prikazuje pogled odozgo (slika 20). Dot O– projekcija centara gornje i donje baze. budući da (vidi sliku 20) i S druge strane uredu– radijus upisan u krug i OM– radijus upisan u krug:

MK = DE.

Prema Pitagorinoj teoremi iz

Bočna površina lica:

odgovor:

Primjer 4. U osnovi piramide leži jednakokraki trapez, čije su osnove A I b (a> b). Svaka bočna strana formira ugao jednak ravni osnove piramide j. Pronađite ukupnu površinu piramide.

Rješenje. Napravimo crtež (slika 21). Ukupna površina piramide SABCD jednak zbiru površina i površine trapeza A B C D.

Upotrijebimo tvrdnju da ako su sva lica piramide podjednako nagnuta prema ravni baze, tada se vrh projektuje u središte kruga upisanog u bazu. Dot O– projekcija temena S u osnovi piramide. Trougao SOD je ortogonalna projekcija trougla CSD do ravni baze. Koristeći teoremu o površini ortogonalne projekcije ravne figure, dobijamo:

Isto tako znači Dakle, problem se sveo na pronalaženje površine trapeza A B C D. Nacrtajmo trapez A B C D odvojeno (sl. 22). Dot O– središte kruga upisanog u trapez.

Kako se kružnica može upisati u trapez, onda ili Iz Pitagorine teoreme imamo

Sposobnost izračunavanja volumena prostornih figura važna je pri rješavanju niza praktičnih problema iz geometrije. Jedna od najčešćih figura je piramida. U ovom članku ćemo razmotriti pune i skraćene piramide.

Piramida kao trodimenzionalna figura

Svi znaju za egipatske piramide, tako da imaju dobru ideju o kakvoj figuri ćemo govoriti. Međutim, egipatske kamene građevine su samo poseban slučaj velike klase piramida.

Geometrijski objekat koji se razmatra u opštem slučaju je poligonalna baza, čiji je svaki vrh povezan sa određenom tačkom u prostoru koja ne pripada ravni baze. Ova definicija vodi do figure koja se sastoji od jednog n-ugla i n trokuta.

Bilo koja piramida se sastoji od n+1 lica, 2*n ivica i n+1 vrhova. Budući da je figura o kojoj je riječ savršeni poliedar, brojevi označenih elemenata podliježu Ojlerovoj jednakosti:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Poligon koji se nalazi u bazi daje ime piramide, na primjer, trokutasta, peterokutna i tako dalje. Skup piramida sa različitim bazama prikazan je na fotografiji ispod.

Tačka u kojoj se spajaju n trouglova figure naziva se vrh piramide. Ako se okomica spusti s nje na bazu i ona je siječe u geometrijskom centru, tada će se takva figura zvati prava linija. Ako ovaj uslov nije ispunjen, tada se pojavljuje nagnuta piramida.

Prava figura čiju osnovu čini jednakostranični (jednakokutni) n-ugao naziva se pravilna.

Formula zapremine piramide

Za izračunavanje zapremine piramide koristićemo integralni račun. Da bismo to učinili, podijelimo figuru rezanjem ravnina paralelnih s bazom u beskonačan broj tankih slojeva. Na slici ispod prikazana je četverougaona piramida visine h i dužine stranice L, u kojoj je tanak sloj presjeka označen četverouglom.

Površina svakog takvog sloja može se izračunati pomoću formule:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

Ovdje je A 0 površina baze, z je vrijednost vertikalne koordinate. Može se vidjeti da ako je z = 0, onda formula daje vrijednost A 0 .

Da biste dobili formulu za volumen piramide, trebali biste izračunati integral po cijeloj visini figure, odnosno:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Zamjenom zavisnosti A(z) i izračunavanjem antiderivata dolazimo do izraza:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.

Dobili smo formulu za zapreminu piramide. Da biste pronašli vrijednost V, samo pomnožite visinu figure s površinom baze, a zatim rezultat podijelite sa tri.

Imajte na umu da je rezultirajući izraz valjan za izračunavanje volumena piramide bilo kojeg tipa. Odnosno, može biti nagnut, a njegova baza može biti proizvoljan n-ugao.

i njen volumen

Opšta formula za zapreminu dobijena u gornjem paragrafu može se precizirati u slučaju piramide sa pravilnom bazom. Površina takve baze izračunava se pomoću sljedeće formule:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Ovdje je L dužina stranice pravilnog poligona sa n vrhova. Simbol pi je broj pi.

Zamjenom izraza za A 0 u opću formulu, dobivamo volumen pravilne piramide:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Na primjer, za trokutastu piramidu, ova formula rezultira sljedećim izrazom:

V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.

Za pravilnu četvorougaonu piramidu, formula zapremine ima oblik:

V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.

Određivanje volumena pravilnih piramida zahtijeva poznavanje stranice njihove osnove i visine figure.

Krnja piramida

Pretpostavimo da smo uzeli proizvoljnu piramidu i odsjekli dio njene bočne površine koja sadrži vrh. Preostala figura naziva se skraćena piramida. Već se sastoji od dvije n-kutne baze i n trapeza koji ih povezuju. Ako je rezna ravnina bila paralelna s bazom figure, tada se formira skraćena piramida sa sličnim paralelnim osnovama. Odnosno, dužine stranica jedne od njih mogu se dobiti množenjem dužine druge sa određenim koeficijentom k.

