Utilizarea inegalităților iraționale odz. Inegalități iraționale. Ghidul cuprinzător (2019)

Orice inegalitate care include o funcție sub rădăcină este numită iraţional. Există două tipuri de astfel de inegalități:

În primul caz, rădăcina mai putina functie g (x), în al doilea - mai mult. Dacă g(x) - constant, inegalitatea este mult simplificată. Vă rugăm să rețineți: în exterior aceste inegalități sunt foarte asemănătoare, dar schemele lor de soluție sunt fundamental diferite.

Astăzi vom învăța cum să rezolvăm inegalitățile iraționale de primul tip - acestea sunt cele mai simple și mai ușor de înțeles. Semnul de inegalitate poate fi strict sau nestrict. Următoarea afirmație este adevărată pentru ei:

Teorema. Orice inegalitate irațională a formei

Echivalent cu sistemul de inegalități:

Nu slab? Să vedem de unde provine acest sistem:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - totul este clar aici. Aceasta este inegalitatea originală la pătrat;
2. f (x) ≥ 0 este ODZ a rădăcinii. Permiteți-mi să vă reamintesc: aritmetica rădăcină pătrată există numai din nenegativ numere;
3. g(x) ≥ 0 este intervalul rădăcinii. Punând la pătrat inegalitatea, ardem negativele. Ca rezultat, pot apărea rădăcini suplimentare. Inegalitatea g(x) ≥ 0 le întrerupe.

Mulți elevi „se blochează” de prima inegalitate a sistemului: f (x) ≤ g 2 (x) - și uită complet de celelalte două. Rezultatul este previzibil: decizie greșită, puncte pierdute.

Deoarece inegalitățile iraționale sunt un subiect destul de complex, să ne uităm la 4 exemple deodată. De la bază la cu adevărat complexă. Toate problemele sunt luate de la examenele de admitere la Universitatea de Stat din Moscova. M. V. Lomonosov.

Exemple de rezolvare a problemelor

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

În fața noastră este un clasic inegalitatea irațională: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 - constantă. Avem:

Dintre cele trei inegalități, doar două au rămas la finalul soluției. Deoarece inegalitatea 2 ≥ 0 este întotdeauna valabilă. Să traversăm inegalitățile rămase:

Deci, x ∈ [−1,5; 0,5]. Toate punctele sunt umbrite deoarece inegalitățile nu sunt stricte.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

Aplicam teorema:

Să rezolvăm prima inegalitate. Pentru a face acest lucru, vom dezvălui pătratul diferenței. Avem:

2x 2 − 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 − 10x< 0;
x (x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Acum să rezolvăm a doua inegalitate. Și acolo trinom pătratic:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)