Berechnungsschemata für Balken. Biege

Allgemeine Konzepte.

Biegeverformungbesteht in der Krümmung der Achse des geraden Stabes oder in der Änderung der anfänglichen Krümmung des geraden Stabes(Abb. 6.1) . Machen wir uns mit den grundlegenden Konzepten vertraut, die bei der Betrachtung der Biegeverformung verwendet werden.

Biegestäbe genannt werden Balken.

sauber Biegung genannt, bei der das Biegemoment die einzige Schnittgröße ist, die im Querschnitt des Trägers auftritt.

Häufiger gibt es im Querschnitt der Stange neben dem Biegemoment auch Scherkraft. Eine solche Biegung wird als quer bezeichnet.

flach (gerade) Biegung genannt, wenn die Wirkungsebene des Biegemoments im Querschnitt durch eine der Hauptmittelachsen des Querschnitts verläuft.

Mit einer schrägen Biegung Die Wirkungsebene des Biegemoments schneidet den Querschnitt des Balkens entlang einer Linie, die mit keiner der Hauptmittelachsen des Querschnitts zusammenfällt.

Beginnen wir mit der Untersuchung der Biegeverformung mit dem reinen Fall flache Biegung.

Normalspannungen und -dehnungen bei reiner Biegung.

Wie bereits erwähnt, gibt es bei einer reinen Flachbiegung im Querschnitt von sechs Schnittgrößen keine Null nur Biegemoment (Abb. 6.1, c):

; (6.1)

An elastischen Modellen durchgeführte Experimente zeigen, dass, wenn ein Liniengitter auf die Oberfläche des Modells aufgebracht wird(Abb. 6.1, a) , dann wird es unter reiner Biegung wie folgt verformt(Abb. 6.1, b):

a) Längslinien sind entlang des Umfangs gekrümmt;

b) die Konturen der Querschnitte bleiben flach;

c) die Linien der Konturen der Schnitte schneiden sich überall rechtwinklig mit den Längsfasern.

Darauf aufbauend kann davon ausgegangen werden, dass bei reiner Biegung die Querschnitte des Balkens flach bleiben und sich so drehen, dass sie senkrecht zur Biegeachse des Balkens bleiben (Flachschnitthypothese beim Biegen).

Reis. .

Durch Messen der Länge der Längslinien (Abb. 6.1, b) kann festgestellt werden, dass sich die oberen Fasern während der Biegeverformung des Balkens verlängern und die unteren kürzer werden. Offensichtlich ist es möglich, solche Fasern zu finden, deren Länge unverändert bleibt. Der Satz von Fasern, die ihre Länge nicht ändern, wenn der Balken gebogen wird, wird als bezeichnetneutrale Schicht (n.s.). Die neutrale Schicht schneidet den Querschnitt des Strahls in einer geraden Linie genanntNeutrallinie (n. l.) Abschnitt.

Um eine Formel abzuleiten, die die Größe der im Querschnitt auftretenden Normalspannungen bestimmt, betrachten Sie den Querschnitt des Trägers im verformten und unverformten Zustand (Abb. 6.2).

Reis. .

Durch zwei infinitesimale Querschnitte wählen wir ein Längenelement aus. Vor der Verformung waren die das Element begrenzenden Abschnitte parallel zueinander (Abb. 6.2, a), und nach der Verformung waren sie etwas geneigt und bildeten einen Winkel. Die Länge der in der neutralen Schicht liegenden Fasern ändert sich beim Biegen nicht. Bezeichnen wir den Krümmungsradius der Spur der neutralen Schicht in der Zeichenebene mit einem Buchstaben. Bestimmen wir die lineare Verformung einer beliebigen, von der neutralen Schicht beabstandeten Faser.

Die Länge dieser Faser nach Verformung (Bogenlänge) ist gleich. Wenn man bedenkt, dass alle Fasern vor der Verformung die gleiche Länge hatten, erhalten wir die absolute Dehnung der betrachteten Faser

Seine relative Verformung

Offensichtlich, da sich die Länge der in der neutralen Schicht liegenden Faser nicht verändert hat. Dann erhalten wir nach der Substitution

(6.2)

Daher ist die relative Längsdehnung proportional zum Abstand der Faser von der neutralen Achse.

Wir führen die Annahme ein, dass die Längsfasern beim Biegen nicht aufeinander drücken. Unter dieser Annahme wird jede Faser isoliert verformt und erfährt dabei eine einfache Spannung oder Kompression. Unter Berücksichtigung von (6.2)

, (6.3)

d.h. Normalspannungen sind direkt proportional zu den Abständen der betrachteten Schnittpunkte von der neutralen Achse.

Wir setzen die Abhängigkeit (6.3) in den Ausdruck für das Biegemoment im Querschnitt (6.1) ein

Denken Sie daran, dass das Integral das Trägheitsmoment des Abschnitts um die Achse ist

Oder

(6.4)

Die Abhängigkeit (6.4) ist das Hookesche Gesetz für die Biegung, da es die Verformung (Krümmung der neutralen Schicht) mit dem im Schnitt wirkenden Moment in Beziehung setzt. Das Produkt wird als Biegesteifigkeit des Querschnitts N bezeichnet m 2.

(6.4) in (6.3) einsetzen

(6.5)

Dies ist die gesuchte Formel zur Bestimmung der Normalspannungen bei reiner Biegung des Balkens an jedem Punkt seines Querschnitts.

Für Um festzustellen, wo sich die neutrale Linie im Querschnitt befindet, setzen wir den Wert der Normalspannungen in den Ausdruck für die Längskraft und das Biegemoment ein

Weil der,

dann

(6.6)

(6.7)

Gleichheit (6.6) gibt an, dass die Achse die neutrale Faser des Schnitts durch den Schwerpunkt des Querschnitts geht.

Gleichheit (6.7) zeigt, dass und die zentralen Hauptachsen des Abschnitts sind.

Nach (6.5) werden die größten Spannungen in den Fasern erreicht, die am weitesten von der Neutrallinie entfernt sind

Das Verhältnis ist das axiale Widerstandsmoment bezogen auf seine Mittelachse, das heißt

Der Wert für die einfachsten Querschnitte ist wie folgt:

Für rechteckigen Querschnitt

, (6.8)

wo ist die Schnittseite senkrecht zur Achse;

Die Seite des Abschnitts ist parallel zur Achse;

Für runden Querschnitt

, (6.9)

wo ist der Durchmesser des kreisförmigen Querschnitts.

Die Festigkeitsbedingung für Normalspannungen beim Biegen kann geschrieben werden als

(6.10)

Alle erhaltenen Formeln ergeben sich für den Fall der reinen Biegung eines geraden Stabes. Die Wirkung der Querkraft führt dazu, dass die den Schlussfolgerungen zugrunde liegenden Hypothesen an Kraft verlieren. Das zeigt aber die Rechenpraxis Querbiegung Träger und Rahmen, wenn neben dem Biegemoment auch eine Längskraft und eine Querkraft im Schnitt wirken, können die angegebenen Formeln für reine Biegung verwendet werden. In diesem Fall erweist sich der Fehler als unbedeutend.

Ermittlung von Querkräften und Biegemomenten.

Wie bereits erwähnt, treten bei einer flachen Querbiegung im Querschnitt des Balkens zwei Schnittgrößen u auf.

Vor dem Bestimmen und Bestimmen der Reaktionen der Balkenträger (Abb. 6.3, a) das Erstellen der Gleichgewichtsgleichungen der Statik.

Die Schnittmethode bestimmen und anwenden. An der für uns interessanten Stelle machen wir zum Beispiel einen gedanklichen Schnitt durch den Balken in einem Abstand von der linken Stütze. Lassen Sie uns einen der Teile des Balkens verwerfen, zum Beispiel den rechten, und betrachten Sie das Gleichgewicht der linken Seite (Abb. 6.3, b). Wir ersetzen die Wechselwirkung der Balkenteile durch Schnittgrößen und.

Lassen Sie uns installieren Regeln befolgen Zeichen für und:

• Die Querkraft im Schnitt ist positiv, wenn ihre Vektoren dazu neigen, den betrachteten Schnitt im Uhrzeigersinn zu drehen;
• Das Biegemoment im Profil ist positiv, wenn es eine Kompression der oberen Fasern bewirkt.

Reis. .

Um diese Kräfte zu bestimmen, verwenden wir zwei Gleichgewichtsgleichungen:

1. ; ; .

2. ;

Auf diese Weise,

a) die Querkraft im Querschnitt des Trägers ist numerisch gleich der algebraischen Summe der Projektionen aller auf einer Seite des Querschnitts wirkenden äußeren Kräfte auf die Querachse des Querschnitts;

b) das Biegemoment im Querschnitt des Trägers ist numerisch gleich der algebraischen Summe der Momente (berechnet relativ zum Schwerpunkt des Querschnitts) der äußeren Kräfte, die auf einer Seite des gegebenen Querschnitts wirken.

In der praktischen Berechnung orientieren sie sich in der Regel an:

1. Wenn die äußere Last dazu neigt, den Balken relativ zum betrachteten Abschnitt im Uhrzeigersinn zu drehen (Abb. 6.4, b), gibt der Ausdruck dafür einen positiven Term an.
2. Wenn eine äußere Last ein Moment relativ zum betrachteten Abschnitt erzeugt und eine Kompression der oberen Fasern des Balkens verursacht (Abb. 6.4, a), ergibt dies im Ausdruck für in diesem Abschnitt einen positiven Term.

Reis. .

Konstruktion von Diagrammen in Balken.

Betrachten Sie einen Doppelbalken(Abb. 6.5, a) . Auf einen Balken wirkt an einem Punkt ein konzentriertes Moment, an einem Punkt eine konzentrierte Kraft und an einem Abschnitt eine gleichmäßig verteilte Intensitätslast.

Wir definieren Supportreaktionen und(Abb. 6.5, b) . Die resultierende Streckenlast ist gleich und ihre Wirkungslinie verläuft durch die Mitte des Querschnitts. Lassen Sie uns die Gleichungen der Momente in Bezug auf die Punkte und zusammenstellen.

Bestimmen wir die Querkraft und das Biegemoment in einem beliebigen Schnitt, der sich in einem Abstand vom Punkt A befindet(Abb. 6.5, c) .

(Abb. 6.5, d). Der Abstand kann innerhalb von () variieren.

Der Wert der Querkraft hängt nicht von der Koordinate des Abschnitts ab, daher sind die Querkräfte in allen Abschnitten des Abschnitts gleich und das Diagramm sieht aus wie ein Rechteck. Biegemoment

Das Biegemoment ändert sich linear. Lassen Sie uns die Ordinaten des Diagramms für die Grenzen des Diagramms bestimmen.

Bestimmen wir die Querkraft und das Biegemoment in einem beliebigen Schnitt, der sich in einem vom Punkt entfernten Schnitt befindet(Abb. 6.5, e). Der Abstand kann innerhalb von () variieren.

Die Querkraft ändert sich linear. Definieren Sie für die Grenzen der Site.

Biegemoment

Das Diagramm der Biegemomente in diesem Abschnitt ist parabolisch.

Um den Extremwert des Biegemoments zu bestimmen, setzen wir die Ableitung des Biegemoments entlang der Abszisse des Schnitts zu Null:

Von hier

Für einen Schnitt mit einer Koordinate ist der Wert des Biegemoments

Als Ergebnis erhalten wir Querkraftdiagramme(Abb. 6.5, e) und Biegemomente (Abb. 6.5, g).

Differenzielle Abhängigkeiten beim Biegen.

(6.11)

(6.12)

(6.13)

Diese Abhängigkeiten ermöglichen es Ihnen, einige Merkmale der Diagramme von Biegemomenten und Querkräften festzulegen:

H in Bereichen ohne Streckenlast beschränken sich die Diagramme auf Geraden parallel zur Nulllinie des Diagramms und Diagramme in Allgemeiner Fall schräge Linien.

H in Bereichen, in denen eine gleichmäßig verteilte Last auf den Träger aufgebracht wird, wird das Diagramm durch geneigte gerade Linien und das Diagramm durch quadratische Parabeln mit einer Ausbuchtung begrenzt, die der Lastrichtung entgegengesetzt ist.

BEI Abschnitte, bei denen die Tangente an das Diagramm parallel zur Nulllinie des Diagramms verläuft.

H und Bereiche, in denen der Moment zunimmt; in Bereichen, in denen das Moment abnimmt.

BEI Abschnitten, in denen konzentrierte Kräfte auf den Balken einwirken, treten Sprünge in der Größe der einwirkenden Kräfte im Diagramm und Brüche im Diagramm auf.

In Abschnitten, in denen konzentrierte Momente auf den Balken einwirken, treten im Diagramm Sprünge um die Größe dieser Momente auf.

Die Ordinaten des Diagramms sind proportional zur Tangente der Steigung der Tangente an das Diagramm.

Biege Verformung genannt, bei der die Achse des Stabes und alle seine Fasern, d. h. Längslinien parallel zur Stabachse, unter Einwirkung äußerer Kräfte gebogen werden. Der einfachste Fall der Biegung ergibt sich, wenn die äußeren Kräfte in einer Ebene liegen, die durch die Mittelachse des Stabes geht und nicht auf diese Achse projiziert wird. Eine solche Biegung wird als Querbiegung bezeichnet. Unterscheiden Sie flache Biegung und schräg.

flache Biegung- ein solcher Fall, wenn sich die gebogene Achse der Stange in derselben Ebene befindet, in der äußere Kräfte wirken.

Schräge (komplexe) Biegung- ein solcher Biegefall, wenn die Biegeachse des Stabes nicht in der Wirkungsebene äußerer Kräfte liegt.

Eine Biegestange wird allgemein als bezeichnet Strahl.

Bei einer flachen Querbiegung von Trägern in einem Schnitt mit einem Koordinatensystem y0x können zwei Schnittgrößen auftreten - eine Querkraft Q y und ein Biegemoment M x; im Folgenden führen wir die Notation ein Q und M. Wenn im Abschnitt oder Abschnitt des Balkens keine Querkraft vorhanden ist (Q = 0) und das Biegemoment nicht gleich Null ist oder M konstant ist, wird eine solche Biegung üblicherweise genannt sauber.

Scherkraft in jedem Abschnitt des Balkens ist numerisch gleich der algebraischen Summe der Projektionen auf die Achse aller Kräfte (einschließlich Auflagerreaktionen), die sich auf einer Seite (beliebiger) des Abschnitts befinden.

Biegemoment im Balkenabschnitt ist numerisch gleich der algebraischen Summe der Momente aller Kräfte (einschließlich Stützreaktionen), die sich auf einer Seite (beliebig) des Abschnitts befinden, der relativ zum Schwerpunkt dieses Abschnitts gezeichnet ist, genauer gesagt relativ zur Achse senkrecht zur Zeichnungsebene durch den Schwerpunkt des gezeichneten Schnitts verläuft.

Q-Kraft ist resultierendeüber den Innenquerschnitt verteilt Scherspannungen, a Moment M– Summe der Momente um die Mittelachse des Abschnitts X intern normale Belastungen.

Es gibt eine differentielle Beziehung zwischen inneren Kräften

die bei der Konstruktion und Überprüfung der Diagramme Q und M verwendet wird.

Da einige der Fasern des Balkens gedehnt und einige komprimiert werden und der Übergang von Spannung zu Kompression reibungslos und ohne Sprünge erfolgt, befindet sich im mittleren Teil des Balkens eine Schicht, deren Fasern sich nur biegen, aber auch nicht erfahren Zug oder Druck. Eine solche Schicht wird aufgerufen neutrale Schicht. Die Linie, entlang der sich die neutrale Schicht mit dem Querschnitt des Balkens schneidet, wird genannt neutrale Linie th oder neutrale Achse Abschnitte. Neutrale Linien sind auf der Achse des Balkens aufgereiht.

Linien, die auf der Seitenfläche des Balkens senkrecht zur Achse gezeichnet werden, bleiben beim Biegen flach. Diese experimentellen Daten ermöglichen es, die Schlussfolgerungen der Formeln auf die Hypothese von flachen Abschnitten zu stützen. Gemäß dieser Hypothese sind die Querschnitte des Balkens vor dem Biegen flach und senkrecht zu seiner Achse, bleiben flach und werden beim Biegen senkrecht zur Biegeachse des Balkens. Der Querschnitt des Balkens wird beim Biegen verzerrt. Aufgrund der Querverformung nehmen die Querschnittsabmessungen in der Druckzone des Trägers zu und in der Zugzone werden sie gestaucht.

Annahmen zur Ableitung von Formeln. Normale Spannungen

1) Die Hypothese der flachen Abschnitte ist erfüllt.

2) Längsfasern drücken nicht aufeinander und arbeiten daher unter Einwirkung von Normalspannungen, linearen Spannungen oder Kompressionen.

3) Die Verformungen der Fasern hängen nicht von ihrer Position entlang der Querschnittsbreite ab. Folglich bleiben die sich über die Profilhöhe ändernden Normalspannungen über die Breite gleich.

4) Der Balken hat mindestens eine Symmetrieebene, und alle äußeren Kräfte liegen in dieser Ebene.

5) Das Material des Balkens gehorcht dem Hookeschen Gesetz, und der Elastizitätsmodul bei Zug und Druck ist derselbe.

6) Die Verhältnisse zwischen den Abmessungen des Balkens sind so, dass er unter flachen Biegebedingungen ohne Verziehen oder Verdrehen funktioniert.

Nur bei einer reinen Biegung eines Trägers auf den Bahnsteigen in seinem Querschnitt normale Belastungen, bestimmt durch die Formel:

wobei y die Koordinate eines beliebigen Punkts des Abschnitts ist, gemessen von der neutralen Linie - der Hauptmittelachse x.

Biegenormalspannungen werden über die Höhe des Abschnitts verteilt lineares Gesetz. An den äußersten Fasern erreichen die Normalspannungen ihren Maximalwert und im Schwerpunkt sind die Querschnitte gleich Null.

Die Natur von Normalspannungsdiagrammen für symmetrische Schnitte in Bezug auf die neutrale Linie

Die Natur von Normalspannungsdiagrammen für Abschnitte, die keine Symmetrie um die neutrale Linie haben

Gefährliche Punkte sind diejenigen, die am weitesten von der neutralen Linie entfernt sind.

Lassen Sie uns einen Abschnitt auswählen

Nennen wir jeden Punkt des Abschnitts einen Punkt Zu, hat die Balkenfestigkeitsbedingung für Normalspannungen die Form:

, wo i.d. - Das neutrale Achse

Das axiales Widerstandsmodul um die neutrale Achse. Seine Abmessung beträgt cm 3, m 3. Das Widerstandsmoment charakterisiert den Einfluss der Form und Abmessungen des Querschnitts auf die Größe der Spannungen.

Festigkeitszustand für normale Belastungen:

Die Normalspannung ist gleich dem Verhältnis des maximalen Biegemoments zum axialen Widerstandsmoment bezogen auf die neutrale Achse.

Wenn das Material Dehnung und Kompression ungleich widersteht, müssen zwei Festigkeitsbedingungen verwendet werden: für eine Dehnungszone mit einer zulässigen Zugspannung; für die Druckzone mit zulässiger Druckspannung.

Bei Querbiegung wirken die Balken auf den Plattformen in ihrem Schnitt wie normal, so und Tangenten Stromspannung.

Zur bildlichen Darstellung der Art der Verformung der Stäbe (Stäbe) beim Biegen wird folgender Versuch durchgeführt. Auf die Seitenflächen der Gummileiste mit rechteckigem Querschnitt wird ein Liniengitter parallel und senkrecht zur Strahlachse aufgebracht (Abb. 30.7, a). Dann werden Momente auf die Stange an ihren Enden aufgebracht (Abb. 30.7, b), die in der Symmetrieebene der Stange wirken und jeden ihrer Querschnitte entlang einer der zentralen Hauptträgheitsachsen kreuzen. Die Ebene, die durch die Balkenachse und eine der zentralen Hauptträgheitsachsen jedes seiner Querschnitte verläuft, wird als Hauptebene bezeichnet.

Unter Einwirkung von Momenten erfährt der Balken eine Gerade reine Biegung. Als Folge der Verformung werden erfahrungsgemäß die Gitterlinien parallel zur Balkenachse gebogen, wobei die gleichen Abstände zwischen ihnen beibehalten werden. Wenn in Abb. 30.7, b In Richtung der Momente verlängern sich diese Linien im oberen Teil des Balkens und verkürzen sich im unteren Teil.

Jede Linie des Gitters senkrecht zur Achse des Balkens kann als Spur der Ebene eines Balkenquerschnitts betrachtet werden. Da diese Linien gerade bleiben, kann davon ausgegangen werden, dass die vor der Verformung ebenen Querschnitte des Trägers auch während der Verformung flach bleiben.

Diese auf Erfahrung basierende Annahme wird bekanntermaßen Hypothese der flachen Abschnitte oder Bernoulli-Hypothese genannt (siehe § 6.1).

Die Flachschnitthypothese wird nicht nur für reines, sondern auch für Querbiegung verwendet. Für die Querbiegung ist es ungefähr und für die reine Biegung streng, was durch theoretische Studien bestätigt wird, die mit Methoden der Elastizitätstheorie durchgeführt wurden.

Betrachten wir nun einen geraden Stab mit einem zur Hochachse symmetrischen Querschnitt, am rechten Ende eingebettet und am linken Ende mit einem äußeren Moment belastet, das in einer der Hauptebenen des Stabes wirkt (Abb. 31.7). In jedem Querschnitt dieses Balkens treten nur Biegemomente auf, die in der gleichen Ebene wie das Moment wirken

Somit befindet sich das Holz über seine gesamte Länge in einem Zustand direkter reiner Biegung. In einem reinen Biegezustand können sich einzelne Balkenabschnitte auch bei einwirkenden Querlasten befinden; zum Beispiel Abschnitt 11 des in Fig. 1 gezeigten Trägers. 32,7; in den Abschnitten dieses Abschnitts die Querkraft

Wählen wir aus dem betrachteten Balken (siehe Abb. 31.7) mit zwei Querschnitten ein Element mit einer Länge aus. Als Folge der Deformation, wie aus der Bernoulli-Hypothese hervorgeht, bleiben die Abschnitte eben, neigen sich aber um einen bestimmten Winkel relativ zueinander.Nehmen wir den linken Abschnitt bedingt als feststehend an. Durch Drehen des rechten Abschnitts um einen Winkel nimmt er dann eine Position ein (Abb. 33.7).

Die Linien schneiden sich an einem Punkt A, der das Krümmungszentrum (oder genauer gesagt die Spur der Krümmungsachse) der Längsfasern des Elements ist. 31.7 in Momentenrichtung verlängert, die unteren verkürzt. Die Fasern einer Zwischenschicht senkrecht zur Wirkungsebene des Moments behalten ihre Länge. Diese Schicht wird Neutralschicht genannt.

Bezeichnen wir den Krümmungsradius der neutralen Schicht, also den Abstand dieser Schicht zum Krümmungsmittelpunkt A (siehe Abb. 33.7). Stellen Sie sich eine Schicht vor, die sich im Abstand y von der neutralen Schicht befindet. Die absolute Dehnung der Fasern dieser Schicht ist gleich und relativ

Wenn wir ähnliche Dreiecke betrachten, finden wir, dass daher

In der Biegetheorie wird davon ausgegangen, dass die Längsfasern des Balkens nicht aufeinander drücken. Experimentelle und theoretische Studien zeigen, dass diese Annahme die Berechnungsergebnisse nicht wesentlich beeinflusst.

Bei reiner Biegung treten in den Balkenquerschnitten keine Schubspannungen auf. Somit stehen alle Fasern bei reiner Biegung unter einachsigem Zug oder Druck.

Nach dem Hookeschen Gesetz stehen bei einachsigem Zug oder Druck die Normalspannung o und die entsprechende Relativdehnung in Abhängigkeit zueinander

oder nach Formel (11.7)

Aus Formel (12.7) folgt, dass die Normalspannungen in den Längsfasern des Balkens direkt proportional zu deren Abstand y von der neutralen Schicht sind. Folglich sind im Querschnitt des Balkens an jedem Punkt die Normalspannungen proportional zum Abstand y von diesem Punkt zur neutralen Faser, die die Schnittlinie der neutralen Schicht mit dem Querschnitt ist (Abb.

34.7, a). Aus der Symmetrie des Balkens und der Belastung folgt, dass die neutrale Achse horizontal liegt.

An den Punkten der neutralen Faser sind die Normalspannungen gleich Null; Auf der einen Seite der neutralen Achse sind sie zug- und auf der anderen Seite druckbeansprucht.

Das Spannungsdiagramm o ist ein Graph, der durch eine gerade Linie begrenzt wird, mit der größten absoluter Wert Spannungswerte für Punkte, die am weitesten von der neutralen Achse entfernt sind (Abb. 34.7, b).

Betrachten wir nun die Gleichgewichtsbedingungen für das ausgewählte Balkenelement. Die Einwirkung des linken Balkenteils auf den Abschnitt des Elements (siehe Abb. 31.7) wird als Biegemoment dargestellt, die verbleibenden Schnittgrößen in diesem Abschnitt bei reiner Biegung sind gleich Null. Stellen wir die Einwirkung der rechten Seite des Balkens auf den Abschnitt des Elements in Form von Elementarkräften um den Querschnitt dar, die auf jede Elementarfläche (Abb. 35.7) und parallel zur Balkenachse wirken.

Wir stellen sechs Bedingungen für das Gleichgewicht eines Elements zusammen

Hier - die Summe der Projektionen aller auf das Element bzw. auf die Achse wirkenden Kräfte - die Summe der Momente aller Kräfte um die Achsen (Abb. 35.7).

Die Achse fällt mit der neutralen Achse des Schnitts zusammen, und die y-Achse steht senkrecht dazu; beide dieser Achsen liegen in der Ebene des Querschnitts

Eine Elementarkraft gibt keine Projektionen auf die y-Achse und verursacht kein Moment um die Achse, daher sind die Gleichgewichtsgleichungen für alle Werte von o erfüllt.

Die Gleichgewichtsgleichung hat die Form

Setze in Gleichung (13.7) den Wert von a gemäß Formel (12.7) ein:

Da (wird ein gekrümmtes Balkenelement betrachtet, für das ), dann

Das Integral ist das statische Moment des Balkenquerschnitts relativ zur neutralen Achse. Ihre Gleichheit mit Null bedeutet, dass die neutrale Faser (d.h. Achse) durch den Schwerpunkt des Querschnitts geht. Somit liegt der Schwerpunkt aller Balkenquerschnitte und damit die Balkenachse, die die geometrische Lage der Schwerpunkte ist, in der neutralen Schicht. Daher ist der Krümmungsradius der neutralen Schicht der Krümmungsradius der gekrümmten Stabachse.

Stellen wir nun die Gleichgewichtsgleichung in Form der Summe der Momente aller auf das Balkenelement wirkenden Kräfte bezogen auf die neutrale Achse auf:

Hier steht der Moment des Elementaren innere Stärke um die Achse.

Bezeichnen wir die Fläche des Teils des Balkenquerschnitts, der sich über der neutralen Achse befindet - unter der neutralen Achse.

Dann stellt es die Resultierende von Elementarkräften dar, die oberhalb der neutralen Faser und unterhalb der neutralen Faser aufgebracht werden (Abb. 36.7).

Diese beiden Resultierenden sind betragsmäßig gleich, da ihre algebraische Summe aufgrund der Bedingung (13.7) gleich Null ist. Diese Resultierenden bilden ein im Balkenquerschnitt wirkendes inneres Kräftepaar. Das Moment dieses Kräftepaares, d. h. das Produkt aus dem Wert einer von ihnen und dem Abstand zwischen ihnen (Abb. 36.7), ist ein Biegemoment im Querschnitt des Trägers.

Setze in Gleichung (15.7) den Wert von a nach Formel (12.7) ein:

Hier ist das axiale Trägheitsmoment, d. h. die Achse, die durch den Schwerpunkt des Abschnitts verläuft. Folglich,

Setzen Sie den Wert aus Formel (16.7) in Formel (12.7) ein:

Bei der Ableitung von Formel (17.7) wurde nicht berücksichtigt, dass bei einem von außen gerichteten Moment, wie in Abb. 31.7 ist nach der anerkannten Vorzeichenregel das Biegemoment negativ. Wenn wir dies berücksichtigen, muss vor der rechten Seite der Formel (17.7) ein Minuszeichen gesetzt werden. Dann werden sich bei einem positiven Biegemoment in der oberen Zone des Balkens (d. h. bei ) die Werte von a als negativ herausstellen, was auf das Vorhandensein von Druckspannungen in dieser Zone hinweist. Normalerweise wird das Minuszeichen jedoch nicht auf die rechte Seite der Formel (17.7) gesetzt, sondern diese Formel wird nur verwendet, um die absoluten Werte der Spannungen a zu bestimmen. Daher sollten die Absolutwerte des Biegemoments und der Ordinate y in Formel (17.7) eingesetzt werden. Das Vorzeichen der Spannungen lässt sich immer leicht durch das Vorzeichen des Moments oder durch die Art der Verformung des Balkens bestimmen.

Stellen wir nun die Gleichgewichtsgleichung in Form der Summe der Momente aller auf das Balkenelement wirkenden Kräfte bezogen auf die y-Achse auf:

Hier ist das Moment der Elementarschnittgröße um die y-Achse (siehe Abb. 35.7).

Ersetzen Sie im Ausdruck (18.7) den Wert von a gemäß der Formel (12.7):

Hier ist das Integral das zentrifugale Trägheitsmoment des Balkenquerschnitts relativ zu den Achsen y und . Folglich,

Aber seit

Bekanntlich (siehe § 7.5) ist das Zentrifugalträgheitsmoment des Profils bezogen auf die Hauptträgheitsachsen Null.

Im betrachteten Fall ist die y-Achse die Symmetrieachse des Balkenquerschnitts und somit sind die y-Achsen und die zentralen Hauptträgheitsachsen dieses Querschnitts. Daher ist hier Bedingung (19.7) erfüllt.

Für den Fall, dass der Querschnitt des gebogenen Balkens keine Symmetrieachse hat, ist die Bedingung (19.7) erfüllt, wenn die Wirkungsebene des Biegemoments durch eine der Hauptträgheitsachsen des Querschnitts geht oder parallel ist zu dieser Achse.

Wenn die Wirkungsebene des Biegemoments durch keine der zentralen Hauptträgheitsachsen des Balkenquerschnitts geht und nicht parallel dazu ist, dann ist die Bedingung (19.7) nicht erfüllt und daher nicht gegeben direkte Biegung - der Balken erfährt eine schräge Biegung.

Die Formel (17.7), die die Normalspannung an einem beliebigen Punkt des betrachteten Balkenabschnitts bestimmt, gilt unter der Voraussetzung, dass die Wirkungsebene des Biegemoments durch eine der Hauptträgheitsachsen dieses Abschnitts verläuft oder parallel dazu ist es. In diesem Fall ist die neutrale Achse des Querschnitts seine Hauptträgheitsmittelachse, die senkrecht zur Wirkungsebene des Biegemoments steht.

Formel (16.7) zeigt, dass bei direkter reiner Biegung die Krümmung der gekrümmten Balkenachse direkt proportional zum Produkt aus Elastizitätsmodul E und Trägheitsmoment ist, das Produkt wird als Biegesteifigkeit des Querschnitts bezeichnet; es wird ausgedrückt in usw.

Bei reiner Biegung eines Trägers mit konstantem Querschnitt sind die Biegemomente und Querschnittssteifigkeiten über seine Länge konstant. In diesem Fall hat der Krümmungsradius der gebogenen Achse des Balkens einen konstanten Wert [vgl. Ausdruck (16.7)], d. h. der Strahl wird entlang eines Kreisbogens gebogen.

Aus Formel (17.7) folgt, dass die größten (positiv – Zug) und kleinsten (negativ – Druck) Normalspannungen im Querschnitt des Balkens an den Punkten auftreten, die am weitesten von der neutralen Faser entfernt sind, die sich auf beiden Seiten davon befinden. Bei einem um die neutrale Achse symmetrischen Querschnitt sind die absoluten Werte der größten Zug- und Druckspannungen gleich und können durch die Formel bestimmt werden

wo ist der Abstand von der neutralen Achse zum entferntesten Punkt des Abschnitts.

Der Wert, der nur von Größe und Form des Querschnitts abhängt, wird Axialwiderstandsmoment genannt und bezeichnet

(20.7)

Folglich,

Lassen Sie uns die axialen Widerstandsmomente für rechteckige und runde Querschnitte bestimmen.

Für einen rechteckigen Querschnitt mit Breite b und Höhe

Für einen Kreisabschnitt mit einem Durchmesser d

Das Widerstandsmoment wird in ausgedrückt.

Bei nicht zur neutralen Faser symmetrischen Abschnitten, beispielsweise bei einem Dreieck, einer Marke etc., sind die Abstände von der neutralen Faser zu den äußersten gestreckten und gestauchten Fasern unterschiedlich; Daher gibt es für solche Abschnitte zwei Widerstandsmomente:

wo sind die Abstände von der neutralen Achse zu den äußersten gestreckten und gestauchten Fasern.

gerade Kurve- Dies ist eine Verformungsart, bei der in den Querschnitten des Stabes zwei Schnittgrößen auftreten: ein Biegemoment und eine Querkraft.

Reine Biegung- Das besonderer Fall direkte Biegung, bei der in den Stabquerschnitten nur ein Biegemoment auftritt und die Querkraft null ist.

Beispiel für reine Biegung - Diagramm CD auf der Stange AB. Biegemoment ist der Wert Pa Paar externer Kräfte, die eine Biegung verursachen. Aus dem Gleichgewicht des Stabteils links vom Querschnitt Mn daraus folgt, dass die über diesen Abschnitt verteilten Schnittgrößen dem Moment statisch äquivalent sind M, gleich und entgegengesetzt zum Biegemoment Pa.

Um die Verteilung dieser Schnittgrößen über den Querschnitt zu finden, muss die Verformung des Stabes berücksichtigt werden.

Im einfachsten Fall hat der Stab eine Längssymmetrieebene und wird von in dieser Ebene liegenden äußeren Biegekräftepaaren beaufschlagt. Dann erfolgt die Biegung in derselben Ebene.

Stangenachse nn 1 ist eine Linie, die durch die Schwerpunkte ihrer Querschnitte verläuft.

Der Querschnitt des Stabes sei ein Rechteck. Wir haben zwei auf seine Gesichter gelegt Vertikale Linien mm und pp. Beim Biegen bleiben diese Linien gerade und drehen sich so, dass sie senkrecht zu den Längsfasern des Stabs bleiben.

Eine weitere Biegetheorie geht davon aus, dass nicht nur Linien mm und pp, aber der gesamte flache Querschnitt des Stabs bleibt nach dem Biegen flach und senkrecht zu den Längsfasern des Stabs. Daher beim Biegen die Querschnitte mm und pp relativ zueinander um Achsen rotieren, die senkrecht zur Biegeebene (Zeichnungsebene) stehen. Dabei erfahren die Längsfasern auf der konvexen Seite Zug und die Fasern auf der konkaven Seite Druck.

neutrale Oberfläche ist eine Oberfläche, die beim Biegen keine Verformung erfährt. (Jetzt befindet es sich senkrecht zur Zeichnung, der deformierten Achse des Stabes nn 1 gehört zu dieser Oberfläche).

Neutrale Schnittachse- Dies ist der Schnittpunkt einer neutralen Fläche mit einem beliebigen Querschnitt (jetzt auch senkrecht zur Zeichnung).

Eine beliebige Faser befinde sich in einem Abstand j von einer neutralen Oberfläche. ρ ist der Krümmungsradius der gekrümmten Achse. Punkt Ö ist der Krümmungsmittelpunkt. Lassen Sie uns eine Linie ziehen n 1 s 1 parallel mm.ss 1 ist die absolute Dehnung der Faser.

Relative Erweiterung ε x Fasern

Es folgt dem Verformung der Längsfasern proportional zur Entfernung j von der neutralen Fläche und umgekehrt proportional zum Krümmungsradius ρ .

Die Längsdehnung der Fasern der konvexen Seite des Stabes wird begleitet von seitliche Einschnürung, und die Längsverkürzung der konkaven Seite - seitliche Verlängerung, wie im Fall von einfacher Dehnung und Kontraktion. Dadurch ändert sich das Aussehen aller Querschnitte, die senkrechten Seiten des Rechtecks ​​werden schräg. Seitliche Verformung z:

μ - Poissonzahl.

Als Folge dieser Verzerrung verlaufen alle geraden Querschnittslinien achsparallel z, sind so gebogen, dass sie normal zu den Seiten des Abschnitts bleiben. Der Krümmungsradius dieser Kurve R wird mehr als sein ρ genauso wie ε x ist im absoluten Wert größer als ε z , und wir bekommen

Diese Verformungen der Längsfasern entsprechen Spannungen

Die Spannung in jeder Faser ist proportional zu ihrem Abstand von der neutralen Achse. n 1 n 2. Lage der neutralen Achse und Krümmungsradius ρ sind zwei Unbekannte in der Gleichung für σ x - kann aus der Bedingung bestimmt werden, dass die über einen beliebigen Querschnitt verteilten Kräfte ein Kräftepaar bilden, das das äußere Moment ausgleicht M.

All dies gilt auch, wenn der Stab keine Längssymmetrieebene hat, in der das Biegemoment wirkt, solange das Biegemoment in der Axialebene wirkt, die eines der beiden enthält Hauptachsen Kreuzung. Diese Flugzeuge werden aufgerufen Hauptbiegeebenen.

Wenn es eine Symmetrieebene gibt und das Biegemoment in dieser Ebene wirkt, erfolgt die Durchbiegung in ihr. Momente der Schnittgrößen um die Achse z das äußere Moment ausgleichen M. Kraftmomente relativ zur Achse j werden gegenseitig zerstört.

Gerade Biegung. Flacher Querbogen 1.1. Konstruktion von Schnittgrößendiagrammen für Balken 1.2. Aufbau der Diagramme Q und M nach Gleichung 1.3. Konstruktion der Diagramme Q und M auf charakteristischen Abschnitten (Punkten) 1.4. Festigkeitsberechnungen bei direkter Biegung von Trägern 1.5. Hauptbiegespannungen. Vollständige Festigkeitsprüfung der Balken 1.6. Das Konzept der Kurvenmitte 1.7. Bestimmung von Verschiebungen in Trägern während des Biegens. Konzepte der Verformung von Balken und Bedingungen ihrer Steifigkeit 1.8. Die Differentialgleichung der Biegeachse des Balkens 1.9. Methode direkte Einbindung 1.10. Beispiele zur Ermittlung von Balkenverschiebungen durch direkte Integration 1.11. physikalische Bedeutung Integrationskonstanten 1.12. Methode der Anfangsparameter (allgemeine Gleichung der gebogenen Achse des Balkens) 1.13. Beispiele für die Bestimmung von Verschiebungen in einem Balken mit der Methode der Anfangsparameter 1.14. Bewegungsbestimmung nach Mohr. A.K.s Regel Wereschtschagin 1.15. Berechnung des Mohr-Integrals nach A.K. Wereschtschagin 1.16. Beispiele zur Ermittlung von Verschiebungen mittels Mohr's Integral Literatur 4 1. Gerade Biegung. Flache Querbiegung. 1.1. Schnittgrößendiagramme für Balken zeichnen Die direkte Biegung ist eine Verformungsart, bei der zwei Schnittgrößen in den Stabquerschnitten auftreten: ein Biegemoment und eine Querkraft. Im Einzelfall kann die Querkraft gleich Null sein, dann heißt die Biegung rein. Bei einer flachen Querbiegung liegen alle Kräfte in einer der Hauptträgheitsebenen des Stabes und stehen senkrecht dazu Längsachse, Momente befinden sich in derselben Ebene (Abb. 1.1, a, b). Reis. 1.1 Die Querkraft in einem beliebigen Balkenquerschnitt ist zahlenmäßig gleich der algebraischen Summe der Projektionen aller auf einer Seite des betrachteten Querschnitts wirkenden äußeren Kräfte auf die Normale zur Balkenachse. Scherkraft im Schnitt m-n Strahlen(Abb. 1.2, a) wird als positiv angesehen, wenn die Resultierende der äußeren Kräfte links vom Abschnitt nach oben und im umgekehrten Fall nach rechts - nach unten und negativ - gerichtet ist (Abb. 1.2, b). Reis. 1.2 Bei der Berechnung der Querkraft in einem gegebenen Schnitt werden die links vom Schnitt liegenden äußeren Kräfte mit Pluszeichen, wenn sie nach oben gerichtet sind, und mit Minuszeichen, wenn sie nach unten gerichtet sind, genommen. Für die rechte Seite des Balkens - umgekehrt. 5 Das Biegemoment in einem beliebigen Balkenquerschnitt ist numerisch gleich der algebraischen Summe der Momente um die Mittelachse z des Schnitts aller auf einer Seite des betrachteten Schnitts wirkenden äußeren Kräfte. Biegemoment rein Abschnitt m-n balken (Abb. 1.3, a) werden als positiv angesehen, wenn das resultierende Moment der äußeren Kräfte links vom Abschnitt im Uhrzeigersinn und im entgegengesetzten Fall nach rechts - gegen den Uhrzeigersinn und negativ - gerichtet ist (Abb. 1.3, b). Reis. 1.3 Bei der Berechnung des Biegemoments in einem gegebenen Schnitt werden die links vom Schnitt liegenden Momente äußerer Kräfte als positiv angesehen, wenn sie im Uhrzeigersinn gerichtet sind. Für die rechte Seite des Balkens - umgekehrt. Es ist zweckmäßig, das Vorzeichen des Biegemoments durch die Art der Verformung des Balkens zu bestimmen. Das Biegemoment gilt als positiv, wenn sich im betrachteten Querschnitt der abgeschnittene Teil des Balkens konvex nach unten biegt, d.h. die unteren Fasern gestreckt werden. Andernfalls ist das Biegemoment im Schnitt negativ. Zwischen dem Biegemoment M, der Querkraft Q und der Höhe der Belastung q bestehen differentielle Abhängigkeiten. 1. Die erste Ableitung der Querkraft entlang der Abszisse des Schnittes ist gleich der Intensität der Streckenlast, d.h. . (1.1) 2. Die erste Ableitung des Biegemoments entlang der Abszisse des Schnitts ist gleich der Querkraft, d. h. (1.2) 3. Die zweite Ableitung der Abszisse des Schnitts ist gleich der Intensität der Streckenlast, d.h. (1.3) Wir betrachten die nach oben gerichtete Streckenlast positiv. Aus den differentiellen Abhängigkeiten zwischen M, Q, q ergeben sich einige wichtige Schlussfolgerungen: 1. Wenn am Balkenquerschnitt: a) die Querkraft positiv ist, dann steigt das Biegemoment; b) die Querkraft negativ ist, dann nimmt das Biegemoment ab; c) die Querkraft Null ist, dann hat das Biegemoment einen konstanten Wert (reine Biegung); 6 d) Querkraft geht durch Null, Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus, max M M, sonst M Mmin. 2. Wenn keine Streckenlast auf den Balkenabschnitt wirkt, dann ist die Querkraft konstant und das Biegemoment ändert sich linear. 3. Wenn der Balkenabschnitt gleichmäßig belastet wird, ändert sich die Querkraft nach einem linearen Gesetz und das Biegemoment - nach dem Gesetz einer quadratischen Parabel, konvex in Richtung der Belastung (in im Fall des Zeichnens von M von der Seite der gestreckten Fasern). 4. Im Abschnitt unter der konzentrierten Kraft hat das Diagramm Q einen Sprung (um die Größe der Kraft), das Diagramm M hat einen Bruch in Richtung der Kraft. 5. In dem Abschnitt, in dem ein konzentriertes Moment angewendet wird, weist das Diagramm M einen Sprung gleich dem Wert dieses Moments auf. Dies spiegelt sich nicht im Q-Plot wider. Unter komplexer Belastung bilden Balken Diagramme von Querkräften Q und Biegemomenten M. Diagramm Q (M) ist ein Diagramm, das das Änderungsgesetz der Querkraft (Biegemoment) entlang der Länge des Balkens zeigt. Basierend auf der Analyse der Diagramme M und Q werden gefährliche Abschnitte des Balkens festgelegt. Von der parallel zur Balkenlängsachse gezogenen Grundlinie sind die positiven Ordinaten des Q-Diagramms nach oben und die negativen Ordinaten nach unten aufgetragen. Die positiven Ordinaten des Diagramms M sind festgelegt und die negativen Ordinaten sind nach oben aufgetragen, d. h. das Diagramm M wird von der Seite der gestreckten Fasern aufgebaut. Die Konstruktion der Diagramme Q und M für Balken sollte mit der Definition von Lagerreaktionen beginnen. Für einen Träger mit einem festen Ende und dem anderen freien Ende kann die Darstellung von Q und M vom freien Ende aus begonnen werden, ohne dass Reaktionen in der Einbettung definiert werden müssen. 1.2. Die Konstruktion der Diagramme Q und M nach den Balk-Gleichungen ist in Abschnitte unterteilt, innerhalb derer die Funktionen für das Biegemoment und die Querkraft konstant bleiben (keine Sprünge haben). Die Grenzen der Abschnitte sind die Angriffspunkte von konzentrierten Kräften, Kräftepaaren und Orten der Änderung der Intensität der verteilten Last. An jedem Schnitt wird ein beliebiger Schnitt im Abstand x vom Ursprung genommen und für diesen Schnitt werden Gleichungen für Q und M aufgestellt.Mit diesen Gleichungen werden Diagramme Q und M erstellt. Beispiel 1.1 Erstellen Sie Diagramme der Querkräfte Q und der Biegung Momente M für einen gegebenen Balken (Abb. 1.4a). Lösung: 1. Ermittlung der Auflagerreaktionen. Wir stellen die Gleichgewichtsgleichungen auf: woraus wir erhalten Die Reaktionen der Träger sind richtig definiert. Der Balken hat vier Abschnitte Abb. 1.4 Ladungen: CA, AD, DB, BE. 2. Plotten Q. Plotten SA. Auf Abschnitt CA 1 zeichnen wir einen beliebigen Abschnitt 1-1 im Abstand x1 vom linken Balkenende. Wir definieren Q als die algebraische Summe aller äußeren Kräfte, die links vom Abschnitt 1-1 wirken: 1 Q 3 0 kN. Das Minuszeichen wird genommen, weil die links vom Abschnitt wirkende Kraft nach unten gerichtet ist. Der Ausdruck für Q hängt nicht von der Variablen x1 ab. Der Plot Q in diesem Abschnitt wird als gerade Linie parallel zur x-Achse dargestellt. Grundstück AD. Auf der Baustelle zeichnen wir einen beliebigen Abschnitt 2-2 im Abstand x2 vom linken Ende des Balkens. Wir definieren Q2 als die algebraische Summe aller links vom Abschnitt 2-2 wirkenden äußeren Kräfte: Der Wert von Q ist auf dem Abschnitt konstant (hängt nicht von der Variablen x2 ab). Plot Q auf dem Plot ist eine gerade Linie parallel zur x-Achse. DB-Website. Auf der Baustelle zeichnen wir einen beliebigen Abschnitt 3-3 im Abstand x3 vom rechten Ende des Balkens. Wir definieren Q3 als die algebraische Summe aller äußeren Kräfte, die rechts von Abschnitt 3-3 wirken: . Der resultierende Ausdruck ist die Gleichung einer geneigten Geraden. Grundstück B.E. Auf der Baustelle zeichnen wir einen Abschnitt 4-4 im Abstand x4 vom rechten Ende des Balkens. Wir definieren Q als algebraische Summe aller rechts von Abschnitt 4-4 wirkenden äußeren Kräfte: Hier wird das Pluszeichen genommen, weil die resultierende Last rechts von Abschnitt 4-4 nach unten gerichtet ist. Basierend auf den erhaltenen Werten erstellen wir Diagramme Q (Abb. 1.4, b). 3. Plotten von M. Plotten von SA m1. Wir definieren das Biegemoment in Abschnitt 1-1 als die algebraische Summe der Momente der Kräfte, die links von Abschnitt 1-1 wirken. ist die Geradengleichung. Baugrundstück. 3Wir definieren das Biegemoment in Abschnitt 2-2 als die algebraische Summe der Momente der Kräfte, die links von Abschnitt 2-2 wirken. ist die Geradengleichung. Baugrundstück. 4Wir definieren das Biegemoment in Abschnitt 3-3 als die algebraische Summe der rechts von Abschnitt 3-3 wirkenden Momente der Kräfte. ist die Gleichung einer quadratischen Parabel. 9 Wir finden drei Werte an den Enden des Abschnitts und an der Stelle mit der xk-Koordinate, wo wir seit hier kNm haben. Baugrundstück. 1Wir definieren das Biegemoment in Abschnitt 4-4 als die algebraische Summe der Momente der rechts von Abschnitt 4-4 wirkenden Kräfte. - In der Gleichung einer quadratischen Parabel finden wir drei Werte von M4: Basierend auf den erhaltenen Werten erstellen wir ein Diagramm M (Abb. 1.4, c). Der Verlauf Q wird in den Abschnitten CA und AD durch zur Abszissenachse parallele Geraden und in den Abschnitten DB und BE durch schräge Geraden begrenzt. In den Abschnitten C, A und B des Diagramms Q gibt es Sprünge um die Größe der entsprechenden Kräfte, was als Kontrolle für die Richtigkeit der Konstruktion des Diagramms Q dient. In den Abschnitten mit Q 0 nehmen die Momente von links zu nach rechts. In Abschnitten mit Q 0 nehmen die Momente ab. Unter den konzentrierten Kräften gibt es Knicke in Wirkrichtung der Kräfte. Unter dem konzentrierten Moment gibt es einen Sprung um den Momentwert. Dies zeigt die Korrektheit der Auftragung von M. Beispiel 1.2 Konstruieren Sie die Plots Q und M für einen Balken auf zwei Stützen, der mit einer verteilten Last belastet ist, deren Intensität linear variiert (Abb. 1.5, a). Lösung Ermittlung von Auflagerreaktionen. Die Resultierende der Streckenlast ist gleich der Fläche des das Lastdiagramm darstellenden Dreiecks und wird im Schwerpunkt dieses Dreiecks angesetzt. Wir bilden die Summen der Momente aller Kräfte relativ zu den Punkten A und B: Zeichnen von Q. Zeichnen wir einen beliebigen Schnitt im Abstand x von der linken Stütze. Die dem Schnitt entsprechende Ordinate des Belastungsdiagramms wird aus der Ähnlichkeit der Dreiecke bestimmt Die Resultierende des Teils der Belastung, der sich links vom Schnitt befindet Die Querkraft im Schnitt ist gleich Null: Darstellung Q ist in dargestellt Feige. 1,5, b. Das Biegemoment in einem beliebigen Schnitt ist gleich Das Biegemoment ändert sich nach dem Gesetz einer kubischen Parabel: Das Biegemoment hat den größten Wert in dem Schnitt, wo Q 0, d.h. E. in Diagramm M ist in Abb. 1 gezeigt. 1,5, c. 1.3. Konstruktion der Diagramme Q und M durch charakteristische Abschnitte (Punkte) Unter Verwendung der differentiellen Beziehungen zwischen M, Q, q und den daraus resultierenden Schlussfolgerungen empfiehlt es sich, die Diagramme Q und M durch charakteristische Abschnitte (ohne Gleichungen zu formulieren) zu erstellen. Mit dieser Methode werden die Werte von Q und M in charakteristischen Abschnitten berechnet. Die charakteristischen Abschnitte sind die Grenzabschnitte der Abschnitte sowie die Abschnitte, in denen der gegebene Schnittgrößenfaktor einen Extremwert hat. Innerhalb der Grenzen zwischen den charakteristischen Abschnitten wird der Umriß 12 des Diagramms anhand von differentiellen Abhängigkeiten zwischen M, Q, q und den sich daraus ergebenden Schlußfolgerungen festgelegt. Beispiel 1.3 Konstruieren Sie die Diagramme Q und M für den in Abb. 1 gezeigten Balken. 