Tarea 12.

Resolver en números enteros 5x² + 5y² + 8xy + 2y - 2y + 2 = 0.

Solución.

Si tratas de resolver esta ecuación mediante la factorización, entonces este es un trabajo que requiere bastante tiempo, por lo que esta ecuación se puede resolver con un método más elegante. Considere la ecuación como relativo cuadrado sobre x 5x² + (8y-2 )x+5y²+2y+2=0 , x1.2 \u003d (1 - 4y ± √ (1 - 4y) ² - 5 (5y² + 2y + 2)) / 5 \u003d (1 - 4y ± √ -9(y + 1)²)/5.

Esta ecuación tiene solución cuando el discriminante es cero, es decir –9(y + 1) = 0, por eso y = -1. Si y = -1, luego x=1.

Responder.

Tarea 13.

Resolver en números enteros 3(x² + xy + y²) = x + 8y

Solución.

Considere la ecuación como cuadrática con respecto a x 3x ² + (3y - 1) x + 3y² - 8y \u003d 0. Encontremos el discriminante de la ecuación D \u003d \u003d (3y - 1) ² - 4 * 3 (3y² - 8y) \u003d 9y2 - 6y + 1 - 36y2 + 96y \u003d -27y2 + 90y + 1.

Dado ecuación la idea tiene raíces, siD³0, es decir. –27y² + 90y + 1³ 0

(-45 + √2052)/ (-27) £ y £ (-45 - √2052)/ (-27)(4)

Porque í Z, entonces la condición (4) se cumple sólo 0, 1, 2, 3 . Repasando estos valores, conseguimos que la ecuación en números enteros tiene soluciones (0; 0) Y (1; 1) .

Responder.

(0; 0) , (1; 1) .

Tarea 14.

Resuelve la ecuación 5x² - 2xy + 2y² - 2x - 2y + 1 = 0.

Solución.

Considere esta ecuación como cuadrática con respecto a X con coeficientes en función de y, 5x² - 2(y + 1) x + 2y² - 2y + 1 = 0.

Encuentra una cuarta parte del discriminante D/4=(y+1)²-5(2y²-2y+1)=-(3y-2)².

De ello se deduce que la ecuación tiene solución sólo cuando -(3y - 2)² = 0, esto implica y = ⅔, entonces encontramos x = ⅓.

Responder.

(⅓; ⅔).

método residual.

Tarea 15.

Resolver en números enteros 3ª = 1 + y²

Solución.

Está claro que (0; 0) es la solución de esta ecuación. Probemos que no hay otras soluciones.

Considere los casos:

1) x О N, y О N(5)

Si x O N, luego 3ª dividido por 3 sin dejar rastro y y² + 1 al dividir por 3 da el resto ya sea 1 , o 2 . Por lo tanto, la igualdad (5) para los valores naturales X Y en imposible.

2) Si X es un entero negativo y О Z, luego 0<3ª<1, pero 1+y²³0 y la igualdad (5) también es imposible. Por lo tanto, (0; 0) es la única solución.

Responder.

Tarea 16 .

Demostrar que el sistema de ecuaciones

ì x² - y² = 7

î z² - 2y² = 1

no tiene soluciones en números enteros.

Solución.

Supongamos que el sistema está habilitado. De la segunda ecuación z²=2y+1, es decir. z²– número impar y z- extraño, significa z=2m+1. Luego y²+2m²+2m , medio, y²- número par en- incluso, y = 2n, n Î Z.

x²=8n³+7, es decir. x²- número impar y X - número impar, х=2k+1, k О Z.

Sustituye los valores X Y en en la primera ecuación, obtenemos 2(k² + k - 2n³) = 3, lo cual es imposible ya que el lado izquierdo es divisible por 2 , pero el derecho no lo es.

Por lo tanto, nuestra suposición es incorrecta, es decir, el sistema no tiene soluciones en números enteros.

El método del descenso infinito.

La solución de ecuaciones por el método del descenso infinito procede según el siguiente esquema: suponiendo que la ecuación tiene soluciones, construimos algún proceso infinito, mientras que, según el significado mismo del problema, este proceso debe terminar en alguna parte.

A menudo, el método del descenso infinito se aplica de una forma más sencilla. Suponiendo que ya hemos llegado al final natural, vemos que no podemos “parar”.

Tarea 17.

Resolver en números enteros 29x + 13y + 56z = 17 (6)

Expresamos la incógnita, el coeficiente en el que es menor, a través de las incógnitas restantes.

y=(17-29x-56z)/13=(1-2x-4z)+(4-3x-4z)/13(7)

Denotar (4-3x-4z)/13=t1(8)

De (7) se sigue que t1 sólo puede tomar valores enteros. De (8) tenemos 13t1 + 3x + 4z = 14(9)

Obtenemos una nueva ecuación diofántica, pero con coeficientes más pequeños que en (6). Aplicamos las mismas consideraciones a (9): x=(4-13t1-4z)/3= =(1-4t1-z) + (1-t1-z)/3

(1-t1-z)/3 = t2, t2- entero, 3t2+t1+z = 1(10)

En (10) coeficiente en z– la incógnita de la ecuación original es igual a 1 - este es el punto final del "descenso". Ahora expresamos sucesivamente z, X, y al otro lado de t1 Y t2.

ì z = -t1 - 3t2 + 1

í x = 1 - 4t1 + t1 + 3t2 = 1 + t2 = -t1 + 4t2

î y = 1 + 6t1 – 8t2 + 4t1 + 12t2 – 4 + t1= 11t1 + 4t2 - 3

Entonces, ì x = -3t1 + 4t2

í y = 11t1 + 4t2 - 3

î z = -t1 - 3t2 + 1

t1, t2- cualquier número entero - todas las soluciones enteras de la ecuación (6)

Tarea 18.

Resolver en números enteros x³ - 3y³ - 9z³ = 0(11)

Solución.

Puede verse que el lado izquierdo de la ecuación (11) no se presta a ninguna transformación. Por lo tanto, examinar el carácter de los números enteros x³=3(y³-z³). Número x³ múltiple 3 , por lo que el número X múltiple 3 , es decir. x = 3x1(12) Sustituye (12) en (11) 27x1³-3y³-9z³=0, 9x1³-y³-3z³=0(13)

y³=3(3x1³-z³). Luego y³ múltiple 3 , que significa y en múltiple 3 , es decir. y=3y1(catorce). Sustituye (14) en (13) 9х1³ -27y1³ - 3z³=0. De esta ecuación se sigue que z³ múltiple 3, y por lo tanto z múltiple 3 , es decir. z=3z1.

Entonces resultó que los números que satisfacen la ecuación (11) son múltiplos de tres, y cuántas veces no los dividiríamos por 3 , obtenemos números que son múltiplos de tres. El único número entero que satisface tres. El único entero que cumple esta condición será cero, es decir, la solución de esta ecuación (0; 0; 0)

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54 ≡ 6 × 5 ≡ 2 (módulo 7),

55 ≡ 2× 5 ≡ 3(mod 7), 56 ≡ 3× 5 ≡ 1(mod 7).

Elevando a la potencia k, obtenemos 56k ≡ 1(mod 7) para cualquier k natural. Por lo tanto 5555 = 56 × 92 × 53 ≡ 6 (mod7).

(Geométricamente, esta igualdad significa que damos la vuelta al círculo, partiendo del 5, noventa y dos ciclos y tres números más). Por lo tanto, el número 222555 da un resto de 6 cuando se divide por 7.

Solución de ecuaciones en números enteros.

Sin duda, uno de los temas interesantes de las matemáticas es la solución de ecuaciones diofánticas. Este tema se estudia en el 8º, y luego en los grados 10º y 11º.

Cualquier ecuación que necesita ser resuelta en números enteros se llama ecuación diofántica. La más simple de ellas es una ecuación de la forma ax + by \u003d c, donde a, b y cÎ Z. Al resolver esta ecuación, se utiliza el siguiente teorema.

Teorema. Una ecuación diofántica lineal ax+by=c, donde a, b y cÎ ​​Z tiene solución si y solo si c es divisible por el mcd de los números a y b. Si d=mcd (a, b), a=a1 d, b=b1 d, c=c1 d y (x0, y0) es alguna solución de la ecuación ax+by=c, entonces todas las soluciones están dadas por x= x0 +b1 t, y=y0 –a1 t, donde t es un número entero arbitrario.

1. Resuelve las ecuaciones en números enteros:

	3xy–6x2 = y–2x+4;
	(x–2)(xy+4)=1;		y–x–xy=2;
	2x2 + xy = x + 7;		3xy+2x+3y=0;
	х2 –xy–х+y=1;
	x2 –3xy=x–3y+2;	10. x2 – xy – y = 4.

2. Las siguientes tareas se consideraron con los graduados en preparación para el examen de matemáticas sobre este tema.

una). Resuelve la ecuación en números enteros: xy + 3y + 2x + 6 = 13. Solución:

Factoricemos el lado izquierdo de la ecuación. Obtenemos:

y(x+3)+2(x+3)=13;

(x+3)(y+2)=13.

Como x,yО Z, obtenemos un conjunto de sistemas de ecuaciones:

Heinrich G. N.

	ì x +
	ì x +
	ì x +
ê ì x +

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		ì x =
		ì x =
		ì x =
	ê ì x =

Respuesta: (-2; 11), (10; -1), (-4; -15), (-15, -3)

2). Resuelva la ecuación en números naturales: 3x + 4y \u003d 5z.

nueve). Encuentre todos los pares de números naturales m y n para los cuales la igualdad 3m +7=2n sea verdadera.

10). Encuentra todos los triples de los números naturales k, myn para los cuales la igualdad es verdadera: 2∙k!=m! –2∙n! (1!=1, 2!=1∙2, 3!= 1∙2∙3, …n!= 1∙2∙3∙…∙n)

once). Todos los miembros de la sucesión finita son números naturales. Cada miembro de esta secuencia, a partir del segundo, es 14 veces más grande o 14 veces más pequeño que el anterior. La suma de todos los términos de la sucesión es 4321.

c) ¿Cuál es el mayor número de términos que puede tener una sucesión? Solución:

a) Sea a1 = x, luego a2 = 14x o a1 = 14x, luego a2 = x. Entonces, por condición, a1 + a2 = 4321. Obtenemos: x + 14x = 4321, 15x = 4321, pero 4321 no es un múltiplo de 15, lo que significa que no puede haber dos miembros en la secuencia.

b) Sea a1 =x, luego a2 = 14x, a3 =x, o 14x+x+14x=4321, o x+14x+x=4321. 29x=4321, luego x=149, 14x=2086. Entonces la sucesión puede tener tres términos. En el segundo caso 16x=4321, pero entonces x no es un número natural.

Sin respuesta; b) sí; c) 577.

Heinrich G. N.

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12). Todos los miembros de la sucesión finita son números naturales. Cada miembro de esta secuencia, comenzando con el segundo, o en 10; veces más, o 10 veces menos que el anterior. La suma de todos los miembros de la secuencia es 1860.

a) ¿Puede una sucesión tener dos términos? b) ¿Puede una sucesión tener tres términos?

c) ¿Cuál es el mayor número de términos que puede tener una sucesión?

Es obvio que uno puede hablar sobre la divisibilidad de los números enteros y considerar problemas sobre este tema sin fin. Traté de considerar este tema de tal manera que interesara más a los estudiantes, para mostrarles la belleza de las matemáticas también desde este punto de vista.

Heinrich G. N.

FMSh No. 146, permanente

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8. M.I.Shabunin, A.A.Prokofiev UMK MATEMÁTICAS Álgebra. Comienzos del análisis matemático. nivel de perfil. Libro de texto para grado 11. Binomio de Moscú. Laboratorio de Conocimiento 2009

9. M.I.Shabunin, A.A.Prokofiev, T.A.Oleynik, T.V.Sokolova. UMK MATEMÁTICAS Álgebra. Comienzos del análisis matemático. Libro de tareas de nivel de perfil para el grado 11. Binomio de Moscú. Laboratorio de Conocimiento 2009

10. AG Klovo, D.A. Maltsev, L.I. Abzelilova Matemáticas. Recogida de pruebas según el plan EGE 2010

11. USO-2010. "Legión-M". Rostov del Don 2009

12. EGE EMC “Matemáticas. Preparación para el examen. Editado por F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhov. Preparando para USO-2011. "Legión-M". Rostov del Don 2010

13. UMK “Matemáticas. USO-2010". Editado por F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhov. MATEMÁTICAS Preparación para el USE-2010. Pruebas de entrenamiento. "Legión-M". Rostov del Don 2009

14. USO FIPI. Materiales universales para la preparación de los estudiantes MATEMÁTICAS 2010 Centro de Intelecto 2010

15. A.Zh.Zhafarov. Matemáticas. USE-2010 Consulta Express. Editorial de la Universidad de Siberia, 2010

El texto de la obra se coloca sin imágenes ni fórmulas.
La versión completa del trabajo está disponible en la pestaña "Archivos de trabajo" en formato PDF

Introducción.

Objeto de estudio.

La investigación se refiere a una de las ramas más interesantes de la teoría de números: la solución de ecuaciones en números enteros.

Tema de estudio.

La solución en números enteros de ecuaciones algebraicas con coeficientes enteros en más de una incógnita es uno de los problemas matemáticos más difíciles y antiguos y no está suficientemente representado en el curso de matemáticas escolares. En mi trabajo presentaré un análisis bastante completo de ecuaciones en números enteros, una clasificación de estas ecuaciones según los métodos para resolverlas, una descripción de los algoritmos para resolverlas, así como ejemplos prácticos de la aplicación de cada método para resolución de ecuaciones en números enteros.

Objetivo.

Aprende a resolver ecuaciones en números enteros.

Tareas:

Estudiar literatura educativa y de referencia;

Recoger material teórico sobre cómo resolver ecuaciones;

Analizar algoritmos para resolver ecuaciones de este tipo;

Describir soluciones;

Considere ejemplos de resolución de ecuaciones utilizando estos métodos.

Hipótesis:

Ante las ecuaciones en números enteros en las tareas de la Olimpiada, asumí que las dificultades para resolverlas se deben a que no conozco todas las formas de resolverlas.

Relevancia:

Al resolver variantes aproximadas de tareas USE, noté que a menudo hay tareas para resolver ecuaciones de primer y segundo grado en números enteros. Además, las tareas de Olimpiada de varios niveles también contienen ecuaciones en números enteros o problemas que se resuelven usando las habilidades para resolver ecuaciones en números enteros. La importancia de saber resolver ecuaciones en números enteros determina la relevancia de mi investigación.

Métodos de búsqueda

Análisis teórico y generalización de información de la literatura científica sobre ecuaciones en números enteros.

Clasificación de ecuaciones en números enteros según los métodos de su solución.

Análisis y generalización de métodos de resolución de ecuaciones en números enteros.

Resultados de la investigacion

El artículo describe métodos para resolver ecuaciones, considera el material teórico del teorema de Fermat, el teorema de Pitágoras, el algoritmo de Euclides, presenta ejemplos de resolución de problemas y ecuaciones de varios niveles de complejidad.

2.Historia de las ecuaciones en números enteros

Diofanto - científico - algebrista de la antigua Grecia, según algunas fuentes, vivió hasta el 364 d.C. mi. Se especializó en la resolución de problemas con números enteros. De ahí el nombre de ecuaciones diofánticas. El más famoso, resuelto por Diofanto, es el problema de "descomponer en dos cuadrados". Su equivalente es el conocido teorema de Pitágoras. La vida y obra de Diofanto transcurrió en Alejandría, recopiló y resolvió problemas conocidos e inventó nuevos. Más tarde los combinó en una gran obra llamada Aritmética. De los trece libros que componían la Aritmética, sólo seis sobrevivieron hasta la Edad Media y se convirtieron en fuente de inspiración para los matemáticos del Renacimiento.La Aritmética de Diofanto es una colección de problemas, cada uno incluye una solución y la explicación necesaria. La colección incluye una variedad de problemas, y su solución suele ser muy ingeniosa. Diofanto solo está interesado en enteros positivos y soluciones racionales. Él llama a las soluciones irracionales "imposibles" y selecciona cuidadosamente los coeficientes para que se obtengan las soluciones racionales positivas deseadas.

El teorema de Fermat se utiliza para resolver ecuaciones en números enteros. La historia de la prueba de que es bastante interesante. Muchos matemáticos eminentes trabajaron en una prueba completa del Gran Teorema, y ​​estos esfuerzos condujeron a muchos resultados en la teoría de números moderna. Se cree que el teorema ocupa el primer lugar en cuanto al número de demostraciones incorrectas.

El notable matemático francés Pierre Fermat afirmó que la ecuación para un número entero n ≥ 3 no tiene soluciones en números enteros positivos x, y, z (xyz = 0 se excluye por la positividad de x, y, z. Para el caso de n = 3, este teorema fue probado en el siglo X por el matemático centroasiático al-Khojandi, pero su prueba no se ha conservado. Algo más tarde, el mismo Fermat publicó una prueba de un caso particular para n = 4.

Euler en 1770 probó el teorema para el caso n = 3, Dirichlet y Legendre en 1825 para n = 5, Lame para n = 7. Kummer demostró que el teorema es cierto para todo primo n menor que 100, con la posible excepción de 37 , 59, 67.

En la década de 1980, surgió un nuevo enfoque para resolver el problema. De la conjetura de Mordell, probada por Faltings en 1983, se sigue que la ecuación

para n > 3 solo puede tener un número finito de soluciones coprimos.

El último pero más importante paso en la demostración del teorema lo dio Wiles en septiembre de 1994. Su demostración de 130 páginas se publicó en Annals of Mathematics. La prueba se basa en la suposición del matemático alemán Gerhard Frey de que el último teorema de Fermat es una consecuencia de la hipótesis de Taniyama-Shimura (esta suposición fue probada por Ken Ribet con la participación de J.-P. Serra). Wiles publicó la primera versión de su prueba en 1993 (después de 7 años de arduo trabajo), pero pronto se descubrió una brecha importante en ella; con la ayuda de Richard Lawrence Taylor, la brecha se cerró rápidamente. La versión final se publicó en 1995. 15 de marzo de 2016 Andrew Wiles recibe el Premio Abel. Actualmente, la prima es de 6 millones de coronas noruegas, es decir, aproximadamente 50 millones de rublos. Según Wiles, el premio fue una "completa sorpresa" para él.

3.Ecuaciones lineales en números enteros

Las ecuaciones lineales son las más simples de todas las ecuaciones diofánticas.

Una ecuación de la forma ax=b, donde a y b son algunos números y x es una variable desconocida, se llama ecuación lineal con una incógnita. Aquí se requiere encontrar solo soluciones enteras de la ecuación. Se puede ver que si a ≠ 0, entonces la ecuación tendrá una solución entera solo si b es completamente divisible por a y esta solución es x = b / f. Si a=0, entonces la ecuación tendrá una solución entera cuando b=0 y en este caso x es cualquier número.

porque 12 es divisible por 4, entonces

Porque a=o y b=0, entonces x es cualquier número

Porque 7 ni siquiera es divisible por 10, entonces no hay soluciones.

4. Manera de enumerar opciones.

En el método de enumeración de opciones, es necesario tener en cuenta los signos de divisibilidad de los números, para considerar todas las opciones posibles para la igualdad de la enumeración final. Este método se puede utilizar para resolver estos problemas:

№1 Encuentra el conjunto de todos los pares de números naturales que son la solución de la ecuación 49x+69y=602

Expresamos a partir de la ecuación x =,

Porque x e y son números naturales, entonces x = ≥ 1, multiplica toda la ecuación por 49 para deshacerte del denominador:

Mover 602 al lado izquierdo:

51y ≤ 553, expresa y, y= 10

Una enumeración completa de opciones muestra que las soluciones naturales de la ecuación son x=5, y=7.

Respuesta: (5,7).-

№2 Resuelve el problema

De los números 2, 4, 7, se debe hacer un número de tres dígitos, en el que ningún número pueda repetirse más de dos veces.

Encontremos el número de todos los números de tres dígitos que comienzan con el número 2: (224, 242, 227, 272, 247, 274, 244, 277) - hay 8 de ellos.

Del mismo modo, encontramos todos los números de tres dígitos que comienzan con los números 4 y 7: (442, 424, 422, 447, 474, 427, 472, 477).

(772, 774, 727, 747, 722, 744, 724, 742) - también son 8 números cada uno. Solo hay 24 números.

Respuesta: 24.

5. Fracción continua y algoritmo de Euclides

Una fracción continua es una expresión de una fracción ordinaria en la forma

donde q 1 es un número entero y q 2 , … ,qn son números naturales. Tal expresión se llama fracción continua (continua finita). Hay fracciones continuas finitas e infinitas.

Para los números racionales, la fracción continua tiene una forma finita. Además, la sucesión a i es exactamente la sucesión de cocientes que se obtiene aplicando el algoritmo de Euclides al numerador y denominador de una fracción.

Resolviendo ecuaciones con fracciones continuas, compilé un algoritmo general de acciones para este método de resolución de ecuaciones en números enteros.

Algoritmo

1) Compilar la razón de los coeficientes para las incógnitas en forma de fracción

2) Convertir expresión a fracción impropia

3) Selecciona la parte entera de una fracción impropia

4) Reemplazar una fracción propia con una fracción igual

5) Haz 3.4 con la fracción equivocada obtenida en el denominador

6) Repetir 5 hasta el resultado final

7) En la expresión resultante, descartar el último eslabón de la fracción continua, convertir la nueva fracción continua resultante en una simple y restarla de la fracción original.

