Cercetarea funcțiilor. În acest articol vom vorbi despre probleme în care sunt luate în considerare funcțiile și condițiile conțin întrebări legate de studiul lor. Să luăm în considerare principalele puncte teoretice care trebuie cunoscute și înțelese pentru a le rezolva.

Acesta este un întreg grup de probleme incluse în examenul de stat unificat la matematică. De obicei, întrebarea este despre găsirea punctelor maxime (minime) sau determinarea celei mai mari (mai mici) valori a unei funcții pe un interval dat.Considerat:

— Puterea și funcțiile iraționale.

— Funcții raționale.

— Studierea lucrărilor și a celor private.

— Funcții logaritmice.

— Funcții trigonometrice.

Dacă înțelegeți teoria limitelor, conceptul de derivată, proprietățile derivatei pentru studiul graficelor funcțiilor și ale acesteia, atunci astfel de probleme nu vă vor cauza nicio dificultate și le veți rezolva cu ușurință.

Informațiile de mai jos sunt puncte teoretice, a căror înțelegere vă va permite să înțelegeți cum să rezolvați astfel de probleme. Voi incerca sa le prezint in asa fel incat chiar si cei care au ratat acest subiect sau l-au studiat prost sa poata rezolva astfel de probleme fara mare dificultate.

În problemele acestui grup, așa cum sa menționat deja, este necesar să se găsească fie punctul minim (maxim) al funcției, fie cea mai mare (cea mai mică) valoare a funcției pe interval.

Puncte minime și maxime.Proprietățile unei derivate.

Luați în considerare graficul funcției:

Punctul A este punctul maxim pe intervalul de la O la A funcția crește, iar pe intervalul de la A la B scade.

Punctul B este punctul minim pe intervalul de la A la B funcția scade, pe intervalul de la B la C crește.

În aceste puncte (A și B), derivata devine zero (egal cu zero).

Tangentele din aceste puncte sunt paralele cu axa bou.

Voi adăuga că punctele în care funcția își schimbă comportamentul de la creștere la descreștere (și invers, de la descreștere la creștere) se numesc extreme.

Punct important:

1. Derivata la intervale crescătoare are semn pozitiv (nCând înlocuiți o valoare dintr-un interval în derivata sa, obțineți un număr pozitiv).

Aceasta înseamnă că dacă derivata la un anumit punct dintr-un anumit interval are valoare pozitivă, atunci graficul funcției crește pe acest interval.

2. Pe intervale descrescătoare, derivata are semn negativ(la substituirea unei valori dintr-un interval în expresia derivată, se obține un număr negativ).

Aceasta înseamnă că dacă derivata la un anumit punct dintr-un anumit interval are valoare negativă, atunci graficul funcției scade pe acest interval.

Acest lucru trebuie înțeles clar!!!

Astfel, calculând derivata și echivalând-o cu zero, puteți găsi puncte care împart dreapta numerică în intervale.La fiecare dintre aceste intervale, puteți determina semnul derivatului și apoi trageți o concluzie despre creșterea sau scăderea acesteia.

*Mențiune specială trebuie făcută cu privire la punctele în care derivatul nu există. De exemplu, putem obține o derivată al cărei numitor dispare la un anumit x. Este clar că pentru un astfel de x derivata nu există. Deci, acest punct trebuie luat în considerare și atunci când se determină intervalele de creștere (scădere).

Funcția în punctele în care derivata este egală cu zero nu își schimbă întotdeauna semnul. Va exista un articol separat despre asta. Nu vor exista astfel de sarcini în cadrul examenului unificat de stat în sine.

Proprietățile de mai sus sunt necesare pentru a studia comportamentul unei funcții pentru creștere și scădere.

Ce mai trebuie să știți pentru a rezolva problemele specificate: tabelul derivatelor și regulile de diferențiere. Nu există nicio cale fără asta. Acestea sunt cunoștințe de bază pe tema derivatelor. Derivate functii elementare ar trebui să știi perfect.

Calcularea derivatei unei funcții complexef(g(x)), imaginați-vă funcțiag(x) aceasta este o variabilă și apoi calculați derivataf’(g(x)) folosind formule tabulare ca derivată obișnuită a unei variabile. Apoi înmulțiți rezultatul cu derivata funcțieig(x) .

Urmărește tutorialul video al lui Maxim Semenikhin despre funcții complexe:

Probleme de găsire a punctelor maxime și minime

Algoritm pentru găsirea punctelor maxime (minime) ale unei funcții:

1. Aflați derivata funcției f’(x).

2. Aflați zerourile derivatei (echivalând derivata cu zero f’(x)=0 și rezolvați ecuația rezultată). Găsim și puncte în care derivata nu există(în special acest lucru se aplică funcțiilor raționale fracționale).

3. Marcam valorile obținute pe linia numerică și determinăm semnele derivatei pe aceste intervale prin înlocuirea valorilor din intervale în expresia derivată.

Concluzia va fi una din două:

1. Punctul maxim este punctulîn care derivata își schimbă valoarea din pozitiv în negativ.

2. Punctul minim este punctulîn care derivata își schimbă valoarea din negativ în pozitiv.

Probleme pentru a găsi cel mai mare sau cea mai mică valoare

funcţionează pe un interval.

Într-un alt tip de problemă, trebuie să găsiți cea mai mare sau cea mai mică valoare a unei funcții pe un interval dat.

Algoritm pentru găsirea celei mai mari (mai mici) valori a unei funcții:

1. Stabiliți dacă există puncte maxime (minime). Pentru a face acest lucru, găsim derivata f’(x) , atunci decidem f’(x)=0 (punctele 1 și 2 din algoritmul anterior).

2. Determinăm dacă punctele obținute aparțin intervalului dat și le notăm pe cele care se află în limitele acestuia.

3. Substituim în funcția inițială (nu în derivată, ci în cea dată în condiție) limitele intervalului dat și punctele (maxim-minim) aflate în interval (item 2).

4. Calculați valorile funcției.

5. Selectăm cea mai mare (cea mai mică) valoare dintre cele obținute, în funcție de ce întrebare a fost pusă în problemă și apoi notăm răspunsul.

Întrebare: de ce este necesar să se caute puncte maxime (minime) în problemele de găsire a celei mai mari (mai mici) valori a unei funcții?

Cel mai bun mod de a ilustra acest lucru este să priviți reprezentarea schematică a graficelor funcțiilor specificate:

În cazurile 1 și 2, este suficient să înlocuiți limitele intervalului pentru a determina cea mai mare sau cea mai mică valoare a funcției. În cazurile 3 și 4, este necesar să găsiți zerourile funcției (puncte maxim-minim). Dacă înlocuim limitele intervalului (fără a găsi zerourile funcției), vom obține răspunsul greșit, acest lucru se vede din grafice.

Și ideea este că, având în vedere o funcție dată, nu putem vedea cum arată graficul pe interval (dacă are un maxim sau un minim în interval). Prin urmare, asigurați-vă că găsiți zerourile funcției!!!

Dacă ecuaţia f'(x)=0 nu va avea o soluție, asta înseamnă că nu există puncte maxim-minim (Figura 1,2), iar pentru a găsi problema pusă, înlocuim doar limitele intervalului în această funcție.

Altul punct important. Amintiți-vă că răspunsul trebuie să fie un număr întreg sau finit zecimal. Când calculați cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții, veți obține expresii e și pi, precum și expresii rădăcină. Amintiți-vă că nu trebuie să le calculați complet și este clar că rezultatul unor astfel de expresii nu va fi răspunsul. Dacă doriți să calculați o astfel de valoare, atunci faceți-o (numerele: e ≈ 2,71 Pi ≈ 3,14).

Am scris mult, poate m-am încurcat? De exemple concrete vei vedea că totul este simplu.

În continuare vreau să vă spun mic secret. Cert este că multe probleme pot fi rezolvate fără cunoașterea proprietăților derivatei și chiar fără regulile de diferențiere. Cu siguranță vă voi spune despre aceste nuanțe și vă voi arăta cum se face? nu rata!

Dar atunci de ce am prezentat deloc teoria și, de asemenea, am spus că este necesar să o cunosc. Așa este - trebuie să știi. Dacă înțelegi, atunci nicio problemă în acest subiect nu te va deruta.

„Trucurile” despre care veți învăța vă vor ajuta atunci când rezolvați probleme specifice (unele) prototipuri. LAak instrument suplimentar Aceste tehnici sunt, desigur, convenabile de utilizat. Problema poate fi rezolvată de 2-3 ori mai rapid și economisiți timp la rezolvarea părții C.

Toate cele bune!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh.

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.

Conținutul articolului

DERIVAT– derivata functiei y = f(x), dat pe un anumit interval ( o, b) la un moment dat x a acestui interval se numește limita la care tinde raportul de creștere a funcției fîn acest moment la incrementul corespunzător al argumentului când incrementul argumentului tinde spre zero.

Derivatul este de obicei notat după cum urmează:

Alte denumiri sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă:

Viteza instantanee.

Lasă punctul M se mișcă în linie dreaptă. Distanţă s punct de mișcare, numărat dintr-o poziție inițială M 0 , depinde de timp t, adică s există o funcție a timpului t: s= f(t). Lasă la un moment dat t punct de mișcare M era la distanta s din pozitia de start M 0, iar la unii momentul următor t+D t s-a trezit într-o poziție M 1 – la distanta s+D s din pozitia initiala ( vezi poza.).

Astfel, pe o perioadă de timp D t distanţă s modificat cu suma D s. În acest caz, ei spun că în intervalul de timp D t magnitudinea s a primit sporul D s.

Viteza medie nu poate caracteriza în toate cazurile cu exactitate viteza de mișcare a unui punct M la un moment dat t. Dacă, de exemplu, corpul la începutul intervalului D t s-a mișcat foarte repede, iar la sfârșit foarte încet, apoi viteza medie nu va putea reflecta caracteristicile specificate ale mișcării punctului și să ofere o idee despre adevărata viteză a mișcării acestuia în acest moment t. Pentru a exprima mai precis viteza reală folosind viteza medie, trebuie să luați o perioadă mai scurtă de timp D t. Cel mai pe deplin caracterizează viteza de mișcare a unui punct în acest moment t limita la care tinde viteza medie la D t® 0. Această limită se numește viteza curentă:

Astfel, viteza de mișcare la un moment dat se numește limita raportului de creștere a traseului D s la incrementul de timp D t, când incrementul de timp tinde spre zero. Deoarece

Sensul geometric al derivatului. Tangenta la graficul unei functii.

Construcția liniilor tangente este una dintre acele probleme care au dus la nașterea calculului diferențial. Prima lucrare publicată legată de calculul diferenţial, scrisă de Leibniz, a fost intitulată Metodă nouă maximele și minimele, precum și tangentele, pentru care nici mărimile fracționale, nici iraționale și un tip special de calcul pentru aceasta nu servesc drept obstacol..

Fie curba graficul funcției y =f(x) V sistem dreptunghiular coordonate ( cm. orez.).

La o oarecare valoare x funcția contează y =f(x). Aceste valori xŞi y punctul de pe curbă corespunde M 0(x, y). Dacă argumentul x da increment D x, apoi noua valoare a argumentului x+D x corespunde noii valori ale funcției y+ D y = f(x + D x). Punctul corespunzător al curbei va fi punctul M 1(x+D x,y+D y). Dacă desenezi o secantă M 0M 1 și notat cu j unghiul format de o transversală cu direcția pozitivă a axei Bou, reiese imediat din figură că .

Daca acum D x tinde spre zero, apoi punctul M 1 se deplasează de-a lungul curbei, apropiindu-se de punct M 0 și unghi j schimbari cu D x. La Dx® 0 unghiul j tinde spre o anumită limită a şi dreapta care trece prin punct M 0 și componenta cu direcția pozitivă a axei x, unghiul a, va fi tangenta dorită. Panta sa este:

Prin urmare, f´( x) = tga

aceste. valoare derivată f´( x) la valoare dată argument x este egal cu tangenta unghiului format de tangenta la graficul functiei f(x) în punctul corespunzător M 0(x,y) cu direcția pozitivă a axei Bou.

Diferențiabilitatea funcțiilor.

Definiţie. Dacă funcţia y = f(x) are o derivată la punct x = x 0, atunci funcția este diferențiabilă în acest moment.

Continuitatea unei funcții având o derivată. Teorema.

Dacă funcţia y = f(x) este diferențiabilă la un moment dat x = x 0, atunci este continuă în acest moment.

Astfel, funcția nu poate avea o derivată la punctele de discontinuitate. Concluzia opusă este incorectă, adică. din faptul că la un moment dat x = x 0 functie y = f(x) este continuă nu înseamnă că este diferențiabilă în acest moment. De exemplu, funcția y = |x| continuă pentru toată lumea x(–Ґ x x = 0 nu are derivată. În acest moment nu există tangentă la grafic. Există o tangentă dreaptă și una stângă, dar nu coincid.

Câteva teoreme asupra funcțiilor diferențiabile. Teoremă asupra rădăcinilor derivatei (teorema lui Rolle). Dacă funcţia f(x) este continuă pe segment [o,b], este diferențiabilă în toate puncte interne a acestui segment şi la capete x = oŞi x = b merge la zero ( f(o) = f(b) = 0), apoi în interiorul segmentului [ o,b] există cel puțin un punct x= Cu, o c b, în ​​care derivata fў( x) merge la zero, adică fў( c) = 0.

Teorema incrementului finit (teorema lui Lagrange). Dacă funcţia f(x) este continuă pe intervalul [ o, b] și este diferențiabilă în toate punctele interioare ale acestui segment, apoi în interiorul segmentului [ o, b] există cel puțin un punct Cu, o c b că

f(b) – f(o) = fў( c)(b– o).

Teoremă privind raportul incrementelor a două funcții (teorema lui Cauchy). Dacă f(x) Și g(x) – două funcții continue pe segment [o, b] și diferențiabilă în toate punctele interioare ale acestui segment și gў( x) nu dispare nicăieri în interiorul acestui segment, apoi în interiorul segmentului [ o, b] există un astfel de punct x = Cu, o c b că

Derivate de diverse ordine.

Lasă funcția y =f(x) este diferențiabilă pe un anumit interval [ o, b]. Valori derivate f ў( x), în general, depind de x, adică derivat f ў( x) este, de asemenea, o funcție a x. La diferențierea acestei funcție, obținem așa-numita derivată a doua a funcției f(x), care este notat f ўў ( x).

Derivat n- al-lea ordin al funcției f(x) se numește derivată (de ordinul întâi) a derivatei n- 1- th și este notat cu simbolul y(n) = (y(n– 1))ў.

Diferențiale de diverse ordine.

Diferenţial de funcţie y = f(x), Unde x– variabilă independentă, da dy = f ў( x)dx, unele functii de la x, dar din x numai primul factor poate depinde f ў( x), al doilea factor ( dx) este incrementul variabilei independente xși nu depinde de valoarea acestei variabile. Deoarece dy există o funcție de la x, atunci putem determina diferența acestei funcții. Diferenţialul diferenţialului unei funcţii se numeşte a doua diferenţială sau diferenţială de ordinul doi a acestei funcţii şi se notează d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .

Diferenţial n- de ordinul întâi se numeşte prima diferenţială a diferenţialului n- 1- comanda:

d n y = d(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).

Derivată parțială.

Dacă o funcție depinde nu de unul, ci de mai multe argumente x i(i variază de la 1 la n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), apoi în calculul diferenţial este introdus conceptul de derivată parţială, care caracterizează rata de modificare a unei funcţii a mai multor variabile atunci când se modifică un singur argument, de exemplu, x i. Derivată parțială de ordinul I cu privire la x i este definită ca o derivată obișnuită și se presupune că toate argumentele cu excepția x i, păstrați valori constante. Pentru derivatele parțiale se introduce notația

Derivatele parțiale de ordinul 1 definite în acest fel (ca funcții ale acelorași argumente) pot avea, la rândul lor, și derivate parțiale, acestea sunt derivate parțiale de ordinul doi etc. Astfel de derivate luate din argumente diferite se numesc mixte. Derivatele mixte continue de același ordin nu depind de ordinea diferențierii și sunt egale între ele.

Anna Chugainova

Definiţie. Fie definită funcția \(y = f(x)\) într-un anumit interval care conține punctul \(x_0\) în interiorul său. Să dăm argumentului un increment \(\Delta x \) astfel încât să nu părăsească acest interval. Să găsim incrementul corespunzător al funcției \(\Delta y \) (când ne mutăm de la punctul \(x_0 \) la punctul \(x_0 + \Delta x \)) și să compunem relația \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Dacă există o limită a acestui raport la \(\Delta x \rightarrow 0\), atunci limita specificată se numește derivata unei functii\(y=f(x) \) în punctul \(x_0 \) și notăm \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simbolul y este adesea folosit pentru a desemna derivata." Rețineți că y" = f(x) este caracteristică nouă, dar asociată în mod natural cu funcția y = f(x), definită în toate punctele x la care există limita de mai sus. Această funcție se numește astfel: derivata functiei y = f(x).

Sensul geometric derivat este după cum urmează. Dacă este posibil să se deseneze o tangentă la graficul funcției y = f(x) în punctul cu abscisa x=a, care nu este paralel cu axa y, atunci f(a) exprimă panta tangentei :
\(k = f"(a)\)

Deoarece \(k = tg(a) \), atunci egalitatea \(f"(a) = tan(a) \) este adevărată.

Acum să interpretăm definiția derivatei din punctul de vedere al egalităților aproximative. Fie ca funcția \(y = f(x)\) să aibă o derivată într-un anumit punct \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Aceasta înseamnă că lângă punctul x egalitatea aproximativă \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), adică \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Delta x\). Semnificația semnificativă a egalității aproximative rezultate este următoarea: creșterea funcției este „aproape proporțională” cu creșterea argumentului, iar coeficientul de proporționalitate este valoarea derivatei la un punct dat x. De exemplu, pentru funcția \(y = x^2\) egalitatea aproximativă \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) este validă. Dacă analizăm cu atenție definiția unei derivate, vom constata că aceasta conține un algoritm pentru găsirea acesteia.

Să o formulăm.

Cum se află derivata funcției y = f(x)?

1. Fixați valoarea lui \(x\), găsiți \(f(x)\)
2. Dați argumentului \(x\) o creștere \(\Delta x\), mergeți la un nou punct \(x+ \Delta x \), găsiți \(f(x+ \Delta x) \)
3. Găsiți incrementul funcției: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Creați relația \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Calculați $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Această limită este derivata funcției în punctul x.

Dacă o funcție y = f(x) are o derivată într-un punct x, atunci se numește derivabilă într-un punct x. Se numește procedura de găsire a derivatei funcției y = f(x). diferenţiere funcțiile y = f(x).

Să discutăm următoarea întrebare: cum sunt legate între ele continuitatea și diferențiabilitatea unei funcții într-un punct?

Fie funcția y = f(x) diferențiabilă în punctul x. Apoi o tangentă poate fi trasă la graficul funcției în punctul M(x; f(x)) și, reamintim, coeficientul unghiular al tangentei este egal cu f "(x). Un astfel de grafic nu se poate „rupe” în punctul M, adică funcția trebuie să fie continuă în punctul x.

Acestea au fost argumente „practice”. Să dăm un raționament mai riguros. Dacă funcția y = f(x) este diferențiabilă în punctul x, atunci egalitatea aproximativă \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) este valabilă. Dacă în această egalitate \(\Delta x \) tinde spre zero, atunci \(\Delta y \) va tinde spre zero, iar aceasta este condiția pentru continuitatea funcției într-un punct.

Aşa, dacă o funcție este diferențiabilă într-un punct x, atunci este continuă în acel punct.

Afirmația inversă nu este adevărată. De exemplu: funcția y = |x| este continuă peste tot, în special în punctul x = 0, dar tangenta la graficul funcției la „punctul de joncțiune” (0; 0) nu există. Dacă la un moment dat o tangentă nu poate fi trasă la graficul unei funcții, atunci derivata nu există în acel punct.

Un alt exemplu. Funcția \(y=\sqrt(x)\) este continuă pe întreaga dreaptă numerică, inclusiv în punctul x = 0. Și tangenta la graficul funcției există în orice punct, inclusiv în punctul x = 0. . Dar în acest punct tangenta coincide cu axa y, adică este perpendiculară pe axa absciselor, ecuația sa are forma x = 0. O astfel de dreaptă nu are un coeficient de unghi, ceea ce înseamnă că \(f „(0)\) nu există.

Deci, ne-am familiarizat cu o nouă proprietate a unei funcții - diferențiabilitatea. Cum se poate concluziona din graficul unei funcții că este diferențiabilă?

Răspunsul este de fapt dat mai sus. Dacă la un moment dat este posibil să se deseneze o tangentă la graficul unei funcții care nu este perpendiculară pe axa absciselor, atunci în acest moment funcția este diferențiabilă. Dacă la un moment dat tangenta la graficul unei funcții nu există sau este perpendiculară pe axa absciselor, atunci în acest moment funcția nu este diferențiabilă.

Reguli de diferențiere

Operația de găsire a derivatei se numește diferenţiere. Atunci când efectuați această operație, trebuie să lucrați adesea cu câte, sume, produse ale funcțiilor, precum și „funcții ale funcțiilor”, adică funcții complexe. Pe baza definiției derivatei, putem deriva reguli de diferențiere care ușurează această lucrare. Dacă C este un număr constant și f=f(x), g=g(x) sunt unele funcții diferențiabile, atunci următoarele sunt adevărate reguli de diferențiere:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Derivată a unei funcții complexe:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabel de derivate ale unor funcții

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Derivată a unei funcții a unei variabile.

Introducere.

Real evoluții metodologice destinat studenților Facultății de Inginerie Industrială și Civilă. Acestea au fost compilate în legătură cu programul cursului de matematică în secțiunea „Calcul diferențial al funcțiilor unei variabile”.

Dezvoltarile reprezinta un singur ghid metodologic, care include: scurte informatii teoretice; probleme și exerciții „standard” cu soluții detaliate și explicații pentru aceste soluții; opțiuni de testare.

Există exerciții suplimentare la sfârșitul fiecărui paragraf. Această structură a dezvoltărilor le face potrivite pentru stăpânirea independentă a secțiunii cu asistență minimă din partea profesorului.

