Решение уравнений в целых числах.

Неопределенные уравнения – уравнения, содержащие более одного неизвестного. Под одним решением неопределенного уравнения понимается совокупность значений неизвестных, которая обращает данное уравнение в верное равенство.

Для решения в целых числах уравнения вида ах + by = c , где а, b , c – целые числа, отличные от нуля, приведем ряд теоретических положений, которые позволят установить правило решения. Эти положения основаны также на уже известных фактах теории делимости.

Теорема 1. Если НОД(а, b ) = d , то существуют такие целые числа х и у , что имеет место равенство ах + b у = d . (Это равенство называется линейной комбинацией или линейным представлением наибольшего общего делителя двух чисел через сами эти числа.)

Доказательство теоремы основано на использовании равенства алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (наибольший общий делитель выражается через неполные частные и остатки, начиная с последнего равенства в алгоритме Евклида).

Пример .

Найти линейное представление наибольшего общего делителя чисел 1232 и 1672.

Решение.

1. Составим равенства алгоритма Евклида:

1672 = 1232 ∙1 + 440,

1232 = 440 ∙ 2 + 352,

440 = 352 ∙ 1 + 88,

352 = 88 ∙ 4, т.е. (1672,352) = 88.

2) Выразим 88 последовательно через неполные частные и остатки, используя полученные выше равенства, начиная с конца:

88 = 440 - 352∙1 = (1672 - 1232) - (1232 - 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 - 1232∙4, т.е. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).

Теорема 2. Если уравнение ах + b у = 1 , если НОД(а, b ) = 1 , достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и b .

Справедливость этой теоремы следует из теоремы 1. Таким образом, чтобы найти одно целое решение уравнения ах + b у = 1, если НОД (а, в) = 1, достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и в .

Пример.

Найти целое решение уравнения 15х + 37у = 1.

Решение.

1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,

15 = 7 ∙ 2 + 1.

2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),

Теорема 3 . Если в уравнении ах + b у = с НОД(а, b ) = d >1 и с не делится на d , то уравнение целых решений не имеет.

Для доказательства теоремы достаточно предположить противное.

Пример .

Найти целое решение уравнения 16х - 34у = 7.

Решение .

(16,34)=2; 7 не делится на 2, уравнение целых решений не имеет

Теорема 4 . Если в уравнении ах + b у = с НОД(а, b ) = d >1 и с d , то оно

При доказательстве теоремы следует показать, что произвольное целое решение первого уравнения является также решением второго уравнения и обратно.

Теорема 5 . Если в уравнении ах + b у = с НОД(а, b ) = 1, то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

t – любое целое число.

При доказательстве теоремы следует показать, во-первых, что приведенные формулы действительно дают решения данного уравнения и, во-вторых, что произвольное целое решение этого уравнения заключено в приведенных формулах.

Приведенные теоремы позволяют установить следующее правило решения в целых числах уравнения ах+ b у = с НОД(а, b ) = 1:

1) Находится целое решение уравнения ах + b у = 1 путем представления 1 как линейной комбинации чисел а и b (существуют и другие способы отыскания целых решений этого уравнения, например при использовании цепных дробей);

Составляется общая формула целых решений данного

Придавая t определенные целые значения, можно получить частные решения данного уравнения: наименьшие по абсолютной величине, наименьшие положительные (если можно) и т.д.

Пример .

Найти целые решения уравнения 407х - 2816у = 33 .

Решение.

1. Упрощаем данное уравнение, приводя его к виду 37х - 256у = 3.

2.Решаем уравнение 37х - 256у = 1.

256 = 37∙ 6 + 34,

37 = 34 ∙1 + 3,

34 = 3 ∙11 + 1.

1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 =

37∙(-83) - 256∙(-12),

3. Общий вид всех целых решений данного уравнения:

х = -83∙3 - 256 t = -249 - 256 t ,

у = -12∙3 - 37 t = -36 - 37 t .

Метод полного перебора всех возможных значений переменных,

входящих в уравнение.

Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решениями уравнения 49х + 51у = 602.

Решение:

Выразим из уравнения переменную х через у х = , так как х и у – натуральные числа, то х = 602 - 51у ≥ 49, 51у≤553, 1≤у≤10 .

Полный перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются х=5, у=7.

Ответ: (5;7).

Решение уравнений методом разложения на множители.

Диофант наряду с линейными уравнениями рассматривал квадратные и кубические неопределенные уравнения. Решение их, как правило, сложно.

Рассмотрим такой случай, когда в уравнениях можно применить формулу разности квадратов или другой способ разложения на множители.

Решить уравнение в целых числах: х 2 + 23 = у 2

Решение:

Перепишем уравнение в виде: у 2 - х 2 = 23, (у - х)(у + х) = 23

Так как х и у – целые числа и 23 – простое число, то возможны случаи:

Решая полученные системы, находим:

(-11;12),(11;12),(11;-12),(-11;-12)

Выражение одной переменной через другую и выделение целой части дроби.

Решить уравнение в целых числах: х 2 + ху – у – 2 = 0.

Решение:

Выразим из данного уравнения у через х:

у(х - 1) =2 - х 2 ,

Генрих Г.Н. ФМШ №146 г. Пермь

54 ≡ 6× 5 ≡ 2(mod 7),

55 ≡ 2× 5 ≡ 3(mod 7), 56 ≡ 3× 5 ≡ 1(mod 7).

