Pentru o grindă cantilever încărcată cu o sarcină distribuită de intensitate kN/m și un moment concentrat kN tensiuni tangenţiale la o efort tangenţial admisibil kN/cm2. Dimensiunile grinzii m; m; m.

Model de proiectare pentru problema îndoirii drepte transversale

Orez. 3.12

Soluția problemei „codură transversală dreaptă”

Determinarea reacțiilor de sprijin

Reacția orizontală în ansament este zero, deoarece sarcinile externe în direcția z nu acționează asupra fasciculului.

Selectăm direcțiile forțelor reactive rămase care apar în etanșare: direcționați reacția verticală, de exemplu, în jos, iar momentul - în sensul acelor de ceasornic. Valorile lor sunt determinate din ecuațiile de statică:

Compunând aceste ecuații, considerăm că momentul este pozitiv la rotirea în sens invers acelor de ceasornic, iar proiecția forței este pozitivă dacă direcția acesteia coincide cu direcția pozitivă a axei y.

Din prima ecuație găsim momentul în terminație:

Din a doua ecuație - reacție verticală:

Valorile pozitive pe care le-am obținut pentru moment și reacția verticală la terminare indică faptul că le-am ghicit direcțiile.

În conformitate cu natura fixării și încărcării grinzii, împărțim lungimea acesteia în două secțiuni. De-a lungul limitelor fiecăreia dintre aceste secțiuni, conturăm patru secțiuni transversale (vezi Fig. 3.12), în care vom calcula valorile forțelor tăietoare și ale momentelor încovoietoare prin metoda secțiunilor (ROSU).

Secțiunea 1. Să aruncăm mental partea dreaptă a fasciculului. Înlocuiți acțiunea sa pe partea stângă rămasă cu o forță de forfecare și un moment de încovoiere. Pentru confortul calculării valorilor acestora, acoperim partea dreaptă aruncată a grinzii cu o bucată de hârtie, aliniind marginea stângă a foii cu secțiunea luată în considerare.

Reamintim că forța tăietoare care apare în orice secțiune transversală trebuie să echilibreze toate forțele externe (active și reactive) care acționează asupra părții grinzii luate în considerare (adică vizibile). Prin urmare, forța de forfecare trebuie să fie egală cu suma algebrică a tuturor forțelor pe care le vedem.

Să dăm, de asemenea, regula semnelor pentru forța de forfecare: o forță externă care acționează asupra părții considerate a grinzii și tinde să se „roteze” această parte în raport cu secțiunea în sensul acelor de ceasornic, determină o forță de forfecare pozitivă în secțiune. O astfel de forță externă este inclusă în suma algebrică pentru definiția cu semnul plus.

În cazul nostru, vedem doar reacția suportului, care rotește partea din grinda pe care o vedem față de prima secțiune (față de marginea foii de hârtie) în sens invers acelor de ceasornic. De aceea

kN.

Momentul încovoietor în orice secțiune trebuie să echilibreze momentul creat de forțele externe vizibile pentru noi, raportat la secțiunea luată în considerare. În consecință, este egală cu suma algebrică a momentelor tuturor eforturilor care acționează pe partea grinzii luate în considerare, relativ la secțiunea luată în considerare (cu alte cuvinte, relativ la marginea foii de hârtie). În acest caz, sarcina externă, îndoirea părții considerate a grinzii cu convexitatea în jos, determină un moment încovoietor pozitiv în secțiune. Iar momentul creat de o astfel de încărcare este inclus în suma algebrică pentru definiția cu semnul plus.

Vedem două eforturi: reacție și moment în terminare. Cu toate acestea, forța are un umăr în raport cu secțiunea 1 egal cu zero. De aceea

kN m.

Am luat semnul plus pentru că momentul reactiv îndoaie partea vizibilă a fasciculului cu o umflătură în jos.

Secțiunea 2. Ca și mai înainte, vom acoperi toată partea dreaptă a grinzii cu o bucată de hârtie. Acum, spre deosebire de prima secțiune, forța are un umăr: m. Prin urmare

kN; kN m.

Secțiunea 3. Închizând partea dreaptă a grinzii, găsim

kN;

Secțiunea 4. Închideți partea stângă a grinzii cu o frunză. Atunci

kN m.

kN m.

.

Folosind valorile găsite, trasăm diagramele forțelor tăietoare (Fig. 3.12, b) și momentelor încovoietoare (Fig. 3.12, c).

Sub secțiunile neîncărcate, diagrama forței tăietoare se desfășoară paralel cu axa grinzii, iar sub sarcina distribuită q, de-a lungul unei linii drepte înclinate în sus. Sub reacția de sprijin de pe diagramă, există un salt în jos cu valoarea acestei reacții, adică cu 40 kN.

În diagrama momentului de încovoiere, vedem o îndoire sub reacția de sprijin. Unghiul de îndoire este îndreptat spre reacția suportului. Sub o sarcină distribuită q, diagrama se modifică de-a lungul unei parabole pătratice, a cărei convexitate este îndreptată spre sarcină. În secțiunea 6 a diagramei există un extremum, deoarece diagrama forței de forfecare în acest loc trece printr-o valoare zero aici.

Determinați diametrul secțiunii transversale necesar al grinzii

Condiția normală de rezistență la stres este următoarea:

,

unde este momentul de rezistenţă al grinzii la încovoiere. Pentru o grindă cu secțiune transversală circulară, aceasta este egală cu:

.

Cel mai mare moment încovoietor în valoare absolută are loc în a treia secțiune a grinzii: kN cm.

Apoi, diametrul fasciculului necesar este determinat de formulă

cm.

Acceptăm mm. Atunci

kN / cm2 kN / cm2.

„Supratensiune” este

,

ceea ce este permis.

Verificăm rezistența grinzii pentru cele mai mari solicitări de forfecare

Cele mai mari solicitări de forfecare care apar în secțiunea transversală a unei grinzi circulare sunt calculate prin formula

,

unde este aria secțiunii transversale.

Conform diagramei, forța tăietoare cu cea mai mare valoare algebrică este kN. Atunci

kN / cm2 kN / cm2,

adică este îndeplinită și condiția de rezistență pentru solicitările de forfecare și cu o marjă mare.

Un exemplu de rezolvare a problemei „codură transversală dreaptă” nr. 2

Starea unui exemplu de problemă pe un cot transversal drept

Pentru o grindă susținută pivotant încărcată cu o sarcină distribuită de intensitate kN/m, forță concentrată kN și moment concentrat kN efort de forfecare admisibil kN/cm2. Anvergura grinzii m.

Un exemplu de problemă de îndoire dreaptă - model de proiectare

Orez. 3.13

Rezolvarea unui exemplu de problemă de îndoire dreaptă

Determinarea reacțiilor de sprijin

Pentru o grindă susținută articulată dată, este necesar să se găsească trei reacții de sprijin: și. Deoarece asupra grinzii acționează numai sarcini verticale perpendiculare pe axa acesteia, reacția orizontală a lagărului de pivot fix A este zero:.

Direcțiile reacțiilor verticale și alegem în mod arbitrar. De exemplu, să direcționăm ambele reacții verticale în sus. Pentru a calcula valorile lor, să compunem două ecuații de statică:

Reamintim că sarcina liniară rezultată, distribuită uniform pe o secțiune de lungime l, este egală, adică egală cu aria diagramei acestei sarcini și se aplică la centrul de greutate al acestei diagrame, adică, la mijlocul lungimii.

;

kN.

Facem o verificare:.

Reamintim că forțele a căror direcție coincide cu direcția pozitivă a axei y sunt proiectate (proiectate) pe această axă cu semnul plus:

asta e adevarat.

Trasarea forțelor tăietoare și a momentelor încovoietoare

Împărțim lungimea fasciculului în secțiuni separate. Limitele acestor secțiuni sunt punctele de aplicare a eforturilor concentrate (active și/sau reactive), precum și punctele corespunzătoare începutului și sfârșitului acțiunii sarcinii distribuite. Există trei astfel de domenii în problema noastră. De-a lungul limitelor acestor secțiuni, conturăm șase secțiuni transversale, în care vom calcula valorile forțelor tăietoare și ale momentelor încovoietoare (Fig. 3.13, a).

Secțiunea 1. Să aruncăm mental partea dreaptă a fasciculului. Pentru comoditatea calculării forței de forfecare și a momentului încovoietor care apar în această secțiune, acoperim partea din grinda aruncată de noi cu o bucată de hârtie, aliniind marginea stângă a bucății de hârtie cu secțiunea în sine.

Forța de forfecare în secțiunea grinzii este egală cu suma algebrică a tuturor forțelor externe (active și reactive) pe care le vedem. În acest caz, vedem reacția suportului și sarcina liniară q, distribuite pe o lungime infinit de mică. Sarcina liniară rezultată este zero. De aceea

kN.

Semnul plus este luat deoarece forța rotește partea vizibilă a fasciculului în raport cu prima secțiune (marginea foii de hârtie) în sensul acelor de ceasornic.

Momentul încovoietor în secțiunea grinzii este egal cu suma algebrică a momentelor tuturor forțelor pe care le vedem, raportat la secțiunea luată în considerare (adică relativ la marginea foii de hârtie). Vedem reacția suportului și sarcina liniară q, distribuite pe o lungime infinit de mică. Cu toate acestea, puterea are un umăr de zero. Sarcina liniară rezultată este, de asemenea, zero. De aceea

Secțiunea 2. Ca și mai înainte, vom acoperi toată partea dreaptă a grinzii cu o bucată de hârtie. Acum vedem reacția și sarcina q acționând asupra unei secțiuni de lungime. Sarcina liniară rezultată este egală cu. Este atașat la mijlocul unei secțiuni lungi. De aceea

Amintiți-vă că, atunci când determinăm semnul momentului de încovoiere, eliberăm mental partea din grinda vizibilă pentru noi de toate elementele de fixare a suportului real și ne imaginăm ca fiind prinsă în secțiunea luată în considerare (adică marginea stângă a foii de hârtie este reprezentat mental de noi ca un sigiliu rigid).

Secțiunea 3. Închideți partea dreaptă. Primim

Secțiunea 4. Închideți partea dreaptă a grinzii cu o foaie. Atunci

Acum, pentru a controla corectitudinea calculelor, vom acoperi partea stângă a grinzii cu o bucată de hârtie. Vedem forța concentrată P, reacția suportului drept și sarcina liniară q, distribuite pe o lungime infinit de mică. Sarcina liniară rezultată este zero. De aceea

kN m.

Adică totul este corect.

Secțiunea 5. Ca și înainte, închideți partea stângă a grinzii. Vom avea

kN;

kN m.

Secțiunea 6. Din nou, închideți partea stângă a grinzii. Primim

kN;

Folosind valorile găsite, trasăm diagramele forțelor tăietoare (Fig. 3.13, b) și momentelor încovoietoare (Fig. 3.13, c).

Ne asigurăm că sub secțiunea descărcată, diagrama forței tăietoare se desfășoară paralel cu axa fasciculului, iar sub sarcina distribuită q - de-a lungul unei linii drepte înclinate în jos. Există trei salturi pe diagramă: sub reacție - în sus cu 37,5 kN, sub reacție - în sus cu 132,5 kN și sub forța P - în jos cu 50 kN.

Pe diagrama momentelor încovoietoare, vedem îndoituri sub forța concentrată P și sub reacțiile de sprijin. Unghiurile de îndoire sunt îndreptate spre aceste forțe. Sub o sarcină distribuită de intensitate q, diagrama se modifică de-a lungul unei parabole pătratice, a cărei convexitate este îndreptată spre sarcină. Sub momentul concentrat - un salt de 60 kN · m, adică prin mărimea momentului în sine. În secțiunea 7 a diagramei există un extremum, deoarece diagrama forței de forfecare pentru această secțiune trece prin valoarea zero (). Determinați distanța de la secțiunea 7 la suportul din stânga.

Momentul încovoietor și forța laterală

Concepte de bază de îndoire. Îndoirea curată și laterală a grinzii

Încovoierea pură este un tip de deformare în care apare doar un moment de încovoiere în orice secțiune transversală a barei.
Deformarea unei curbe pure va avea loc, de exemplu, dacă două perechi de forțe de mărime egală și semn opus sunt aplicate unei bare drepte într-un plan care trece prin axă.
Grinzile, osiile, arborii și alte detalii structurale funcționează pentru îndoire. Dacă fasciculul are cel puțin o axă de simetrie și planul de acțiune al sarcinilor coincide cu aceasta, atunci curba dreapta , dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci îndoire oblică .

Când studiem deformația la încovoiere, ne vom imagina mental că o grindă (bară) constă dintr-un număr infinit de fibre longitudinale paralele cu axa.
Pentru a vizualiza deformarea unei curbe drepte, vom efectua un experiment cu o bară de cauciuc pe care se aplică o grilă de linii longitudinale și transversale.
Supușind un astfel de fascicul la o curbă dreaptă, puteți vedea că (Fig. 1):
- liniile transversale vor rămâne drepte în timpul deformării, dar se vor roti în unghi unele față de altele;
- sectiunile de cherestea se vor extinde in sens transversal pe latura concava si se vor ingusta pe latura convexa;
- liniile drepte longitudinale sunt curbe.

Din această experiență se poate concluziona că:
- la îndoire pură este valabilă ipoteza secţiunilor plane;
- fibrele situate pe partea convexă sunt întinse, pe partea concavă sunt comprimate, iar la limita dintre ele există un strat neutru de fibre care doar se îndoaie fără a-și modifica lungimea.

Presupunând că ipoteza nepresiunii fibrelor este valabilă, se poate argumenta că la încovoiere pură în secțiunea transversală a barei apar doar tensiuni normale de tracțiune și compresiune, care sunt distribuite neuniform pe secțiune.
Se numește linia de intersecție a stratului neutru cu planul secțiunii transversale axa neutră ... Evident, pe axa neutră tensiunile normale sunt zero.

Momentul încovoietor și forța laterală

După cum se știe din mecanica teoretică, reacțiile de sprijin ale grinzilor sunt determinate prin alcătuirea și rezolvarea ecuațiilor de echilibru ale staticii pentru întregul fascicul. La rezolvarea problemelor de rezistență a materialelor și la determinarea factorilor de forță interni în grinzi, am luat în considerare reacțiile legăturilor împreună cu sarcinile externe care acționează asupra grinzilor.
Pentru a determina factorii de forță interni, vom aplica metoda secțiunii și vom reprezenta fasciculul cu o singură linie - axa la care se aplică forțele active și reactive (încărcări și reacții ale legăturilor).

Luați în considerare două cazuri:

1. Două perechi de forțe egale și opuse în semn sunt aplicate fasciculului.
Având în vedere echilibrul porțiunii de grinda situată în stânga sau în dreapta secțiunii 1-1 (Fig. 2), vedem că în toate secțiunile transversale apare doar un moment încovoietor M și egal cu momentul exterior. Deci, acesta este un caz pur îndoit.

Momentul încovoietor este momentul rezultant în jurul axei neutre a forțelor normale interne care acționează în secțiunea transversală a grinzii.
Rețineți că momentul încovoietor are o direcție diferită pentru părțile din stânga și din dreapta ale grinzii. Aceasta indică inadecvarea regulii semnelor statice în determinarea semnului momentului încovoietor.

2. Forțe active și reactive (încărcări și reacții ale legăturilor) sunt aplicate fasciculului, perpendicular pe ax (Figura 3). Având în vedere echilibrul părților grinzii situate în stânga și în dreapta, vedem că în secțiunile transversale trebuie să acționeze un moment încovoietor. M și și forța laterală Q .
De aici rezultă că, în cazul în cauză, în punctele secţiunilor transversale acţionează nu numai tensiuni normale corespunzătoare momentului încovoietor, ci şi tensiuni tangenţiale corespunzătoare forţei tăietoare.

Forța transversală este rezultanta forțelor tăietoare interne în secțiunea transversală a grinzii.
Să acordăm atenție faptului că forța transversală are direcția opusă pentru părțile din stânga și din dreapta ale fasciculului, ceea ce indică inadecvarea regulii semnelor statice la determinarea semnului forței transversale.
O îndoire în care un moment încovoietor și o forță tăietoare acționează în secțiunea transversală a grinzii se numește transversală.

Pentru o grindă în echilibru de ape prin acțiunea unui sistem plan de forțe, suma algebrică a momentelor tuturor forțelor active și reactive relativ la orice punct este egală cu zero; prin urmare, suma momentelor forțelor exterioare care acționează asupra grinzii din stânga secțiunii este numeric egală cu suma momentelor tuturor forțelor externe care acționează asupra grinzii din dreapta secțiunii.
Astfel, momentul încovoietor în secțiunea grinzii este numeric egal cu suma algebrică a momentelor în raport cu centrul de greutate al secțiunii tuturor forțelor externe care acționează asupra grinzii din dreapta sau din stânga secțiunii.

Pentru o grindă aflată în echilibru sub acțiunea unui sistem plan de forțe perpendicular pe axă (adică un sistem de forțe paralele), suma algebrică a tuturor forțelor externe este zero; prin urmare, suma forțelor externe care acționează asupra grinzii din stânga secțiunii este numeric egală cu suma algebrică a forțelor care acționează asupra grinzii din dreapta secțiunii.
Astfel, forța tăietoare în secțiunea grinzii este numeric egală cu suma algebrică a tuturor forțelor externe care acționează la dreapta sau la stânga secțiunii.

Deoarece regulile semnelor statice sunt inacceptabile pentru stabilirea semnelor momentului încovoietor și forței tăietoare, vom stabili alte reguli de semn pentru ele, și anume: Dacă sarcina externă tinde să îndoaie grinda convexitatea în jos, atunci momentul încovoietor în secțiune este considerat pozitiv și invers, dacă sarcina externă tinde să îndoaie grinda cu o convexitate în sus, atunci momentul încovoietor în secțiune este considerat negativ (Figura 4a).

Dacă suma forțelor exterioare situate pe partea stângă a secțiunii dă rezultanta îndreptată în sus, atunci forța transversală în secțiune este considerată pozitivă, dacă rezultanta este îndreptată în jos, atunci forța transversală în secțiune este considerată negativă; pentru porțiunea de grinzi situată în dreapta secțiunii, semnele forței tăietoare vor fi opuse (Fig. 4b). Folosind aceste reguli, ar trebui să ne imaginăm mental secțiunea grinzii ca fiind prinsă rigid, iar conexiunile ca reacții aruncate și înlocuite.

Încă o dată, observăm că regulile semnelor statice sunt folosite pentru a determina reacțiile legăturilor, iar regulile semnelor de rezistență a materialelor sunt folosite pentru a determina semnele momentului încovoietor și forței transversale.
Regula semnului pentru momentele de încovoiere este uneori numită „regula ploii” , având în vedere că în cazul unei umflături în jos se formează o pâlnie în care se reține apa de ploaie (semn pozitiv) și invers - dacă, sub acțiunea sarcinilor, fasciculul se îndoaie în sus în arc, apa nu nu zăbovi asupra ei (semnul momentelor încovoietoare este negativ).

Diagrame ale forțelor interne în încovoiere directă.

Îndoirea directă se numește acest tip de rezistență simplă atunci când forțele externe sunt aplicate perpendicular pe axa longitudinală a grinzii (grindă) și sunt situate într-unul dintre planurile principale în conformitate cu configurația secțiunii transversale a grinzii.

După cum știți, cu încovoiere directă în secțiune transversală, apar două tipuri de forțe interne: forța tăietoare și momentul încovoietor intern.

Luați în considerare un exemplu de model de proiectare a unei grinzi cantilever cu o forță concentrată R, orez. 1 a.,...

a) schema de proiectare, b) partea stângă, c) partea dreaptă, d) diagrama forțelor tăietoare, e) diagrama momentelor încovoietoare

Fig. 1. Trasarea forțelor tăietoare și a momentelor de încovoiere interne în încovoiere directă:

Cea mai rațională ar trebui recunoscută ca secțiunea cu aria minimă la o sarcină dată (moment încovoietor) pe grinda. În acest caz, consumul de material pentru fabricarea grinzii va fi minim. Pentru a obține un fascicul de consum minim de material, este necesar să se străduiască să se asigure că, pe cât posibil, cel mai mare volum de material funcționează la solicitări egale sau apropiate de acestea. În primul rând, secțiunea rațională a grinzii în timpul îndoirii trebuie să satisfacă starea de rezistență egală a zonelor întinse și comprimate ale grinzii.în cuvinte, este necesar ca cele mai mari tensiuni de întindere ( max) n cele mai mari tensiuni de compresie ( max) a atins simultan tensiunile admise şi.

Prin urmare, pentru o grindă din material plastic (care lucrează în mod egal în tensiune și compresie: ), condiția de rezistență egală este îndeplinită pentru secțiunile simetrice față de axa neutră. Astfel de secțiuni includ, de exemplu, o secțiune dreptunghiulară (Fig. 6, A), în care condiția egalității ... Cu toate acestea, în acest caz, materialul, distribuit uniform pe înălțimea secțiunii, este slab utilizat în zona axei neutre. Pentru a obține o secțiune mai rațională, este necesar să se deplaseze cât mai mult material în zone cât mai departe de axa neutră. Așa că ajungem la rațional pentru material plastic formă în secțiune transversală fascicul I simetric(Fig. 6): 2 foi masive orizontale legate printr-un perete (foaia verticală), a căror grosime este atribuită din condițiile rezistenței peretelui în raport cu tensiunile tangenţiale, precum și din considerentele stabilităţii acestuia. Așa-numita secțiune casetă este aproape de secțiunea I prin criteriul raționalității (Fig. 6, v).

Fig. 6. Distribuția tensiunilor normale în secțiuni simetrice

Raționând într-un mod similar, ajungem la concluzia că pentru grinzile din material fragil, secțiunea cea mai rațională va fi sub forma unei grinzi în I asimetrice care satisface condiția de rezistență egală la tracțiune și compresie (Fig. 27) :

care rezultă din cerinţă

Fig. 7. Distribuția tensiunilor profilului asimetric al secțiunii grinzii.