Na slici iznad prikazan je skraćeni pravilan. Može se vidjeti da je njegova gornja osnova, kao i donja, formirana od pravilnog šestougla.

Formula koja se može izvesti korištenjem integralnog računa sličnog gore navedenom je:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Gdje su A 0 i A 1 površine donje (velike) i gornje (male) baze, respektivno. Varijabla h označava visinu skraćene piramide.

Volumen Keopsove piramide

Zanimljivo je riješiti problem određivanja volumena koji najveća egipatska piramida sadrži u sebi.

Godine 1984. britanski egiptolozi Mark Lehner i Jon Goodman utvrdili su tačne dimenzije Keopsove piramide. Njegova prvobitna visina bila je 146,50 metara (trenutno oko 137 metara). Prosječna dužina svake od četiri strane konstrukcije bila je 230.363 metara. Osnova piramide je kvadratna sa velikom preciznošću.

Koristimo date brojke da odredimo zapreminu ovog kamenog diva. Budući da je piramida pravilna četverokutna, za nju vrijedi formula:

Zamjenom brojeva dobijamo:

V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 m 3.

Zapremina Keopsove piramide je skoro 2,6 miliona m3. Za poređenje, napominjemo da olimpijski bazen ima zapreminu od 2,5 hiljada m 3. Odnosno, za popunjavanje cijele Keopsove piramide trebat će vam više od 1000 takvih bazena!

i reznu ravninu koja je paralelna sa njegovom bazom.

Ili drugim riječima: krnje piramide- ovo je poliedar koji je formiran od piramide čiji je poprečni presjek paralelan s bazom.

Presjek koji je paralelan s osnovom piramide dijeli piramidu na 2 dijela. Dio piramide između njene osnove i poprečnog presjeka je krnje piramide.

Ispostavilo se da je ovaj dio za skraćenu piramidu jedna od osnova ove piramide.

Udaljenost između osnova krnje piramide je visina krnje piramide.

Skraćena piramida će biti ispravan, kada je i piramida iz koje je izvedena bila ispravna.

Visina trapeza bočne strane pravilne skraćene piramide je apothem pravilne krnje piramide.

Svojstva krnje piramide.

1. Svaka bočna strana pravilne skraćene piramide je jednakokraki trapez iste veličine.

2. Osnove skraćene piramide su slični poligoni.

3. Bočne ivice pravilne skraćene piramide su jednake veličine i jedna je nagnuta u odnosu na bazu piramide.

4. Bočne strane skraćene piramide su trapezi.

5. Diedralni uglovi na bočnim ivicama pravilne skraćene piramide su jednake veličine.

6. Odnos osnovnih površina: S 2 /S 1 = k 2.

Formule za skraćenu piramidu.

Za proizvoljnu piramidu:

Zapremina krnje piramide jednaka je 1/3 umnoška visine h (OS) zbirom površina gornje baze S 1 (abcde), donja osnova krnje piramide S 2 (ABCDE) i prosječna proporcionalna vrijednost između njih.

Zapremina piramide:

Gdje S 1, S 2- bazna površina,

h— visina krnje piramide.

Bočna površina jednak je zbiru površina bočnih strana krnje piramide.

Za pravilnu skraćenu piramidu:

Pravilna skraćena piramida- poliedar koji je formiran od pravilne piramide i njenog presjeka koji je paralelan sa bazom.

Površina bočne površine pravilne skraćene piramide jednaka je ½ umnoška zbira opsega njenih osnova i apoteme.

Gdje S 1, S 2- bazna površina,

φ - diedarski ugao u osnovi piramide.

CH je visina krnje piramide, P 1 I P2- perimetri baza, S 1 I S 2- bazne površine, S strana- bočna površina, S puna— ukupna površina:

Presjek piramide ravninom koja je paralelna osnovici.

Presjek piramide ravninom, koji je paralelan s njenom osnovom (okomit na visinu) i dijeli visinu i bočne ivice piramide na proporcionalne segmente.

Presjek piramide ravninom koja je paralelna s njenom osnovom (okomita na njenu visinu) je mnogokut koji je sličan osnovi piramide, a koeficijent sličnosti ovih poligona odgovara omjeru njihovih udaljenosti od vrha piramide.

Površine poprečnog presjeka koje su paralelne s osnovom piramide podijeljene su kvadratom udaljenosti od vrha piramide.

Krnja piramida je poliedar čiji su vrhovi vrhovi baze i vrhovi njegovog presjeka ravninom koja je paralelna bazi.

Svojstva krnje piramide:

Osnove skraćene piramide su slični poligoni.
Bočne strane krnje piramide su trapezi.
Bočne ivice pravilne skraćene piramide jednake su i podjednako nagnute prema osnovici piramide.
Bočne strane pravilne skraćene piramide su jednaki jednakokraki trapezi i jednako su nagnuti prema osnovi piramide.
Diedarski uglovi na bočnim ivicama pravilne skraćene piramide su jednaki.

Površina i zapremina krnje piramide

Neka je visina skraćene piramide, i perimetri osnova krnje piramide, i površine osnova krnje piramide, bude površina bočne površine krnje piramide, neka je površina ukupne površine krnje piramide, a biti zapremina krnje piramide. Tada vrijede sljedeće relacije: