Aflarea rădăcinilor unui trinom pătrat. Trinom pătrat și rădăcinile sale

Trinom pătrat se numește trinom de forma a*x 2 +b*x+c, unde a,b,c sunt numere reale arbitrare, iar x este o variabilă. În plus, numărul a nu trebuie să fie egal cu zero.

Numerele a,b,c se numesc coeficienți. Numărul a se numește coeficient principal, numărul b este coeficientul lui x, iar numărul c se numește termen liber.

Rădăcina unui trinom pătrat a*x 2 +b*x+c este orice valoare a variabilei x astfel încât trinomul pătrat a*x 2 +b*x+c dispare.

Pentru a găsi rădăcinile unui trinom pătratic, este necesar să se rezolve o ecuație pătratică de forma a*x 2 +b*x+c=0.

Cum să găsiți rădăcinile unui trinom pătratic

Pentru a rezolva acest lucru, puteți utiliza una dintre metodele cunoscute.

• 1 cale.

Găsirea rădăcinilor unui trinom pătrat folosind formula.

1. Aflați valoarea discriminantului folosind formula D =b 2 -4*a*c.

2. În funcție de valoarea discriminantului, calculați rădăcinile folosind formulele:

Dacă D > 0, atunci trinomul pătrat are două rădăcini.

x = -b±√D / 2*a

Daca D< 0, atunci trinomul pătrat are o rădăcină.

Dacă discriminantul este negativ, atunci trinomul pătratic nu are rădăcini.

• Metoda 2.

Găsirea rădăcinilor unui trinom pătratic prin izolarea pătratului perfect. Să ne uităm la exemplul trinomului pătratic dat. O ecuație pătratică redusă al cărei coeficient de conducere este egal cu unu.

Să găsim rădăcinile trinomului pătratic x 2 +2*x-3. Pentru a face acest lucru, rezolvăm următoarea ecuație pătratică: x 2 +2*x-3=0;

Să transformăm această ecuație:

În partea stângă a ecuației se află un polinom x 2 +2*x, pentru a-l reprezenta ca pătrat al sumei trebuie să existe un alt coeficient egal cu 1. Adunăm și scădem 1 din această expresie, obținem :

(x 2 +2*x+1) -1=3

Ce poate fi reprezentat în paranteze ca pătratul unui binom

Această ecuație se descompune în două cazuri: fie x+1=2, fie x+1=-2.

În primul caz, obținem răspunsul x=1, iar în al doilea, x=-3.

Răspuns: x=1, x=-3.

Ca rezultat al transformărilor, trebuie să obținem pătratul binomului în partea stângă și un anumit număr în partea dreaptă. Partea dreaptă nu trebuie să conțină o variabilă.

Subiectul lecției: „Trinom pătrat și rădăcinile sale”.

Scopul lecției: pentru a prezenta elevilor conceptul de trinom pătrat și rădăcinile acestuia, pentru a-și îmbunătăți abilitățile în rezolvarea sarcinilor de izolare a pătratului unui binom de un trinom pătrat.

Lecția include patru etape principale:

Controlul cunoștințelor

Explicarea noului material

Consolidarea reproducerii.

Întărirea antrenamentului.

Reflecţie.

Etapa 1. Controlul cunoștințelor.

Profesorul efectuează un dictat matematic „ca o copie carbon” pe baza materialului din ciclul anterior. Pentru dictare se folosesc cărți de două culori: albastru pentru 1 opțiune, roșu pentru 2 opțiuni.

Din modelele analitice date ale funcțiilor, selectați numai pe cele pătratice.

Opțiunea 1. y=ax+4, y=45-4x, y=x²+4x-5, y=x³+x²-1.

Opțiunea 2. y=8x-b, y=13+2x, y= -x²+4x, y=-x³+4x²-1.

Schițați funcții pătratice. Este posibil să se determine fără ambiguitate poziția? funcţie pătratică pe planul de coordonate. Încercați să vă justificați răspunsul.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice.

Opțiunea 1. a) x² +11x-12=0

B) x² +11x =0

Opțiunea 2. a) x² -9x+20=0

B) x² -9 x =0

4. Fără a rezolva ecuația, află dacă are rădăcini.

Opțiunea 1. A) x² + x +12=0

Opțiunea 2. A) x² + x - 12=0

Profesorul verifică răspunsurile primite de la primele două perechi. Răspunsurile incorecte primite sunt discutate cu întreaga clasă.

Opțiunea 1.	Opțiunea 2.
1. y=x²+4x-5	1. y= -x²+4x
2. Ramurile sunt în sus, dar poziția nu poate fi determinată fără ambiguitate deoarece nu există suficiente date.	se ramifică în jos, dar este imposibil să se determine fără ambiguitate poziția deoarece nu există suficiente date.
3. a) –12; 1 b) –11;0	3. a) 4;5 b) 9;0
	4. D0, sunt două rădăcini

Etapa 2. Să creăm un cluster. Ce asociații aveți când luați în considerare trinomul pătratic?

Crearea unui cluster.

Raspunsuri posibile:

trinomul pătratic este folosit pentru a considera pătratul. funcții;

puteți găsi zerourile pătratului. funcții

Folosind valoarea discriminantă, estimați numărul de rădăcini.

Descrie procese reale etc.

Explicația noului material.

Alineatul 2. clauza 3 p. 19-22.

Sunt luate în considerare expresiile și este dată definiția unui trinom pătratic și a rădăcinii unui polinom (în timpul discuției despre expresiile discutate anterior)

Se formulează definiția rădăcinii unui polinom.

Se formulează definiția unui trinom pătratic.

Sunt analizate exemple de rezolvare a unui trinom:

Aflați rădăcinile unui trinom pătratic.

Să izolăm binomul pătrat de trinomul pătrat.

3x²-36x+140=0.

Se întocmește o diagramă a bazei aproximative a acțiunii.

Algoritm pentru separarea unui binom de un trinom pătrat.

1.Definește valoare numerică coeficientul patratului senior trinom.

2. Efectuați identice și 2. Transformați expresia,

transformări echivalente folosind formule

(se scoate din paranteze factorul comun; pătratul sumei și diferența.

convertiți expresia în paranteze

construindu-l până la formula pentru pătratul sumei

sau diferenta)

a²+2ab+b²= (a+c)² a²-2ab+b²= (a-c)²

Etapa 3. Rezolvarea sarcinilor tipice din manual (nr. 60 a, c; 61 a, 64 a, c) Se fac la tablă și se comentează.

Etapa 4. Munca independentă pentru 2 variante (nr. 60a, b; 65 a, b). Elevii verifică soluțiile eșantion de pe tablă.

Tema pentru acasă: P.3 (învață teoria, nr. 56, 61g, 64g)

Reflecţie. Profesorul dă sarcina: evaluați-vă progresul în fiecare etapă a lecției folosind un desen și predați-l profesorului. (sarcina se realizează pe foi separate, se oferă o mostră).

Eşantion:

Folosind ordinea elementelor din imagine, determină în ce etapă a lecției a predominat ignoranța ta. Evidențiați această etapă cu roșu.

Prezentare pentru o lecție de matematică în clasa a IX-a pe tema „Trinomul pătrat și rădăcinile sale” care conține sarcini pentru un nivel aprofundat de studiu al subiectului. Prezentarea este concepută pentru utilizare continuă pe tot parcursul lecției. Misiuni de diferite tipuri în conținut.

Descărcați:

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați-vă un cont ( cont) Google și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Itemul planului Itemul planului Itemul planului Itemul planului Actualizarea cunoștințelor Studierea temei lecției Referință enciclopedică Minutul dinamic Teme pentru acasă Trinomul pătrat și rădăcinile lui au fost pregătite de profesorul de matematică: 1KK Radchenko Natalya Fedorovna

Actualizarea cunoștințelor Studierea temei lecției Referință enciclopedică Minutul dinamic Teme Actualizarea cunoștințelor ◊ 1 Repetarea materialului despre funcții; ◊ 2 Fundamente teoretice solutii ecuație pătratică; ◊ 3 Teorema lui Vieta; ◊ 4 Total.

Actualizarea cunoștințelor Repetarea materialului: dintre aceste funcții, indicați funcțiile liniare descrescătoare: y= x²+12 y= -x-24 y= 9x+8 h= 23-23x h= 1/x² g= (x+16)² g = - 3

Actualizarea cunoștințelor Cum se determină prezența și numărul de rădăcini ale unei ecuații pătratice? Cum se calculează discriminantul unei ecuații pătratice D = 2. Numiți formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice D>0, apoi x 1,2 = D = 0, apoi x =

Actualizarea cunoștințelor t² - 2t – 3 = 0 3. Calculați discriminantul și răspundeți la întrebarea „Câte rădăcini are ecuația pătratică?” D= 16 >0, două rădăcini Care este produsul rădăcinilor? X 1  x 2 = - 3 5. Care este suma rădăcinilor ecuației? X 1 + x 2 = 2 6. Ce se poate spune despre semnele rădăcinilor? Rădăcini de diferite semne 7. Găsiți rădăcinile prin selecție. X 1 = 3, x 2 = -1

Studierea temei lecției ◊ 1 Raportarea temei lecției; ◊ 2 Fundamentele teoretice ale conceptului „Trinom pătrat și rădăcinile sale”; ◊ 3 Afirmații ale marilor gânditori despre matematică; ◊ 4 Analiza exemplelor de subiecte; Studierea temei lecției Referință enciclopedică Minutul dinamic Teme pentru acasă

Trinom pătrat și rădăcinile sale Un trinom pătrat este un polinom de forma ax² + bx + c, unde x este o variabilă, a, b și c sunt unele numere și a≠ 0. Rădăcina unui trinom pătratic este valoarea unei variabile la care valoarea acestui trinom este zero. Pentru a găsi rădăcinile trinomului pătratic ax² + bx + c, trebuie să rezolvați ecuația pătratică ax² + bx + c =0.

Trinomul pătrat și rădăcinile sale Nu este suficient să ai o minte bună, principalul este să-l folosești bine. R. Descartes Toată lumea ar trebui să fie capabilă să gândească consecvent, să judece în mod demonstrabil și să respingă concluziile incorecte: un fizician și un poet, un tractorist și un chimist. E. Kolman

Referință enciclopedică ◊ 1 Conceptul de „parametru”; ◊ 2 Sensul cuvântului „parametru” în dicționarele și dicționarul rusesc cuvinte străine; ◊ 3 Desemnarea și domeniul de aplicare al parametrului; ◊ 4 Exemple cu parametri. Referință enciclopedică Minutul dinamic Teme pentru acasă

Parametru de referință enciclopedică (din grecescul παραμετρέω - măsoară, plec). Valoarea inclusă în formula matematicași menținerea unei valori constante în cadrul unui fenomen sau pentru o anumită sarcină..., (mat.) Un parametru este o valoare constantă, exprimată printr-o literă, păstrându-și valoarea constantă numai în condițiile unei sarcini date...” Dicționar de cuvinte străine.” 3. La ce valoare a parametrului m are o singură rădăcină trinomul pătrat 2x ² + 2тх – m – 0,5? Găsiți această rădăcină.

Pauză dinamică ◊ 1 Rezolvarea unei „probleme problemă”; ◊ 2 Context istoric: scrisoare din trecut; Temă pentru minut dinamic

Pauză dinamică La ce valoare a parametrului t are trinomul pătrat 2х ² + 2тх – т – 0,5 = 0 și are o singură rădăcină? Găsiți această rădăcină. Ecuația pătratică are o rădăcină D=0 D= b² - 4ac; a=2, b=2m, c= - m – 0,5 D= (2m)² - 4  2  (- m – 0,5) = 4m² + 8m +4 D=0, 4m² + 8m +4 = 0 m² + 2m +1 = 0 (m + 1)² = 0 m= - 1 Înlocuiți valoarea găsită a lui m în ecuația inițială: 2x ² - 2x + 1 – 0,5 = 0 4x ² - 4x + 1 = 0 ( 2x – 1 )² =0 2x -1 =0 x = 0,5

Pauză dinamică La teme, elevii de clasa a VIII-a au fost rugați să găsească rădăcinile unui trinom pătratic (x² - 5x +7) ² - 2(x² - 5x +7) - 3 După ce s-a gândit, Vitya a raționat astfel: mai întâi trebuie să deschideți parantezele, apoi aduceți termeni similari. Dar Styopa a spus că există o modalitate mai simplă de a o rezolva și nu este deloc necesară deschiderea parantezelor. Ajută-l pe Vita să găsească o soluție rațională

Pauza dinamică Problemele de găsire a rădăcinilor unui trinom pătratic și de compunere a ecuațiilor pătratice se găsesc deja în papirusurile matematice egiptene antice. Regula generală găsirea rădăcinilor și rezolvarea ecuațiilor de forma: ax ² + bx = c, unde a > 0, b și c sunt oricare, a fost formulată de Brahmagupta (secolul al VII-lea d.Hr.). Brahmagupta nu știa încă că o ecuație pătratică poate avea și o rădăcină negativă. Bhaskara Acharya (secolul al XII-lea) a formulat relațiile dintre coeficienții ecuației. A făcut multe probleme.

Generalizare teme pentru acasă◊ 1 Rezolvarea exercițiilor cu un parametru: diverse tipuri sarcini; ◊ 2 Rezumatul temei studiate; ◊ 3 Tema pentru acasă: după nivel. Teme pentru acasă

Generalizare, teme Găsiți rădăcinile trinomului pătratic (x-4)² +(4y-12)². Aflați valorile parametrului a pentru fiecare dintre care trinomul pătratic x²+ 4 x + 2ax+8a+1 are o soluție. Temă pentru acasă: p.3; Grupa 1: Nr. 45 (c, d), Nr. 49 (c, d); Grupa 2: a) aflați valoarea parametrului a la care trinomul pătrat x²-6x+2ax+4a nu are soluție; b) găsiți rădăcinile trinomului pătratic (2x-6)²+(3y-12)²

sursa șablonului Natalia Vladimirovna Chernakova Profesor de chimie și biologie, Instituția de învățământ de stat NPO Regiunea Arhangelsk „Școala profesională nr. 31” „http://pedsovet.su/”

Descrierea lecției video

Fiecare dintre expresii este trei x la a cincea putere minus x la a patra putere plus trei x cub minus șase x plus doi; cinci cifre de gradul al patrulea minus cifre cub plus cinci cifre la pătrat minus trei cifre plus optsprezece; trei z din a șasea putere minus z din a patra putere plus z pătrat minus z plus doi este un polinom într-o variabilă.

Valoarea variabilei la care polinomul dispare se numește rădăcina polinomului.

Să găsim, de exemplu, rădăcinile cubului polinom x minus patru x. Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația x cub minus patru x egal cu zero. După ce am factorizat partea stângă a ecuației, obținem un produs de trei factori: x, x minus doi și x plus doi, egal cu zero. Prin urmare, x primul este egal cu zero, x al doilea este egal cu doi, x al treilea este egal cu minus doi.

Astfel, numerele zero, doi și minus doi sunt rădăcinile polinomului x cub minus patru x...

Un polinom de gradul doi cu o variabilă se numește trinom pătratic.

Un trinom pătrat este un polinom de forma a x pătrat plus fi x plus ce, unde x este o variabilă, .. a, fi și tse- unele numere, iar a nu este egal cu zero.

Coeficientul a se numește coeficient principal, ce este termenul liber al trinomului pătratic.

