Înmulțirea funcțiilor trigonometrice. Formule de bază ale trigonometriei

Cosinusul sumei și diferenței a două unghiuri

În această secțiune vor fi demonstrate următoarele două formule:

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)

Cosinusul sumei (diferența) a două unghiuri este egal cu produsul cosinusurilor acestor unghiuri minus (plus) produsul sinusurilor acestor unghiuri.

Ne va fi mai convenabil să începem cu demonstrarea formulei (2). Pentru simplitatea prezentării, să presupunem mai întâi că unghiurile α Şi β satisface urmatoarele conditii:

1) fiecare dintre aceste unghiuri este nenegativ și mai mic 2π:

0 < α <2π, 0< β < 2π;

2) α > β .

Fie partea pozitivă a axei 0x să fie partea de pornire comună a unghiurilor α Şi β .

Notăm laturile de capăt ale acestor unghiuri cu 0A și, respectiv, 0B. Evident unghiul α - β poate fi considerat ca fiind unghiul prin care fasciculul 0B trebuie rotit în jurul punctului 0 în sens invers acelor de ceasornic, astfel încât direcția sa să coincidă cu direcția fasciculului 0A.

Pe razele 0A si 0B marcam punctele M si N, situate la o distanta de 1 de originea coordonatelor 0, astfel incat 0M = 0N = 1.

În sistemul de coordonate x0y, punctul M are coordonate ( cos α, sin α), iar punctul N este coordonatele ( cos β, sin β). Prin urmare, pătratul distanței dintre ele este:

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +

+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .

În calculele noastre am folosit identitatea

sin 2 φ + cos 2 φ = 1.

Acum luați în considerare un alt sistem de coordonate B0C, care se obține prin rotirea axelor 0x și 0y în jurul punctului 0 în sens invers acelor de ceasornic cu un unghi β .

În acest sistem de coordonate, punctul M are coordonate (cos ( α - β ), păcat ( α - β )), iar punctul N este coordonatele (1,0). Prin urmare, pătratul distanței dintre ele este:

d 2 2 = 2 + 2 = cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +

+ sin 2 (α - β) = 2 .

Dar distanța dintre punctele M și N nu depinde de sistemul de coordonate cu care luăm în considerare aceste puncte. De aceea

d 1 2 = d 2 2

2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .

Aici urmează formula (2).

Acum ar trebui să ne amintim acele două restricții pe care le-am impus pentru simplitatea prezentării unghiurilor α Şi β .

Cerința ca fiecare dintre colțuri α Şi β a fost nenegativ, nu chiar semnificativ. La urma urmei, la oricare dintre aceste unghiuri puteți adăuga un unghi care este un multiplu de 2, care nu va afecta validitatea formulei (2). În același mod, din fiecare dintre aceste unghiuri puteți scădea un unghi care este un multiplu al 2π. Prin urmare putem presupune că 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.

De asemenea, starea se dovedește a fi nesemnificativă α > β . Într-adevăr, dacă α < β , Asta β >α ; prin urmare, având în vedere paritatea funcției cos X , obținem:

cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,

care coincide în esență cu formula (2). Deci formula

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

adevărat pentru toate unghiurile α Şi β . În special, înlocuirea în ea β pe - β şi având în vedere că funcţia cosX este pară, iar funcția păcatX ciudat, obținem:

cos (α + β) = cos [α - (- β)] =cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =

= cos α cos β - sin α sin β,

care demonstrează formula (1).

Deci, formulele (1) și (2) sunt dovedite.

Exemple.

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =

2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =

Exerciții

1 . Calculați fără a folosi tabele trigonometrice:

a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;

b) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;

c) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;

d) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;

e) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8 ;

e) sin 3π / 5 sin 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .

2.Simplificați expresiile:

o). cos( α + π/3 ) + cos(π/3 - α ) .

b). cos (36° + α ) cos (24° - α ) + sin (36° + α ) păcat ( α - 24°).

V). sin(π/4 - α ) sin (π / 4 + α ) - cos (π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )

d) cos 2 α + tg α păcatul 2 α .

3 . Calcula :

o) cos(α - β), Dacă

cos α = - 2 / 5 , păcatul β = - 5 / 13 ;

90°< α < 180°, 180° < β < 270°;

b) cos ( α + π / 6), dacă cos α = 0,6;

3π/2< α < 2π.

4 . Găsi cos(α + β) si cos (α - β) ,dacă se știe că păcatul α = 7 / 25, cos β = - 5 / 13 și ambele unghiuri ( α Şi β ) se încheie în același trimestru.

5 .Calcula:

O). cos [ arcsin 1 / 3 + arccos 2 / 3 ]

b). cos [ arcsin 1 / 3 - arccos (- 2 / 3)] .

V). cos [ arctan 1 / 2 + arccos (- 2) ]

Nu voi încerca să te conving să nu scrii cheat sheets. Scrie! Inclusiv cheat sheets despre trigonometrie. Mai târziu intenționez să explic de ce sunt necesare foile de înșelăciune și de ce sunt utile foile de înșelăciune. Și aici sunt informații despre cum să nu înveți, dar să reții câteva formule trigonometrice. Deci - trigonometrie fără o foaie de cheat Folosim asocieri pentru memorare!

1. Formule de adunare:

Cosinusurile „vin întotdeauna în perechi”: cosinus-cosinus, sinus-sinus. Și încă ceva: cosinusurile sunt „inadecvate”. „Totul este în neregulă” pentru ei, așa că schimbă semnele: „-” în „+” și invers.

Sinusuri - „mix”: sinus-cosinus, cosinus-sinus.

2. Formule de sumă și diferență:

cosinusurile „vin mereu în perechi”. Adăugând două cosinus - „koloboks”, obținem o pereche de cosinus - „koloboks”. Și scăzând, cu siguranță nu vom obține niciun kolobok. Primim câteva sinusuri. Tot cu un minus înainte.

Sinusuri - „mix” :

3. Formule pentru transformarea unui produs într-o sumă și diferență.

Când obținem o pereche de cosinus? Când adăugăm cosinus. De aceea

Când primim câteva sinusuri? La scăderea cosinusurilor. De aici:

„Amestecarea” se obține atât la adăugarea, cât și la scăderea sinusurilor. Ce este mai distractiv: adunarea sau scăderea? Așa e, pliază. Și pentru formulă se adună:

În prima și a treia formulă, suma este între paranteze. Rearanjarea locurilor termenilor nu modifică suma. Ordinea este importantă doar pentru a doua formulă. Dar, pentru a nu ne confunda, pentru ușurință de reținut, în toate cele trei formule din primele paranteze luăm diferența

iar în al doilea rând - suma

Cheat sheets în buzunar vă oferă liniște sufletească: dacă uitați formula, o puteți copia. Și îți dau încredere: dacă nu reușești să folosești foaia de cheat sheet, îți poți aminti cu ușurință formulele.

Sunt specificate relațiile dintre funcțiile trigonometrice de bază - sinus, cosinus, tangentă și cotangentă formule trigonometrice. Și deoarece există destul de multe conexiuni între funcțiile trigonometrice, acest lucru explică abundența formulelor trigonometrice. Unele formule conectează funcții trigonometrice ale aceluiași unghi, altele - funcții ale unui unghi multiplu, altele - vă permit să reduceți gradul, al patrulea - exprimă toate funcțiile prin tangenta unui jumătate de unghi etc.

În acest articol vom enumera în ordine toate formulele trigonometrice de bază, care sunt suficiente pentru a rezolva marea majoritate a problemelor de trigonometrie. Pentru ușurință de memorare și utilizare, le vom grupa după scop și le vom introduce în tabele.

Navigare în pagină.

Identități trigonometrice de bază

Identități trigonometrice de bază definiți relația dintre sinus, cosinus, tangentă și cotangente a unui unghi. Ele decurg din definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, precum și a conceptului de cerc unitar. Ele vă permit să exprimați o funcție trigonometrică în termenii oricărei alte.

Pentru o descriere detaliată a acestor formule de trigonometrie, derivarea lor și exemple de aplicare, consultați articolul.

Formule de reducere

Formule de reducere rezultă din proprietățile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, adică reflectă proprietatea periodicității funcții trigonometrice, proprietatea simetriei, precum și proprietatea deplasării prin unghi dat. Aceste formule trigonometrice vă permit să treceți de la lucrul cu unghiuri arbitrare la lucrul cu unghiuri cuprinse între zero și 90 de grade.

Rațiunea acestor formule, o regulă mnemonică pentru memorarea lor și exemple de aplicare a acestora pot fi studiate în articol.

Formule de adunare

Formule trigonometrice de adunare arată cum funcțiile trigonometrice ale sumei sau diferenței a două unghiuri sunt exprimate în termeni de funcții trigonometrice ale acelor unghiuri. Aceste formule servesc drept bază pentru derivarea următoarelor formule trigonometrice.

Formule pentru dublu, triplu etc. unghi

Formule pentru dublu, triplu etc. unghiul (se mai numesc și formule cu unghiuri multiple) arată cum funcțiile trigonometrice dublu, triplu etc. unghiurile () sunt exprimate în termeni de funcții trigonometrice ale unui singur unghi. Derivarea lor se bazează pe formule de adunare.

Informații mai detaliate sunt colectate în formulele articolului pentru dublu, triplu etc. unghi

Formule cu jumătate de unghi

Formule cu jumătate de unghi arătați cum sunt exprimate funcțiile trigonometrice ale unui semiunghi în termeni de cosinus al unui unghi întreg. Aceste formule trigonometrice decurg din formulele cu unghi dublu.

Concluzia lor și exemple de aplicare pot fi găsite în articol.

Formule de reducere a gradului

Formule trigonometrice pentru reducerea gradelor sunt concepute pentru a facilita trecerea de la puterile naturale ale funcțiilor trigonometrice la sinusuri și cosinusuri de gradul întâi, dar unghiuri multiple. Cu alte cuvinte, ele vă permit să reduceți puterile funcțiilor trigonometrice la prima.

Formule pentru suma și diferența funcțiilor trigonometrice

Scopul principal formule pentru suma și diferența funcțiilor trigonometrice este să mergi la produsul funcțiilor, care este foarte util atunci când simplificăm expresii trigonometrice. Aceste formule sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă în rezolvare ecuații trigonometrice, deoarece vă permit să factorizați suma și diferența dintre sinusuri și cosinusuri.

Formule pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus

Trecerea de la produsul funcțiilor trigonometrice la o sumă sau diferență se realizează folosind formulele pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus.

Bashmakov M. I. Algebra și începuturile analizei: manual. pentru clasele 10-11. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Educaţie, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru clasele 10-11. învăţământul general instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorov - ed. a XIV-a - M.: Educație, 2004. - 384 p. - ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

Drepturi de autor de către cleverstudents

Toate drepturile rezervate.
Protejat de lege drepturi de autor. Nicio parte a site-ului www.site, inclusiv materialele interneși aspectul nu poate fi reprodus sub nicio formă sau utilizat fără permisiunea prealabilă scrisă a deținătorului drepturilor de autor.

Formulele pentru suma și diferența sinusurilor și cosinusurilor pentru două unghiuri α și β ne permit să trecem de la suma acestor unghiuri la produsul unghiurilor α + β 2 și α - β 2. Să observăm imediat că nu trebuie să confundați formulele pentru suma și diferența sinusurilor și cosinusurilor cu formulele pentru sinusuri și cosinusuri ale sumei și diferenței. Mai jos listăm aceste formule, dăm derivarea lor și arătăm exemple de aplicare pentru sarcini specifice.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Formule pentru suma și diferența de sinusuri și cosinusuri

Să scriem cum arată formulele de sumă și diferență pentru sinusuri și cosinusuri

Formule de sumă și diferență pentru sinusuri

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Formule de sumă și diferență pentru cosinus

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2

Aceste formule sunt valabile pentru orice unghiuri α și β. Unghiurile α + β 2 și α - β 2 se numesc jumătate de sumă și jumătate de diferență a unghiurilor alfa și, respectiv, beta. Să dăm formula pentru fiecare formulă.

Definiții de formule pentru sume și diferențe de sinusuri și cosinusuri

Suma sinusurilor a două unghiuri este egal cu dublul produsului dintre sinusul semisumei acestor unghiuri și cosinusul semidiferenței.

Diferența sinusurilor a două unghiuri este egal cu dublul produsului dintre sinusul semidiferenței acestor unghiuri și cosinusul semisumei.

Suma cosinusurilor a două unghiuri este egal cu dublul produsului dintre cosinusul semisumei și cosinusul semidiferenței acestor unghiuri.

Diferența cosinusului a două unghiuri egal cu dublul produsului dintre sinusul semisumei și cosinusul semidiferenței acestor unghiuri, luate cu semn negativ.

Derivarea formulelor pentru suma și diferența sinusurilor și cosinusurilor

Pentru a obține formule pentru suma și diferența sinusului și cosinusului a două unghiuri, se folosesc formule de adunare. Să le enumerăm mai jos

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Să ne imaginăm, de asemenea, unghiurile în sine ca o sumă de jumătăți de sume și jumătate de diferențe.

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Se trece direct la derivarea formulelor de sumă și diferență pentru sin și cos.

Derivarea formulei pentru suma sinusurilor

În suma sin α + sin β, înlocuim α și β cu expresiile pentru aceste unghiuri date mai sus. Primim

sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2

Acum aplicăm formula de adunare la prima expresie, iar la a doua - formula pentru sinusul diferențelor de unghi (vezi formulele de mai sus)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Deschideți parantezele, adăugați termeni similari și obțineți formula necesară

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

Pașii pentru a obține formulele rămase sunt similari.

Derivarea formulei pentru diferența de sinusuri

sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Derivarea formulei pentru suma cosinusurilor

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Derivarea formulei pentru diferența cosinusurilor

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2

Exemple de rezolvare a problemelor practice

Mai întâi, să verificăm una dintre formule prin înlocuirea unor valori specifice unghiurilor în ea. Fie α = π 2, β = π 6. Să calculăm valoarea sumei sinusurilor acestor unghiuri. În primul rând, vom folosi tabelul cu valorile de bază ale funcțiilor trigonometrice, apoi vom aplica formula pentru suma sinusurilor.

Exemplul 1. Verificarea formulei pentru suma sinusurilor a două unghiuri

α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

Să luăm acum în considerare cazul în care valorile unghiului diferă de valorile de bază prezentate în tabel. Fie α = 165°, β = 75°. Să calculăm diferența dintre sinusurile acestor unghiuri.

Exemplul 2. Aplicarea formulei diferenței sinusurilor

α = 165 °, β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Folosind formulele pentru suma și diferența sinusurilor și cosinusurilor, puteți trece de la suma sau diferența la produsul funcțiilor trigonometrice. Adesea, aceste formule sunt numite formule pentru trecerea de la o sumă la un produs. Formulele pentru suma și diferența sinusurilor și cosinusurilor sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice și în transformarea expresiilor trigonometrice.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Date de referință pentru tangentă (tg x) și cotangentă (ctg x). Definiție geometrică, proprietăți, grafice, formule. Tabel de tangente și cotangente, derivate, integrale, expansiuni în serie. Expresii prin variabile complexe. Legătura cu funcțiile hiperbolice.

Definiție geometrică

|BD|
- lungimea arcului de cerc cu centrul în punctul A.

α este unghiul exprimat în radiani. Tangenta () tan α este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catet triunghi dreptunghic

, egal cu raportul dintre lungimea laturii opuse |BC| la lungimea piciorului adiacent |AB| .) Cotangent (

ctg α

este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetei adiacente |AB| la lungimea piciorului opus |BC| . Tangentă

Unde
.
;
;
.

n

- întreg.

În literatura occidentală, tangenta se notează după cum urmează:
.
Graficul funcției tangente, y = tan x
;
;
.

Cotangentă

În literatura occidentală, cotangenta este desemnată după cum urmează:

De asemenea, sunt acceptate următoarele notații:

Graficul funcției cotangente, y = ctg x Proprietățile tangentei și cotangentei Periodicitate Funcțiile y = tg x

și y =

ctg x

sunt periodice cu perioada π.

Paritate la lungimea piciorului opus |BC| . Funcțiile tangentă și cotangentă sunt impare.

	Domenii de definire și valori, în creștere, în scădere Proprietățile tangentei și cotangentei	Domenii de definire și valori, în creștere, în scădere Funcțiile y =
Funcțiile tangentă și cotangentă sunt continue în domeniul lor de definire (vezi dovada continuității). Principalele proprietăți ale tangentei și cotangentei sunt prezentate în tabel (
- întreg).	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
y =		-
Domeniul de aplicare și continuitatea	-
Gama de valori	-	-
În creștere 0
Descendent 0	Domenii de definire și valori, în creștere, în scădere 0	-

Extreme

Zerouri, y =

; ;
; ;
;

Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x =

Formule

Expresii folosind sinus și cosinus

Formule pentru tangentă și cotangentă din sumă și diferență

Formulele rămase sunt ușor de obținut, de exemplu

Produsul tangentelor

Formula pentru suma și diferența tangentelor

;
;

Acest tabel prezintă valorile tangentelor și cotangentelor pentru anumite valori ale argumentului.

; .

.
Expresii folosind numere complexe
.
Expresii prin funcții hiperbolice

Integrale

Extinderi de serie

Pentru a obține expansiunea tangentei în puterile lui x, trebuie să luați mai mulți termeni ai expansiunii în serie de putere pentru funcții sin xŞi cos xși împărțiți aceste polinoame între ele, .

Aceasta produce următoarele formule.

La .
la . Unde Bn
;
;
- Numerele Bernoulli. Ele sunt determinate fie din relația de recurență:
Unde .

Sau conform formulei lui Laplace:

Funcții inverse Funcții inverse

la tangentă și cotangentă sunt arctangente și, respectiv, arccotangente.

Arctangent, arctg la lungimea piciorului opus |BC| . Tangentă

, Unde