Cum să găsiți cea mai mică valoare a funcției. Utilizarea derivatului pentru găsirea celor mai mari și cele mai mici valori ale funcției continue în interval

La lecția pe tema "Aplicarea derivatului pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale funcției continue în interval", sarcinile relativ simple vor fi considerate a găsi cele mai mari și mai mici valori de funcții la un decalaj dat un derivat.

Subiect: derivat

Lecția: Aplicarea unui derivat pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale funcției continue în interval

În această lecție, considerăm o sarcină mai simplă, și anume, intervalul va fi setat, funcția continuă va fi setată la acest interval. Este necesar să cunoașteți cea mai mare și cea mai mică valoare a celor specificate funcții Pe specificat decalaj.

№ 32.1 (b). DANO:. Desenați un grafic de funcție (vezi figura 1).

Smochin. 1. Graficul funcției.

Se știe că această funcție crește la interval, înseamnă că crește pe segment. Deci, dacă găsiți valoarea funcției la puncte și, atunci limitele schimbării acestei funcții vor fi cunoscute, cea mai mare și cea mai mică valoare va fi cunoscută.

Când argumentul crește de la la 8 ani, funcția crește de la înainte.

Răspuns: ; .

Nr. 32.2 (A) este dat: găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției la un anumit interval.

Construim un grafic al acestei funcții (vezi figura 2).

Dacă argumentul variază în funcție de interval, funcția crește de la -2 la 2. Dacă argumentul crește, atunci funcția scade de la 2 la 0.

Smochin. 2. Program de funcții.

Găsiți un derivat.

, . Dacă, atunci această valoare aparține segmentului specificat. Daca atunci. Este ușor de verificat dacă ia alte valori, punctele staționare corespunzătoare depășesc segmentul specificat. Comparați valorile funcției la capetele segmentului și în punctele selectate în care derivatul este zero. Găsi

;

Răspuns: ;.

Deci, răspunsul este primit. Derivatul în acest caz poate fi utilizat, nu puteți utiliza, aplicați proprietățile funcției care au fost studiate mai devreme. Nu se întâmplă întotdeauna, uneori folosirea derivatului este singura metodă care vă permite să rezolvați astfel de sarcini.

DANO:. Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției de pe acest segment.

Dacă în cazul precedent a fost posibil să faceți fără un derivat - am știut cum se comportă funcția, atunci în acest caz funcția este destul de complicată. Prin urmare, această metodologie pe care am menționat-o pe sarcina anterioară este în întregime.

1. Găsiți un derivat. Găsim puncte critice, de aici, - puncte critice. Ei aleg cele care aparțin acestui segment :. Comparați valoarea funcției la puncte ,, Pentru a face acest lucru, găsiți

Ilustrez rezultatul din figura (vezi figura 3).

Smochin. 3. Limite de modificare a valorilor funcției

Vedem că, dacă argumentul variază de la 0 la 2, funcția variază de la -3 la 4. Funcția nu se schimbă în mod monoton: fie crește sau scade.

Răspuns: ;.

Deci, pe trei exemple, a fost demonstrată o metodă generală de găsire a celei mai mari și mai mici funcție a funcției în interval, în acest caz - pe segment.

Algoritmul pentru rezolvarea sarcinii de a găsi cele mai mari și mai mici valori ale funcțiilor:

1. Găsiți o funcție derivată.

2. Găsiți punctele critice ale funcției și selectați acele puncte care se află pe un segment dat.

3. Găsiți valorile funcției la capetele segmentului și în punctele selectate.

4. Comparați aceste valori și alegeți cel mai mare și cel mai mic.

Luați în considerare un alt exemplu.

Găsiți cea mai mare și cea mai mică funcție a funcției ,.

Anterior, a fost luată în considerare un grafic al acestei funcții (vezi Fig.4).

Smochin. 4. Graficul funcției.

În intervalul de valoare a acestei funcții . Punctul este un punct maxim. Când - funcția crește, când - funcția scade. Din desen se poate vedea că - nu există.

Deci, la lecție, sarcina cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției a fost luată în considerare atunci când intervalul specificat este segmentul; Algoritm formulat pentru rezolvarea acestor sarcini.

