Funcția liniară și graficul acesteia. Cum să grafici o funcție

Un grafic al funcției este o reprezentare vizuală a comportamentului unei funcții pe un plan de coordonate. Graficele vă ajută să înțelegeți diverse aspecte funcții care nu pot fi determinate din funcția în sine. Puteți construi grafice cu mai multe funcții și fiecare dintre ele va fi dată o anumită formulă. Graficul oricărei funcții este construit folosind un algoritm specific (dacă ați uitat procesul exact de reprezentare grafică a unei anumite funcții).

Pași

Reprezentarea grafică a unei funcții liniare

Determinați dacă funcția este liniară. Funcția liniară este dată de o formulă de formă F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) sau y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(de exemplu, ), iar graficul său este o linie dreaptă. Astfel, formula include o variabilă și o constantă (constantă) fără exponenți, semne de rădăcină sau altele asemenea. Dacă este dată o funcție de un tip similar, este destul de simplu să reprezentați graficul unei astfel de funcție. Iată și alte exemple de funcții liniare:

Utilizați o constantă pentru a marca un punct pe axa Y. Constanta (b) este coordonata „y” a punctului în care graficul intersectează axa Y Adică este un punct a cărui coordonată „x” este egală cu 0. Astfel, dacă x = 0 este înlocuit în formulă. , atunci y = b (constant). În exemplul nostru y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) constanta este egală cu 5, adică punctul de intersecție cu axa Y are coordonatele (0,5). Trasează acest punct pe planul de coordonate.

Aflați panta dreptei. Este egal cu multiplicatorul variabilei. În exemplul nostru y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) cu variabila „x” există un factor de 2; astfel, coeficientul de panta este egal cu 2. Coeficientul de panta determina unghiul de inclinare al dreptei fata de axa X, adica cu cat coeficientul de panta este mai mare, cu atat functia creste sau scade mai repede.

Scrieți panta ca o fracție. Coeficientul unghiular este egal cu tangenta unghiului de înclinare, adică raportul dintre distanța verticală (între două puncte pe o linie dreaptă) și distanța orizontală (între aceleași puncte). În exemplul nostru, panta este 2, deci putem afirma că distanța verticală este 2 și distanța orizontală este 1. Scrieți aceasta ca o fracție: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

Dacă panta este negativă, funcția este descrescătoare.

Din punctul în care linia dreaptă intersectează axa Y, trasați un al doilea punct folosind distanțe verticale și orizontale.

O funcție liniară poate fi reprezentată grafic folosind două puncte. În exemplul nostru, punctul de intersecție cu axa Y are coordonatele (0,5); Din acest punct, mutați 2 spații în sus și apoi 1 spațiu spre dreapta. Marcați un punct; va avea coordonatele (1,7). Acum puteți trage o linie dreaptă. Folosind o riglă, trageți o linie dreaptă prin două puncte.

Pentru a evita greșelile, găsiți al treilea punct, dar în cele mai multe cazuri graficul poate fi reprezentat folosind două puncte. Astfel, ați trasat o funcție liniară.

Reprezentarea grafică a unei funcții complexe Aflați zerourile funcției.

Zerurile unei funcții sunt valorile variabilei x unde y = 0, adică acestea sunt punctele în care graficul intersectează axa X. Rețineți că nu toate funcțiile au zero, dar sunt primele pas în procesul de reprezentare grafică a oricărei funcții. Pentru a găsi zerourile unei funcții, echivalează-o cu zero. De exemplu: Găsiți și marcați asimptotele orizontale. O asimptotă este o linie de care graficul unei funcții se apropie, dar nu se intersectează niciodată (adică în această regiune funcția nu este definită, de exemplu, la împărțirea la 0). Marcați asimptota cu o linie punctată. Dacă variabila „x” se află la numitorul unei fracții (de exemplu, y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2)))) ), setați numitorul la zero și găsiți „x”. În valorile obținute ale variabilei „x” funcția nu este definită (în exemplul nostru, trageți linii punctate prin x = 2 și x = -2), deoarece nu puteți împărți la 0. Dar asimptotele există nu numai în cazurile în care funcția conține expresie fracționată . Prin urmare, se recomandă utilizarea:

bunul simț Găsiți coordonatele mai multor puncte și trasați-le pe planul de coordonate. Pur și simplu selectați mai multe valori x și conectați-le în funcție pentru a găsi valorile y corespunzătoare. Apoi trasați punctele pe planul de coordonate. Cu cât funcția este mai complexă, cu atât mai multe puncte
- trebuie găsite și aplicate. În cele mai multe cazuri, înlocuiți x = -1; x = 0; x = 1, dar dacă funcția este complexă, găsiți trei puncte de fiecare parte a originii. In caz de functionare y = 5 x 2 + 6 (\displaystyle y=5x^(2)+6) introduceți următoarele x valori: -1, 0, 1, -2, 2, -10, 10. Veți obține cantitate suficientă
- puncte. Alegeți-vă valorile x cu înțelepciune. În exemplul nostru este ușor de înțeles asta semn negativ
nu contează: valoarea lui „y” la x = 10 și la x = -10 va fi aceeași. Dacă nu știți ce să faceți, începeți cu înlocuirea funcției„x” pentru a găsi valorile „y” (și, prin urmare, coordonatele punctelor). Teoretic, un grafic al unei funcții poate fi construit folosind doar această metodă (dacă, desigur, se înlocuiește o varietate infinită de valori „x”).

Se consideră funcția y=k/y. Graficul acestei funcții este o dreaptă, numită hiperbolă în matematică. Vedere generală hiperbolele sunt prezentate în figura de mai jos. (Graficul arată funcția y egal cu k împărțit la x, pentru care k este egal cu unu.)

Se poate observa că graficul este format din două părți. Aceste părți sunt numite ramuri ale hiperbolei. De asemenea, este de remarcat faptul că fiecare ramură a hiperbolei se apropie într-una dintre direcțiile din ce în ce mai aproape de axele de coordonate. Axele de coordonate în acest caz se numesc asimptote.

În general, orice drepte la care graficul unei funcții se apropie la infinit, dar nu le atinge, se numesc asimptote. O hiperbola, ca o parabolă, are axe de simetrie. Pentru hiperbola prezentată în figura de mai sus, aceasta este linia y=x.

Acum să ne ocupăm de două cazuri generale hiperbolă. Graficul funcției y = k/x, pentru k ≠0, va fi o hiperbolă, ale cărei ramuri sunt situate fie în primul și al treilea unghi de coordonate, pentru k>0, fie în al doilea și al patrulea unghi de coordonate, pentru k<0.

Proprietățile de bază ale funcției y = k/x, pentru k>0

Graficul funcției y = k/x, pentru k>0

5. y>0 la x>0; y6. Funcția scade atât pe intervalul (-∞;0), cât și pe intervalul (0;+∞).

10. Domeniul de valori al funcției este de două intervale deschise (-∞;0) și (0;+∞).

Proprietățile de bază ale funcției y = k/x, pentru k<0

Graficul funcției y = k/x, la k<0

1. Punctul (0;0) este centrul de simetrie al hiperbolei.

2. Axele de coordonate - asimptotele hiperbolei.

4. Domeniul de definire al funcției este tot x cu excepția x=0.

5. y>0 la x0.

6. Funcția crește atât pe intervalul (-∞;0), cât și pe intervalul (0;+∞).

7. Funcția nu este limitată nici de jos, nici de sus.

8. O funcție nu are nici o valoare maximă, nici o valoare minimă.

9. Funcția este continuă pe intervalul (-∞;0) și pe intervalul (0;+∞). Are un interval la x=0.

Acest material didactic este doar pentru referință și se referă la o gamă largă de subiecte. Articolul oferă o prezentare generală a graficelor funcțiilor elementare de bază și ia în considerare cea mai importantă problemă - cum să construiți un grafic corect și RAPID. În cursul studierii matematicii superioare fără cunoștințe de grafice de bază functii elementare Va fi greu, așa că este foarte important să ne amintim cum arată graficele unei parabole, hiperbole, sinus, cosinus etc. și amintiți-vă câteva dintre valorile funcției. Vom vorbi și despre câteva proprietăți ale principalelor funcții.

Nu pretind completitatea și temeinicia științifică a materialelor se va pune accent, în primul rând, pe practică - acele lucruri cu care se întâlnește literalmente la fiecare pas, în orice subiect de matematică superioară. Grafice pentru manechine? S-ar putea spune așa.

Datorită numeroaselor solicitări din partea cititorilor cuprins pe care se poate face clic:

În plus, există un rezumat ultra-scurt pe această temă
– stăpânește 16 tipuri de diagrame studiind șase pagini!