Ideea raționalității secțiunii transversale a tijelor în timpul îndoirii este implementată în profile standard cu pereți subțiri obținute prin presare sau laminare la cald din oțeluri structurale obișnuite și aliate de înaltă calitate, precum și din aluminiu și aliaje de aluminiu, care sunt utilizate pe scară largă în construcții, inginerie mecanică și inginerie aeronautică. Cele prezentate în Fig. 7: A- I-beam, b- canal, v - colț inegal, G-colt alungit. Mai puțin frecvente sunt Tavr, Tavrochweller, Zeta profile etc.

Fig. 8. Profile în secțiune transversală utilizate: a) grindă în I, b) canal, c) colț inegal, d) colț isoscel

Formula momentului axial de rezistență la încovoiere este afisat simplu. Când secțiunea transversală a grinzii este simetrică față de axa neutră, tensiunile normale în punctele cele mai exterioare (at) sunt determinate de formula:

Caracteristica geometrică a secțiunii transversale a grinzii se numește moment încovoietor axial... Momentul axial de rezistență la încovoiere se măsoară în unități cubice de lungime (de obicei în cm3). Atunci .

Pentru o secțiune transversală dreptunghiulară:;

formula momentului încovoietor axial pentru o secțiune transversală circulară: .

Procesul de proiectare al clădirilor și structurilor moderne este guvernat de un număr mare de coduri și reglementări diferite de construcție. În cele mai multe cazuri, codurile necesită anumite caracteristici, de exemplu, deformarea sau deformarea grinzilor plăcilor de podea sub sarcină statică sau dinamică. De exemplu, SNiP nr. 2.09.03-85 determină deformarea grinzii pentru suporturi și treceri de suprafață cu cel mult 1/150 din lungimea travei. Pentru podelele de mansardă, această cifră este deja de 1/200, iar pentru grinzile interplanare, chiar mai puțin - 1/250. Prin urmare, una dintre etapele obligatorii de proiectare este efectuarea unui calcul al deformarii fasciculului.

Metode de calcul și verificare a deformarii

Motivul pentru care SNiP impun astfel de restricții draconice este simplu și evident. Cu cât deformarea este mai mică, cu atât marja de siguranță și flexibilitate a structurii este mai mare. Pentru o deformare mai mică de 0,5%, elementul portant, grinda sau placa își păstrează în continuare proprietățile elastice, ceea ce garantează o redistribuire normală a forțelor și păstrează integritatea întregii structuri. Odată cu creșterea deformației, cadrul clădirii se îndoaie, rezistă, dar stă în picioare, cu depășirea valorii admisibile, legăturile se rup, iar structura își pierde rigiditatea și capacitatea portantă ca o avalanșă.

• Utilizați calculatorul online software, în care condițiile standard sunt „cablate”, și nimic mai mult;
• Utilizați date de referință gata făcute pentru diferite tipuri și tipuri de grinzi, pentru diverse suporturi ale schemelor de încărcare. Este necesar doar să se identifice corect tipul și dimensiunea fasciculului și să se determine deformarea dorită;
• Pentru a calcula deviația permisă cu mâinile și capul, majoritatea designerilor fac acest lucru, în timp ce controlează inspecțiile de arhitectură și construcții preferă a doua metodă de calcul.

Pentru informația dumneavoastră! Pentru a ne imagina cu adevărat de ce este atât de important să cunoaștem cantitatea de abatere de la poziția inițială, merită să înțelegem că măsurarea cantității de deviere este singura modalitate disponibilă și fiabilă de a determina starea fasciculului în practică.

Măsurând cât de mult s-a scufundat grinda tavanului, puteți determina cu o certitudine de 99% dacă structura este în stare de urgență sau nu.

Metoda de calcul a devierii

Înainte de a continua cu calculul, va fi necesar să amintim unele dintre dependențele din teoria rezistenței materialelor și să întocmim o diagramă de proiectare. În funcție de cât de corect este executată schema și de condițiile de încărcare sunt luate în considerare, acuratețea și corectitudinea calculului vor depinde.

Folosim cel mai simplu model al unui fascicul încărcat prezentat în diagramă. Cea mai simplă analogie pentru o grindă poate fi o riglă de lemn, fotografie.

În cazul nostru, fasciculul:

1. Are secțiune dreptunghiulară S = b * h, lungimea piesei de sprijin este L;
2. Rigla este încărcată cu o forță Q care trece prin centrul de greutate al planului îndoit, drept urmare capetele se rotesc printr-un unghi mic θ, cu o deformare față de poziția orizontală inițială , egal cu f;
3. Capetele grinzii sunt sprijinite pivotant și liber pe suporturi fixe, respectiv, nu există o componentă orizontală a reacției, iar capetele riglei se pot deplasa într-o direcție arbitrară.

Pentru a determina deformarea corpului sub sarcină, utilizați formula pentru modulul de elasticitate, care este determinată de raportul E = R / Δ, unde E este valoarea de referință, R este efortul, Δ este cantitatea de deformare a corpul.

Calculăm momentele de inerție și forțele

Pentru cazul nostru, dependența va arăta astfel: Δ = Q / (S · E). Pentru o sarcină q distribuită de-a lungul grinzii, formula va arăta astfel: Δ = q · h / (S · E).

Urmează cel mai important punct. Diagrama lui Young arată deformarea grinzii sau deformarea riglei ca și cum ar fi zdrobită sub o presă puternică. În cazul nostru, grinda este îndoită, ceea ce înseamnă că la capetele riglei, în raport cu centrul de greutate, se aplică două momente încovoietoare cu semne diferite. Diagrama de încărcare a unui astfel de fascicul este prezentată mai jos.

Pentru a transforma dependența lui Young pentru momentul încovoietor, este necesar să înmulțim ambele părți ale egalității cu umărul L. Se obține Δ * L = Q · L / (b · h · E).

Dacă ne imaginăm că unul dintre suporturi este fixat rigid, iar celui de-al doilea se va aplica un moment de echilibrare echivalent al forțelor M max = q * L * 2/8, valoarea deformației grinzii va fi exprimată prin dependența Δx = Mx / ((h / 3) b (h / 2) E)... Valoarea b · h 2/6 se numește momentul de inerție și se notează cu W. Ca rezultat, obținem Δх = M x / (W

Pentru a calcula cu exactitate deformarea, trebuie să cunoașteți momentul încovoietor și momentul de inerție. Valoarea primului poate fi calculată, dar formula specifică de calcul a grinzii pentru deformare va depinde de condițiile de contact cu suporturile pe care se află grinda și, respectiv, de metoda de încărcare pentru o sarcină distribuită sau concentrată. Momentul încovoietor de la sarcina distribuită se calculează cu formula Mmax = q * L 2/8. Formulele date sunt valabile numai pentru sarcina distribuită. Pentru cazul în care presiunea asupra fasciculului este concentrată într-un anumit punct și adesea nu coincide cu axa de simetrie, formula de calcul a deformarii trebuie să fie derivată folosind calcul integral.

Momentul de inerție poate fi considerat ca fiind rezistența echivalentă a unei grinzi la o sarcină de încovoiere. Mărimea momentului de inerție pentru o grindă dreptunghiulară simplă poate fi calculată folosind formula simplă W = b * h 3/12, unde b și h sunt dimensiunile secțiunii grinzii.

Din formula se poate observa că aceeași riglă sau placa de secțiune transversală dreptunghiulară poate avea moment de inerție și deformare complet diferite, dacă este pusă pe suport în mod tradițional sau pusă pe o muchie. Nu degeaba aproape toate elementele sistemului de ferme de acoperiș sunt realizate nu dintr-o placă de 100x150, ci dintr-o placă de 50x150.