Ejemplo#1 Resuelve la ecuación 127x- 52y+ 1 = 0 en números enteros

Transformemos la razón de los coeficientes en las incógnitas.

En primer lugar, seleccionamos la parte entera de la fracción impropia; = 2 +

Reemplazar una fracción propia por una fracción igual.

Donde = 2+

Hagamos las mismas transformaciones con la fracción impropia obtenida en el denominador.

Ahora la fracción original tomará la forma: Repitiendo el mismo razonamiento para la fracción, obtenemos

Obtuvimos una expresión llamada fracción continua o continua final. Habiendo descartado el último enlace de esta fracción continua, un quinto, convertimos la nueva fracción continua resultante en una simple y la restamos de la fracción original:

Llevemos la expresión resultante a un denominador común y descartémosla.

De donde 127∙9-52∙22+1=0. Comparando la igualdad obtenida con la ecuación 127x- 52y+1 = 0, se sigue que entonces x= 9, y= 22 es una solución a la ecuación original, y según el teorema, todas sus soluciones estarán contenidas en las progresiones x = 9+ 52t, y= 22+ 127t , donde t=(0; ±1; ±2....). , descartar su último eslabón y hacer cálculos similares a los anteriores.

Para probar esta suposición, necesitaremos algunas propiedades de las fracciones continuas.

Considere una fracción irreducible. Denotar por q 1 el cociente y por r 2 el resto de dividir a por b. Entonces obtenemos:

Entonces b=q 2 r 2 +r 3 ,

Similar

r 2 \u003d q 3 r 3 + r 4, ;

r 3 \u003d q 4 r 4 + r 5,;

………………………………..

Las cantidades q 1 , q 2 ,… se llaman cocientes incompletos. El proceso anterior de formar cocientes incompletos se llama Algoritmo de Euclides. Restos de la división r 2 , r 3 ,…satisfacen las desigualdades

esos. forman una serie de números no negativos decrecientes.

Ejemplo #2 Resuelve la ecuación 170x+190y=3000 en números enteros

Después de reducir por 10, la ecuación se ve así,

Para encontrar una solución particular, usamos la expansión de una fracción en una fracción continua

Habiendo colapsado la penúltima fracción adecuada para ella en una ordinaria

Una solución particular de esta ecuación tiene la forma

X 0 \u003d (-1) 4300 ∙ 9 \u003d 2700, y 0 \u003d (-1) 5300 ∙ 8 \u003d -2400,

y la general viene dada por la formula

x=2700-19k, y=-2400+17k.

de donde obtenemos la condición sobre el parámetro k

Esos. k=142, x=2, y=14. .

6. Método de factoraje

El método de enumeración de opciones es una forma inconveniente, ya que hay casos en los que es imposible encontrar soluciones completas por enumeración, ya que hay un número infinito de tales soluciones. El método de factorización es una técnica muy interesante y se encuentra tanto en matemáticas elementales como en matemáticas superiores.

La esencia consiste en una transformación idéntica. El significado de cualquier transformación idéntica es escribir una expresión en una forma diferente conservando su esencia. Considere ejemplos de la aplicación de este método.

№1 Resuelve la ecuación en números enteros y 3 -X 3 = 91.

Usando las fórmulas de multiplicación abreviadas, descomponemos el lado derecho de la ecuación en factores:

(y - x)(y2 + xy + x2) = 91

Escribimos todos los divisores del número 91: ± 1; ± 7; ± 13; ±91

Tenga en cuenta que para cualquier número entero x e y el número

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y||x| + x 2 = (|y| - |x|) 2 ≥ 0,

por lo tanto, ambos factores del lado izquierdo de la ecuación deben ser positivos. Entonces la ecuación original es equivalente al conjunto de sistemas de ecuaciones:

Habiendo resuelto los sistemas, seleccionamos aquellas raíces que son números enteros.

Obtenemos soluciones a la ecuación original: (5; 6), (-6; -5); (-3; 4),(-4; 3).

Respuesta: (5; 6); (-sesenta y cinco); (-3; 4); (-4;3).

№2 Encuentra todos los pares de números naturales que satisfacen la ecuación x 2 -y 2 = 69

Factorizamos el lado izquierdo de la ecuación y escribimos la ecuación como

Porque los divisores del numero 69 son los numeros 1, 3, 23 y 69, entonces el 69 se puede obtener de dos formas: 69=1 69 y 69=3 23. Considerando que x-y > 0, obtenemos dos sistemas de ecuaciones, al resolverlos podemos encontrar los números deseados:

Habiendo expresado una variable y sustituyéndola en la segunda ecuación, encontramos las raíces de las ecuaciones.El primer sistema tiene una solución x=35;y=34, y el segundo sistema tiene una solución x=13, y=10.

Respuesta: (35; 34), (13; 10).

№3 Resuelva la ecuación x + y \u003d xy en números enteros:

Escribimos la ecuación en la forma

Factoricemos el lado izquierdo de la ecuación. Obtener

El producto de dos números enteros puede ser igual a 1 solo en dos casos: si ambos son iguales a 1 o -1. Obtenemos dos sistemas:

El primer sistema tiene una solución x = 2, y = 2, y el segundo sistema tiene una solución x = 0, y = 0. Respuesta: (2; 2), (0; 0).

№4 Demuestra que la ecuación (x - y) 3 + (y - z) 3 + (z-x) 3 = 30 no tiene soluciones en números enteros.

Factorizamos el lado izquierdo de la ecuación y dividimos ambos lados de la ecuación por 3, como resultado obtenemos la ecuación:

(x - y)(y - z)(z - x) = 10

Los divisores de 10 son los números ±1, ±2, ±5, ±10. Tenga en cuenta también que la suma de los factores en el lado izquierdo de la ecuación es igual a 0. Es fácil comprobar que la suma de tres números cualesquiera del conjunto de divisores del número 10, dando 10 en el producto, no igual a 0. Por lo tanto, la ecuación original no tiene soluciones en números enteros.

7. Método de residuos

La tarea principal del método es encontrar el resto de la división de ambas partes de la ecuación por un número entero, en base a los resultados obtenidos. Muchas veces la información obtenida reduce las posibilidades de los conjuntos solución de la ecuación. Considere ejemplos:

№1 Demuestra que la ecuación x 2 = 3y + 2 no tiene soluciones en números enteros.

Prueba.

Considere el caso donde x, y ∈ N. Considere los restos de ambos lados divididos por 3. El lado derecho de la ecuación da un resto de 2 cuando se divide por 3 para cualquier valor de y. El lado izquierdo, que es el cuadrado de un número natural, cuando se divide por 3, siempre da un resto de 0 o 1. Con base en esto, concluimos que no hay solución para esta ecuación en números naturales.

Considere el caso cuando uno de los números es igual a 0. Entonces, obviamente, no hay soluciones en números enteros.

El caso en que y es un entero negativo no tiene solución, porque el lado derecho será negativo y el lado izquierdo positivo.

El caso en que x es un entero negativo tampoco tiene solución, porque cae dentro de uno de los casos considerados anteriormente debido al hecho de que (-x) 2 = (x) 2 .

Resulta que la ecuación indicada no tiene soluciones en números enteros, lo cual se requirió demostrar.