1.6, ein. Wir beginnen mit dem Zeichnen von Q- und M-Diagrammen vom freien Ende des Balkens, während die Reaktionen in der Einbettung weggelassen werden können. Der Balken hat drei Ladebereiche: AB, BC, CD. In den Abschnitten AB und BC gibt es keine verteilte Last. Die Querkräfte sind konstant. Plot Q wird durch gerade Linien parallel zur x-Achse begrenzt. Biegemomente ändern sich linear. Plot M ist auf gerade Linien beschränkt, die zur x-Achse geneigt sind. Auf Abschnitt CD liegt eine gleichmäßig verteilte Belastung vor. Die Querkräfte ändern sich linear, die Biegemomente ändern sich nach dem Gesetz einer quadratischen Parabel mit Konvexität in Richtung der Streckenlast. An der Grenze der Abschnitte AB und BC ändert sich die Querkraft sprunghaft. An der Grenze der Schnitte BC und CD ändert sich das Biegemoment sprunghaft. 1. Zeichnen von Q. Wir berechnen die Werte der Querkräfte Q in den Grenzabschnitten der Abschnitte: Basierend auf den Berechnungsergebnissen erstellen wir ein Diagramm Q für den Balken (Abb. 1, b). Aus dem Diagramm Q folgt, dass die Querkraft im Abschnitt CD in dem Abschnitt mit einem Abstand qa a q  vom Anfang dieses Abschnitts gleich Null ist. In diesem Abschnitt hat das Biegemoment einen maximalen Wert. 2. Konstruktion des Diagramms M. Wir berechnen die Werte der Biegemomente in den Grenzabschnitten der Abschnitte: Bei Kx3 das maximale Moment auf dem Abschnitt. Basierend auf den Berechnungsergebnissen erstellen wir das Diagramm M (Abb. 5.6, c). Beispiel 1.4 Bestimmen Sie nach einem vorgegebenen Biegemomentdiagramm (Abb. 1.7, a) für einen Balken (Abb. 1.7, b). wirkende Lasten und zeichnen Sie Q auf. Der Kreis markiert den Scheitelpunkt der quadratischen Parabel. Lösung: Bestimmen Sie die auf den Balken wirkenden Lasten. Der Abschnitt AC wird mit einer gleichmäßig verteilten Last belastet, da das Diagramm M in diesem Abschnitt eine quadratische Parabel ist. Im Referenzabschnitt B wird ein konzentriertes Moment auf den Balken aufgebracht, das im Uhrzeigersinn wirkt, da wir im Diagramm M einen Aufwärtssprung um die Größe des Moments haben. Im NE-Schnitt wird der Balken nicht belastet, da das Diagramm M in diesem Schnitt durch eine geneigte Gerade begrenzt wird. Die Reaktion der Stütze B wird aus der Bedingung bestimmt, dass das Biegemoment im Abschnitt C gleich Null ist, d.h. Um die Intensität der verteilten Last zu bestimmen, bilden wir einen Ausdruck für das Biegemoment im Abschnitt A als Summe der Momente von Kräfte rechts und gleich 0. Nun bestimmen wir die Reaktion des Auflagers A. Dazu bilden wir einen Ausdruck für die Biegemomente im Schnitt als Summe der Kräftemomente links, woraus Abb. 1.7 Überprüfung Das Konstruktionsdiagramm eines Trägers mit einer Last ist in Abb. 1 dargestellt. 1.7, c. Ausgehend vom linken Ende des Balkens berechnen wir die Werte der Querkräfte in den Grenzabschnitten der Abschnitte: Diagramm Q ist in Abb. 1.7, d. Das betrachtete Problem kann gelöst werden, indem in jedem Abschnitt funktionale Abhängigkeiten für M, Q erstellt werden. Wählen wir den Koordinatenursprung am linken Ende des Trägers. Auf dem Abschnitt AC wird das Diagramm M durch eine quadratische Parabel ausgedrückt, deren Gleichung die Form hat Konstanten a, b, c, finden wir aus der Bedingung, dass die Parabel durch drei Punkte mit bekannten Koordinaten geht: Ersetzen der Koordinaten von die Punkte in die Parabelgleichung eintragen, erhalten wir: Der Ausdruck für das Biegemoment ist , wir erhalten die Abhängigkeit für die Querkraft. Nach Differenzieren der Funktion Q erhalten wir einen Ausdruck für die Intensität der Streckenlast im Schnitt NE , wird der Ausdruck für das Biegemoment als lineare Funktion dargestellt Zur Bestimmung der Konstanten a und b verwenden wir die Bedingungen, dass diese Gerade durch zwei Punkte verläuft, deren Koordinaten bekannt sind. Wir erhalten zwei Gleichungen: woraus sich a 10 ergibt, b  20. Die Gleichung für das Biegemoment im Schnitt NE lautet Nach einer zweifachen Differenzierung von M2 finden wir Auf der Grundlage der gefundenen Werte von M und Q erstellen wir Diagramme von Biegemomenten und Querkräften für die Strahl. Neben der Streckenlast wirken in drei Abschnitten mit Sprüngen im Q-Diagramm Einzelkräfte und in dem Abschnitt mit Sprüngen im M-Diagramm Einzelmomente auf den Balken ein. Beispiel 1.5 Bestimmen Sie für einen Balken (Abb. 1.8, a) die rationale Position des Gelenks C, bei der das größte Biegemoment in der Spannweite gleich dem Biegemoment in der Einbettung ist (als Absolutwert). Erstellen Sie Diagramme Q und M. Lösung Bestimmung der Reaktionen von Lagern. Trotz der Tatsache, dass Gesamtzahl es gibt vier lagerglieder, der träger ist statisch bestimmt. Das Biegemoment in Scharnier C ist gleich Null, was uns erlaubt, eine zusätzliche Gleichung aufzustellen: Die Summe der Momente um das Scharnier aller äußeren Kräfte, die auf einer Seite dieses Scharniers wirken, ist gleich Null. Bilden Sie die Summe der Momente aller Kräfte rechts vom Gelenk C. Das Diagramm Q für den Balken wird durch eine schiefe Gerade begrenzt, da q = const. Wir bestimmen die Werte der Querkräfte in den Grenzabschnitten des Balkens: Die Abszisse xK des Abschnitts, wo Q = 0, wird aus der Gleichung bestimmt, aus der der Plot M für den Balken durch eine quadratische Parabel begrenzt ist. Die Ausdrücke für die Biegemomente in den Abschnitten mit Q = 0 und im Abschluss werden jeweils wie folgt geschrieben: Aus der Bedingung der Gleichheit der Momente erhalten wir quadratische Gleichung relativ zum gewünschten Parameter x: Reeller Wert. Wir ermitteln die Zahlenwerte der Querkräfte und Biegemomente in den charakteristischen Abschnitten des Balkens. 1.8, c - Diagramm M. Das betrachtete Problem könnte gelöst werden, indem der Gelenkbalken in seine Bestandteile zerlegt wird, wie in Abb. 1.8 gezeigt. 1.8, d. Zu Beginn werden die Reaktionen der Stützen VC und VB bestimmt. Die Kurven Q und M werden für den Aufhängungsträger SV aus der Wirkung der darauf aufgebrachten Last konstruiert. Dann bewegen sie sich zum Hauptträger AC und belasten ihn mit einer zusätzlichen Kraft VC, die die Druckkraft des Trägers CB auf den Träger AC ist. Danach werden die Diagramme Q und M für den Wechselstromstrahl erstellt. 1.4. Festigkeitsberechnungen für direkte Biegung von Trägern Festigkeitsberechnung für Normal- und Schubspannungen. Bei direkter Biegung eines Balkens entstehen in seinen Querschnitten Normal- und Schubspannungen (Abb. 1.9). Normalspannungen beziehen sich auf das Biegemoment, Schubspannungen auf die Querkraft. Bei direkter reiner Biegung sind die Schubspannungen gleich Null. Normalspannungen an einem beliebigen Punkt des Balkenquerschnitts werden durch die Formel (1.4) bestimmt, wobei M das Biegemoment im gegebenen Querschnitt ist; Iz ist das Trägheitsmoment des Profils relativ zur neutralen Achse z; y ist der Abstand vom Punkt, an dem die Normalspannung bestimmt wird, zur neutralen z-Achse. Normalspannungen entlang der Schnitthöhe ändern sich linear und erreichen den größten Wert an den von der neutralen Faser am weitesten entfernten Stellen, wenn der Schnitt symmetrisch zur neutralen Faser ist (Bild 1.11), dann 1.11 Die größten Zug- und Druckspannungen sind gleich und werden durch die Formel bestimmt - axialer Widerstandsmoment beim Biegen. Für einen rechteckigen Querschnitt mit Breite b und Höhe h: (1.7) Für einen kreisförmigen Querschnitt mit Durchmesser d: (1.8) Für einen ringförmigen Querschnitt (1.9) wobei d0 bzw. d Innen- und sind Außendurchmesser Ringe. Für Träger aus Kunststoffmaterialien sind symmetrische 20-Profilformen (I-Träger, kastenförmig, ringförmig) am rationalsten. Bei Trägern aus spröden Materialien, die Zug und Druck nicht gleichermaßen standhalten, sind um die neutrale Faser z asymmetrische Profile (ta-br., U-förmiger, asymmetrischer I-Träger) sinnvoll. Für Träger mit konstantem Querschnitt aus Kunststoffmaterialien mit symmetrischen Querschnittsformen wird die Festigkeitsbedingung wie folgt geschrieben: (1.10) wobei Mmax das maximale Modulo des Biegemoments ist; - zulässige Spannung für das Material. Für Balken mit konstantem Querschnitt aus duktilen Materialien mit asymmetrischen Querschnittsformen wird die Festigkeitsbedingung in folgender Form geschrieben: yP,max, yC,max sind die Abstände von der neutralen Achse zu den entferntesten Punkten der Dehnung und Stauchung Zonen des gefährlichen Abschnitts; - zulässige Spannungen jeweils bei Zug und Druck. Abb.1.12. 21 Wenn das Diagramm der Biegemomente Abschnitte mit unterschiedlichen Vorzeichen aufweist (Abb. 1.13), müssen zusätzlich zur Überprüfung des Abschnitts 1-1, in dem Mmax wirkt, die maximalen Zugspannungen für den Abschnitt 2-2 (mit dem größten Moment entgegengesetztem Vorzeichen). Reis. 1.13 Neben der Grundberechnung für Normalspannungen ist in manchen Fällen ein Nachweis der Trägerfestigkeit für Schubspannungen erforderlich. Schubspannungen in Balken werden nach der Formel von D. I. Zhuravsky (1.13) berechnet, wobei Q die Querkraft im betrachteten Querschnitt des Balkens ist; Szots ist das statische Moment um die neutrale Achse des Bereichs des Teils des Abschnitts, der sich auf einer Seite der geraden Linie befindet, die durch den gegebenen Punkt und parallel zur z-Achse gezogen wird; b ist die Breite des Abschnitts auf Höhe des betrachteten Punktes; Iz ist das Trägheitsmoment des gesamten Querschnitts um die neutrale Faser z. In vielen Fällen treten die maximalen Schubspannungen auf der Ebene der neutralen Schicht des Trägers (Rechteck, I-Träger, Kreis) auf. In solchen Fällen wird die Festigkeitsbedingung für Schubspannungen geschrieben als (1.14) wobei Qmax die Querkraft mit dem höchsten Modul ist; - zulässige Scherspannung für das Material. Bei einem rechteckigen Balkenabschnitt hat die Festigkeitsbedingung die Form 22 (1,15) A - die Querschnittsfläche des Balkens. Für einen kreisförmigen Querschnitt wird die Festigkeitsbedingung dargestellt als (1.16) Für einen I-Querschnitt wird die Festigkeitsbedingung wie folgt geschrieben: (1.17) d ist die Wandstärke des I-Trägers. Üblicherweise werden die Abmessungen des Balkenquerschnitts aus dem Festigkeitszustand für Normalspannungen bestimmt. Die Überprüfung der Festigkeit von Balken auf Schubspannungen wird in durchgeführt ohne Fehler bei kurzen Trägern und Trägern beliebiger Länge, wenn in der Nähe der Stützen große Einzelkräfte auftreten, sowie bei Holz-, Niet- und Schweißträgern. Beispiel 1.6 Nachweis der Festigkeit eines Kastenträgers (Bild 1.14) für Normal- und Schubspannungen, wenn 0 MPa. Erstellen Sie Diagramme im gefährlichen Abschnitt des Balkens. Reis. 1.14 Entscheidung 23 1. Zeichnen Sie Q- und M-Plots von charakteristischen Abschnitten. Betrachtet man die linke Seite des Balkens, so erhält man: Das Diagramm der Querkräfte ist in Abb. 1 dargestellt. 1.14, c. . Das Diagramm der Biegemomente ist in Abb. 1 dargestellt. 5.14, G. 2. Geometrische Eigenschaften des Querschnitts 3. Die höchsten Normalspannungen im Abschnitt C, wo Mmax wirkt (Modulo): Die maximalen Normalspannungen im Balken sind fast gleich den zulässigen. 4. Die größten Schubspannungen im Abschnitt C (oder A), wo sie wirken - das statische Moment der Halbquerschnittsfläche relativ zur neutralen Achse; b2 cm ist die Breite des Schnitts in Höhe der neutralen Achse. 5. Tangentialspannungen an einem Punkt (in einer Wand) in Abschnitt C: Hier ist das statische Moment der Fläche des Teils des Abschnitts, der sich über der Linie befindet, die durch den Punkt K1 verläuft; b2 cm ist die Wanddicke auf Höhe des Punktes K1. Diagramme für den Abschnitt C des Trägers sind in Abb. 2 dargestellt. 1.15. Beispiel 1.7 Für den in Abb. 1.16, a, ist es erforderlich: 1. Erstellen Sie Diagramme der Querkräfte und Biegemomente entlang charakteristischer Abschnitte (Punkte). 2. Bestimmen Sie die Abmessungen des Querschnitts in Form eines Kreises, Rechtecks ​​und I-Trägers aus dem Festigkeitszustand für Normalspannungen, vergleichen Sie die Querschnittsflächen. 3. Überprüfen Sie die gewählten Abmessungen der Balkenabschnitte auf Schubspannungen. Lösung: 1. Bestimmen Sie die Reaktionen der Balkenlager aus wo. Prüfen Sie: 2. Zeichnen Sie Q- und M-Diagramme. Daher ist das Diagramm Q in diesen Abschnitten auf zur Achse geneigte Geraden beschränkt. Im Abschnitt DB ist die Intensität der verteilten Last q \u003d 0, daher ist in diesem Abschnitt das Diagramm Q auf eine gerade Linie parallel zur x-Achse beschränkt. Das Diagramm Q für den Balken ist in Abb. 2 dargestellt. 