1. ALGEBRA și analiza inițială, clasa a 10-a (în două părți). Manual pentru instituțiile de învățământ general (nivel de profil) ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemozina, 2009.

2. ALGEBRA și analiza inițială, gradul 10 (în două părți). Cartea problemei pentru instituțiile generale de învățământ (nivel de profil) este ED. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemozina, 2007.

3. Vilenkin N.ya., Ivashev-Musatov O.S., Schwarzburg S.I. Algebra și analiza matematică pentru gradul 10 (tutorial pentru elevii și clasele școlare cu studii aprofundate a matematicii).: Educație, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Schwarzburg S.I. Studiul aprofundat al algebrei și al analizei matematice. - M.: Iluminare, 1997.

5. Colectarea sarcinilor în matematică pentru solicitanții din sol (ed. M.I.SKANAVI) .- M.: Școala superioară, 1992.

6. Merzlyak a.g., Polononsky V.B., Yakir M.S. Simulator algebric. - K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavichl., Hatch L.ya., Algebra Chinkin și începutul analizei. 8-11 CL: Manual pentru școli și cursuri cu studii aprofundate a matematicii (materiale didactice).: Drop, 2002.

8. Sahkyan S.M., Goldman a.m., Denisov D.V. Sarcini privind algebra și originea analizei (manual pentru studenții din 10-11 din clasele de ansamblu. Instituții).-M: Iluminare, 2003.

9. KARP a.p. Colectarea sarcinilor pe algebră și inițierea analizei: studii. Manual pentru 10-11 cl. cu un cărbune Cercetare. Matematică.-M: Iluminare, 2006.

10. Glazer G.I. Istoria matematicii la școală. 9-10 clase (beneficii pentru cadre didactice).: Educație, 1983

Resurse web suplimentare

2. Patal de științe naturale ().

Face acasă.

№ 46.16, 46.17 (c) (analiza algebră și pornire, clasa a 10-a (în două părți). Sarcina este pentru instituțiile generale de învățământ (nivel de profil) Ed. A. G. Mordkovich. -M: Mnemozina, 2007.)

Din punct de vedere practic, utilizarea derivatului pentru găsirea celei mai mari și mai mici funcții a funcției este cea mai mare interes. Cu ce \u200b\u200beste legat? Maximizarea profiturilor, minimizarea costurilor, determinarea încărcării optime a echipamentelor ... cu alte cuvinte, în multe domenii ale vieții trebuie să rezolvați problemele de optimizare a oricărui parametri. Și aceasta este sarcinile de a găsi cea mai mare și cea mai mică funcție a funcției.

Trebuie remarcat faptul că cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției este de obicei căutată la un anumit interval x, care este fie întreaga funcție a determinării funcției, fie a părții zonei de definiție. Intervalul X în sine poate fi un segment, un interval deschis , Gap infinit.

În acest articol, vom vorbi despre găsirea celor mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții specifice specificate a unei variabile y \u003d f (x).

Navigarea paginii.

Cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției este definițiile, ilustrația.

Concentrați-vă pe scurt pe definițiile de bază.

Cea mai mare valoare funcțională Ce pentru oricine Inegalitate echitabilă.

Cea mai mică valoare a funcției y \u003d f (x) pe intervalul de x apel o astfel de valoare Ce pentru oricine Inegalitate echitabilă.

Aceste definiții sunt intuitive: cea mai mare valoare (cea mai mică) a funcției este cea mai mare valoare (mică) de la intervalul examinat în timpul abscisa.

Puncte staționare - Acestea sunt valorile argumentului în care funcția derivată este trasă la zero.

De ce avem puncte staționare atunci când găsim cele mai mari și mai mici valori? Răspunsul la această întrebare dă teorema fermei. Din această teoremă rezultă că, dacă funcția diferențială are un extremum (maximum local sau local) la un moment dat, atunci acest punct este staționar. Astfel, funcția are adesea cea mai mare valoare (cea mai mică) valoare la intervalul x într-unul din punctele staționare din acest decalaj.

De asemenea, cea mai mare și cea mai mică funcție poate dura la punctele în care nu există primul derivat al acestei funcții, iar funcția în sine este definită.

