Wie man die Formel für das Volumen eines Pyramidenstumpfes herleitet. Formeln für das Volumen einer Pyramide voll und abgeschnitten. Das Volumen der Cheops-Pyramide. Für die richtige Pyramide sind die Formeln richtig

12.01.2017

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30.10.2014

Alle aufgeführten Mikroschaltungen werden im SIP1-Gehäuse mit 11 Pins hergestellt und sind Zweikanal-Stereo-NF-Verstärker und haben den gleichen Anschluss externer Elemente. * TDA2005 wurde speziell für den Einsatz in Brückenschaltungen entwickelt. Parameter: TDA2004A (TDA2004S) Versorgungsspannung 8 ... 18V Ruhestrom 65mA Frequenzbereich 40 ... 20000Hz Rn -2 Ohm Ausgangsleistung 10 W K ...

05.10.2014

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19.08.2018

Die Abbildung zeigt ein Diagramm eines 8-Kanal-Zeitrelais, das Zeitrelais verwendet einen Arduino Nano, eine DS3231-Echtzeituhr (Modul), eine sieben-Segment-Vier-Ziffer-Anzeige basierend auf dem TM1637-Treiber (TM1637) und vier Steuertasten. In jedem Kanal können Sie die Ein- und Ausschaltzeiten des Relais einstellen, alle Werte der Ein- und Ausschaltzeiten des Relais werden in ...

20.09.2014

Ein Drehstrom-Asynchronmotor normaler Bauart kann bei Speisung aus einem Einphasen-Stromnetz ohne besondere Maßnahmen ein Drehmoment erzeugen. Angenommen, der Stromkreis eines der Drähte eines laufenden Motors, der an ein Drehstromnetz angeschlossen ist, ist unterbrochen (z. B. aufgrund eines durchgebrannten Sicherungseinsatzes). Die Maschine befand sich im Einphasenbetrieb mit serieller oder seriell-paralleler Verschaltung der Statorwicklungen ...

Pyramide heißt Polyeder, dessen eine Fläche ein Polygon ist ( Base ), und alle anderen Flächen sind Dreiecke mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt ( Seitenflächen ) (Abb. 15). Die Pyramide heißt Korrekt , wenn ihre Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist und die Spitze der Pyramide auf die Mitte der Grundfläche projiziert wird (Abb. 16). Eine dreieckige Pyramide, bei der alle Kanten gleich sind, heißt Tetraeder .

Seitenrippe Pyramide ist die Seite der Seitenfläche, die nicht zur Basis gehört Höhe Pyramide wird der Abstand von ihrer Spitze zur Grundebene genannt. Alle Seitenkanten einer regelmäßigen Pyramide sind gleich, alle Seitenkanten sind gleichschenklige Dreiecke. Die Höhe der Seitenfläche einer von oben gezogenen regelmäßigen Pyramide heißt Apothema . Diagonaler Abschnitt Der Querschnitt der Pyramide wird als Ebene bezeichnet, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht zu einer Seite gehören.

Seitenfläche Pyramide heißt die Summe der Flächen aller Seitenflächen. Volle Oberfläche heißt die Summe der Flächen aller Seitenflächen und der Basis.

Sätze

1. Sind bei einer Pyramide alle Seitenkanten gleich zur Grundebene geneigt, so wird die Pyramidenspitze in den Mittelpunkt des um die Grundfläche umschriebenen Kreises projiziert.

2. Wenn in der Pyramide alle Seitenkanten gleich lang sind, wird die Spitze der Pyramide in den Mittelpunkt des um die Basis umschriebenen Kreises projiziert.

3. Wenn in der Pyramide alle Flächen gleich zur Grundebene geneigt sind, wird die Spitze der Pyramide in den Mittelpunkt des in die Grundfläche eingeschriebenen Kreises projiziert.

Um das Volumen einer beliebigen Pyramide zu berechnen, ist die folgende Formel richtig:

wo V- Lautstärke;

S Haupt- Grundfläche;

h- die Höhe der Pyramide.

Für die richtige Pyramide sind die Formeln richtig:

wo P- Basisumfang;

ähm- Apotheme;

h- Höhe;

S voll

S-Seite

S Haupt- Grundfläche;

V- das Volumen der richtigen Pyramide.

Pyramidenstumpf genannt der Teil der Pyramide, eingeschlossen zwischen der Basis und der Sekantenebene parallel zur Basis der Pyramide (Abb. 17). Regelmäßiger Pyramidenstumpf wird der Teil einer regelmäßigen Pyramide genannt, der zwischen der Basis und der Sekantenebene parallel zur Basis der Pyramide eingeschlossen ist.

