Apibrėžtinio integralo pagrindinių formulių lentelė. Antidarinis

Antiderivatinė funkcija ir neapibrėžtas integralas

Faktas 1. Integravimas yra atvirkštinis diferenciacijos veiksmas, būtent funkcijos atkūrimas iš žinomos šios funkcijos išvestinės. Taip atkurta funkcija F(x) vadinamas antidarinis už funkciją f(x).

Apibrėžimas 1. Funkcija F(x f(x) tam tikru intervalu X, jei visoms vertybėms x nuo šio intervalo galioja lygybė F "(x)=f(x), tai yra ši funkcija f(x) yra antidarinės funkcijos išvestinė F(x). .

Pavyzdžiui, funkcija F(x) = nuodėmė x yra funkcijos antidarinys f(x) = cos x visoje skaičių eilutėje, nes bet kuriai x reikšmei (nuodėmė x)" = (cos x) .

Apibrėžimas 2. Neapibrėžtas funkcijos integralas f(x) yra visų jo antidarinių rinkinys. Šiuo atveju naudojamas žymėjimas

∫

f(x)dx

,

kur yra ženklas ∫ vadinama integralo ženklu, funkcija f(x) – integrando funkcija ir f(x)dx – integrandinė išraiška.

Taigi, jei F(x) – kai kurie antidariniai skirti f(x), Tai

∫

f(x)dx = F(x) +C

Kur C - savavališka konstanta (konstanta).

Norint suprasti funkcijos antidarinių aibės, kaip neapibrėžto integralo, reikšmę, tinka tokia analogija. Tegul būna durys (tradicinės medinės durys). Jo funkcija yra „būti durimis“. Iš ko padarytos durys? Pagaminta iš medžio. Tai reiškia, kad daugelio primityvų integrand funkcija„būti durimis“, tai yra jo neapibrėžtas integralas, yra funkcija „būti medžiu + C“, kur C yra konstanta, kuri šiame kontekste gali reikšti, pavyzdžiui, medžio tipą. Kaip durys yra pagamintos iš medžio naudojant kai kuriuos įrankius, funkcijos išvestinė yra „pagaminta“ iš antidarinės funkcijos naudojant formules, kurias išmokome studijuodami išvestinę .

Tada įprastų objektų ir juos atitinkančių antidarinių ("būti durimis" - "būti medžiu", "būti šaukštu" - "būti metalu" ir kt.) funkcijų lentelė yra panaši į pagrindinių lentelę. neapibrėžtieji integralai, kurie bus pateikti toliau. Neapibrėžtų integralų lentelėje pateikiamos bendros funkcijos, nurodant, iš kokių antidarinių šios funkcijos „pagamintos“. Dalyje neapibrėžtinio integralo paieškos problemų pateikiami integrandai, kuriuos galima integruoti tiesiogiai be didelių pastangų, tai yra, naudojant neapibrėžtų integralų lentelę. Sudėtingesnėse problemose pirmiausia reikia transformuoti integrandą, kad būtų galima naudoti lentelės integralus.

2 faktas. Atkurdami funkciją kaip antidarinį, turime atsižvelgti į savavališką konstantą (konstantą) C, o kad nerašytum antidarinių sąrašo su įvairiomis konstantomis nuo 1 iki begalybės, reikia parašyti antidarinių rinkinį su savavališka konstanta C, pavyzdžiui, taip: 5 x³+C. Taigi, savavališka konstanta (konstanta) įtraukiama į antidarinės išraišką, nes antidarinys gali būti funkcija, pavyzdžiui, 5 x³+4 arba 5 x³+3, o kai diferencijuota, 4 arba 3 arba bet kuri kita konstanta tampa nuliu.

Iškelkime integravimo problemą: šiai funkcijai f(x) rasti tokią funkciją F(x), kurio vedinys lygus f(x).

1 pavyzdys. Raskite funkcijos antidarinių aibę

Sprendimas. Šiai funkcijai antidarinys yra funkcija

Funkcija F(x) vadinamas funkcijos antidariniu f(x), jei išvestinė F(x) yra lygus f(x), arba, kas yra tas pats, diferencialas F(x) yra lygus f(x) dx, t.y.

(2)

Todėl funkcija yra funkcijos antidarinys. Tačiau tai nėra vienintelis antiderivatinis preparatas, skirtas . Jie taip pat atlieka funkcijas

Kur SU– savavališka konstanta. Tai galima patikrinti diferencijuojant.

Taigi, jei funkcijai yra vienas antidarinys, tai jai yra begalinis skaičius antidarinių, kurie skiriasi pastoviu nariu. Visi funkcijos antidariniai parašyti aukščiau pateikta forma. Tai išplaukia iš šios teoremos.

Teorema (2 formalus fakto konstatavimas). Jeigu F(x) – funkcijos antidarinys f(x) tam tikru intervalu X, tada bet koks kitas antidarinis skirtas f(x) tame pačiame intervale gali būti pavaizduotas formoje F(x) + C, Kur SU– savavališka konstanta.

Kitame pavyzdyje kreipiamės į integralų lentelę, kuri bus pateikta 3 pastraipoje po neapibrėžto integralo savybių. Tai darome prieš skaitydami visą lentelę, kad būtų aiški to, kas išdėstyta pirmiau, esmė. O po lentelės ir ypatybių integravimo metu naudosime jas visas.

2 pavyzdys. Raskite primityvų rinkinius skirtingos funkcijos:

Sprendimas. Randame antiderivatinių funkcijų rinkinius, iš kurių šios funkcijos „pagamintos“. Minėdami formules iš integralų lentelės, kol kas tiesiog sutikite, kad ten yra tokios formulės, o pačią neapibrėžtinių integralų lentelę panagrinėsime šiek tiek toliau.

1) Taikant formulę (7) iš integralų lentelės n= 3, gauname

2) Naudojant (10) formulę iš integralų lentelės n= 1/3, mes turime

3) Nuo tada

tada pagal (7) formulę su n= -1/4 randame

Po integraliu ženklu parašyta ne pati funkcija. f, o jo produktas pagal diferencialą dx. Tai pirmiausia daroma siekiant nurodyti, pagal kurį kintamąjį ieškoma antidarinio. Pavyzdžiui,

, ;

čia abiem atvejais integrandas lygus , bet jo neapibrėžtieji integralai nagrinėjamais atvejais pasirodo esantys skirtingi. Pirmuoju atveju ši funkcija laikoma kintamojo funkcija x, o antrajame - kaip funkcija z .