Serios, șase, până și eu am fost surprins. Acest rezumat conține grafică îmbunătățită și este disponibil pentru o taxă nominală poate fi vizualizată. Este convenabil să imprimați fișierul, astfel încât graficele să fie întotdeauna la îndemână. Vă mulțumim pentru susținerea proiectului!

Și să începem imediat:

Cum se construiesc corect axele de coordonate?

În practică, testele sunt aproape întotdeauna finalizate de către elevi în caiete separate, aliniate într-un pătrat. De ce ai nevoie de marcaje în carouri? La urma urmei, munca, în principiu, se poate face pe coli A4. Și cușca este necesară doar pentru proiectarea de înaltă calitate și precisă a desenelor.

Orice desen al unui grafic de funcții începe cu axe de coordonate.

Desenele pot fi bidimensionale sau tridimensionale.

Să luăm mai întâi în considerare cazul bidimensional Sistemul de coordonate carteziene dreptunghiulare:

1) Desenați axele de coordonate. Axa se numește axa x , iar axa este axa y . Întotdeauna încercăm să le desenăm îngrijită și nu strâmbă. De asemenea, săgețile nu ar trebui să semene cu barba lui Papa Carlo.

2) Semnăm axele cu litere mari „X” și „Y”. Nu uitați să etichetați axele.

3) Setați scara de-a lungul axelor: trageți un zero și doi uni. Când faceți un desen, scara cea mai convenabilă și folosită frecvent este: 1 unitate = 2 celule (desen din stânga) - dacă este posibil, rămâneți de ea. Totuși, din când în când se întâmplă ca desenul să nu încapă pe foaia caietului - atunci reducem scara: 1 unitate = 1 celulă (desen din dreapta). Este rar, dar se întâmplă ca scara desenului să fie redusă (sau mărită) și mai mult

NU ESTE NEVOIE să „mitralieră” …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Căci planul de coordonate nu este un monument al lui Descartes, iar elevul nu este un porumbel. punem zeroŞi două unități de-a lungul axelor. Uneori în loc de unități, este convenabil să „marcați” alte valori, de exemplu, „două” pe axa absciselor și „trei” pe axa ordonatelor - și acest sistem (0, 2 și 3) va defini, de asemenea, în mod unic grila de coordonate.

Este mai bine să estimați dimensiunile estimate ale desenului ÎNAINTE de a construi desenul. Deci, de exemplu, dacă sarcina necesită desenarea unui triunghi cu vârfuri , , , atunci este complet clar că scara populară de 1 unitate = 2 celule nu va funcționa. De ce? Să ne uităm la punctul - aici va trebui să măsurați cincisprezece centimetri mai jos și, evident, desenul nu se va potrivi (sau abia se va potrivi) pe o foaie de caiet. Prin urmare, selectăm imediat o scară mai mică: 1 unitate = 1 celulă.

Apropo, despre centimetri și celule de notebook. Este adevărat că 30 de celule de notebook conțin 15 centimetri? Pentru distracție, măsurați 15 centimetri în caiet cu o riglă. În URSS, s-ar putea să fi fost adevărat... Este interesant de observat că dacă măsurați acești centimetri pe orizontală și pe verticală, rezultatele (în celule) vor fi diferite! Strict vorbind, caietele moderne nu sunt în carouri, ci dreptunghiulare. Acest lucru poate părea o prostie, dar desenarea, de exemplu, a unui cerc cu o busolă în astfel de situații este foarte incomod. Sincer să fiu, în astfel de momente începi să te gândești la corectitudinea tovarășului Stalin, care a fost trimis în lagăre pentru muncă de hack în producție, ca să nu mai vorbim de industria auto autohtonă, căderea avioanelor sau exploziile centralelor electrice.

Apropo de calitate, sau o scurtă recomandare despre papetărie. Astăzi, majoritatea caietelor aflate în vânzare sunt, cel puțin, o porcărie completă. Din motivul că se udă, și nu numai de la pixurile cu gel, ci și de la pixurile cu bilă! Economisesc bani pe hârtie. Pentru a finaliza testele, recomand să folosiți caiete de la Fabrica de celuloză și hârtie din Arkhangelsk (18 coli, pătrat) sau „Pyaterochka”, deși este mai scump. Este indicat să alegeți un pix cu gel, chiar și cea mai ieftină umplutură de gel chinezească este mult mai bună decât un pix, care fie pătează, fie rupe hârtia. Singurul pix „competitiv” pe care mi-l amintesc este Erich Krause. Ea scrie clar, frumos și consecvent – fie cu miezul plin, fie cu unul aproape gol.