Secțiunile reale ale structurilor clădirii pot avea o mare varietate de profile, de la un pătrat, un cerc la grinzi complexe în I sau secțiuni în U. În același timp, determinarea momentului de inerție și a cantității de deviere manual, „pe hârtie”, pentru astfel de cazuri devine o sarcină nebanală pentru un constructor neprofesionist.

Formule pentru utilizare practică

În practică, cel mai adesea se confruntă problema opusă - pentru a determina marja de siguranță a pardoselilor sau a pereților pentru un anumit caz dintr-o valoare cunoscută a deformarii. În domeniul construcțiilor, este foarte dificil să se evalueze factorul de siguranță prin alte metode, nedistructive. Adesea, în funcție de mărimea deformarii, este necesar să se efectueze un calcul, să se evalueze factorul de siguranță al clădirii și starea generală a structurilor de susținere. Mai mult, în funcție de măsurătorile efectuate, se stabilește dacă deformarea este admisibilă, conform calculului, sau clădirea se află în stare de urgență.

Sfat! În ceea ce privește calcularea stării limită a unui fascicul în ceea ce privește deviația, cerințele SNiP oferă un serviciu de neprețuit. Prin stabilirea limitei de deformare într-o valoare relativă, de exemplu 1/250, codurile de construcție fac mult mai ușor să se determine starea de defecțiune a unei grinzi sau plăci.

De exemplu, dacă intenționați să cumpărați o clădire gata făcută care a stat mult timp pe un sol cu ​​probleme, va fi util să verificați starea suprapunerii prin deformarea existentă. Cunoscând rata maximă de deformare admisă și lungimea grinzii, este posibil, fără niciun calcul, să se evalueze cât de critică este starea structurii.

Când se evaluează deformarea și se evaluează capacitatea portantă a plăcii, inspecția construcției merge într-un mod mai complicat:

• Inițial, se măsoară geometria plăcii sau grinzii, se înregistrează cantitatea de deformare;
• În funcție de parametrii măsurați, se determină sortimentul fasciculului, apoi se selectează formula pentru momentul de inerție din cartea de referință;
• Deformarea și momentul de inerție determină momentul de forță, după care, cunoscând materialul, se pot calcula tensiunile reale într-o grindă de metal, beton sau lemn.

Întrebarea este de ce este atât de dificil dacă deformarea poate fi obținută folosind formula pentru o grindă simplă pe suporturi articulate f = 5/24 * R * L 2 / (E * h) sub o forță distribuită. Este suficient să cunoașteți lungimea deschiderii L, înălțimea profilului, rezistența de proiectare R și modulul de elasticitate E pentru un anumit material de pardoseală.

Sfat! Utilizați în calculele dumneavoastră colecțiile departamentale existente ale diferitelor organizații de proiectare, în care toate formulele necesare pentru determinarea și calcularea stării finale de încărcare sunt rezumate într-o formă comprimată.

Concluzie

Majoritatea dezvoltatorilor și proiectanților de clădiri majore fac același lucru. Programul este bun, ajută la calcularea foarte rapidă a deformarii și a parametrilor principali ai încărcării pardoselii, dar este și important să se pună la dispoziție clientului dovezi documentare ale rezultatelor obținute sub formă de calcule secvențiale specifice pe hârtie.

Capitolul 1. ÎNCOLAREA BRINCILOR DREPTĂ ȘI A SISTEMELOR DE BRINCI

1.1. Principalele dependențe ale teoriei îndoirii grinzilor

Grinzi Se obișnuiește să se numească tije care lucrează în încovoiere sub acțiunea unei sarcini transversale (normale față de axa tijei). Grinzile sunt cele mai comune elemente ale structurilor navelor. Axa fasciculului este locul centrelor de greutate ale secțiunilor sale transversale în starea neformată. O grindă se numește linie dreaptă dacă axa este o linie dreaptă. Locul centrelor de greutate ale secțiunilor transversale ale grinzii în stare îndoită se numește linia elastică a grinzii. Se adoptă următoarea direcţie a axelor de coordonate: axă BOU aliniat cu axa fasciculului și cu axa OYși OZ- cu principalele axe centrale de inerţie ale secţiunii transversale (Fig. 1.1).

Teoria îndoirii fasciculului se bazează pe următoarele ipoteze.

1. Se acceptă ipoteza secțiunilor plane conform căreia secțiunile transversale ale grinzii, inițial plane și normale pe axa grinzii, rămân după îndoirea acesteia plane și normale pe linia elastică a grinzii. Din acest motiv, deformația la încovoiere a grinzii poate fi considerată independent de deformația prin forfecare, ceea ce provoacă deformarea planurilor secțiunilor transversale ale grinzii și rotirea acestora în raport cu linia elastică (Fig. 1.2, A).

2. Tensiunile normale din zonele paralele cu axa grinzii sunt neglijate din cauza micii lor (Fig. 1.2, b).

3. Grinzile sunt considerate a fi suficient de rigide, de ex. deviațiile lor sunt mici în comparație cu înălțimea grinzilor, iar unghiurile de rotație ale secțiunilor sunt mici în comparație cu unitatea (Fig. 1.2, v).

4. Tensiunile și deformațiile sunt legate liniar; Legea lui Hooke este valabilă (Fig. 1.2, G).

Orez. 1.2. Îndoirea ipotezelor teoriei

Vom lua în considerare momentele încovoietoare și forțele tăietoare care apar în timpul îndoirii unei grinzi în secțiunea sa ca urmare a acțiunii părții din grinda aruncată mental peste secțiunea pe partea rămasă.

Momentul tuturor forțelor care acționează în secțiunea în jurul uneia dintre axele principale se numește momentul încovoietor. Momentul încovoietor este egal cu suma momentelor tuturor forțelor (inclusiv reacțiile de susținere și momentele) care acționează asupra părții aruncate a grinzii, raportat la axa specificată a secțiunii luate în considerare.

Proiecția pe planul de secțiune a vectorului principal al forțelor care acționează în secțiune se numește forță tăietoare. Este egal cu suma proiecțiilor pe planul de secțiune a tuturor forțelor (inclusiv reacțiile de susținere) care acționează asupra părții aruncate a grinzii.

Ne limităm la a lua în considerare îndoirea fasciculului care are loc în plan XOZ. O astfel de îndoire va avea loc atunci când sarcina laterală acționează într-un plan paralel cu planul XOZ, iar rezultanta ei în fiecare secțiune trece printr-un punct numit centrul de încovoiere a secțiunii. Rețineți că pentru secțiuni de grinzi cu două axisimetrii, centrul de îndoire coincide cu centrul de greutate, iar pentru secțiunile cu o axă de simetrie, se află pe axisimetria, dar nu coincide cu centrul de greutate.

Sarcina grinzilor incluse în carena navei poate fi fie distribuită (cel mai adesea uniform distribuită de-a lungul axei grinzii, fie schimbându-se conform unei legi liniare), fie aplicată sub formă de forțe și momente concentrate.

Să notăm intensitatea sarcinii distribuite (sarcină pe unitatea de lungime a axei fasciculului) prin q(X), forță externă concentrată - ca R, iar momentul încovoietor extern - ca M... Sarcina distribuită și forța concentrată sunt pozitive dacă direcțiile lor de acțiune coincid cu direcția pozitivă a axei OZ(fig. 1.3, A,b). Momentul încovoietor extern este pozitiv dacă este îndreptat în sensul acelor de ceasornic (Figura 1.3, v).

Orez. 1.3. Semnează regula pentru încărcături externe

Notăm deformarea unei grinzi drepte în timpul îndoirii sale în plan XOZ peste w, și unghiul de rotație al secțiunii prin θ. Vom accepta regula semnelor pentru elementele de îndoire (Fig. 1.4):

1) deformarea este pozitivă dacă coincide cu direcția pozitivă a axei OZ(fig. 1.4, A):

2) unghiul de rotație al secțiunii este pozitiv dacă, ca urmare a îndoirii, secțiunea se rotește în sensul acelor de ceasornic (Fig. 1.4, b);

3) momentele încovoietoare sunt pozitive dacă grinda sub influența lor se îndoaie convex în sus (Fig. 1.4, v);

4) forțele tăietoare sunt pozitive dacă rotesc elementul grinzii selectat în sens invers acelor de ceasornic (Fig. 1.4, G).

Orez. 1.4. Semn regulă pentru îndoirea elementelor

Pe baza ipotezei secțiunilor plate, se poate observa (Fig. 1.5) că alungirea relativă a fibrei ε X situat la z din axa neutră, va fi egală cu

ε X= −z/ρ ,(1.1)

Unde ρ - raza de curbură a grinzii în secțiunea luată în considerare.

Orez. 1.5. Schema de îndoire a fasciculului

Axa neutră a secțiunii transversale este locul punctelor pentru care deformația liniară în timpul îndoirii este zero. Între curbură și derivate ale w(X) există o dependență

În virtutea ipotezei acceptate despre micimea unghiurilor de rotație pentru grinzi suficient de rigide, cantitateamic în comparație cu unitatea, deci putem presupune că

Înlocuind 1 / ρ de la (1.2) la (1.1), obținem

Tensiuni normale de încovoiere σ X bazat pe legea lui Hooke va fi egal

Deoarece din definirea grinzilor rezultă că nu există nicio forță longitudinală îndreptată de-a lungul axei grinzii, vectorul principal al tensiunilor normale trebuie să dispară, i.e.

Unde F Este aria secțiunii transversale a fasciculului.

Din (1.5) obținem că momentul static al ariei secțiunii transversale a grinzii este egal cu zero. Aceasta înseamnă că axa neutră a secțiunii trece prin centrul său de greutate.

Momentul forțelor interne care acționează în secțiunea transversală față de axa neutră, Ale mele voi

Având în vedere că momentul de inerție al ariei secțiunii transversale față de axa neutră OY este egală și înlocuim această valoare în (1.6), apoi obținem o dependență care exprimă ecuația diferențială de bază a îndoirii grinzii

Momentul forțelor interne în secțiunea în jurul axei OZ voi

Din moment ce axele OYși OZ după condiţie sunt principalele axe centrale ale secţiunii, apoi .

De aici rezultă că sub acțiunea unei sarcini într-un plan paralel cu planul principal de îndoire, linia elastică a grinzii va fi o curbă plată. Această îndoire se numește apartament... Pe baza dependențelor (1.4) și (1.7), obținem

Formula (1.8) arată că tensiunile normale în timpul îndoirii grinzilor sunt proporționale cu distanța de la axa neutră a grinzii. Desigur, acest lucru rezultă din ipoteza secțiunilor plate. În calculele practice, momentul de rezistență al secțiunii grinzii este adesea folosit pentru a determina cele mai mari tensiuni normale.

unde | z| max este valoarea absolută a distanței celei mai îndepărtate fibre de axa neutră.

În continuare inscripte y omis pentru simplitate.

Există o relație între momentul încovoietor, forța de forfecare și intensitatea sarcinii transversale, care decurge din starea de echilibru a elementului izolat mental de grindă.

Luați în considerare un element de grindă de lungime dx (fig. 1.6). Se presupune aici că deformațiile elementului sunt neglijabile.

Dacă momentul acţionează în secţiunea din stânga a elementului Mși forța de forfecare N, apoi în secțiunea din dreapta eforturile corespunzătoare vor avea incremente. Luați în considerare numai incremente liniare .

Figura 1.6. Forțe care acționează asupra unui element de grindă

Echivalând cu zero proiecția pe axă OZ dintre toate eforturile care acționează asupra elementului și momentul tuturor eforturilor față de axa neutră a secțiunii din dreapta, obținem:

Din aceste ecuații, până la cantități de ordin superior al micii, obținem

Din (1.11) și (1.12) rezultă că

Dependențe (1.11) - (1.13) sunt cunoscute ca teorema Zhuravsky – Schwedler Din aceste dependențe rezultă că forța tăietoare și momentul încovoietor pot fi determinate prin integrarea sarcinii q:

Unde N 0 și M 0 - forța tăietoare și momentul încovoietor într-o secțiune corespunzătoarex =X 0 , care este luată drept origine; ξ,ξ 1 - variabile de integrare.

Permanent N 0 și M 0 pentru grinzile definibile static poate fi determinat din condițiile echilibrului lor static.

Dacă grinda este definibilă static, momentul încovoietor în orice secțiune poate fi găsit din (1.14), iar linia elastică este determinată prin integrarea dublă a ecuației diferențiale (1.7). Cu toate acestea, grinzile definibile static sunt extrem de rare în structurile carenei navei. Majoritatea grinzilor care alcătuiesc structurile navelor formează de multe ori sisteme static nedeterminate. În aceste cazuri, ecuația (1.7) este incomod pentru a determina linia elastică și este recomandabil să treceți la o ecuație de ordinul al patrulea.

1.2. Ecuația de îndoire a fasciculului diferențial

Ecuația de diferențiere (1.7) pentru cazul general când momentul de inerție al secțiunii este funcție de X, ținând cont de (1.11) și (1.12) obținem:

unde numerele prime denotă diferențierea în raport cu X.

Pentru grinzi prismatice, i.e. grinzi de secțiune transversală constantă, obținem următoarele ecuații diferențiale de încovoiere:

O ecuație diferențială liniară neomogenă obișnuită de ordinul al patrulea (1.18) poate fi reprezentată ca un set de patru ecuații diferențiale de ordinul întâi:

Folosim ecuația suplimentară (1.18) sau sistemul de ecuații (1.19) pentru a determina deformarea grinzii (linia sa elastică) și toate elementele de îndoire necunoscute: w(X), θ (X), M(X), N(X).

Integrarea (1.18) secvenţial de 4 ori (presupunând că capătul din stânga al grinzii corespunde secţiuniiX= x a ), primim:

Este ușor de observat că constantele de integrare N / A,M a,θ a , w a au o anumită semnificație fizică și anume:

N / A- forța de forfecare la origine, i.e. la x =x a ;

M a- momentul încovoietor la origine;

θ a - unghiul de rotatie la origine;

w a - deformare in aceeasi sectiune.

Pentru a determina aceste constante, puteți crea oricând patru condiții la limită - două pentru fiecare capăt al unui fascicul cu o singură travă. Desigur, condițiile la limită depind de aranjarea capetelor grinzii. Cele mai simple condiții corespund suportului articulat pe suporturi rigide sau terminației rigide.

Când capătul grinzii este sprijinit pivotant pe un suport rigid (Fig. 1.7, A) deformarea grinzii și momentul încovoietor sunt egale cu zero:

Cu o terminație rigidă pe un suport rigid (Fig. 1.7, b) deformarea și unghiul de rotație al secțiunii sunt egale cu zero:

Dacă capătul grinzii (consola) este liber (Fig. 1.7, v), atunci în această secțiune momentul încovoietor și forța de forfecare sunt egale cu zero:

Este posibilă o situație asociată cu o terminație de alunecare sau o terminație de simetrie (Fig. 1.7, G). Acest lucru duce la următoarele condiții limită:

Rețineți că condițiile la limită (1.26) privind deviațiile și unghiurile de rotație sunt de obicei numite cinematic, și condițiile (1.27) - putere.

