Nod primjeri. Zajednički djelitelj i višekratnik. Što je GCD

Dividenda, koja je djeljiva zadanim djeliteljem bez ostatka, naziva se drugačije višestruko... Na primjer, 48 je višekratnik 8, 48 je višekratnik, a 8 je djelitelj.

Broj može biti višekratnik ne jednog, već nekoliko brojeva odjednom, takav se broj naziva zajednički višestruki... Na primjer, 77 je zajednički višekratnik 1, 7, 11, 77.

Još jedan primjer. Broj 3 je višekratnik od 12, 15, 24, 27, 30 itd. Broj 5 je višekratnik od 10, 15, 25, 30, 35 itd. Brojevi 3 i 5 imaju zajedničke višekratnike 15 i 30.

Pronalaženje zajedničkog višekratnika nekoliko brojeva je prilično jednostavno, te brojeve možete jednostavno pomnožiti, kao rezultat toga, umnožak tih brojeva bit će njihov zajednički višekratnik.

NOO

Od svih zajedničkih višekratnika ovih brojeva, najmanji zajednički višekratnik je od posebnog interesa.

Najmanji zajednički višekratnik(skraćeno LCM) od nekoliko zadanih brojeva je najmanji broj koji je djeljiv sa svakim od zadanih brojeva.

Na primjer, za tri broja: 3, 5 i 12, najmanji zajednički višekratnik je 60, budući da nijedan drugi broj manji od 60 nije djeljiv s 3, 5 ili 12.

Obično se najmanji zajednički višekratnik piše na sljedeći način: LCM ( a, b, ...) = x.

Prema tome zapisujemo najmanji zajednički višekratnik brojeva 3, 5 i 12:

LCM (3, 5, 12) = 60.

LCM kalkulator

Ovaj kalkulator će vam pomoći pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva. Samo unesite brojeve odvojene razmacima ili zarezima i kliknite gumb Izračunaj LCM.

Najveći zajednički djelitelj je još jedan pokazatelj koji vam može pomoći da lakše radite s razlomcima. Vrlo često izračuni rezultiraju razlomcima s vrlo velikim vrijednostima brojnika i nazivnika. Takve je brojke moguće reducirati u fazama, ali je izuzetno dugo, pa je lakše odmah pronaći GCD i njime ga smanjiti. Razumijemo temu detaljnije.

Što je GCD?

Najveći zajednički djelitelj (GCD) niza brojeva je najveći broj kojim se svaki od brojeva u nizu može podijeliti bez ostatka.

Kako pronaći GCD?

Da bismo pronašli GCD, potrebno je svaki od brojeva rastaviti na proste faktore i odabrati zajednički dio.

Za to nisu smislili posebnu formulu, ali postoji algoritam izračuna.

Navedimo primjer pronalaženja najvećeg zajedničkog djelitelja dvaju prirodnih brojeva: 540 i 252. Razložimo 640 na proste faktore. Redoslijed radnji je sljedeći:

• Podijelite broj s najmanjim mogućim prostim brojem. Odnosno, ako se broj može podijeliti s 2, 3 ili 5, onda prvo trebate podijeliti s 5. Samo da se ne zbunite.
• Podijelite rezultat s najmanjim mogućim prostim brojem.
• Ponavljamo dijeljenje svakog dobivenog rezultata dok ne dobijemo prost broj.

Provedimo sada isti postupak u praksi.

• 540: 2=270
• 270:2=135
• 135: 3 =45
• 45: 3=15
• 15: 5 = 3

Zapišimo rezultat u obliku jednakosti 540 = 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 5. Da biste zapisali rezultat, trebate posljednji rezultirajući broj pomnožiti sa svim djeliteljima.

Učinimo isto s brojem 252:

• 252: 2=126
• 126: 2=63
• 63: 3=21
• 21: 3 = 7

Zapišimo rezultat: 252 = 2 * 2 * 3 * 3 * 7.

Svako proširenje sadrži iste brojeve. Nađimo ih, to su dva broja 2 i dva broja 3. Razlikuju se samo 7 i 3 * 5.

Da biste pronašli GCD, morate pomnožiti zajedničke faktore. Odnosno, u radu će biti dvije dvojke i dvije trojke.

