X 3 3x 2 4 desenează un grafic. Funcții cuadratice și cubice

Construirea graficelor de funcții care conțin module cauzează de obicei dificultăți considerabile pentru școlari. Totuși, totul nu este atât de rău. Este suficient să vă amintiți câțiva algoritmi pentru rezolvarea unor astfel de probleme și puteți construi cu ușurință un grafic chiar și cu cea mai aparent complexă funcție. Să ne dăm seama ce fel de algoritmi sunt aceștia.

1. Trasarea unui grafic al funcției y = |f(x)|

Rețineți că setul de valori ale funcției y = |f(x)| : y ≥ 0. Astfel, graficele unor astfel de funcții sunt întotdeauna situate în întregime în semiplanul superior.

Trasarea unui grafic al funcției y = |f(x)| constă din următorii patru pași simpli.

1) Construiți cu atenție și atenție un grafic al funcției y = f(x).

2) Lăsați neschimbate toate punctele din grafic care sunt deasupra sau pe axa 0x.

3) Afișați partea din grafic care se află sub axa 0x simetric față de axa 0x.

Exemplul 1. Desenați un grafic al funcției y = |x 2 – 4x + 3|

1) Construim un grafic al funcției y = x 2 – 4x + 3. Evident, graficul acestei funcții este o parabolă. Să găsim coordonatele tuturor punctelor de intersecție ale parabolei cu axele de coordonate și coordonatele vârfului parabolei.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Prin urmare, parabola intersectează axa 0x în punctele (3, 0) și (1, 0).

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.

Prin urmare, parabola intersectează axa 0y în punctul (0, 3).

Coordonatele vârfurilor parabolei:

x in = -(-4/2) = 2, y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.

Prin urmare, punctul (2, -1) este vârful acestei parabole.

Desenați o parabolă folosind datele obținute (Fig. 1)

2) Partea graficului situată sub axa 0x este afișată simetric față de axa 0x.

3) Obținem un grafic al funcției inițiale ( orez. 2, afișat în linie punctată).

2. Trasarea funcției y = f(|x|)

Rețineți că funcțiile de forma y = f(|x|) sunt pare:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Aceasta înseamnă că graficele unor astfel de funcții sunt simetrice față de axa 0y.

Trasarea unui grafic al funcției y = f(|x|) constă din următorul lanț simplu de acțiuni.

1) Reprezentați grafic funcția y = f(x).

2) Lăsați acea parte a graficului pentru care x ≥ 0, adică partea graficului situată în semiplanul drept.

3) Afișați partea din grafic specificată la punctul (2) simetric față de axa 0y.

4) Ca grafic final, selectați uniunea curbelor obținute la punctele (2) și (3).

Exemplul 2. Desenați un grafic al funcției y = x 2 – 4 · |x| + 3

Deoarece x 2 = |x| 2, atunci funcția originală poate fi rescrisă în următoarea formă: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Acum putem aplica algoritmul propus mai sus.

1) Construim cu grija si atentie un grafic al functiei y = x 2 – 4 x + 3 (vezi si orez. 1).

2) Lăsăm acea parte a graficului pentru care x ≥ 0, adică partea graficului situată în semiplanul drept.

3) Afișați partea dreaptă a graficului simetric față de axa 0y.

(Fig. 3).

Exemplul 3. Desenați un grafic al funcției y = log 2 |x|

Aplicam schema de mai sus.

1) Construiți un grafic al funcției y = log 2 x (Fig. 4).

3. Trasarea funcției y = |f(|x|)|

Rețineți că funcțiile de forma y = |f(|x|)| sunt de asemenea egale. Într-adevăr, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x) și, prin urmare, graficele lor sunt simetrice față de axa 0y. Setul de valori ale unor astfel de funcții: y ≥ 0. Aceasta înseamnă că graficele unor astfel de funcții sunt situate în întregime în semiplanul superior.

Pentru a reprezenta grafic funcția y = |f(|x|)|, trebuie să:

1) Construiți cu atenție un grafic al funcției y = f(|x|).

2) Lăsați neschimbată partea din grafic care se află deasupra sau pe axa 0x.

3) Afișați partea din grafic situată sub axa 0x simetric față de axa 0x.

4) Ca grafic final, selectați uniunea curbelor obținute la punctele (2) și (3).

Exemplul 4. Desenați un grafic al funcției y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Rețineți că x 2 = |x| 2. Aceasta înseamnă că în loc de funcția originală y = -x 2 + 2|x| – 1

puteți folosi funcția y = -|x| 2 + 2|x| – 1, deoarece graficele lor coincid.

Construim un grafic y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Pentru aceasta folosim algoritmul 2.

a) Reprezentați grafic funcția y = -x 2 + 2x – 1 (Fig. 6).

b) Lăsăm acea parte a graficului care se află în semiplanul drept.

c) Afișăm partea rezultată a graficului simetric față de axa 0y.

d) Graficul rezultat este prezentat în figură cu o linie punctată (Fig. 7).

2) Nu există puncte deasupra axei 0x lăsăm neschimbate punctele de pe axa 0x.

3) Partea graficului situată sub axa 0x este afișată simetric față de 0x.

4) Graficul rezultat este prezentat în figură cu o linie punctată (Fig. 8).

Exemplul 5. Reprezentați grafic funcția y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Mai întâi trebuie să reprezentați grafic funcția y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Pentru a face acest lucru, revenim la algoritmul 2.

a) Reprezentați cu atenție funcția y = (2x – 4) / (x + 3) (Fig. 9).

Rețineți că această funcție este liniară fracțională și graficul ei este o hiperbolă. Pentru a trasa o curbă, trebuie mai întâi să găsiți asimptotele graficului. Orizontală – y = 2/1 (raportul coeficienților lui x în numărătorul și numitorul fracției), verticală – x = -3.

2) Vom lăsa neschimbată acea parte a graficului care se află deasupra axei 0x sau pe aceasta.

3) Partea graficului situată sub axa 0x va fi afișată simetric față de 0x.

4) Graficul final este prezentat în figură (Fig. 11).

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Lecție pe tema: "Grafic și proprietăți ale funcției $y=x^3$. Exemple de trasare grafice"

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările voastre. Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online Integral pentru clasa a VII-a
Manual electronic pentru clasa a VII-a „Algebră în 10 minute”
Complex educațional 1C „Algebră, clasele 7-9”

Proprietățile funcției $y=x^3$

Să descriem proprietățile acestei funcții:

1. x este o variabilă independentă, y este o variabilă dependentă.

2. Domeniul definiției: este evident că pentru orice valoare a argumentului (x) se poate calcula valoarea funcției (y). În consecință, domeniul de definire al acestei funcții este întreaga linie numerică.

3. Gama de valori: y poate fi orice. În consecință, intervalul de valori este, de asemenea, întreaga linie numerică.

4. Dacă x= 0, atunci y= 0.

Graficul funcției $y=x^3$

1. Să creăm un tabel de valori:

2. Pentru valori pozitive Graficul x al funcției $y=x^3$ este foarte asemănător cu o parabolă, ale cărei ramuri sunt mai „presate” pe axa OY.

3. Pentru că pentru valori negative funcția x $y=x^3$ are valori opuse, atunci graficul funcției este simetric față de origine.

Acum să marchem punctele pe planul de coordonate și să construim un grafic (vezi Fig. 1).

Această curbă se numește parabolă cubică.

Exemple

I. Pe o corabie mica sa terminat cu totul apă dulce. Trebuie să aduci cantitate suficientă apa din oras. Apa este comandată în avans și plătită pentru un cub plin, chiar dacă îl umpleți puțin. Câte cuburi ar trebui să comand pentru a nu plăti în plus pentru un cub în plus și a umple complet rezervorul? Se știe că rezervorul are aceeași lungime, lățime și înălțime, care sunt egale cu 1,5 m Să rezolvăm această problemă fără a efectua calcule.

Soluţie:

1. Să reprezentăm grafic funcția $y=x^3$.
2. Găsiți punctul A, coordonata x, care este egal cu 1,5. Vedem că coordonatele funcției se află între valorile 3 și 4 (vezi Fig. 2). Deci trebuie să comandați 4 cuburi.

Să vedem cum să construim un grafic cu un modul.