1.16b. Werte der Biegemomente in den charakteristischen Abschnitten des Balkens: Im zweiten Abschnitt bestimmen wir die Abszisse x2 des Abschnitts, in dem Q = 0: Das maximale Moment im zweiten Abschnitt Diagramm M für den Balken ist in Abb . 1.16, c. 2. Stellen Sie die Festigkeitsbedingung für Normalspannungen zusammen, aus der wir das erforderliche axiale Widerstandsmodul aus dem Ausdruck bestimmen, der den erforderlichen Durchmesser d eines Trägers mit kreisförmigem Querschnitt bestimmt. Die Fläche eines kreisförmigen Querschnitts. Für einen Träger mit rechteckigem Querschnitt erforderliche Abschnittshöhe Die Fläche eines rechteckigen Abschnitts Bestimmen Sie die erforderliche Anzahl Ich glänze. Nach den Tabellen von GOST 8239-89 finden wir den nächsten Größerer Wert axiales Widerstandsmoment, das dem I-Träger Nr. 33 mit den Eigenschaften entspricht: Toleranzprüfung: (Unterlast um 1 % der zulässigen 5 %) Der nächste I-Träger Nr. 30 (W  472 cm3) führt zu einer erheblichen Überlastung (mehr als 5%). Wir akzeptieren schließlich den I-Träger Nr. 33. Wir vergleichen die Flächen von Kreis- und Rechteckprofilen mit der kleinsten Fläche A des I-Trägers: Von den drei betrachteten Profilen ist das I-Profil das wirtschaftlichste. 3. Wir berechnen die größten Normalspannungen im gefährlichen Abschnitt 27 des I-Trägers (Abb. 1.17, a): Normalspannungen in der Wand in der Nähe des Flansches des I-Trägerabschnitts. 1.17b. 5. Wir ermitteln die größten Schubspannungen für die ausgewählten Balkenabschnitte. a) Rechteckquerschnitt des Trägers: b) runder Abschnitt Träger: c) I-Träger-Querschnitt: Schubspannungen in der Wand nahe dem Flansch des I-Trägers im gefährlichen Abschnitt A (rechts) (bei Punkt 2): Das Diagramm der Schubspannungen in den gefährlichen Abschnitten des I -Strahl ist in Abb. gezeigt. 1,17 Zoll Die maximalen Schubspannungen im Träger überschreiten nicht die zulässigen Spannungen. Beispiel 1.8 Bestimmen Sie die zulässige Belastung des Balkens (Abb. 1.18, a), wenn die Querschnittsabmessungen angegeben sind (Abb. 1.19, a). Erstellen Sie ein Diagramm der Normalspannungen im gefährlichen Abschnitt des Balkens unter der zulässigen Last. Abb. 1.18 1. Bestimmung der Reaktionen der Balkenlager. Aufgrund der Symmetrie des Systems VVB A8qa . 29 2. Aufbau der Diagramme Q und M durch charakteristische Schnitte. Querkräfte in den charakteristischen Abschnitten des Trägers: Das Diagramm Q für den Träger ist in Abb. 2 dargestellt. 5.18b. Biegemomente in den charakteristischen Abschnitten des Balkens Für die zweite Hälfte des Balkens liegen die Ordinaten M entlang der Symmetrieachsen. Diagramm M für den Balken ist in Abb. 2 dargestellt. 1.18b. 3. Geometrische Merkmale des Profils (Abb. 1.19). Wir teilen die Figur in zwei einfache Elemente: einen I-Träger - 1 und ein Rechteck - 2. Abb. 1.19 Entsprechend dem Sortiment für I-Träger Nr. 20 gilt für ein Rechteck: Statisches Moment der Querschnittsfläche bezogen auf die z1-Achse Abstand von der z1-Achse zum Schwerpunkt des Profils Trägheitsmoment des Profils relativ zur Hauptmittelachse z des gesamten Abschnitts gemäß den Formeln für den Übergang zu parallelen Achsen gefährlicher Punkt "a" (Abb. 1.19) im gefährlichen Abschnitt I (Abb. 1.18): Nach dem Ersetzen der numerischen Daten 5. Unter dem zulässigen Belastung q im gefährlichen Abschnitt sind die Normalspannungen an den Punkten „a“ und „b“ gleich: Normalspannungen für den gefährlichen Abschnitt 1-1 sind in Abb. 1 dargestellt. 1.19b. Beispiel 1.9 Bestimmen Sie die erforderlichen Querschnittsabmessungen eines Gusseisenträgers (Abb. 1.20.), Nachdem Sie zuvor eine rationale Anordnung des Abschnitts gewählt haben. Entscheidung treffen 1. Bestimmung der Reaktionen der Balkenlager. 2. Konstruktion der Plots Q und M. Plots sind in Abb. 1 dargestellt. 1,20, in, g. Das größte (Modulo-)Biegemoment tritt im Abschnitt „b“ auf. In diesem Abschnitt befinden sich die gestreckten Fasern oben. Der größte Teil des Materials sollte sich in der Dehnungszone befinden. Daher ist es sinnvoll, den Balkenabschnitt wie in Abb. 1.20, geb. 3. Bestimmung der Lage des Profilschwerpunkts (analog zum vorherigen Beispiel): 4. Bestimmung des Trägheitsmoments des Profils relativ zur neutralen Achse: 5. Bestimmung der erforderlichen Trägerabmessungen Ausschnitt aus dem Festigkeitszustand bei Normalbeanspruchung. Bezeichnen Sie mit y jeweils die Abstände von der neutralen Achse zu den am weitesten entfernten Punkten in den Zug- und Druckzonen (für Abschnitt B): , dann sind die Punkte der gestreckten Zone, die am weitesten von der neutralen Achse entfernt sind, gefährlich. Wir bilden die Festigkeitsbedingung für Punkt m in Abschnitt B: oder nach Ersetzen numerischer Werte In diesem Fall betragen die Spannungen am Punkt n, der am weitesten von der neutralen Faser in der komprimierten Zone (in Abschnitt B) entfernt ist, MPa. Diagramm M ist mehrdeutig. Es ist notwendig, die Festigkeit des Balkens in Abschnitt C zu überprüfen. Hier ist das Moment B, aber die unteren Fasern werden gedehnt. gefährlicher Punkt dort wird es Punkt n geben: In diesem Fall werden die Spannungen am Punkt m aus den Berechnungen übernommen Das Diagramm der Normalspannungen für einen gefährlichen Abschnitt C ist in Abb. 2 dargestellt. 1.21. Reis. 1.21 1.5. Hauptbiegespannungen. Vollständiger Nachweis der Trägerfestigkeit Oben werden Beispiele für die Berechnung der Trägerfestigkeit nach Normal- und Schubspannungen betrachtet. In den allermeisten Fällen ist diese Berechnung ausreichend. Bei dünnwandigen Trägern aus I-Trägern, T-Trägern, U- und Kastenprofilen treten jedoch erhebliche Schubspannungen an der Verbindung der Wand mit dem Flansch auf. Dies geschieht in den Fällen, in denen eine erhebliche Querkraft auf den Balken wirkt und es Abschnitte gibt, in denen M und Q gleichzeitig groß sind. Einer dieser Abschnitte ist gefährlich und wird durch die Hauptspannungen unter Verwendung einer der Festigkeitstheorien überprüft. Die Prüfung der Trägerfestigkeit auf Normal-, Tangential- und Hauptspannung wird als Vollfestigkeitsprüfung von Trägern bezeichnet. Eine solche Berechnung wird unten diskutiert. Die wichtigste ist die Berechnung des Balkens nach Normalspannungen. Die Festigkeitsbedingung für Balken, deren Material gleichermaßen zug- und druckfest ist, hat die Form [ ]─ zulässige Normalspannung für das Material. Aus dem Festigkeitszustand (1) bestimmen erforderliche Maße Balkenquerschnitt. Die gewählten Abmessungen des Balkenabschnitts werden auf Schubspannungen überprüft. Die Festigkeitsbedingung für Schubspannungen hat die Form (Formel von D. I. Zhuravsky): wobei Qmax die maximale Querkraft aus dem Q-Diagramm ist; Szots.─ statisches Moment (relativ zur neutralen Achse) des abgeschnittenen Teils des Querschnitts, der sich auf einer Seite der Ebene befindet, auf der die Schubspannungen bestimmt werden; I z ─ Trägheitsmoment des gesamten Querschnitts bezogen auf die neutrale Achse; b─ Balkenquerschnittsbreite auf der Ebene, wo die Schubspannungen bestimmt werden; ─ zulässige Schubspannung des Materials beim Biegen. Der normale Belastungstest bezieht sich auf den am weitesten von der neutralen Achse entfernten Punkt in dem Abschnitt, in dem Mmax gültig ist. Der Scherfestigkeitstest bezieht sich auf einen Punkt, der auf der neutralen Faser in dem Abschnitt liegt, in dem Qmax gültig ist. Bei Trägern mit dünnwandigem Querschnitt (I-Träger usw.) kann ein Punkt in der Wand in dem Querschnitt gefährlich sein, in dem sowohl M als auch Q groß sind. Die Festigkeitsprüfung erfolgt in diesem Fall nach den Hauptbeanspruchungen. Die Haupt- und Extremschubspannungen werden durch analytische Abhängigkeiten aus der Theorie des ebenen Spannungszustands von Körpern bestimmt: Zum Beispiel: Nach der dritten Theorie der größten Schubspannungen haben wir Nach Einsetzen der Werte der Hauptspannungen erhalten wir schließlich (1.23) Nach der vierten Energietheorie der Festigkeit hat die Festigkeitsbedingung die Form (1.24 ) Aus den Formeln (1.6) und (1.7) ist ersichtlich, dass die Bemessungsspannung Eqv davon abhängt. Daher wird ein Element des Balkenmaterials der Überprüfung unterzogen, für das sie gleichzeitig groß sein werden. Dies wird in solchen Fällen durchgeführt: 1) das Biegemoment und die Querkraft reichen der größte Wert im selben Abschnitt; 2) Die Breite des Trägers ändert sich in der Nähe der Kanten des Abschnitts dramatisch (I-Träger usw.). Wenn diese Bedingungen nicht gelten, müssen mehrere Abschnitte berücksichtigt werden, in denen die meisten hohe Werte Äquiv. Beispiel 1.10 Ein geschweißter Träger eines I-Träger-Querschnitts mit einer Spannweite von l = 5 m, frei gelagert an den Enden, wird mit einer gleichmäßig verteilten Last der Intensität q und einer Einzelkraft P 5qa belastet, die im Abstand a = aufgebracht wird 1 m von der rechten Stütze entfernt (Abb. 1.22). Ermitteln Sie die zulässige Belastung des Balkens aus dem Festigkeitszustand für Normalspannungen und prüfen Sie auf Tangential- und Hauptspannungen nach 36 der 4. (Energie-)Festigkeitstheorie. Erstellen Sie Diagramme in einem gefährlichen Abschnitt gemäß den Hauptspannungen und untersuchen Sie den Spannungszustand des ausgewählten Elements in der Wand in der Nähe des Flansches im angegebenen Abschnitt. Zulässige Zug- und Druckspannung: bei Biegung 160 MPa; und für eine Verschiebung von 100 MPa. Reis. 1.22 Lösung 1. Ermittlung der Trägerkräfte: 2. Konstruktion der Diagramme M und Q durch charakteristische Schnitte (Punkte): 3. Berechnung der geometrischen Eigenschaften des Balkenquerschnitts. a) axiales Trägheitsmoment des Profils bezogen auf die neutrale Faser z: 37 b) axiales Widerstandsmoment bezogen auf die neutrale Achse z: 4. Ermittlung der zulässigen Belastung des Balkens aus dem Festigkeitszustand für Normalspannungen: Zulässige Belastung am Balken 5. Überprüfung der Festigkeit des Balkens auf Schubspannungen nach der Formel D.I.Zhuravsky Statisches Halbquerschnittsmoment eines I-Trägers bezogen auf die neutrale Achse z: Querschnittsbreite in Punktebene 3: Maximale Querkraft Maximale Schubspannungen im Träger 6. Überprüfung der Trägerfestigkeit gemäß den Hauptbeanspruchungen. Gefährlich in Bezug auf Hauptspannungen ist der Abschnitt D, in dem M und Q beide groß sind, und die gefährlichen Punkte in diesem Abschnitt sind die Punkte 2 und 4, wo  und  beide groß sind (Abb. 1.23). Für die Punkte 2 und 4 überprüfen wir die Festigkeit für die Hauptspannungen mit der 4. Festigkeitstheorie, wobei  (2) und (2) Normal- bzw. Schubspannungen an Punkt 2 (4) sind (Abb. 1.2). Reis. 1.23 Abstand von der neutralen Achse zum Punkt 2. wobei Sz po (lk ─) das statische Moment des Regals relativ zur neutralen Achse z ist. cm ─ Schnittbreite entlang der Linie durch Punkt 3. Vergleichsspannungen nach der 4. Festigkeitslehre an Punkt 2 des Abschnitts D: Die Festigkeitsbedingung nach der 4. Festigkeitslehre ist erfüllt. 7. Erstellung von Diagrammen der normalen, tangentialen, Haupt- und extremen Schubspannungen im gefährlichen Abschnitt D (basierend auf Hauptspannungen). a) Wir berechnen die Spannungen an den Punkten (1-5) des Abschnitts D nach den entsprechenden Formeln. Punkt 2 (in der Wand) Zuvor wurden die Werte der Normal- und Schubspannungen an Punkt 2 berechnet. Wir finden die Haupt- und Extremschubspannungen an demselben Punkt 2: Punkt 3. Normal- und Schubspannungen bei Punkt 3: Haupt- und Extremschubspannungen bei Punkt 3: Spannungen bei Punkt 4 und 5 finden sich ähnlich Auf Basis der gewonnenen Daten erstellen wir Diagramme, max . 8. Der Spannungszustand des ausgewählten Elements in der Nähe des Punktes 2 in Schnitt D ist in Abb. 8 dargestellt. 1,24, der Neigungswinkel der Hauptplattformen 1,6. Das Konzept des Biegezentrums Wie oben erwähnt, werden Schubspannungen in den Querschnitten dünnwandiger Stäbe während des Biegens (z. B. eines I-Trägers oder eines Kanals) durch die Formel bestimmt. 194 zeigt Diagramme von Schubspannungen in einem I-Profil. Unter Verwendung der in Absatz 63 beschriebenen Technik können Sie 41 auch für den Kanal zeichnen. Betrachten Sie den Fall, wenn die Rinne in die Wand eingebettet ist und am anderen Ende mit einer Kraft P belastet wird, die im Schwerpunkt des Profils angreift. Reis. 1.25 Die Gesamtansicht des Diagramms τ in jedem Schnitt ist in Abb. 1 dargestellt. 1,25 ein. Schubspannungen τу treten in der senkrechten Wand auf. Durch die Einwirkung der Spannungen τу entsteht eine Gesamtquerkraft T2 (Abb. 1.25, b). Vernachlässigen wir die Tangentialspannungen τу in den Regalen, so können wir eine näherungsweise Gleichung schreiben: In horizontalen Regalen treten Schubspannungen τx auf, die horizontal gerichtet sind. Die größte Schubspannung im Flansch τx max ist dabei S1OTS ist das statische Moment der Flanschfläche bezogen auf die Ox-Achse: Die Gesamtschubkraft im Flansch ergibt sich also aus der Fläche des Schubspannungsdiagramms multipliziert mit der Dicke des Gurts. Auf den unteren Gurt wirkt genau die gleiche Querkraft wie auf den oberen, aber sie ist in die entgegengesetzte Richtung gerichtet. Zwei Kräfte T1 bilden mit dem Moment (1.25) ein Paar. Aufgrund der Schubspannungen τу und τх treten also drei innere Schubkräfte auf, die in Abb. 1,25 b. Aus dieser Figur ist ersichtlich, dass die Kräfte T1 und T2 dazu neigen, den Kanalabschnitt relativ zum Schwerpunkt in die gleiche Richtung zu drehen. Reis. 1.25 Demzufolge gibt es im Abschnitt des Kanals ein im Uhrzeigersinn gerichtetes inneres Drehmoment. Wenn also ein U-Balken durch eine Kraft gebogen wird, die am Schwerpunkt des Abschnitts anliegt, verdreht sich der Balken gleichzeitig. Die drei Tangentialkräfte lassen sich auf den Hauptvektor und das Hauptmoment zurückführen. Die Größe des Hauptmoments hängt von der Position des Angriffspunkts der Kräfte ab. Es stellt sich heraus, dass man einen Punkt A wählen kann, bezüglich dessen das Hauptmoment gleich Null ist. Dieser Punkt wird als Mittelpunkt der Biegung bezeichnet. Das Moment der Tangentialkräfte gleich Null setzen: Wir erhalten unter Berücksichtigung des Ausdrucks (1. 25) finden wir schließlich den Abstand von der Achse der senkrechten Wand zum Mittelpunkt der Biegung: Wenn eine äußere Kraft nicht im Schwerpunkt des Abschnitts, sondern in der Mitte der Biegung angreift, wird sie erzeugt das gleiche Moment relativ zum Schwerpunkt, das die inneren Tangentialkräfte erzeugen, jedoch nur mit entgegengesetztem Vorzeichen. Bei einer solchen Belastung (Abb. 1.25, c) verdreht sich der Kanal nicht, sondern biegt sich nur. Aus diesem Grund wird Punkt A als Mittelpunkt der Biegung bezeichnet. Eine ausführliche Darstellung der Berechnung dünnwandiger Stäbe findet sich in Kap. XIII. 1.7. Bestimmung von Verschiebungen in Trägern während des Biegens. Konzepte der Verformung von Balken und Bedingungen ihrer Steifigkeit Unter der Einwirkung einer äußeren Last wird der Balken verformt und seine Achse gebogen. Die Kurve, in die sich die Balkenachse nach dem Aufbringen der Last dreht, wird als elastische Linie bezeichnet, sofern die Spannungen des Balkens die Proportionalitätsgrenze nicht überschreiten. Je nach Belastungsrichtung, Lage der Diagramme kann die elastische Linie eine Ausbuchtung nach oben (Abb. 1.26, a), nach unten (Abb. 1.26, b) oder ein Aggregat (Abb. 1.26, c) aufweisen. In diesem Fall verschieben sich die Schwerpunkte der Querschnitte nach oben bzw. nach unten, und die Profile selbst drehen sich relativ zur neutralen Achse, wobei sie senkrecht zur gekrümmten Achse des Balkens bleiben (Abb. 1.26, a). Genau genommen bewegen sich auch die Schwerpunkte der Querschnitte in Richtung der Balkenlängsachse. Angesichts der geringen Größe dieser Verschiebungen für Balken werden sie jedoch vernachlässigt, d. h. sie berücksichtigen, dass sich der Schwerpunkt des Abschnitts senkrecht zur Achse des Balkens bewegt. Bezeichnen wir diese Verschiebung mit y und verstehen wir sie im Folgenden als Strahlauslenkung (siehe Abb. 1.26). Die Durchbiegung eines Balkens in einem bestimmten Abschnitt ist die Verschiebung des Schwerpunkts des Abschnitts in einer Richtung senkrecht zur Achse des Balkens. Reis. 1.26 Durchbiegungen in verschiedenen Balkenabschnitten hängen von der Position der Abschnitte ab und sind ein variabler Wert. Für einen Balken (Abb. 1.26, a) hat die Durchbiegung also am Punkt B einen Maximalwert und am Punkt D ist sie Null. Wie bereits erwähnt, drehen sich die Abschnitte zusammen mit der Verschiebung des Schwerpunkts des Abschnitts relativ zu der neutralen Achse des Abschnitts. Der Winkel, um den der Abschnitt relativ zu seiner ursprünglichen Position gedreht wird, wird als Rotationswinkel des Abschnitts bezeichnet. Wir bezeichnen den Drehwinkel durch (Abb. 1.26, a). Da beim Biegen eines Balkens der Querschnitt immer senkrecht zu seiner Biegeachse bleibt, kann der Drehwinkel als Winkel zwischen der Tangente an die Biegeachse an einem gegebenen Punkt und der Anfangsachse des Balkens dargestellt werden (Abb. 1. 26, a) oder senkrecht zu den ursprünglichen und gekrümmten Achsen des Strahls an dem betreffenden Punkt. Der Abschnittsrotationswinkel für Balken ist ebenfalls eine Variable. Für einen Balken (Abb. 1.26, b) hat er beispielsweise einen maximalen Wert in Gelenklagern und einen minimalen Wert von 0 für einen Abschnitt, in dem die Durchbiegung einen maximalen Wert hat. Bei einem freitragenden Träger (Abb. 1.26, a) liegt der maximale Drehwinkel an seinem freien Ende, d. h. am Punkt B. Bereitstellen normale Operation Es sind nicht genügend Balken vorhanden, um die Festigkeitsbedingung zu erfüllen. Es ist auch erforderlich, dass die Träger eine ausreichende Steifigkeit aufweisen, dh dass die maximale Durchbiegung und der maximale Drehwinkel die zulässigen Werte nicht überschreiten, die durch die Betriebsbedingungen der Träger bestimmt werden. Diese Position wird als Steifigkeitszustand der Balken beim Biegen bezeichnet. In mathematischer Kurzform haben die Steifigkeitsbedingungen die Form: wobei [y] und dementsprechend die zulässige Durchbiegung und der Drehwinkel. 45 Die zulässige Durchbiegung wird normalerweise als Teil des Abstands zwischen den Stützen des Trägers (Stützweite l) angegeben, d. h. wobei m ein Koeffizient ist, der vom Wert und den Betriebsbedingungen des Systems abhängt, in dem dieser Träger verwendet wird. Dieser Wert wird in jeder Branche des Maschinenbaus durch Konstruktionsnormen bestimmt und variiert in weiten Grenzen. Wie folgt: - für Kranträger m = 400 - 700; - Pro Eisenbahnbrücken m = 1000; - für Drehspindeln m= 1000-2000. Zulässige Rotationswinkel für Balken überschreiten normalerweise 0,001 rad nicht. Die linke Seite der Gleichungen (1.26) enthält die maximale Auslenkung ymax und den Drehwinkel max, die durch Berechnung auf der Grundlage bekannter Methoden bestimmt werden: analytisch, graphisch und graphisch, von denen einige im Folgenden besprochen werden. 1.8. Die Differentialgleichung der gebogenen Balkenachse Unter Einwirkung äußerer Kräfte wird die Balkenachse gebogen (siehe Abb. 1.26, a). Dann kann die Gleichung der gebogenen Achse des Balkens in die Form geschrieben werden und der Drehwinkel  für jeden Abschnitt wird sein gleich dem Winkel die Steigung der Tangente an die gekrümmte Achse an einem bestimmten Punkt. Der Tangens dieses Winkels ist numerisch gleich der Ableitung der Ablenkung entlang der Abszisse des aktuellen Abschnitts x, d.h. Da die Ablenkungen des Strahls klein sind im Vergleich zu seiner Länge l (siehe oben), kann davon ausgegangen werden, dass der Winkel von Drehung (1.27) Bei der Herleitung der Formel für Normalspannungen beim Biegen wurde festgestellt, dass zwischen der Krümmung der neutralen Schicht und dem Biegemoment folgender Zusammenhang besteht: Diese Formel zeigt, dass sich die Krümmung über die Balkenlänge entsprechend ändert dasselbe Gesetz, das den Wert von Mz ändert. Wenn ein Balken konstanten Querschnitts eine reine Biegung erfährt (Abb. 5.27), bei der sich das Moment entlang der Länge nicht ändert, dann seine Krümmung: Daher ist für einen solchen Balken auch der Krümmungsradius ein konstanter Wert und der Balken darin Fall wird sich entlang eines Kreisbogens biegen. Im allgemeinen Fall ist es jedoch nicht möglich, das Gesetz der Krümmungsänderung direkt anzuwenden, um Durchbiegungen zu bestimmen. Zur analytischen Lösung des Problems verwenden wir den aus der Mathematik bekannten Krümmungsausdruck. (1.29) Durch Einsetzen von (1.28) in (1.29) erhalten wir das exakte Differentialgleichung gekrümmte Trägerachse: . (1.30) Gleichung (1.30) ist nichtlinear, und ihre Integration ist mit großen Schwierigkeiten verbunden. Bedenkt man, dass Durchbiegungen und Drehwinkel für reale Träger im Maschinenbau, Bauwesen etc. klein, der Wert kann vernachlässigt werden. In Anbetracht dessen, sowie der Tatsache, dass für das rechte Koordinatensystem Biegemoment und Krümmung das gleiche Vorzeichen haben (Abb. 1.26), kann für das rechte Koordinatensystem das Minuszeichen in Gleichung (1.26) weggelassen werden. Dann hat die angenäherte Differentialgleichung die Form 1,9. Direkte Integrationsmethode Diese Methode basiert auf der Integration von Gleichung (1.31) und ermöglicht es Ihnen, die Gleichung der elastischen Achse des Balkens in Form von Durchbiegungen y f (x) und die Gleichung der Drehwinkel zu erhalten. Durch Integration von Gleichung (1.31) erstmals erhalten wir die Drehwinkelgleichung (1.32) mit C als Integrationskonstante . Durch ein zweites Integrieren erhalten wir die Ablenkungsgleichung, wobei D die zweite Integrationskonstante ist. Die Konstanten C und D werden aus den Randbedingungen der Stütze des Balkens und den Randbedingungen seiner Abschnitte bestimmt. Für einen Balken (Abb. 1.26, a) sind also an der Einbettungsstelle (x l) die Durchbiegung und der Drehwinkel des Abschnitts gleich Null und für den Balken (siehe Abb. 1.26, b) die Durchbiegung y und Durchbiegung yD 0, bei x .l eines aufgelagerten Trägers mit Konsolen (Bild 1.28), wenn der Koordinatenursprung auf das Ende des linken Auflagers ausgerichtet ist und das rechte Koordinatensystem gewählt wird, nehmen die Randbedingungen die Form an unter Berücksichtigung der Randbedingungen werden die Integrationskonstanten bestimmt. Nach Einsetzen der Integrationskonstanten in die Drehwinkelgleichungen (1.32) und Durchbiegungen (1.33) werden die Drehwinkel und Durchbiegungen des gegebenen Schnitts berechnet. 1.10. Beispiele für die Bestimmung von Verschiebungen in Balken durch direkte Integration Beispiel 1.11 Bestimmen Sie die maximale Durchbiegung und den Drehwinkel für einen freitragenden Balken (Abb. 1.26, a). Lösung Der Koordinatenursprung wird am linken Balkenende ausgerichtet. Das Biegemoment in einem beliebigen Schnitt im Abstand x vom linken Balkenende berechnet sich nach der Formel Unter Berücksichtigung des Moments hat die näherungsweise Differentialgleichung die Form Integrierend zum ersten Mal gilt (1.34) Integrierend für die zweites Mal der gefundenen Integrationskonstanten C und D sieht die Gleichung der Drehwinkel und Auslenkungen so aus: Bei (siehe Abb. 1.26, a) haben Drehwinkel und Auslenkung Maximalwerte: Stundenzeiger. Ein negativer y-Wert bedeutet, dass sich der Schwerpunkt des Abschnitts nach unten bewegt. 