Sie machen es durch 0. Kann man durch null teilen? Als Null erschien

Warum kann man nicht durch Null teilen? 16. April 2018

Also, wir haben kürzlich darüber gesprochen. Hier ist eine weitere interessante Aussage. "Du kannst nicht durch Null teilen!" - Die meisten Schulkinder merken sich diese Regel auswendig, ohne Fragen zu stellen. Alle Kinder wissen, was „nein“ ist und was passiert, wenn man darauf mit „Warum?“ fragt. Hier ist, was passiert, wenn

Aber tatsächlich ist es sehr interessant und wichtig zu wissen, warum es unmöglich ist.

Die Sache ist die, dass die vier Operationen der Arithmetik – Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division – tatsächlich ungleich sind. Mathematiker erkennen nur zwei davon als vollwertig an - Addition und Multiplikation. Diese Operationen und ihre Eigenschaften sind in der eigentlichen Definition des Zahlenbegriffs enthalten. Alle anderen Aktionen sind auf die eine oder andere Weise aus diesen beiden aufgebaut.

Betrachten Sie zum Beispiel die Subtraktion. Was bedeutet 5 - 3? Der Schüler wird darauf einfach antworten: Sie müssen fünf Gegenstände nehmen, drei davon wegnehmen (entfernen) und sehen, wie viele übrig bleiben. Aber Mathematiker sehen dieses Problem ganz anders. Es gibt keine Subtraktion, nur Addition. Daher bedeutet das Schreiben von 5 - 3 eine Zahl, die, wenn sie zur Zahl 3 addiert wird, die Zahl 5 ergibt. Das heißt, 5 - 3 ist nur eine abgekürzte Notation der Gleichung: x + 3 = 5. Es gibt keine Subtraktion diese Gleichung. Es gibt nur eine Aufgabe - eine passende Nummer zu finden.

Dasselbe gilt für Multiplikation und Division. Rekord 8:4 lässt sich als Ergebnis der Teilung von acht Objekten in vier gleiche Stapel verstehen. Aber in Wirklichkeit ist dies nur eine verkürzte Form der Gleichung 4 x = 8.

Hier wird deutlich, warum es unmöglich (oder besser gesagt unmöglich) ist, durch Null zu teilen. Datensatz 5: 0 ist die Abkürzung für 0 x = 5. Das heißt, diese Aufgabe besteht darin, eine Zahl zu finden, die, wenn sie mit 0 multipliziert wird, 5 ergibt. Aber wir wissen, dass Sie, wenn sie mit 0 multipliziert wird, immer 0 erhalten. Dies ist eine inhärente Eigenschaft von Null, genau genommen, Teil seiner Definition.

Es gibt einfach keine solche Zahl, die, wenn sie mit 0 multipliziert wird, etwas anderes als Null ergibt. Das heißt, unser Problem hat keine Lösung. (Ja, es kommt vor, nicht jedes Problem hat eine Lösung.) Das Schreiben von 5: 0 entspricht also keiner bestimmten Zahl, und es steht einfach für nichts und macht daher keinen Sinn. Die Sinnlosigkeit dieses Eintrags wird kurz damit ausgedrückt, dass man nicht durch Null teilen kann.

Die aufmerksamsten Leser werden sich an dieser Stelle sicherlich fragen: Kann man Null durch Null teilen? Tatsächlich wird die Gleichung 0 · x = 0 erfolgreich gelöst. Zum Beispiel können wir x = 0 nehmen und erhalten dann 0 · 0 = 0. Also 0: 0=0? Aber beeilen wir uns nicht. Versuchen wir x = 1 zu nehmen. Wir erhalten 0 1 = 0. Richtig? Also 0:0 = 1? Aber Sie können auf diese Weise eine beliebige Zahl nehmen und erhalten 0: 0 = 5, 0: 0 = 317 usw.

Aber wenn irgendeine Zahl geeignet ist, dann haben wir keinen Grund, uns für eine von ihnen zu entscheiden. Das heißt, wir können nicht sagen, welcher Zahl der Eintrag 0: 0 entspricht, und wenn ja, dann müssen wir zugeben, dass dieser Eintrag auch keinen Sinn macht. Es stellt sich heraus, dass selbst Null nicht durch Null geteilt werden kann. (In der mathematischen Analyse gibt es Fälle, in denen aufgrund zusätzlicher Bedingungen des Problems eine der möglichen Lösungen der Gleichung 0 x = 0 bevorzugt werden kann; in solchen Fällen sprechen Mathematiker von "Offenlegung der Unsicherheit", aber solche Fälle tun es nicht in der Arithmetik vorkommen.)

