So finden Sie die Fläche eines Zylinders. So berechnen Sie die Fläche einer Pyramide: Grundfläche, Seite und Gesamtfläche

Pyramide- eine der Varianten eines Polyeders, der aus Polygonen und Dreiecken besteht, die an der Basis liegen und seine Flächen darstellen.

Darüber hinaus sind an der Spitze der Pyramide (d. h. an einem Punkt) alle Flächen vereint.

Um die Fläche einer Pyramide zu berechnen, lohnt es sich festzustellen, dass ihre Mantelfläche aus mehreren Dreiecken besteht. Und wir können ihre Bereiche leicht finden

verschiedene Formeln. Abhängig davon, welche Daten wir über die Dreiecke wissen, suchen wir nach deren Fläche.

Wir listen einige Formeln auf, mit denen man die Fläche von Dreiecken ermitteln kann:

1. S = (a*h)/2 . IN in diesem Fall Wir kennen die Höhe des Dreiecks H , der seitlich abgesenkt ist A .
2. S = a*b*sinβ . Hier sind die Seiten des Dreiecks A , B , und der Winkel zwischen ihnen ist β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . Hier sind die Seiten des Dreiecks a, b, c . Der Radius eines Kreises, der in ein Dreieck eingeschrieben ist, beträgt R .
4. S = (a*b*c)/4*R . Der Radius eines umschriebenen Kreises um ein Dreieck beträgt R .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Diese Formel sollte nur angewendet werden, wenn das Dreieck rechtwinklig ist.
6. S = (a²*√3)/4 . Wir wenden diese Formel auf ein gleichseitiges Dreieck an.

Erst nachdem wir die Flächen aller Dreiecke berechnet haben, die die Flächen unserer Pyramide bilden, können wir die Fläche ihrer Seitenfläche berechnen. Dazu verwenden wir die oben genannten Formeln.

Um die Fläche der Seitenfläche einer Pyramide zu berechnen, gibt es keine Schwierigkeiten: Sie müssen die Summe der Flächen aller Dreiecke ermitteln. Drücken wir dies mit der Formel aus:

Sp = ΣSi

Hier Si ist die Fläche des ersten Dreiecks und S P - Fläche der Seitenfläche der Pyramide.

Schauen wir uns ein Beispiel an. Bei einer regelmäßigen Pyramide bestehen ihre Seitenflächen aus mehreren gleichseitigen Dreiecken.

« Geometrie ist das mächtigste Werkzeug zur Schärfung unserer geistigen Fähigkeiten».

Galileo Galilei.

und das Quadrat ist die Basis der Pyramide. Außerdem hat die Kante der Pyramide eine Länge von 17 cm. Ermitteln wir die Fläche der Seitenfläche dieser Pyramide.

Wir argumentieren so: Wir wissen, dass die Flächen der Pyramide Dreiecke sind, sie sind gleichseitig. Wir kennen auch die Kantenlänge dieser Pyramide. Daraus folgt, dass alle Dreiecke gleiche Seiten haben und eine Länge von 17 cm haben.

Um die Fläche jedes dieser Dreiecke zu berechnen, können Sie die folgende Formel verwenden:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Da wir also wissen, dass an der Basis der Pyramide ein Quadrat liegt, haben wir vier gleichseitige Dreiecke. Das heißt, die Mantelfläche der Pyramide lässt sich ganz einfach mit folgender Formel berechnen: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Unsere Antwort lautet wie folgt: 500,548 cm² – das ist die Fläche der Mantelfläche dieser Pyramide.

Bei der Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik müssen die Studierenden ihre Kenntnisse in Algebra und Geometrie systematisieren. Ich möchte alle bekannten Informationen zusammenfassen, beispielsweise zur Berechnung der Fläche einer Pyramide. Darüber hinaus beginnend von der Basis und den Seitenkanten bis hin zur gesamten Fläche. Wenn die Situation mit den Seitenflächen klar ist, da es sich um Dreiecke handelt, ist die Basis immer anders.

Wie finde ich die Fläche der Basis der Pyramide?

Es kann absolut jede Figur sein: vom beliebigen Dreieck bis zum N-Eck. Und diese Basis kann zusätzlich zum Unterschied in der Anzahl der Winkel sein die richtige Figur oder falsch. Bei den Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens, die für Schüler von Interesse sind, gibt es nur Aufgaben mit korrekten Zahlen als Basis. Deshalb werden wir nur über sie sprechen.

Regelmäßiges Dreieck

Das heißt, gleichseitig. Derjenige, bei dem alle Seiten gleich sind und mit dem Buchstaben „a“ gekennzeichnet sind. In diesem Fall wird die Fläche der Basis der Pyramide nach folgender Formel berechnet:

S = (a 2 * √3) / 4.