Fundamente Pyramidenstümpfe - ähnliche Polygone. Seitenflächen - Trapez. Höhe Ein Pyramidenstumpf ist der Abstand zwischen ihren Basen. Diagonale Ein Pyramidenstumpf wird als Segment bezeichnet, das seine Scheitel verbindet, die nicht auf derselben Fläche liegen. Diagonaler Abschnitt Ein Abschnitt eines Pyramidenstumpfes wird als Ebene bezeichnet, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht zu einer Seite gehören.

Für einen Pyramidenstumpf gelten die folgenden Formeln:

(4)

wo S 1 , S 2 - Bereiche der oberen und unteren Basis;

S voll- Gesamtfläche;

S-Seite- Seitenfläche;

h- Höhe;

V- das Volumen des Pyramidenstumpfes.

Für einen korrekten Pyramidenstumpf ist die Formel richtig:

wo P 1 , P 2 - Umfang der Basen;

ähm- das Apothem des regelmäßigen Pyramidenstumpfes.

Beispiel 1. Bei einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide beträgt der Diederwinkel an der Basis 60º. Bestimmen Sie die Tangente des Neigungswinkels der Seitenkante zur Ebene der Basis.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 18).

Die Pyramide ist regelmäßig, daher befindet sich an der Basis ein gleichseitiges Dreieck und alle Seitenflächen sind gleichschenklige Dreiecke. Der Flächenwinkel an der Basis ist der Neigungswinkel der Seitenfläche der Pyramide zur Ebene der Basis. Der lineare Winkel ist der Winkel ein zwischen zwei Senkrechten: und d.h. Die Spitze der Pyramide wird in die Mitte des Dreiecks projiziert (die Mitte des Umkreises und der eingeschriebene Kreis im Dreieck ABC). Der Neigungswinkel der Seitenrippe (zum Beispiel SB) ist der Winkel zwischen der Kante selbst und ihrer Projektion auf die Ebene der Basis. Für Rippe SB dieser Winkel ist der Winkel SBD... Um die Tangente zu finden, müssen Sie die Beine kennen ALSO und OB... Sei die Länge des Segments BD ist gleich 3 ein... Punkt Ö Sektion BD ist in Teile zerlegt: und Von finden wir ALSO: Von finden wir:

Antworten:

Beispiel 2. Bestimmen Sie das Volumen einer regelmäßigen Pyramidenstumpf-Viereckspyramide, wenn die Diagonalen ihrer Grundflächen cm und cm betragen und die Höhe 4 cm beträgt.

Lösung. Um das Volumen des Pyramidenstumpfes zu bestimmen, verwenden wir Formel (4). Um die Fläche der Basen zu bestimmen, müssen Sie die Seiten der Basisquadrate finden und ihre Diagonalen kennen. Die Seiten der Basen sind 2 cm bzw. 8 cm.Also die Flächen der Basen und Nachdem wir alle Daten in der Formel eingesetzt haben, berechnen wir das Volumen des Pyramidenstumpfes:

Antworten: 112cm 3.

Beispiel 3. Finden Sie die Fläche der Seitenfläche einer regelmäßigen dreieckigen Pyramidenstumpf, deren Seitenflächen 10 cm und 4 cm betragen und die Höhe der Pyramide 2 cm beträgt.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 19).

Die Seitenfläche dieser Pyramide ist ein gleichschenkliges Trapez. Um die Fläche eines Trapezes zu berechnen, müssen Sie die Basis und die Höhe kennen. Die Basen sind durch Bedingung vorgegeben, nur die Höhe bleibt unbekannt. Wir finden es von wo EIN 1 E senkrecht vom Punkt EIN 1 in der Ebene der unteren Basis, EIN 1 D- senkrecht von EIN 1 an WIE. EIN 1 E= 2 cm, da dies die Höhe der Pyramide ist. Finden DE Lassen Sie uns eine zusätzliche Zeichnung erstellen, die eine Draufsicht darstellt (Abb. 20). Punkt Ö- Projektion der Mitten der oberen und unteren Basen. da (siehe Abb. 20) und andererseits OK Ist der Radius des eingeschriebenen Kreises und OM- Radius des eingeschriebenen Kreises:

MK = DE.

