Kako izvesti formulu za zapreminu krnje piramide. Formule za zapreminu pune i skraćene piramide. Volumen Keopsove piramide. Za ispravnu piramidu, formule su tačne

12.01.2017

HA13118 je pojačalo klase AB, sadrži minimalan broj eksternih elemenata i ima veliku snagu pri relativno niskom naponu napajanja, a pojačalo ima i veliko pojačanje od 55 dB, što eliminiše potrebu za preliminarnim pojačavanjem signala. Glavne tehničke karakteristike: Izlazna snaga 18 W (maksimalno) na opterećenje od 4 Ohma 10 W ...

30.10.2014

Sva navedena mikro kola su izrađena u SIP1 paketu sa 11 pinova i dvokanalna su stereo NF pojačala i imaju isti priključak eksternih elemenata. * TDA2005 je posebno dizajniran za upotrebu u mostu. Parametri: TDA2004A (TDA2004S) Napon napajanja 8 ... 18V Struja mirovanja 65mA Frekvencijski opseg 40 ... 20000Hz Rn -2 Ohm Izlazna snaga 10 W K ...

05.10.2014

Digitalno regulirano strujno kolo se sastoji od pozitivnog regulatora napona na KM317, KPOM dekadnog brojača CD4017, tajmera NE555 i regulatora negativnog napona na LM7912. Mrežni napon se transformatorom smanjuje na napon od +/- 12V pri struji od 1A u sekundarnom namotu, zatim se ispravlja. C1-C5 kapacitivni filter konstantnog napona. LED1 LED signali ...

19.08.2018

Slika prikazuje dijagram 8-kanalnog vremenskog releja, vremenski relej koristi Arduino Nano, DS3231 sat realnog vremena (modul), sedmosegmentni četverocifreni indikator baziran na drajveru TM1637 (TM1637 modul) i četiri kontrolna dugmad. Na svakom kanalu možete podesiti vremena uključivanja i isključivanja releja, sve vrijednosti vremena uključivanja i isključivanja releja se pohranjuju u ...

20.09.2014

Trofazni asinhroni motor normalnog dizajna može stvoriti obrtni moment bez poduzimanja posebnih mjera kada se napaja iz jednofazne strujne mreže. Pretpostavimo da je krug jedne od žica motora koji radi, spojenog na trofaznu mrežu, otvoren (na primjer, zbog pregorene veze osigurača). Mašina se našla u monofaznom režimu sa serijskim ili serijsko-paralelnim povezivanjem namotaja statora...

Piramida naziva se poliedar, čije je jedno lice poligon ( baza ), a sva ostala lica su trokuti sa zajedničkim vrhom ( bočne strane ) (sl. 15). Piramida se zove ispravan , ako je njegova osnova pravilan poligon i vrh piramide je projektovan na centar osnove (slika 16). Zove se trouglasta piramida u kojoj su sve ivice jednake tetraedar .

Bočno rebro piramida je strana bočne strane koja ne pripada osnovici Visina piramida se naziva rastojanje od njenog vrha do ravni baze. Sve bočne ivice pravilne piramide su jednake jedna drugoj, sve bočne ivice su jednaki jednakokraki trouglovi. Visina bočne strane pravilne piramide povučena od vrha naziva se apothem . Dijagonalni presjek presjek piramide naziva se ravan koja prolazi kroz dvije bočne ivice koje ne pripadaju jednoj strani.

Bočna površina piramida se naziva zbir površina svih bočnih strana. Puna površina zove se zbir površina svih bočnih strana i osnovice.

Teoreme

1. Ako su u piramidi sve bočne ivice jednako nagnute prema ravni osnove, tada se vrh piramide projektuje u centar kružnice opisane oko baze.

2. Ako u piramidi sve bočne ivice imaju jednake dužine, tada se vrh piramide projektuje u centar kružnice opisane oko osnove.

3. Ako su u piramidi sva lica podjednako nagnuta prema ravni osnove, tada se vrh piramide projektuje u centar kruga upisanog u bazu.

Za izračunavanje zapremine proizvoljne piramide ispravna je sljedeća formula:

gdje V- zapremina;

S main- bazna površina;

H- visina piramide.

Za ispravnu piramidu, formule su tačne:

gdje str- perimetar baze;

h a- apotema;

H- visina;

S puna

S strana

S main- bazna površina;

V- zapremina ispravne piramide.

Krnja piramida naziva se dio piramide, zatvoren između osnove i sekantne ravni paralelne sa osnovom piramide (slika 17). Pravilna skraćena piramida naziva se dio pravilne piramide, zatvoren između baze i sekantne ravni paralelne sa osnovom piramide.