Quadrat

Die Formel zur Berechnung seiner Fläche ist die einfachste, hier ist „a“ wiederum die Seite:

Beliebiges reguläres n-Eck

Die Seite eines Polygons hat die gleiche Notation. Für die Winkelanzahl wird der lateinische Buchstabe n verwendet.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Was ist bei der Berechnung der Seiten- und Gesamtfläche zu beachten?

Da die Basis eine regelmäßige Figur ist, sind alle Flächen der Pyramide gleich. Darüber hinaus ist jedes von ihnen ein gleichschenkliges Dreieck, da die Seitenkanten gleich sind. Dann um zu berechnen seitlicher Bereich Pyramide benötigen Sie eine Formel, die aus der Summe identischer Monome besteht. Die Anzahl der Terme wird durch die Anzahl der Seiten der Basis bestimmt.

Quadrat gleichschenkligen Dreiecks wird nach einer Formel berechnet, bei der das halbe Produkt der Grundfläche mit der Höhe multipliziert wird. Diese Höhe in der Pyramide wird Apothem genannt. Seine Bezeichnung ist „A“. Allgemeine Formel für die Mantelfläche sieht es so aus:

S = ½ P*A, wobei P der Umfang der Basis der Pyramide ist.

Es gibt Situationen, in denen die Seiten der Basis nicht bekannt sind, aber die Seitenrippen (c) und flacher Winkel an seinem Scheitelpunkt (α). Dann müssen Sie die folgende Formel verwenden, um die Seitenfläche der Pyramide zu berechnen:

S = n/2 * in 2 sin α .

Aufgabe Nr. 1

Zustand. Finden Gesamtfläche Pyramide, wenn ihre Basis eine Seitenlänge von 4 cm hat und das Apothem einen Wert von √3 cm hat.

Lösung. Sie müssen mit der Berechnung des Umfangs der Basis beginnen. Da es sich um ein regelmäßiges Dreieck handelt, gilt P = 3*4 = 12 cm. Da das Apothem bekannt ist, können wir sofort die Fläche der gesamten Mantelfläche berechnen: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.

Für das Dreieck an der Basis erhält man folgenden Flächenwert: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.

Um die Gesamtfläche zu bestimmen, müssen Sie die beiden resultierenden Werte addieren: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Antwort. 10√3 cm 2.

Problem Nr. 2

Zustand. Es gibt eine regelmäßige viereckige Pyramide. Die Länge der Grundseite beträgt 7 mm, die Seitenkante 16 mm. Es ist notwendig, seine Oberfläche herauszufinden.

Lösung. Da das Polyeder viereckig und regelmäßig ist, ist seine Grundfläche ein Quadrat. Sobald Sie die Fläche der Grund- und Seitenflächen kennen, können Sie die Fläche der Pyramide berechnen. Die Formel für das Quadrat ist oben angegeben. Und für die Seitenflächen sind alle Seiten des Dreiecks bekannt. Daher können Sie die Formel von Heron verwenden, um ihre Flächen zu berechnen.

Die ersten Berechnungen sind einfach und führen zu folgender Zahl: 49 mm 2. Für den zweiten Wert müssen Sie den Halbumfang berechnen: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Jetzt können Sie die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks berechnen: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Es gibt nur vier solcher Dreiecke. Um die endgültige Zahl zu berechnen, müssen Sie sie also mit 4 multiplizieren.

Es stellt sich heraus: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.

Antwort. Der gewünschte Wert beträgt 267,576 mm 2.

Aufgabe Nr. 3

Zustand. Für eine regelmäßige viereckige Pyramide müssen Sie die Fläche berechnen. Die Seitenlänge des Quadrats beträgt bekanntlich 6 cm und die Höhe 4 cm.

Lösung. Am einfachsten ist es, die Formel mit dem Produkt aus Umfang und Apothem zu verwenden. Der erste Wert ist leicht zu finden. Der zweite ist etwas komplizierter.

Wir müssen uns an den Satz des Pythagoras erinnern und bedenken, dass er durch die Höhe der Pyramide und das Apothem, die Hypotenuse, gebildet wird. Der zweite Schenkel entspricht der halben Seite des Quadrats, da die Höhe des Polyeders in seine Mitte fällt.

Das gesuchte Apothem (Hypotenuse rechtwinkliges Dreieck) ist gleich √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Jetzt können Sie den erforderlichen Wert berechnen: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

Antwort. 96 cm².

Problem Nr. 4

Zustand. Die richtige Seite ist angegeben. Die Seiten der Basis betragen 22 mm, die Seitenkanten betragen 61 mm. Wie groß ist die Mantelfläche dieses Polyeders?