Возводя в степень k, получаем 56k ≡ 1(mod 7) при любом натуральном k. Поэтому 5555 =56 × 92 × 53 ≡ 6 (mod7).

(Геометрически это равенство означает, что мы проходим по кругу, стартуя от 5, девяносто два цикла и еще три числа). Таким образом, число 222555 дает при делении на 7 остаток 6.

Решение уравнений в целых числах.

Несомненно, одна из интересных тем математики – решение диофантовых уравнений. Эта тема изучается в 8, а затем и в 10 и 11 классе.

Любое уравнение, которое требуется решить в целых числах, называется диофантовым уравнением. Простейшим из них является уравнение вида ах+bу=с, где а, b и с Î Z. При решении этого уравнения используется следующая теорема.

Теорема. Линейное диофантово уравнение ах+bу=с, где а, b и сÎ Z имеет решение тогда и только тогда, когда с делится на НОД чисел а и b. Если d=НОД (а, b), a=a1 d, b=b1 d, c=c1 d и (x0 , y0 ) – некоторое решение уравнения ах+bу=с, то все решения задаются формулами х=x0 +b1 t, y=y0 –a1 t, где t ─ произвольное целое число.

1. Решить в целых числах уравнения:

	3ху–6х2 =у–2х+4;
	(х–2)(ху+4)=1;		у–х–ху=2;
	2х2 +ху=х+7;		3ху+2х+3у=0;
	х2 –ху–х+у=1;
	х2 –3ху=х–3у+2;	10. х2 –ху– у=4.

2. Следующие задачи рассматривала с выпускниками при подготовке к ЕГЭ по математике по данной теме.

1). Решить в целых числах уравнение: ху+3у+2х+6=13. Рещение:

Разложим на множители левую часть уравнения. Получим:

у(х+3)+2(х+3)=13;

(х+3)(у+2)=13.

Так как x,уÎ Z, то получим совокупность систем уравнений:

Генрих Г.Н.

	ì x +
	ì x +
	ì x +
ê ì x +

ФМШ №146 г. Пермь

		ì x =
		ì x =
		ì x =
	ê ì x =

Ответ: (–2;11), (10; –1), (–4; –15), (–15, –3)

2). Решить в натуральных числах уравнение: 3х +4у =5z .

9). Найти все пары натуральных чисел m и n, для которых справедливо равенство 3m +7=2n .

10). Найти все тройки натуральных чисел k, m и n, для которых справедливо равенство: 2∙k!=m! –2∙n! (1!=1, 2!=1∙2, 3!= 1∙2∙3, …n!= 1∙2∙3∙…∙n)

11). Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, или в 14 раз больше, или в 14 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 4321.

в) Какое наибольшее число членов может иметь последовательность? Решение:

а) Пусть а1 =х, тогда а2 = 14х или а1 =14х, тогда а2 =х. Тогда по условию а1 + а2 = 4321. Получим: х+14х=4321, 15х=4321, но 4321 не кратно 15, значит, двух членов в последовательности быть не может.

б) Пусть а1 =х, тогда а2 = 14х, а3 =х, или 14х+х+14х=4321, или х+14х+х=4321. 29х=4321, тогда х=149, 14х=2086. Значит, последовательность может иметь три члена. Во втором случае 16х=4321, но тогда х не является натуральным числом.

Ответ: а) нет; б) да; в) 577.

Генрих Г.Н.

ФМШ №146 г. Пермь

12). Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, или в 10; раз больше, или в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 1860.

а) Может ли последовательность иметь два члена? б) Может ли последовательность иметь три члена?

в) Какое наибольшее число членов может иметь последовательность?

Очевидно, что говорить о делимости целых чисел и рассматривать задачи по данной теме можно бесконечно. Я постаралась рассмотреть эту тему так, чтобы в большей степени заинтересовать учащихся, показать им красоту математики еще и с этой с точки зрения.

Генрих Г.Н.

ФМШ №146 г. Пермь

Список литературы:

1. А. Я. Каннель-Белов, А. К. Ковальджи. Как решают нестандартные задачи Москва МЦНМО 2001

2. А.В.Спивак. Приложение к журналу Квант№4/2000 Математический праздник, Москва 2000

3. А.В.Спивак. Математический кружок, «Посев» 2003

4. Санкт-Петербургский городской дворец творчества юных. Математический кружок. Задачник первого-второго года обучения. Санкт-Петербург. 1993

5. Алгебра для 8 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Под редакцией Н.Я.Виленкина. Москва, 1995 г.

6. М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Москва, Просвещение. 1994 г.

7. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков. Алгебра 8 класс. Учебник для школ и классов с углубленным изучением математики. Москва, 2001 г.