1.11. Die physikalische Bedeutung der Integrationskonstanten Wenn wir uns den Gleichungen (1.32), (1.33) und (1.34), (1.35) der oben betrachteten Beispiele zuwenden, ist es leicht zu sehen, dass sie für x 0 folgen. Daraus können wir schließen die Integrationskonstanten C und D sind jeweils das Produkt aus der Steifigkeit des Balkens, dem Drehwinkel 0 und der Durchbiegung y0 im Ursprung. Die Abhängigkeiten (1.36) und (1.37) gelten immer für Balken mit einem Belastungsschnitt, wenn wir das Biegemoment aus den zwischen Schnitt und Ursprung liegenden Kräften berechnen. Dasselbe gilt für Balken mit beliebig vielen Belastungsabschnitten, wenn man spezielle Verfahren zur Integration der Differentialgleichung der Biegeachse des Balkens anwendet, auf die weiter unten eingegangen wird. 1.12. Methode der Anfangsparameter (allgemeine Gleichung der Biegeachse des Balkens) Bei der Bestimmung von Durchbiegungen und Drehwinkeln durch direkte Integration müssen zwei Integrationskonstanten C und D gefunden werden, auch wenn der Balken einen Belastungsabschnitt hat. In der Praxis werden Träger mit mehreren Belastungsbereichen verwendet. In diesen Fällen wird das Gesetz des Biegemoments in verschiedenen Belastungsbereichen unterschiedlich sein. Dann muss die Differentialgleichung der gekrümmten Achse für jeden der Balkenabschnitte zusammengestellt werden und für jeden von ihnen müssen ihre Integrationskonstanten C und D gefunden werden. Wenn der Balken n Belastungsabschnitte hat, ist die Anzahl der Integrationskonstanten offensichtlich gleich der doppelten Anzahl der Abschnitte. Um sie zu bestimmen, müssen 2 Gleichungen gelöst werden. Diese Aufgabe ist arbeitsintensiv. Zur Lösung von Problemen mit mehr als einem Ladebereich hat sich das Verfahren der Anfangsparameter, das eine Weiterentwicklung des direkten Integrationsverfahrens ist, durchgesetzt. Es stellt sich heraus, dass es durch Einhaltung bestimmter Bedingungen, Methoden zum Erstellen und Integrieren von Gleichungen über Abschnitte möglich ist, die Anzahl der Integrationskonstanten unabhängig von der Anzahl der Belastungsabschnitte auf zwei zu reduzieren, die die Auslenkung und den Drehwinkel bei der darstellen Ursprung. Betrachten Sie das Wesen dieser Methode am Beispiel eines freitragenden Balkens (Abb. 1.28), der mit einer beliebigen Last belastet ist, aber in jedem Abschnitt des Balkens ein positives Moment erzeugt. Gegeben sei ein Balken mit konstantem Querschnitt, wobei der Querschnitt eine Symmetrieachse hat, die mit der y-Achse zusammenfällt, und die gesamte Last sich in einer Ebene befindet, die durch diese Achse verläuft. Stellen wir uns die Aufgabe, Abhängigkeiten zu ermitteln, die den Drehwinkel und die Ablenkung eines beliebigen Strahlabschnitts bestimmen. Reis. 1.29 Beim Lösen von Problemen werden wir uns einigen: 1. Der Koordinatenursprung wird dem linken Ende des Balkens zugeordnet und ist für alle Abschnitte gleich. 2. Das Biegemoment in einem beliebigen Schnitt wird immer für den Balkenabschnitt berechnet, der sich links vom Schnitt befindet, d. h. zwischen dem Ursprung und dem Schnitt. 3. Die Integration der Differentialgleichung der gekrümmten Achse auf allen Segmenten wird durchgeführt, ohne die Klammern einiger Ausdrücke zu öffnen, die Klammern enthalten. So erfolgt beispielsweise die Integration eines Ausdrucks der Form P x(b) ohne Klammeröffnung, und zwar nach folgender Formel: Die Integration nach dieser Formel unterscheidet sich von der Integration mit vorläufiger Klammeröffnung nur durch den Wert von an Willkürliche Konstante. 4. Bei der Zusammenstellung des Ausdrucks für das Biegemoment in einem beliebigen Schnitt, verursacht durch das äußere konzentrierte Moment M, werden wir den Faktor (x)a0 1 hinzufügen. Unter Beachtung dieser Regeln stellen und integrieren wir für jeden der fünf in Abb. 1,28 in römischen Ziffern. Die angenäherte Differentialgleichung für diese Abschnitte hat die gleiche Form: (1.38), aber für jeden Abschnitt hat das Biegemoment sein eigenes Änderungsgesetz. Die Biegemomente für Abschnitte haben die Form: Wenn wir die Ausdrücke des Biegemoments in Gleichung (1.38) einsetzen, erhalten wir für jeden der Abschnitte nach der Integration zwei Gleichungen: die Gleichung der Rotationswinkel und die Gleichung der Durchbiegungen, die ihre enthalten zwei Integrationskonstanten Ci und Di . Angesichts der Tatsache, dass der Strahl fünf Abschnitte hat, gibt es zehn solcher Integrationskonstanten. Berücksichtigt man jedoch, dass die Biegeachse des Trägers eine durchgehende und elastische Linie ist, dann haben an den Grenzen benachbarter Abschnitte die Durchbiegung und der Drehwinkel die gleichen Werte, d. h. at usw. Dadurch wird von a Vergleich der Gleichungen der Drehwinkel und Auslenkungen benachbarter Abschnitte ergibt sich, dass die Integrationskonstanten Zur Lösung des Problems müssen also statt zehn Integrationskonstanten nur zwei Integrationskonstanten C und D bestimmt werden. Aus der Betrachtung der Integralgleichungen des ersten Abschnitts folgt für x 0: d.h. sie repräsentieren dieselben Abhängigkeiten (1.36) und (1.37). Die Anfangsparameter 0 und y0 о werden aus den Randbedingungen bestimmt, die im vorigen Abschnitt diskutiert wurden. Wenn wir die erhaltenen Ausdrücke für die Drehwinkel und Auslenkungen y analysieren, sehen wir das am meisten generelle Form Gleichungen entspricht dem fünften Abschnitt. Unter Berücksichtigung der Integrationskonstanten haben diese Gleichungen die Form: Die erste dieser Gleichungen stellt die Gleichung der Drehwinkel dar und die zweite - Auslenkungen. Da auf einen Balken mehr als eine Einzelkraft wirken kann, ein Moment oder ein Balken mehr als einen Abschnitt mit Streckenlast haben kann, werden die Gleichungen (1.38), (1.39) für den allgemeinen Fall in der Form geschrieben: Gleichungen ( 1.41), (1.42) werden als allgemeine Gleichungen gekrümmte Balkenachse bezeichnet. Die erste dieser Gleichungen ist die Drehwinkelgleichung und die zweite die Ablenkungsgleichung. Mit Hilfe dieser Gleichungen lassen sich die Durchbiegungen und Drehwinkel der Profile für beliebige statisch bestimmte Träger bestimmen, für die die Steifigkeit über ihre Länge konstant ist EI  const. In den Gleichungen (1.41), (1.42): M , P , q , qx ─ äußere Belastung, die zwischen dem Koordinatenursprung und dem Abschnitt liegt, in dem die Verschiebungen bestimmt werden (Drehwinkel und Durchbiegung); a, b, c, d ─ Entfernungen vom Koordinatenursprung zu den jeweiligen Angriffspunkten des Moments M, der konzentrierten Kraft P, des Beginns einer gleichmäßig verteilten Last und des Beginns einer ungleichmäßig verteilten Last. Zu beachten ist: 53 1. Bei entgegengesetzter Richtung der äußeren Belastung, die bei der Ableitung universeller Gleichungen akzeptiert wird, ändert sich das Vorzeichen vor dem entsprechenden Term der Gleichungen ins Gegenteil, also ins Minus. 2. Die letzten beiden Terme der Gleichungen (1.41), (1.42) gelten nur, wenn die Streckenlast nicht vor dem Abschnitt bricht, in dem die Durchbiegung und der Drehwinkel bestimmt werden. Wenn die Last diesen Abschnitt nicht erreicht, muss sie zu diesem Abschnitt fortgesetzt werden und gleichzeitig die gleiche verteilte Last, aber mit entgegengesetztem Vorzeichen, zum verlängerten Abschnitt hinzufügen, diese Idee wird in Abb. 1.30. Die gepunktete Linie zeigt die hinzugefügte Streckenlast auf dem verlängerten Abschnitt. Reis. 1.30 Bei der Bestimmung der Drehwinkel  und der Auslenkungen y sollte der Koordinatenursprung am linken Balkenende liegen, wobei die y-Achse nach oben und die x-Achse ─ nach rechts zeigen. In die Gleichung der Drehwinkel und Auslenkungen gehen nur die Kräfte ein, die links vom Schnitt stehen, also auf dem Abschnitt des Balkens zwischen dem Ursprung und dem Abschnitt, in dem die Durchbiegung und der Drehwinkel bestimmt werden (einschließlich der Kräfte, die in dem mit dem Ursprung zusammenfallenden Abschnitt wirken). 1.13. Beispiele zur Bestimmung von Verschiebungen in einem Balken mit der Methode der Anfangsparameter Beispiel 1.12 Bestimmen Sie für einen Balken (Abb. 1.31), der am linken Ende eingeklemmt und mit einer konzentrierten Kraft P belastet ist, den Drehwinkel und die Auslenkung am Angriffspunkt von die Kraft, sowie das freie Ende (Abschnitt D). Balkensteifigkeit Abb. 1.31 Lösung der Gleichgewichtsgleichung der Statik: 1) Beachten Sie, dass das Reaktionsmoment gegen den Uhrzeigersinn gerichtet ist, also mit einem Minuszeichen in die Gleichung der gekrümmten Achse eingeht. 2. Wir kombinieren den Koordinatenursprung mit Punkt B und stellen die Anfangsparameter ein. Beim Einklemmen ()B fehlen Auslenkung und Drehwinkel, d.h. 0 0. Wir schreiben die Gleichung der Drehwinkel und Auslenkungen für einen beliebigen Abschnitt des zweiten Abschnitts auf, befindet sich im Abstand x vom Ursprung Unter Berücksichtigung der Reaktionskräfte sowie der Null-Anfangsparameter haben diese Gleichungen die Form Drehen auf der rechten Stütze eines Balkens, der in der Mitte der Spannweite mit einer konzentrierten Kraft belastet ist (Abb. 1.32). Lösung 1. Auflagerkräfte bestimmen Aus den Gleichungen der Statik ergibt sich B 2. Legen Sie den Ursprung am linken Balkenende (Punkt B). Reis. 1.32 3. Legen Sie die Anfangsparameter fest. Durchbiegung am Ursprung By0, da die Stütze keine vertikale Bewegung zulässt. Zu beachten ist, dass bei einer federbelasteten Abstützung die Durchbiegung am Ursprung gleich dem Verzug der Federverformung wäre. Der Drehwinkel im Ursprung ist ungleich Null, d.h. 4. Bestimmen Sie den Drehwinkel im Ursprung 0 . Dazu verwenden wir die Bedingung, dass bei x l die Durchbiegung gleich Null ist yD 0: 3 Da der Träger symmetrisch zur Last P ist, ist der Drehwinkel am rechten Träger gleich dem Drehwinkel am linke Unterstützung. 2 BD 16z Pl EI . Die maximale Durchbiegung wird in der Mitte des Balkens bei x sein. Beispiel 1.14 Bestimmen Sie die Durchbiegung in Feldmitte und am rechten Trägerende (Bild 1.33), wenn der Träger aus einem I-Träger Nr. 10 (Trägheitsmoment Iz 198 csmm4) besteht, belastet mit einer verteilten Last q 2, N / m, konzentriertes Moment M Kraft. P kkNN Abb. 1.33 Lösung 1 . Wir bestimmen die Auflagerreaktionen Von wo Überprüfung der Richtigkeit der Bestimmung der Reaktionen 2. Wir kombinieren den Koordinatenursprung mit dem Punkt B und stellen die Anfangsparameter ein. Von Abb. 1.33 folgt, dass im Koordinatenursprung die Auslenkung y0 0 und der Drehwinkel. 57 3. Bestimmen Sie die Anfangsparameter y0 und 0 . Dazu verwenden wir die Randbedingungen, die bei: Um die Randbedingungen zu implementieren, stellen wir die Gleichung einer gekrümmten Achse auf. für zwei Abschnitte: Abschnitt BC 0 mm1: Bei der Erstellung dieser Gleichung wurde berücksichtigt, dass die Streckenlast im Punkt C abgeschnitten wurde, daher wurde sie gemäß dem oben Gesagten fortgeführt und eine Ausgleichslast in gleicher Größe eingeführt im erweiterten Abschnitt, aber in die entgegengesetzte Richtung. Unter Berücksichtigung der Randbedingungen (Punkt 3) und der Belastung haben die Gleichungen (1.43) und (1.44) die Form: Aus der gemeinsamen Lösung dieser Gleichungen ergibt sich 4. Wir ermitteln die Durchbiegung in den Abschnitten K und E. Für den Abschnitt K bei x 2 mm haben wir 1,14. Bestimmung von Bewegungen nach der Mohr-Methode Regel A.K. Das Verfahren von Vereshchagin Mohr ist ein allgemeines Verfahren zur Bestimmung von Verschiebungen in linear verformbaren Stabsystemen. Die Definition der Verschiebungen (linear, winklig) in den berechneten Abschnitten erfolgt nach der Mohr-Formel (Integral), die auf der Grundlage des Satzes über die Reziprozität der Arbeit (Satz von Betti) und des Satzes über die Reziprozität leicht zu erhalten ist von Verschiebungen (Satz von Maxwell). Gegeben sei zum Beispiel ein flachelastisches System in Form eines Balkens (Abb. 1.34), der mit einer flach ausgeglichenen willkürlichen Last belastet wird. Der gegebene Zustand des Systems wird Ladungszustand genannt und mit dem Buchstaben P bezeichnet. Unter der Einwirkung einer äußeren Last treten Verformungen auf, und es treten Verschiebungen am Punkt K auf, insbesondere in Richtung senkrecht zur Achse - Durchbiegung cr. Wir führen einen neuen (Hilfs-)Zustand des gleichen Systems ein, aber belastet am Punkt K in Richtung der gewünschten Verschiebung  (cr) durch eine einzige dimensionslose Kraft (Abb. 1.34). Dieser Zustand des Systems wird mit dem Buchstaben i bezeichnet und als Einzelzustand bezeichnet. 59 Abb. 1.34 Basierend auf dem Satz von Betti mögliche Arbeit Ladungszustandskräfte pi A und Einzelzustandskräfte pi A sind gleich (1.45) 1.45) haben wir (1.48) wobei M p , Qp, Np ─ bzw. das Biegemoment, Quer- und Längskräfte, die im System von außen entstehen Belastung; Mi, Qi, Ni sind jeweils das Biegemoment, die Quer- und die Längskräfte, die im System aus einer Einheitslast entstehen, die in Richtung der ermittelten Verschiebung aufgebracht wird; k ─ Beiwert unter Berücksichtigung der Ungleichmäßigkeit der Schubspannungen über den Querschnitt; I ─ axiales Trägheitsmoment um die Hauptmittelachse; A─ Querschnittsfläche der Stange im Schnitt; 60 E , G ─ Elastizitätsmodule des Materials. Die ungleichmäßige Verteilung der Schubspannungen im Profil hängt von der Form des Profils ab. Für Rechteck- und Dreiecksquerschnitt k 1,2, Kreisquerschnitt k 1,11, Kreisringquerschnitt k 2. Mit Formel (1.48) lässt sich die Verschiebung an jedem beliebigen Punkt eines ebenen elastischen Systems bestimmen. Bei der Ermittlung der Durchbiegung im Schnitt (K) setzen wir an dieser Stelle eine Einheitskraft (dimensionslos) an. Bei der Bestimmung des Drehwinkels des Abschnitts im Punkt K muss ein einziges dimensionsloses Moment aufgebracht werden