№2 Resolver en números enteros 3 X = 1 + y 2 .

No es difícil ver que (0; 0) es la solución de esta ecuación. Queda por probar que la ecuación no tiene otras raíces enteras.

Considere los casos:

1) Si x∈N, y∈N, entonces Z es divisible por tres sin resto, y 1 + y 2 cuando se divide por 3 da

el resto es 1 o 2. Por lo tanto, la igualdad para enteros positivos

valores de x, y es imposible.

2) Si x es un entero negativo, y∈Z , entonces 0< 3 х < 1, а 1 + y 2 ≥ 0 и

la igualdad también es imposible. Por lo tanto, (0; 0) es el único

Respuesta: (0; 0).

№3 Resuelve la ecuación 2x 2 -2xy+9x+y=2 en enteros:

Expresemos a partir de la ecuación la incógnita que entra en ella solo hasta el primer grado, es decir, la variable y:

2x 2 + 9x-2 = 2xy-y, de donde

Seleccionamos la parte entera de la fracción usando la regla para dividir un polinomio por un polinomio "ángulo". Obtenemos:

Obviamente, una diferencia de 2x-1 solo puede tomar los valores -3, -1, 1 y 3.

Queda por enumerar estos cuatro casos, de los cuales obtenemos soluciones: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

Respuesta: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

8. Un ejemplo de resolución de ecuaciones con dos variables en números enteros como cuadrados con respecto a una de las variables

№1 Resuelve la ecuación 5x en números enteros 2 +5 años 2 + 8xy+2y-2x +2=0

Esta ecuación se puede resolver mediante el método de factorización, sin embargo, este método, aplicado a esta ecuación, es bastante laborioso. Consideremos una forma más racional.

Escribimos la ecuación en forma de cuadrática con respecto a la variable x:

5x 2 +(8y-2)x+5y 2 +2y+2=0

Encontramos sus raíces.

Esta ecuación tiene solución si y sólo si el discriminante

de esta ecuación es igual a cero, es decir - 9(y+1) 2 =0, por lo tanto y= - 1.

Si y=-1, entonces x=1.

Respuesta: (1; - 1).

9. Un ejemplo de resolución de problemas usando ecuaciones en números enteros.

№ 1. Resuelve la ecuación en números naturales : donde n>m

Expresemos la variable n en términos de la variable m:

Encontremos los divisores del número 625: este es 1; cinco; 25; 125; 625

1) si m-25 =1, entonces m=26, n=25+625=650

2) m-25 =5, luego m=30, n=150

3) m-25 =25, luego m=50, n=50

4) m-25 =125, luego m=150, n=30

5) m-25 =625, luego m=650, n=26

Respuesta: m=150, n=30

№ 2. Resuelve la ecuación en números naturales: mn +25 = 4m

Solución: mn +25 = 4m

1) expresar la variable 4m en términos de n:

2) encontrar los divisores naturales del número 25: esto es 1; cinco; 25

si 4-n=1, entonces n=3, m=25

4-n=5, luego n=-1, m=5; 4-n =25, luego n=-21, m=1 (raíces extrañas)

Respuesta: (25;3)

Además de las tareas para resolver la ecuación en números enteros, hay tareas para probar el hecho de que la ecuación no tiene raíces enteras.

Al resolver tales problemas, es necesario recordar las siguientes propiedades de divisibilidad:

1) Si n Z; n es divisible por 2, entonces n = 2k, k ∈ Z.

2) Si n ∈ Z; n no es divisible por 2, entonces n = 2k+1, k ∈ Z.

3) Si n ∈ Z; n es divisible por 3, entonces n = 3k, k ∈ Z.

4) Si n ∈ Z; n no es divisible por 3, entonces n = 3k±1, k ∈ Z.

5) Si n ∈ Z; n no es divisible por 4, entonces n = 4k+1; n = 4k+2; n = 4k+3. k ∈ Z.

6) Si n ∈ Z; n(n+1) es divisible por 2, entonces n (n+1)(n+2) es divisible por 2;3;6.

7) norte; n+1 son coprimos.

№3 Demuestra que la ecuación x 2 - 3y = 17 no tiene soluciones enteras.

Prueba:

Sea x; y - soluciones de la ecuación

x 2 \u003d 3 (y + 6) -1 y ∈ Z entonces y+6 ∈ Z , entonces 3(y+6) es divisible por 3, por lo tanto 3(y+6)-1 no es divisible por 3, por lo tanto x 2 no es divisible por 3, por lo tanto x no es divisible por 3, entonces x = 3k±1, k ∈ Z.

Sustituye esto en la ecuación original.

Tenemos una contradicción. Esto significa que la ecuación no tiene soluciones enteras, lo cual se requiere demostrar.

10. Fórmula máxima

La fórmula de Pick fue descubierta por el matemático austriaco Georg Pick en 1899. La fórmula está relacionada con las ecuaciones en números enteros en el sentido de que solo se toman los nodos enteros de los polígonos, así como los números enteros en las ecuaciones.

Usando esta fórmula, puede encontrar el área de una figura construida en una hoja en una celda (triángulo, cuadrado, trapezoide, rectángulo, polígono).

En esta fórmula, encontraremos puntos enteros dentro del polígono y en su borde.

En las tareas que estarán en el examen, hay todo un grupo de tareas en las que se da un polígono construido en una hoja en una celda y hay una pregunta sobre cómo encontrar el área. La escala de la celda es de un centímetro cuadrado.

Ejemplo 1

M - el número de nodos en el borde del triángulo (en los lados y vértices)

N es el número de nodos dentro del triángulo.

* Bajo "nudos" nos referimos a la intersección de líneas. Encuentra el área del triángulo:

Tenga en cuenta los nodos:

M = 15 (indicado en rojo)

N = 34 (marcado en azul)

Ejemplo #2

Encuentra el área del polígono: Fíjate en los nodos:

M = 14 (indicado en rojo)

N = 43 (marcado en azul)

12.Método de descenso

Uno de los métodos para resolver ecuaciones en números enteros, el método del descenso, se basa en el teorema de Fermat.

El método del descenso es un método que consiste en construir una solución a una secuencia infinita de soluciones con z positiva infinitamente decreciente.

Consideraremos el algoritmo de este método usando el ejemplo de resolver una ecuación específica.

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación en números enteros 5x + 8y = 39.

1) Elijamos la incógnita que tiene el coeficiente más pequeño (en nuestro caso, es x), y expresémosla en términos de otra incógnita:

2) Selecciona la parte entera: Obviamente, x será entero si la expresión resulta ser entera, lo que, a su vez, ocurrirá cuando el número 4 - 3y sea divisible por 5 sin resto.

3) Introduzcamos una variable entera adicional z como sigue: 4 -3y = 5z. Como resultado, obtenemos una ecuación del mismo tipo que la original, pero con coeficientes menores.

4) Lo resolvemos ya con respecto a la variable y, argumentando exactamente lo mismo que en los párrafos 1, 2: Seleccionando la parte entera, obtenemos:

5) Argumentando de forma similar a la anterior, introducimos una nueva variable u: 3u = 1 - 2z.

6) Expresar la incógnita con el coeficiente más pequeño, en este caso la variable z: . Exigiendo que sea un número entero, obtenemos: 1 - u = 2v, de donde u = 1 - 2v. No hay más fracciones, el descenso ha terminado (continuamos el proceso hasta que no queden fracciones en la expresión de la siguiente variable).