În plus: Viziunea unui sistem de coordonate dreptunghiulare prin ochii geometriei analitice este acoperită în articol Dependența liniară (non) a vectorilor. Baza vectorilor, informații detaliate despre sferturile de coordonate pot fi găsite în al doilea paragraf al lecției Inegalități liniare.

carcasă 3D

Aici este aproape la fel.

1) Desenați axele de coordonate. Standard: axa aplicate – îndreptată în sus, axa – îndreptată spre dreapta, axa – îndreptată în jos spre stânga strict la un unghi de 45 de grade.

2) Etichetați axele.

3) Setați scara de-a lungul axelor. Scara de-a lungul axei este de două ori mai mică decât scara de-a lungul celorlalte axe. De asemenea, rețineți că în desenul din dreapta am folosit o „crestătură” non-standard de-a lungul axei (această posibilitate a fost deja menționată mai sus). Din punctul meu de vedere, acest lucru este mai precis, mai rapid și mai plăcut din punct de vedere estetic - nu este nevoie să căutați mijlocul celulei la microscop și să „sculptați” o unitate apropiată de originea coordonatelor.

Când faceți un desen 3D, acordați din nou prioritate la scară
1 unitate = 2 celule (desen din stânga).

Pentru ce sunt toate aceste reguli? Regulile sunt făcute pentru a fi încălcate. Asta voi face acum. Cert este că desenele ulterioare ale articolului vor fi făcute de mine în Excel, iar axele de coordonate vor arăta incorect din punctul de vedere al designului corect. Aș putea desena toate graficele manual, dar este de fapt înfricoșător să le desenezi, deoarece Excel este reticent să le deseneze mult mai precis.

Grafice și proprietăți de bază ale funcțiilor elementare

O funcție liniară este dată de ecuație. Graficul funcțiilor liniare este direct. Pentru a construi o linie dreaptă este suficient să cunoaștem două puncte.

Exemplul 1

Construiți un grafic al funcției. Să găsim două puncte. Este avantajos să alegeți zero ca unul dintre puncte.

Dacă, atunci

Să luăm un alt punct, de exemplu, 1.

Dacă, atunci

La finalizarea sarcinilor, coordonatele punctelor sunt de obicei rezumate într-un tabel:

Și valorile însele sunt calculate oral sau pe o schiță, un calculator.

Au fost găsite două puncte, să facem un desen:

Când pregătim un desen, semnăm întotdeauna grafica.

Ar fi util să amintim cazuri speciale ale unei funcții liniare:

Observați cum am pus semnăturile, semnăturile nu trebuie să permită discrepanțe la studierea desenului. În acest caz, a fost extrem de nedorit să se pună o semnătură lângă punctul de intersecție al liniilor, sau în dreapta jos între grafice.

1) O funcție liniară de forma () se numește proporționalitate directă. De exemplu, . Un grafic de proporționalitate directă trece întotdeauna prin origine. Astfel, construirea unei linii drepte este simplificată - este suficient să găsiți doar un punct.

2) O ecuație de formă specifică o linie dreaptă paralelă cu axa, în special, axa însăși este dată de ecuație. Graficul funcției se construiește imediat, fără a găsi niciun punct. Adică, intrarea ar trebui înțeleasă după cum urmează: „y este întotdeauna egal cu –4, pentru orice valoare a lui x”.

3) O ecuație de formă specifică o linie dreaptă paralelă cu axa, în special, axa însăși este dată de ecuație. Graficul funcției este de asemenea trasat imediat. Intrarea ar trebui să fie înțeleasă după cum urmează: „x este întotdeauna, pentru orice valoare a lui y, egal cu 1”.

Unii se vor întreba, de ce să-ți amintești de clasa a VI-a?! Așa este, poate așa este, dar de-a lungul anilor de practică am întâlnit o duzină bună de studenți care au fost derutați de sarcina de a construi un grafic ca sau.

Construirea unei linii drepte este cea mai comună acțiune la realizarea desenelor.

Linia dreaptă este discutată în detaliu în cursul geometriei analitice, iar cei interesați se pot referi la articol Ecuația unei drepte pe un plan.

Graficul unei funcții pătratice, cubice, graficul unui polinom

Parabolă. Graficul unei funcții pătratice () reprezintă o parabolă. Luați în considerare celebrul caz:

Să ne amintim câteva proprietăți ale funcției.

Deci, soluția ecuației noastre: – în acest punct se află vârful parabolei. De ce este așa poate fi găsit în articolul teoretic despre derivată și lecția despre extremele funcției. Între timp, să calculăm valoarea „Y” corespunzătoare:

Astfel, vârful este în punct

Acum găsim alte puncte, în timp ce folosim cu nerăbdare simetria parabolei. Trebuie remarcat faptul că funcția – nu este chiar, dar, cu toate acestea, nimeni nu a anulat simetria parabolei.

În ce ordine să găsim punctele rămase, cred că va fi clar din masa finală:

Acest algoritm de construcție poate fi numit în mod figurat „navetă” sau principiul „înainte și înapoi” cu Anfisa Cehova.

Să facem desenul:

Din graficele examinate, îmi vine în minte o altă caracteristică utilă:

Pentru o funcție pătratică () următoarele este adevărată:

Dacă , atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus.

Dacă , atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în jos.

Cunoștințe aprofundate despre curbă pot fi obținute în lecția Hiperbolă și parabolă.

O parabolă cubică este dată de funcție. Iată un desen cunoscut de la școală:

Să enumerăm principalele proprietăți ale funcției

Graficul unei funcții

Reprezintă una dintre ramurile unei parabole. Să facem desenul:

Principalele proprietăți ale funcției:

În acest caz, axa este asimptotă verticală pentru graficul unei hiperbole la .

Ar fi o greșeală GRAVE dacă, atunci când întocmești un desen, ai lăsa neglijent ca graficul să se intersecteze cu o asimptotă.

De asemenea, limitele unilaterale ne spun că hiperbola nelimitat de susŞi nelimitat de jos.

Să examinăm funcția la infinit: , adică dacă începem să ne mișcăm de-a lungul axei la stânga (sau la dreapta) la infinit, atunci „jocurile” vor fi un pas ordonat infinit de aproape se apropie de zero și, în consecință, de ramurile hiperbolei infinit de aproape se apropie de ax.

Deci axa este asimptotă orizontală pentru graficul unei funcții, dacă „x” tinde spre plus sau minus infinit.

Funcția este ciudat, și, prin urmare, hiperbola este simetrică față de origine. Acest fapt este evident din desen, în plus, este ușor de verificat analitic: .

Graficul unei funcții de forma () reprezintă două ramuri ale unei hiperbole.

Dacă , atunci hiperbola este situată în primul și al treilea trimestru de coordonate(vezi poza de mai sus).

Dacă , atunci hiperbola este situată în al doilea și al patrulea trimestru de coordonate.

Modelul indicat al rezidenței hiperbolei este ușor de analizat din punctul de vedere al transformărilor geometrice ale graficelor.

Exemplul 3

Construiți ramura dreaptă a hiperbolei

Folosim metoda de construcție punctuală și este avantajos să selectăm valorile astfel încât să fie divizibile cu un întreg:

Să facem desenul:

Nu va fi dificil să construiți ramura stângă a hiperbolei, ciudatenia funcției va ajuta aici. Aproximativ vorbind, în tabelul de construcție punctual, adăugăm mental un minus fiecărui număr, punem punctele corespunzătoare și desenăm a doua ramură.

Informații geometrice detaliate despre linia luată în considerare pot fi găsite în articolul Hiperbolă și parabolă.

Graficul unei funcții exponențiale

În această secțiune, voi lua în considerare imediat funcția exponențială, deoarece în problemele de matematică superioară în 95% din cazuri exponențialul este cel care se întâlnește.

Permiteți-mi să vă reamintesc că acesta este un număr irațional: , acesta va fi necesar la construirea unui grafic, pe care, de fapt, îl voi construi fără ceremonie. Trei puncte sunt probabil suficiente:

Să lăsăm graficul funcției deocamdată, mai multe despre el mai târziu.

Principalele proprietăți ale funcției:

Graficele de funcții etc., arată fundamental la fel.

Trebuie să spun că al doilea caz apare mai rar în practică, dar apare, așa că am considerat că este necesar să îl includ în acest articol.

Graficul unei funcții logaritmice

Luați în considerare o funcție cu un logaritm natural.
Să facem un desen punct cu punct:

Dacă ați uitat ce este un logaritm, vă rugăm să consultați manualele școlare.

Principalele proprietăți ale funcției:

Domeniul definiției:

Interval de valori: .

Funcția nu este limitată de mai sus: , deși încet, dar ramura logaritmului urcă până la infinit.
Să examinăm comportamentul funcției aproape de zero din dreapta: . Deci axa este asimptotă verticală deoarece graficul unei funcții ca „x” tinde spre zero din dreapta.

Este imperativ să cunoașteți și să vă amintiți valoarea tipică a logaritmului: .

În principiu, graficul logaritmului la bază arată la fel: , , (logaritmul zecimal la baza 10), etc. Mai mult, cu cât baza este mai mare, cu atât graficul va fi mai plat.

Nu vom lua în considerare cazul; nu-mi amintesc ultima dată când am construit un grafic pe o astfel de bază. Iar logaritmul pare a fi un invitat foarte rar în problemele de matematică superioară.

La sfârșitul acestui paragraf voi mai spune un fapt: Funcția exponențială și funcția logaritmică– acestea sunt două funcții reciproc inverse. Dacă te uiți îndeaproape la graficul logaritmului, poți vedea că acesta este același exponent, doar că este situat puțin diferit.

Grafice ale funcțiilor trigonometrice

De unde începe chinul trigonometric la școală? Corect. Din sinus

Să diagramăm funcția

Această linie se numește sinusoid.

Permiteți-mi să vă reamintesc că „pi” este un număr irațional: , iar în trigonometrie vă face ochii orbitori.

Principalele proprietăți ale funcției:

Această funcție este periodic cu punct . Ce înseamnă? Să ne uităm la segment. În stânga și în dreapta acestuia, exact aceeași bucată a graficului se repetă la nesfârșit.

Domeniul definiției: , adică pentru orice valoare a lui „x” există o valoare sinus.

Interval de valori: . Funcția este limitat: , adică toate „jocurile” stau strict în segmentul .
Acest lucru nu se întâmplă: sau, mai precis, se întâmplă, dar aceste ecuații nu au o soluție.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în procedurile judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea autorităților guvernamentale de pe teritoriul Federației Ruse - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

În acest articol ne vom uita funcţie liniară, graficul unei funcții liniare și proprietățile acesteia. Și, ca de obicei, vom rezolva mai multe probleme pe această temă.

Funcția liniară numită funcţie a formei

Într-o ecuație a funcției, numărul cu care îl înmulțim se numește coeficient de pantă.

De exemplu, în ecuația funcției ;

în ecuația funcției;

în ecuația funcției.

Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă.

1. Pentru a reprezenta o funcție, avem nevoie de coordonatele a două puncte aparținând graficului funcției. Pentru a le găsi, trebuie să luați două valori x, să le înlocuiți în ecuația funcției și să le utilizați pentru a calcula valorile y corespunzătoare.

De exemplu, pentru a reprezenta graficul unei funcții, este convenabil să luați și , atunci ordonatele acestor puncte vor fi egale cu și .

Obținem punctele A(0;2) și B(3;3). Să le conectăm și să obținem un grafic al funcției:

2 . Într-o ecuație a funcției, coeficientul este responsabil pentru panta graficului funcției:

Titlu="k>0">!}

Coeficientul este responsabil pentru deplasarea graficului de-a lungul axei:

Title="b>0">!}

Figura de mai jos prezintă grafice ale funcțiilor; ;

Rețineți că în toate aceste funcții coeficientul mai mare decât zero corect. Mai mult decât atât mai multă valoare, cu cât linia dreaptă este mai abruptă.

În toate funcțiile - și vedem că toate graficele intersectează axa OY în punctul (0;3)

Acum să ne uităm la graficele funcțiilor; ;

De data aceasta în toate funcţiile coeficientul mai putin de zero , iar toate graficele funcțiilor sunt înclinate stânga.

Rețineți că cu cât |k| este mai mare, cu atât linia dreaptă este mai abruptă. Coeficientul b este același, b=3, iar graficele, ca și în cazul precedent, intersectează axa OY în punctul (0;3)

Să ne uităm la graficele funcțiilor; ;

Acum coeficienții din toate ecuațiile funcției sunt egali. Și avem trei linii paralele.

Dar coeficienții b sunt diferiți, iar aceste grafice intersectează axa OY în puncte diferite:

Graficul funcției (b=3) intersectează axa OY în punctul (0;3)

Graficul funcției (b=0) intersectează axa OY în punctul (0;0) - originea.

