Instrucțiuni

Dacă ecuația este prezentată sub forma: dy / dx = q (x) / n (y), referiți-le la categoria ecuațiilor diferențiale cu variabile separabile. Ele pot fi rezolvate scriind condiția în diferențe astfel: n (y) dy = q (x) dx. Apoi integrați ambele părți. În unele cazuri, soluția este scrisă sub formă de integrale luate din funcții cunoscute. De exemplu, în cazul dy / dx = x / y, obțineți q (x) = x, n (y) = y. Scrie-l ca ydy = xdx și integrează. Ar trebui să obțineți y ^ 2 = x ^ 2 + c.

Liniar ecuații relaționați ecuațiile „mai întâi”. O funcție necunoscută cu derivatele sale este inclusă într-o astfel de ecuație doar până la primul grad. Cea liniară are forma dy / dx + f (x) = j (x), unde f (x) și g (x) sunt funcții în funcție de x. Soluția se scrie folosind integrale luate din funcții cunoscute.

Vă rugăm să rețineți că multe ecuații diferențiale sunt ecuații de ordinul doi (conțin derivate secunde) De exemplu, există o ecuație de mișcare armonică simplă scrisă ca una generală: md 2x / dt 2 = –kx. Astfel de ecuații au, în, soluții speciale. Ecuația mișcării armonice simple este un exemplu de ceva destul de important: ecuații diferențiale liniare care au un coeficient constant.

Dacă există o singură ecuație liniară în condițiile problemei, atunci vi se oferă condiții suplimentare, datorită cărora puteți găsi o soluție. Citiți cu atenție problema pentru a găsi aceste condiții. Dacă variabile x și y indică distanța, viteza, greutatea - nu ezitați să setați limita x≥0 și y≥0. Este foarte posibil ca numărul de mere etc. să fie ascuns sub x sau y. - atunci numai valorile pot fi. Dacă x este vârsta fiului, este clar că acesta nu poate fi mai în vârstă decât tatăl, deci indicați acest lucru în condițiile problemei.

Surse:

• cum se rezolvă o ecuație într-o variabilă

Problemele de calcul diferențial și integral sunt elemente importante de consolidare a teoriei analizei matematice, o secțiune de matematică superioară studiată în universități. Diferenţial ecuația se rezolvă prin metoda integrării.

Instrucțiuni

Calculul diferențial explorează proprietățile. În schimb, integrarea unei funcții permite proprietăți date, de ex. derivatele sau diferențiale ale unei funcții se găsesc în sine. Aceasta este soluția ecuației diferențiale.

Oricare este relația dintre datele necunoscute și cele cunoscute. În cazul unei ecuații diferențiale, rolul necunoscutului este jucat de o funcție, iar rolul cantităților cunoscute îl joacă derivatele sale. În plus, relația poate conține o variabilă independentă: F (x, y (x), y '(x), y' '(x), ..., y ^ n (x)) = 0, unde x este o variabilă necunoscută, y (x) este funcția care trebuie determinată, ordinea ecuației este ordinea maximă a derivatei (n).

O astfel de ecuație se numește ecuație diferențială obișnuită. Dacă în relație există mai multe variabile independente și derivatele parțiale (diferențiale) ale funcției față de aceste variabile, atunci ecuația se numește ecuație cu diferență parțială și are forma: x∂z / ∂y - ∂z / ∂ x = 0, unde z (x, y) este funcția necesară.

Deci, pentru a învăța cum să rezolvi ecuațiile diferențiale, trebuie să poți găsi antiderivate, adică. rezolvați problema inversă diferențierii. De exemplu: Rezolvați ecuația de ordinul întâi y '= -y / x.

Soluție Înlocuiți y 'cu dy / dx: dy / dx = -y / x.

Reduceți ecuația la o formă convenabilă pentru integrare. Pentru a face acest lucru, înmulțiți ambele părți cu dx și împărțiți cu y: dy / y = -dx / x.

Integrați: ∫dy / y = - ∫dx / x + Сln | y | = - ln | x | + C.

Această soluție se numește ecuație diferențială generală. C este o constantă, a cărei mulțime de valori determină setul de soluții ale ecuației. Pentru orice valoare specifică a lui C, soluția va fi unică. Această soluție este o soluție particulară a ecuației diferențiale.

Rezolvarea majorității ecuațiilor superioare grade nu are o formulă clară precum găsirea rădăcinilor unui pătrat ecuații... Cu toate acestea, există mai multe metode de reducere care vă permit să transformați ecuația de cel mai înalt grad într-o formă mai vizuală.

Instrucțiuni

Cea mai comună metodă de rezolvare a ecuațiilor de ordin superior este expansiunea. Această abordare este o combinație a selecției rădăcinilor întregi, a divizorilor interceptului și a împărțirii ulterioare a polinomului general după forma (x - x0).

De exemplu, rezolvați ecuația x ^ 4 + x³ + 2 · x² - x - 3 = 0. Rezolvare: Termenul liber al acestui polinom este -3, prin urmare, divizorii săi întregi pot fi ± 1 și ± 3. Substituiți-le unul câte unul în ecuație și aflați dacă obțineți identitatea: 1: 1 + 1 + 2 - 1 - 3 = 0.

A doua rădăcină este x = -1. Împărțiți prin expresie (x + 1). Notați ecuația rezultată (x - 1) · (x + 1) · (x² + x + 3) = 0. Gradul a scăzut la al doilea, prin urmare, ecuația poate avea încă două rădăcini. Pentru a le găsi, rezolvați ecuația pătratică: x² + x + 3 = 0D = 1 - 12 = -11

Discriminantul este negativ, ceea ce înseamnă că ecuația nu mai are rădăcini reale. Aflați rădăcinile complexe ale ecuației: x = (-2 + i √11) / 2 și x = (-2 - i √11) / 2.

O altă metodă de rezolvare a unei ecuații de cel mai înalt grad este schimbarea variabilelor pentru a o aduce la pătrat. Această abordare este utilizată atunci când toate puterile ecuației sunt pare, de exemplu: x ^ 4 - 13 x² + 36 = 0

Acum găsiți rădăcinile ecuației originale: x1 = √9 = ± 3; x2 = √4 = ± 2.

Sfat 10: Cum să determinați ecuațiile redox

O reacție chimică este un proces de transformare a substanțelor care are loc odată cu modificarea compoziției lor. Acele substanțe care intră în reacție se numesc inițiale, iar cele care se formează în urma acestui proces se numesc produse. Se întâmplă ca, în cursul unei reacții chimice, elementele care compun substanțele inițiale își schimbă starea de oxidare. Adică pot accepta electronii altora și pot renunța la ai lor. Și de fapt, și într-un alt caz, taxa lor se schimbă. Aceste reacții se numesc reacții redox.

Cred că ar trebui să începem cu istoria unui instrument matematic atât de glorios precum ecuațiile diferențiale. Ca orice calcul diferențial și integral, aceste ecuații au fost inventate de Newton la sfârșitul secolului al XVII-lea. El a considerat această descoperire a lui ca fiind atât de importantă încât a criptat chiar un mesaj care astăzi poate fi tradus cam așa: „Toate legile naturii sunt descrise prin ecuații diferențiale”. Poate părea o exagerare, dar este. Orice lege a fizicii, chimiei, biologiei poate fi descrisă prin aceste ecuații.

Matematicienii Euler și Lagrange au adus o contribuție enormă la dezvoltarea și crearea teoriei ecuațiilor diferențiale. Deja în secolul al XVIII-lea, ei au descoperit și dezvoltat ceea ce acum se studiază în anii superiori ai universităților.

O nouă piatră de hotar în studiul ecuațiilor diferențiale a început datorită lui Henri Poincaré. El a creat „teoria calitativă a ecuațiilor diferențiale”, care, în combinație cu teoria funcțiilor unei variabile complexe, a adus o contribuție semnificativă la fundamentul topologiei - știința spațiului și proprietățile sale.

Ce sunt ecuațiile diferențiale?

Mulți se tem de o singură frază. Cu toate acestea, în acest articol vom detalia întreaga esență a acestui aparat matematic foarte util, care de fapt nu este atât de complicat pe cât sugerează numele. Pentru a începe să vorbiți despre ecuații diferențiale de ordinul întâi, ar trebui mai întâi să vă familiarizați cu conceptele de bază care sunt asociate în mod inerent cu această definiție. Și vom începe cu diferența.

Diferenţial

Mulți oameni cunosc acest concept de la școală. Cu toate acestea, să ne oprim asupra ei mai detaliat. Imaginează-ți un grafic al unei funcții. Îl putem mări în așa măsură încât orice segment al acestuia ia forma unei linii drepte. Pe el luăm două puncte care sunt infinit aproape unul de celălalt. Diferența dintre coordonatele lor (x sau y) va fi infinitezimală. Se numește diferențial și se notează prin semnele dy (diferențial de la y) și dx (diferențial de la x). Este foarte important să înțelegem că diferența nu este o valoare finită, iar acesta este sensul și funcția sa principală.

Și acum este necesar să luăm în considerare următorul element, care ne va fi util în explicarea conceptului de ecuație diferențială. Acesta este un derivat.

Derivat

Probabil că toți am auzit acest concept la școală. Se spune că derivată este rata cu care o funcție crește sau scade. Cu toate acestea, din această definiție, multe devin de neînțeles. Să încercăm să explicăm derivata în termeni de diferenţiale. Să revenim la segmentul infinitezimal al unei funcții cu două puncte care sunt la o distanță minimă unul de celălalt. Dar chiar și pentru această distanță, funcția are timp să se schimbe cu o anumită sumă. Și pentru a descrie această schimbare și a venit cu o derivată, care altfel poate fi scrisă ca raportul diferențialelor: f (x) "= df / dx.

Acum merită să luăm în considerare proprietățile de bază ale derivatului. Sunt doar trei dintre ele:

1. Derivata sumei sau diferenței poate fi reprezentată ca suma sau diferența derivatelor: (a + b) "= a" + b "și (a-b)" = a "-b".
2. A doua proprietate este legată de înmulțire. Derivata unui produs este suma produselor unei functii prin derivata alteia: (a * b) "= a" * b + a * b ".
3. Derivata diferenței poate fi scrisă ca următoarea egalitate: (a / b) "= (a" * b-a * b ") / b 2.

Toate aceste proprietăți ne vor fi utile pentru a găsi soluții la ecuații diferențiale de ordinul întâi.

Există și derivate parțiale. Să presupunem că avem o funcție z care depinde de variabilele x și y. Pentru a calcula derivata parțială a acestei funcții, să zicem, în raport cu x, trebuie să luăm variabila y ca o constantă și doar să diferențiem.

Integral

Un alt concept important este integrala. De fapt, acesta este exact opusul unei derivate. Integralele sunt de mai multe tipuri, dar pentru a rezolva cele mai simple ecuații diferențiale avem nevoie de cele mai banale

Deci, să presupunem că avem o oarecare dependență a lui f de x. Luăm integrala din ea și obținem funcția F (x) (deseori numită antiderivată), a cărei derivată este egală cu funcția originală. Astfel, F (x) "= f (x). De asemenea, rezultă că integrala derivatei este egală cu funcția inițială.

Când rezolvați ecuații diferențiale, este foarte important să înțelegeți semnificația și funcția integralei, deoarece va trebui foarte des să le luați pentru a găsi o soluție.

Ecuațiile sunt diferite în funcție de natura lor. În secțiunea următoare, ne vom uita la tipurile de ecuații diferențiale de ordinul întâi și apoi vom învăța cum să le rezolvăm.

Clase de ecuații diferențiale

„Diferentele” sunt împărțite în funcție de ordinea derivatelor implicate în ele. Astfel, există prima, a doua, a treia și mai multă ordine. Ele pot fi, de asemenea, împărțite în mai multe clase: derivate obișnuite și parțiale.

În acest articol, ne vom uita la ecuațiile diferențiale ordinare de ordinul întâi. Vom discuta, de asemenea, exemple și cum să le rezolvăm în secțiunile următoare. Vom lua în considerare numai EDO, deoarece acestea sunt cele mai comune tipuri de ecuații. Cele obișnuite sunt împărțite în subspecii: cu variabile separabile, omogene și eterogene. În continuare, veți afla cum diferă unele de altele și veți învăța cum să le rezolvați.

În plus, aceste ecuații pot fi combinate astfel încât să obținem un sistem de ecuații diferențiale de ordinul întâi. Vom lua în considerare și astfel de sisteme și vom învăța cum să rezolvăm.

De ce luăm în considerare doar prima comandă? Pentru că trebuie să începeți simplu și este pur și simplu imposibil să descrieți tot ce are legătură cu ecuațiile diferențiale într-un articol.

Ecuații separabile

Acestea sunt probabil cele mai simple ecuații diferențiale de ordinul întâi. Acestea includ exemple care pot fi scrise astfel: y "= f (x) * f (y). Pentru a rezolva această ecuație, avem nevoie de o formulă de reprezentare a derivatei ca raport al diferenţialelor: y" = dy / dx. Folosind-o, obținem următoarea ecuație: dy / dx = f (x) * f (y). Acum putem trece la metoda de rezolvare a exemplelor standard: vom împărți variabilele în părți, adică vom transfera totul de la variabila y în partea în care se află dy și vom face același lucru cu variabila x. Obținem o ecuație de forma: dy / f (y) = f (x) dx, care se rezolvă luând integrale din ambele părți. Nu uitați de constantă, care trebuie setată după luarea integralei.

Soluția oricărei „difuzii” este o funcție a dependenței lui x de y (în cazul nostru) sau, dacă există o condiție numerică, atunci răspunsul este sub forma unui număr. Să analizăm întregul curs al soluției folosind un exemplu specific:

Transferăm variabile în direcții diferite:

Acum luăm integralele. Toate acestea pot fi găsite într-un tabel special de integrale. Și obținem:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Dacă este necesar, putem exprima „joc” în funcție de „x”. Acum putem spune că ecuația noastră diferențială este rezolvată dacă condiția nu este specificată. O condiție poate fi specificată, de exemplu, y (n / 2) = e. Apoi pur și simplu substituim valoarea acestor variabile în soluție și găsim valoarea constantei. În exemplul nostru, este egal cu 1.

Ecuații diferențiale omogene de ordinul întâi

Acum să trecem la partea mai dificilă. Ecuațiile diferențiale omogene de ordinul întâi pot fi scrise în formă generală după cum urmează: y "= z (x, y). Trebuie remarcat că funcția corectă a două variabile este omogenă și nu poate fi împărțită în două dependențe: z pe x și z pe y. Verificați dacă ecuația este omogenă sau nu este destul de simplu: facem substituția x = k * x și y = k * y. Acum anulăm toate k. Dacă toate aceste litere au fost anulate, atunci ecuația este omogenă și putem trece în siguranță la rezolvarea ei.Să spunem: principiul rezolvării acestor exemple este și el foarte simplu.

Trebuie să facem o înlocuire: y = t (x) * x, unde t este o funcție care depinde și de x. Atunci putem exprima derivata: y "= t" (x) * x + t. Înlocuind toate acestea în ecuația noastră originală și simplificând-o, obținem un exemplu cu variabile separabile t și x. O rezolvăm și obținem dependența t (x). Când îl obținem, pur și simplu înlocuim y = t (x) * x în înlocuirea noastră anterioară. Atunci obținem dependența lui y de x.

Pentru a fi mai clar, să ne uităm la un exemplu: x * y "= y-x * e y / x.

La verificare și înlocuire, totul este redus. Aceasta înseamnă că ecuația este într-adevăr omogenă. Acum facem o altă înlocuire, despre care am vorbit: y = t (x) * x și y "= t" (x) * x + t (x). După simplificare, obținem următoarea ecuație: t "(x) * x = -et. Rezolvați exemplul rezultat cu variabile separate și obținem: e -t = ln (C * x). Trebuie doar să înlocuim t cu y / x (la urma urmei, dacă y = t * x, atunci t = y / x) și obținem răspunsul: e -y / x = ln (x * С).

Ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi

Este timpul să luăm în considerare un alt subiect amplu. Vom analiza ecuații diferențiale neomogene de ordinul întâi. Cum diferă de cele două anterioare? Să ne dăm seama. Ecuațiile diferențiale liniare de ordinul întâi în formă generală pot fi scrise astfel: y „+ g (x) * y = z (x). Merită să lămurim că z (x) și g (x) pot fi valori constante.

Și acum un exemplu: y "- y * x = x 2.

Există două moduri de a rezolva acest lucru și le vom examina pe ambele în ordine. Prima este metoda de variație a constantelor arbitrare.

Pentru a rezolva ecuația în acest fel, trebuie mai întâi să egalați partea dreaptă cu zero și să rezolvați ecuația rezultată, care după transferul părților va lua forma:

ln | y | = x 2/2 + C;

y = e x2 / 2 * y C = C 1 * e x2 / 2.

Acum trebuie să înlocuim constanta C 1 cu funcția v (x), pe care trebuie să o găsim.

Să înlocuim derivata:

y "= v" * e x2 / 2 -x * v * e x2 / 2.

Și substituim aceste expresii în ecuația originală:

v "* e x2 / 2 - x * v * e x2 / 2 + x * v * e x2 / 2 = x 2.

Puteți vedea că doi termeni sunt anulați în stânga. Dacă, într-un exemplu, acest lucru nu s-a întâmplat, atunci ai făcut ceva greșit. Hai sa continuăm:

v "* e x2 / 2 = x 2.

Acum rezolvăm ecuația obișnuită în care trebuie să separăm variabilele:

dv / dx = x 2 / e x2 / 2;

dv = x 2 * e - x2 / 2 dx.

Pentru a extrage integrala, trebuie să aplicăm aici integrarea pe părți. Cu toate acestea, acesta nu este subiectul articolului nostru. Dacă ești interesat, poți învăța singur cum să faci aceste lucruri. Nu este dificil și, cu suficientă îndemânare și atenție, nu este nevoie de mult timp.

Să trecem la a doua metodă de rezolvare a ecuațiilor neomogene: metoda Bernoulli. Ce abordare este mai rapidă și mai ușoară depinde de tine.

Deci, atunci când rezolvăm ecuația prin această metodă, trebuie să facem o substituție: y = k * n. Aici k și n sunt câteva funcții dependente de x. Atunci derivata va arăta astfel: y "= k" * n + k * n "Înlocuiți ambele substituții în ecuație:

k "* n + k * n" + x * k * n = x 2.

Grupam:

k "* n + k * (n" + x * n) = x 2.

Acum trebuie să echivalăm cu zero ceea ce este în paranteză. Acum, dacă combinați cele două ecuații rezultate, obțineți un sistem de ecuații diferențiale de ordinul întâi care trebuie rezolvat:

Rezolvăm prima egalitate ca o ecuație obișnuită. Pentru a face acest lucru, trebuie să separați variabilele:

Luăm integrala și obținem: ln (n) = x 2/2. Atunci, dacă exprimăm n:

Acum înlocuim egalitatea rezultată în a doua ecuație a sistemului:

k "* e x2 / 2 = x 2.

Și transformând, obținem aceeași egalitate ca în prima metodă:

dk = x 2 / e x2 / 2.

De asemenea, nu vom analiza alte acțiuni. Trebuie spus că la început rezolvarea ecuațiilor diferențiale de ordinul întâi provoacă dificultăți semnificative. Cu toate acestea, pe măsură ce aprofundați subiectul, acesta începe să devină din ce în ce mai bun.

Unde se folosesc ecuațiile diferențiale?

Ecuațiile diferențiale sunt folosite foarte activ în fizică, deoarece aproape toate legile de bază sunt scrise sub formă diferențială, iar formulele pe care le vedem sunt soluția acestor ecuații. În chimie, ele sunt folosite din același motiv: legile de bază sunt deduse cu ajutorul lor. În biologie, ecuațiile diferențiale sunt folosite pentru a modela comportamentul sistemelor, cum ar fi un prădător-pradă. Ele pot fi, de asemenea, folosite pentru a crea modele de reproducere pentru, de exemplu, o colonie microbiană.

Cum te pot ajuta ecuațiile diferențiale în viața ta?

Răspunsul la această întrebare este simplu: nimic. Dacă nu sunteți om de știință sau inginer, atunci este puțin probabil să vă fie de folos. Cu toate acestea, pentru dezvoltarea generală, nu strica să știi ce este o ecuație diferențială și cum se rezolvă. Și apoi întrebarea unui fiu sau a unei fiice "ce este o ecuație diferențială?" nu te va deruta. Ei bine, dacă ești om de știință sau inginer, atunci tu însuți înțelegi importanța acestui subiect în orice știință. Dar cel mai important lucru este că acum întrebarea „cum se rezolvă o ecuație diferențială de ordinul întâi?” poți oricând să dai un răspuns. De acord, este întotdeauna frumos când înțelegi ceea ce oamenilor chiar le este frică să înțeleagă.

Principalele probleme din studiu

Principala problemă în înțelegerea acestui subiect este abilitățile slabe în integrarea și diferențierea funcțiilor. Dacă nu sunteți bun să luați derivate și integrale, atunci probabil că merită să învățați mai multe, să stăpâniți diferite metode de integrare și diferențiere și abia apoi să începeți să studiați materialul descris în articol.

Unii oameni sunt surprinși când află că dx poate fi reportat, deoarece mai devreme (la școală) s-a afirmat că fracția dy / dx este indivizibilă. Aici trebuie să citiți literatura despre derivată și să înțelegeți că este raportul cantităților infinitezimale care poate fi manipulat la rezolvarea ecuațiilor.

Mulți oameni nu realizează imediat că rezolvarea ecuațiilor diferențiale de ordinul întâi este adesea o funcție sau o integrală netrivială, iar această iluzie le dă multe probleme.

Ce altceva poți studia pentru o mai bună înțelegere?

Cel mai bine este să începeți imersiunea în lumea calculului diferențial cu manuale specializate, de exemplu, în analiza matematică pentru studenții de specialități non-matematice. Apoi poți trece la literatură mai specializată.

Merită spus că, pe lângă ecuațiile diferențiale, există și ecuații integrale, așa că vei avea mereu la ce să te străduiești și la ce să studiezi.

Concluzie

Sperăm că, după ce ați citit acest articol, aveți o idee despre ce sunt ecuațiile diferențiale și cum să le rezolvați corect.

În orice caz, matematica ne va fi într-un fel de folos în viață. Ea dezvoltă logica și atenția, fără de care fiecare persoană este ca nicio mână.

Ecuații diferențiale (DE). Aceste două cuvinte îl îngrozesc de obicei pe laicul obișnuit. Ecuațiile diferențiale par a fi ceva scandalos și greu de învățat pentru mulți elevi. Uuuuuuu ... ecuații diferențiale, cum pot supraviețui tuturor acestor lucruri?!

Această părere și această atitudine este fundamental greșită, pentru că de fapt ECUATIILE DIFERENTIALE SUNT SIMPLE SI CHIAR DISTRACTIVE... Ce trebuie să știți și să fiți capabil pentru a învăța cum să rezolvați ecuații diferențiale? Pentru a studia cu succes diffura, trebuie să fii bun la integrare și diferențiere. Cu cât subiectele sunt mai bine studiate Derivată a unei funcții a unei variabileși Integrală nedefinită, cu atât va fi mai ușor de înțeles ecuațiile diferențiale. Voi spune mai multe, dacă ai abilități de integrare mai mult sau mai puțin decente, atunci subiectul este practic stăpânit! Cu cât poți rezolva mai multe integrale de diferite tipuri, cu atât mai bine. De ce? Pentru că trebuie să te integrezi foarte mult. Și diferențiați. De asemenea recomand cu caldura invata sa gasesti derivată a funcției implicite.

În 95% din cazuri în teste, există 3 tipuri de ecuații diferențiale de ordinul întâi: ecuații cu variabile separabile, pe care le vom lua în considerare în această lecție; ecuații omogeneși ecuații liniare neomogene... Pentru începătorii în difuzare, vă sfătuiesc să citiți lecțiile în această ordine. Există și mai rare tipuri de ecuații diferențiale: ecuații diferențiale totale, Ecuații Bernoulli si altii unii. Cele mai importante dintre ultimele două tipuri sunt ecuațiile în diferențiale totale, deoarece pe lângă acest DE iau în considerare un material nou - integrarea parțială.

Să ne amintim mai întâi de ecuațiile obișnuite. Acestea conțin variabile și numere. Cel mai simplu exemplu:. Ce înseamnă să rezolvi o ecuație obișnuită? Înseamnă să găsești multe numere care satisfac această ecuație. Este ușor de observat că ecuația copiilor are o singură rădăcină:. Pentru distracție, să facem o verificare, să înlocuim rădăcina găsită în ecuația noastră:

- se obtine egalitatea corecta, ceea ce inseamna ca solutia este gasita corect.

Diferențele sunt similare!

Ecuație diferențială prima comanda, conţine:
1) variabilă independentă;
2) variabilă dependentă (funcție);
3) derivata întâi a funcției:.

În unele cazuri, ecuației de ordinul întâi poate lipsi „x” sau (și) „joc” - important astfel încât în ​​DU a fost prima derivată și nu a avut derivate de ordin superior - etc.

Ce înseamnă ? Rezolvarea unei ecuații diferențiale înseamnă a găsi multe funcții care satisfac această ecuație. Acest set de funcții este numit soluție generală a ecuației diferențiale.

Exemplul 1

Rezolvați ecuația diferențială

Încărcare completă de muniție. De unde să începem să rezolvi orice ecuație diferențială de ordinul întâi?

În primul rând, trebuie să rescrieți derivatul într-o formă ușor diferită. Reamintim notația greoaie pentru derivata:. Probabil că această desemnare a derivatului s-a părut ridicolă și inutilă pentru mulți dintre voi, dar este cea care domnește în difuzare!

Deci, în prima etapă, rescriem derivata în forma de care avem nevoie:

În a doua etapă mereu vezi daca se poate împărțiți variabilele? Ce înseamnă împărțirea variabilelor? Aproximativ vorbind, pe partea stângă a trebuie să plecăm doar "jucatori", A pe drumul cel bun organiza doar "x"... Separarea variabilelor se realizează folosind manipulări „școlare”: paranteze, transfer de termeni dintr-o parte în parte cu schimbare de semn, transfer de factori din parte în parte conform regulii proporției etc.

Diferențiale și sunt multiplicatori cu drepturi depline și participanți activi la ostilități. În exemplul luat în considerare, variabilele sunt ușor separate prin aruncarea multiplicatorilor conform regulii proporției:

Variabilele sunt separate. În partea stângă sunt doar "jocuri", în partea dreaptă - doar "X".

Etapa urmatoare - integrând o ecuație diferențială... Este simplu, agățăm integralele pe ambele părți:

Desigur, trebuie luate integralele. În acest caz, acestea sunt tabelare:

După cum ne amintim, o constantă este atribuită oricărei antiderivate. Există două integrale aici, dar este suficient să scrieți constanta o dată. Aproape întotdeauna este atribuită părții drepte.

Strict vorbind, după ce sunt luate integralele, ecuația diferențială este considerată rezolvată. Singurul lucru este că „jocul” nostru nu se exprimă prin „x”, adică se prezintă soluția implicit formă. Soluția ecuației diferențiale într-o formă implicită se numește integrala generala a unei ecuatii diferentiale... Adică este o integrală generală.

Acum trebuie să încercați să găsiți o soluție generală, adică să încercați să reprezentați funcția în mod explicit.

Vă rugăm să rețineți prima tehnică, este foarte comună și des folosită în exerciții de practică. Când logaritmul apare în partea dreaptă după integrare, este aproape întotdeauna recomandabil să scrieți constanta și sub logaritm.

Acesta este, in loc de intrările sunt de obicei scrise .

Aici este aceeași constantă cu drepturi depline ca. De ce este nevoie de asta? Și pentru a fi mai ușor de exprimat „joc”. Folosim proprietatea școlii a logaritmilor: ... În acest caz:

Acum, logaritmii și modulele pot fi eliminate din ambele părți cu conștiința curată:

Funcția este prezentată explicit. Aceasta este soluția generală.

O mulțime de funcții este o soluție generală a unei ecuații diferențiale.

Dând o constantă valori diferite, puteți obține infinit de multe solutii private ecuație diferențială. Oricare dintre funcții etc. va satisface ecuația diferențială.

Soluția generală este uneori denumită familie de funcții... În acest exemplu, soluția generală este Este o familie de funcții liniare sau, mai degrabă, o familie de proporții directe.

Multe ecuații diferențiale sunt destul de ușor de testat. Acest lucru se face foarte simplu, luăm soluția găsită și găsim derivata:

Inlocuim solutia noastra si derivata gasita in ecuatia originala:

- se obtine egalitatea corecta, ceea ce inseamna ca solutia este gasita corect. Cu alte cuvinte, soluția generală satisface ecuația.

După ce am mestecat cu atenție primul exemplu, este potrivit să răspundem la câteva întrebări naive despre ecuațiile diferențiale.

1)În acest exemplu, am reușit să împărțim variabilele:. Se poate face asta mereu? Nu, nu întotdeauna. Și chiar mai des, variabilele nu pot fi împărțite. De exemplu, în ecuații omogene de ordinul întâi, trebuie mai întâi să înlocuiți. În alte tipuri de ecuații, de exemplu, într-o ecuație liniară neomogenă de ordinul întâi, trebuie să utilizați diverse tehnici și metode pentru a găsi o soluție generală. Ecuațiile separabile pe care le considerăm în prima lecție sunt cel mai simplu tip de ecuații diferențiale.

2) Este întotdeauna posibil să se integreze o ecuație diferențială? Nu, nu întotdeauna. Este foarte ușor să vii cu o ecuație „fantezică” care nu poate fi integrată, în plus, există integrale non-triviale. Dar astfel de DE pot fi rezolvate aproximativ folosind metode speciale. D'Alembert şi Cauchy garantează. ... ugh, lurkmore.ru tocmai a citit mult.

3) În acest exemplu, am obținut o soluție sub forma unei integrale generale ... Este întotdeauna posibil să găsim o soluție generală dintr-o integrală generală, adică să exprimăm „jocul” într-o formă explicită? Nu, nu întotdeauna. De exemplu: . Ei bine, cum pot exprima „joc”?! În astfel de cazuri, răspunsul trebuie scris sub forma unei integrale generale. În plus, uneori se poate găsi o soluție generală, dar este scris atât de greoi și stângaci încât este mai bine să lăsați răspunsul sub forma unei integrale generale

Să nu ne grăbim. O altă telecomandă simplă și încă o soluție tipică.

Exemplul 2

Găsiți o anumită soluție a unei ecuații diferențiale care satisface condiția inițială

După condiție, trebuie să găsiți soluție privată DE satisface conditia initiala. Această formulare a întrebării se mai numește problema Cauchy.

În primul rând, găsim o soluție generală. Nu există o variabilă „x” în ecuație, dar acest lucru nu ar trebui să fie confuz, principalul lucru este că conține prima derivată.

Rescriem derivata în forma necesară:

Evident, variabilele pot fi împărțite, băieții la stânga, fetele la dreapta:

Integram ecuatia:

Se obține integrala generală. Aici am desenat o constantă cu un asterisc superscript, fapt este că foarte curând se va transforma într-o altă constantă.

Acum încercăm să transformăm integrala generală într-o soluție generală (exprimăm „jocul” în mod explicit). Ne amintim de școala veche, bună: ... În acest caz:

Constanta din indicator pare oarecum non-kosher, deci este de obicei coborâtă din cer pe pământ. În detaliu, se întâmplă așa. Folosind proprietatea puterii, rescriem funcția după cum urmează:

Dacă este o constantă, atunci este și o constantă, pe care o notăm cu o literă:

Amintiți-vă de „deriva” constantei, aceasta este a doua tehnică care este adesea folosită la rezolvarea ecuațiilor diferențiale.

Deci soluția generală este:. O familie atât de frumoasă de funcții exponențiale.

În etapa finală, trebuie să găsiți o anumită soluție care să satisfacă condiția inițială dată. Este si usor.

Care este sarcina? Trebuie să ridici astfel de valoarea constantei pentru a satisface condiția inițială specificată.

Puteți proiecta în moduri diferite, dar cel mai de înțeles, poate, așa va fi. În soluția generală, în loc de „x”, înlocuim zero, iar în loc de „joc”, doi:



Acesta este,

Versiune standard de design:

Inlocuim valoarea constanta gasita in solutia generala:
- aceasta este soluția specială de care avem nevoie.

Sa verificam. Verificarea unei soluții private include două etape.

În primul rând, este necesar să se verifice dacă soluția particulară găsită într-adevăr satisface condiția inițială? În loc de „x” înlocuim zero și vedem ce se întâmplă:
- da, intr-adevar, se obtine un doi, ceea ce inseamna ca este indeplinita conditia initiala.

A doua etapă este deja familiară. Luăm soluția particulară rezultată și găsim derivata:

Înlocuiți în ecuația inițială:

- se obţine egalitatea corectă.

Concluzie: o anumită soluție a fost găsită corect.

Trecem la exemple mai semnificative.

Exemplul 3

Rezolvați ecuația diferențială

Soluţie: Rescriem derivata sub forma de care avem nevoie:

Evaluați dacă variabilele pot fi împărțite? Poate sa. Transferăm al doilea termen în partea dreaptă cu o schimbare de semn:

Și aruncăm multiplicatorii după regula proporției:

Variabilele sunt separate, să integrăm ambele părți:

Trebuie să vă avertizez că vine ziua judecății. Dacă nu ai studiat bine integrale nedefinite, ai rezolvat câteva exemple, atunci nu ai unde să mergi - va trebui să le stăpânești acum.

Integrala laturii stângi este ușor de găsit, putem trata integrala cotangentei folosind tehnica standard pe care am considerat-o în lecție Integrarea funcţiilor trigonometriceÎn ultimul an:

În partea dreaptă, am primit logaritmul, conform primei mele recomandări tehnice, în acest caz constanta ar trebui să fie scrisă și sub logaritm.

Acum încercăm să simplificăm integrala generală. Deoarece avem aceleași logaritmi, este foarte posibil (și necesar) să scăpăm de ei. Împachetăm logaritmii cât mai mult posibil. Ambalarea se realizează folosind trei proprietăți:

Vă rugăm să rescrieți aceste trei formule în registrul de lucru, ele sunt folosite foarte des atunci când rezolvați difuze.

Voi scrie soluția în detaliu:

Ambalarea este completă, eliminăm logaritmii:

Puteți exprima „joc”? Poate sa. Ambele părți trebuie să fie pătrate. Dar nu trebuie să faci asta.

Al treilea sfat tehnic: Dacă, pentru a obține o soluție generală, trebuie să ridicați la putere sau să extrageți rădăcini, atunci În cele mai multe cazuri ar trebui să se abțină de la aceste acțiuni și să lase răspunsul sub forma unei integrale generale. Faptul este că soluția generală va arăta pretențioasă și îngrozitoare - cu rădăcini mari, semne.

Prin urmare, scriem răspunsul sub forma unei integrale generale. Este considerată o bună practică de a prezenta integrala generală în formă, adică în partea dreaptă, dacă este posibil, lăsați doar o constantă. Nu este necesar să faci asta, dar întotdeauna este benefic să-i faci pe plac profesorului ;-)

Răspuns: integrala generala:

Notă:integrala generală a oricărei ecuații poate fi scrisă în mai multe moduri. Astfel, dacă rezultatul tău nu coincide cu răspunsul cunoscut anterior, asta nu înseamnă că ai rezolvat incorect ecuația.

Integrala generală este de asemenea verificată destul de ușor, principalul lucru este să poți găsi derivate ale funcţiei implicite... Diferențierea răspunsului:

Înmulțim ambii termeni cu:

Și împărțim la:

Se obține exact ecuația diferențială inițială, ceea ce înseamnă că integrala generală este găsită corect.

Exemplul 4

Găsiți o anumită soluție a ecuației diferențiale care satisface condiția inițială. Verifică.

Acesta este un exemplu pentru o soluție do-it-yourself. Permiteți-mi să vă reamintesc că problema Cauchy constă din două etape:
1) Găsirea unei soluții generale.
2) Găsirea unei soluții private.

Verificarea se efectuează și în două etape (vezi și exemplul din Exemplul 2), aveți nevoie de:
1) Asigurați-vă că soluția particulară găsită într-adevăr satisface condiția inițială.
2) Verificați dacă soluția particulară satisface în general ecuația diferențială.

Soluție completă și răspuns la sfârșitul tutorialului.

Exemplul 5

Găsiți o anumită soluție a unei ecuații diferențiale satisfacerea conditiei initiale. Verifică.

Soluţie:În primul rând, găsim soluția generală.Această ecuație conține deja diferențiale gata făcute și, prin urmare, soluția este simplificată. Separarea variabilelor:

Integram ecuatia:

Integrala din stânga este tabelară, integrala din dreapta este luată prin metoda aducerii functiei sub semnul diferential:

Se obține integrala generală, se poate exprima cu succes soluția generală? Poate sa. Agățăm logaritmii:

(Sper că toată lumea înțelege transformarea, astfel de lucruri ar trebui deja cunoscute)

Deci solutia generala este:

Să găsim o anumită soluție corespunzătoare condiției inițiale date. În soluția generală, în loc de „x”, înlocuim zero, iar în loc de „joc”, logaritmul a doi:

Design mai familiar:

Inlocuim valoarea gasita a constantei in solutia generala.

Răspuns: solutie privata:

Verificare: În primul rând, să verificăm dacă condiția inițială este îndeplinită:
- totul este bine.

Acum să verificăm dacă soluția particulară găsită satisface în general ecuația diferențială. Găsiți derivata:

Ne uităm la ecuația inițială: - se prezinta in diferential. Există două moduri de a verifica. Este posibil să exprimăm diferența față de derivata găsită:

Înlocuim soluția particulară găsită și diferența rezultată în ecuația originală :

Folosim identitatea logaritmică de bază:

Se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că soluția particulară este găsită corect.

A doua modalitate de verificare este oglindită și mai familiară: din ecuație exprimăm derivata, pentru aceasta împărțim toate piesele la:

Și în DE transformat înlocuim soluția particulară obținută și derivata derivată. Simplificarile ar trebui, de asemenea, sa conduca la o egalitate corecta.

Exemplul 6

Rezolvați ecuația diferențială. Răspunsul este prezentat sub forma unei integrale generale.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself, soluție completă și răspuns la sfârșitul tutorialului.

Ce dificultăți se așteaptă la rezolvarea ecuațiilor diferențiale cu variabile separabile?

1) Nu este întotdeauna evident (în special pentru un ceainic) că variabilele pot fi partajate. Să luăm în considerare un exemplu condiționat:. Aici trebuie să efectuați factorizarea dintre paranteze: și să separați rădăcinile:. Cum să procedați este clar.

2) Dificultăți în integrarea în sine. Integralele nu sunt adesea foarte simple și dacă există defecte în abilitățile de a găsi integrală nedefinită, apoi cu multe difuze va fi dificil. În plus, printre compilatorii de colecții și manuale, logica este populară „deoarece ecuația diferențială este simplă, atunci să fie integralele mai complicate”.

3) Conversii cu o constantă. După cum toată lumea a observat, puteți face aproape orice doriți cu o constantă în ecuații diferențiale. Și astfel de transformări nu sunt întotdeauna clare pentru un începător. Luați în considerare un alt exemplu condiționat: ... În ea, este recomandabil să înmulțiți toți termenii cu 2: ... Constanta rezultată este, de asemenea, un fel de constantă, care poate fi notată prin: ... Da, și deoarece logaritmul este pe partea dreaptă, este recomandabil să rescrieți constanta sub forma unei alte constante: .

Problema este că adesea nu se deranjează cu indici și folosesc aceeași literă. Și, ca urmare, procesul-verbal de decizie ia următoarea formă:

Ce dracu este asta? Există și greșeli. Formal, da. Și informal - nu există nicio eroare, se înțelege că la conversia unei constante, se obține o altă constantă.

Sau un astfel de exemplu, să presupunem că în cursul rezolvării ecuației se obține o integrală generală. Acest răspuns arată urât, așa că este recomandabil să schimbați semnele tuturor multiplicatorilor: ... Formal, pe dosar, există din nou o greșeală, ar fi trebuit notă. Dar informal se înțelege că este încă o altă constantă (cu atât mai mult poate lua orice valoare), prin urmare schimbarea semnului constantei nu are sens și puteți folosi aceeași literă.

Voi încerca să evit o abordare neglijentă și, totuși, voi atribui diferiți indici constantelor atunci când le convertesc.

Exemplul 7

Rezolvați ecuația diferențială. Verifică.

Soluţie: Această ecuație permite separarea variabilelor. Separarea variabilelor:

Integram:

Constanta de aici nu trebuie definită ca logaritm, deoarece nu va rezulta nimic bun din ea.

Răspuns: integrala generala:

Verificare: diferențiați răspunsul (funcție implicită):

Scăpăm de fracții, pentru aceasta înmulțim ambii termeni cu:

Se obține ecuația diferențială inițială, ceea ce înseamnă că integrala generală este găsită corect.

Exemplul 8

Găsiți o soluție privată pentru control de la distanță.
,

Acesta este un exemplu pentru o soluție do-it-yourself. Singurul comentariu este că aici obțineți o integrală generală și, mai corect, trebuie să păcăliți pentru a nu găsi o soluție anume, ci integrală parțială... Soluție completă și răspuns la sfârșitul tutorialului.

După cum sa menționat deja, integralele nu foarte simple apar adesea în difuze cu variabile separabile. Și iată câteva astfel de exemple pentru o soluție independentă. Recomand tuturor să rezolve exemplele nr. 9-10, indiferent de nivelul de pregătire, aceasta va actualiza abilitățile de a găsi integrale sau va umple golurile în cunoștințe.

Exemplul 9

Rezolvați ecuația diferențială

Exemplul 10

Rezolvați ecuația diferențială

Amintiți-vă că există mai multe moduri de a scrie integrala generală, iar aspectul răspunsurilor dumneavoastră poate diferi de aspectul răspunsurilor mele. Curs scurt de soluție și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Promovare reușită!

Exemplul 4:Soluţie: Să găsim o soluție generală. Separarea variabilelor:


Integram:



Se obține integrala generală, încercăm să o simplificăm. Împachetăm logaritmii și scăpăm de ei:

Fie deja rezolvate în raport cu derivata, fie pot fi rezolvate în raport cu derivata .

Rezolvarea generală a ecuațiilor diferențiale de tip pe interval X, care este dat, poate fi găsit luând integrala ambelor părți ale acestei egalități.

Primim .

Dacă ne uităm la proprietățile integralei nedefinite, vom găsi soluția generală dorită:

y = F (x) + C,

Unde F (x)- unul dintre antiderivatele funcţiei f (x) intre X, A CU este o constantă arbitrară.

Rețineți că pentru majoritatea sarcinilor, intervalul X nu indica. Aceasta înseamnă că trebuie găsită o soluție pentru toată lumea. X pentru care funcţia cerută y, iar ecuația originală are sens.

Dacă trebuie să calculați o anumită soluție a unei ecuații diferențiale care satisface condiția inițială y (x 0) = y 0, apoi după calculul integralei generale y = F (x) + C, este de asemenea necesar să se determine valoarea constantei C = C 0 folosind condiția inițială. Adică constanta C = C 0 determinată din ecuație F (x 0) + C = y 0, iar soluția particulară căutată a ecuației diferențiale ia forma:

y = F (x) + C 0.

Să luăm în considerare un exemplu:

Să găsim soluția generală a ecuației diferențiale, să verificăm corectitudinea rezultatului. Să găsim o soluție particulară a acestei ecuații care să satisfacă condiția inițială.

Soluţie:

După ce am integrat ecuația diferențială dată, obținem:

.

Să luăm această integrală prin metoda integrării pe părți:

Acea., este o soluție generală a unei ecuații diferențiale.

Pentru a ne asigura că rezultatul este corect, să verificăm. Pentru a face acest lucru, înlocuim soluția pe care am găsit-o în ecuația dată:

.

Adică pentru ecuația originală devine o identitate:

prin urmare, soluția generală a ecuației diferențiale a fost determinată corect.

Soluția pe care am găsit-o este soluția generală a ecuației diferențiale pentru fiecare valoare reală a argumentului X.

Rămâne de calculat o anumită soluție a EDO care ar satisface condiția inițială. Cu alte cuvinte, este necesar să se calculeze valoarea constantei CU, la care egalitatea va fi adevărată:

.

.

Apoi, înlocuind C = 2în soluția generală a EDO, obținem o soluție particulară a ecuației diferențiale care satisface condiția inițială:

.

Ecuație diferențială obișnuită poate fi rezolvată pentru derivată împărțind cele 2 părți ale egalității la f (x)... Această transformare va fi echivalentă dacă f (x) nu dispare pentru niciunul X din intervalul de integrare a ecuaţiei diferenţiale X.

Situațiile sunt probabile când pentru unele valori ale argumentului X ∈ X funcții f (x)și g (x) dispar simultan. Pentru valori similare X soluția generală a ecuației diferențiale va fi orice funcție y, care este definit în ele, întrucât ...

Dacă pentru unele valori ale argumentului X ∈ X condiția este îndeplinită, ceea ce înseamnă că în acest caz ODE nu are soluții.

Pentru toate celelalte X din interval X soluția generală a ecuației diferențiale se determină din ecuația transformată.

Să aruncăm o privire la exemplele:

Exemplul 1.

Să găsim soluția generală a ODE: .

Soluţie.

Din proprietățile funcțiilor elementare de bază reiese clar că funcția logaritmului natural este definită pentru valorile nenegative ale argumentului, prin urmare, domeniul expresiei ln (x + 3) exista un interval X > -3 ... Prin urmare, ecuația diferențială dată are sens pentru X > -3 ... Pentru aceste valori ale argumentului, expresia x + 3 nu dispare, astfel încât se poate rezolva EDO în raport cu derivata împărțind cele 2 părți la x + 3.

Primim .

În continuare, integrăm ecuația diferențială rezultată, rezolvată în raport cu derivata: ... Pentru a lua această integrală, folosim metoda aducerii diferenţialului sub semn.

Acest calculator online vă permite să rezolvați ecuații diferențiale online. Este suficient să introduceți ecuația dvs. în câmpul corespunzător, notând „derivata funcției” printr-un apostrof și faceți clic pe butonul „rezolvați ecuația”. Iar sistemul implementat pe baza popularului site web WolframAlpha va oferi o informație detaliată. soluție de ecuație diferențială absolut gratuit. De asemenea, puteți seta problema Cauchy pentru a alege câtul corespunzător condițiilor inițiale date din întregul set de soluții posibile. Problema Cauchy este introdusă într-un câmp separat.

Ecuație diferențială

Funcția implicită din ecuație este y este o funcție a unei variabile X... Cu toate acestea, vă puteți seta propria desemnare a variabilei, dacă scrieți, de exemplu, y (t) în ecuație, atunci calculatorul va recunoaște automat că y există o funcție a unei variabile t... Cu un calculator poți rezolva ecuatii diferentiale de orice complexitate și tip: omogen și neomogen, liniar sau neliniar, de ordinul întâi sau de ordinul doi și superior, ecuații cu variabile separabile sau neseparabile etc. Soluție diferențială ecuația este dată într-o formă analitică, are o descriere detaliată. Ecuațiile diferențiale sunt foarte frecvente în fizică și matematică. Fără a le calcula, este imposibil să rezolvi multe probleme (în special în fizica matematică).

Una dintre etapele rezolvării ecuațiilor diferențiale este integrarea funcțiilor. Există metode standard pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale. Este necesar să aducem ecuațiile la forma cu variabile separabile y și x și să integrăm separat funcțiile separate. Pentru a face acest lucru, uneori trebuie efectuată o anumită înlocuire.