8. М.И.Шабунин, А.А.Прокофьев УМК МАТЕМАТИКА Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень. Учебник для 11 класса. Москва Бином. Лаборатория знаний 2009

9. М.И.Шабунин, А.А.Прокофьев, Т.А.Олейник, Т.В.Соколова. УМК МАТЕМАТИКА Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень Задачник для 11 класса. Москва Бином. Лаборатория знаний 2009

10. А.Г.Клово, Д.А.Мальцев, Л.И.Абзелилова Математика. Сборник тестов по плану ЕГЕ 2010

11. ЕГЭ-2010. «Легион-М». Ростов-на-Дону 2009

12. ЕГЭ УМК «Математика. Подготовка к ЕГЭ». Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. Подготовка к ЕГЭ-2011. «Легион-М». Ростов-на-Дону 2010

13. УМК «Математика. ЕГЭ-2010». Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. МАТЕМАТИКА Подготовка к ЕГЭ-2010. Учебно-тренировочные тесты. «Легион-М». Ростов-на-Дону 2009

14. ФИПИ ЕГЭ. Универсальные материалы для подготовки учащихся МАТЕМАТИКА 2010 «Интеллект-Центр» 2010

15. А.Ж.Жафяров. Математика. ЕГЭ-2010 Экспресс-консультация. Сибирское университетское издательство, 2010

В курсе математики 7 класса впервые встречаются с уравнениями с двумя переменными , но изучаются они лишь в контексте систем уравнений с двумя неизвестными. Именно поэтому из поля зрения выпадает целый ряд задач, в которых на коэффициенты уравнения введены некоторые условия, их ограничивающие. Кроме того, остаются без внимания и методы решения задач типа «Решить уравнение в натуральных или целых числах», хотя в материалах ЕГЭ и на вступительных экзаменах задачи такого рода встречаются все чаще и чаще.

Какое уравнение будет называться уравнением с двумя переменными?

Так, например, уравнения 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 или xy = 12 являются уравнениями с двумя переменными.

Рассмотрим уравнение 2x – y = 1. Оно обращается в верное равенство при x = 2 и y = 3, поэтому эта пара значений переменных является решением рассматриваемого уравнения.

Таким образом, решением любого уравнения с двумя переменными является множество упорядоченных пар (x; y), значений переменных, которые это уравнение обращают в верное числовое равенство.

Уравнение с двумя неизвестными может:

а) иметь одно решение. Например, уравнение x 2 + 5y 2 = 0 имеет единственное решение (0; 0);

б) иметь несколько решений. Например, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 имеет 4 решения: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -2);

в) не иметь решений. Например, уравнение x 2 + y 2 + 1 = 0 не имеет решений;

г) иметь бесконечно много решений. Например, x + y = 3. Решениями этого уравнения будут являться числа, сумма которых равна 3. Множество решений данного уравнения можно записать в виде (k; 3 – k), где k – любое действительное число.

Основными методами решения уравнений с двумя переменными являются методы, основанные на разложении выражений на множители, выделение полного квадрата, использование свойств квадратного уравнения, ограниченности выражений, оценочные методы. Уравнение, как правило, преобразовывают к виду, из которого можно получить систему для нахождения неизвестных.

Разложение на множители

Пример 1.

Решить уравнение: xy – 2 = 2x – y.

Решение.

Группируем слагаемые с целью разложения на множители:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Из каждой скобки вынесем общий множитель:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Имеем:

y = 2, x – любое действительное число или x = -1, y – любое действительное число.

Таким образом, ответом являются все пары вида (x; 2), x € R и (-1; y), y € R.

Равенство нулю неотрицательных чисел

Пример 2.

Решить уравнение: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Решение.

Группируем:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Теперь каждую скобку можно свернуть по формуле квадрата разности.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, только если 3x – 2 = 0 и 2y – 3 = 0.

А значит, x = 2/3 и y = 3/2.

Ответ: (2/3; 3/2).

Оценочный метод

Пример 3.

Решить уравнение: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Решение.

В каждой скобке выделим полный квадрат:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Оценим значение выражений, стоящих в скобках.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 и (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, тогда левая часть уравнения всегда не меньше 2. Равенство возможно, если:

(x + 1) 2 + 1 = 1 и (y – 2) 2 + 2 = 2, а значит x = -1, y = 2.

Ответ: (-1; 2).

Познакомимся с еще одним методом решения уравнений с двумя переменными второй степени. Этот метод заключается в том, что уравнение рассматривается как квадратное относительно какой-либо переменной .

Пример 4.

Решить уравнение: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Решение.

Решим уравнение как квадратное относительно x. Найдем дискриминант:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Уравнение будет иметь решение только при D = 0, т. е. в том случае, если y = 4. Подставляем значение y в исходное уравнение и находим, что x = 3.

Ответ: (3; 4).

Часто в уравнениях с двумя неизвестными указывают ограничения на переменные .

Пример 5.

Решить уравнение в целых числах: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Решение.

Перепишем уравнение в виде x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Правая часть полученного уравнения при делении на 5 дает в остатке 2. Следовательно, x 2 не делится на 5. Но квадрат числа, не делящегося на 5, дает в остатке 1 или 4. Таким образом, равенство невозможно и решений нет.

Ответ: нет корней.

Пример 6.

Решить уравнение: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Решение.

Выделим полные квадраты в каждой скобке:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Левая часть уравнения всегда больше или равна 3. Равенство возможно при условии |x| – 2 = 0 и y + 3 = 0. Таким образом, x = ± 2, y = -3.

Ответ: (2; -3) и (-2; -3).

Пример 7.

Для каждой пары целых отрицательных чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, вычислить сумму (x + y). В ответе указать наименьшую из сумм.

Решение.

Выделим полные квадраты:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Так как x и y – целые числа, то их квадраты также целые числа. Сумму квадратов двух целых чисел, равную 37, получим, если складываем 1 + 36. Следовательно:

(x – y) 2 = 36 и (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 и (y + 2) 2 = 36.

Решая эти системы и учитывая, что x и y – отрицательные, находим решения: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Ответ: -17.

Не стоит отчаиваться, если при решении уравнений с двумя неизвестными у вас возникают трудности. Немного практики, и вы сможете справиться с любыми уравнениями.

Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения с двумя переменными?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

1. Уравнения первой степени с двумя неизвестными

1. Примеры уравнений второй степени с тремя неизвестными

1. Общий случай уравнения второй степени с двумя неизвестными

Р А З Р А Б О Т К А П Р О Г Р А М М

1. Программа №1 (уравнения с одним неизвестным)

ВВЕДЕНИЕ

Мой курсовой проект посвящен одному из наиболее интересных разделов теории чисел - решению уравнений в целых числах.

Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших проблем теории чисел.

Проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений второй степени с двумя неизвестными. Отметим, что для уравнений любой степени с одним неизвестным она не представляет сколько-нибудь существенного интереса, так как эта задача может быть решена с помощью конечного числа проб. Для уравнений выше второй степени с двумя или более неизвестными весьма трудна не только задача нахождения всех решений в целых числах, но даже и более простая задача установления существования конечного или бесконечного множества таких решений.

В своем проекте я постаралась изложить некоторые основные результаты, полученные в теории; решения уравнений в целых числах. Теоремы, формулируемые в нем, снабжены доказательствами в тех случаях, когда эти доказательства достаточно просты.

1. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Рассмотрим уравнение первой степени с одним неизвестным

Пусть коэффициенты уравнения

и - целые числа. Ясно, что решение этого уравнения

будет целым числом только в том случае, когда

нацело делится на . Таким образом, уравнение (1) не всегда разрешимо в целых числах; так, например, из двух уравнений и первое имеет целое решение , а второе в целых числах неразрешимо.

С тем же обстоятельством мы встречаемся и в случае уравнений, степень которых выше первой: квадратное уравнение

имеет целые решения , ; уравнение в целых числах неразрешимо, так как его корни ,иррациональны.

Вопрос о нахождении целых корней уравнения n-ой степени с целыми коэффициентами

(2)

решается легко. Действительно, пусть

- целый корень этого уравнения. Тогда

, .

Из последнего равенства видно, что

делится без остатка; следовательно, каждый целый корень уравнения (2) является делителем свободного члена уравнения. Для нахождения целых решений уравнения надо выбрать те из делителей , которые при подстановке в уравнение обращают его в тождество. Так, например, из чисел 1, -1, 2 и -2, представляющих собой все делители свободного члена уравнения

,

только -1 является корнем. Следовательно это уравнение, имеет единственный целый корень

. Тем же методом легко показать, что уравнение

в целых числах неразрешимо.

Значительно больший интерес представляет решение в целых числах уравнении с многими неизвестными.

2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

Рассмотрим уравнение первой степени с двумя неизвестными

,

(3)

и - целые числа, отличные от нуля, а - произвольное целое. Будем считать, что коэффициенты и не имеют общих делителей, кроме единицы. Действительно, если общий наибольший делитель этих коэффициентов отличен от единицы, то справедливы равенства , ; уравнение (3) принимает вид

и может иметь целые решения только в том случае, когда

делится на . Таким образом, в случае - все коэффициенты уравнения (3) должны делиться нацело на , и, сокращая (3) на , придем к уравнению

,

коэффициенты которого

и взаимно просты.

Рассмотрим сначала случай, когда

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение.

Объект исследования.

Исследования касаются одного из наиболее интересных разделов теории чисел - решения уравнений в целых числах.

Предмет исследования.

Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач и не достаточно глубоко представлена в школьном курсе математики. В своей работе я представлю достаточно полный анализ уравнений в целых числах, классификацию данных уравнений по способам их решения, описание алгоритмов их решения, а также практические примеры применения каждого способа для решения уравнений в целых числах.

Цель.

Познакомиться со способами решения уравнений в целых числах.

Задачи:

Изучить учебную и справочную литературу;

Собрать теоретический материал по способам решения уравнений;

Разобрать алгоритмы решения уравнений данного вида;

Описать способы решения;

Рассмотреть примеры решения уравнений с применением данных способов.

Гипотеза:

Столкнувшись с уравнениями в целых числах в олимпиадных заданиях, я предположила, что трудности в их решении обусловлены тем, что далеко не все способы их решения мне известны.

Актуальность:

Решая примерные варианты заданий ЕГЭ, я заметила, что часто встречаются задания на решение уравнений первой и второй степени в целых числах. Кроме того олимпиадные задания различных уровней также содержат уравнения в целых числах или задачи, которые решаются с применением умений решать уравнения в целых числах. Важность знания способов решения уравнений в целых числах и определяет актуальность моих исследований.

Методы исследования

Теоретический анализ и обобщение сведений научной литературы об уравнениях в целых числах.