Temelji skraćene piramide - slični poligoni. Bočne strane - trapez. Visina skraćena piramida je rastojanje između njenih osnova. Dijagonala skraćena piramida naziva se segment koji povezuje njene vrhove koji ne leže na istoj površini. Dijagonalni presjek presjek skraćene piramide naziva se ravan koja prolazi kroz dvije bočne ivice koje ne pripadaju jednoj strani.

Za skraćenu piramidu važe sljedeće formule:

(4)

gdje S 1 , S 2 - područja gornje i donje baze;

S puna- ukupna površina;

S strana- bočna površina;

H- visina;

V- zapremina krnje piramide.

Za ispravnu skraćenu piramidu, formula je tačna:

gdje str 1 , str 2 - perimetri baza;

h a- apotema pravilne krnje piramide.

Primjer 1. U pravilnoj trouglastoj piramidi, ugao diedara u osnovi je 60º. Naći tangentu ugla nagiba bočne ivice prema ravni osnove.

Rješenje. Napravimo crtež (sl. 18).

Piramida je pravilna, pa se u osnovi nalazi jednakostranični trougao, a sve bočne strane su jednakokraki trouglovi. Diedarski ugao u osnovi je ugao nagiba bočne strane piramide prema ravni osnove. Linearni ugao je ugao a između dvije okomice: i, tj. Vrh piramide projektovan je u centar trougla (središte opisane kružnice i upisana kružnica u trokut ABC). Ugao nagiba bočnog rebra (npr SB) Je ugao između samog ruba i njegove projekcije na ravan osnove. Za rebra SB ovaj ugao će biti ugao SBD... Da biste pronašli tangentu, morate znati noge SO i OB... Neka je dužina segmenta BD je jednako 3 a... Dot O odjeljak BD je podijeljen na dijelove: i Od nalazimo SO: Od nalazimo:

odgovor:

Primjer 2. Nađite zapreminu pravilne skraćene četvorougaone piramide ako su dijagonale njenih osnova cm i cm, a visina 4 cm.

Rješenje. Da bismo pronašli zapreminu krnje piramide, koristimo formulu (4). Da biste pronašli površinu baza, morate pronaći stranice osnovnih kvadrata, znajući njihove dijagonale. Stranice osnovica su 2 cm, odnosno 8 cm.Tako da su površine osnova i Zamenivši sve podatke u formulu, izračunali smo zapreminu skraćene piramide:

odgovor: 112 cm 3.

Primjer 3. Nađite površinu bočne strane pravilne trokutaste skraćene piramide čije su stranice osnova 10 cm i 4 cm, a visina piramide 2 cm.

Rješenje. Napravimo crtež (sl. 19).

Bočna strana ove piramide je jednakokraki trapez. Da biste izračunali površinu trapeza, morate znati osnovu i visinu. Osnove su date uslovom, samo visina ostaje nepoznata. Naći ćemo ga odakle A 1 E okomito od tačke A 1 na ravni donje baze, A 1 D- okomito od A 1 on AS. A 1 E= 2 cm, jer je ovo visina piramide. Naći DE napravimo dodatni crtež, koji će prikazati pogled odozgo (sl. 20). Dot O- projekcija centara gornje i donje baze. budući da (vidi sl. 20) i S druge strane uredu Je polumjer upisane kružnice i OM- poluprečnik upisane kružnice:

MK = DE.

Po Pitagorinoj teoremi iz

Bočna površina lica:

odgovor:

Primjer 4. U osnovi piramide leži jednakokraki trapez, čije su osnove a i b (a> b). Svaka bočna strana formira ugao sa ravninom osnove piramide jednak j... Pronađite ukupnu površinu piramide.

Rješenje. Napravimo crtež (sl. 21). Ukupna površina piramide SABCD jednak zbiru površina i površine trapeza A B C D.

Upotrijebimo tvrdnju da ako su sve strane piramide podjednako nagnute prema ravni osnove, tada se vrh projektuje u središte kruga upisanog u bazu. Dot O- projekcija temena S u osnovi piramide. Trougao SOD je ortogonalna projekcija trougla CSD na ravni baze. Teoremom o površini ortogonalne projekcije ravne figure dobijamo:

Slično, to znači Dakle, zadatak se sveo na pronalaženje površine trapeza A B C D... Nacrtajte trapez A B C D odvojeno (sl. 22). Dot O- središte kruga upisanog u trapez.

Kako se kružnica može upisati u trapez, bilo iz, po Pitagorinoj teoremi, imamo

Sposobnost izračunavanja volumena prostornih figura važna je pri rješavanju niza praktičnih problema iz geometrije. Jedan od najčešćih oblika je piramida. U ovom članku ćemo razmotriti pune i skraćene piramide.

Piramida kao trodimenzionalna figura

Svi znaju za egipatske piramide, tako da imaju dobru ideju o kojoj će figuri biti riječi. Ipak, egipatske kamene građevine su samo poseban slučaj ogromne klase piramida.