Graficul funcției (b=-2) intersectează axa OY în punctul (0;-2)

Deci, dacă cunoaștem semnele coeficienților k și b, atunci ne putem imagina imediat cum arată graficul funcției.

Dacă k<0 и b>0 , atunci graficul funcției arată astfel:

Dacă k>0 și b>0, atunci graficul funcției arată astfel:

Dacă k>0 și b<0 , atunci graficul funcției arată astfel:

Dacă k<0 и b<0 , atunci graficul funcției arată astfel:

Dacă k=0, apoi funcția se transformă într-o funcție și graficul ei arată astfel:

Ordonatele tuturor punctelor de pe graficul funcției sunt egale

Dacă b=0, atunci graficul funcției trece prin origine:

Acest grafic de proporționalitate directă.

3. Aș dori să notez separat graficul ecuației. Graficul acestei ecuații este o dreaptă paralelă cu axa, toate punctele care au o abscisă.

De exemplu, graficul ecuației arată astfel:

Atenţie! Ecuația nu este o funcție, deoarece valori diferite ale argumentului corespund aceleiași valori a funcției, care nu corespunde.

4 . Condiție pentru paralelismul a două linii:

Graficul unei funcții paralel cu graficul funcției, Dacă

5. Condiția pentru perpendicularitatea a două drepte:

Graficul unei funcții perpendicular pe graficul funcției, dacă sau

6. Puncte de intersecție ale graficului unei funcții cu axele de coordonate.

Cu axa OY. Abscisa oricărui punct aparținând axei OY este egală cu zero. Prin urmare, pentru a găsi punctul de intersecție cu axa OY, trebuie să înlocuiți zero în ecuația funcției în loc de x. Obținem y=b. Adică, punctul de intersecție cu axa OY are coordonatele (0; b).

Cu axa OX: Ordonata oricărui punct aparținând axei OX este egală cu zero. Prin urmare, pentru a găsi punctul de intersecție cu axa OX, trebuie să înlocuiți zero în ecuația funcției în loc de y. Se obține 0=kx+b. De aici. Adică, punctul de intersecție cu axa OX are coordonatele (;0):

Să ne uităm la rezolvarea problemelor.

1. Construiți un grafic al funcției dacă se știe că aceasta trece prin punctul A(-3;2) și este paralelă cu dreapta y=-4x.

Ecuația funcției are doi parametri necunoscuți: k și b. Prin urmare, textul problemei trebuie să conțină două condiții care caracterizează graficul funcției.

a) Din faptul că graficul funcției este paralel cu dreapta y=-4x, rezultă că k=-4. Adică, ecuația funcției are forma

b) Trebuie doar să găsim b. Se știe că graficul funcției trece prin punctul A(-3;2). Dacă un punct aparține graficului unei funcții, atunci când înlocuim coordonatele sale în ecuația funcției, obținem egalitatea corectă:

deci b=-10

Astfel, trebuie să trasăm funcția

Știm punctul A(-3;2), să luăm punctul B(0;-10)

Să punem aceste puncte în planul de coordonate și să le conectăm cu o linie dreaptă:

2. Scrieți ecuația dreptei care trece prin punctele A(1;1); B(2;4).

Dacă o dreaptă trece prin puncte cu coordonate date, prin urmare, coordonatele punctelor satisfac ecuația dreptei. Adică, dacă înlocuim coordonatele punctelor în ecuația dreptei, vom obține egalitatea corectă.

Să substituim coordonatele fiecărui punct în ecuație și să obținem un sistem de ecuații liniare.

Scădeți prima din a doua ecuație a sistemului și obțineți . Să substituim valoarea lui k în prima ecuație a sistemului și să obținem b=-2.

Deci, ecuația dreptei.

3. Reprezentați grafic ecuația

Pentru a afla la ce valori ale necunoscutului produsul mai multor factori este egal cu zero, trebuie să echivalați fiecare factor cu zero și să luați în considerare fiecare multiplicator.

Această ecuație nu are restricții privind ODZ. Să factorizăm a doua paranteză și să setăm fiecare factor egal cu zero. Obținem un set de ecuații:

Să construim grafice ale tuturor ecuațiilor mulțimii într-un singur plan de coordonate. Acesta este graficul ecuației :

4. Construiți un grafic al funcției dacă aceasta este perpendiculară pe dreapta și trece prin punctul M(-1;2)