7) Ahora necesitas "subir". Expresar mediante la variable v primero z, luego y y luego x:

8) Las fórmulas x = 3+8v e y = 3 - 5v, donde v es un número entero arbitrario, representan la solución general de la ecuación original en números enteros.

Así, el método de descenso implica primero la expresión secuencial de una variable a través de otra, hasta que no queden fracciones en la representación de la variable, y luego, el “ascenso” secuencial a lo largo de la cadena de igualdades para obtener una solución general a la ecuación.

12.Conclusión

Como resultado del estudio, se confirmó la hipótesis de que las dificultades para resolver ecuaciones en números enteros se deben a que no conocía todos los métodos para resolverlos. En el curso de la investigación, logré encontrar y describir formas poco conocidas de resolver ecuaciones en números enteros, ilustrándolas con ejemplos. Los resultados de mi investigación pueden ser útiles para todos los estudiantes interesados ​​en las matemáticas.

13. Bibliografía

Recursos del libro:

1. N. Ya. Vilenkin et al., Álgebra y análisis matemático / Grado 10, Grado 11 / / M., "Prosveshchenie", 1998;

2. A. F. Ivanov et al., Matemáticas. Materiales educativos y de capacitación para prepararse para el examen // Voronezh, GOUVPO VSTU, 2007

3. A. O. Gel’fond, Matemáticas, teoría de números// Resolución de ecuaciones en números enteros// LIBROCOM Book House

Recursos de Internet:

4. Versiones de demostración de materiales de medición de control del examen estatal unificado de matemáticas http://fipi.ru/

5. Ejemplos de soluciones de ecuaciones en números enteros http://reshuege.ru

6. Ejemplos de soluciones de ecuaciones en números enteros http://mat-ege.ru

7.Historia de las ecuaciones diofánticas http://www.goldenmuseum.com/1612Hilbert_rus.html

8. Historia de Diofanto http://nenuda.ru/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F- % D1%81-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D0%BC%D1%8F-%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5 % D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8-%D0%B2-%D1%86%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D1%85 - %D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0%D1%85.htm

9.Historia de las ecuaciones diofánticashttp://dok.opredelim.com/docs/index-1732.html

10. Historia de Diofanto http://www.studfiles.ru/preview/4518769/

1.3 Maneras de resolver ecuaciones

Al resolver ecuaciones en números enteros y naturales, convencionalmente se pueden distinguir los siguientes métodos:

1. Una forma de enumerar opciones.

2. Algoritmo de Euclides.

3. Fracciones continuas.

4. Método de factorización.

5. Resolver ecuaciones en números enteros como cuadrados con respecto a alguna variable.

6. Método de los residuales.

7. Método de descenso infinito.

Capitulo 2

1. Ejemplos de resolución de ecuaciones.

2.1 Algoritmo de Euclides.

Tarea 1 . Resolver la ecuación en números enteros 407 X – 2816y = 33.

Usemos el algoritmo compilado.

1. Usando el algoritmo de Euclides, encontramos el máximo común divisor de los números 407 y 2816:

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

374 = 33 11 + 11;

Por lo tanto (407.2816) = 11, con 33 divisible por 11

2. Divide ambos lados de la ecuación original por 11 para obtener la Ecuación 37 X – 256y= 3, y (37, 256) = 1

3. Usando el algoritmo de Euclides, encontramos una representación lineal del número 1 a través de los números 37 y 256.

256 = 37 6 + 34;

Expresemos 1 a partir de la última igualdad, luego ascendiendo sucesivamente las igualdades expresaremos 3; 34 y sustituya las expresiones resultantes en la expresión de 1.

1 = 34 – 3 11 = 34 – (37 – 34 1) 11 = 34 12 – 37 11 = (256 – 37 6) 12 – 37 11 =

– 83 37 – 256 (–12)

Así, 37 (- 83) - 256 (-12) = 1, de ahí el par de números x0= – 83 y en 0= – 12 es la solución de la Ecuación 37 X – 256y = 3.

4. Escriba la fórmula general para las soluciones de la ecuación original

donde t- cualquier número entero.

2.2 Modo de enumerar opciones.

Tarea 2. Los conejos y los faisanes se sientan en una jaula, tienen 18 patas en total. ¿Averigua cuántos de esos y otros hay en la celda?

Solución: Se elabora una ecuación con dos variables desconocidas, en la que x es el número de conejos, y es el número de faisanes:

4x + 2y = 18, o 2x + y = 9.

Rápido en al otro lado de X : y \u003d 9 - 2x.

X	1	2	3	4
en	7	5	3	1

Así, el problema tiene cuatro soluciones.

Responder: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

2.3 Método de factorización.

La enumeración de opciones a la hora de encontrar soluciones naturales a una ecuación con dos variables resulta muy laboriosa. Además, si la ecuación tiene entero soluciones, es imposible enumerarlas, ya que hay un número infinito de tales soluciones. Por lo tanto, mostraremos un truco más: método de factorización.

Tarea 3. Resolver la ecuación en números enterosy 3 - X 3 = 91.

Solución. 1) Usando las fórmulas de multiplicación abreviadas, descomponemos el lado derecho de la ecuación en factores:

(y - X)(y 2 + xy + X 2) = 91……………………….(1)

2) Escribe todos los divisores del número 91: ± 1; ± 7; ± 13; ±91

3) Realizamos investigaciones. Tenga en cuenta que para cualquier número entero X Y y número

y 2 + yx + X 2 ≥ y 2 - 2|y||X| + X 2 = (|y| - |X|) 2 ≥ 0,

por lo tanto, ambos factores del lado izquierdo de la ecuación deben ser positivos. Entonces la ecuación (1) es equivalente a un conjunto de sistemas de ecuaciones:

; ; ;

4) Habiendo resuelto los sistemas, obtenemos: el primer sistema tiene soluciones (5; 6), (-6; -5); tercero (-3; 4),(-4; 3); la segunda y cuarta soluciones en números enteros no tienen.

Responder: la ecuación (1) tiene cuatro soluciones (5; 6); (-sesenta y cinco); (-3; 4); (-4;3).

Tarea 4. Encuentre todos los pares de números naturales que satisfagan la ecuación

Solución. Factorizamos el lado izquierdo de la ecuación y escribimos la ecuación como

.

Porque los divisores del numero 69 son los numeros 1, 3, 23 y 69, entonces el 69 se puede obtener de dos formas: 69=1 69 y 69=3 23. Dado que

, obtenemos dos sistemas de ecuaciones, al resolverlos podemos encontrar los números deseados: o .

El primer sistema tiene solución.

, y el segundo sistema tiene solución .

Responder:

.

Tarea 5. Resolver la ecuación en números enteros:

.

Solución. Escribimos la ecuación en la forma

.

Factoricemos el lado izquierdo de la ecuación. Obtener

.

El producto de dos números enteros puede ser igual a 1 solo en dos casos: si ambos son iguales a 1 o -1. Obtenemos dos sistemas:

o .

El primer sistema tiene la solución x=2, y=2 y el segundo sistema tiene la solución x=0, y=0.

Responder:

.

Tarea 6. Resolver la ecuación en números enteros

Solución. Escribimos esta ecuación en la forma

.