§1. Definiţia derivative.

Semnificație mecanică și geometrică

derivat.

Conceptul de derivat este unul dintre cele mai importante concepte din analiza matematică. A apărut în secolul al XVII-lea. Formarea conceptului de derivată este asociată istoric cu două probleme: problema vitezei mișcării alternative și problema tangentei la o curbă.

Aceste probleme, în ciuda conținutului lor diferit, duc la aceeași operație matematică care trebuie efectuată asupra unei funcții. Această operație a primit o denumire specială în matematică. Se numește operația de diferențiere a unei funcții. Rezultatul operației de diferențiere se numește derivată.

Deci, derivata funcției y=f(x) în punctul x0 este limita (dacă există) a raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului
la
.

Derivatul este de obicei notat după cum urmează:
.

Astfel, prin definiție

Simbolurile sunt, de asemenea, folosite pentru a desemna derivate
.

Sensul mecanic al derivatului.

Dacă s=s(t) este legea mișcării rectilinie a unui punct material, atunci
este viteza acestui punct la momentul t.

Sensul geometric al derivatului.

Dacă funcția y=f(x) are o derivată în punct , apoi coeficientul unghiular al tangentei la graficul funcției în punctul
egală
.

Exemplu.

Aflați derivata funcției
la punct =2:

1) Să-i dăm un punct =2 increment
. Rețineți că.

2) Găsiți incrementul funcției în punct =2:

3) Să creăm raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului:

Să găsim limita raportului la
:

.

Astfel,
.

§ 2. Derivatele unora

cele mai simple funcții.

Elevul trebuie să învețe cum să calculeze derivatele unor funcții specifice: y=x,y= si in general= .

Să găsim derivata funcției y=x.

aceste. (x)′=1.

Să găsim derivata funcției

Derivat

Lasă
Apoi

Este ușor de observat un model în expresiile pentru derivatele funcției de putere
cu n=1,2,3.

Prin urmare,

. (1)

Această formulă este valabilă pentru orice n real.

În special, folosind formula (1), avem:

;

.

Exemplu.

Aflați derivata funcției

.

.

Această funcție este un caz special al unei funcții de formă

la
.

Folosind formula (1), avem

.

Derivate ale funcțiilor y=sin x și y=cos x.

Fie y=sinx.

Împărțiți cu ∆x, obținem

Trecând la limita la ∆x→0, avem

Fie y=cosx.

Trecând la limita la ∆x→0, obținem

;
. (2)

§3. Reguli de bază de diferențiere.

Să luăm în considerare regulile de diferențiere.

Teorema1 . Dacă funcțiile u=u(x) și v=v(x) sunt diferențiabile la un punct datx, atunci în acest moment suma lor este și ea diferențiabilă, iar derivata sumei este egală cu suma derivatelor termenilor : (u+v)"=u"+v".(3)

Dovada: se consideră funcția y=f(x)=u(x)+v(x).

Creșterea ∆x a argumentului x corespunde incrementelor ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) ale funcțiilor u și v. Apoi funcția y va crește

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Prin urmare,

Deci, (u+v)"=u"+v".

Teorema2. Dacă funcțiile u=u(x) și v=v(x) sunt diferențiabile într-un punct datx, atunci produsul lor este diferențiabil în același punct. În acest caz, derivata produsului se găsește prin următoarea formulă: (. uv)"=u"v+uv". (4)

Demonstrație: Fie y=uv, unde u și v sunt câteva funcții diferențiabile ale lui x. Să dăm lui x un increment de ∆x, atunci u va primi un increment de ∆u, v va primi un increment de ∆v, iar y va primi un increment de ∆y.

Avem y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), sau

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Prin urmare, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

De aici

Trecând la limita la ∆x→0 și ținând cont că u și v nu depind de ∆x, vom avea

Teorema 3. Derivata coeficientului a doua functii este egala cu o fractiune, al carei numitor este egal cu patratul divizorului, iar numaratorul este diferenta dintre produsul derivatei dividendului de catre divizor si produsul lui. dividend prin derivata divizorului, i.e.

Dacă
Că
(5)

Teorema 4. Derivata unei constante este zero, i.e. dacă y=C, unde C=const, atunci y"=0.

Teorema 5. Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei, i.e. dacă y=Cu(x), unde C=const, atunci y"=Cu"(x).

Exemplul 1.

Aflați derivata funcției

.

Această funcție are forma
, unde u=x,v=cosx. Aplicând regula de diferențiere (4), aflăm

.

Exemplul 2.

Aflați derivata funcției

.

Să aplicăm formula (5).