Классификация уравнений в целых числах по методам их решения.

Анализ и обобщение методов решения уравнений в целых числах.

Результаты исследования

В работе описаны способы решений уравнений, рассмотрен теоретический материал теоремы Ферма, теорема Пифагора, алгоритма Евклида, представлены примеры решений задач и уравнений различных уровней сложности.

2.История уравнений в целых числах

Диофант - ученый - алгебраист Древней Греции, по некоторым данным он жил до 364 года н. э. Он специализировался на решении задач в целых числах. Отсюда и пошло название Диофантовы уравнения. Наиболее известной, решенной Диофантом, является задача «о разложении на два квадрата». Ее эквивалентом является известная всем теорема Пифагора. Жизнь и деятельность Диофанта протекала в Александрии, он собирал и решал известные и придумывал новые задачи. Позднее он объединил их в большом труде под названием «Арифметика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть сохранились до Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения.«Арифметика» Диофанта — это сборник задач, каждая включает в себя решение и необходимое пояснение. В собрание входят разнообразные задачи, а их решение часто в высшей степени остроумно. Диофанта интересуют только положительные целые и рациональные решения. Иррациональные решения он называет «невозможными» и тщательно подбирает коэффициенты так, чтобы получились искомые положительные, рациональные решения.

Для решения уравнений в целых числах применяется теорема Ферма. История доказательства которой достаточно интересная. Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков, и эти усилия привели к получению многих результатов современной теории чисел. Считается, что теорема стоит на первом месте по количеству неверных доказательств.

Замечательный французский математик Пьер Ферма высказал утверждение, что уравнение при целом n ≥ 3 не имеет решений в целых положительных числах x, y, z (xyz = 0 исключается положительностью x, y, z.Для случая n = 3 эту теорему в X веке пытался доказать среднеазиатский математик ал-Ходжанди, но его доказательство не сохранилось. Несколько позже сам Ферма опубликовал доказательство частного случая для n = 4.

Эйлер в 1770 доказал теорему для случая n = 3, Дирихле и Лежандр в 1825 — для n = 5,Ламе — для n = 7. Куммер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100, за возможным исключением 37, 59, 67.

В 1980-х годах появился новый подход к решению проблемы. Из гипотезы Морделла, доказанной Фальтингсом в 1983 году, следует, что уравнение

при n > 3 может иметь лишь конечное число взаимно простых решений.

Последний, но самый важный, шаг в доказательстве теоремы был сделан в сентябре 1994 года Уайлсом. Его 130-страничное доказательство было опубликовано в журнале «AnnalsofMathematics». Доказательство основано на предположении немецкого математика Герхарда Фрая о том, что Великая теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы — Симуры (это предположение было доказано Кеном Рибетом при участии Ж.‑П.Серра.).Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году (после 7 лет напряжённой работы), но в нём вскоре обнаружился серьёзный пробел; с помощью Ричарда Лоуренса Тейлора пробел удалось достаточно быстро ликвидировать. В 1995 году был опубликован завершающий вариант. 15 марта 2016 года Эндрю Уайлз получает премию Абеля. В настоящее время премия составляет 6 миллионов норвежских крон, то есть примерно 50 миллионов рублей. По словам Уайлса, присуждение премии стало для него «полной неожиданностью».

3.Линейные уравнения в целых числах

Линейные уравнения - самые простые из всех диофантовых уравнений.

Уравнение вида ах=b, где a и b - некоторые числа, а х- неизвестная переменная, называется линейным уравнением с одной неизвестной. Здесь требуется найти только целые решения уравнения. Можно заметить, что если а ≠ 0, то целочисленное решение уравнение будет иметь только в том случае, когда b нацело делится на а и это решение х= b/ф. Если же а=0, то целочисленное решение уравнение будет иметь тогда, когда b=0 и в этом случае х любое число.

т.к. 12 нацело делится на 4, то

Т.к. а=о и b=0, то х любое число

Т.к. 7 нацело не делится на 10, то решений нет.

4. Способ перебора вариантов .

В способе перебора вариантов необходимо учитывать признаки делимости чисел, рассмотреть все возможные варианты равенства конечного перебора. Этот способ можно применить решая данные задачи:

№1 Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решением уравнения 49x+69y=602

Выражаем из уравнения х =,

Т.к. x и y натуральные числа, то х = ≥ 1, умножаем все уравнение на 49, чтобы избавиться от знаменателя:

Переносим 602 в левую сторону:

51y ≤ 553, выражаем y, y= 10

Полный перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются x=5, y=7.

Ответ:(5,7).-

№2 Решить задачу

Из цифр 2, 4, 7 следует составить трёхзначное число, в котором ни одна цифра не может повторяться более двух раз.

Найдем количество всех трехзначных чисел, которые начинаются с цифры 2: (224, 242, 227, 272, 247, 274, 244, 277) - их 8.

Аналогично находим все трехзначные цифры начинающиеся с цифр 4 и 7: (442, 424, 422, 447, 474, 427, 472, 477).

(772, 774, 727, 747, 722, 744, 724, 742) - их тоже по 8 чисел. Следует всего 24 числа.

Ответ: 24 числа.