Funkcijos neapibrėžto integralo radimo procesas vadinamas tos funkcijos integravimu.

Neapibrėžtinio integralo geometrinė reikšmė

Tarkime, kad turime rasti kreivę y=F(x) ir mes jau žinome, kad liestinės kampo liestinė kiekviename jos taške yra duotoji funkcija f(x)šio taško abscisė.

Pagal geometrinę išvestinės reikšmę liestinės polinkio kampo liestinė duotame kreivės taške y=F(x) lygi išvestinės priemonės vertei F"(x). Taigi turime rasti tokią funkciją F(x), kuriam F"(x) = f (x). Užduotyje reikalinga funkcija F(x) yra antidarinys f(x). Uždavinio sąlygas tenkina ne viena kreivė, o kreivių šeima. y=F(x)- viena iš tokių kreivių ir bet kuri kita kreivė iš jos gali būti gaunama lygiagrečiai perkeliant išilgai ašies Oy.

Pavadinkime antidarinės funkcijos grafiku f(x) integralinė kreivė. Jeigu F"(x) = f (x), tada funkcijos grafikas y=F(x) yra integralinė kreivė.

3 faktas. Neapibrėžtas integralas geometriškai pavaizduotas visų integralų kreivių šeima , kaip parodyta paveikslėlyje žemiau. Kiekvienos kreivės atstumas nuo koordinačių pradžios nustatomas pagal savavališką integravimo konstantą C.

Neapibrėžtinio integralo savybės

4 faktas. 1 teorema. Neapibrėžto integralo išvestinė lygi integrandui, o diferencialas – integrandui.

5 faktas. 2 teorema. Funkcijos diferencialo neapibrėžtasis integralas f(x) yra lygi funkcijai f(x) iki pastovaus termino , t.y.

(3)

1 ir 2 teoremos rodo, kad diferenciacija ir integravimas yra tarpusavyje atvirkštinės operacijos.

6 faktas. 3 teorema. Integrando pastovus veiksnys gali būti paimtas iš neapibrėžtinio integralo ženklo , t.y.

Šiame puslapyje rasite:

1. Tiesą sakant, antidarinių lentelė – ją galima parsisiųsti iš PDF formatu ir spausdinti;

2. Vaizdo įrašas, kaip naudotis šia lentele;

3. Krūva antidarinio skaičiavimo pavyzdžių iš įvairių vadovėlių ir testų.

Pačiame vaizdo įraše išanalizuosime daugybę problemų, kur reikia apskaičiuoti funkcijų antidarinius, dažnai gana sudėtingus, bet svarbiausia, kad tai nėra galios funkcijos. Visos anksčiau pasiūlytoje lentelėje apibendrintos funkcijos turi būti žinomos mintinai, kaip ir išvestinės. Be jų neįmanomas tolesnis integralų tyrimas ir jų pritaikymas sprendžiant praktines problemas.

Šiandien mes toliau studijuojame primityvus ir pereiname prie šiek tiek sudėtingesnės temos. Jei praeitą kartą žiūrėjome tik į galios funkcijų ir šiek tiek sudėtingesnių konstrukcijų antidarinius, tai šiandien pažvelgsime į trigonometriją ir daug daugiau.

Kaip sakiau paskutinėje pamokoje, antiderivatai, skirtingai nei išvestiniai, niekada nėra išsprendžiami „iš karto“ naudojant kokias nors standartines taisykles. Be to, blogos naujienos yra tai, kad, skirtingai nei išvestinė priemonė, antidarinys gali būti išvis nenagrinėjamas. Jei parašysime visiškai atsitiktinę funkciją ir bandysime rasti jos išvestinę, tai su labai didele tikimybe mums pavyks, tačiau antidarinė tokiu atveju beveik niekada nebus skaičiuojama. Tačiau yra gerų naujienų: yra gana didelė funkcijų klasė, vadinama elementariomis funkcijomis, kurių antidarinius labai lengva apskaičiuoti. O visi kiti yra daugiau sudėtingi dizainai, kurie pateikiami atliekant visų rūšių testus, nepriklausomus testus ir egzaminus, iš tikrųjų susideda iš šių elementarios funkcijos per sudėjimą, atimtį ir kt paprastus žingsnius. Tokių funkcijų prototipai jau seniai buvo skaičiuojami ir sukompiliuojami į specialias lenteles. Būtent su šiomis funkcijomis ir lentelėmis šiandien dirbsime.

Bet pradėsime, kaip visada, nuo pakartojimo: prisiminkime, kas yra antidarinys, kodėl jų yra be galo daug ir kaip juos apibrėžti bendras vaizdas. Norėdami tai padaryti, išsprendžiau dvi paprastas problemas.

Lengvų pavyzdžių sprendimas

1 pavyzdys

Iš karto atkreipkime dėmesį, kad $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ ir apskritai $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ mums iš karto užsimena, kad reikalinga funkcijos antidarinė yra susijusi su trigonometrija. Ir iš tikrųjų, jei pažvelgsime į lentelę, pamatysime, kad $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ yra ne kas kita, kaip $\text(arctg)x$. Taigi užsirašykime:

Norėdami rasti, turite užsirašyti šiuos dalykus:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3) + C\]

2 pavyzdys

Čia taip pat kalbame apie trigonometrinės funkcijos. Jei pažvelgsime į lentelę, iš tikrųjų atsitinka taip:

Tarp viso antidarinių rinkinio turime rasti tą, kuris praeina per nurodytą tašką:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Pagaliau užsirašykime:

Tai taip paprasta. Bėda tik ta, kad norint apskaičiuoti paprastų funkcijų antidarinius, reikia išmokti antidarinių lentelę. Tačiau išstudijavus išvestinę lentelę, manau, tai nebus problema.

Problemų, turinčių eksponentinę funkciją, sprendimas

Norėdami pradėti, parašykite šias formules:

\[((e)^(x))\į ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\į \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Pažiūrėkime, kaip visa tai veikia praktiškai.