Orez. 1.7. Tipuri de condiții la limită

În structurile navelor, este adesea necesar să se facă față unor condiții la limită mai complexe, care corespund sprijinirii grinzii pe suporturi elastice sau terminației elastice a capetelor.

Un suport elastic (Fig. 1.8, A) se numește suport care are o tragere proporțională cu reacția care acționează asupra suportului. Vom lua în considerare reacția suportului elastic R pozitiv dacă acţionează asupra suportului în direcţia direcţiei pozitive a axei OZ... Apoi poți scrie:

w =AR,(1.29)

Unde A- coeficientul de proportionalitate, numit coeficientul de complianta al suportului elastic.

Acest coeficient este egal cu tasarea suportului elastic sub acțiunea reacției R = 1, adică A =w R = 1 .

Suporturile elastice din structurile navelor pot fi grinzi care susțin grinda în cauză, sau stâlpi și alte structuri compresive.

Pentru a determina coeficientul de complianta al unui suport elastic A este necesar să încărcați structura corespunzătoare cu o forță unitară și să găsiți valoarea absolută a tasării (deformarii) la locul de aplicare a forței. Suportul rigid este un caz special de suport elastic când A = 0.

Etanșare elastică (Fig. 1.8, b) se numește o astfel de structură de susținere care împiedică rotația liberă a secțiunii și în care unghiul de rotație θ din această secțiune este proporțional cu momentul, adică. are o dependență

θ = Â M.(1.30)

Multiplicator de proporționalitate  se numește coeficient de conformitate a etanșării elastice și poate fi definit ca unghiul de rotație al etanșării elastice la M = 1, adică  = θ M = 1 .

Un caz particular de etanșare elastică când  = 0 este o terminare grea. În structurile navelor, fixările elastice sunt de obicei grinzi care sunt normale cu cea considerată și se află în același plan. De exemplu, grinzile și altele asemenea pot fi considerate etanșate elastic pe rame.

Orez. 1.8. Suport elastic ( A) și etanșare elastică ( b)

Dacă capetele grinzii sunt lungi L sprijinite pe suporturi elastice (Fig. 1.9), atunci reacțiile suporturilor din secțiunile de capăt sunt egale cu forțele de forfecare, iar condițiile la limită se pot scrie:

Semnul minus în prima condiție (1.31) este acceptat deoarece forța tăietoare pozitivă în secțiunea de sprijin din stânga corespunde reacției care acționează asupra grinzii de sus în jos, și asupra suportului de jos în sus.

Dacă capetele grinzii sunt lungi Lsigilat elastic(Fig. 1.9), apoi pentru secțiunile de sprijin, ținând cont de regula semnelor pentru unghiurile de rotație și momentele încovoietoare, puteți scrie:

Se adoptă semnul minus în a doua condiție (1.32), deoarece cu un moment pozitiv în secțiunea de susținere dreaptă a grinzii, momentul care acționează asupra etanșării elastice este îndreptat în sens invers acelor de ceasornic, iar unghiul pozitiv de rotație în această secțiune este îndreptat în sensul acelor de ceasornic, adică directiile momentului si unghiul de rotatie nu coincid.

Luarea în considerare a ecuației diferențiale (1.18) și a tuturor condițiilor la limită arată că acestea sunt liniare atât în ​​raport cu deviațiile și derivatele lor incluse în ele, cât și cu sarcinile care acționează asupra grinzii. Liniaritatea este o consecință a ipotezelor referitoare la validitatea legii lui Hooke și la mica deformare a fasciculului.

Orez. 1.9. O grindă, ale cărei ambele capete sunt susținute elastic și etanșate elastic ( A);

forţe în suporturi elastice şi fitinguri elastice corespunzătoare pozitive
direcțiile momentului încovoietor și ale forței de forfecare ( b)

Atunci când pe o grindă sunt aplicate mai multe sarcini, fiecare element de încovoiere al grinzii (deformare, unghi de rotație, moment și forță tăietoare) este suma elementelor de încovoiere din acțiunea fiecăreia dintre sarcini separat. Această poziție foarte importantă, numită principiul suprapunerii sau principiul însumării acțiunii sarcinilor, este utilizată pe scară largă în calculele practice și, în special, pentru a dezvălui incertitudinea statică a grinzilor.

1.3. Metoda parametrilor inițiali

Integrala generală a ecuației diferențiale de îndoire a grinzii poate fi utilizată pentru a determina linia elastică a unei grinzi cu o singură travă în cazul în care sarcina grinzii este o funcție continuă a coordonatei pe întreaga travă. Dacă sarcina conține forțe concentrate, momente sau o sarcină distribuită acționează asupra unei părți a lungimii grinzii (Fig. 1.10), atunci expresia (1.24) nu poate fi utilizată direct. În acest caz, ar fi posibil, notând liniile elastice din secțiunile 1, 2 și 3 până la w 1 , w 2 , w 3, notați pentru fiecare dintre ele integrala în forma (1.24) și găsiți toate constantele arbitrare din condițiile la limită de la capetele grinzii și condițiile de conjugare la limitele secțiunilor. Condițiile de conjugare în acest caz sunt exprimate astfel:

la x = a 1

la x = a 2

la x = a 3

Este ușor de observat că acest mod de rezolvare a problemei duce la un număr mare de constante arbitrare egal cu 4 n, Unde n- numărul de secțiuni de-a lungul lungimii grinzii.

Orez. 1.10. Grinda, în unele secțiuni din care se aplică sarcini de diferite tipuri

Este mult mai convenabil să reprezentați linia elastică a fasciculului în formă

unde se iau în considerare termenii din spatele barei duble când X³ A 1, X³ A 2, etc.

Evident, δ 1 w(X)=w 2 (X)−w 1 (X); δ 2 w(X)=w 3 (X)−w 2 (X); etc.

Ecuații diferențiale pentru determinarea corecțiilor la dreapta elastică δ iw (X) bazat pe (1.18) și (1.32) se pot scrie sub forma

Integrală generală pentru orice corecție δ iw (X) la linia elastică se poate scrie sub forma (1.24) pt x a = un i ... În acest caz, parametrii N / A,M a,θ a , w a au semnificația unei schimbări (salt), respectiv: în forța tăietoare, momentul încovoietor, unghiul de rotație și săgeata de deviere la trecerea prin secțiune x =un i ... Această tehnică se numește metoda parametrilor inițiali. Se poate arăta că pentru fasciculul prezentat în Fig. 1.10, ecuația liniei elastice va fi

Astfel, metoda parametrilor inițiali face posibilă, chiar și în prezența discontinuității în încărcări, să se scrie ecuația unei linii elastice într-o formă care conține doar patru constante arbitrare. N 0 , M 0 , θ 0 , w 0, care sunt determinate din condițiile la limită de la capetele grinzii.

Rețineți că pentru un număr mare de variante de grinzi cu o singură travă întâlnite în practică, au fost compilate tabele de îndoire detaliate, care facilitează găsirea deformațiilor, unghiurilor de rotație și a altor elemente de îndoire.