Dies ist das Merkmal der Divisionsoperation. Genauer gesagt haben die Multiplikationsoperation und die ihr zugeordnete Zahl Null.

Nun, die Akribischsten, die bis zu diesem Punkt gelesen haben, mögen sich fragen: Warum kann man nicht durch Null dividieren, aber Null subtrahieren? In gewisser Weise beginnt hier echte Mathematik. Sie kann nur beantwortet werden, indem man sich mit den formalen mathematischen Definitionen numerischer Mengen und Operationen an ihnen vertraut macht.

Null selbst ist eine sehr interessante Zahl. An sich bedeutet es Leere, das Fehlen von Bedeutung, und neben einer anderen Zahl erhöht es seine Bedeutung um das Zehnfache. Alle Zahlen bis zum Nullgrad ergeben immer 1. Dieses Zeichen wurde bereits in der Maya-Zivilisation verwendet und bezeichnete auch das Konzept von „Anfang, Grund“. Sogar der Kalender begann bei Tag Null. Und diese Zahl ist mit einem strikten Verbot verbunden.

Seit der Grundschulzeit haben wir alle die Regel „Durch Null darf nicht geteilt werden“ gelernt. Aber wenn Sie in der Kindheit viel vom Glauben nehmen und die Worte eines Erwachsenen selten Zweifel hervorrufen, dann möchten Sie mit der Zeit manchmal immer noch die Gründe verstehen, verstehen, warum bestimmte Regeln aufgestellt wurden.

Warum kann man nicht durch Null teilen? Ich hätte gerne eine klare logische Erklärung für diese Frage. In der ersten Klasse konnten die Lehrer das nicht, weil in Mathematik die Regeln mit Hilfe von Gleichungen erklärt werden und wir in diesem Alter keine Ahnung hatten, was das war. Und jetzt ist es an der Zeit, es herauszufinden und eine klare logische Erklärung dafür zu bekommen, warum man nicht durch Null teilen kann.

Tatsache ist, dass in der Mathematik nur zwei der vier Grundoperationen (+, -, x, /) mit Zahlen als unabhängig anerkannt werden: Multiplikation und Addition. Die übrigen Geschäfte gelten als Derivate. Betrachten wir ein einfaches Beispiel.

Sag mir, wie viel wird es ergeben, wenn 18 von 20 abgezogen wird? Natürlich entsteht sofort die Antwort in unserem Kopf: Es wird 2 sein. Und wie sind wir zu einem solchen Ergebnis gekommen? Für manche wird diese Frage seltsam erscheinen - schließlich ist alles klar, dass es 2 werden wird, jemand wird erklären, dass er 18 von 20 Kopeken genommen hat und zwei Kopeken bekommen hat. Logischerweise sind all diese Antworten nicht zweifelhaft, aber aus mathematischer Sicht sollte dieses Problem anders gelöst werden. Erinnern wir uns noch einmal daran, dass die Hauptoperationen in der Mathematik Multiplikation und Addition sind, und daher liegt die Antwort in unserem Fall in der Lösung der folgenden Gleichung: x + 18 = 20. Daraus folgt, dass x = 20 - 18, x = 2 . Es scheint, warum alles so detailliert malen? Schließlich ist alles so einfach. Ohne dies ist es jedoch schwierig zu erklären, warum es unmöglich ist, durch Null zu teilen.

Sehen wir uns nun an, was passiert, wenn wir 18 durch Null teilen wollen. Stellen wir die Gleichung noch einmal auf: 18: 0 = x. Da die Divisionsoperation eine Ableitung der Multiplikationsprozedur ist, erhalten wir durch Transformation unserer Gleichung x * 0 = 18. Hier beginnt die Sackgasse. Jede Zahl anstelle von x, wenn sie mit Null multipliziert wird, ergibt 0, und es wird uns nicht gelingen, 18 zu erhalten. Jetzt wird sehr deutlich, warum man nicht durch Null teilen kann. Null selbst kann durch eine beliebige Zahl geteilt werden, aber umgekehrt - leider ist es unmöglich.

