Dacă derivata este egală cu zero, atunci funcția. Aplicarea derivatei în studiul funcţiilor

Sarcină.

Funcția y=f(x) este definită pe intervalul (-5; 6). Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x). Găsiți dintre punctele x 1, x 2, ..., x 7 acele puncte la care derivata funcției f(x) este egală cu zero. Ca răspuns, notează numărul de puncte găsite.

Soluţie:

Principiul în rezolvarea acestei probleme este următorul: există trei comportamente posibile ale funcției pe acest interval:

1) când funcția crește (derivata acolo este mai mare decât zero)

2) când funcția este descrescătoare (unde derivata este mai mică decât zero)

3) când funcția nu crește sau descrește (unde derivata este fie zero, fie nu există)

Suntem interesați de a treia variantă.

Derivata este egală cu zero în cazul în care funcția este netedă și nu există la punctele de întrerupere. Să ne uităm la toate aceste puncte.

x 1 - funcția crește, ceea ce înseamnă derivata f′(x) >0

x 2 - funcția ia un minim și este netedă, ceea ce înseamnă derivata f ′(x) = 0

x 3 - funcția durează maxim, dar în acest moment există o pauză, ceea ce înseamnă derivat f ′(x) nu există

x 4 - funcția ia maximum, dar în acest moment există o pauză, ceea ce înseamnă derivat f ′(x) nu există

x 5 - derivată f ′(x) = 0

x 6 - funcția crește, ceea ce înseamnă derivata f′(x) >0

x 7 - funcția are un minim și este netedă, ceea ce înseamnă derivată f ′(x) = 0

Vedem că f ′(x) = 0 la punctele x 2, x 5 și x 7, în total 3 puncte.

Derivata unei funcții este unul dintre subiectele dificile în programa școlară. Nu fiecare absolvent va răspunde la întrebarea ce este un derivat.

Acest articol explică într-un mod simplu și clar ce este un derivat și de ce este necesar.. Nu ne vom strădui acum pentru rigoare matematică în prezentare. Cel mai important lucru este să înțelegeți sensul.

Să ne amintim definiția:

Derivata este rata de schimbare a unei functii.

Figura prezintă grafice a trei funcții. Care crezi că crește mai repede?

Răspunsul este evident - al treilea. Are cea mai mare rată de schimbare, adică cea mai mare derivată.

Iată un alt exemplu.

Kostya, Grisha și Matvey au primit locuri de muncă în același timp. Să vedem cum s-au schimbat veniturile lor în cursul anului:

Graficul arată totul deodată, nu-i așa? Venitul lui Kostya s-a dublat în șase luni. Și venitul lui Grisha a crescut, dar doar puțin. Și venitul lui Matvey a scăzut la zero. Condițiile de pornire sunt aceleași, dar rata de schimbare a funcției, adică derivat, - diferit. În ceea ce privește Matvey, derivatul său de venit este în general negativ.

Intuitiv, estimăm cu ușurință rata de schimbare a unei funcții. Dar cum facem asta?

Ceea ce ne uităm cu adevărat este cât de abrupt urcă (sau jos) graficul unei funcții. Cu alte cuvinte, cât de repede se schimbă y pe măsură ce x se schimbă? Evident, aceeași funcție poate avea în puncte diferite sens diferit derivat - adică se poate schimba mai repede sau mai lent.

Derivata unei functii se noteaza .

Vă vom arăta cum să-l găsiți folosind un grafic.

A fost desenat un grafic al unei anumite funcții. Să luăm un punct cu o abscisă pe el. Să desenăm o tangentă la graficul funcției în acest punct. Vrem să estimăm cât de abrupt crește graficul funcției. O valoare convenabilă pentru aceasta este tangenta unghiului tangentei.

Derivata unei functii intr-un punct este egala cu tangentei unghiului tangentei desenat la graficul functiei in acest punct.

Vă rugăm să rețineți că ca unghi de înclinare al tangentei luăm unghiul dintre tangentă și direcția pozitivă a axei.

Uneori, elevii întreabă ce este o tangentă la graficul unei funcții. Aceasta este o linie dreaptă care are un singur punct comun cu graficul din această secțiune și așa cum se arată în figura noastră. Arată ca o tangentă la un cerc.

Să-l găsim. Ne amintim că tangentei unui unghi ascuțit în triunghi dreptunghic egal cu raportul dintre latura opusă și latura adiacentă. Din triunghi:

Am găsit derivata folosind un grafic fără să știm măcar formula funcției. Astfel de probleme se găsesc adesea în examenul de stat unificat la matematică sub numărul.

Există o altă relație importantă. Amintiți-vă că linia dreaptă este dată de ecuație

Mărimea din această ecuație se numește panta unei drepte. Este egală cu tangenta unghiului de înclinare a dreptei la axă.

.

Înțelegem asta

Să ne amintim această formulă. Exprimă semnificația geometrică a derivatei.

Derivata unei functii intr-un punct este egala cu panta tangentei trasate la graficul functiei in acel punct.

Cu alte cuvinte, derivata este egală cu tangentei unghiului tangentei.

Am spus deja că aceeași funcție poate avea derivate diferite în puncte diferite. Să vedem cum este legată derivata de comportamentul funcției.

Să desenăm un grafic al unei funcții. Lăsați această funcție să crească în unele zone și să scadă în altele și în ritmuri diferite. Și lasă această funcție să aibă puncte maxime și minime.

La un moment dat funcția crește. Se formează tangenta la graficul desenat în punct unghi ascuțit; cu direcția pozitivă a axei. Aceasta înseamnă că derivata din punct este pozitivă.

În momentul în care funcția noastră scade. Tangenta în acest punct formează un unghi obtuz; cu direcția pozitivă a axei. Din moment ce tangentă unghi obtuz este negativă, în punctul în care derivata este negativă.

Iată ce se întâmplă:

Dacă o funcție este în creștere, derivata ei este pozitivă.

Dacă scade, derivata sa este negativă.

Ce se va întâmpla la punctele maxime și minime? Vedem ca in punctele (punctul maxim) si (punctul minim) tangenta este orizontala. Prin urmare, tangenta unghiului tangentei în aceste puncte egal cu zero, iar derivata este, de asemenea, zero.

Punct - punct maxim. În acest moment, creșterea funcției este înlocuită cu o scădere. În consecință, semnul derivatei se schimbă în punctul „plus” în „minus”.

În punctul - punctul minim - derivata este, de asemenea, zero, dar semnul său se schimbă de la „minus” la „plus”.

Concluzie: folosind derivata putem afla tot ce ne intereseaza despre comportamentul unei functii.

Dacă derivata este pozitivă, atunci funcția crește.

Dacă derivata este negativă, atunci funcția scade.

În punctul maxim, derivata este zero și își schimbă semnul din „plus” în „minus”.

La punctul minim, derivata este, de asemenea, zero și își schimbă semnul din „minus” în „plus”.

Să scriem aceste concluzii sub forma unui tabel:

	crește	punct maxim	scade	punct minim	crește
+	0	-	0	+

Să facem două mici precizări. Veți avea nevoie de unul dintre ele când rezolvați problema. Un altul - în primul an, cu un studiu mai serios al funcțiilor și derivatelor.

Este posibil ca derivata unei funcții la un moment dat să fie egală cu zero, dar funcția nu are nici un maxim, nici un minim în acest punct. Acesta este așa-numitul :

Într-un punct, tangenta la grafic este orizontală, iar derivata este zero. Cu toate acestea, înainte de punct funcția a crescut - și după punct continuă să crească. Semnul derivatului nu se schimbă - rămâne pozitiv așa cum a fost.

Se mai intampla ca in punctul de maxim sau minim derivata sa nu existe. Pe grafic, aceasta corespunde unei ruperi ascuțite, când este imposibil să desenați o tangentă într-un punct dat.

Cum să găsiți derivata dacă funcția este dată nu de un grafic, ci de o formulă? În acest caz se aplică

Continuitatea și diferențiabilitatea unei funcții.

teorema lui Darboux . Intervale de monotonie.

Puncte critice . Extremum (minim, maxim).

Proiectarea studiului funcțional.

Relația dintre continuitatea și diferențiabilitatea unei funcții. Dacă funcția f(x)este diferențiabilă la un moment dat, apoi este continuă în acel moment. Reversul nu este adevărat: functie continua poate să nu aibă un derivat.

Ilustrare. Dacă funcția este discontinuă la un moment dat, atunci nu are nicio derivată în acest moment.

Semne suficiente de monotonitate a unei funcții.

Dacă f’(x) > 0 în fiecare punct al intervalului (a, b), apoi funcția f (x)crește în acest interval.

Dacă f’(x) < 0 în fiecare punct al intervalului (a, b) , apoi funcția f(x)scade pe acest interval.

teorema lui Darboux. Puncte în care derivata unei funcții este 0sau nu există, împărțiți domeniul de definire al funcției în intervale în care derivata își păstrează semnul.

Folosind aceste intervale putem găsi intervale de monotonie funcții, ceea ce este foarte important atunci când le studiezi.

În consecință, funcția crește pe intervalele (- , 0) și ( 1, + ) și scade pe interval ( 0, 1). Punct x= 0 nu este inclus în domeniul de definiție al funcției, dar pe măsură ce ne apropiemx k0 termen x - 2 crește la nesfârșit, deci și funcția crește la nesfârșit. La punctulx= 1 valoarea functiei este 3. Conform acestei analize putem postareprezentați grafic funcția ( Fig.4 b ) .

Puncte critice. Puncte interioare ale domeniului funcțional,în care derivata este egala cu nulă sau nu există, sunt numite critic puncte această funcție. Aceste puncte sunt foarte importante atunci când se analizează o funcție și se trasează graficul acesteia, deoarece numai în aceste puncte o funcție poate avea extremum (minim sau maxim , Fig.5 O,b).

La puncte x 1 , x 2 (Fig.5 o) Și x 3 (Fig.5 b) derivata este 0; la puncte x 1 , x 2 (Fig.5 b) derivat nu există. Dar toate sunt puncte extreme.

O condiție necesară pentru un extremum. Dacă x 0 - punctul extremum al funcției f(x) și derivata f’ există în acest punct, atunci f’(x 0)= 0.

Această teoremă este necesar stare extremă. Dacă derivata unei funcții la un moment dat este 0, asta nu inseamna asta funcția are un extremum în acest punct. De exemplu, derivata funcțieif (x) = x 3 este egal cu 0 la x= 0, dar această funcție nu are un extrem în acest punct (Fig. 6).

Pe de altă parte, funcțiay = | x| , prezentat în Fig. 3, are un minim la punctx= 0, dar în acest moment derivata nu există.

Condiții suficiente pentru un extremum.

Dacă derivata la trecerea prin punctul x 0 atunci își schimbă semnul din plus în minus x 0 - punct maxim.

Dacă derivata la trecerea prin punctul x 0 își schimbă semnul din minus în plus, apoi x 0 - punct minim.

Proiectarea studiului funcțional. Pentru a reprezenta grafic o funcție aveți nevoie de:

1) găsiți domeniul de definiție și intervalul de valori ale funcției,

2) determinați dacă funcția este pară sau impară,

3) determinați dacă funcția este periodică sau nu,

4) găsiți zerourile funcției și valorile acesteia lax = 0,

5) găsiți intervale de semn constant,

6) găsiți intervale de monotonitate,

7) găsiți puncte extreme și valori ale funcției în aceste puncte,

8) analizați comportamentul funcției în apropierea punctelor „singulare”.

Și la valori mari ale modulelorx .

EXEMPLU Explorați caracteristicaf(x) = x 3 + 2 x 2 - x- 2 și desenați un grafic.

Soluție Să studiem funcția conform schemei de mai sus.

1) domeniul definiriixR (x– orice real număr);

Gama de valoriyR , pentru că f (x) – polinom impar

grade;

2) funcția f (x) nu este nici par, nici impar

(va rog explicati);

3) f (x) este o funcție non-periodică (demonstrați-o singur);

4) graficul funcției intersectează axaYîn punctul (0, – 2),

Deoarece f (0) = - 2; pentru a găsi zerourile funcției de care aveți nevoie

Rezolvați ecuația:x 3 + 2 x 2 - x - 2 = 0, una dintre rădăcini

Care ( x= 1) este evident. Alte rădăcini sunt

(daca exista! ) din rezolvarea ecuației pătratice:

x 2 + 3 x+ 2 = 0, care se obține prin împărțirea polinomului

x 3 + 2 x 2 - x- 2 pe binom ( x– 1). Ușor de verificat

Care sunt celelalte două rădăcini:x 2 = - 2 și x 3 = - 1. Astfel,

Zerourile funcției sunt: - 2, - 1 și 1.

5) Aceasta înseamnă că axa numerelor este împărțită la aceste rădăcini la

Patru intervale de constanță a semnului, în cadrul cărora

Funcția își păstrează semnul:

Acest rezultat poate fi obținut prin extindere

polinom în factori:

x 3 + 2 x 2 - x - 2 = (x + 2) (x + 1 (x – 1)

Și o evaluare a semnului lucrării .

6) Derivată f' (x) = 3 x 2 + 4 x- 1 nu are puncte în care

Nu există, deci domeniul său de definire esteR (Toate

numere reale); zerourif' (x) sunt rădăcinile ecuației:

3 x 2 + 4 x- 1 = 0 .

Rezultatele obținute sunt rezumate în tabel:

La rezolvarea diferitelor probleme de geometrie, mecanică, fizică și alte ramuri ale cunoașterii, a apărut necesitatea folosind același proces analitic din această funcție. y=f(x) primi caracteristică nouă care se numeste funcţie derivată(sau doar derivată) a unei funcții date f(x)și este desemnată prin simbol

Procesul prin care dintr-o funcție dată f(x) obține o funcție nouă f" (x), numit diferenţiereși constă din următorii trei pași: 1) dați argumentul x creştere  xși determinați incrementul corespunzător al funcției  y = f(x+ x) -f(x);

2) alcătuiește o relație x 3) numărarea  x constantă şi
0, găsim f" (x), pe care o notăm prin x, ca și cum ar sublinia că funcția rezultată depinde doar de valoare , la care mergem la limită.: Definiţie Derivată y " =f " (x) funcția dată y=f(x) pentru un x dat
se numește limita raportului dintre incrementul unei funcții și incrementul argumentului, cu condiția ca incrementul argumentului să tinde spre zero, dacă, desigur, această limită există, i.e. finit. Astfel,

, sau x Rețineți că dacă pentru o anumită valoare , de exemplu când x=a
, atitudine  x la f(x)0 nu tinde spre limita finită, atunci în acest caz se spune că funcția , de exemplu când la , de exemplu când(sau la punctul , de exemplu când.

) nu are derivată sau nu este diferențiabilă la punct

Se consideră graficul funcției y = f (x), diferențiabilă în vecinătatea punctului x 0

f(x)

Să considerăm o dreaptă arbitrară care trece printr-un punct de pe graficul unei funcții - punctul A(x 0, f (x 0)) și care intersectează graficul într-un punct B(x;f(x)). O astfel de dreaptă (AB) se numește secantă. Din ∆ABC: ​​​​AC = ∆x;

ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.

Din moment ce AC || Ox, apoi ALO = BAC = β (așa cum corespunde pentru paralel). Dar ALO este unghiul de înclinare al secantei AB față de direcția pozitivă a axei Ox. Aceasta înseamnă că tanβ = k este panta dreptei AB.

Acum vom reduce ∆х, i.e. ∆х→ 0. În acest caz, punctul B se va apropia de punctul A conform graficului, iar secanta AB se va roti. Poziția limită a secantei AB la ∆x→ 0 va fi o dreaptă (a), numită tangentă la graficul funcției y = f (x) în punctul A.
Dacă mergem la limita ca ∆x → 0 în egalitatea tgβ =∆y/∆x, obținem
ortg =f "(x 0), deoarece
-unghiul de înclinare a tangentei la direcția pozitivă a axei Ox

, prin definiția unui derivat. Dar tg = k este coeficientul unghiular al tangentei, ceea ce înseamnă k = tg = f "(x 0).

Deci, semnificația geometrică a derivatei este următoarea: 0 Derivata unei functii in punctul x 0 .

egală cu panta tangentei la graficul funcției trasate în punctul cu abscisa x

3. Sensul fizic al derivatului.

Luați în considerare mișcarea unui punct de-a lungul unei linii drepte. Fie dat coordonatele unui punct în orice moment x(t). Se știe (dintr-un curs de fizică) că viteza medie pe o perioadă de timp este egală cu raportul dintre distanța parcursă în această perioadă de timp și timpul, adică.

Vav = ∆x/∆t. Să mergem la limita din ultima egalitate ca ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - viteza instantanee la momentul t 0, ∆t → 0.

și lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (prin definiția derivatei).

Deci, (t) =x"(t).y = f(xSemnificația fizică a derivatei este următoarea: derivată a funcțieix 0 ) la un moment datfeste rata de schimbare a funcțieix 0

(x) la punctul

Derivata este folosită în fizică pentru a găsi viteza dintr-o funcție cunoscută de coordonate în funcție de timp, accelerația dintr-o funcție cunoscută a vitezei în funcție de timp.

(t) = x"(t) - viteza,

a(f) = "(t) - accelerație sau

Dacă legea mișcării unui punct material dintr-un cerc este cunoscută, atunci se poate găsi viteza unghiulară și accelerația unghiulară în timpul mișcării de rotație:

φ = φ(t) - modificarea unghiului în timp,

ω = φ"(t) - viteza unghiulara,

ε = φ"(t) - accelerația unghiulară, sau ε = φ"(t).

Dacă legea distribuției masei unei tije neomogene este cunoscută, atunci densitatea liniară a tijei neomogene poate fi găsită:

m = m(x) - masa,

p = m"(x) - densitatea liniară.

Folosind derivata se rezolva problemele din teoria elasticitatii si vibratiilor armonice. Deci, conform legii lui Hooke

F = -kx, x – coordonată variabilă, k – coeficient de elasticitate a arcului. Punând ω 2 =k/m, obținem ecuația diferențială a pendulului elastic x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

unde ω = √k/√m frecvența de oscilație (l/c), k - rigiditatea arcului (H/m).

O ecuație de forma y" + ω 2 y = 0 se numește ecuația oscilațiilor armonice (mecanice, electrice, electromagnetice). Soluția unor astfel de ecuații este funcția

y = Asin(ωt + φ 0) sau y = Acos(ωt + φ 0), unde

A - amplitudinea oscilațiilor, ω - frecvența ciclică,

φ 0 - faza initiala.

Problema B9 oferă un grafic al unei funcții sau derivate din care trebuie să determinați una dintre următoarele mărimi:

1. Valoarea derivatei la un punct x 0,
2. Puncte maxime sau minime (puncte extreme),
3. Intervale de funcții crescătoare și descrescătoare (intervale de monotonitate).

Funcțiile și derivatele prezentate în această problemă sunt întotdeauna continue, făcând soluția mult mai ușoară. În ciuda faptului că sarcina aparține secțiunii de analiză matematică, chiar și cei mai slabi elevi o pot face, deoarece nu sunt necesare cunoștințe teoretice profunde aici.

Pentru a găsi valoarea derivatei, punctelor extreme și intervalelor de monotonitate, există algoritmi simpli și universali - toți vor fi discutați mai jos.

Citiți cu atenție condițiile problemei B9 pentru a nu face greșeli stupide: uneori dați peste texte destul de lungi, dar conditii importante, care influențează cursul deciziei, sunt puține.

Calculul valorii derivate. Metoda în două puncte

Dacă problemei i se dă un grafic al unei funcții f(x), tangentă la acest grafic la un punct x 0 și este necesar să se găsească valoarea derivatei în acest punct, se aplică următorul algoritm:

1. Găsiți două puncte „adecvate” pe graficul tangentei: coordonatele lor trebuie să fie întregi. Să notăm aceste puncte ca A (x 1 ; y 1) și B (x 2 ; y 2). Notați corect coordonatele - asta este punct cheie soluții, iar orice greșeală aici are ca rezultat un răspuns incorect.
2. Cunoscând coordonatele, este ușor de calculat incrementul argumentului Δx = x 2 − x 1 și incrementul funcției Δy = y 2 − y 1 .
3. În final, găsim valoarea derivatei D = Δy/Δx. Cu alte cuvinte, trebuie să împărțiți incrementul funcției cu incrementul argumentului - și acesta va fi răspunsul.

Să remarcăm încă o dată: punctele A și B trebuie căutate exact pe tangentă, și nu pe graficul funcției f(x), așa cum se întâmplă adesea. Linia tangentă va conține în mod necesar cel puțin două astfel de puncte - altfel problema nu va fi formulată corect.

Luați în considerare punctele A (−3; 2) și B (−1; 6) și găsiți incrementele:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Să aflăm valoarea derivatei: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al funcției y = f(x) și o tangentă la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0 .

Luați în considerare punctele A (0; 3) și B (3; 0), găsiți incrementele:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Acum găsim valoarea derivatei: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al funcției y = f(x) și o tangentă la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0 .

Luați în considerare punctele A (0; 2) și B (5; 2) și găsiți incrementele:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Rămâne de găsit valoarea derivatei: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Din ultimul exemplu putem formula o regulă: dacă tangenta este paralelă cu axa OX, derivata funcției în punctul de tangență este zero. În acest caz, nici măcar nu trebuie să numărați nimic - doar uitați-vă la grafic.

Calculul punctelor maxime și minime

Uneori, în loc de graficul unei funcții, problema B9 oferă un grafic al derivatei și necesită găsirea punctului maxim sau minim al funcției. În această situație, metoda în două puncte este inutilă, dar există un alt algoritm și mai simplu. Mai întâi, să definim terminologia:

1. Punctul x 0 se numește punctul maxim al funcției f(x) dacă în vreo vecinătate a acestui punct este valabilă următoarea inegalitate: f(x 0) ≥ f(x).
2. Punctul x 0 se numește punctul minim al funcției f(x) dacă într-o vecinătate a acestui punct este valabilă următoarea inegalitate: f(x 0) ≤ f(x).

Pentru a găsi punctele maxime și minime pe graficul derivat, urmați acești pași:

1. Redesenați graficul derivat, eliminând toate informațiile inutile. După cum arată practica, datele inutile doar interferează cu decizia. Prin urmare, marchem zerourile derivatei pe axa de coordonate - și asta este tot.
2. Aflați semnele derivatei pe intervalele dintre zerouri. Dacă pentru un punct x 0 se știe că f'(x 0) ≠ 0, atunci sunt posibile doar două opțiuni: f'(x 0) ≥ 0 sau f'(x 0) ≤ 0. Semnul derivatei este ușor de determinat din desenul original: dacă graficul derivat se află deasupra axei OX, atunci f'(x) ≥ 0. Și invers, dacă graficul derivat se află sub axa OX, atunci f'(x) ≤ 0.
3. Verificăm din nou zerourile și semnele derivatei. Acolo unde semnul se schimbă de la minus la plus este punctul minim. În schimb, dacă semnul derivatei se schimbă de la plus la minus, acesta este punctul maxim. Numărarea se face întotdeauna de la stânga la dreapta.

Această schemă funcționează numai pentru funcții continue - nu există altele în problema B9.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−5; 5]. Aflați punctul minim al funcției f(x) pe acest segment.

Să scăpăm de informațiile inutile și să lăsăm doar granițele [−5; 5] și zerourile derivatei x = −3 și x = 2,5. De asemenea, notăm semnele:

Evident, în punctul x = −3 semnul derivatei se schimbă din minus în plus. Acesta este punctul minim.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−3; 7]. Aflați punctul maxim al funcției f(x) pe acest segment.

Să redesenăm graficul, lăsând doar limitele [−3; 7] și zerourile derivatei x = −1,7 și x = 5. Să notăm semnele derivatei pe graficul rezultat. Avem:

Evident, în punctul x = 5 semnul derivatei se schimbă de la plus la minus - acesta este punctul maxim.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−6; 4]. Aflați numărul de puncte maxime ale funcției f(x) aparținând segmentului [−4; 3].