Descomponemos el lado izquierdo de la ecuación en factores por el método de agrupación, obtenemos

.

El producto de dos números enteros puede ser igual a 7 en los siguientes casos:

7=1 7=7 1=-1 (-7)=-7 (-1) Así, tenemos cuatro sistemas:

o , o , o .

La solución del primer sistema es un par de números x = - 5, y = - 6. Resolviendo el segundo sistema, obtenemos x = 13, y = 6. Para el tercer sistema, la solución son los números x = 5, y = 6. El cuarto sistema tiene una solución x = - 13, y = - 6.

.

Tarea 7. Demostrar que la ecuación ( X - y) 3 + (y - z) 3 + (z - X) 3 = 30 no

Introducción

Hay muchos problemas de matemáticas que tienen uno o más números enteros como respuesta. Como ejemplo, podemos citar cuatro problemas clásicos resueltos en números enteros: el problema del peso, el problema de dividir un número, el problema del intercambio y el problema de los cuatro cuadrados. Cabe señalar que, a pesar de la formulación bastante simple de estos problemas, son muy difíciles de resolver, utilizando el aparato de análisis matemático y combinatoria. Las ideas para resolver los dos primeros problemas pertenecen al matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783). Sin embargo, la mayoría de las veces puedes encontrar problemas en los que se propone resolver la ecuación en números enteros (o en números naturales). Algunas de estas ecuaciones se resuelven con bastante facilidad por el método de selección, pero esto plantea un problema grave: es necesario probar que todas las soluciones de esta ecuación están agotadas por las seleccionadas (es decir, no hay soluciones que sean diferentes de la seleccionados). Esto puede requerir una variedad de técnicas, tanto estándar como artificiales. Un análisis de la literatura matemática adicional muestra que tales tareas son bastante comunes en las olimpiadas de matemáticas de diferentes años y niveles, así como en la tarea 19 de la USE en matemáticas (nivel de perfil). Al mismo tiempo, este tema prácticamente no se considera en el curso de matemáticas de la escuela, por lo que los escolares, que participan en Olimpiadas matemáticas o toman el examen de perfil en matemáticas, generalmente enfrentan dificultades significativas para completar tales tareas. En este sentido, es recomendable destacar un sistema de métodos básicos para resolver ecuaciones en números enteros, especialmente porque este tema no se trata explícitamente en la literatura matemática estudiada. El problema descrito determinó el propósito de este trabajo: resaltar los principales métodos para resolver ecuaciones en números enteros. Para lograr este objetivo, fue necesario resolver las siguientes tareas:

1) Analizar los materiales de la Olimpiada, así como los materiales del examen de perfil en matemáticas;

2) Designar métodos para resolver ecuaciones en números enteros y resaltar los predominantes;

3) Ilustrar los resultados obtenidos con ejemplos;

4) Redactar varias tareas de capacitación sobre este tema;

5) Usando las tareas desarrolladas, determine el grado de preparación de los estudiantes de noveno grado de la escuela secundaria MBOU No. 59 para resolver tales problemas y sacar conclusiones prácticas.

Parte principal

Un análisis de diversa literatura matemática muestra que entre los métodos para resolver ecuaciones en números enteros, se pueden distinguir como principales los siguientes:

1. Representación de la ecuación como producto de varios factores iguales a algún número entero;
2. Representación de la ecuación como suma de cuadrados de varios términos, igual a algún número entero;
3. Usando las propiedades de divisibilidad, factoriales y cuadrados exactos;
4. Uso de los teoremas pequeño y grande de Fermat;
5. método de descenso infinito;
6. Expresión de una incógnita a través de otra;
7. Resolver la ecuación como cuadrática con respecto a una de las incógnitas;
8. Consideración de los residuos de dividir ambos lados de la ecuación por algún número.

Inmediatamente es necesario especificar a qué nos referimos con los principales métodos para resolver ecuaciones. Llamaremos a los métodos más utilizados como los principales, lo que, por supuesto, no excluye la posibilidad de utilizar periódicamente nuevos métodos "inesperados". Además, en la gran mayoría de los casos, se utilizan sus diversas combinaciones, es decir, se combinan varios métodos.
Como ejemplo de una combinación de métodos, considere la ecuación propuesta en la USE en matemáticas en 2013 (tarea C6).

Una tarea. Resolver la ecuación en números naturales norte! + 5norte + 13 = k 2 .

Solución. Tenga en cuenta que termina en cero en norte> 4. Además, para cualquier n ∈ N, termina con el dígito 0 o con el dígito 5. Por lo tanto, para norte> 4 el lado izquierdo de la ecuación termina con el número 3 o el número 8. Pero también es igual al cuadrado exacto, que no puede terminar con estos números. Así que solo hay cuatro opciones para elegir: norte = 1, norte = 2, norte = 3, norte = 4.

Entonces la ecuación tiene una única solución natural. norte = 2, k = 5.

Este problema usó las propiedades de los cuadrados exactos, las propiedades de los factoriales y los restos de dividir ambos lados de la ecuación por 10.

Tarea 1. norte 2 - 4y! = 3.

Solución. Primero, reescribimos la ecuación original como norte 2 = 4y! + 3. Si miras esta relación desde el punto de vista del teorema de la división con resto, entonces puedes ver que el cuadrado exacto en el lado izquierdo de la ecuación da un resto de 3 cuando se divide por 4, lo cual es imposible . De hecho, cualquier número entero se puede representar en una de las siguientes cuatro formas:

Por lo tanto, el cuadrado exacto cuando se divide por 4 da un resto de 0 o 1. Por lo tanto, la ecuación original no tiene soluciones.

Idea clave– aplicación de las propiedades de los cuadrados exactos.

Tarea 2. 8z 2 = (t!) 2 + 2.

Solución. La verificación directa muestra que t= 0 y t= 1 no son soluciones a la ecuación. Si t> 1, entonces t! es un número par, es decir, se puede representar como t! = 2s. En este caso, la ecuación se puede convertir a la forma 4 z 2 = 2s 2 + 1. Sin embargo, la ecuación resultante obviamente no tiene soluciones, porque hay un número par en el lado izquierdo y un número impar en el lado derecho.

Idea clave– aplicación de las propiedades de los factoriales.

Tarea 3. Resuelve la ecuación x 2 + y 2 - 2x + 6y + 5 = 0 en números enteros.

Solución. La ecuación original se puede reescribir de la siguiente manera: ( X – 1) 2 + (y + 3) 2 = 5.

De la condición se sigue que ( X – 1), (y+ 3) son números enteros. Por lo tanto, esta ecuación es equivalente al siguiente conjunto:

Ahora podemos escribir todas las posibles soluciones enteras de la ecuación.

Tarea 4. Resolver la ecuación en números enteros zt + t – 2z = 7.

Solución. La ecuación original se puede transformar a la forma ( z + 1) (t– 2) = 5. Números ( z + 1), (t– 2) son números enteros, por lo que tienen lugar las siguientes opciones:

Entonces, la ecuación tiene exactamente cuatro soluciones enteras.

Idea clave- representación de la ecuación en forma de producto igual a un número entero.

Tarea 5. Resolver la ecuación en números enteros norte(norte + 1) = (2k+ 1)‼

Solución. Número 2 k+ 1)‼ es impar para todos los valores no negativos k según definición (con negativo k no está definido en absoluto). Por otro lado, es igual a norte(norte+ 1), que es par para todos los valores enteros k. Contradicción.