Aici
;
.

Sarcini.

Găsiți derivatele următoarelor funcții:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Operația de găsire a derivatei se numește diferențiere.

Ca urmare a rezolvării problemelor de găsire a derivatelor celor mai simple (și nu foarte simple) funcții prin definirea derivatei ca limită a raportului incrementului la incrementul argumentului, a apărut un tabel de derivate și exact anumite reguli diferenţiere. Primii care au lucrat în domeniul găsirii derivatelor au fost Isaac Newton (1643-1727) și Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Prin urmare, în timpul nostru, pentru a găsi derivata oricărei funcții, nu trebuie să calculați limita menționată mai sus a raportului dintre creșterea funcției și creșterea argumentului, ci trebuie doar să utilizați tabelul de derivate și regulile de diferențiere. Următorul algoritm este potrivit pentru găsirea derivatei.

Pentru a găsi derivata, aveți nevoie de o expresie sub semnul prim descompune funcțiile simple în componenteși stabiliți ce acțiuni (produs, sumă, coeficient) aceste funcții sunt legate. În continuare, găsim derivatele funcțiilor elementare în tabelul de derivate, iar formulele pentru derivatele produsului, sumă și coeficient - în regulile de diferențiere. Tabelul derivatelor și regulile de diferențiere sunt date după primele două exemple.

Exemplul 1. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Din regulile de diferențiere aflăm că derivata unei sume de funcții este suma derivatelor de funcții, adică.

Din tabelul derivatelor aflăm că derivata lui „X” este egală cu unu, iar derivata sinusului este egală cu cosinus. Inlocuim aceste valori in suma derivatelor si gasim derivata ceruta de conditia problemei:

Exemplul 2. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Diferențiem ca derivată a unei sume în care al doilea termen are un factor constant poate fi scos din semnul derivatului:

Dacă încă apar întrebări despre unde provine ceva, acestea sunt de obicei clarificate după familiarizarea cu tabelul derivatelor și cu cele mai simple reguli de diferențiere. Trecem la ele chiar acum.

Tabel de derivate ale funcțiilor simple

1. Derivată a unei constante (număr). Orice număr (1, 2, 5, 200...) care se află în expresia funcției. Întotdeauna egal cu zero. Acest lucru este foarte important de reținut, deoarece este necesar foarte des
2. Derivată a variabilei independente. Cel mai adesea „X”. Întotdeauna egal cu unu. Acest lucru este, de asemenea, important de reținut pentru o lungă perioadă de timp
3. Derivat de grad. Când rezolvați probleme, trebuie să convertiți rădăcinile nepătrate în puteri.
4. Derivată a unei variabile la puterea -1
5. Derivat rădăcină pătrată
6. Derivată de sinus
7. Derivată a cosinusului
8. Derivata tangentei
9. Derivat de cotangente
10. Derivată de arcsinus
11. Derivatul arccosinului
12. Derivată a arctangentei
13. Derivată a cotangentei arcului
14. Derivată a logaritmului natural
15. Derivata unei functii logaritmice
16. Derivată a exponentului
17. Derivata unei functii exponentiale

Reguli de diferențiere

1. Derivată a unei sume sau diferențe
2. Derivat al produsului
2a. Derivată a unei expresii înmulțită cu un factor constant
3. Derivată a coeficientului
4. Derivata unei functii complexe

Regula 1.Dacă funcţiile

sunt diferențiabile la un moment dat, atunci funcțiile sunt diferențiabile în același punct

şi

aceste. derivata unei sume algebrice de funcții este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții.

Consecinţă. Dacă două funcții diferențiabile diferă printr-un termen constant, atunci derivatele lor sunt egale, adică

Regula 2.Dacă funcţiile

sunt diferențiabile la un moment dat, atunci produsul lor este diferențiabil în același punct

şi

aceste. Derivata produsului a doua functii este egala cu suma produselor fiecareia dintre aceste functii si derivata celeilalte.

Corolarul 1. Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei:

Corolarul 2. Derivata produsului mai multor functii diferentiabile este egala cu suma produselor derivatei fiecarui factor si a tuturor celorlalti.

De exemplu, pentru trei multiplicatori:

Regula 3.Dacă funcţiile

diferentiabil la un moment dat Şi , atunci în acest moment și câtul lor este diferențiabilu/v și

aceste. derivata câtului a două funcții este egală cu o fracție, al cărei numărător este diferența dintre produsele numitorului și derivata numărătorului și numărătorului și derivata numitorului, iar numitorul este pătratul fostul numărător.