Was passiert, wenn Null durch sich selbst geteilt wird? Dies kann in dieser Form geschrieben werden: 0: 0 = x, oder x * 0 = 0. Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen. Das Endergebnis ist also unendlich. Daher ist die Operation auch in diesem Fall nicht sinnvoll.

Die Division durch 0 ist die Wurzel vieler imaginärer mathematischer Witze, die, wenn gewünscht, jeden Unwissenden verwirren können. Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung: 4 * x - 20 \u003d 7 * x - 35. Wir nehmen auf der linken Seite 4 aus Klammern und auf der rechten Seite 7. Wir erhalten: 4 * (x - 5) \u003d 7 * (x - 5). Jetzt multiplizieren wir die linke und rechte Seite der Gleichung mit dem Bruch 1 / (x - 5). Die Gleichung hat folgende Form: 4 * (x - 5) / (x - 5) \u003d 7 * (x - 5) / (x - 5). Wir reduzieren die Brüche um (x - 5) und erhalten 4 \u003d 7. Daraus können wir schließen, dass 2 * 2 \u003d 7! Der Haken dabei ist natürlich, dass es gleich 5 ist und es unmöglich war, Brüche zu kürzen, da dies zur Division durch Null führte. Achten Sie daher beim Kürzen von Brüchen immer darauf, dass nicht versehentlich die Null im Nenner steht, da sich das Ergebnis sonst als völlig unvorhersehbar herausstellt.

Warum kann man nicht durch Null teilen? Wer hat es verboten? Die Schule verbietet uns hartnäckig, durch Null zu teilen, aber sobald wir die Schwelle der Universität überschreiten, wird ein Ablass gewährt. Was in der Schule als Tabu galt, ist jetzt möglich. Sie können durch Null teilen, um unendlich zu erhalten. Höhere Mathematik … Na ja, fast.

Geschichte und Philosophie der Null

Tatsächlich verfolgte die Geschichte der Division durch Null ihre Erfinder (a). Aber Inder sind Philosophen, die an abstrakte Probleme gewöhnt sind. Was bedeutet es, durch nichts zu dividieren? Für die damaligen Europäer existierte eine solche Frage überhaupt nicht, da sie Null oder negative Zahlen (die auf der Skala links von Null stehen) nicht kannten.

In Indien war es kein Problem, eine größere von einer kleineren zu subtrahieren und eine negative Zahl zu erhalten. Was bedeutet schließlich 3-5 \u003d -2 im normalen Leben? Das bedeutet, dass jemand jemandem 2 schuldete. Es wurden negative Zahlen genannt Schulden.

Lassen Sie uns nun genauso einfach das Problem der Division durch Null behandeln. Damals im Jahr 598 n. Chr. (denken Sie nur daran, wie lange das her ist, vor mehr als 1400 Jahren!) In Indien wurde der Mathematiker Brahmagupta geboren, der sich auch über das Teilen durch Null Gedanken machte.

Er schlug vor, dass, wenn wir eine Zitrone nehmen und anfangen, sie in Stücke zu schneiden, wir früher oder später feststellen werden, dass die Scheiben sehr klein sein werden. In der Vorstellung können wir den Punkt erreichen, an dem die Segmente gleich Null werden. Die Frage ist also, wenn Sie eine Zitrone nicht in 2, 4 oder 10 Teile teilen, sondern in unendlich viele Teile, wie groß sind die Scheiben? Sie erhalten unendlich viele "Nullscheiben". Alles ist ganz einfach, wir schneiden die Zitrone sehr fein, wir bekommen eine Pfütze mit unendlich vielen Teilen - Zitronensaft.

Stellen Sie sich einfach die Frage:

Wenn die Division durch Unendlich Null ergibt, dann muss die Division durch Null Unendlich ergeben.

x/ ∞=0 bedeutet x/0=∞

Nimmt man aber die Mathematik auf, stellt sich das irgendwie unlogisch heraus:

a*0=0? Was ist, wenn b*0=0? Also: a*0=b*0

Und ab hier: a=b

Das heißt, jede Zahl ist gleich jeder Zahl. Die erste Unkorrektheit der Division durch Null, weiter geht's. In der Mathematik gilt die Division als Umkehrung der Multiplikation. Das heißt, wenn wir 4 durch 2 teilen, Wir müssen die Zahl finden, die, wenn sie mit 2 multipliziert wird, 4 ergibt.

Teilen Sie 4 durch Null - Sie müssen eine Zahl finden, die bei Multiplikation mit Null 4 ergibt. Das heißt, x * 0 \u003d 4? Aber x*0=0! Wieder Pech. Also fragen wir: "Wie viele Nullen musst du nehmen, um 4 zu bekommen?" Unendlichkeit? Eine unendliche Anzahl von Nullen summiert sich immer noch zu Null.

Und das Teilen von 0 durch 0 führt im Allgemeinen zu Unsicherheit, weil 0 * x \u003d 0, wobei x überhaupt etwas ist. Das heißt, unendlich viele Lösungen.

Die Unlogik und Abstraktheit von Operationen mit Null ist im engen Rahmen der Algebra nicht erlaubt, genauer gesagt handelt es sich um eine unbestimmte Operation. Es braucht einen ernsthafteren Apparat - höhere Mathematik. In gewisser Weise können Sie also nicht durch Null dividieren, aber wenn Sie wirklich wollen, können Sie durch Null dividieren, aber Sie müssen bereit sein, Dinge wie die Dirac-Delta-Funktion und andere Dinge zu verstehen, die schwer zu verstehen sind. Teilen für die Gesundheit.

Eine einfache Erklärung aus dem Leben

Hier ist ein echtes Rätsel für Sie. Nehmen wir an, wir wollen berechnen, wie lange es dauert, 10 Kilometer zu laufen. Also Geschwindigkeit * Zeit = Weg (S=Vt). Um die Zeit zu ermitteln, teilen Sie die Entfernung durch die Geschwindigkeit (t=S/V). Was passiert, wenn wir 0 Geschwindigkeit haben? t=10/0. Es wird unendlich sein!

Wir stehen still, die Geschwindigkeit ist null, und mit dieser Geschwindigkeit werden wir für immer die 10-km-Marke erreichen. Die Zeit wird also … t=∞ sein. Hier haben wir Unendlichkeit!

Und in diesem Beispiel können Sie durch Null teilen, die Lebenserfahrung erlaubt es. Schade, dass Lehrer in der Schule so etwas nicht so einfach erklären können.

Sie sagen, dass Sie durch Null dividieren können, wenn Sie das Ergebnis der Division durch Null bestimmen. Man muss nur die Algebra erweitern. Durch einen seltsamen Zufall ist es nicht möglich, zumindest einige, aber besser verständliche und einfache Beispiele für eine solche Erweiterung zu finden. Um das Internet zu reparieren, benötigen Sie entweder eine Demonstration einer der Methoden für eine solche Erweiterung oder eine Beschreibung, warum dies nicht möglich ist.

Der Artikel ist in Fortsetzung des Trends geschrieben:

Haftungsausschluss

Der Zweck dieses Artikels ist es, in "menschlicher Sprache" zu erklären, wie die grundlegenden Grundlagen der Mathematik funktionieren, Wissen zu strukturieren und die übersehenen Ursache-Wirkungs-Beziehungen zwischen Teilbereichen der Mathematik wiederherzustellen. Alle Argumente sind philosophischer Natur, sie weichen in ihren Urteilen von allgemein akzeptierten ab (daher erhebt sie keinen Anspruch auf mathematische Strenge). Der Artikel ist für das Niveau des Lesers "vor vielen Jahren am Turm vorbei" konzipiert.

Das Verständnis der Prinzipien von Arithmetik, elementarer, allgemeiner und linearer Algebra, mathematischer und nicht standardmäßiger Analysis, Mengenlehre, allgemeiner Topologie, projektiver und affiner Geometrie ist wünschenswert, aber nicht erforderlich.

Während der Experimente wurde keine einzige Unendlichkeit beeinflusst.

Prolog

„Jenseits“ zu gehen ist ein natürlicher Prozess der Suche nach neuem Wissen. Doch nicht jede Suche bringt neue Erkenntnisse und damit Nutzen.

1. Generell ist uns schon alles zugeteilt!

1.1 Affine Erweiterung des Zahlenstrahls

Beginnen wir damit, wo wahrscheinlich alle Abenteurer beim Teilen durch Null anfangen. Rufen Sie den Graphen der Funktion auf .