Nach dem Satz des Pythagoras aus

Seitenflächenbereich:

Antworten:

Beispiel 4. An der Basis der Pyramide liegt ein gleichschenkliges Trapez, dessen Basen ein und B (ein> B). Jede Seitenfläche bildet mit der Grundebene der Pyramide einen Winkel gleich J... Finden Sie die Gesamtoberfläche der Pyramide.

Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 21). Gesamtoberfläche der Pyramide SABCD gleich der Summe der Flächen und Fläche des Trapezes A B C D.

Verwenden wir die Aussage, dass, wenn alle Seiten der Pyramide gleich zur Ebene der Grundfläche geneigt sind, die Spitze auf den Mittelpunkt des in die Grundfläche eingeschriebenen Kreises projiziert wird. Punkt Ö- Scheitelpunktprojektion S an der Basis der Pyramide. Dreieck SOD ist die orthogonale Projektion des Dreiecks CSD auf der Basisebene. Nach dem Satz über die Fläche einer orthogonalen Projektion einer ebenen Figur erhalten wir:

In ähnlicher Weise bedeutet es Somit wurde die Aufgabe darauf reduziert, den Bereich des Trapezes zu finden A B C D... Zeichne ein Trapez A B C D separat (Abb. 22). Punkt Ö- der Mittelpunkt des in das Trapez eingeschriebenen Kreises.

Da ein Kreis in ein Trapez eingeschrieben werden kann, entweder From, nach dem Satz des Pythagoras, haben wir

Die Fähigkeit, das Volumen räumlicher Figuren zu berechnen, ist wichtig, um eine Reihe praktischer Probleme in der Geometrie zu lösen. Eine der häufigsten Formen ist die Pyramide. In diesem Artikel betrachten wir sowohl vollständige als auch abgeschnittene Pyramiden.

Die Pyramide als dreidimensionale Figur

Jeder kennt die ägyptischen Pyramiden, daher haben sie eine gute Vorstellung davon, welche Figur diskutiert wird. Dennoch sind ägyptische Steinbauten nur ein Sonderfall einer riesigen Pyramidenklasse.

Das betrachtete geometrische Objekt ist im allgemeinen Fall eine polygonale Basis, deren jeder Scheitelpunkt mit einem Punkt im Raum verbunden ist, der nicht zur Ebene der Basis gehört. Diese Definition führt zu einer Figur bestehend aus einem n-Eck und n Dreiecken.

Jede Pyramide besteht aus n + 1 Flächen, 2 * n Kanten und n + 1 Scheitelpunkten. Da die betrachtete Figur ein perfektes Polyeder ist, gehorchen die Zahlen der markierten Elemente der Eulerschen Gleichheit:

2 * n = (n + 1) + (n + 1) - 2.

Das Polygon an der Basis gibt der Pyramide den Namen, zum Beispiel dreieckig, fünfeckig usw. Ein Satz Pyramiden mit unterschiedlichen Basen ist auf dem Foto unten zu sehen.

Der Punkt, an dem die n Dreiecke der Figur verbunden sind, wird Pyramidenspitze genannt. Wenn eine Senkrechte von ihr auf die Basis abgesenkt wird und sie in der geometrischen Mitte schneidet, wird eine solche Figur als Gerade bezeichnet. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, erfolgt eine geneigte Pyramide.

Eine gerade Figur, deren Basis durch ein gleichseitiges (konformes) n-Eck gebildet wird, heißt regulär.

Die Formel für das Volumen einer Pyramide

Um das Volumen der Pyramide zu berechnen, verwenden wir die Integralrechnung. Dazu teilen wir die Figur mit Schnittebenen parallel zur Basis in unendlich viele dünne Schichten. Die folgende Abbildung zeigt eine viereckige Pyramide mit Höhe h und Seitenlänge L, bei der eine dünne Schnittschicht mit einem Viereck markiert ist.

Die Fläche jeder dieser Schichten kann mit der Formel berechnet werden:

A (z) = A 0 * (h-z) 2 / h 2.

Dabei ist A 0 die Grundfläche, z der Wert der vertikalen Koordinate. Es ist ersichtlich, dass für z = 0 die Formel den Wert A 0 liefert.

Um die Formel für das Volumen der Pyramide zu erhalten, sollten Sie das Integral über die gesamte Höhe der Figur berechnen, also:

V = h 0 (A (z) * dz).

Wenn wir die Abhängigkeit A (z) einsetzen und die Stammfunktion berechnen, kommen wir zu dem Ausdruck:

V = -A 0 * (h-z) 3 / (3 * h 2) | h 0 = 1/3 * A 0 * h.