1 pavyzdys

Jei pažvelgtume į skliaustų turinį, pastebėtume, kad antidarinių lentelėje nėra tokios išraiškos, kad $((e)^(x))$ būtų kvadrate, todėl šis kvadratas turi būti išplėstas. Norėdami tai padaryti, naudojame sutrumpintas daugybos formules:

Raskime kiekvieno termino antidarinį:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\į \frac(((\left(((e)^) (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\į \frac(((\left(((e)) )^(-2)) \dešinė))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2(e)^(2x))) \]

Dabar surinkite visus terminus į vieną išraišką ir gaukime bendrą antidarinį:

2 pavyzdys

Šį kartą laipsnis didesnis, todėl sutrumpinta daugybos formulė bus gana sudėtinga. Taigi atidarykime skliaustus:

Dabar pabandykime paimti mūsų formulės antidarinį iš šios konstrukcijos:

Kaip matote, eksponentinės funkcijos antidariniuose nėra nieko sudėtingo ar antgamtiško. Visi jie apskaičiuojami pagal lenteles, bet dėmesingi studentai tikriausiai pastebės, kad antidarinė $((e)^(2x))$ yra daug artimesnė tiesiog $((e)^(x))$ nei $((a). )^(x ))$. Taigi gal yra ir daugiau speciali taisyklė, kuri leidžia, žinant antidarinį $((e)^(x))$, rasti $((e)^(2x))$? Taip, tokia taisyklė egzistuoja. Ir, be to, tai yra neatsiejama darbo su antidarinių lentele dalis. Dabar analizuosime tai naudodami tas pačias išraiškas, kurias ką tik dirbome kaip pavyzdį.

Darbo su antidarinių lentele taisyklės

Parašykime savo funkciją dar kartą:

Ankstesniu atveju spręsdami naudojome šią formulę:

\[((a)^(x))\į \frac(((a)^(x)))(\operatoriaus vardas(lna))\]

Bet dabar padarykime tai šiek tiek kitaip: prisiminkime, kokiu pagrindu $((e)^(x))\į ((e)^(x))$. Kaip jau sakiau, kadangi išvestinė $((e)^(x))$ yra ne kas kita, kaip $((e)^(x))$, todėl jos antidarinė bus lygi tam pačiam $((e) ^ (x))$. Tačiau problema ta, kad turime $((e)^(2x))$ ir $((e)^(-2x))$. Dabar pabandykime rasti $((e)^(2x))$ išvestinę:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Dar kartą perrašykime savo konstrukciją:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime )))\]

Tai reiškia, kad radę antidarinį $((e)^(2x))$ gauname:

\[((e)^(2x))\į \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Kaip matote, gavome tą patį rezultatą kaip ir anksčiau, bet nenaudojome formulės $((a)^(x))$ rasti. Dabar tai gali atrodyti kvaila: kam apsunkinti skaičiavimus, kai yra standartinė formulė? Tačiau šiek tiek sudėtingesnėse išraiškose pamatysite, kad ši technika yra labai efektyvi, t.y. naudojant darinius antidariniams rasti.

Apšilimui suraskime $((e)^(2x))$ antidarinį panašiu būdu:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\pirminis ))\]

Skaičiuojant mūsų konstrukcija bus parašyta taip:

\[((e)^(-2x))\į -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\į -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Gavome lygiai tą patį rezultatą, bet pasukome kitu keliu. Būtent šis kelias, kuris dabar mums atrodo šiek tiek sudėtingesnis, ateityje pasirodys efektyvesnis skaičiuojant sudėtingesnius antidarinius ir naudojant lenteles.

Atkreipkite dėmesį! Tai labai svarbus punktas: antidariniai, kaip ir dariniai, gali būti laikomi rinkiniu įvairiais būdais. Tačiau jei visi skaičiavimai ir skaičiavimai yra lygūs, atsakymas bus toks pat. Mes ką tik tai matėme $((e)^(-2x))$ pavyzdyje – viena vertus, apskaičiavome šią antidarinę „iš karto“, naudodami apibrėžimą ir apskaičiavome naudodami transformacijas, kita vertus, prisiminėme, kad $ ((e)^(-2x))$ gali būti pavaizduota kaip $((\left(((e)^(-2)) \right)))^(x))$ ir tik tada panaudojome funkcijos $( (a)^(x))$ antidarinys. Tačiau po visų transformacijų rezultatas buvo toks pat, kaip ir tikėtasi.

Ir dabar, kai visa tai suprantame, laikas pereiti prie kažko reikšmingesnio. Dabar analizuosime dvi paprastas konstrukcijas, bet technika, kuri bus naudojama jas sprendžiant, yra galingesnė ir naudinga priemonė, o ne paprastas „bėgimas“ tarp gretimų antidarinių iš lentelės.

Problemos sprendimas: funkcijos antidarinės radimas

1 pavyzdys

Suskirstykime skaitikliuose esančią sumą į tris atskiras trupmenas:

Tai gana natūralus ir suprantamas perėjimas – daugumai studentų dėl to problemų nekyla. Perrašykime savo išraišką taip:

Dabar prisiminkime šią formulę:

Mūsų atveju gausime šiuos dalykus:

Norėdami atsikratyti visų šių trijų aukštų frakcijų, siūlau atlikti šiuos veiksmus:

2 pavyzdys

Skirtingai nuo ankstesnės trupmenos, vardiklis yra ne sandauga, o suma. Šiuo atveju mes nebegalime dalyti savo trupmenos į kelių sumą paprastosios trupmenos, bet reikia kažkaip pabandyti įsitikinti, kad skaitiklyje yra maždaug tokia pati išraiška kaip ir vardiklyje. IN šiuo atveju tai padaryti gana paprasta:

Šis žymėjimas, kuris matematinėje kalboje vadinamas „nulio pridėjimu“, leis mums vėl padalyti trupmeną į dvi dalis:

Dabar suraskime tai, ko ieškojome:

Štai ir visi skaičiavimai. Nepaisant akivaizdaus sudėtingumo nei ankstesnėje užduotyje, skaičiavimų suma pasirodė dar mažesnė.

Sprendimo niuansai

Ir čia slypi pagrindinis sunkumas dirbant su lentelių antiderivatais, tai ypač pastebima atliekant antrąją užduotį. Faktas yra tas, kad norint pasirinkti kai kuriuos elementus, kurie lengvai apskaičiuojami per lentelę, turime žinoti, ko tiksliai ieškome, ir būtent šių elementų paieška susideda iš viso antiderivatų skaičiavimo.

Kitaip tariant, neužtenka vien išmokti atmintinai antidarinių lentelę – reikia matyti tai, ko dar nėra, bet ką turėjo omenyje šios problemos autorius ir sudarytojas. Štai kodėl daugelis matematikų, mokytojų ir profesorių nuolat ginčijasi: „Kas yra antiderivatų ėmimas ar integracija – ar tai tik įrankis, ar tikras menas? Tiesą sakant, mano asmenine nuomone, integracija visai nėra menas – joje nėra nieko didingo, tai tik praktika ir daugiau praktika. O praktikai išspręskime tris rimtesnius pavyzdžius.