Links und rechts von Null geht die Funktion in unterschiedliche Richtungen der „Nicht-Existenz“. Ganz am Nullpunkt gibt es im Allgemeinen einen „Whirlpool“ und es ist nichts zu sehen.

Anstatt uns kopfüber in den „Pool“ zu stürzen, schauen wir mal, was da hinein- und was herausfließt. Dazu verwenden wir das Limit - das Hauptwerkzeug der mathematischen Analyse. Der wichtigste "Trick" besteht darin, dass Sie mit dem Limit so nah wie möglich an einen bestimmten Punkt herangehen, aber nicht "darauf treten". So ein „Zaun“ vor dem „Whirlpool“.

Original

Okay, der "Zaun" wurde aufgestellt. Es ist nicht mehr so ​​beängstigend. Wir haben zwei Wege zum "Whirlpool". Gehen wir nach links - ein steiler Abstieg, nach rechts - ein steiler Aufstieg. Egal wie weit man zum „Zaun“ geht, er kommt nicht näher. Es gibt keinen Weg, die untere und obere "Nichtexistenz" zu durchqueren. Verdacht kommt auf, vielleicht drehen wir uns im Kreis? Obwohl nein, die Zahlen ändern sich, also nicht im Kreis. Stöbern wir noch in der Truhe mit den Werkzeugen der mathematischen Analyse. Neben den Begrenzungen mit einem „Zaun“ kommt das Kit mit positiver und negativer Unendlichkeit. Die Werte sind vollständig abstrakt (keine Zahlen), gut formalisiert und gebrauchsfertig! Es passt zu uns. Ergänzen wir unser „Sein“ (die Menge der reellen Zahlen) um zwei vorzeichenbehaftete Unendlichkeiten.

Mathematische Sprache:

Es ist diese Erweiterung, die es Ihnen ermöglicht, die Grenze zu nehmen, wenn das Argument gegen unendlich tendiert, und als Ergebnis der Annahme der Grenze unendlich zu erhalten.

Es gibt zwei Zweige der Mathematik, die dasselbe mit unterschiedlicher Terminologie beschreiben.

Zusammenfassen:

im Trockenrückstand. Die alten Ansätze funktionieren nicht mehr. Die Komplexität des Systems in Form von „wenn“, „für alle, aber“ etc. hat zugenommen. Wir hatten nur zwei Unsicherheiten 1/0 und 0/0 (wir haben Potenzoperationen nicht berücksichtigt), also gab es fünf. Die Offenlegung einer Unsicherheit führte zu weiteren Unsicherheiten.

1.2 Rad

Alles endete nicht bei der Einführung der vorzeichenlosen Unendlichkeit. Um aus der Ungewissheit herauszukommen, braucht man einen zweiten Wind.

Wir haben also eine Menge reeller Zahlen und zwei Unsicherheiten 1/0 und 0/0. Um die erste zu eliminieren, haben wir eine projektive Erweiterung der reellen Linie durchgeführt (d. h. wir haben unsigned infinity eingeführt). Versuchen wir, mit der zweiten Unsicherheit der Form 0/0 umzugehen. Machen wir dasselbe. Lassen Sie uns die Zahlenmenge um ein neues Element ergänzen, das die zweite Unsicherheit darstellt.

Die Definition der Division basiert auf der Multiplikation. Es passt nicht zu uns. Lassen Sie uns die Operationen voneinander lösen, aber das übliche Verhalten für reelle Zahlen beibehalten. Lassen Sie uns eine unäre Divisionsoperation definieren, die durch "/" gekennzeichnet ist.

Lassen Sie uns Operationen definieren.

Diese Struktur wird das "Rad" genannt. Der Begriff wurde wegen der Ähnlichkeit mit dem topologischen Bild der projektiven Verlängerung der reellen Geraden und dem Punkt 0/0 gewählt.

Alles sieht gut aus, aber der Teufel steckt im Detail:

Um alle Merkmale zu regeln, wird zusätzlich zur Erweiterung des Satzes von Elementen ein Bonus in Form von nicht einer, sondern zwei Identitäten hinzugefügt, die das Verteilungsgesetz beschreiben.