Razmatrani geometrijski objekat u opštem slučaju je poligonalna baza, čiji je svaki vrh povezan sa nekom tačkom u prostoru koja ne pripada ravni baze. Ova definicija vodi do figure koja se sastoji od jednog n-ugla i n trokuta.

Bilo koja piramida se sastoji od n + 1 lica, 2 * n ivica i n + 1 vrha. Budući da je figura koja se razmatra savršeni poliedar, brojevi označenih elemenata podliježu Ojlerovoj jednakosti:

2 * n = (n + 1) + (n + 1) - 2.

Poligon u bazi daje ime piramidi, na primjer, trokutasta, peterokutna i tako dalje. Skup piramida sa različitim bazama prikazan je na fotografiji ispod.

Tačka u kojoj su spojeni n trouglova figure naziva se vrh piramide. Ako se okomica spusti s nje na bazu i ona je siječe u geometrijskom centru, tada će se takva figura zvati prava linija. Ako ovaj uslov nije ispunjen, dolazi do nagnute piramide.

Prava figura, čiju osnovu čini jednakostranični (konformni) n-ugao, naziva se pravilna.

Formula za zapreminu piramide

Za izračunavanje zapremine piramide koristićemo integralni račun. Da bismo to učinili, podijelimo figuru sa ravnima rezanja paralelnim s bazom na beskonačan broj tankih slojeva. Na slici ispod prikazana je četvorougaona piramida visine h i dužine stranice L, u kojoj je sloj tankog preseka označen četvorouglom.

Površina svakog takvog sloja može se izračunati pomoću formule:

A (z) = A 0 * (h-z) 2 / h 2.

Ovdje je A 0 osnovna površina, z je vrijednost vertikalne koordinate. Može se vidjeti da ako je z = 0, onda formula daje vrijednost A 0.

Da biste dobili formulu za volumen piramide, trebali biste izračunati integral po cijeloj visini figure, odnosno:

V = ∫ h 0 (A (z) * dz).

Zamjenom zavisnosti A (z) i izračunavanjem antiderivata dolazimo do izraza:

V = -A 0 * (h-z) 3 / (3 * h 2) | h 0 = 1/3 * A 0 * h.

Dobili smo formulu za zapreminu piramide. Da biste pronašli vrijednost V, dovoljno je pomnožiti visinu figure s površinom baze, a zatim rezultat podijeliti sa tri.

Imajte na umu da je rezultirajući izraz valjan za izračunavanje zapremine piramide proizvoljnog tipa. Odnosno, može biti nagnut, a njegova baza može biti proizvoljan n-ugao.

i njen volumen

Opšta formula za zapreminu dobijena u gornjem paragrafu može se razjasniti u slučaju piramide sa pravilnom bazom. Površina takve baze izračunava se pomoću sljedeće formule:

A 0 = n / 4 * L 2 * ctg (pi / n).

Ovdje je L dužina stranice pravilnog poligona sa n vrhova. Simbol pi je pi.

Zamjenom izraza za A 0 u opću formulu, dobijamo volumen pravilne piramide:

V n = 1/3 * n / 4 * L 2 * h * ctg (pi / n) = n / 12 * L 2 * h * ctg (pi / n).

Na primjer, za trokutastu piramidu, ova formula vodi do sljedećeg izraza:

V 3 = 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) = √3 / 12 * L 2 * h.

Za pravilnu četvorougaonu piramidu, formula zapremine ima oblik:

V 4 = 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) = 1/3 * L 2 * h.

Određivanje volumena pravilnih piramida zahtijeva poznavanje stranice njihove osnove i visine figure.

Krnja piramida

Pretpostavimo da smo uzeli proizvoljnu piramidu i odsjekli od nje dio bočne površine koja sadrži vrh. Preostali oblik naziva se skraćena piramida. Već se sastoji od dvije n-kutne baze i n trapeza koji ih povezuju. Ako je rezna ravnina bila paralelna s bazom figure, tada se formira skraćena piramida s paralelnim sličnim osnovama. Odnosno, dužine stranica jedne od njih mogu se dobiti množenjem dužine druge sa nekim koeficijentom k.

Na slici iznad prikazan je skraćeni pravilan. Može se vidjeti da je njegova gornja osnova, kao i donja, formirana od pravilnog šesterokuta.

Formula koja se može izvesti korištenjem sličnog integralnog računa je:

V = 1/3 * h * (A 0 + A 1 + √ (A 0 * A 1)).

Gdje su A 0 i A 1 površine donje (velike) i gornje (male) baze, respektivno. Varijabla h označava visinu skraćene piramide.