Praktiškai mokomės integracijos

Užduotis Nr.1

Parašykime tokias formules:

\[((x)^(n))\į \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\į \text(arctg)x\]

Parašykime taip:

2 problema

Perrašykime taip:

Bendra antiderivatinė suma bus lygi:

Užduotis Nr.3

Šios užduoties sudėtingumas yra tas, kad, skirtingai nei anksčiau pateiktos funkcijos, kintamojo $x$ iš viso nėra, t.y. mums neaišku, ką pridėti ar atimti, kad gautume bent kažką panašaus į tai, kas yra žemiau. Tačiau iš tikrųjų ši išraiška laikoma dar paprastesne nei bet kuri iš ankstesnių išraiškų, nes šią funkciją galima perrašyti taip:

Dabar galite paklausti: kodėl šios funkcijos lygios? Patikrinkime:

Perrašykime dar kartą:

Šiek tiek pakeiskime savo išraišką:

Ir kai aš visa tai paaiškinu savo mokiniams, beveik visada iškyla ta pati problema: su pirmąja funkcija viskas daugmaž aišku, su antrąja taip pat gali tai išsiaiškinti su sėkme ar praktika, bet kokia alternatyvi sąmonė ar reikia norint išspręsti trečiąjį pavyzdį? Tiesą sakant, nebijokite. Technika, kurią naudojome skaičiuodami paskutinę antideriatyvą, vadinama „funkcijos išskaidymu į paprasčiausią“, ir tai yra labai rimta technika, kuriai bus skirta atskira video pamoka.

Tuo tarpu aš siūlau grįžti prie to, ką ką tik studijavome, būtent prie eksponentinių funkcijų ir šiek tiek apsunkinti problemas su jų turiniu.

Sudėtingesnės problemos sprendžiant antiderivatines eksponentines funkcijas

Užduotis Nr.1

Atkreipkime dėmesį į šiuos dalykus:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Norėdami rasti šios išraiškos antidarinį, tiesiog naudokite standartinę formulę - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

Mūsų atveju antiderivatas bus toks:

Žinoma, palyginti su ką tik išspręstu dizainu, šis atrodo paprastesnis.

2 problema

Vėlgi, nesunku pastebėti, kad šią funkciją galima nesunkiai padalyti į du atskirus terminus – dvi atskiras trupmenas. Perrašykime:

Belieka rasti kiekvieno iš šių terminų antidarinį naudojant aukščiau aprašytą formulę:

Nepaisant akivaizdaus didesnio eksponentinių funkcijų sudėtingumo, palyginti su galios funkcijomis, bendra skaičiavimų ir skaičiavimų apimtis pasirodė daug paprastesnė.

Žinoma, žinantiems studentams tai, ką ką tik aptarėme (ypač prieš tai aptartų fone), gali atrodyti kaip elementarios išraiškos. Tačiau rinkdamasis šias dvi užduotis šiandieninei vaizdo pamokai, nekėliau sau tikslo papasakoti dar vieną sudėtingą ir įmantrią techniką – norėjau jums parodyti tik tai, kad nebijokite naudoti standartinės technikos pradinių funkcijų transformavimo algebra.

Naudojant „slaptą“ techniką

Baigdamas norėčiau pažvelgti į dar vieną įdomią techniką, kuri, viena vertus, peržengia to, ką šiandien daugiausia aptarėme, tačiau, kita vertus, ji, pirma, visai nesudėtinga, t.y. net pradedantieji studentai gali jį įvaldyti, ir, antra, jis gana dažnai randamas visuose testuose ir testuose. savarankiškas darbas, t.y. žinios apie tai labai pravers be žinių apie antidarinių lentelę.

Užduotis Nr.1

Akivaizdu, kad turime kažką labai panašaus į galios funkciją. Ką turėtume daryti šiuo atveju? Pagalvokime apie tai: $x-5$ nelabai skiriasi nuo $x$ – jie tiesiog pridėjo $-5$. Parašykime taip:

\[((x)^(4))\į \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Pabandykime rasti $((\left(x-5 \right))^(5))$ išvestinę:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Iš to išplaukia:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ dešinė))^(\pirminis ))\]

Lentelėje tokios reikšmės nėra, todėl dabar mes patys sukūrėme šią formulę naudodami standartinę antidarinės formulę galios funkcija. Atsakymą parašykime taip:

2 problema

Daugelis studentų, pažvelgusių į pirmąjį sprendimą, gali manyti, kad viskas yra labai paprasta: tiesiog pakeiskite $x$ laipsnio funkcijoje tiesine išraiška ir viskas atsistos į savo vietas. Deja, viskas nėra taip paprasta, o dabar tai pamatysime.

Pagal analogiją su pirmąja išraiška rašome taip:

\[((x)^(9))\į \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Grįžę prie išvestinės, galime parašyti:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \right))^(\prime ))\]

Tai iš karto seka:

Sprendimo niuansai

Atkreipkite dėmesį: jei praeitą kartą niekas iš esmės nepasikeitė, tada antruoju atveju vietoj -10$ atsirado -30$. Kuo skiriasi -10 USD ir -30 USD? Akivaizdu, kad tai yra -3 USD. Klausimas: iš kur jis atsirado? Jei atidžiai pažvelgsite, pamatysite, kad jis buvo paimtas apskaičiuojant sudėtingos funkcijos išvestinę - koeficientas, kuris buvo $x$, rodomas žemiau esančiame antidarinėje. Tai labai svarbi taisyklė, kurios iš pradžių visai neplanavau aptarti šios dienos vaizdo pamokoje, tačiau be jos lentelių antidarinių pateikimas būtų neišsamus.

Taigi pakartokime tai dar kartą. Tebūnie mūsų pagrindinė galios funkcija:

\[((x)^(n))\į \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Dabar vietoj $x$ pakeiskime išraišką $kx+b$. Kas tada bus? Turime rasti šiuos dalykus:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\į \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1) \right)\cdot k)\]

Kuo remiantis mes tai tvirtiname? Labai paprasta. Raskime aukščiau parašytos konstrukcijos išvestį:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

Tai ta pati išraiška, kuri egzistavo iš pradžių. Taigi ir ši formulė yra teisinga, ir ja galima papildyti antidarinių lentelę arba geriau visą lentelę tiesiog įsiminti.

Išvados iš „paslaptis: technika:

• Abi funkcijos, kurias ką tik pažiūrėjome, iš tikrųjų gali būti sumažintos iki lentelėje nurodytų antidarinių išplečiant laipsnius, bet jei daugiau ar mažiau kažkaip susidorosime su ketvirtuoju laipsniu, tai aš net nesvarstyčiau apie devintą laipsnį. išdrįso atskleisti.
• Jei plėstume galias, gautume tokią skaičiavimų apimtį, kad paprasta užduotis skolintųsi iš mūsų neadekvačiai didelis skaičius laiko.
• Štai kodėl tokių problemų, kuriose yra tiesinių išraiškų, nereikia spręsti „stačia galva“. Kai tik susidursite su antidariniu, kuris skiriasi nuo pateikto lentelėje tik tuo, kad viduje yra išraiška $kx+b$, nedelsdami prisiminkite aukščiau parašytą formulę, pakeiskite ją į savo lentelės antidarinį ir viskas pasirodys daug greičiau ir lengviau.

Žinoma, dėl šios technikos sudėtingumo ir rimtumo būsimose vaizdo pamokose prie jos svarstysime daug kartų, tačiau šiandien tai viskas. Tikiuosi, kad ši pamoka tikrai padės tiems mokiniams, kurie nori suprasti antidarinius ir integraciją.

Išvardinkime elementariųjų funkcijų integralus, kurie kartais vadinami lentelėmis:

Bet kurią iš aukščiau pateiktų formulių galima įrodyti imant dešinės pusės išvestinę (rezultatas bus integrandas).

Integravimo metodai

Pažvelkime į keletą pagrindinių integravimo būdų. Tai apima:

1. Dekompozicijos metodas(tiesioginė integracija).

Šis metodas pagrįstas tiesioginiu lentelių integralų taikymu, taip pat 4 ir 5 savybių taikymu. apibrėžtasis integralas(t.y. išimant pastovųjį veiksnį ir/arba pavaizduojant integrandą kaip funkcijų sumą – integrando išskaidymas į terminus).

1 pavyzdys. Pavyzdžiui, norėdami rasti(dx/x 4), galite tiesiogiai naudoti lentelės integralą x n dx. Tiesą sakant,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Pažvelkime į dar kelis pavyzdžius.

2 pavyzdys. Norėdami jį rasti, naudojame tą patį integralą:

3 pavyzdys. Norėdami jį rasti, turite pasiimti

4 pavyzdys. Norėdami rasti, formoje atstovaujame integrando funkciją ir eksponentinei funkcijai naudokite lentelės integralą:

Laikykime skliaustų naudojimą pastoviu veiksniu.

5 pavyzdys.Pavyzdžiui, suraskime . Atsižvelgdami į tai, gauname

6 pavyzdys. Surasime. Nes , naudokime lentelės integralą Mes gauname

Toliau pateiktuose dviejuose pavyzdžiuose taip pat galite naudoti skliaustus ir lentelės integralus:

7 pavyzdys.

(naudojame ir );

8 pavyzdys.

(mes naudojame Ir ).

Pažvelkime į sudėtingesnius pavyzdžius, kuriuose naudojamas sumos integralas.

9 pavyzdys. Pavyzdžiui, suraskime
. Norėdami taikyti išplėtimo metodą skaitiklyje, naudojame sumos kubo formulę , o gautą daugianarį dalijame iš vardiklio, terminas po termino.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Pažymėtina, kad sprendinio pabaigoje rašoma viena bendra konstanta C (o ne atskiros integruojant kiekvieną terminą). Ateityje taip pat siūloma konstantas praleisti integruojant atskirus terminus sprendimo procese, jei išraiškoje yra bent vienas neapibrėžtas integralas(sprendimo pabaigoje užrašysime vieną konstantą).

10 pavyzdys. Mes surasime . Norėdami išspręsti šią problemą, skaitiklį suskaidykime faktoriais (po to vardiklį galime sumažinti).

11 pavyzdys. Surasime. Čia galima naudoti trigonometrines tapatybes.

Kartais, norint išskaidyti išraišką į terminus, reikia naudoti sudėtingesnius metodus.

12 pavyzdys. Mes surasime . Integrande pasirenkame visą trupmenos dalį . Tada

13 pavyzdys. Mes surasime

2. Kintamojo pakeitimo metodas (pakeitimo metodas)

Metodas pagrįstas tokia formule: f(x)dx=f((t))`(t)dt, kur x =(t) yra funkcija, diferencijuojama pagal nagrinėjamą intervalą.

Įrodymas. Raskime išvestines kintamojo t atžvilgiu iš kairės ir dešinės formulės pusių.

Atkreipkite dėmesį, kad kairėje pusėje yra sudėtinga funkcija, kurios tarpinis argumentas yra x = (t). Todėl norėdami jį diferencijuoti t atžvilgiu, pirmiausia diferencijuojame integralą x atžvilgiu, o tada imame tarpinio argumento išvestinę t atžvilgiu.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Išvestinė iš dešinės pusės:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Kadangi šios išvestinės yra lygios, remiantis Lagrange'o teorema, įrodomos formulės kairioji ir dešinioji pusės skiriasi tam tikra konstanta. Kadangi patys neapibrėžtieji integralai yra apibrėžti iki neapibrėžto pastovaus termino, šios konstantos galutiniame žymėjime galima praleisti. Įrodyta.

Sėkmingas kintamojo pakeitimas leidžia supaprastinti pradinį integralą, o paprasčiausiais atvejais sumažinti jį iki lentelės. Taikant šį metodą, skiriami tiesinio ir netiesinio pakeitimo metodai.

a) Tiesinio pakeitimo metodas Pažiūrėkime į pavyzdį.

1 pavyzdys.
. Tada tegul t= 1 – 2x

dx=d(½ – ½t) = – ½ dt

Reikėtų pažymėti, kad naujo kintamojo nereikia aiškiai įrašyti. Tokiais atvejais kalbama apie funkcijos transformavimą po diferencialo ženklu arba apie konstantų ir kintamųjų įvedimą po diferencialo ženklu, t.y. O numanomas kintamojo pakeitimas.

2 pavyzdys. Pavyzdžiui, suraskimecos(3x + 2)dx. Pagal diferencialo savybes dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), tadacos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

Abiejuose nagrinėjamuose pavyzdžiuose integralams rasti buvo naudojamas tiesinis pakaitalas t=kx+b(k0).