Lösung. Die darin enthaltene Begründung ist die gleiche wie in Aufgabe Nr. 2 beschrieben. Nur gab es eine Pyramide mit einem Quadrat an der Basis, und jetzt ist sie ein Sechseck.

Zunächst wird die Grundfläche nach obiger Formel berechnet: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.

Jetzt müssen Sie den Halbumfang eines gleichschenkligen Dreiecks ermitteln, bei dem es sich um die Seitenfläche handelt. (22+61*2):2 = 72 cm. Jetzt müssen Sie nur noch die Formel von Heron verwenden, um die Fläche jedes dieser Dreiecke zu berechnen, sie dann mit sechs zu multiplizieren und zu der Fläche zu addieren, die Sie für die Basis erhalten haben.

Berechnungen mit der Heron-Formel: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Berechnungen, die die Mantelfläche ergeben: 660 * 6 = 3960 cm 2. Es bleibt noch, sie zu addieren, um die gesamte Oberfläche zu ermitteln: 5217,47≈5217 cm 2.

Antwort. Die Grundfläche beträgt 726√3 cm 2, die Seitenfläche beträgt 3960 cm 2, die Gesamtfläche beträgt 5217 cm 2.

Bevor Sie Fragen zu dieser geometrischen Figur und ihren Eigenschaften untersuchen, sollten Sie einige Begriffe verstehen. Wenn jemand von einer Pyramide hört, stellt er sich riesige Gebäude in Ägypten vor. So sehen die einfachsten aus. Aber sie passieren verschiedene Typen und Formen, was bedeutet, dass die Berechnungsformel für geometrische Formen unterschiedlich sein wird.

Pyramide - geometrische Figur, bezeichnet und repräsentiert mehrere Gesichter. Im Wesentlichen handelt es sich hierbei um dasselbe Polyeder, an dessen Basis ein Polygon liegt und an dessen Seiten sich Dreiecke befinden, die an einem Punkt – dem Scheitelpunkt – verbunden sind. Die Figur gibt es in zwei Haupttypen:

• richtig;
• gekürzt.

Im ersten Fall ist die Basis ein regelmäßiges Vieleck. Hier sind alle Seitenflächen gleich zwischen sich und der Figur selbst werden das Auge eines Perfektionisten erfreuen.

Im zweiten Fall gibt es zwei Sockel – einen großen ganz unten und einen kleinen dazwischen, der die Form des Hauptsockels wiederholt. Mit anderen Worten, ein Pyramidenstumpf ist ein Polyeder mit einem parallel zur Grundfläche geformten Querschnitt.

Begriffe und Symbole

Schlüsselbegriffe:

• Regelmäßiges (gleichseitiges) Dreieck- eine Figur mit drei gleichen Winkeln und gleichen Seiten. In diesem Fall betragen alle Winkel 60 Grad. Die Figur ist das einfachste reguläre Polyeder. Wenn diese Figur an der Basis liegt, wird ein solches Polyeder als regelmäßiges Dreieck bezeichnet. Wenn die Grundfläche ein Quadrat ist, wird die Pyramide als regelmäßige viereckige Pyramide bezeichnet.
• Scheitel- am meisten oberster Punkt, wo sich die Kanten treffen. Die Höhe der Spitze wird durch eine gerade Linie gebildet, die von der Spitze bis zur Basis der Pyramide verläuft.
• Rand– eine der Ebenen des Polygons. Es kann die Form eines Dreiecks im Falle einer dreieckigen Pyramide oder die Form eines Trapezes haben Pyramidenstumpf.
• Abschnitt – flache Figur, entstanden durch Dissektion. Es sollte nicht mit einem Abschnitt verwechselt werden, da ein Abschnitt auch zeigt, was sich hinter dem Abschnitt verbirgt.
• Apothema- ein Segment, das von der Spitze der Pyramide bis zu ihrer Basis gezogen wird. Es ist auch die Höhe der Fläche, auf der sich der zweite Höhenpunkt befindet. Diese Definition gilt nur für ein reguläres Polyeder. Wenn es sich beispielsweise nicht um einen Pyramidenstumpf handelt, ist die Fläche ein Dreieck. In diesem Fall wird die Höhe dieses Dreiecks zum Apothem.

Flächenformeln

Finden Sie die Mantelfläche der Pyramide Jeder Typ kann auf verschiedene Arten durchgeführt werden. Wenn die Figur nicht symmetrisch ist und ein Polygon mit verschiedenen Seiten ist, dann ist es in diesem Fall einfacher, die Gesamtfläche durch die Gesamtheit aller Flächen zu berechnen. Mit anderen Worten: Sie müssen die Fläche jeder Fläche berechnen und addieren.

Abhängig von den bekannten Parametern können Formeln zur Berechnung eines Quadrats, eines Trapezes, eines beliebigen Vierecks usw. erforderlich sein. Die Formeln selbst verschiedene Fälle wird es auch Unterschiede geben.

Bei einer regelmäßigen Figur ist das Auffinden des Bereichs viel einfacher. Es reicht aus, nur wenige Schlüsselparameter zu kennen. In den meisten Fällen sind Berechnungen speziell für solche Zahlen erforderlich. Daher werden im Folgenden die entsprechenden Formeln angegeben. Andernfalls müssten Sie alles über mehrere Seiten hinausschreiben, was Sie nur verwirren und verwirren würde.

Grundformel zur Berechnung Die Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide hat folgende Form:

S=½ Pa (P ist der Umfang der Basis und das Apothem)

Schauen wir uns ein Beispiel an. Das Polyeder hat eine Basis mit den Segmenten A1, A2, A3, A4, A5, und alle sind gleich 10 cm. Das Apothem sei gleich 5 cm. Zuerst müssen Sie den Umfang ermitteln. Da alle fünf Flächen der Basis gleich sind, können Sie sie wie folgt ermitteln: P = 5 * 10 = 50 cm. Als nächstes wenden wir die Grundformel an: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm im Quadrat.

Mantelfläche einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide am einfachsten zu berechnen. Die Formel sieht so aus:

S =½* ab *3, wobei a das Apothem und b die Fläche der Basis ist. Der Faktor drei bedeutet hier die Anzahl der Flächen der Basis und der erste Teil ist die Fläche der Seitenfläche. Schauen wir uns ein Beispiel an. Bei einer Figur mit einem Apothem von 5 cm und einer Grundkante von 8 cm berechnen wir: S = 1/2*5*8*3=60 cm im Quadrat.

Mantelfläche eines Pyramidenstumpfes Es ist etwas schwieriger zu berechnen. Die Formel sieht so aus: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, wobei p_01 und p_02 die Umfänge der Basen sind und das Apothem ist. Schauen wir uns ein Beispiel an. Nehmen wir an, dass bei einer viereckigen Figur die Seitenabmessungen der Grundflächen 3 und 6 cm betragen und das Apothem 4 cm beträgt.

Hier müssen Sie zunächst die Umfänge der Sockel ermitteln: ð_01 =3*4=12 cm; ð_02=6*4=24 cm Es müssen noch die Werte in die Hauptformel eingesetzt werden und wir erhalten: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm im Quadrat.

So können Sie die Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide beliebiger Komplexität ermitteln. Sie sollten vorsichtig sein und nicht verwirren diese Berechnungen mit volle Fläche das gesamte Polyeder. Und wenn Sie dies noch tun müssen, berechnen Sie einfach die Fläche der größten Basis des Polyeders und addieren Sie sie zur Fläche der Seitenfläche des Polyeders.

Video

Konsolidieren Sie Informationen zum Ermitteln der Mantelfläche verschiedene Pyramiden, dieses Video wird Ihnen helfen.

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Oberfläche der Pyramide. In diesem Artikel werden wir uns mit Problemen mit regelmäßigen Pyramiden befassen. Ich möchte Sie daran erinnern, dass eine regelmäßige Pyramide eine Pyramide ist, deren Basis ein regelmäßiges Vieleck ist, wobei die Spitze der Pyramide in die Mitte dieses Vielecks projiziert wird.

Die Seitenfläche einer solchen Pyramide ist ein gleichschenkliges Dreieck.Die Höhe dieses Dreiecks, ausgehend von der Spitze einer regelmäßigen Pyramide, wird Apothem genannt, SF – Apothem:

Bei der unten dargestellten Problemart müssen Sie die Oberfläche der gesamten Pyramide oder die Fläche ihrer Seitenfläche ermitteln. Der Blog hat bereits mehrere Probleme mit regelmäßigen Pyramiden diskutiert, bei denen die Frage nach dem Auffinden von Elementen (Höhe, Grundkante, Seitenkante) aufgeworfen wurde.

IN Aufgaben zum Einheitlichen Staatsexamen In der Regel werden regelmäßige dreieckige, viereckige und sechseckige Pyramiden betrachtet. Ich habe keine Probleme mit regelmäßigen fünfeckigen und siebeneckigen Pyramiden gesehen.

Die Formel für die Fläche der gesamten Oberfläche ist einfach: Sie müssen die Summe der Fläche der Basis der Pyramide und der Fläche ihrer Seitenfläche ermitteln:

Betrachten wir die Aufgaben:

Die Seiten der Basis einer regelmäßigen viereckigen Pyramide betragen 72, die Seitenkanten betragen 164. Finden Sie die Oberfläche dieser Pyramide.