Volumen Keopsove piramide

Zanimljivo je riješiti problem određivanja volumena koji najveća egipatska piramida sadrži u sebi.

Godine 1984. britanski egiptolozi Mark Lehner i Jon Goodman utvrdili su tačne dimenzije Keopsove piramide. Njegova prvobitna visina bila je 146,50 metara (trenutno oko 137 metara). Prosječna dužina svake od četiri strane konstrukcije bila je 230.363 metara. Osnova piramide je kvadratna sa velikom preciznošću.

Koristićemo gornje brojke da odredimo zapreminu ovog kamenog diva. Budući da je piramida pravilna četverokutna, za nju vrijedi formula:

Zamenimo brojeve, dobijemo:

V 4 = 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Zapremina Keopsove piramide je skoro 2,6 miliona m 3. Za poređenje, napominjemo da olimpijski bazen ima zapreminu od 2,5 hiljada m 3. Odnosno, da bi se popunila cijela Keopsova piramida, bit će potrebno više od 1000 takvih bazena!

i reznu ravan koja je paralelna sa njegovom bazom.

Ili drugim riječima: krnje piramide- ovo je takav poliedar, koji je formiran od piramide i njenog presjeka paralelnog s bazom.

Odsjek paralelan s osnovom piramide dijeli piramidu na 2 dijela. Dio piramide između njene osnove i presjeka je krnje piramide.

Ispostavilo se da je ovaj dio za skraćenu piramidu jedna od osnova ove piramide.

Udaljenost između osnova krnje piramide je visina skraćene piramide.

Skraćena piramida će ispravan kada je i piramida iz koje je dobijena bila ispravna.

Visina trapeza bočne strane pravilne skraćene piramide je apothem ispravna skraćena piramida.

Svojstva skraćene piramide.

1. Svaka bočna strana pravilne skraćene piramide je jednakokraki trapez iste veličine.

2. Osnove skraćene piramide su slični poligoni.

3. Bočne ivice pravilne skraćene piramide su jednake veličine i jedna je nagnuta u odnosu na osnovu piramide.

4. Bočne strane krnje piramide su trapezi.

5. Diedralni uglovi na bočnim ivicama pravilne skraćene piramide su jednake veličine.

6. Odnos površina baza: S 2 / S 1 = k 2.

Formule skraćenih piramida.

Za proizvoljnu piramidu:

Zapremina krnje piramide jednaka je 1/3 proizvoda visine h (OS) za zbir površina gornje baze S 1 (abcde), donja osnova krnje piramide S 2 (ABCDE) i prosječna proporcionalna vrijednost između njih.

Zapremina piramide:

gdje S 1, S 2- površina baza,

h- visina krnje piramide.

Bočna površina jednak zbiru površina bočnih strana krnje piramide.

Za ispravnu skraćenu piramidu:

Ispravna skraćena piramida- poliedar, koji je formiran od pravilne piramide i njenog presjeka koji je paralelan sa bazom.

Bočna površina pravilne skraćene piramide je ½ umnožaka zbira opsega njenih osnova i apoteme.

gdje S 1, S 2- površina baza,

φ - diedarski ugao u osnovi piramide.

CH je visina krnje piramide, P 1 i P 2- perimetri baza, S 1 i S 2- površine baza, S strana- bočna površina, S puna- ukupna površina:

Presjek piramide sa ravninom koja je paralelna osnovici.

Presjek piramide ravninom koja je paralelna njenoj osnovi (okomita na visinu) dijeli visinu i bočne ivice piramide na proporcionalne segmente.

Presjek piramide ravninom koja je paralelna s njenom osnovom (okomita na visinu) je poligon koji je sličan osnovi piramide, dok koeficijent sličnosti ovih poligona odgovara omjeru njihovih udaljenosti od poligona. vrh piramide.

Površine presjeka koji su paralelni s osnovom piramide povezani su kao kvadrati njihovih udaljenosti od vrha piramide.

Krnja piramida naziva se poliedar čiji su vrhovi vrhovi baze i vrhovi njegovog presjeka ravninom koja je paralelna bazi.

Svojstva skraćene piramide:

Osnove skraćenih piramida su slični poligoni.
Bočne strane krnje piramide su trapezi.
Bočne ivice pravilne skraćene piramide jednake su i jednako nagnute prema osnovi piramide.
Bočne strane pravilne skraćene piramide su jednaki jednakokraki trapezi i jednako su nagnuti prema osnovi piramide.
Diedarski uglovi na bočnim ivicama pravilne skraćene piramide su jednaki.

Površina i zapremina krnje piramide

Neka - visina skraćene piramide, i - perimetri osnova krnje piramide, i - površina osnova krnje piramide, - površina bočne površine krnje piramide, - ukupna površina krnje piramide, - zapremina krnje piramide. Tada vrijede sljedeće relacije: