Cum să găsiți zona laterală a unui con. Zona suprafeței laterale și totale a conului

Geometria este o ramură a matematicii care studiază structurile din spațiu și relațiile dintre ele. La rândul său, este format și din secțiuni, iar una dintre ele este stereometria. Presupune studiul proprietăților figurilor tridimensionale situate în spațiu: cub, piramidă, bilă, con, cilindru etc.

Un con este un corp din spațiul euclidian care este delimitat de o suprafață conică și de planul pe care se află capetele generatoarelor sale. Formarea sa are loc în timpul procesului de rotație triunghi dreptunghicîn jurul oricăruia dintre picioarele sale, deci aparține corpurilor revoluției.

Componentele unui con

Există următoarele tipuri de conuri: oblice (sau înclinate) și drepte. Oblic este unul a cărui axă nu se intersectează cu centrul bazei sale în unghi drept. Din acest motiv, înălțimea unui astfel de con nu coincide cu axa, deoarece este un segment care este coborât din partea superioară a corpului până în planul bazei sale la un unghi de 90°.

Conul a cărui axă este perpendiculară pe baza sa se numește drept. Axa și înălțimea într-un astfel de corp geometric coincid datorită faptului că vârful din acesta este situat deasupra centrului diametrului bazei.

Conul este format din următoarele elemente:

Cercul care este baza lui.
Suprafata laterala.
Un punct care nu se află în planul bazei, numit vârful conului.
Segmente care leagă punctele cercului bazei unui corp geometric și vârful acestuia.

Toate aceste segmente sunt generatoare de con. Ele sunt înclinate spre baza corpului geometric, iar în cazul unui con drept, proiecțiile lor sunt egale, deoarece vârful este echidistant de punctele cercului bazei. Astfel, putem concluziona că într-un con regulat (drept) generatoarele sunt egale, adică au aceeași lungime și formează aceleași unghiuri cu axa (sau înălțimea) și baza.

Deoarece într-un corp de revoluție oblic (sau înclinat) vârful este deplasat față de centrul planului de bază, generatoarele dintr-un astfel de corp au lungimi diferiteși proiecție, deoarece fiecare dintre ele se află la o distanță diferită de oricare două puncte de pe cercul bazei. În plus, unghiurile dintre ele și înălțimea conului vor fi și ele diferite.

Lungimea generatricelor într-un con drept

După cum am scris mai devreme, înălțimea într-un corp geometric drept de revoluție este perpendiculară pe planul bazei. Astfel, generatoarea, înălțimea și raza bazei creează un triunghi dreptunghic în con.

Adică, cunoscând raza și înălțimea bazei, folosind formula din teorema lui Pitagora, puteți calcula lungimea generatricei, care va fi egală cu suma pătratelor razei și înălțimii bazei:

l 2 = r 2 + h 2 sau l = √r 2 + h 2

unde l este generatorul;

r - raza;

h - înălțime.

Generator într-un con înclinat

Pe baza faptului că într-un con oblic sau înclinat generatoarele nu au aceeași lungime, nu se va putea calcula fără construcții și calcule suplimentare.

În primul rând, trebuie să cunoașteți înălțimea, lungimea axei și raza bazei.

r 1 = √k 2 - h 2

unde r 1 este partea de rază dintre axă și înălțime;

k - lungimea axei;

h - înălțime.

Ca urmare a adunării razei (r) și a părții sale situate între axă și înălțime (r 1), puteți afla generatoarea completă generată a conului, înălțimea acestuia și o parte din diametru:

unde R este catetul unui triunghi format din înălțimea, generatorul și o parte din diametrul bazei;

r - raza bazei;

r 1 - parte din raza dintre axă și înălțime.

Folosind aceeași formulă din teorema lui Pitagora, puteți găsi lungimea generatricei conului:

l = √h 2 + R 2

sau, fără a calcula separat R, combinați două formule într-una singură:

l = √h 2 + (r + r 1) 2.

Indiferent dacă conul este drept sau oblic și care sunt datele de intrare, toate metodele de găsire a lungimii generatricei se reduc întotdeauna la un singur rezultat - utilizarea teoremei lui Pitagora.

Secțiune conică

Axial este un plan care trece de-a lungul axei sau înălțimii sale. Într-un con drept, o astfel de secțiune este triunghi isoscel, în care înălțimea triunghiului este înălțimea corpului, laturile sale sunt generatoarele, iar baza este diametrul bazei. Într-un corp geometric echilateral, secțiunea axială este un triunghi echilateral, deoarece în acest con diametrul bazei și generatoarele sunt egale.

Planul secțiunii axiale într-un con drept este planul simetriei acestuia. Motivul pentru aceasta este că vârful său este situat deasupra centrului bazei sale, adică planul secțiunii axiale împarte conul în două părți identice.

Deoarece înălțimea și axa nu coincid într-un corp volumetric înclinat, planul de secțiune axială poate să nu includă înălțimea. Dacă se pot construi multe secțiuni axiale într-un astfel de con, deoarece pentru aceasta trebuie îndeplinită o singură condiție - trebuie să treacă numai prin axă, atunci secțiunea axială a planului căreia îi va aparține înălțimea acestui con poate fi trasată numai , deoarece numărul de condiții crește și, după cum se știe, două drepte (împreună) pot aparține unui singur plan.

Zona secțională

Secțiunea axială a conului menționată anterior este un triunghi. Pe baza acestui lucru, aria sa poate fi calculată folosind formula pentru aria unui triunghi:

S = 1/2 * d * h sau S = 1/2 * 2r * h

unde S este aria secțiunii transversale;

d - diametrul bazei;

r - raza;

h - înălțime.

Într-un con oblic sau înclinat, secțiunea transversală de-a lungul axei este, de asemenea, un triunghi, astfel încât aria secțiunii transversale din acesta este calculată într-un mod similar.

Volum

Deoarece un con este o figură tridimensională în spațiul tridimensional, volumul său poate fi calculat. Volumul unui con este un număr care caracterizează acest corp într-o unitate de volum, adică în m3. Calculul nu depinde dacă este drept sau oblic (oblic), deoarece formulele pentru aceste două tipuri de corpuri nu diferă.

După cum s-a menționat mai devreme, formarea unui con drept are loc din cauza rotației unui triunghi dreptunghic de-a lungul unuia dintre picioarele sale. Un con înclinat sau oblic se formează diferit, deoarece înălțimea sa este deplasată de centrul planului bazei corpului. Cu toate acestea, astfel de diferențe de structură nu afectează metoda de calcul al volumului său.

Calculul volumului

Orice con arată astfel:

V = 1/3 * π * h * r 2

unde V este volumul conului;

h - înălțime;

r - raza;

π este o constantă egală cu 3,14.

Pentru a calcula înălțimea unui corp, trebuie să cunoașteți raza bazei și lungimea generatricei sale. Deoarece raza, înălțimea și generatorul sunt combinate într-un triunghi dreptunghic, înălțimea poate fi calculată folosind formula din teorema lui Pitagora (a 2 + b 2 = c 2 sau în cazul nostru h 2 + r 2 = l 2, unde l este generatorul). Înălțimea va fi calculată luând rădăcina pătrată a diferenței dintre pătratele ipotenuzei și celălalt catet:

a = √c 2 - b 2

Adică, înălțimea conului va fi egală cu valoarea obținută după luarea rădăcinii pătrate a diferenței dintre pătratul lungimii generatricei și pătratul razei bazei:

h = √l 2 - r 2

Calculând înălțimea folosind această metodă și cunoscând raza bazei sale, puteți calcula volumul conului. Profesorul joacă rol important, deoarece servește element auxiliarîn calcule.

În mod similar, dacă se cunosc înălțimea unui corp și lungimea generatricei acestuia, se poate afla raza bazei acestuia extragând rădăcină pătrată din diferența dintre pătratul generatorului și pătratul înălțimii:

r = √l 2 - h 2

Apoi, folosind aceeași formulă ca mai sus, calculați volumul conului.

Volumul unui con înclinat

Deoarece formula pentru volumul unui con este aceeași pentru toate tipurile de corpuri de rotație, diferența de calcul este căutarea înălțimii.

Pentru a afla înălțimea unui con înclinat, datele de intrare trebuie să includă lungimea generatricei, raza bazei și distanța dintre centrul bazei și intersecția înălțimii corpului cu planul. a bazei sale. Știind acest lucru, puteți calcula cu ușurință acea parte a diametrului bazei care va fi baza unui triunghi dreptunghic (format din înălțime, generatoare și planul bazei). Apoi, folosind din nou teorema lui Pitagora, calculați înălțimea conului și, ulterior, volumul acestuia.

Știm ce este un con, să încercăm să-i găsim suprafața. De ce trebuie să rezolvi o astfel de problemă? De exemplu, trebuie să înțelegeți cât de mult aluat va intra în prepararea unui cornet de vafe? Sau de câte cărămizi sunt necesare pentru a stivui acoperiș de cărămidă castel?

Măsurarea suprafeței laterale a unui con pur și simplu nu se poate face. Dar să ne imaginăm același corn învelit în țesătură. Pentru a găsi zona unei bucăți de material, trebuie să o tăiați și să o așezați pe masă. Se va rezolva figură plată, îi putem găsi zona.

Orez. 1. Secțiunea unui con de-a lungul generatricei

Să facem același lucru cu conul. Să o „tăiem”. suprafata laterala de-a lungul oricărei generatrice, de exemplu (vezi Fig. 1).

Acum să „desfășurăm” suprafața laterală pe un plan. Primim un sector. Centrul acestui sector este vârful conului, raza sectorului este egală cu generatria conului, iar lungimea arcului său coincide cu circumferința bazei conului. Acest sector se numește dezvoltarea suprafeței laterale a conului (vezi Fig. 2).

Orez. 2. Dezvoltarea suprafeței laterale

Orez. 3. Măsurarea unghiului în radiani

Să încercăm să găsim zona sectorului folosind datele disponibile. Mai întâi, să introducem notația: să fie unghiul de la vârful sectorului în radiani (vezi Fig. 3).

De multe ori va trebui să ne confruntăm cu unghiul din partea de sus a maturii în probleme. Deocamdată, să încercăm să răspundem la întrebarea: acest unghi nu se poate dovedi a fi mai mare de 360 de grade? Adică, nu s-ar dovedi că măturarea s-ar suprapune? Desigur că nu. Să demonstrăm asta matematic. Lăsați scanarea să se „supereze” asupra ei însăși. Aceasta înseamnă că lungimea arcului de măturare este mai mare decât lungimea cercului de rază. Dar, după cum sa menționat deja, lungimea arcului de baleiaj este lungimea cercului de rază. Și raza bazei conului, desigur, este mai mică decât generatricea, de exemplu, deoarece catetul unui triunghi dreptunghic este mai mic decât ipotenuza

Apoi să ne amintim două formule din cursul de planimetrie: lungimea arcului. Zona sectorului: .

În cazul nostru, rolul este jucat de generator , iar lungimea arcului este egală cu circumferința bazei conului, adică. Avem:

În cele din urmă obținem: .

Împreună cu zona suprafeței laterale, se poate găsi și zona suprafata intreaga. Pentru a face acest lucru, adăugați zona bazei la zona suprafeței laterale. Dar baza este un cerc cu rază, a cărui zonă conform formulei este egală cu .

În sfârșit avem: , unde este raza bazei cilindrului, este generatoarea.

Să rezolvăm câteva probleme folosind formulele date.

Orez. 4. Unghiul necesar

Exemplul 1. Dezvoltarea suprafeței laterale a conului este un sector cu unghi la vârf. Găsiți acest unghi dacă înălțimea conului este de 4 cm și raza bazei este de 3 cm (vezi Fig. 4).

Orez. 5. Triunghi dreptunghic formând un con

Prin prima acțiune, conform teoremei lui Pitagora, găsim generatorul: 5 cm (vezi Fig. 5). În continuare, știm asta .

Exemplul 2. Aria secțiunii transversale axiale a conului este egală cu , înălțimea este egală cu . Găsiți suprafața totală (vezi Fig. 6).

Aici sunt probleme cu conurile, starea este legată de suprafața sa. În special, în unele probleme se pune problema schimbării zonei la creșterea (scăderea) înălțimii conului sau a razei bazei acestuia. Teoria pentru rezolvarea problemelor în . Să luăm în considerare următoarele sarcini:

27135. Circumferința bazei conului este 3, generatria este 2 Găsiți aria suprafeței laterale a conului.

Suprafața laterală a conului este egală cu:

Inlocuirea datelor:

75697. De câte ori va crește aria suprafeței laterale a conului dacă generatria acestuia este mărită de 36 de ori, iar raza bazei rămâne aceeași?

Suprafața laterală a conului:

Generatorul crește de 36 de ori. Raza rămâne aceeași, ceea ce înseamnă că circumferința bazei nu s-a schimbat.

Aceasta înseamnă că suprafața laterală a conului modificat va avea forma:

Astfel, va crește de 36 de ori.

*Relația este simplă, așa că această problemă poate fi rezolvată cu ușurință oral.

27137. De câte ori va scădea aria suprafeței laterale a conului dacă raza bazei acestuia este redusă de 1,5 ori?

Suprafața laterală a conului este egală cu:

Raza scade de 1,5 ori, adică:

S-a constatat că suprafața laterală a scăzut de 1,5 ori.

27159. Înălțimea conului este 6, generatorul este 10. Aflați aria suprafeței totale împărțite la Pi.

Suprafața completă a conului:

Trebuie să găsiți raza:

Înălțimea și generatria sunt cunoscute, folosind teorema lui Pitagora se calculează raza:

Astfel:

Împărțiți rezultatul la Pi și scrieți răspunsul.

76299. Suprafața totală a conului este de 108. O secțiune este trasată paralelă cu baza conului, împărțind înălțimea la jumătate. Găsiți suprafața totală a conului tăiat.

Secțiunea trece prin mijlocul înălțimii paralel cu baza. Aceasta înseamnă că raza bazei și generatoarea conului tăiat vor fi de 2 ori mai mici decât raza și generatricea conului original. Să notăm suprafața conului tăiat:

Am ajuns să fie de 4 ori zonă mai mică suprafața originalului, adică 108:4 = 27.

*Deoarece originalul și conul tăiat sunt corpuri similare, a fost, de asemenea, posibilă utilizarea proprietății de similaritate:

27167. Raza bazei conului este 3 și înălțimea este 4. Aflați suprafața totală a conului împărțit la Pi.

Formula pentru suprafața totală a unui con:

Raza este cunoscută, este necesar să se găsească generatoarea.

Conform teoremei lui Pitagora:

Astfel:

Împărțiți rezultatul la Pi și scrieți răspunsul.

Sarcină. Suprafața laterală a conului este de patru ori mai multă zonă temeiuri. Aflați care este cosinusul unghiului dintre generatoarea conului și planul bazei.

Zona bazei conului este:

Înapoi Înainte

Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Daca esti interesat această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Tip de lecție: o lecție de învățare a materialelor noi folosind elemente ale unei metode de predare de dezvoltare bazată pe probleme.

Obiectivele lecției:

educativ:
- familiarizarea cu un nou concept matematic;
- formarea de noi centre de formare;
- formarea deprinderilor practice de rezolvare a problemelor.
dezvoltarea:
- dezvoltarea gândirii independente a elevilor;
- dezvoltarea deprinderilor vorbire corectăşcolari.
educativ:
- dezvoltarea abilităților de lucru în echipă.

Echipament pentru lecție: tabla magnetica, calculator, ecran, proiector multimedia, model de con, prezentare lectie, fișe.

Obiectivele lecției (pentru studenți):

familiarizează-te cu un nou concept geometric - con;
deduceți o formulă pentru calcularea suprafeței unui con;
invata sa aplici cunostintele dobandite la rezolvarea problemelor practice.

Progresul lecției

Etapa I. organizatoric.

Predarea caietelor cu lucrări de testare acasă pe tema tratată.

Elevii sunt invitați să afle subiectul lecției viitoare prin rezolvarea puzzle-ului (diapozitivul 1):

Figura 1.

Anunțarea subiectului și a obiectivelor lecției către elevi (diapozitivul 2).

Etapa II. Explicația noului material.

1) Prelegerea profesorului.

Pe tablă există o masă cu imaginea unui con. Material nou este explicată însoțită de materialul de program „Stereometrie”. Pe ecran apare o imagine tridimensională a unui con. Profesorul dă definiția unui con și vorbește despre elementele acestuia. (diapozitivul 3). Se spune că un con este un corp format prin rotația unui triunghi dreptunghic față de un catete. (diapozitivele 4, 5). Apare o imagine a unei scanări a suprafeței laterale a conului. (diapozitivul 6)

2) Lucrări practice.

Actualizarea cunoștințelor de bază: repetați formulele pentru calcularea aria unui cerc, aria unui sector, lungimea unui cerc, lungimea unui arc de cerc. (diapozitivele 7-10)

Clasa este împărțită în grupuri. Fiecare grup primește o scanare a suprafeței laterale a conului decupat din hârtie (un sector de cerc cu un număr atribuit). Elevii iau măsurătorile necesare și calculează aria sectorului rezultat. Pe ecran apar instrucțiuni pentru efectuarea lucrărilor, întrebări - enunțuri de problemă (diapozitivele 11-14). Un reprezentant al fiecărei grupe notează rezultatele calculelor într-un tabel pregătit pe tablă. Participanții din fiecare grup lipesc împreună un model de con din modelul pe care îl au. (diapozitivul 15)

3) Enunțarea și rezolvarea problemei.

Cum se calculează aria suprafeței laterale a unui con dacă se cunosc doar raza bazei și lungimea generatricei conului? (diapozitivul 16)

Fiecare grup ia măsurătorile necesare și încearcă să obțină o formulă pentru calcularea suprafeței necesare folosind datele disponibile. Când efectuează această lucrare, elevii ar trebui să observe că circumferința bazei conului este egală cu lungimea arcului sectorului - dezvoltarea suprafeței laterale a acestui con. (diapozitivele 17–21) Folosind formulele necesare, se obține formula dorită. Argumentele elevilor ar trebui să arate cam așa:

Raza de măturare a sectorului este egală cu eu gradul de măsurare a arcului – φ. Aria sectorului se calculează prin formula: lungimea arcului care delimitează acest sector este egală cu raza bazei conului R. Lungimea cercului aflat la baza conului este C = 2πR . Rețineți că, deoarece aria suprafeței laterale a conului este egală cu aria de dezvoltare a suprafeței sale laterale, atunci

Deci, aria suprafeței laterale a conului este calculată prin formula S BOD = πRl.

După calcularea ariei suprafeței laterale a modelului conului folosind o formulă derivată independent, un reprezentant al fiecărui grup scrie rezultatul calculelor într-un tabel de pe tablă în conformitate cu numerele modelului. Rezultatele calculului din fiecare linie trebuie să fie egale. Pe baza acesteia, profesorul determină corectitudinea concluziilor fiecărui grup. Tabelul cu rezultate ar trebui să arate astfel:

Model nr.	eu sarcina	sarcina II

	(125/3)π ~ 41,67 π

	(425/9)π ~ 47,22 π
	(539/9)π ~ 59,89 π

Parametrii modelului:

l=12 cm, φ =120°
l=10 cm, φ =150°
l=15 cm, φ =120°
l=10 cm, φ =170°
l=14 cm, φ =110°

Aproximarea calculelor este asociată cu erori de măsurare.

După verificarea rezultatelor, pe ecran apare rezultatul formulelor pentru zonele suprafețelor laterale și totale ale conului. (diapozitivele 22–26), elevii păstrează notițe în caiete.

Etapa III. Consolidarea materialului studiat.

1) Se ofera elevi probleme de rezolvare orală pe desene gata făcute.

Găsiți zonele suprafețelor complete ale conurilor prezentate în figuri (diapozitivele 27–32).

2) Întrebare: Sunt zonele suprafețelor conurilor formate prin rotirea unui triunghi dreptunghic în jurul diferitelor catete egale? Elevii vin cu o ipoteză și o testează. Ipoteza este testată prin rezolvarea de probleme și scrisă de elev la tablă.

Dat:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

ВАА", АВВ" – corpuri de rotație.

Găsi: S PPK 1, S PPK 2.

Figura 5. (diapozitivul 33)

Soluţie:

1) R=BC = a; S PPK 1 = S BOD 1 + S principal 1 = π a c + π a 2 = π a (a + c).

2) R=AC = b; S PPK 2 = S BOD 2 + S baza 2 = π b c+π b 2 = π b (b + c).

Dacă S PPK 1 = S PPK 2, atunci a 2 +ac = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b)(a+b+c) = 0. Deoarece a, b, c - numere pozitive (lungimile laturilor triunghiului), egalitatea este adevărată numai dacă a =b.

Concluzie: Suprafețele a două conuri sunt egale numai dacă laturile triunghiului sunt egale. (diapozitivul 34)

3) Rezolvarea problemei din manual: Nr. 565.

Etapa IV. Rezumând lecția.

Teme pentru acasă: paragrafele 55, 56; Nr. 548, Nr. 561. (diapozitivul 35)

Anunțarea notelor alocate.

Concluzii în timpul lecției, repetarea principalelor informații primite în timpul lecției.

Literatură (diapozitivul 36)

Geometrie clasele 10–11 – Atanasyan, V.F Butuzov, S.B. Kadomtsev și colab., „Prosveshchenie”, 2008.
„Puzzle-uri și șarade matematice” - N.V. Udaltsova, biblioteca „Primul septembrie”, seria „MATEMATICĂ”, numărul 35, M., Chistye Prudy, 2010.