Răspunde imediat una dintre cele mai frecvente întrebări de pe acest subiect: "Puteți determina întotdeauna cea mai mare (cea mai mică) funcție"? Nu întotdeauna. Uneori limitele decalajului X coincid cu limitele funcției de determinare a funcției sau intervalului x sunt infinite. Iar unele funcții pe infinit și pe limitele zonei de definiție pot dura ca valori infinit și infinit de mici. În aceste cazuri, nimic nu se poate spune despre cea mai mare și cea mai mică valoare de funcție.

Pentru claritate, dați o ilustrare grafică. Uită-te la desene - și multe vor deveni mai clare.

La tăiere

În primul desen, funcția are cea mai mare (maximă y) și cele mai mici (min y) valori în punctele staționare în interiorul segmentului [-6; 6].

Luați în considerare cazul descris în al doilea desen. Schimbați segmentul. În acest exemplu, cea mai mică funcție a funcției este realizată într-un punct staționar și cel mai mare - la un punct cu un abscisaj corespunzător limitei drepte a intervalului.

Figura 2, punctele de graniță ale segmentului [-3; 2] sunt abscoarcerea punctelor corespunzătoare celei mai mari și mai mici valori ale funcției.

Interval deschis

În cel de-al patrulea desen, funcția are cea mai mare (maximă y) și cele mai mici (min y) valori în punctele staționare din interiorul intervalului deschis (-6; 6).

La interval, nu puteți face nicio concluzie cu privire la cea mai mare valoare.

Pe infinit

În exemplul prezentat în modelul al șaptelea, funcția necesită cea mai mare valoare (max y) în punctul staționar cu Abscissa X \u003d 1, iar cea mai mică valoare (min y) se realizează pe limita dreaptă a intervalului. Pe infinitatea minus, valorile funcției sunt apropiate asimptotic la y \u003d 3.

La interval, funcția nu atinge cea mai mică sau cea mai mare valoare. Când X \u003d 2 se străduiește în dreapta, valorile funcției tind la minus infinit (X \u003d 2 este asimptota verticală) și când abscisa se străduiește în plus de infinit, valorile Funcția de abordare asimptotică y \u003d 3. O ilustrare grafică a acestui exemplu este prezentată în Figura nr. 8.

Algoritmul pentru găsirea celei mai mari și mai mici funcții continue pe segment.

Scriem algoritmul care vă permite să găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției de pe segment.

1. Găsiți o funcție de determinare a funcției și verificați dacă conține întregul segment.
2. Noi găsim toate punctele în care nu există primul derivat și care sunt conținute în segment (de obicei, astfel de puncte sunt utilizate în funcțiile cu argumentul sub semnul modulului și funcțiile de alimentare cu un indicator rațional fracționat). Dacă nu există astfel de puncte, atunci mergeți la următorul articol.
3. Definim toate punctele staționare care se încadrează într-un segment. Pentru aceasta, îl echivalăm la zero, rezolvăm ecuația obținută și alegem rădăcinile potrivite. Dacă nu există puncte staționare sau nici unul dintre ele nu intră în segment, atunci ne întoarcem la următorul articol.
4. Calculați valorile funcției din punctele staționare selectate (dacă există), la punctele în care nu există primul derivat (dacă există), precum și cu X \u003d A și X \u003d b.
5. Din valorile obținute ale funcției, selectați cea mai mare și cea mai mică - vor fi cele mai faimoase și cele mai mici valori ale funcției, respectiv.

Vom analiza algoritmul atunci când rezolvăm un exemplu pentru a găsi cea mai mare și cea mai mică funcție a funcției de pe segment.

Exemplu.

Găsiți cea mai mare și cea mai mică funcție

• pe segment;
• pe segmentul [-4; -1].

Decizie.

Zona de definiție a câmpului este toate numerele valide, cu excepția zero, adică. Ambele segmente se încadrează în zona de definiție.

Găsiți o funcție derivată de către:

Evident, funcția derivată există în toate punctele de segmente și [-4; -1].

Puncte staționare Definim din ecuație. Singura rădăcină valabilă este X \u003d 2. Acest punct staționar intră în primul segment.

Pentru primul caz, calculați valorile funcției la capetele segmentului și în punctul staționar, adică la x \u003d 1, x \u003d 2 și x \u003d 4:

Prin urmare, cea mai mare valoare a funcției realizat la x \u003d 1 și cea mai mică valoare - la x \u003d 2.

Pentru un al doilea caz, calculați valorile funcției numai la capetele segmentului [-4; -1] (deoarece nu conține un singur punct staționar):

Procesul de găsire a celei mai mici și mai mari valori ale funcției pe segment seamănă cu o implementare interesantă a unui obiect (grafică a funcției) de către un elicopter cu o coajă de la un tun de lungă durată a anumitor puncte și o alegere a acestor puncte de Toate punctele speciale pentru fotografii de control. Punctele sunt selectate într-un anumit mod și în conformitate cu regulile specifice. Prin ce reguli? Vom vorbi în continuare despre asta.

Dacă funcția. y. = f.(x.) continuu pe segment [ a., b.], apoi ajunge la acest segment cel mai mic și cele mai mari sensuri . Se poate întâmpla fie în puncte de extremum. Sau la capetele segmentului. Prin urmare, găsiți cel mai mic și cele mai mari valori ale funcției continuu pe segment [ a., b.], trebuie să calculați valorile sale în toate puncte critice Și la capetele segmentului, apoi alegeți dintre ele cele mai mici și cele mai multe.

Lăsați, de exemplu, este necesar să se determine cea mai mare valoare a funcției. f.(x.) pe segment [ a., b.]. Pentru a face acest lucru, găsiți toate punctele sale critice situate pe [ a., b.] .

Punct critic numit un punct în care funcția este definită , si ea derivat Fie egale cu zero, fie nu există. Apoi ar trebui să calculați valorile funcției la punctele critice. În cele din urmă, ar trebui comparată între ele valoarea funcției la punctele critice și la capetele segmentului ( f.(a.) I. f.(b.)). Cel mai mare dintre aceste numere vor cea mai mare valoare a funcției pe segment [a., b.] .

În mod similar, sarcinile sunt rezolvate cele mai mici valori ale funcției .

Căutăm cele mai mici și mai mari valori ale funcției împreună

Exemplul 1. Găsiți cele mai mici și mai mari valori ale funcției la tăiere [-1, 2] .

Decizie. Considerăm derivatul acestei funcții. Suntem echivalează derivatul zero () și obținem două puncte critice; Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale funcției într-o anumită secțiune, este suficient să se calculeze valorile sale la secțiunile segmentului și la punct, deoarece punctul nu aparține segmentului [-1, 2 ]. Aceste valori ale funcțiilor sunt după cum urmează :,,, Rezultă că cel mai mic semnificație a funcției (pe graficul de mai jos desemnat roșu), egal cu -7, se realizează pe capătul drept al segmentului - la punct și cel mai (De asemenea, roșu la program), egal cu 9, - la un punct critic.

Dacă funcția este continuă într-un interval și acest decalaj nu este un segment (A, de exemplu, intervalul; diferența dintre interval și segmentul: punctele de graniță ale intervalului nu sunt incluse în interval și punctele de graniță a segmentului fac parte din segment), apoi printre valorile funcției nu poate fi cea mai mică și cea mai mare. De exemplu, funcția descrisă în figura de mai jos este continuă pe] -∞, + ∞ [și nu are cea mai mare valoare.

Cu toate acestea, pentru orice interval (închis, deschis sau infinit), se valide următoarea proprietate a funcțiilor continue.

Exemplul 4. Găsiți cele mai mici și cele mai multe valori ale funcției la tăiere [-1, 3] .

Decizie. Găsim un derivat al acestei funcții ca un derivat privat:

.

Noi echivalăm zeroul zero, care ne dă un punct critic :. Acesta aparține segmentului [-1, 3]. Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale funcției pe un segment dat, găsim valorile sale la capetele segmentului și la punctul critic găsit:

Comparați aceste valori. Concluzie: egală cu -5/13, la punct și cea mai mare valoareegal cu 1, la punct.

Continuăm să căutăm cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției împreună.

Există profesori care, pe tema găsirii celor mai mici și mai mari valori ale funcției, nu dau elevilor să rezolve exemple mai dificile decât cele luate în considerare, adică cele în care funcția este o polinom sau fracție, numărator și a căror numitor sunt polinoame. Dar nu vom fi limitați la astfel de exemple, deoarece printre profesori există iubitori de a forța elevii să se gândească pe deplin (derivații de masă). Prin urmare, o funcție de logaritm și o funcție trigonometrică va intra în curs.