Wir haben die Formel für das Volumen der Pyramide. Um den Wert von V zu ermitteln, genügt es, die Höhe der Figur mit der Grundfläche zu multiplizieren und dann das Ergebnis durch drei zu teilen.

Beachten Sie, dass der resultierende Ausdruck für die Berechnung des Volumens einer Pyramide eines beliebigen Typs gültig ist. Das heißt, er kann geneigt sein und seine Basis kann ein beliebiges n-Eck sein.

und sein Volumen

Die im obigen Absatz erhaltene allgemeine Formel für das Volumen lässt sich im Fall einer Pyramide mit regelmäßiger Grundfläche verdeutlichen. Die Fläche einer solchen Basis wird nach folgender Formel berechnet:

A 0 = n / 4 * L 2 * ctg (pi / n).

Hier ist L die Seitenlänge eines regelmäßigen Vielecks mit n Ecken. Das Pi-Symbol ist Pi.

Setzen wir den Ausdruck für A 0 in die allgemeine Formel ein, erhalten wir das Volumen der regulären Pyramide:

V n = 1/3 * n / 4 * L 2 * h * ctg (pi / n) = n / 12 * L 2 * h * ctg (pi / n).

Für eine dreieckige Pyramide führt diese Formel beispielsweise zu folgendem Ausdruck:

V 3 = 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) = √3 / 12 * L 2 * h.

Für eine regelmäßige viereckige Pyramide hat die Volumenformel die Form:

V 4 = 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) = 1/3 * L 2 * h.

Um das Volumen regelmäßiger Pyramiden zu bestimmen, muss man die Seite ihrer Basis und die Höhe der Figur kennen.

Pyramidenstumpf

Angenommen, wir nehmen eine beliebige Pyramide und schneiden von ihr einen Teil der Seitenfläche ab, die den Scheitelpunkt enthält. Die verbleibende Form wird Pyramidenstumpf genannt. Es besteht bereits aus zwei n-gonalen Basen und n Trapezen, die sie verbinden. Wenn die Schnittebene parallel zur Basis der Figur war, entsteht ein Pyramidenstumpf mit parallelen ähnlichen Basen. Das heißt, die Längen der Seiten einer von ihnen können durch Multiplizieren der Längen der anderen mit einem Koeffizienten k erhalten werden.

Die obige Abbildung zeigt eine abgeschnittene regelmäßige. Es ist zu sehen, dass ihre obere Basis wie die untere von einem regelmäßigen Sechseck gebildet wird.

Die Formel, die mit einer ähnlichen Integralrechnung abgeleitet werden kann, lautet:

V = 1/3 * h * (A 0 + A 1 + √ (A 0 * A 1)).

Wobei A 0 und A 1 die Flächen der unteren (großen) bzw. oberen (kleinen) Basen sind. Die Variable h bezeichnet die Höhe des Pyramidenstumpfes.

Das Volumen der Cheops-Pyramide

Es ist merkwürdig, das Problem der Bestimmung des Volumens zu lösen, das die größte ägyptische Pyramide in sich selbst enthält.

1984 stellten die britischen Ägyptologen Mark Lehner und Jon Goodman die genauen Abmessungen der Cheops-Pyramide fest. Seine ursprüngliche Höhe betrug 146,50 Meter (derzeit etwa 137 Meter). Die durchschnittliche Länge jeder der vier Seiten des Bauwerks betrug 230,363 Meter. Die Basis der Pyramide ist quadratisch mit hoher Präzision.

Wir werden die obigen Zahlen verwenden, um das Volumen dieses Steinriesen zu bestimmen. Da die Pyramide regelmäßig viereckig ist, gilt für sie die Formel:

Wir ersetzen die Zahlen, wir erhalten:

V 4 = 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Das Volumen der Cheops-Pyramide beträgt fast 2,6 Millionen m 3. Zum Vergleich stellen wir fest, dass das olympische Becken ein Volumen von 2,5 Tausend m 3 hat. Das heißt, um die gesamte Cheops-Pyramide zu füllen, werden mehr als 1000 solcher Pools benötigt!

und eine Schnittebene, die parallel zu seiner Basis ist.

Oder anders gesagt: Pyramidenstumpf- dies ist ein solches Polyeder, das von einer Pyramide und ihrem Querschnitt parallel zur Basis gebildet wird.