Die Oberfläche der Pyramide ist gleich der Summe der Flächen der Mantelfläche und der Grundfläche:

*Die Mantelfläche besteht aus vier flächengleichen Dreiecken. Die Basis der Pyramide ist ein Quadrat.

Wir können die Seitenfläche der Pyramide berechnen mit:

Somit beträgt die Oberfläche der Pyramide:

Antwort: 28224

Die Seiten der Basis sind korrekt sechseckige Pyramide sind 22, Seitenkanten sind 61. Finden Sie die Mantelfläche dieser Pyramide.

Die Grundfläche einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide ist ein regelmäßiges Sechseck.

Die Mantelfläche dieser Pyramide besteht aus sechs Flächen gleicher Dreiecke mit den Seiten 61,61 und 22:

Lassen Sie uns die Fläche des Dreiecks mithilfe der Heron-Formel ermitteln:

Somit beträgt die Mantelfläche:

Antwort: 3240

*Bei den oben dargestellten Problemen könnte die Fläche der Seitenfläche mit einer anderen Dreiecksformel ermittelt werden, dafür müssen Sie jedoch das Apothem berechnen.

27155. Finden Sie die Oberfläche einer regelmäßigen viereckigen Pyramide, deren Grundseiten 6 und deren Höhe 4 beträgt.

Um die Oberfläche der Pyramide zu ermitteln, müssen wir die Fläche der Basis und die Fläche der Mantelfläche kennen:

Die Fläche der Grundfläche beträgt 36, da es sich um ein Quadrat mit der Seitenlänge 6 handelt.

Die Mantelfläche besteht aus vier Flächen, die gleiche Dreiecke sind. Um die Fläche eines solchen Dreiecks zu ermitteln, müssen Sie dessen Basis und Höhe (Apothem) kennen:

*Die Fläche eines Dreiecks ist gleich der Hälfte des Produkts aus der Grundfläche und der zu dieser Grundfläche gezogenen Höhe.

Die Basis ist bekannt, sie ist gleich sechs. Finden wir die Höhe. Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck (gelb hervorgehoben):

Ein Bein ist gleich 4, da dies die Höhe der Pyramide ist, das andere ist gleich 3, da es der halben Kante der Basis entspricht. Wir können die Hypotenuse mithilfe des Satzes des Pythagoras ermitteln:

Dies bedeutet, dass die Fläche der Seitenfläche der Pyramide beträgt:

Somit beträgt die Oberfläche der gesamten Pyramide:

Antwort: 96

27069. Die Seiten der Basis einer regelmäßigen viereckigen Pyramide sind gleich 10, die Seitenkanten sind gleich 13. Finden Sie die Oberfläche dieser Pyramide.

27070. Die Seiten der Basis einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide sind gleich 10, die Seitenkanten sind gleich 13. Finden Sie die Mantelfläche dieser Pyramide.

Es gibt auch Formeln für die Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide. Bei einer regelmäßigen Pyramide ist die Basis eine orthogonale Projektion der Mantelfläche, daher:

P- Basisumfang, l- Apothem der Pyramide

*Diese Formel basiert auf der Formel für die Fläche eines Dreiecks.

Wenn Sie mehr über die Ableitung dieser Formeln erfahren möchten, sollten Sie sich die Veröffentlichung von Artikeln nicht entgehen lassen.Das ist alles. Viel Glück!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh.

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.

Anweisungen

Zunächst ist es wichtig zu verstehen, dass die Seitenfläche der Pyramide durch mehrere Dreiecke dargestellt wird, deren Flächen am häufigsten gefunden werden können verschiedene Formeln, abhängig von bekannten Daten:

S = (a*h)/2, wobei h die zur Seite a abgesenkte Höhe ist;

S = a*b*sinβ, wobei a, b die Seiten des Dreiecks sind und β der Winkel zwischen diesen Seiten ist;

S = (r*(a + b + c))/2, wobei a, b, c die Seiten des Dreiecks sind und r der Radius des in dieses Dreieck eingeschriebenen Kreises ist;

S = (a*b*c)/4*R, wobei R der Radius des um den Kreis umschriebenen Dreiecks ist;

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (wenn das Dreieck rechtwinklig ist);

S = S = (a²*√3)/4 (wenn das Dreieck gleichseitig ist).

Tatsächlich sind dies nur die grundlegendsten bekannten Formeln zum Ermitteln der Fläche eines Dreiecks.

Nachdem Sie die Flächen aller Dreiecke, die die Flächen der Pyramide bilden, mit den obigen Formeln berechnet haben, können Sie mit der Berechnung der Fläche dieser Pyramide beginnen. Dies geht ganz einfach: Sie müssen die Flächen aller Dreiecke addieren, die die Seitenfläche der Pyramide bilden. Dies kann durch die Formel ausgedrückt werden:

Sp = ΣSi, wobei Sp die Fläche der Seitenfläche ist, Si die Fläche des i-ten Dreiecks, das Teil seiner Seitenfläche ist.