Idea clave– uso de partes pares/impares de la ecuación.

Tarea 6. Resolver la ecuación en números enteros xy + X + 2y = 1.

Solución. Por transformación, la ecuación se puede reducir a la siguiente:

Esta transformación no cambió la ODZ de las incógnitas incluidas en la ecuación, ya que la sustitución y= -1 en la ecuación original conduce a la absurda igualdad -2 = 1. Según la condición, X es un número entero. En otras palabras, también un número entero. Pero entonces el número debe ser un número entero. Una fracción es un número entero si y solo si el numerador es divisible por el denominador. Divisores del número 3: 1,3 -1, -3. Por lo tanto, hay cuatro casos posibles para la incógnita: y = 0, y = 2, y= –2, y = –4. Ahora podemos calcular los valores correspondientes de la incógnita X. Entonces, la ecuación tiene exactamente cuatro soluciones enteras: (–5;0), (–5;2), (1;–2), (1;–4).

Idea clave es una expresión de una incógnita en términos de otra.

Tarea 7. metro= norte 2 + 2.

Solución. Si metro= 0, entonces la ecuación toma la forma norte 2 = -1. No tiene soluciones completas. Si metro < 0, то левая часть уравнения, а значит, и norte, no será un número entero. Medio, metro> 0. Entonces el lado derecho de la ecuación (así como el lado izquierdo) será un múltiplo de 5. Pero en este caso norte 2 cuando se divide por 5 debe dar un resto de 3, lo cual es imposible (esto se demuestra por el método de enumeración de los restos, que se describió en la resolución del problema 1). Por lo tanto, esta ecuación no tiene soluciones en números enteros.

Idea clave– encontrar los restos de dividir ambas partes de la ecuación por algún número natural.

Tarea 8. Resolver la ecuación en números enteros ( X!) 4 + (y – 1) 4 = (z + 1) 4 .

Solución. Tenga en cuenta que, dado que los exponentes son pares, la ecuación es equivalente a la siguiente: ( X!) 4 + |y – 1| 4 = |z+ 1| 4 . Luego X!, |y – 1|, |z+ 1| - números enteros. Sin embargo, según el último teorema de Fermat, estos números naturales no pueden satisfacer la ecuación original. Por lo tanto, la ecuación es irresoluble en números enteros.

Idea clave- Uso del Último Teorema de Fermat.

Tarea 9. Resolver la ecuación en números enteros X 2 + 4y 2 = 16xy.

Solución. De la condición del problema se sigue que X- número par. Luego X 2 = 4X 12 La ecuación se convierte a la forma X 1 2 + y 2 = 8X 1 y. De aquí se sigue que los números X 1 , y tener la misma paridad. Consideremos dos casos.

1 caso. Permitir X 1 , y- números impares. Luego X 1 = 2t + 1, y = 2s+ 1. Sustituyendo estas expresiones en la ecuación, obtenemos:

Realicemos las transformaciones correspondientes:

Reduciendo ambos lados de la ecuación resultante por 2, obtenemos?

En el lado izquierdo hay un número impar y en el lado derecho hay un número par. Contradicción. Entonces 1 caso es imposible.

2 caso. Permitir X 1 , y- Números pares. Luego X 1 = 2X 2 + 1, y = 2y una . Sustituyendo estos valores en la ecuación, obtenemos:

Así, se obtiene una ecuación, exactamente igual que en el paso anterior. Se investiga de manera similar, por lo que en el siguiente paso obtenemos la ecuación etc De hecho, realizando estas transformaciones en base a la paridad de las incógnitas, obtenemos los siguientes desarrollos: . Pero las cantidades norte Y k no están limitadas, ya que en cualquier paso (con un número arbitrariamente grande) obtendremos una ecuación equivalente a la anterior. Es decir, este proceso no se puede detener. En otras palabras, los números X, y son infinitamente divisibles por 2. Pero esto ocurre solo bajo la condición de que X = y= 0. Por lo tanto, la ecuación tiene exactamente una solución entera (0; 0).

Idea clave– uso del método de descenso infinito.

Tarea 10. Resolver la ecuación 5 en números enteros X 2 – 3xy + y 2 = 4.

Solución. Reescribamos esta ecuación en la forma 5 X 2 – (3X)y + (y 2 – 4) = 0. Se puede considerar como un cuadrado con respecto a la incógnita X. Calculemos el discriminante de esta ecuación:

Para que la ecuación tenga soluciones es necesario y suficiente que , es decir, de aquí tenemos las siguientes posibilidades de y: y = 0, y = 1, y = –1, y= 2, y= –2.

Entonces, la ecuación tiene exactamente 2 soluciones enteras: (0;2), (0;–2).

Idea clave– consideración de la ecuación como cuadrática con respecto a una de las incógnitas.

Las tareas recopiladas por el autor se utilizaron en el experimento, que consistió en lo siguiente. A todos los estudiantes del grado noveno se les ofrecieron tareas desarrolladas con el fin de identificar el nivel de preparación de los niños sobre este tema. Cada uno de los estudiantes tuvo que ofrecer un método para encontrar soluciones enteras a las ecuaciones. 64 estudiantes participaron en el experimento. Los resultados obtenidos se presentan en la tabla 1.

TABLA 1

Número de empleo	Número de estudiantes que completaron la tarea (porcentaje)

Estos indicadores indican que el nivel de preparación de los estudiantes de noveno grado en este tema es muy bajo. Por lo tanto, parece conveniente organizar un curso especial "Ecuaciones en números enteros", que tendrá como objetivo mejorar el conocimiento de los estudiantes en esta área. En primer lugar, se trata de estudiantes que participan sistemáticamente en concursos y olimpiadas de matemáticas, y también tienen previsto realizar el examen de perfil en matemáticas.

conclusiones

Durante este trabajo:

1) Se analizaron los materiales de la Olimpiada, así como los materiales del Examen Estatal Unificado de matemáticas;

2) Se indican los métodos de resolución de ecuaciones en números enteros y se resaltan los predominantes;

3) Los resultados obtenidos se ilustran con ejemplos;

4) Tareas de capacitación compiladas para estudiantes de noveno grado;

5) Se montó un experimento para identificar el nivel de preparación en este tema de los estudiantes de noveno grado;

6) Se analizaron los resultados del experimento y se sacaron conclusiones sobre la conveniencia de estudiar ecuaciones en números enteros en un curso especial de matemáticas.

Los resultados obtenidos en el curso de este estudio se pueden utilizar en la preparación para las Olimpiadas matemáticas, el Examen estatal unificado de matemáticas, así como para impartir clases en un círculo matemático.

Bibliografía

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5. Yu. A. Gastev y M. L. Smolyanskii, “Algunas palabras sobre el último teorema de Fermat”, Kvant, agosto de 1972.

Glosario

Método de Descenso Infinito- un método desarrollado por el matemático francés P. Fermat (1601–1665), que consiste en obtener una contradicción construyendo una secuencia infinitamente decreciente de números naturales. Una especie de prueba por contradicción.

Cuadrado exacto (completo) es el cuadrado de un entero.

Factorial de un número natural norte es el producto de todos los números naturales del 1 al norte inclusivo.