Ein Schnitt parallel zur Basis der Pyramide teilt die Pyramide in 2 Teile. Der Teil der Pyramide zwischen ihrer Basis und ihrem Abschnitt ist Pyramidenstumpf.

Dieser Abschnitt für den Pyramidenstumpf stellt sich als eine der Basen dieser Pyramide heraus.

Der Abstand zwischen den Basen des Pyramidenstumpfes beträgt Pyramidenstumpfhöhe.

Der Pyramidenstumpf wird Korrekt wenn die Pyramide, von der sie stammt, auch richtig war.

Die Höhe des Trapezes der Seitenfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes ist Apothema der richtige Pyramidenstumpf.

Abgeschnittene Pyramideneigenschaften.

1. Jede Seitenfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes besteht aus gleichschenkligen Trapezen gleicher Größe.

2. Die Basen des Pyramidenstumpfes sind ähnliche Vielecke.

3. Die Seitenkanten eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes sind gleich groß und einer ist gegenüber der Pyramidenbasis geneigt.

4. Die Seitenflächen des Pyramidenstumpfes sind Trapeze.

5. Die Diederwinkel an den Seitenkanten eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes sind gleich groß.

6. Das Flächenverhältnis der Basen: S2 / S1 = k2.

Abgeschnittene Pyramidenformeln.

Für eine beliebige Pyramide:

Das Volumen des Pyramidenstumpfes ist gleich 1/3 des Produkts der Höhe h (Betriebssystem) für die Summe der Flächen der oberen Basis S 1 (abcde), die untere Basis des Pyramidenstumpfes S 2 (ABCDE) und der durchschnittliche Anteil zwischen ihnen.

Pyramidenvolumen:

wo S 1, S 2- die Fläche der Basen,

h- die Höhe des Pyramidenstumpfes.

Seitenfläche gleich der Summe der Flächen der Seitenflächen des Pyramidenstumpfes.

Für einen korrekten Pyramidenstumpf:

Richtiger Pyramidenstumpf- ein Polyeder, das aus einer regelmäßigen Pyramide und ihrem zur Basis parallelen Querschnitt besteht.

Die Seitenfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes ist die Hälfte des Produkts der Summe der Umfänge ihrer Basen und des Apothems.

wo S 1, S 2- die Fläche der Basen,

φ - Diederwinkel an der Basis der Pyramide.

CH ist die Höhe des Pyramidenstumpfes, P 1 und P 2- Umfänge der Basen, S 1 und S 2- die Bereiche der Basen, S-Seite- Seitenfläche, S voll- Gesamtfläche:

Ausschnitt der Pyramide mit einer Ebene parallel zur Basis.

Der Schnitt der Pyramide durch eine Ebene parallel zu ihrer Basis (senkrecht zur Höhe) teilt die Höhe und die Seitenkanten der Pyramide in proportionale Segmente.

Der Schnitt der Pyramide durch eine Ebene parallel zu ihrer Basis (senkrecht zur Höhe) ist ein Polygon, das der Basis der Pyramide ähnlich ist, während der Ähnlichkeitskoeffizient dieser Polygone dem Verhältnis ihrer Abstände von der Spitze der Pyramide.

Die Flächen der Abschnitte, die parallel zur Basis der Pyramide verlaufen, beziehen sich auf die Quadrate ihrer Abstände von der Pyramidenspitze.

Pyramidenstumpf heißt Polyeder, dessen Scheitel die Scheitel der Basis und die Scheitel seines Schnitts durch eine zur Basis parallele Ebene sind.

Abgeschnittene Pyramideneigenschaften:

Die Pyramidenstumpfbasen sind ähnliche Polygone.
Die Seitenflächen des Pyramidenstumpfes sind Trapeze.
Die Seitenkanten eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes sind gleich und zur Basis der Pyramide hin gleich geneigt.
Die Seitenflächen eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes sind gleichschenklige Trapeze und sind gleich zur Pyramidenbasis geneigt.
Die Diederwinkel an den Seitenkanten eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes sind gleich.

Oberfläche und Volumen des Pyramidenstumpfes

Lassen Sie - die Höhe des Pyramidenstumpfes und - die Umfänge der Basen des Pyramidenstumpfes und - die Fläche der Basen des Pyramidenstumpfes, - die Fläche der Seitenfläche des Pyramidenstumpfes, - die Gesamtoberfläche des Pyramidenstumpfes, - das Volumen des Pyramidenstumpfes. Dann gelten folgende Beziehungen: