Niz članaka o kriterijima djeljivosti nastavlja se djeljivost sa 3... U ovom je članku najprije dana formulacija kriterija djeljivosti s 3, a dani su i primjeri korištenja tog kriterija kada se odgonetne koji su od zadanih cijelih brojeva djeljivi s 3, a koji nisu. Nadalje, dan je dokaz kriterija djeljivosti s 3. Razmatraju se i pristupi utvrđivanju djeljivosti s 3 broja navedena kao vrijednost nekog izraza.

Navigacija po stranici.

Djeljivost s 3, primjeri

Počnimo s formulacija kriterija djeljivosti s 3: cijeli broj je djeljiv s 3, ako je zbroj njegovih znamenki djeljiv s 3, ako zbroj znamenki određenog broja nije djeljiv s 3, tada sam broj nije djeljiv s 3.

Iz gornje formulacije jasno je da se djeljivost sa 3 predznakom ne može koristiti bez mogućnosti izvedbe. Također, za uspješnu primjenu kriterija djeljivosti s 3 morate znati da su od svih brojeva 3, 6 i 9 djeljivi s 3, a brojevi 1, 2, 4, 5, 7 i 8 nisu djeljivi sa 3.

Sada možemo razmotriti najjednostavniji primjeri primjene kriterija djeljivosti s 3... Otkrijmo je li broj −42 djeljiv s 3. Da biste to učinili, izračunajte zbroj znamenki broja −42, jednak je 4 + 2 = 6. Budući da je 6 djeljivo s 3, na temelju kriterija djeljivosti s 3, može se tvrditi da je broj −42 djeljiv s 3. Ali pozitivni cijeli broj 71 nije djeljiv s 3, jer je zbroj njegovih znamenki 7 + 1 = 8, a 8 nije djeljiv s 3.

Je li broj 0 djeljiv sa 3? Da bismo odgovorili na ovo pitanje, nije potreban kriterij djeljivosti s 3; ovdje se moramo prisjetiti odgovarajućeg svojstva djeljivosti, koje kaže da je nula djeljiva s bilo kojim cijelim brojem. Dakle, 0 je djeljivo sa 3.

U nekim slučajevima, da biste pokazali da određeni broj ima ili nema sposobnost djeljivosti s 3, morate se nekoliko puta za redom pozvati na kriterij djeljivosti s 3. Navedimo primjer.

Primjer.

Pokažite da je 907 444 812 djeljivo s 3.

Riješenje.

Zbroj znamenki broja 907 444 812 je 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39. Da bismo saznali je li 39 djeljivo s 3, izračunajmo njegov zbroj znamenki: 3 + 9 = 12. A da bismo saznali je li 12 djeljivo s 3, nalazimo zbroj znamenki broja 12, imamo 1 + 2 = 3. Kako smo dobili broj 3 koji je djeljiv sa 3, onda je, zbog djeljivosti sa 3, broj 12 djeljiv sa 3. Dakle, 39 je djeljivo s 3, jer je zbroj njegovih znamenki 12, a 12 je djeljiv s 3. Konačno, 907 333 812 djeljivo je s 3, jer je zbroj njegovih znamenki 39, a 39 djeljiv s 3.

Kako bismo konsolidirali gradivo, analizirat ćemo rješenje još jednog primjera.

Primjer.

Je li −543 205 djeljivo s 3?

Riješenje.

Izračunajmo zbroj znamenki ovog broja: 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19. Zauzvrat, zbroj znamenki broja 19 jednak je 1 + 9 = 10, a zbroj znamenki broja 10 jednak je 1 + 0 = 1. Kako smo dobili broj 1 koji nije djeljiv sa 3, iz djeljivosti sa 3 proizlazi da 10 nije djeljivo sa 3. Dakle, 19 nije djeljivo s 3, jer je zbroj njegovih znamenki 10, a 10 nije djeljivo s 3. Dakle, izvorni broj −543 205 nije djeljiv s 3, jer zbroj njegovih znamenki jednak 19 nije djeljiv s 3.

Odgovor:

Ne.

Vrijedi napomenuti da nam izravna podjela ovog broja s 3 također omogućuje da zaključimo je li ovaj broj jednako djeljiv s 3 ili ne. Time želimo reći da ne treba zanemariti dijeljenje u korist kriterija djeljivosti s 3. U posljednjem primjeru, 543 205 sa 3, pobrinuli bismo se da 543 205 nije djeljivo s 3, pa bismo mogli reći da −543 205 nije djeljivo s 3.

Dokaz djeljivosti sa 3

Sljedeći prikaz broja a pomoći će nam da dokažemo kriterij djeljivosti s 3. Možemo napraviti bilo koji prirodni broj a, nakon čega nam omogućuje da dobijemo prikaz oblika, gdje su a n, a n − 1,..., a 0 znamenke s lijeva na desno u zapisu broja a. Radi jasnoće dat ćemo primjer takvog prikaza: 528 = 500 + 20 + 8 = 5 100 + 2 10 + 8.

Zapišimo sada nekoliko prilično očitih jednakosti: 10 = 9 + 1 = 3 3 + 1, 100 = 99 + 1 = 33 3 + 1, 1000 = 999 + 1 = 333 3 + 1, i tako dalje.

Zamjena u jednakost a = a n · 10 n + a n − 1 · 10 n − 1 +… + a 2 · 10 2 + a 1 · 10 + a 0 umjesto 10, 100, 1.000 i tako dalje, dobivamo izraze 3 3 + 1, 33 3 + 1, 999 + 1 = 333 3 + 1 i tako dalje.
.

I dopuštaju da se rezultirajuća jednakost prepiše na sljedeći način:

Izraz je zbroj znamenki broja a. Označimo ga zbog kratkoće i praktičnosti slovom A, odnosno prihvatit ćemo ga. Tada dobivamo prikaz broja a oblika koji ćemo koristiti u dokazu kriterija djeljivosti s 3.

Također, da bismo dokazali kriterij djeljivosti s 3, potrebna su nam sljedeća svojstva djeljivosti:

• da bi cijeli broj a bio djeljiv cijelim brojem b, potrebno je i dovoljno da je a djeljiv s modulom broja b;
• ako su u jednakosti a = s + t svi članovi, osim jednog, djeljivi s nekim cijelim brojem b, tada je i ovaj jedan član djeljiv s b.

Sada smo potpuno spremni i spremni za izvođenje dokaz djeljivosti sa 3, radi praktičnosti ovaj ćemo kriterij formulirati u obliku potrebnog i dovoljnog uvjeta za djeljivost s 3.

Teorema.

Da bi cijeli broj a bio djeljiv s 3, potrebno je i dovoljno da zbroj njegovih znamenki bude djeljiv s 3.

Dokaz.

Za a = 0 teorem je očit.

Ako a nije nula, tada je modul broja a prirodan broj, zatim reprezentacija, gdje je zbroj znamenki broja a.

Budući da je zbroj i umnožak cijelih brojeva cijeli broj, onda je to cijeli broj, onda je, prema definiciji djeljivosti, umnožak djeljiv s 3 za bilo koji a 0, a 1,..., a n.

Ako je zbroj znamenki broja a djeljiv s 3, odnosno A je djeljiv s 3, tada je na temelju svojstva djeljivosti naznačenog prije teorema djeljiv s 3, dakle, a je djeljiv s 3. Ovako se dokazuje dovoljnost.

Ako a je djeljiv s 3, zatim je djeljiv s 3, tada je, zbog istog svojstva djeljivosti, broj A djeljiv s 3, odnosno zbroj znamenki broja a djeljiv je s 3. Ovako se dokazuje nužnost.

Ostali slučajevi djeljivosti sa 3

Ponekad cijeli brojevi nisu navedeni eksplicitno, već kao vrijednost neke zadane vrijednosti varijable. Na primjer, vrijednost izraza za neki prirodni broj n je prirodan broj. Jasno je da s takvom specifikacijom brojeva izravno dijeljenje s 3 neće pomoći u utvrđivanju njihove djeljivosti s 3, a kriterij djeljivosti s 3 neće se uvijek moći primijeniti. Sada ćemo razmotriti nekoliko pristupa rješavanju takvih problema.

Bit ovih pristupa je predstaviti izvorni izraz kao umnožak više faktora, a ako je barem jedan od čimbenika djeljiv s 3, tada će se zbog odgovarajućeg svojstva djeljivosti moći zaključiti da je cijeli proizvod je djeljiv sa 3.

Ponekad se ovaj pristup može primijeniti. Razmotrimo rješenje primjera.

Primjer.

Je li vrijednost izraza djeljiva s 3 za bilo koji prirodni n?

Riješenje.

Jednakost je očita. Upotrijebimo Newtonovu binomnu formulu:

U posljednjem izrazu možemo izvaditi 3 izvan zagrada i dobijemo. Dobiveni umnožak podijeljen je s 3, budući da sadrži faktor 3, a vrijednost izraza u zagradama za prirodni n je prirodan broj. Stoga je djeljiv s 3 za bilo koji prirodni broj n.

Odgovor:

Da.

U mnogim slučajevima može se dokazati djeljivost s 3. Analizirajmo njegovu primjenu prilikom rješavanja primjera.

Primjer.

Dokažite da je za svaki pozitivan cijeli broj n vrijednost izraza djeljiva s 3.

Riješenje.

Za dokaz koristimo metodu matematičke indukcije.

Na n = 1 vrijednost izraza je jednaka, a 6 je djeljivo s 3.

Pretpostavimo da je vrijednost izraza djeljiva s 3 kada je n = k, odnosno da je djeljiva s 3.

Uzimajući u obzir ono što je djeljivo s 3, pokazat ćemo da je vrijednost izraza za n = k + 1 djeljiva s 3, odnosno pokazat ćemo da je djeljiv sa 3.

Napravimo neke transformacije:

Izraz je djeljiv sa 3 i izrazom je djeljiv sa 3, pa je njihov zbroj djeljiv sa 3.

Dakle, metoda matematičke indukcije dokazala je djeljivost s 3 za bilo koji prirodni broj n.

Pokažimo još jedan pristup dokazivanju djeljivosti s 3. Ako pokažemo da je za n = 3 m, n = 3 m + 1 i n = 3 m + 2, gdje je m proizvoljan cijeli broj, vrijednost nekog izraza (s varijablom n) djeljiva s 3, to će dokazati djeljivost izraza s 3 za bilo koji cijeli broj n. Razmotrimo ovaj pristup dok rješavamo prethodni primjer.

Tako, jer je bilo koji prirodni broj n djeljiv s 3.

Odgovor:

Da.

Bibliografija.

• Vilenkin N. Ya. i druge matematike. 6. razred: udžbenik za obrazovne ustanove.
• Vinogradov I.M. Osnove teorije brojeva.
• Mikhelovich Sh.Kh. Teorija brojeva.
• Kulikov L.Ya. i dr. Zbirka zadataka iz algebre i teorije brojeva: udžbenik za studente fizike i matematike. specijalnosti pedagoških zavoda.

Testovi djeljivosti brojeva- to su pravila koja omogućuju, bez dijeljenja, relativno brzo saznati je li ovaj broj djeljiv s danim bez ostatka.
Neke od kriterije djeljivosti prilično jednostavno, nešto teže. Na ovoj stranici pronaći ćete i kriterije djeljivosti za proste brojeve, kao što su, na primjer, 2, 3, 5, 7, 11, i kriterije djeljivosti za složene brojeve, kao što su 6 ili 12.
Nadam se da će vam ove informacije biti korisne.
Sretno učenje!

Djeljivost sa 2

Ovo je jedan od najjednostavnijih testova djeljivosti. Zvuči ovako: ako zapis prirodnog broja završava parnom znamenkom, onda je on paran (djeljiv s 2 bez ostatka), a ako snimanje broja završava neparnom znamenkom, onda je ovaj broj neparan.
Drugim riječima, ako je posljednja znamenka broja 2 , 4 , 6 , 8 ili 0 - broj je djeljiv sa 2, ako nije, onda nije djeljiv
Na primjer, brojevi: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 su djeljive sa 2 jer su parne.
I brojevi: 23 5 , 137 , 2303
nisu djeljive sa 2 jer su neparne.

Djeljivost sa 3

Ovaj kriterij djeljivosti ima potpuno drugačija pravila: ako je zbroj znamenki broja djeljiv s 3, tada je i broj djeljiv s 3; ako zbroj znamenki broja nije djeljiv s 3, tada ni broj nije djeljiv s 3.
Dakle, da biste razumjeli je li broj djeljiv s 3, trebate samo zbrojiti brojeve od kojih se sastoji.
To izgleda ovako: 3987 i 141 djeljivi su s 3, jer je u prvom slučaju 3 + 9 + 8 + 7 = 27 (27: 3 = 9 - djeljivo sa 3 bez ostatka), a u drugom 1 + 4 + 1 = 6 (6: 3 = 2 - također djeljivo s 3 bez ostatka).
Ali brojevi: 235 i 566 nisu djeljivi s 3, jer 2 + 3 + 5 = 10 i 5 + 6 + 6 = 17 (a znamo da ni 10 ni 17 nije djeljivo sa 3 bez ostatka).

Djeljivost sa 4

Ovaj kriterij djeljivosti bit će složeniji. Ako zadnje 2 znamenke broja čine broj koji je djeljiv s 4 ili je 00, tada je broj djeljiv s 4, inače ovaj broj nije djeljiv sa 4 bez ostatka.
Na primjer: 1 00 i 3 64 podijeljeni su s 4, jer u prvom slučaju broj završava na 00 , a u drugom na 64 , što je pak djeljivo sa 4 bez ostatka (64: 4 = 16)
Brojevi 3 57 i 8 86 nisu djeljive sa 4, jer ni jedno ni drugo 57 ni 86 nisu djeljive s 4, što znači da ne odgovaraju zadanom kriteriju djeljivosti.

Djeljivost sa 5

I opet imamo prilično jednostavan znak djeljivosti: ako zapis prirodnog broja završava znamenkom 0 ili 5, tada je ovaj broj djeljiv bez ostatka s 5. Ako zapis broja završava s drugom znamenkom, tada je broj nije djeljiv sa 5 bez ostatka.
To znači da svi brojevi koji završavaju znamenkama 0 i 5 npr. 1235 5 i 43 0 , potpadaju pod pravilo i djeljivi su s 5.
I, na primjer, 1549 3 i 56 4 ne završavaju na 5 ili 0, što znači da ne mogu biti djeljive s 5 bez ostatka.

Djeljivost sa 6

Pred nama je složeni broj 6, koji je umnožak brojeva 2 i 3. Dakle, djeljivost sa 6 je također složena: da bi broj bio djeljiv sa 6, mora istovremeno odgovarati dvije značajke djeljivosti vrijeme: obilježje djeljivosti s 2 i obilježje djeljivosti s 3. Istodobno, imajte na umu da takav složeni broj kao 4 ima individualni znak djeljivosti, jer je sam po sebi umnožak broja 2. No, vratimo se kriteriju djeljivosti sa 6.
Brojevi 138 i 474 su parni i odgovaraju kriterijima djeljivosti s 3 (1 + 3 + 8 = 12, 12: 3 = 4 i 4 + 7 + 4 = 15, 15: 3 = 5), što znači da su djeljivi sa 6. Ali 123 i 447, iako su djeljivi s 3 (1 + 2 + 3 = 6, 6: 3 = 2 i 4 + 4 + 7 = 15, 15: 3 = 5), ali su neparni, što znači da ne odgovaraju kriteriju djeljivosti sa 2, pa stoga ne odgovaraju kriteriju djeljivosti sa 6.

Djeljivost sa 7

Ovaj kriterij djeljivosti je složeniji: broj je djeljiv sa 7 ako je rezultat oduzimanja zadnje udvostručene znamenke od desetica tog broja djeljiv sa 7 ili jednak 0.
Zvuči prilično zbunjujuće, ali jednostavno u praksi. Uvjerite se sami: broj 95 9 je djeljivo sa 7 jer 95 -2 * 9 = 95-18 = 77, 77: 7 = 11 (77 je djeljivo sa 7 bez ostatka). Štoviše, ako su se pojavile poteškoće s brojem dobivenim tijekom transformacija (zbog njegove veličine teško je razumjeti je li djeljiv sa 7 ili ne, onda se ovaj postupak može nastaviti onoliko puta koliko smatrate potrebnim).
Na primjer, 45 5 i 4580 1 imaju znakove djeljivosti sa 7. U prvom slučaju, sve je prilično jednostavno: 45 -2 * 5 = 45-10 = 35, 35: 7 = 5. U drugom slučaju, učinit ćemo ovo: 4580 -2 * 1 = 4580-2 = 4578. Teško nam je razumjeti ako 457 8 po 7, pa ponovimo postupak: 457 -2 * 8 = 457-16 = 441. I opet ćemo koristiti kriterij djeljivosti, budući da još uvijek imamo troznamenkasti broj 44 1. Dakle, 44 -2 * 1 = 44-2 = 42, 42: 7 = 6, tj. 42 je djeljivo sa 7 bez ostatka, što znači da je 45801 djeljivo sa 7.
Ali brojke 11 1 i 34 5 nije djeljivo sa 7 jer 11 -2 * 1 = 11 - 2 = 9 (9 nije jednako djeljivo sa 7) i 34 -2 * 5 = 34-10 = 24 (24 ne može biti jednako djeljivo sa 7).

Djeljivost sa 8

Djeljivost s 8 je sljedeća: ako posljednje 3 znamenke čine broj koji je djeljiv sa 8 ili 000, tada je dati broj djeljiv sa 8.
Brojevi 1 000 ili 1 088 djeljivo sa 8: prvi završava u 000 , drugi 88 : 8 = 11 (djeljivo sa 8 bez ostatka).
A evo i brojeva 1 100 ili 4 757 nisu djeljivi sa 8, budući da su brojevi 100 i 757 nisu jednako djeljive sa 8.