5. Цепная дробь и алгоритм Евклида

Цепной дробью называется выражение обыкновенной дроби в виде

где q 1 - целое число, а q 2 , … ,qn - натуральные числа. Такое выражение называется цепной (конечной непрерывной) дробью. Различают конечные и бесконечные цепные дроби.

Для рациональных чисел цепная дробь имеет конечный вид. Кроме того, последовательность a i — это ровно та последовательность частных, которая получается при применении алгоритма Евклида к числителю и знаменателю дроби.

Решая уравнения цепной дробью, я составила общий алгоритм действий для данного способа решения уравнений в целых числах.

Алгоритм

1) Составить отношение коэффициентов при неизвестных в виде дроби

2) Преобразовать выражение в неправильную дробь

3) Выделить целую часть неправильной дроби

4) Правильную дробь заменить равной ей дробью

5) Проделать 3,4 с полученной в знаменателе неправильной дробью

6) Повторять 5 до конечного результата

7) У полученного выражения отбросить последнее звено цепной дроби, превратить получающуюся при этом новую цепную дробь в простую и вычесть ее из исходной дробь.

Пример №1 Решить в целых числах уравнение 127x- 52y+ 1 = 0

Преобразуем отношение коэффициентов при неизвестных.

Прежде всего, выделим целую часть неправильной дроби; = 2 +

Правильную дробь заменим равной ей дробью.

Откуда = 2+

Проделаем такие же преобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью.

Теперь исходная дробь примет вид: .Повторяя те же рассуждения для дроби получим Выделяя целую часть неправильной дроби, придем к окончательному результату:

Мы получили выражение, которое называется конечной цепной или непрерывной дробью. Отбросив последнее звено этой цепной дроби - одну пятую, превратим получающуюся при этом новую цепную дробь в простую и вычтем ее из исходной дроби:

Приведем полученное выражение к общему знаменателю и отбросим его.

Откуда 127∙9-52∙22+1=0. Из сопоставления полученного равенства с уравнением 127x- 52y+1 = 0 следует, что тогда x= 9, y= 22 - решение исходного уравнения, и согласно теореме все его решения будут содержаться в прогрессиях x= 9+ 52t, y= 22+ 127t, где t=(0; ±1; ±2…..).Полученный результат наводит на мысль о том, что и в общем случае для нахождения решения уравнения ax+by+c=0 надо разложить отношение коэффициентов при неизвестных в цепную дробь, отбросить ее последнее звено и проделать выкладки, подобные тем, которые были приведены выше.

Для доказательства этого предположения будут нужны некоторые свойства цепных дробей.

Рассмотрим несократимую дробь. Обозначим через q 1 частное и через r 2 остаток от деления a на b. Тогда получим:

Тогда b=q 2 r 2 +r 3 ,

Точно так же

r 2 =q 3 r 3 +r 4 , ;

r 3 =q 4 r 4 +r 5 ,;

………………………………..

Величины q 1 , q 2 ,… называются неполными частными. Приведенный выше процесс образования неполных частных называется алгоритмом Евклида . Остатки от деления r 2 , r 3 ,…удовлетворяют неравенствам

т.е. образуют ряд убывающих неотрицательных чисел.

Пример№2 Решить уравнение170х+190у=3000 в целых числах

После сокращения на 10 уравнение выглядит так,

Для нахождения частного решения воспользуемся разложением дроби в цепную дробь

Свернув предпоследнюю подходящую к ней дробь в обыкновенную

Частное решение данного уравнения имеет вид

Х 0 = (-1)4300∙9=2700, y 0 =(-1)5300∙8=-2400,

а общее задается формулой

х=2700-19k, y= -2400+17k.

откуда получаем условие на параметр k

Т.е. k=142, x=2, y=14. .

6. Метод разложения на множители

Метод перебора вариантов неудобный способ, так как бывают случаи когда найти перебором всецелые решения, невозможно, так как таких решений бесконечное множество. Метод разложения на множители очень интересный прием и встречается он как и в элементарной математике так и в высшей.

Суть состоит в тождественном преобразовании. Смысл любого тождественного преобразования - это запись выражения в другом виде с сохранением его сути. Рассмотрим примеры применения данного метода.

№1 Решить уравнение в целых числах y 3 - x 3 = 91.

Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители:

(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91

Выписываем все делители числа 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

Замечаем, что для любых целых x и y число

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y||x| + x 2 = (|y| - |x|) 2 ≥ 0,

следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда исходное уравнение равносильно совокупности систем уравнений:

Решив системы, отбираем те корни, которые являются целыми числами.

Получаем решения исходного уравнения: (5; 6), (-6; -5); (-3; 4),(-4;3).

Ответ: (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

№2 Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению х 2 -у 2 = 69

Разложим левую часть уравнения на множители и запишем уравнение в виде

Т.к. делителями числа 69 являются числа 1, 3, 23 и 69, то 69 можно получить двумя способами: 69=1·69 и 69=3·23. Учитывая, что х-у > 0, получим две системы уравнений, решив которые мы сможем найти искомые числа:

Выразив одну переменную и подставив ее в второе уравнение находим корни уравнений.Первая система имеет решение x=35;y=34 , а вторая система имеет решение x=13, y=10.

Ответ: (35; 34), (13; 10).