Bendruoju atveju galioja tokia teorema.

Tiesinio pakeitimo teorema. Tegu F(x) yra tam tikra funkcijos f(x) antidarinė. Tadaf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, kur k ir b yra tam tikros konstantos,k0.

Įrodymas.

Pagal integralo f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C apibrėžimą. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Iš integralo ženklo išimkime pastovų koeficientą k: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Dabar galime padalyti kairę ir dešinę lygybės puses į dvi ir gauti teiginį, kurį reikia įrodyti iki pastovaus nario žymėjimo.

Ši teorema teigia, kad jei integralo f(x)dx= F(x) + C apibrėžime vietoj argumento x pakeisime išraišką (kx+b), atsiras papildoma koeficientas 1/k prieš antidarinį.

Naudodamiesi patikrinta teorema, išsprendžiame šiuos pavyzdžius.

3 pavyzdys.

Mes surasime . Čia kx+b= 3 –x, t.y. k= -1,b= 3. Tada

4 pavyzdys.

Surasime. Herekx+b= 4x+ 3, t.y. k= 4,b= 3. Tada

5 pavyzdys.

Mes surasime . Čia kx+b= -2x+ 7, t.y. k= -2,b= 7. Tada

.

6 pavyzdys. Mes surasime
. Čia kx+b= 2x+ 0, t.y. k= 2,b=0.

.

Palyginkime gautą rezultatą su 8 pavyzdžiu, kuris buvo išspręstas skaidymo metodu. Išspręsdami tą pačią problemą kitu metodu, gavome atsakymą
. Palyginkime rezultatus: Taigi šios išraiškos viena nuo kitos skiriasi pastoviu terminu , t.y. Gauti atsakymai vienas kitam neprieštarauja.

7 pavyzdys. Mes surasime
. Vardiklyje pasirinkite tobulą kvadratą.

Kai kuriais atvejais pakeitus kintamąjį integralas nesumažėja tiesiai į lentelę, bet gali supaprastinti sprendimą, todėl kitame žingsnyje galima naudoti išplėtimo metodą.

8 pavyzdys. Pavyzdžiui, suraskime . Pakeiskite t=x+ 2, tada dt=d(x+ 2) =dx. Tada

,

kur C = C 1 – 6 (pakeitus reiškinį (x+ 2) vietoj pirmųjų dviejų dėmenų, gauname ½x 2 -2x– 6).

9 pavyzdys. Mes surasime
. Tegu t= 2x+ 1, tada dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Pakeiskime raišką (2x+ 1) t, atidarykime skliaustus ir duokime panašius.

Atkreipkite dėmesį, kad transformacijų procese perėjome prie kito pastovaus termino, nes transformacijos proceso metu pastovių terminų grupės galima praleisti.

b) Netiesinio pakeitimo metodas Pažiūrėkime į pavyzdį.

1 pavyzdys.
. Lett = -x 2. Tada galima x išreikšti t, tada rasti dx išraišką ir įgyvendinti kintamojo pakeitimą norimame integrale. Tačiau šiuo atveju lengviau viską daryti kitaip. Leiskite rasti = d(-x 2) = -2xdx. Atkreipkite dėmesį, kad išraiška xdx yra norimo integralo integrando veiksnys. Išreikškime ją iš gautos lygybėsxdx= - ½dt. Tada

Integracijos išmokti nėra sunku. Norėdami tai padaryti, jums tereikia išmokti tam tikrą, gana mažą taisyklių rinkinį ir išsiugdyti savotišką instinktą. Žinoma, lengva išmokti taisykles ir formules, tačiau gana sunku suprasti, kur ir kada taikyti tą ar kitą integravimo ar diferenciacijos taisyklę. Tiesą sakant, tai yra gebėjimas integruotis.

1. Antidarinis. Neapibrėžtas integralas.

Daroma prielaida, kad skaitydamas šį straipsnį skaitytojas jau turi tam tikrų diferenciacijos įgūdžių (t. y. susirasti išvestinius).

1.1 apibrėžtis: Funkcija vadinama funkcijos antidariniu, jei galioja lygybė:

Komentarai:> Žodyje „pirminis“ gali būti paryškintas dviem būdais: pirma O vaizdinis arba prototipas Ažinant.

1 nuosavybė: Jei funkcija yra funkcijos antiderivinė, tai funkcija taip pat yra funkcijos antidarinė.

Įrodymas:Įrodykime tai iš antidarinio apibrėžimo. Raskime funkcijos išvestinę:

Pirmoji kadencija į apibrėžimas 1.1 yra lygus , o antrasis narys yra konstantos, kuri lygi 0, išvestinė.

.

Apibendrinkime. Užrašykime lygybių grandinės pradžią ir pabaigą:

Taigi funkcijos išvestinė yra lygi , todėl pagal apibrėžimą yra jos antidarinė. Turtas įrodytas.

1.2 apibrėžtis: Neapibrėžtas funkcijos integralas yra visas šios funkcijos antidarinių rinkinys. Tai nurodoma taip:

.

Išsamiai pažvelkime į kiekvienos įrašo dalies pavadinimus:

— bendras integralo pavadinimas,

— integrand (integrand) išraiška, integruojamoji funkcija.

yra diferencialas, o išraiška po raidės , šiuo atveju ji yra , bus vadinama integracijos kintamuoju.

Komentarai: Pagrindiniai šio apibrėžimo žodžiai yra „visas rinkinys“. Tie. Jei ateityje tas pats „pliusas C“ nebus užrašytas atsakyme, egzaminuotojas turi teisę neskaičiuoti šios užduoties, nes reikia rasti visą antidarinių rinkinį, o jei trūksta C, tai randamas tik vienas.

Išvada: Norint patikrinti, ar integralas apskaičiuotas teisingai, reikia rasti rezultato išvestinę. Jis turi sutapti su integrandu.
Pavyzdys:
Pratimas: Apskaičiuokite neapibrėžtą integralą ir patikrinkite.

Sprendimas:

Šio integralo apskaičiavimo būdas šiuo atveju neturi reikšmės. Tarkime, kad tai yra apreiškimas iš aukščiau. Mūsų užduotis yra parodyti, kad apreiškimas mūsų neapgavo, ir tai galima padaryti patikrinus.

Egzaminas:

Diferencijuodami rezultatą gavome integrandą, vadinasi, integralas apskaičiuotas teisingai.