Mathematische Sprache:

Aus Sicht der allgemeinen Algebra haben wir uns auf dem Feld bewegt. Und im Feld sind, wie Sie wissen, nur zwei Operationen definiert (Addition und Multiplikation). Der Begriff der Teilung wird durch inverse, und wenn noch tiefere, dann einzelne Elemente abgeleitet. Die vorgenommenen Änderungen verwandeln unser algebraisches System in ein Monoid sowohl durch die Operation der Addition (mit Null als neutralem Element) als auch durch die Operation der Multiplikation (mit der Einheit als neutralem Element).

In den Werken der Entdecker werden die Symbole ∞ und ⊥ nicht immer verwendet. Stattdessen sehen Sie den Eintrag in der Form /0 und 0/0.

Die Welt ist nicht mehr so ​​schön, oder? Trotzdem keine Eile. Prüfen wir, ob die neuen Identitäten des Distributivgesetzes mit unserer erweiterten Menge zurechtkommen .

Diesmal ist das Ergebnis viel besser.

Zusammenfassen:

im Trockenrückstand. Algebra funktioniert super. Allerdings wurde der Begriff „nicht definiert“ zugrunde gelegt, der anfing, als etwas Vorhandenes zu betrachten und damit zu operieren. Eines Tages wird jemand sagen, dass alles schlecht ist und Sie dieses „nicht definiert“ in mehrere weitere „nicht definierte“, aber kleinere aufteilen müssen, und die allgemeine Algebra wird sagen: „Kein Problem, Bruder!“.
So werden zusätzliche (j und k) imaginäre Einheiten in Quaternionen postuliert Add tags

Im Schulrechnen werden alle mathematischen Operationen mit reellen Zahlen durchgeführt. Die Menge dieser Zahlen (oder ein kontinuierliches geordnetes Feld) hat eine Reihe von Eigenschaften (Axiome): Kommutativität und Assoziativität der Multiplikation und Addition, die Existenz von Null, Eins, entgegengesetzten und inversen Elementen. Auch die Ordnungs- und Stetigkeitsaxiome, die für die vergleichende Analyse verwendet werden, erlauben es uns, alle Eigenschaften reeller Zahlen zu bestimmen.

Da die Division die Umkehrung der Multiplikation ist, treten bei der Division reeller Zahlen durch Null zwangsläufig zwei unlösbare Probleme auf. Erstens hat die Überprüfung des Ergebnisses der Division durch Null mithilfe der Multiplikation keinen numerischen Ausdruck. Welche Zahl auch immer der Quotient ist, wenn er mit Null multipliziert wird, kann der Dividende nicht erhalten werden. Zweitens kann im 0:0-Beispiel eine absolut beliebige Zahl als Antwort dienen, die, wenn sie mit einem Divisor multipliziert wird, immer zu Null wird.

Division durch Null in der höheren Mathematik

Die aufgezählten Schwierigkeiten der Division durch Null führten zumindest im Rahmen des Schulunterrichts zur Tabuisierung dieser Operation. In der höheren Mathematik finden sie jedoch Wege, dieses Verbot zu umgehen.

Zum Beispiel durch den Aufbau einer anderen algebraischen Struktur, die sich vom bekannten Zahlenstrahl unterscheidet. Ein Beispiel einer solchen Struktur ist ein Rad. Hier gibt es Gesetze und Vorschriften. Insbesondere ist die Division nicht an die Multiplikation gebunden und wird von einer binären Operation (mit zwei Argumenten) in eine unäre Operation (mit einem Argument) umgewandelt, die durch das Symbol /x gekennzeichnet ist.

Die Erweiterung des Bereichs der reellen Zahlen erfolgt durch die Einführung der hyperreellen Zahlen, die unendlich große und unendlich kleine Mengen umfassen. Dieser Ansatz ermöglicht es uns, den Begriff "unendlich" als eine bestimmte Zahl zu betrachten. Darüber hinaus verliert diese Zahl, wenn sich die Zahlenlinie ausdehnt, ihr Vorzeichen und verwandelt sich in einen idealisierten Punkt, der die beiden Enden dieser Linie verbindet. Diese Vorgehensweise kann mit der Datumswechsellinie verglichen werden, wenn Sie sich beim Wechsel zwischen zwei Zeitzonen UTC + 12 und UTC-12 im nächsten Tag oder im vorherigen wiederfinden. In diesem Fall wird die Aussage x/0=∞ für jedes x≠0 wahr.