GCD = 2 * 2 * 3 * 3 = 36

Kako ga možete koristiti?

Zadatak: smanjiti razlomak $$ 252 \ preko 540 $$.

Već smo pronašli GCD za ova dva broja, sada ćemo jednostavno koristiti već izračunatu vrijednost.

Smanjite brojnik i nazivnik razlomka za 36 da dobijete odgovor.

$$ (252 \ preko540) = (7 \ preko15) $$ - da biste brzo skratili, samo pogledajte dekompoziciju brojeva.

Ako je 540 = 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 5, a GCD = 36 = 2 * 2 * 3 * 3, tada je 540 = 36 * 3 * 5. A ako podijelimo 540 sa 36, ​​onda ćemo dobiti 3 * 5 = 15.

Bez GCD-a, morali bismo pisati kratice u jednom dugačkom retku. Osim toga, postoje trenuci kada nije jasno je li uopće moguće poništiti razlomak. Za takve situacije u matematici su došli do razlaganja brojeva na proste faktore i GCD.

Što smo naučili?

Naučili smo koji je najveći zajednički djelitelj para brojeva, shvatili kako se indikator može koristiti u praksi, riješili problem pronalaženja GCD-a i korištenje GCD-a za smanjenje razlomaka. Shvatili smo da je korištenjem GCD-a moguće lakše i brže reducirati glomazne razlomke pronalaženjem GCD-a za brojnik i nazivnik.

Testirajte po temi

Ocjena članka

Prosječna ocjena: 4.3. Ukupno primljenih ocjena: 204.

Zajednički djelitelj od više brojeva naziva se broj kojim je svaki od zadanih brojeva djeljiv. Na primjer, data su dva broja: 6 i 9. Broj 6 ima faktore 1, 2, 3, 6. Broj 9 ima faktore 1, 3, 9. Vidimo da brojevi 6 i 9 imaju zajedničke faktore 1 i 3.

Najveći zajednički djelitelj(skraćeno kao gcd) nekoliko brojeva naziva se najvećim od zajedničkih djelitelja, kojim je svaki od tih brojeva djeljiv bez ostatka.

Dakle, od svih zajedničkih djelitelja 6 i 9, najveći zajednički djelitelj je 3.

Obično se najveći zajednički faktor piše na sljedeći način: GCD ( a, b, ...) = x.

Prema tome zapisujemo najveći zajednički djelitelj brojeva 6 i 9:

GCD (6, 9) = 3.

Zovu se brojevi čiji je GCD jednak jedan koprosti brojevi... Na primjer, brojevi 14 i 15 su međusobno prosti: GCD (14, 15) = 1.

GCD kalkulator

Ovaj kalkulator će vam pomoći pronaći najveći zajednički djelitelj brojeva. Samo unesite brojeve odvojene razmacima ili zarezima i kliknite gumb Izračunaj GCD.

Apstraktne ključne riječi:Cijeli brojevi. Aritmetičke operacije nad prirodnim brojevima. Djeljivost prirodnih brojeva. Prosti i složeni brojevi. Dekompozicija prirodnog broja na proste faktore. Djeljivost sa 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11. Najveći zajednički djelitelj (GCD), kao i najmanji zajednički višekratnik (LCM). Dijeljenje s ostatkom.

Cijeli brojevi Jesu li brojevi koji se koriste za brojanje predmeta - 1, 2, 3, 4 , ... Ali broj 0 nije prirodno!

Skup prirodnih brojeva označava N... Snimanje "3 ∈ N" znači da broj tri pripada skupu prirodnih brojeva, a zapis "0 ∉ N" znači da broj nula ne pripada ovom skupu.

Decimalni brojevni sustav- pozicijski radiks 10 .

Aritmetičke operacije nad prirodnim brojevima

Za prirodne brojeve definirane su sljedeće radnje: zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje, eksponencijacija, vađenje korijena. Prva četiri koraka su aritmetika.

Neka su onda a, b i c prirodni brojevi

1. ZBOR. Pojam + Pojam = Zbroj

Svojstva preklapanja
1. Putovanje a + b = b + a.
2. Kombinacija a + (b + c) = (a + b) + c.
3.a + 0 = 0 + a = a.