Exemplul 6. Găsiți cele mai mici și cele mai multe valori ale funcției la tăiere .

Decizie. Găsim derivatul acestei funcții ca munca derivată :

Noi echivalează derivatul lui Zero, care oferă un punct critic :. Acesta aparține segmentului. Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale funcției pe un segment dat, găsim valorile sale la capetele segmentului și la punctul critic găsit:

Rezultatul tuturor acțiunilor: funcția atinge cea mai mică valoareegal cu 0, la punct și la punct și cea mai mare valoareegal e.², la punct.

Exemplul 7. Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției la tăiere .

Decizie. Găsim derivatul acestei caracteristici:

Noi echivalează zeroul derivat:

Singurul punct critic aparține segmentului. Pentru a găsi cele mai mici și mai mari valori ale funcției pe un segment dat, găsim valorile sale la capetele segmentului și la punctul critic găsit:

Ieșire: funcția atinge cea mai mică valoareegală cu punctul și cea mai mare valoareegală cu punctul.

În sarcinile extreme aplicate, găsirea celor mai mici valori ale funcțiilor, de regulă, este redusă la găsirea unui minim (maxim). Dar interesul mai practic nu este minimul sau maxima, ci acele valori ale argumentului în care sunt atinse. La rezolvarea sarcinilor aplicate, apare o dificultate suplimentară - întocmirea funcțiilor care descriu fenomenul în cauză sau proces.

Exemplul 8.Rezervorul de o capacitate de 4, având un paralelipiped cu o bază pătrată și deschis de sus, trebuie să fie cauzat de staniu. Care sunt dimensiunile rezervorului astfel încât cea mai mică cantitate de material să fie pe capacul său?

Decizie. Lasa x. - partea laterală a fundației h. - înălțimea rezervorului, S. - zona de suprafață fără un capac, V. - Volumul său. Zona de suprafață a rezervorului este exprimată prin formula, adică Este o funcție a două variabile. A exprima S. Ca o funcție a unei variabile, folosim ce, de unde. Înlocuirea fundației găsite h. În formula pentru S.:

Explorăm această caracteristică pe extremum. Este determinată și diferențiată peste tot în] 0, + ∞ [și

.

Suntem echivalează derivatul zero () și găsim un punct critic. În plus, derivatul nu există, dar această valoare nu este inclusă în zona de definiție și, prin urmare, nu poate fi un punct extremum. Deci, singurul punct critic. Verificați-l pentru prezența extremumului, utilizând cea de-a doua caracteristică suficientă. Găsiți al doilea derivat. Cu al doilea derivat mai zero (). Aceasta înseamnă că funcția atinge un minim . De la asta minim - singurul extrem al acestei funcții, el este cel mai mic semnificație. Deci, partea de bază a rezervorului trebuie să fie de 2 m și înălțimea ei.

Exemplul 9.Din paragraful A.pe linia de cale ferată, punct DIN, se stabilește de la o distanță l., Trebuie să trimită bunuri. Costul greutății unității de greutate pe distanța de unitate pe șină este egal cu și pe autostrada este egală. La care punct M. Linii de cale ferată ar trebui să fie efectuate pe autostradă pentru a transporta mărfurile de la DAR în DIN a fost cel mai economic (complot Au. Calea ferată este asumată direct)?

Care este funcția extremum și care este condiția extrem de extremă?

Funcția extremă este numită funcție maximă și minimă.

Condiția prealabilă a funcției maxime și minime (extremum) este după cum urmează: Dacă funcția F (x) are un extremum la punctul X \u003d A, atunci în acest moment derivatul este fie zero, fie infinit sau nu există.

Această condiție este necesară, dar nu suficientă. Derivatul la punctul X \u003d sau poate contacta zero, în infinit sau să nu existe fără funcția de a avea un extremum în acest moment.

Care este condiția suficientă a funcției extremum (maxim sau minim)?

Prima condiție:

Dacă în imediata apropiere a punctului X \u003d un derivat f? (X) este pozitiv la stânga a și negativ la dreapta a, apoi la punctul în sine x \u003d și funcția f (x) are maxim

Dacă în imediata vecinătate a punctului X \u003d și derivatul F? (X) este negativ din partea stângă a A și pozitivă la dreapta a A, apoi la punctul în sine x \u003d și funcția F (x) are minim Cu condiția ca funcția F (x) să fie continuă aici.

În schimb, puteți utiliza a doua condiție suficientă pentru funcția extremum:

Lăsați la punctul X \u003d un prim derivat f? (X) se referă la zero; Dacă al doilea derivat F? (A) este negativ, atunci funcția F (x) are la punctul X \u003d un maxim, dacă este cel puțin pozitiv.

Ce este o funcție critică și cum să o găsiți?

Aceasta este valoarea argumentului funcției, în care funcția are un extremum (adică maxim sau minim). Pentru a găsi, aveți nevoie găsiți un derivat Funcții F? (X) și echivalează la zero, rezolvați ecuația f? (x) \u003d 0. Rădăcinile acestei ecuații, precum și punctele în care nu există nici un derivat al acestei funcții sunt puncte critice, adică valorile argumentului la care ar putea fi extremumul. Ele pot fi ușor definite prin căutarea la graficul derivat: Suntem interesați de acele valori ale argumentului, în care graficul funcției traversează axa Abscisa (axa OH) și cele în care graficele tolerează pauze.

De exemplu, găsiți extreme Parabolla..

Funcția y (x) \u003d 3x2 + 2x - 50.

Funcția derivată: Y? (X) \u003d 6x + 2

Rezolvăm ecuația: Y? (X) \u003d 0

6x + 2 \u003d 0, 6x \u003d -2, x \u003d -2 / 6 \u003d -1/3

În acest caz, punctul critic este x0 \u003d -1 / 3. Este cu sensul argumentului că funcția are extremum.. Astfel încât a găsi, Înlocuim o expresie pentru o funcție în loc de numărul "X" găsit:

y0 \u003d 3 * (- 1/3) 2 + 2 * (- 1/3) - 50 \u003d 3 * 1/9 - 2/3 - 50 \u003d 1/3 - 2/3 - 50 \u003d -1/3 - 50 \u003d -50,333.

Cum să determinați valoarea maximă și minimă a funcției, adică Cele mai mari și mai mici sensuri?

Dacă semnul derivatului în timpul tranziției prin punctul critic X0 se schimbă de la "plus" la "minus", atunci X0 este punct maxim; Dacă semnul derivatelor se schimbă cu un minus pe plus, atunci X0 este punct de minim; Dacă semnul nu se schimbă, atunci la punctul X0, nici un nivel maxim, nu minim.

Pentru exemplul considerat:

Luăm o valoare arbitrară a argumentului în partea stângă a punctului critic: X \u003d -1

La X \u003d -1, valoarea derivatului ar fi? (- 1) \u003d 6 * (- 1) + 2 \u003d -6 + 2 \u003d -4 (adică semnul este "minus").

Acum luați o valoare arbitrară a argumentului în partea dreaptă a punctului critic: x \u003d 1

La X \u003d 1, valoarea derivatului va fi (1) \u003d 6 * 1 + 2 \u003d 6 + 2 \u003d 8 (adică semnul este "plus").

După cum vedem, derivatul în timpul tranziției prin punctul critic a schimbat semnul cu un minus pe plus. Deci, cu o valoare critică x0, avem un punct minim.

Cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției la intervalul (Pe segment) se găsesc de-a lungul aceleiași proceduri, luând în considerare faptul că, probabil, toate punctele critice se vor afla în interiorul intervalului specificat. Aceste puncte critice care sunt pentru gama de intervale trebuie să fie excluse din considerație. Dacă un singur punct critic este în interiorul intervalului - acesta va fi fie maxim, fie cel puțin. În acest caz, pentru a determina cele mai mari și mai mici valori ale funcțiilor, luăm în considerare și valorile funcției la capetele intervalului.

De exemplu, găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției.

y (x) \u003d 3sin (x) - 0,5x

la intervale:

Deci, funcția derivată -

y? (x) \u003d 3COS (x) - 0,5

Rezolvăm ecuația 3COS (x) - 0,5 \u003d 0

cos (x) \u003d 0,5 / 3 \u003d 0,16667

x \u003d ± Arccos (0,16667) + 2πK.

Găsim puncte critice la interval [-9; nouă]:

x \u003d ArcCOS (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (care nu sunt incluse în interval)

x \u003d -Cracos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d ArcCOS (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -Accos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d ArcCOS (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1.403

x \u003d -Accos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4.88

x \u003d ArcCOS (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -Cracos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (care nu sunt incluse în interval)

Noi găsim valorile funcției la valorile critice ale argumentului:

y (-7,687) \u003d 3COS (-7,687) - 0,5 \u003d 0,885

y (-4,88) \u003d 3COS (-4,88) - 0,5 \u003d 5,398

y (-1,403) \u003d 3COS (-1,403) - 0,5 \u003d -2,256

y (1.403) \u003d 3COS (1.403) - 0,5 \u003d 2,256

y (4,88) \u003d 3COS (4,88) - 0,5 \u003d -5,398

y (7,687) \u003d 3COS (7,687) - 0,5 \u003d -0,885

Se poate observa că în intervalul [-9; 9] Cea mai mare valoare a funcției are la x \u003d -4.88:

x \u003d -4,88, y \u003d 5,398,

Și cel mai mic - la X \u003d 4.88:

x \u003d 4,88, y \u003d -5,398.

Pe intervalul [-6; -3] Avem doar un punct critic: X \u003d -4,88. Valoarea funcției la X \u003d -4,88 este egală cu y \u003d 5.398.

Considerăm valoarea funcției la capetele intervalului:

y (-6) \u003d 3COS (-6) - 0,5 \u003d 3,838

y (-3) \u003d 3COS (-3) - 0,5 \u003d 1,077

Pe intervalul [-6; -3] au cea mai mare valoare a funcției

y \u003d 5.398 la x \u003d -4.88

cea mai mică valoare este

y \u003d 1,077 la x \u003d -3

Cum să găsiți funcții grafice de inflexiune ale punctelor și să determine părțile de bulge și concave?

Pentru a găsi toate punctele de cliperie ale liniei y \u003d f (x), este necesar să găsiți al doilea derivat, să-l echivaleze la zero (rezolvați ecuația) și să experimentați toate aceste valori x pentru care cel de-al doilea derivat este zero , infinit sau nu există. Dacă în timpul tranziției printr-una dintre aceste valori, al doilea derivat modifică semnul, apoi graficul funcției are în acest moment. Dacă nu se schimbă, atunci infleția nu este.

Rădăcini ecuația f? (x) \u003d 0, precum și punctele posibile de rupere a funcției și al doilea derivat împărți zona de determinare a funcției la o serie de intervale. Bulgeul la fiecare dintre intervalele lor este determinat de semnul celui de-al doilea derivat. Dacă al doilea derivat la punctul de pe intervalul de studiu este pozitiv, atunci linia y \u003d f (x) se confruntă aici concave în sus și dacă negativ este cartea.

Cum să găsiți extreme de două variabile?

Pentru a găsi funcția extrem de F (x, y), diferențiată în zona sarcinii sale, aveți nevoie de:

1) Găsiți puncte critice și pentru acest lucru - rezolva sistemul de ecuații

fX? (x, y) \u003d 0, fu? (x, y) \u003d 0

2) Pentru fiecare punct critic P0 (A; B) pentru a explora dacă semnul diferenței rămâne neschimbat

pentru toate punctele (x; y), aproape de P0. Dacă diferența păstrează un semn pozitiv, atunci la punctul P0 avem minimum, dacă negativ este maximul. Dacă diferența nu salvează semnul, atunci nu există extremum la P0.

În mod similar, sunt determinate extremurile funcției cu un număr mai mare de argumente.

Lăsați funcția y \u003d.f. (X) continuu pe segment [ a, B.]. După cum se știe, această funcție pe acest segment atinge cele mai mari și mai mici valori. Aceste valori caracteristicile pot dura fie în punctul interior al segmentului [ a, B.], fie la marginea segmentului.

Pentru a găsi cele mai mari și mai mici valori ale funcției de pe segment [ a, B.] Necesar:

1) găsiți funcții critice de puncte în interval ( a, B.);

2) calculați valorile funcției în punctele critice găsite;

3) Calculați valorile funcției la capetele segmentului, adică când x.= dar și x \u003d. B.;

4) Din toate valorile calculate ale funcției de a alege cel mai mare și cel mai mic.