Unde să cauți lucruri pe alte pagini

La găsirea derivatei unui produs și a unui coeficient în probleme reale, este întotdeauna necesar să se aplice mai multe reguli de diferențiere simultan, așa că există mai multe exemple despre aceste derivate în articol„Derivată a produsului și coeficientul de funcții”.

Comentariu. Nu trebuie să confundați o constantă (adică un număr) ca termen dintr-o sumă și ca factor constant! În cazul unui termen, derivata acestuia este egală cu zero, iar în cazul unui factor constant, se scoate din semnul derivatelor. Acest greseala tipica, care are loc în stadiul inițial de studiere a derivatelor, dar pe măsură ce studentul obișnuit rezolvă mai multe exemple cu una și două părți, nu mai face această greșeală.

Și dacă, la diferențierea unui produs sau coeficient, ai un termen u"v, în care u- un număr, de exemplu, 2 sau 5, adică o constantă, atunci derivata acestui număr va fi egală cu zero și, prin urmare, întregul termen va fi egal cu zero (acest caz este discutat în exemplul 10).

Alte greseala comuna- rezolvarea mecanică a derivatei unei funcţii complexe ca derivată a unei funcţii simple. De aceea derivata unei functii complexe este dedicat un articol separat. Dar mai întâi vom învăța să găsim derivate ale funcțiilor simple.

Pe parcurs, nu te poți descurca fără transformarea expresiilor. Pentru a face acest lucru, poate fi necesar să deschideți manualul în ferestre noi. Acțiuni cu puteri și rădăciniŞi Operații cu fracții .

Dacă căutați soluții la derivatele fracțiilor cu puteri și rădăcini, adică atunci când funcția arată ca , apoi urmați lecția „Derivată de sume de fracții cu puteri și rădăcini”.

Dacă aveți o sarcină ca , apoi veți lua lecția „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple”.

Exemple pas cu pas - cum să găsiți derivatul

Exemplul 3. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Definim părțile expresiei funcției: întreaga expresie reprezintă un produs, iar factorii săi sunt sume, în al doilea dintre care unul dintre termeni conține un factor constant. Aplicam regula de diferentiere a produsului: derivata produsului a doua functii este egala cu suma produselor fiecareia dintre aceste functii prin derivata celeilalte:

În continuare, aplicăm regula diferențierii sumei: derivata unei sume algebrice de funcții este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții. În cazul nostru, în fiecare sumă al doilea termen are semnul minus. În fiecare sumă vedem atât o variabilă independentă, a cărei derivată este egală cu unu, cât și o constantă (număr), a cărei derivată este egală cu zero. Deci, „X” se transformă în unu, iar minus 5 se transformă în zero. În a doua expresie, „x” este înmulțit cu 2, așa că înmulțim doi cu aceeași unitate ca și derivata lui „x”. Obținem următoarele valori ale derivatelor:

Inlocuim derivatele gasite in suma produselor si obtinem derivata intregii functii ceruta de conditia problemei:

Exemplul 4. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Ni se cere să găsim derivata coeficientului. Aplicăm formula de diferențiere a câtului: derivata câtului a două funcții este egală cu o fracție, al cărei numărător este diferența dintre produsele numitorului și derivata numărătorului și numărătorului și derivata numitorul, iar numitorul este pătratul fostului numărător. Primim:

Am găsit deja derivata factorilor din numărător în exemplul 2. De asemenea, să nu uităm că produsul, care este al doilea factor la numărător în exemplul curent, este luat cu semnul minus:

Dacă căutați soluții la probleme în care trebuie să găsiți derivata unei funcții, unde există o grămadă continuă de rădăcini și puteri, cum ar fi, de exemplu, , atunci bun venit la curs „Derivată a sumelor fracțiilor cu puteri și rădăcini” .

Dacă trebuie să aflați mai multe despre derivatele sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și altor funcții trigonometrice, adică atunci când funcția arată ca , atunci o lecție pentru tine „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple” .

Exemplul 5. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. În această funcție vedem un produs, unul dintre factorii căruia este rădăcina pătrată a variabilei independente, a cărei derivată ne-am familiarizat în tabelul de derivate. Conform regulii de diferenţiere a produsului şi valoarea tabelului derivată a rădăcinii pătrate obținem:

Exemplul 6. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. În această funcție vedem un coeficient al cărui dividend este rădăcina pătrată a variabilei independente. Folosind regula de diferențiere a coeficientilor, pe care am repetat-o ​​și aplicată în exemplul 4, și valoarea tabelată a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:

Pentru a scăpa de o fracție din numărător, înmulțiți numărătorul și numitorul cu .