Für mehr Klarheit können Sie darüber nachdenken kleines Beispiel: Gegeben sei eine regelmäßige Pyramide, deren Seitenflächen durch gleichseitige Dreiecke gebildet werden und an deren Basis ein Quadrat liegt. Die Kantenlänge dieser Pyramide beträgt 17 cm. Es ist erforderlich, die Fläche der Seitenfläche dieser Pyramide zu ermitteln.

Lösung: Die Länge der Kante dieser Pyramide ist bekannt, es ist bekannt, dass ihre Flächen gleichseitige Dreiecke sind. Somit können wir sagen, dass alle Seiten aller Dreiecke auf der Seitenfläche gleich 17 cm sind. Um die Fläche eines dieser Dreiecke zu berechnen, müssen Sie daher die Formel anwenden:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Es ist bekannt, dass an der Basis der Pyramide ein Quadrat liegt. Somit ist klar, dass es vier gegebene gleichseitige Dreiecke gibt. Dann wird die Fläche der Seitenfläche der Pyramide wie folgt berechnet:

125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Antwort: Die Mantelfläche der Pyramide beträgt 500,548 cm²

Berechnen wir zunächst die Fläche der Seitenfläche der Pyramide. Die Seitenfläche ist die Summe der Flächen aller Seitenflächen. Wenn Sie es zu tun haben regelmäßige Pyramide(das heißt, eines, an dessen Basis ein regelmäßiges Vieleck liegt und dessen Scheitelpunkt auf die Mitte dieses Vielecks projiziert wird), dann reicht es zur Berechnung der gesamten Seitenfläche aus, den Umfang der Grundfläche (also die) zu multiplizieren Summe der Längen aller Seiten des an der Basis der Pyramide liegenden Polygons) durch die Höhe der Seitenfläche (auch Apothem genannt) und dividieren Sie den resultierenden Wert durch 2: Sb = 1/2P*h, wobei Sb die ist Fläche der Seitenfläche, P ist der Umfang der Basis, h ist die Höhe der Seitenfläche (Apothem).

Wenn Sie eine beliebige Pyramide vor sich haben, müssen Sie die Flächen aller Flächen einzeln berechnen und dann addieren. Da die Seitenflächen der Pyramide Dreiecke sind, verwenden Sie die Formel für die Fläche eines Dreiecks: S=1/2b*h, wobei b die Basis des Dreiecks und h die Höhe ist. Wenn die Flächen aller Flächen berechnet sind, müssen sie nur noch addiert werden, um die Fläche der Seitenfläche der Pyramide zu erhalten.

Dann müssen Sie die Fläche der Basis der Pyramide berechnen. Die Wahl der Berechnungsformel hängt davon ab, welches Polygon an der Basis der Pyramide liegt: regelmäßig (also eines, bei dem alle Seiten gleich lang sind) oder unregelmäßig. Die Fläche eines regelmäßigen Polygons kann berechnet werden, indem man den Umfang mit dem Radius des eingeschriebenen Kreises im Polygon multipliziert und den resultierenden Wert durch 2 dividiert: Sn = 1/2P*r, wobei Sn die Fläche des Polygons ist Polygon, P ist der Umfang und r ist der Radius des eingeschriebenen Kreises im Polygon.

Ein Pyramidenstumpf ist ein Polyeder, der aus einer Pyramide besteht und deren Querschnitt parallel zur Grundfläche verläuft. Die Mantelfläche der Pyramide zu ermitteln ist überhaupt nicht schwierig. Es ist ganz einfach: Die Fläche ist gleich dem Produkt aus der halben Summe der Basen mal . Betrachten wir ein Beispiel für die Berechnung der Mantelfläche. Angenommen, wir erhalten eine regelmäßige Pyramide. Die Grundlängen betragen b = 5 cm, c = 3 cm. Um die Fläche der Seitenfläche der Pyramide zu ermitteln, müssen Sie zunächst den Umfang der Grundflächen ermitteln. Bei einer großen Basis beträgt sie p1=4b=4*5=20 cm. Bei einer kleineren Basis lautet die Formel: p2=4c=4*3=12 cm : s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 cm.