Exemplu. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției

pe segment.

Noi găsim puncte critice:

Aceste puncte se află în interiorul segmentului; y.(1) = ‒ 3; y.(2) = ‒ 4; y.(0) = ‒ 8; y.(3) = 1;

la punctul x.\u003d 3 și la punct x.= 0.

Investigarea funcției de bulge și punct de inflexiune.

Funcţie y. = f. (x.) numit. clădire La intervalul (a., b.) Dacă programul său se află sub tangentă, petrecut în orice moment al acestui decalaj și se numește convex în jos (concave)Dacă programul său se află pe un tangent.

Punctul la trecerea prin care bulgeul este înlocuit cu concretness sau invers, numit punct de inflexiune.

Un algoritm pentru cercetarea în materie de bulge și punctul de inflexiune:

1. Găsiți punctele critice ale celui de-al doilea tip, adică puncte în care cel de-al doilea derivat este zero sau nu există.

2. Aplicați puncte critice la numeric drept, spargându-l în lacune. Găsiți un semn al celui de-al doilea derivat la fiecare interval; Dacă funcția este convexă, dacă funcția este convexă în jos.

3. Dacă atunci când treceți prin punctul critic al celui de-al doilea tip, va schimba semnul și, în acest moment, cel de-al doilea derivat este zero, atunci acest punct este abscisța punctului de inflexiune. Găsiți ordonarea ei.

Asimptote grafic grafic. Funcția de cercetare pe asimptotes.

Definiție.Funcția grafică asimptota este numită drept, având proprietatea că distanța de la orice punct de program la acest drept se străduiește pentru zero cu o îndepărtare nelimitată a punctului de program de origine.

Există trei tipuri de asimptote: vertical, orizontal și înclinat.

Definiție. Direct numit asimptota verticalăfuncție grafică y \u003d f (x)Dacă cel puțin una dintre limitele unilaterale ale funcției în acest moment este infinitul, adică

unde este punctul de rupere a funcției, adică aparține zonei de definiție.

Exemplu.

D ( y.) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x.\u003d 2 - Un punct de decalaj.

Definiție.Drept y \u003d.A. numit. asimptota orizontală Funcție grafică y \u003d f (x) când, dacă

Exemplu.

x.
y.

Definiție.Drept y \u003d.k.x +.b. (k.≠ 0) a sunat Înclinat asimptoto. Funcție grafică y \u003d f (x) unde

Schema generală pentru cercetarea funcțiilor și construirea graficelor.

Algoritmul de cercetare funcționalăy \u003d f (x) :

1. Găsiți zona de definiție a câmpului D. (y.).

2. Găsiți (dacă este posibil) punctul de intersecție a graficului cu axele coordonatelor (când x. \u003d 0 și. y. = 0).

3. Explorați paritatea și ciudățenia funcției ( y. (‒ x.) = y. (x.) ‒ paritate; y.(‒ x.) = ‒ y. (x.) ‒ precizie).

4. Găsiți asymptoturile grafice funcției.

5. Găsiți intervalele de monotonie ale funcției.

6. Găsiți funcții extreme.

7. Găsiți intervale de convexitate (concavitate) și punctele de inflexiune a graficei funcției.

8. Pe baza studiilor efectuate pentru a construi un program de funcții.

Exemplu.Explorați funcția și construiți programul său.

1) D. (y.) =

x. \u003d 4 - punct de decalaj.

2) pentru x. = 0,

(0; - 5) - punct de intersecție cu oy..

Pentru y. = 0,

3) y.(‒ x.)= Funcția formei generale (nici uniformă sau impare).

4) Explorarea asimptotelor.

a) verticală

b) orizontal.

c) găsim asimptote înclinate în cazul în care

-Evilarea asimptotelor înclinate

5) Această ecuație nu necesită intervale de monotonie funcțională.

6)

Aceste puncte critice împărtășesc întregul câmp de determinare a funcției la intervalul (˗∞i2, 4), (4; 10) și (10; + ∞). Rezultatele obținute sunt în mod convenabil prezentate sub forma tabelului următor.