№3 Решить уравнение х+у =ху в целых числах:

Запишем уравнение в виде

Разложим левую часть уравнения на множители. Получим

Произведение двух целых чисел может равняться 1 только в двух случаях: если оба они равны 1 или -1. Получим две системы:

Первая система имеет решение х=2, у=2, а вторая система имеет решение х=0, у=0.Ответ: (2; 2), (0; 0).

№4 Доказать, что уравнение (x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 не имеет решений в целых числах.

Разложим левую часть уравнения на множители и обе части уравнения разделим на 3, в результате получим уравнение:

(x - y)(y - z)(z - x) = 10

Делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Заметим также, что сумма сомножителей левой части уравнения равна 0. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из множества делителей числа 10, дающих в произведении 10, не будет равняться 0. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

7. Метод остатков

Основная задача метода - находить остаток от деления обоих частей уравнения на целое число, на основе полученных результатов. Часто полученная информация уменьшает возможности множеств решений уравнения. Рассмотрим примеры:

№1 Доказать, что уравнение x 2 = 3y + 2 не имеет решений в целых числах.

Доказательство.

Рассмотрим случай, когда x, y ∈ N. Рассмотрим остатки от деления обоих частей на 3. Правая часть уравнения дает остаток 2 при делении на 3 при любом значении y. Левая же часть, которая является квадратом натурального числа, при делении на 3 всегда дает остаток 0 или 1. Исходя из этого получаем, что решения данного уравнения в натуральных числах нет.

Рассмотрим случай, когда одно из чисел равно 0. Тогда очевидно, решений в целых числах нет.

Случай, когда y - целое отрицательное не имеет решений, т.к. правая часть будет отрицательна, а левая - положительна.

Случай, когда x - целое отрицательное, также не имеет решений, т.к. попадает под один из рассмотренных ранее случаев ввиду того, что (-x) 2 = (x) 2 .

Получается, что указанное уравнение не имеет решений в целых числах, что и требовалось доказать.

№2 Решите в целых числах 3 х = 1 + y 2 .

Не сложно заметить, что (0; 0) — решение данного уравнения. Остаётся доказать, что других целых корней уравнение не имеет.

Рассмотрим случаи:

1) Если x∈N, y∈N, то З делится на три без остатка, а 1 + y 2 при делении на 3 дает

остаток либо 1, либо 2. Следовательно, равенство при натуральных

значениях х, у невозможно.

2) Если х— целое отрицательное число,y∈Z , тогда 0< 3 х < 1, а 1 + y 2 ≥ 0 и

равенство также невозможно. Следовательно, (0; 0) — единственное

Ответ: (0; 0).

№3 Решить уравнение 2х 2 -2ху+9х+у=2 в целых числах:

Выразим из уравнения то неизвестное, которое входит в него только в первой степени, то есть переменную у:

2х 2 +9х-2=2ху-у, откуда

Выделим у дроби целую часть с помощью правила деления многочлена на многочлен «углом». Получим:

Очевидно, разность 2х-1 может принимать только значения -3, -1, 1 и 3.

Осталось перебрать эти четыре случая, в результате чего получаем решения: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

Ответ: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

8.Пример решения уравнений с двумя переменными в целых числах как квадратных относительно одной из переменных

№1 Решить в целых числах уравнение 5х 2 +5у 2 + 8ху+2у-2х +2=0

Данное уравнение можно решить методом разложения на множители, однако этот способ применительно к данному уравнению достаточно трудоёмкий. Рассмотрим более рациональный способ.

Запишем уравнение в виде квадратного относительно переменной х:

5x 2 +(8y-2)x+5y 2 +2y+2=0

Находим его корни.

Данное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда дискриминант

этого уравнения равен нулю, т.е. - 9(у+1) 2 =0, отсюда у= - 1.

Если у= -1,то х= 1.

Ответ: (1; — 1).

9.Пример решения задач с помощью уравнений в целых числах.

№ 1. Решить в натуральных числах уравнение : где n>m

Выразим переменную n через переменную m:

Найдем делители числа 625: это 1; 5; 25; 125; 625

1) если m-25 =1, то m=26, n=25+625=650

2) m-25 =5, то m=30, n=150

3) m-25 =25, то m=50, n=50

4) m-25 =125, то m=150, n=30

5) m-25 =625, то m=650, n=26

Ответ: m=150, n=30

№ 2. Решить уравнение в натуральных числах: mn +25 = 4m

Решение: mn +25 = 4m

1) выразим переменную 4m через n:

2) найдем натуральные делители числа 25: это 1; 5; 25

если 4-n =1, то n=3, m=25

4-n=5, то n=-1, m=5; 4-n =25, то n=-21, m=1 (посторонние корни)

Ответ: (25;3)

Помимо заданий решить уравнение в целых числах, встречаются задания на доказательство того факта, что уравнение не имеет целых корней.

При решении таких задач, необходимо помнить следующие свойства делимости:

1) Если n Z; n делится на 2, то n = 2k, k ∈ Z.

2) Если n ∈ Z; n не делится на 2, то n = 2k+1, k ∈ Z.

3) Если n ∈ Z; n делится на 3, то n = 3k, k ∈ Z.

4) Если n ∈ Z; n не делится на 3, то n = 3k±1, k ∈ Z.