Exemple de trinoame pătratice sunt polinoamele două x pătrat minus x minus cinci; x pătrat plus șapte x minus opt. În primul dintre ele, a este egal cu doi, be este egal cu minus unu, tse este egal cu minus cinci, în al doilea, a este egal cu unu, be este egal cu șapte, tse este egal cu minus opt. Trinoamele cuadratice includ și acele polinoame de gradul doi în care unul dintre coeficienți este sau ce sau chiar ambii sunt egali cu zero. Deci, polinomul cinci x pătrat minus doi x este considerat un trinom pătrat. Coeficientul a este egal cu cinci, be este egal cu minus doi și ce este egal cu zero.

Pentru a găsi rădăcinile trinomului pătratic a x pătrat plus be x plus ce, trebuie să rezolvați ecuația pătratică a x pătrat plus be x plus ce este egal cu zero.

Exemplul unu. Să găsim rădăcinile trinomului pătratic x pătrat minus trei x minus patru.

Pentru a face acest lucru, echivalăm această expresie cu zero și rezolvăm ecuația pătratică rezultată. Discriminantul din el este egal cu douăzeci și cinci, prima rădăcină este egală cu patru, a doua rădăcină este egală cu minus unu.

Astfel, trinomul pătratic x pătrat minus trei x minus patru are două rădăcini: patru și minus unu.

Deoarece trinomul pătrat a x pătrat plus be x plus ce are aceleași rădăcini ca și ecuația a x pătrat plus fi x plus ce este egal cu zero, atunci poate, ca o ecuație pătratică, să aibă două rădăcini, o rădăcină sau deloc rădăcină . Depinde de valoarea discriminantului ecuației pătratice, care se mai numește și discriminantul trinomului pătratic mai mare decât zero, atunci trinomul pătrat are două rădăcini; dacă discriminatorie egal cu zero, atunci trinomul pătrat are o rădăcină; dacă discriminatorie mai putin de zero, atunci trinomul pătratic nu are rădăcini.

Când rezolvați probleme, uneori este convenabil să reprezentați trinomul pătratic a x pătrat plus be x plus ce ca sumă a înmulțită cu pătratul diferenței dintre a și em... și numărul en, unde em și en sunt unele numere. Această transformare se numește separarea unui binom pătrat de un trinom pătrat. Să arătăm cu un exemplu cum se realizează o astfel de transformare.

Al doilea exemplu. Din trinom, extrage două x pătrat minus patru x plus șase... pătratul binomului.

Să scoatem factorul doi din paranteze... apoi transformăm expresia dintre paranteze adunând și scăzând unul... Ca rezultat, obținem suma pătratului dublu al diferenței dintre numerele x și unu... Și numărul patru.

Astfel, doi x pătrat minus patru x plus șase este egal cu suma de două ori pătratul diferenței dintre numerele x și unu... Și numărul patru...

Să considerăm o problemă în care soluția implică izolarea pătratului unui binom de un trinom pătrat.

Sarcină. Să demonstrăm că dintre toate dreptunghiurile cu perimetrul de 20 cm, pătratul are cea mai mare suprafață.

Fie ca o parte a dreptunghiului să fie x centimetri. Apoi lungimea celui de-al doilea va fi de zece minus x centimetri, iar aria dreptunghiului este egală cu produsul acestor laturi.

Deschizând parantezele din expresia x înmulțit cu diferența de zece și x, obținem zece x minus x pătrat. Expresia minus x pătrat plus zece x este un trinom pătratic în care coeficientul A este egal cu minus unu, be este egal cu zece și ce este egal cu zero. Să izolăm pătratul binomului și să obținem expresia minus pătratul diferenței dintre x și cinci... plus douăzeci și cinci.

Întrucât expresia minus pătratul diferenței lui x și cinci pentru orice x care nu este egal cu cinci este negativă, atunci întreaga expresie minus pătratul diferenței lui x și cinci ... plus douăzeci și cinci ia cea mai mare valoare cu x egal cu cinci.

Aceasta înseamnă că aria va fi cea mai mare atunci când una dintre laturile dreptunghiului este de 5 cm. În acest caz, cealaltă parte este de asemenea de 5 cm.