Wenn sich an der Basis der Pyramide ein unregelmäßiges Polygon befindet, müssen Sie zur Berechnung der Fläche der gesamten Figur zunächst das Polygon in Dreiecke aufteilen, die Fläche jedes einzelnen berechnen und diese dann addieren. In anderen Fällen müssen Sie zum Ermitteln der Seitenfläche der Pyramide die Fläche jeder ihrer Seitenflächen ermitteln und die Ergebnisse addieren. In manchen Fällen kann das Auffinden der Seitenfläche der Pyramide erleichtert werden. Wenn eine Seitenfläche senkrecht zur Basis steht oder zwei benachbarte Seitenflächen senkrecht zur Basis stehen, wird die Basis der Pyramide als orthogonale Projektion eines Teils ihrer Seitenfläche betrachtet und durch Formeln in Beziehung gesetzt.

Um die Berechnung der Oberfläche der Pyramide abzuschließen, addieren Sie die Flächen der Seitenfläche und der Basis der Pyramide.

Eine Pyramide ist ein Polyeder, dessen eine Fläche (Grundfläche) ein beliebiges Polygon ist und dessen übrige Flächen (Seiten) Dreiecke mit sind. Je nach Anzahl der Winkel sind die Grundflächen der Pyramide dreieckig (Tetraeder), viereckig usw.

Eine Pyramide ist ein Polyeder mit einer Grundfläche in Form eines Vielecks und die übrigen Flächen sind Dreiecke mit einer gemeinsamen Spitze. Ein Apothem ist die Höhe der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide, die von ihrer Spitze ausgeht.

Eine Pyramide ist ein Polyeder, dessen Basis ein Vieleck ist und dessen Seitenflächen Dreiecke mit einer gemeinsamen Spitze sind. Quadrat Oberflächen Pyramiden gleich der Summe der Seitenflächen Oberflächen und Gelände Pyramiden.

Du wirst brauchen

• Papier, Stift, Taschenrechner

Anweisungen

Zuerst berechnen wir die Fläche der Seite Oberflächen . Mit Seitenfläche meinen wir die Summe aller Seitenflächen. Wenn Sie es mit einer regelmäßigen Pyramide zu tun haben (d. h. einer, in der ein regelmäßiges Vieleck liegt und deren Scheitelpunkt auf die Mitte dieses Vielecks projiziert wird), müssen Sie die gesamten Seitenflächen berechnen Oberflächen Es reicht aus, den Umfang der Basis zu multiplizieren (d. h. die Summe der Längen aller an der Basis liegenden Seiten des Polygons). Pyramiden) durch die Höhe der Seitenfläche (auch genannt) und dividieren Sie den resultierenden Wert durch 2: Sb=1/2P*h, wobei Sb die Fläche der Seite ist Oberflächen, P – Umfang der Basis, h – Höhe der Seitenfläche (Apothem).

Wenn Sie eine beliebige Pyramide vor sich haben, müssen Sie die Flächen aller Flächen berechnen und diese dann addieren. Da die Seite zeigt Pyramiden sind, verwenden Sie die Formel für die Fläche eines Dreiecks: S=1/2b*h, wobei b die Basis des Dreiecks und h die Höhe ist. Wenn die Flächen aller Flächen berechnet wurden, müssen sie nur noch addiert werden, um die Seitenfläche zu erhalten Oberflächen Pyramiden.

Dann müssen Sie die Fläche der Basis berechnen Pyramiden. Die Wahl der Berechnung hängt davon ab, ob das Polygon an der Basis der Pyramide liegt: regelmäßig (d. h. eines, dessen Seiten alle gleich lang sind) oder. Quadrat eines regelmäßigen Polygons kann berechnet werden, indem man den Umfang mit dem Radius des eingeschriebenen Kreises im Polygon multipliziert und den resultierenden Wert durch 2 dividiert: Sn = 1/2P*r, wobei Sn die Fläche des Polygons ist, P ist der Umfang und r der Radius des eingeschriebenen Kreises im Polygon.

Wenn an der Basis Pyramiden liegt ein unregelmäßiges Polygon, dann müssen Sie zur Berechnung der Fläche der gesamten Figur das Polygon erneut in Dreiecke unterteilen, die Fläche jedes einzelnen berechnen und diese dann addieren.

Um die Flächenberechnung abzuschließen Oberflächen Pyramiden, falten Sie die quadratische Seite Oberflächen und Gelände Pyramiden.

Video zum Thema

Das Polygon stellt dar geometrische Figur, konstruiert durch Schließen einer gestrichelten Linie. Es gibt verschiedene Arten von Polygonen, die sich je nach Anzahl der Eckpunkte unterscheiden. Die Fläche wird für jeden Polygontyp berechnet in gewisser Weise.

Anweisungen

Multiplizieren Sie die Seitenlängen, wenn Sie die Fläche eines Quadrats oder Rechtecks ​​berechnen müssen. Wenn Sie die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ermitteln müssen, erweitern Sie es zu einem Rechteck, berechnen Sie seine Fläche und teilen Sie es durch zwei.