Să găsim punctele la tranziția cărora semnul modulelor se schimbă.
Echivalăm fiecare expresie sub modul cu 0. Avem două dintre ele x-3 și x+3.
x-3=0 și x+3=0
x=3 și x=-3

Linia noastră numerică va fi împărțită în trei intervale (-∞;-3)U(-3;3)U(3;+∞). La fiecare interval, trebuie să determinați semnul expresiilor modulare.

1. Acest lucru este foarte ușor de făcut, luați în considerare primul interval (-∞;-3). Să luăm orice valoare din acest segment, de exemplu, -4, și să înlocuim valoarea lui x în fiecare dintre ecuațiile modulare.
x=-4
x-3=-4-3=-7 și x+3=-4+3=-1

Ambele expresii au semne negative, ceea ce înseamnă că punem un minus înaintea semnului modulului în ecuație, iar în loc de semnul modulului punem paranteze și obținem ecuația necesară pe interval (-∞;-3).

y= — (x-3)-( — (x+3))=-x+3+x+3=6

Pe intervalul (-∞;-3) s-a obţinut graficul funcţie liniară(direct) y=6

2. Considerăm al doilea interval (-3;3). Să aflăm cum va arăta ecuația grafică pe acest segment. Să luăm orice număr de la -3 la 3, de exemplu, 0. Înlocuiți valoarea 0 cu valoarea x.
x=0
x-3=0-3=-3 și x+3=0+3=3

Prima expresie x-3 are semn negativ, iar a doua expresie x+3 are semn pozitiv. Prin urmare, înainte de expresia x-3 scriem un semn minus, iar înainte de a doua expresie un semn plus.

y= — (x-3)-( + (x+3))=-x+3-x-3=-2x

Pe intervalul (-3;3) am obținut un grafic al unei funcții liniare (linie dreaptă) y=-2x

3. Se consideră al treilea interval (3;+∞). Să luăm orice valoare din acest segment, de exemplu 5, și să înlocuim valoarea x în fiecare dintre ecuațiile modulare.

x=5
x-3=5-3=2 și x+3=5+3=8

Pentru ambele expresii, semnele s-au dovedit a fi pozitive, ceea ce înseamnă că punem un plus în fața semnului modulului din ecuație, iar în loc de semnul modulului punem paranteze și obținem ecuația necesară pe intervalul (3;+). ∞).

y= + (x-3)-( + (x+3))=x-3-x-3=-6

Pe intervalul (3;+∞) am obținut un grafic al unei funcții liniare (dreaptă) у=-6

4. Acum să rezumăm graficul y=|x-3|-|x+3|.
Pe intervalul (-∞;-3) construim un grafic al functiei liniare (dreapta) y=6.
Pe intervalul (-3;3) construim un grafic al functiei liniare (dreapta) y=-2x.
Pentru a construi un grafic de y = -2x, selectăm mai multe puncte.
x=-3 y=-2*(-3)=6 rezultatul este un punct (-3;6)
x=0 y=-2*0=0 rezultatul este un punct (0;0)
x=3 y=-2*(3)=-6 rezultatul este punctul (3;-6)
Pe intervalul (3;+∞) construim un grafic al functiei liniare (dreapta) у=-6.

5. Acum să analizăm rezultatul și să răspundem la întrebare, să găsim valoarea lui k la care o are dreapta y=kx cu graficul y=|x-3|-|x+3| o funcție dată are exact un punct comun.

Linia dreaptă y=kx pentru orice valoare a lui k va trece întotdeauna prin punctul (0;0). Prin urmare, putem schimba doar panta acestei drepte y=kx, iar coeficientul k este responsabil pentru panta.

Dacă k este oricare număr pozitiv, atunci va exista o intersecție a dreptei y=kx cu graficul y=|x-3|-|x+3|. Această opțiune ni se potrivește.

Dacă k ia valoarea (-2;0), atunci intersecția dreptei y=kx cu graficul y=|x-3|-|x+3| vor fi trei Această opțiune nu ne convine.

Dacă k=-2, vor exista multe soluții [-2;2], deoarece dreapta y=kx va coincide cu graficul y=|x-3|-|x+3| în acest domeniu. Această opțiune nu ne convine.