2. ODUZIMANJE. Smanjeno - oduzeto = razlika

Svojstva oduzimanja
1. Oduzimanje zbroja od broja a - (b + c) = a - b - c.
2. Oduzimanje broja od zbroja (a + b) - c = a + (b - c); (a + b) - c = (a - c) + b.
3.a - 0 = a.
4.a - a = 0.

3. MNOŽENJE. Multiplikator * Multiplikator = Proizvod

Svojstva množenja
1. Putovanje a * b = b * a.
2. Kombinacija a * (b * c) = (a * b) * c.
3.1 * a = a * 1 = a.
4,0 * a = a * 0 = 0.
5. Raspodjela (a + b) * c = ac + bc; (a - b) * c = ac - bc.

4. PODJELA. Dijelac: djelitelj = privatni

Svojstva podjele
1.a: 1 = a.
2.a: a = 1. Ne možete dijeliti s nulom!
3,0: ​​a = 0.

Postupak

1. Prije svega, radnje u zagradama.
2. Zatim množenje, dijeljenje.
3. I tek na kraju zbrajanje, oduzimanje.

Djeljivost prirodnih brojeva. Prosti i složeni brojevi.

Djelitelj prirodnog broja a je prirodan broj kojim a djeljivo bez ostatka. Broj 1 je djelitelj bilo kojeg prirodnog broja.

Prirodni broj se zove jednostavan ako samo ima dva djelitelj: jedinica i sam broj. Na primjer, brojevi 2, 3, 11, 23 su prosti brojevi.

Zove se broj s više od dva djelitelja kompozitni... Na primjer, brojevi 4, 8, 15, 27 su složeni brojevi.

Kriterij djeljivosti djela nekoliko brojeva: ako je barem jedan od faktora djeljiv s nekim brojem, tada je i umnožak djeljiv ovim brojem. Raditi 24 15 77 podjeljeno sa 12 budući da je faktor ovog broja 24 podjeljeno sa 12 .

Djeljivost zbroja (razlika) brojevi: ako je svaki član djeljiv nekim brojem, tada je cijeli zbroj djeljiv ovim brojem. Ako a: b i c: b, onda (a + c): b... Što ako a: b, a c nije djeljivo sa b, onda a + c nije djeljiva brojem b.

Ako a: c i c: b, onda a: b... Na temelju činjenice da je 72:24 i 24:12, zaključujemo da je 72:12.

Reprezentacija broja kao umnožaka potencija prostih brojeva naziva se faktoring broja u proste faktore.

Osnovni teorem aritmetike: bilo koji prirodni broj (osim 1 ) ili je jednostavan, ili se može rastaviti na proste faktore samo na jedan način.

Prilikom rastavljanja broja na proste faktore koriste se znakovi djeljivosti i oznaka "stupac". U ovom slučaju djelitelj se nalazi desno od okomite crte, a kvocijent se upisuje ispod dividende.

Na primjer, zadatak: razdijelite broj u proste faktore 330 ... Riješenje:

Kriteriji djeljivosti po 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 i 11.

Postoje kriteriji za djeljivost po 6, 15, 45 i tako dalje, odnosno na brojeve, čiji se umnožak može faktorizirati 2, 3, 5, 9 i 10 .

Najveći zajednički djelitelj

Naziva se najveći prirodni broj kojim je svaki od dva data prirodna broja jednako djeljiv najveći zajednički faktor ovi brojevi ( Gcd). Na primjer, GCD (10; 25) = 5; i GCD (18; 24) = 6; GCD (7; 21) = 1.

Ako je najveći zajednički djelitelj dva prirodna broja 1 , tada se ti brojevi nazivaju međusobno jednostavni.

Algoritam za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja(Gcd)

GCD se često koristi u zadacima. Primjerice, 155 bilježnica i 62 olovke podijeljeno je jednako među učenicima jednog razreda. Koliko je učenika u ovom razredu?

Riješenje: Pronalaženje broja učenika u ovom razredu svodi se na pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja 155 i 62, budući da su bilježnice i olovke podijeljene jednako. 155 = 5 31; 62 = 2 31. GCD (155; 62) = 31.

Odgovor: 31 učenik u razredu.

Najmanji zajednički višekratnik

Višekratnik prirodnog broja a naziva se prirodnim brojem koji je djeljiv sa a bez ostatka. Na primjer, broj 8 ima višestruke: 8, 16, 24, 32 , ... Svaki prirodni broj ima beskonačno mnogo višekratnika.