5) Если n ∈ Z; n не делится на 4, то n = 4k+1; n = 4k+2; n = 4k+3. k ∈ Z.

6) Если n ∈ Z; n(n+1) делится на 2, то n (n+1)(n+2) делится на 2;3;6.

7) n; n+1 - взаимно простые.

№3 Доказать, что уравнение x 2 - 3у = 17 не имеет целых решений.

Доказательство:

Пусть x; y - решения уравнения

x 2 = 3(у+6)-1 Т.к. y ∈ Z то y+6 ∈ Z , значит 3(y+6) делится на 3, следовательно, 3(y+6)-1 не делится на 3, следовательно, x 2 не делится на 3, следовательно, x не делится на 3, значит x = 3k±1, k ∈ Z.

Подставим это в исходное уравнение.

Получили противоречие. Значит у уравнения нет целых решений, что и требовалось доказать.

10.Формула Пика

Формула Пика была открыта австрийским математиком Георгом Пиком в 1899 году. Формула связанна с уравнениями в целых числах тем, что из многоугольников берут только целые узлы, как и целые числа в уравнениях.

При помощи этой формулы можно находить площадь фигуры построенной на листе в клетку (треугольник, квадрат, трапеция, прямоугольник, многоугольник).

В этой формуле будем находить целые точки внутри многоугольника и на его границе.

В задачах, которые будут на ЕГЭ есть целая группа заданий, в которых дан многоугольник построенный на листе в клетку и стоит вопрос о нахождении площади. Масштаб клетки это один квадратный сантиметр.

Пример№1

М - количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах)

N - количество узлов внутри треугольника.

*Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий. Найдём площадь треугольника:

Отметим узлы:

M = 15 (обозначены красным)

N = 34 (обозначены синим)

Пример №2

Найдём площадь многоугольника: Отметим узлы:

M = 14 (обозначены красным)

N = 43 (обозначены синим)

12.Метод спуска

Один из методов решений уравнений в целых числах - метод спуска - опирается на теорему Ферма.

Методом спуска называется метод, который заключается в построении одного решения бесчисленной последовательности решений с неограниченно убывающим положительным z.

Алгоритм этого метода рассмотрим на примере решения конкретного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение в целых числах 5x + 8y = 39.

1) Выберем неизвестное, имеющее наименьший коэффициент (в нашем случае это х), и выразим его через другое неизвестное:

2) Выделим целую часть: Очевидно, что х будет целым, если выражение окажется целым, что, в свою очередь, будет иметь место тогда, когда число 4 - 3y без остатка делится на 5.

3) Введем дополнительную целочисленную переменную z следующим образом: 4 -3y = 5z. В результате получим уравнение такого же типа, как и первоначальное, но уже с меньшими коэффициентами.

4) Решаем его уже относительно переменной y, рассуждая точно также как в п.1, 2: Выделяя целую часть, получим:

5) Рассуждая аналогично предыдущему, вводим новую переменную u: 3u = 1 - 2z.

6) Выразим неизвестную с наименьшим коэффициентом, в этом случае переменную z: . Требуя, чтобы было целым, получим: 1 - u = 2v, откуда u = 1 - 2v. Дробей больше нет, спуск закончен (процесс продолжаем до тез пор, пока в выражении для очередной переменной не останется дробей).

7) Теперь необходимо «подняться вверх». Выразим через переменную v сначала z, потом y и затем x:

8) Формулы x = 3+8v и y = 3 - 5v, где v - произвольное целое число, представляют общее решение исходного уравнения в целых числах.

Таким образом, метод спуска предполагает сначала последовательное выражение одной переменой чрез другую, пока в представлении переменной не останется дробей, а затем, последовательное «восхождение» по цепочке равенств для получения общего решения уравнения.

12.Заключение

В результате исследования подтвердилась гипотеза о том, что трудности при решении уравнений в целых числах обусловлены тем, что далеко не все способы их решения были мне известны. В ходе исследований мне удалось отыскать и описать малоизвестные способы решения уравнений в целых числах, проиллюстрировать их примерами. Результаты моих исследований могут быть полезны всем ученикам, интересующимся математикой.

13.Библиография

Книжные ресурсы:

1. Н. Я. Виленкин и др., Алгебра и математический анализ/10класс, 11 класс// М., «Просвещение», 1998 год;

2. А. Ф. Иванов и др., Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к экзамену// Воронеж, ГОУВПО ВГТУ, 2007 год

3. А. О. Гельфонд, Математика, теория чисел// Решение уравнений в целых числах// Книжный дом «ЛИБРОКОМ»

Ресурсы сети интернет:

4. Демонстрационные варианты контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена по математике http://fipi.ru/

5. Примеры решений уравнений в целых числахhttp://reshuege.ru

6. Примеры решений уравнений в целых числахhttp://mat-ege.ru

7.История Диофантовых уравнений http://www.goldenmuseum.com/1612Hilbert_rus.html

8. История Диофанта http://nenuda.ru/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D1%81-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D0%BC%D1%8F-%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8-%D0%B2-%D1%86%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D1%85-%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0%D1%85.htm

9.История Диофантовых уравненийhttp://dok.opredelim.com/docs/index-1732.html

10. История Диофанта http://www.studfiles.ru/preview/4518769/