Um die Unsicherheit 0/0 zu eliminieren, wird für das Rad ein neues Element ⏊=0/0 eingeführt. Gleichzeitig hat diese algebraische Struktur ihre eigenen Nuancen: 0 x≠0; x-x≠0 im allgemeinen Fall. Auch x·/x≠1, da Division und Multiplikation nicht mehr als Umkehroperationen gelten. Aber diese Merkmale des Rades lassen sich gut erklären, wenn man die Identitäten des Verteilungsgesetzes verwendet, das in einer solchen algebraischen Struktur etwas anders funktioniert. Nähere Erläuterungen finden sich in der Fachliteratur.

Algebra, an die jeder gewöhnt ist, ist tatsächlich ein Sonderfall komplexerer Systeme, zum Beispiel des gleichen Rades. Wie Sie sehen können, ist es in der höheren Mathematik möglich, durch Null zu dividieren. Dazu müssen die Grenzen der üblichen Vorstellungen von Zahlen, algebraischen Operationen und den Gesetzen, denen sie gehorchen, überschritten werden. Obwohl dies ein völlig natürlicher Prozess ist, der jede Suche nach neuem Wissen begleitet.

Verwandter Artikel

Quellen:

Mathematische Operationen mit Null werden oft durch besondere Regeln und sogar Verbote gekennzeichnet. So lernen alle Schulkinder ab der Grundschule die Regel: „Man darf nicht durch Null teilen.“ Bei negativen Zahlen gibt es noch mehr Regeln und Konventionen. All dies erschwert das Verständnis des Schülers erheblich, sodass manchmal nicht einmal klar ist, ob Null durch eine negative Zahl geteilt werden kann.

Was ist Division

Um herauszufinden, ob Null durch eine negative Zahl geteilt werden kann, sollte man sich zunächst daran erinnern, wie die Division negativer Zahlen im Allgemeinen durchgeführt wird. Die mathematische Operation der Division ist die Umkehrung der Multiplikation.

Dies kann wie folgt beschrieben werden: Wenn a und b rationale Zahlen sind, dann bedeutet die Division von a durch b, eine Zahl c zu finden, die multipliziert mit b die Zahl a ergibt. Diese Definition der Division gilt sowohl für positive als auch für negative Zahlen, solange die Teiler nicht Null sind. Dabei wird die Bedingung strikt eingehalten, dass eine Division durch Null nicht möglich ist.

Um beispielsweise die Zahl 32 durch die Zahl -8 zu teilen, sollten Sie eine Zahl finden, die multipliziert mit der Zahl -8 die Zahl 32 ergibt. Diese Zahl ist dann -4

(-4) x (-8) \u003d 32. Die Zeichen werden addiert, und ein Minus durch ein Minus ergibt ein Plus.

Auf diese Weise:

Weitere Beispiele für die Division rationaler Zahlen:

21: 7 = 3, da 7 x 3 = 21,

(−9) : (−3) = 3, da 3 (−3) = −9.

Regeln für die Division negativer Zahlen

Um den Modul des Quotienten zu bestimmen, ist es notwendig, den Modul der teilbaren Zahl durch den Modul des Divisors zu teilen. Es ist wichtig, das Vorzeichen beider Elemente der Operation zu berücksichtigen.

Um zwei Zahlen mit demselben Vorzeichen zu dividieren, musst du den Betrag des Dividenden durch den Betrag des Divisors dividieren und ein Pluszeichen vor das Ergebnis setzen.

Um zwei Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen zu dividieren, müssen Sie den Dividendenmodul durch den Divisormodul dividieren, aber ein Minuszeichen vor das Ergebnis setzen, und es spielt keine Rolle, welches der Elemente, Divisor oder Dividende, negativ war.

Die angegebenen Regeln und Beziehungen zwischen den Ergebnissen von Multiplikation und Division, die für positive Zahlen bekannt sind, gelten auch für alle rationalen Zahlen außer der Zahl Null.

Es gibt eine wichtige Regel für Null: Der Quotient von Null dividiert durch eine beliebige Zahl ungleich Null ist ebenfalls Null.

0: b = 0, b ≠ 0. Außerdem kann b sowohl positiv als auch negativ sein.

Daraus können wir schließen, dass Null durch eine negative Zahl geteilt werden kann und das Ergebnis immer Null sein wird.