2. Pradžia. Integralų lentelė.

Norint integruoti, nereikia kiekvieną kartą prisiminti funkcijos, kurios išvestinė yra lygi duotam integrandui (t. y. naudoti integralo apibrėžimą tiesiogiai). Kiekviename uždavinių rinkinyje ar matematinės analizės vadovėlyje yra integralų savybių sąrašas ir paprasčiausių integralų lentelė.

Išvardinkime savybes.

Savybės:
1.
Diferencialo integralas lygus integracijos kintamajam.
2. , kur yra konstanta.
Konstantą daugiklį galima išimti iš integralo ženklo.

3.
Sumos integralas lygi sumai integralai (jei terminų skaičius baigtinis).
Integralų lentelė:

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

Dažniausiai užduotis yra sumažinti tiriamą integralą į lentelę, naudojant savybes ir formules.

Pavyzdys:

[Panaudokime trečiąją integralų savybę ir parašykite ją kaip trijų integralų sumą.]

[Panaudokime antrąją savybę ir perkelkime konstantas už integracijos ženklo.]

[ Pirmajame integralu naudosime lentelės integralą Nr. 1 (n=2), antrame naudosime tą pačią formulę, bet n=1, o trečiajam integralui galime naudoti tą patį lentelės integralą, bet su n=0 arba pirmoji savybė ].
.
Patikrinkime pagal diferencijavimą:

Buvo gautas pirminis integrandas, todėl integravimas atliktas be klaidų (ir net nebuvo pamiršta pridėti savavališką konstantą C).

Lentelės integralus reikia išmokti mintinai dėl vienos paprastos priežasties – norint žinoti, ko siekti, t.y. žinoti tam tikros išraiškos transformavimo tikslą.

Štai dar keli pavyzdžiai:
1)
2)
3)

Užduotys savarankiškam sprendimui:

1 užduotis. Apskaičiuokite neapibrėžtą integralą:

+ Rodyti/slėpti 1 užuominą.

1) Naudokite trečiąją savybę ir pavaizduokite šį integralą kaip trijų integralų sumą.

+ Rodyti/slėpti 2 užuominą.

+ Rodyti/slėpti 3 užuominą.

3) Pirmiems dviem terminams naudokite pirmąjį lentelės integralą, o trečiajam - antrąjį lentelės integralą.

+ Rodyti / slėpti sprendimą ir atsakymą.

4) Sprendimas:

Atsakymas:

Ankstesnėje medžiagoje buvo svarstomas vedinio radimo klausimas ir jo įvairios programos: grafo liestinės kampinio koeficiento skaičiavimas, optimizavimo uždavinių sprendimas, monotoniškumo ir ekstremalių funkcijų tyrimas. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nlimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nlimits)$

1 pav.

Taip pat buvo svarstoma problema rasti momentinį greitį $v(t)$ naudojant išvestinę anksčiau žinomu nuvažiuotu keliu, išreikštu funkcija $s(t)$.

2 pav.

Taip pat labai dažnai pasitaiko atvirkštinė problema, kai reikia rasti kelią $s(t)$, kurį eina laiko taškas $t$, žinant taško $v(t)$ greitį. Jei prisiminsime, momentinis greitis $v(t)$ randamas kaip kelio funkcijos $s(t)$ išvestinė: $v(t)=s'(t)$. Tai reiškia, kad norint išspręsti atvirkštinę problemą, tai yra apskaičiuoti kelią, reikia rasti funkciją, kurios išvestinė bus lygi greičio funkcijai. Tačiau žinome, kad kelio išvestinė yra greitis, tai yra: $s’(t) = v(t)$. Greitis lygus pagreičio kartų laikui: $v=at$. Nesunku nustatyti, kad norima kelio funkcija bus tokia: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Tačiau tai nėra visiškai išsamus sprendimas. Visas sprendimas bus tokia forma: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, kur $C$ yra tam tikra konstanta. Kodėl taip yra, bus aptarta toliau. Kol kas patikrinkime rasto sprendimo teisingumą: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v(t)$.

Verta paminėti, kad rasti kelią pagal greitį yra fizinę reikšmę antidarinis.

Gauta funkcija $s(t)$ vadinama funkcijos $v(t)$ antiderivatine. Visai įdomu ir neįprastas vardas, ar ne? Jame yra daug prasmės, kuri paaiškina esmę ši koncepcija ir veda prie jos supratimo. Pastebėsite, kad jame yra du žodžiai „pirmasis“ ir „vaizdas“. Jie kalba patys už save. Tai yra, tai yra pradinė mūsų turimos išvestinės funkcija. Ir naudojant šią išvestinę, mes ieškome funkcijos, kuri buvo pradžioje, buvo „pirmasis“, „pirmas vaizdas“, tai yra, antiderivatyvas. Kartais tai dar vadinama primityviąja funkcija arba antidariniu.

Kaip jau žinome, išvestinės paieškos procesas vadinamas diferenciacija. O antidarinio suradimo procesas vadinamas integracija. Integravimo operacija yra atvirkštinė diferenciacijos operacija. Priešingai irgi tiesa.

Apibrėžimas. Funkcijos $f(x)$ antidarinė tam tikrame intervale yra funkcija $F(x)$, kurios išvestinė yra lygi šiai funkcijai $f(x)$ visiems $x$ iš nurodyto intervalo: $F' (x)=f (x)$.

Kažkam gali kilti klausimas: iš kur apibrėžime atsirado $F(x)$ ir $f(x)$, jei iš pradžių kalbėjome apie $s(t)$ ir $v(t)$. Faktas yra tas, kad $s(t)$ ir $v(t)$ yra specialūs funkcijų žymėjimo atvejai, kurie šiuo atveju turi konkrečią reikšmę, tai yra, jie yra atitinkamai laiko ir greičio funkcija. Tas pats yra su kintamuoju $t$ – jis žymi laiką. Ir $f$ ir $x$ – tradicinė versija atitinkamai bendrasis funkcijos ir kintamojo žymėjimas. Verta mokėti ypatingas dėmesysį antidarinio $F(x)$ žymėjimą. Visų pirma, $F$ yra kapitalas. Skiriami antidariniai didžiosiomis raidėmis. Antra, raidės yra vienodos: $F$ ir $f$. Tai reiškia, kad funkcijos $g(x)$ antidarinys bus pažymėtas $G(x)$, $z(x)$ – $Z(x)$. Nepriklausomai nuo žymėjimo, antidarinės funkcijos nustatymo taisyklės visada yra vienodos.

Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

1 pavyzdys.Įrodykite, kad funkcija $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ yra funkcijos $f(x)=\cos5x$ antidarinė.

Norėdami tai įrodyti, naudosime apibrėžimą ir tiksliau faktas, kad $F'(x)=f(x)$, ir raskite funkcijos $F(x)$ išvestinę: $F'(x)=(\frac(1)(5) \sin5x)'= \frac (1) (5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Tai reiškia, kad $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ yra $f(x)=\cos5x$ antidarinys. Q.E.D.

2 pavyzdys. Raskite, kurios funkcijos atitinka šiuos antidarinius: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.

Norėdami rasti reikiamas funkcijas, apskaičiuokime jų išvestines:
a) $F’(z)=(\tg z)’=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$.

3 pavyzdys. Kokia bus $f(x)=0$ antidarinė?
Naudokime apibrėžimą. Pagalvokime, kuri funkcija gali turėti išvestinę, lygią $0$. Prisimindami išvestinių lentelę, pastebime, kad bet kuri konstanta turės tokią išvestinę. Pastebime, kad mūsų ieškomas antidarinys yra: $F(x)= C$.

Gautą sprendimą galima paaiškinti geometriškai ir fiziškai. Geometriškai tai reiškia, kad grafiko liestinė $y=F(x)$ yra horizontali kiekviename šio grafiko taške ir todėl sutampa su $Ox$ ašimi. Fiziškai tai paaiškinama tuo, kad taškas turi greitį lygus nuliui, lieka vietoje, tai yra, jo nueitas kelias lieka nepakitęs. Remdamiesi tuo, galime suformuluoti tokią teoremą.

Teorema. (Funkcijų pastovumo ženklas). Jei tam tikru intervalu $F’(x) = 0$, tai funkcija $F(x)$ šiame intervale yra pastovi.

4 pavyzdys. Nustatykite, kurios funkcijos yra a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$ antidarinės; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, kur $a$ yra koks nors skaičius.
Naudodamiesi antidarinės apibrėžimu, darome išvadą, kad norint išspręsti šią problemą, reikia apskaičiuoti mums pateiktų antidarinių funkcijų išvestis. Skaičiuodami atminkite, kad konstantos, tai yra bet kurio skaičiaus, išvestinė yra lygi nuliui.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)'= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)' = x^6$.

Ką mes matome? Kelios skirtingos funkcijos yra tos pačios funkcijos primityvūs. Tai rodo, kad bet kuri funkcija turi be galo daug antidarinių ir jų forma yra $F(x) + C$, kur $C$ yra savavališka konstanta. Tai yra, integracijos operacija yra daugiareikšmė, skirtingai nei diferenciacijos operacija. Remdamiesi tuo, suformuluokime teoremą, kuri nusako pagrindinę antidarinių savybę.

Teorema. (Pagrindinė antidarinių savybė). Tegul funkcijos $F_1$ ir $F_2$ yra funkcijos $f(x)$ antidariniai tam tikrame intervale. Tada visoms šio intervalo reikšmėms yra teisinga tokia lygybė: $F_2=F_1+C$, kur $C$ yra tam tikra konstanta.

Begalinio skaičiaus antidarinių buvimo faktą galima interpretuoti geometriškai. Naudojant lygiagretųjį vertimą išilgai $Oy$ ašies, vienas iš kito galima gauti bet kurių dviejų $f(x)$ antidarinių grafikus. Tai yra geometrine prasme antidarinis.

Labai svarbu atkreipti dėmesį į tai, kad pasirinkę konstantą $C$ galite užtikrinti, kad antidarinės grafikas eina per tam tikrą tašką.

3 pav.

5 pavyzdys. Raskite funkcijos $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$, kurios grafikas eina per tašką $(3; 1)$, antidarinį.
Pirmiausia suraskime visus $f(x)$ antidarinius: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Toliau rasime skaičių C, kurio grafikas $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ eis per tašką $(3; 1)$. Norėdami tai padaryti, pakeiskime taško koordinates į grafiko lygtį ir išspręskite ją $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Gavome grafiką $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, kuris atitinka antidarinį $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.

Antidarinių lentelė

Antidarinių radimo formulių lentelę galima sudaryti naudojant darinių radimo formules.

Antidarinių lentelė

Funkcijos	Antidariniai
$0$	$C$
$1$	$x+C$
$a\in R$	$ax+C$
$x^n, n\ne1$	$\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$
$\displaystyle \frac(1)(x)$	$\ln|x|+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$	$-\ctg x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$	$\tg x+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x, a>0, a\ne1$	$\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$
$\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arcsin x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arccos x+C$
$\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$	$\arctg x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$	$\arcctg x+C$

Lentelės teisingumą galite patikrinti tokiu būdu: kiekvienam dešiniajame stulpelyje esančiam antidarinių rinkiniui raskite išvestinę, kurios rezultatas bus atitinkamos funkcijos kairiajame stulpelyje.

Kai kurios taisyklės ieškant antidarinių

Kaip žinote, daugelis funkcijų turi daugiau sudėtinga išvaizda, o ne tuos, kurie nurodyti antidarinių lentelėje, ir gali reikšti bet kokį savavališką šios lentelės funkcijų sumų ir sandaugų derinį. Ir čia kyla klausimas: kaip apskaičiuoti tokių funkcijų antidarinius. Pavyzdžiui, iš lentelės žinome, kaip apskaičiuoti $x^3$, $\sin x$ ir $10$ antidarinius. Kaip, pavyzdžiui, galima apskaičiuoti antidarinį $x^3-10\sin x$? Žvelgiant į ateitį, verta paminėti, kad jis bus lygus $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Jei $F(x)$ yra $f(x)$ antidarinys, $G(x)$ $g(x)$, tada $f(x)+g(x)$ antidarinys bus lygus $ F(x)+G(x)$.
2. Jei $F(x)$ yra $f(x)$ antidarinys, o $a$ yra konstanta, tai $af(x)$ antidarinys yra $aF(x)$.
3. Jei $f(x)$ antidarinys yra $F(x)$, $a$ ir $b$ yra konstantos, tai $\frac(1)(a) F(ax+b)$ yra antidarinys už $f (ax+b)$.
Naudodamiesi gautomis taisyklėmis galime išplėsti antidarinių lentelę.

Funkcijos	Antidariniai
$(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$	$\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$
$\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$
$e^(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$
$\sin(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$
$\cos(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$

5 pavyzdys. Raskite antidarinius:

a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;

b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.