Verwenden Sie die folgende Methode, um die Fläche zu berechnen, wenn die Figur nicht mehr als 180 Grad hat (ein konvexes Polygon), alle Eckpunkte im Koordinatengitter liegen und sich selbst nicht schneiden.
Zeichnen Sie ein Rechteck um ein solches Polygon, sodass seine Seiten parallel zu den Gitterlinien (Koordinatenachsen) sind. In diesem Fall muss mindestens einer der Eckpunkte des Polygons der Eckpunkt eines Rechtecks ​​sein.

Nur eine verkürzte kann zwei Basen haben Pyramiden. In diesem Fall wird die zweite Basis durch einen Abschnitt parallel zur größeren Basis gebildet Pyramiden. Finden Sie eines davon Gründe dafür möglich, wenn es bekannt ist oder lineare Elemente der zweiten.

Du wirst brauchen

• - Eigenschaften der Pyramide;
• - trigonometrische Funktionen;
• - Ähnlichkeit der Figuren;
• - Finden der Flächen von Polygonen.

Anweisungen

Wenn die Basis ein regelmäßiges Dreieck ist, finden Sie es Quadrat indem man das Quadrat der Seite mit der Quadratwurzel aus 3 dividiert durch 4 multipliziert. Wenn die Grundfläche ein Quadrat ist, erhöhe die Seite mit der zweiten Potenz. IN Allgemeiner Fall Wenden Sie für jedes regelmäßige Polygon die Formel S=(n/4) a² ctg(180º/n) an, wobei n die Anzahl der Seiten des regelmäßigen Polygons und a die Länge seiner Seite ist.

Finden Sie die Seite der kleineren Basis mithilfe der Formel b=2 (a/(2 tg(180º/n))-h/tg(α)) tg(180º/n). Dabei ist a die größere Grundfläche, h die Höhe der abgeschnittenen Grundfläche Pyramiden, α – Diederwinkel an seiner Basis, n – Anzahl der Seiten Gründe dafür(es ist das gleiche). Finden Sie die Fläche der zweiten Basis ähnlich wie die der ersten, indem Sie in der Formel die Länge ihrer Seite S=(n/4) b² ctg(180º/n) verwenden.

Wenn es sich bei den Basen um andere Arten von Polygonen handelt, sind alle Seiten eines davon bekannt Gründe dafür, und eine der Seiten der anderen, dann berechnen Sie die verbleibenden Seiten als ähnlich. Beispielsweise betragen die Seiten der größeren Basis 4, 6, 8 cm. Die größere Seite der kleineren Basis beträgt 4 cm. Berechnen Sie den Proportionalitätskoeffizienten 4/8 = 2 (wir nehmen die Seiten in jedem von ihnen). Gründe dafür) und berechnen Sie die anderen Seiten 6/2=3 cm, 4/2=2 cm. Wir erhalten Seiten 2, 3, 4 cm an der kleineren Basis der Seite. Berechnen Sie sie nun als Flächen der Dreiecke.

Wenn das Verhältnis der entsprechenden Elemente im abgeschnittenen Element bekannt ist, dann das Verhältnis der Flächen Gründe dafür wird gleich dem Verhältnis der Quadrate dieser Elemente sein. Zum Beispiel, wenn die relevanten Parteien bekannt sind Gründe dafür a und a1, dann a²/a1²=S/S1.

Unter Bereich Pyramiden bezieht sich normalerweise auf den Bereich seiner seitlichen oder Vollflächig. An der Basis dieses geometrischen Körpers liegt ein Polygon. Die Seitenkanten haben eine dreieckige Form. Sie haben einen gemeinsamen Scheitelpunkt, der auch der Scheitelpunkt ist Pyramiden.

Du wirst brauchen

• - Blatt Papier;
• - Griff;
• - Taschenrechner;
• - eine Pyramide mit vorgegebenen Parametern.

Anweisungen

Betrachten Sie die in der Aufgabe angegebene Pyramide. Bestimmen Sie, ob das Polygon an seiner Basis regelmäßig oder unregelmäßig ist. Bei der richtigen Variante sind alle Seiten gleich. Die Fläche entspricht in diesem Fall dem halben Produkt aus Umfang und Radius. Ermitteln Sie den Umfang, indem Sie die Länge der Seite l mit der Anzahl der Seiten n multiplizieren, d. h. P=l*n. Die Grundfläche kann durch die Formel So=1/2P*r ausgedrückt werden, wobei P der Umfang und r der Radius des eingeschriebenen Kreises ist.

Umfang und Fläche eines unregelmäßigen Polygons werden unterschiedlich berechnet. Die Parteien haben verschiedene Längen. Zu