Najmanji zajednički višekratnik(LCM) je najmanji prirodni broj koji je višekratnik ovih brojeva.

Algoritam za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika ( NOO):

LCM se također često koristi u zadacima. Na primjer, dva biciklista su istovremeno krenula biciklističkom stazom u istom smjeru. Jedan napravi krug za 1 minutu, a drugi za 45 sekundi. Koji je najmanji broj minuta nakon početka pokreta koji će se susresti na startu?

Riješenje: Broj minuta nakon kojih će se ponovno sastati na startu mora se podijeliti s 1 minuta kao i na 45 s... U 1 minuti = 60 sekundi. Odnosno, potrebno je pronaći LCM (45; 60).
45 = 3 2 5;
60 = 2 2 3 5.
LCM (45; 60)= 2 2 3 2 5 = 4 9 5 = 180 .
Kao rezultat toga, ispada da će se biciklisti susresti na startu nakon 180 s = 3 minute.

Odgovor: 3 min.

Dijeljenje s ostatkom

Ako je prirodan broj a nije djeljivo prirodnim brojem b, onda možete izvršiti podjela ostatka... U tom slučaju se zove rezultirajući kvocijent nepotpun... Jednakost vrijedi:

a = b n + r,

gdje a- dividenda, b- razdjelnik, n- nepotpuni količnik, r- ostatak. Na primjer, neka dividenda bude 243 , razdjelnik - 4 , onda 243: 4 = 60 (ostatak 3)... To jest, a = 243, b = 4, n = 60, r = 3, tada 243 = 60 4 + 3 .

Brojevi koji su djeljivi sa 2 bez ostatka, nazivaju se čak: a = 2n, n ∈ N.

Ostali brojevi se zovu neparan: b = 2n + 1, n ∈ N.

Ovo je sinopsis na temu „Cijeli brojevi. Kriteriji djeljivosti"... Odaberite daljnje radnje za nastavak:

• Idite na sljedeći sinopsis:

Pronaći najmanji zajednički višekratnik(NOC) i najveći zajednički faktor(Gcd) dva broja, koristite naš online kalkulator:

Unesite brojeve: i
NOC:
GCD:

Definirati

Samo unesite brojeve i dobit ćete rezultat.

Kako pronaći LCM dva broja

Najmanji zajednički višestruk (LCM) dva ili više brojeva - ovo je najmanji broj koji se može podijeliti sa svakim od ovih brojeva bez ostatka.

Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik (LCM) dvaju brojeva, možete koristiti sljedeći algoritam (5. ocjena):

1. Oba broja (prvi najveći broj).
2. Usporedimo čimbenike većeg broja s faktorima manjeg. Odaberimo sve faktore manjeg broja, kojih nema u većem.
3. Zbrojimo istaknute faktore manjeg broja faktorima većeg.
4. Pronađite LCM množenjem brojnih faktora dobivenih u koraku 3.

Primjer

Na primjer, definirajmo LCM brojeva 8 i 22 .

1) Razlažemo na primarne faktore:

2) Odaberimo svih 8 faktora kojih 22 nema:

8 = 2⋅2 ⋅2

3) Dodajmo odabrane faktore od 8 faktorima od 22:

LCM (8; 22) = 2 11 2 · 2

4) Izračunavamo LCM:

LCM (8; 22)= 2 11 2 2 = 88

Kako pronaći gcd dva broja

Najveći zajednički djelitelj (GCD) dva ili više brojeva - ovo je najveći prirodni cijeli broj kojim se ti brojevi mogu podijeliti bez ostatka.

Da biste pronašli najveći zajednički nazivnik (GCD) dvaju brojeva, prvo ih trebate faktorizirati u proste faktore. Zatim morate odabrati uobičajene čimbenike koji su dostupni i za prvi i za drugi broj. Umnožimo ih - ovo će biti GCD. Da biste bolje razumjeli algoritam, razmotrite primjer:

Primjer

Na primjer, definirajte GCD brojeva 20 i 30 .

20 = 2 ⋅2⋅5

30 = 2 ⋅3⋅5

GCD (20.30) = 2⋅5 = 10