Din condițiile problemei rezultă că este suficient să se considere doar partea din grafic limitată de segmentul [−4; 3]. Prin urmare, construim un nou grafic pe care marchem doar granițele [−4; 3] și zerourile derivatei din interiorul acesteia. Și anume, punctele x = −3,5 și x = 2. Se obține:

Pe acest grafic există un singur punct maxim x = 2. În acest punct semnul derivatei se schimbă de la plus la minus.

O mică notă despre punctele cu coordonate care nu sunt întregi. De exemplu, în ultima problemă a fost considerat punctul x = −3,5, dar cu același succes putem lua x = −3,4. Dacă problema este scrisă corect, astfel de modificări nu ar trebui să afecteze răspunsul, deoarece punctele „fără loc anume rezidență” nu participă direct la rezolvarea problemei. Desigur, acest truc nu va funcționa cu puncte întregi.

Găsirea intervalelor de funcții crescătoare și descrescătoare

Într-o astfel de problemă, precum punctele maxime și minime, se propune utilizarea graficului derivat pentru a găsi zone în care funcția în sine crește sau scade. Mai întâi, să definim ce sunt crescătoare și descrescătoare:

1. Se spune că o funcție f(x) este în creștere pe un segment dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 din acest segment este adevărată următoarea afirmație: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Cu alte cuvinte, cu cât valoarea argumentului este mai mare, cu atât valoarea funcției este mai mare.
2. O funcție f(x) se numește descrescătoare pe un segment dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 din acest segment este adevărată următoarea afirmație: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Aceste. valoare mai mare argumentul corespunde valorii mai mici a funcției.

Să formulăm conditii suficiente ascendent si descendent:

1. Pentru ca o funcție continuă f(x) să crească pe segment, este suficient ca derivata ei în interiorul segmentului să fie pozitivă, i.e. f’(x) ≥ 0.
2. Pentru ca o funcție continuă f(x) să scadă pe segment, este suficient ca derivata ei în interiorul segmentului să fie negativă, i.e. f’(x) ≤ 0.

Să acceptăm aceste afirmații fără dovezi. Astfel, obținem o schemă pentru găsirea intervalelor de creștere și descreștere, care este în multe privințe similară cu algoritmul de calcul al punctelor extreme:

1. Eliminați toate informațiile inutile. În graficul original al derivatei, ne interesează în primul rând zerourile funcției, așa că le vom lăsa doar pe acestea.
2. Marcați semnele derivatei la intervalele dintre zerouri. Unde f’(x) ≥ 0, funcția crește, iar unde f’(x) ≤ 0, ea scade. Dacă problema stabilește restricții asupra variabilei x, le marchem suplimentar pe un nou grafic.
3. Acum că știm comportamentul funcției și constrângerile, rămâne de calculat cantitatea necesară în problemă.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−3; 7,5]. Aflați intervalele de scădere ale funcției f(x). În răspunsul dvs., indicați suma numerelor întregi incluse în aceste intervale.

Ca de obicei, să redesenăm graficul și să marchem limitele [−3; 7.5], precum și zerourile derivatei x = −1.5 și x = 5.3. Apoi notăm semnele derivatei. Avem:

Deoarece derivata este negativă pe intervalul (− 1,5), acesta este intervalul funcției descrescătoare. Rămâne să însumăm toate numerele întregi care se află în acest interval:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x), definită pe intervalul [−10; 4]. Aflați intervalele de creștere ale funcției f(x). În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre ele.

Să scăpăm de informațiile inutile. Să lăsăm doar limitele [−10; 4] și zerourile derivatei, dintre care au fost patru de data aceasta: x = −8, x = −6, x = −3 și x = 2. Să marchem semnele derivatei și să obținem următoarea imagine:

Suntem interesați de intervalele funcției crescătoare, i.e. astfel unde f’(x) ≥ 0. Există două astfel de intervale pe grafic: (−8; −6) și (−3; 2). Să le calculăm lungimile:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Deoarece trebuie să găsim lungimea celui mai mare dintre intervale, notăm valoarea l 2 = 5 ca răspuns.