Djeljivost sa 9

Ovaj znak djeljivosti sličan je predznaku djeljivosti s 3: ako je zbroj znamenki broja djeljiv s 9, tada je i broj djeljiv s 9; ako zbroj znamenki broja nije djeljiv s 9, tada ni broj nije djeljiv s 9.
Na primjer: 3987 i 144 djeljivi su s 9, jer je u prvom slučaju 3 + 9 + 8 + 7 = 27 (27: 9 = 3 - djeljivo sa 9 bez ostatka), a u drugom 1 + 4 + 4 = 9 (9: 9 = 1 - također djeljivo sa 9 bez ostatka).
Ali brojevi: 235 i 141 nisu djeljivi s 9, jer 2 + 3 + 5 = 10 i 1 + 4 + 1 = 6 (a znamo da ni 10 ni 6 nije djeljivo sa 9 bez ostatka).

Djeljivost s 10, 100, 1000 i drugim bitnim jedinicama

Kombinirao sam ove znakove djeljivosti jer se mogu opisati na isti način: broj se dijeli s bitnom jedinicom ako je broj nula na kraju broja veći ili jednak broju nula u danoj bitnoj jedinici .
Drugim riječima, na primjer, imamo brojeve poput ovog: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 ... od kojih su svi djeljivi sa 1 0 ; 46400 i 867 000 također su podijeljeni s 1 00 ; a samo jedan od njih - 867 000 djeljivo sa 1 000 .
Bilo koji brojevi koji imaju manje nula na kraju od bitne jedinice nisu djeljivi s tom bitnom jedinicom, na primjer 600 30 i 7 93 nije djeljivo 1 00 .

Djeljivost sa 11

Da biste saznali je li broj djeljiv s 11, trebate dobiti razliku između zbroja parnih i neparnih znamenki tog broja. Ako je ta razlika jednaka 0 ili je djeljiva s 11 bez ostatka, tada je sam broj djeljiv s 11 bez ostatka.
Da bi bilo jasnije, predlažem da razmotrimo primjere: 2 35 4 je djeljivo sa 11 jer ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 je također djeljiv s 11, budući da ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
Ali 1 1 1 ili 4 35 4 nije djeljivo s 11, jer u prvom slučaju dobivamo (1 + 1) - 1 = 1, a u drugom ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Djeljivost sa 12

Broj 12 je složen. Njegov kriterij djeljivosti je istovremeno podudaranje kriterija djeljivosti s 3 i 4.
Na primjer, 300 i 636 odgovaraju i predznacima djeljivosti sa 4 (zadnje 2 znamenke su nule ili su djeljive sa 4) i predznacima djeljivosti sa 3 (zbroj znamenki i prvog i trostrukog broja je djeljivi s 3), a ako jest, djeljivi su s 12 bez ostatka.
Ali 200 ili 630 nije djeljivo s 12, jer u prvom slučaju broj odgovara samo kriteriju djeljivosti s 4, a u drugom - samo kriteriju djeljivosti s 3. ali ne i oba znaka u isto vrijeme.

Djeljivost sa 13

Znak djeljivosti s 13 je da ako je broj desetica broja, zbrojen s jedinicama ovog broja pomnoženim s 4, višekratnik 13 ili jednak 0, tada je sam broj djeljiv s 13.
Uzmimo za primjer 70 2. Dakle, 70 + 4 * 2 = 78, 78: 13 = 6 (78 je djeljivo sa 13 bez ostatka), što znači 70 2 je djeljivo sa 13 bez ostatka. Drugi primjer je broj 114 4. 114 + 4 * 4 = 130, 130: 13 = 10. Broj 130 djeljiv je s 13 bez ostatka, što znači da zadani broj odgovara kriteriju djeljivosti s 13.
Ako uzmemo brojeve 12 5 ili 21 2, onda dobivamo 12 + 4 * 5 = 32 i 21 + 4 * 2 = 29, odnosno, a ni 32 ni 29 nisu djeljivi sa 13 bez ostatka, što znači da dati brojevi nisu jednako djeljivi s 13.

Djeljivost brojeva

Kao što se može vidjeti iz gore navedenog, može se pretpostaviti da za bilo koji od prirodnih brojeva možete odabrati vlastitu individualnu značajku djeljivosti ili "kompozitnu" značajku ako je broj višekratnik nekoliko različitih brojeva. Ali kao što praksa pokazuje, općenito, što je broj veći, to je njegov znak složeniji. Možda se vrijeme utrošeno na provjeru kriterija djeljivosti može pokazati jednakim ili više od samog dijeljenja. Stoga obično koristimo najjednostavniji kriterij djeljivosti.