1.4. Determinarea tensiunilor tăietoare la îndoirea grinzilor

Ipoteza secțiunilor plane acceptată în teoria îndoirii grinzilor conduce la faptul că deformarea prin forfecare în secțiunea grinzii se dovedește a fi egală cu zero și nu avem posibilitatea, folosind legea lui Hooke, de a determina tensiuni tangențiale. Cu toate acestea, deoarece, în cazul general, forțele tăietoare acționează în secțiunile grinzii, ar trebui să apară tensiunile tăietoare corespunzătoare. Această contradicție (care este o consecință a ipotezei acceptate a secțiunilor plane) poate fi ocolită luând în considerare condițiile de echilibru. Vom presupune că atunci când o grindă compusă din benzi subțiri este îndoită, tensiunile tăietoare din secțiunea transversală a fiecăreia dintre aceste benzi sunt distribuite uniform pe grosime și dirijate paralel cu laturile lungi ale conturului său. Această poziție este practic confirmată de soluțiile exacte ale teoriei elasticității. Luați în considerare o grindă a unui profil în I deschis cu pereți subțiri. În fig. 1.11 arată direcția pozitivă a tensiunilor de forfecare în flanșe și inimii profilului în timpul îndoirii în planul inimii grinzii. Selectăm cu o secțiune longitudinală eu -eu iar două secțiuni transversale un element de lungime dx (fig. 1.12).

Notăm efortul de forfecare în secțiunea longitudinală specificată cu τ, iar forțele normale în secțiunea transversală inițială cu T... Forțele normale din secțiunea finală vor avea creșteri. Luați în considerare numai incremente liniare, atunci.

Orez. 1.12. Forțe longitudinale și eforturi de forfecare
în elementul brâu al grinzii

Condiția de echilibru static a elementului selectat din fascicul (egalitatea la zero a proiecțiilor forțelor pe axă BOU) voi

Unde ; f- zona părții profilului, tăiată de linie eu -eu; δ– grosimea profilului la secțiune.

Din (1.36) rezultă:

Deoarece tensiunile normale σ X sunt definite prin formula (1.8), apoi

În acest caz, presupunem că fasciculul are o secțiune constantă pe lungimea sa. Momentul static al unei părți a profilului (prin linia de tăiere eu -eu) în raport cu axa neutră a secțiunii grinzii OY este o integrală

Apoi din (1.37) pentru valoarea absolută a tensiunilor obținem:

Desigur, formula obținută pentru determinarea tensiunilor tăietoare este valabilă și pentru orice secțiune longitudinală, de exemplu II -II(vezi fig. 1.11), iar momentul static S Ot se calculează pentru partea tăiată a ariei profilului fasciculului în raport cu axa neutră fără a lua în considerare semnul.

Formula (1.38), în sensul concluziei trase, determină eforturile de forfecare în secțiunile longitudinale ale grinzii. Din teorema privind împerecherea tensiunilor tangenţiale, cunoscută din cursul rezistenţei materialelor, rezultă că aceleaşi tensiuni tangenţiale acţionează în punctele corespunzătoare ale secţiunii transversale a grinzii. Desigur, proiecția vectorului principal al tensiunilor de forfecare pe axă OZ trebuie să fie egală cu forța tăietoare Nîn această secţiune a fasciculului. Deoarece în curele grinzile de acest tip, așa cum se arată în Fig. 1.11, tensiunile tăietoare sunt direcționate de-a lungul axei OY, adică normale cu planul de acțiune al sarcinii și sunt în general echilibrate, forța tăietoare trebuie echilibrată de eforturile tăietoare din inima grinzii. Distribuția tensiunilor tăietoare de-a lungul înălțimii peretelui urmează legea de variație a momentului static S partea tăiată a zonei în raport cu axa neutră (la grosimea constantă a peretelui δ).

Luați în considerare o secțiune simetrică a unui fascicul în I cu o zonă de centură F 1 și zona peretelui ω = hδ (fig. 1.13).

Orez. 1.13. Secțiunea I-beam

Momentul static al părții tăiate a zonei pentru un punct situat la z din axa neutră, va fi

După cum se poate observa din dependența (1.39), momentul static se modifică cu z conform legii parabolei pătratice. Cea mai mare valoare S din, și, în consecință, eforturile de forfecare τ , se va dovedi pe axa neutră, unde z = 0:

Cea mai mare efort de forfecare în banda grinzii la axa neutră

Întrucât momentul de inerție al secțiunii grinzii luate în considerare este

atunci cea mai mare tensiune de forfecare va fi

Atitudine N/ ω nu este altceva decât efortul de forfecare medie în perete, calculată în ipoteza unei distribuții uniforme a tensiunilor. Luând, de exemplu, ω = 2 F 1, prin formula (1.41) obținem

Astfel, grinda considerată are cea mai mare efort de forfecare în perete la axa neutră cu doar 12,5% depăşeşte valoarea medie a acestor tensiuni. Trebuie remarcat faptul că pentru majoritatea profilelor de grinzi utilizate în carena navei, excesul de eforturi maxime de forfecare față de medie este de 10–15%.

Dacă luăm în considerare distribuția tensiunilor tăietoare în timpul îndoirii în secțiunea grinzii prezentată în Fig. 1.14, atunci puteți vedea că ele formează un moment relativ la centrul de greutate al secțiunii. În cazul general, îndoirea unui astfel de fascicul în plan XOZ va fi însoțită de răsucire.

Îndoirea grinzii nu este însoțită de răsucire dacă sarcina acționează într-un plan paralel cu XOZ trecând printr-un punct numit centrul cotului. Acest punct se caracterizează prin faptul că momentul tuturor forțelor tangențiale în secțiunea grinzii în raport cu acesta este zero.

Orez. 1.14. Tensiuni de forfecare în timpul îndoirii grinzii de canal (punctul A - centrul de îndoire)

Desemnarea distanței de la centrul curbei A de pe axa peretelui grinzii prin e, notăm condiția de egalitate la zero a momentului forțelor tangențiale relativ la punct A:

Unde Q 2 - forța de forfecare în perete, egală cu forța de forfecare, i.e. Q 2 =N;

Q 1 =Q 3 - efortul în centură, determinat pe baza (1.38) de dependență

Deformarea la forfecare (sau unghiul de forfecare) γ variază de-a lungul înălțimii peretelui grinzii în același mod ca și eforturile de forfecare τ , atingând cea mai mare valoare pe axa neutră.

După cum sa arătat, pentru grinzile cu curele, modificarea tensiunilor tăietoare de-a lungul înălțimii peretelui este foarte nesemnificativă. Acest lucru ne permite să luăm în considerare în continuare un anumit unghi mediu de forfecare în peretele grinzii

Deformarea prin forfecare duce la faptul că unghiul drept dintre planul secțiunii transversale a grinzii și tangenta la linia elastică se modifică cu valoarea γ mierÎn Fig. 1.15.

Orez. 1.15. Diagrama deformarii prin forfecare a unui element de grinda

Indicând săgeata de deviere cauzată de forfecarea prin w sdv, puteți scrie:

Luând în considerare regula semnului pentru forța de forfecare Nși unghiul de rotație pe care îl găsim

În măsura în care ,

Integrând (1.47), obţinem

Constant A, inclus în (1.48), determină deplasarea grinzii ca corp rigid și poate fi luată egală cu orice valoare, deoarece la determinarea săgeții totale a deformarii de la îndoire w exil și schimbare w SDV

apare suma constantelor de integrare w 0 +A determinată din condiţiile la limită. Aici w 0 - deformare de la îndoire la origine.

În cele ce urmează, punem A= 0. Apoi, expresia finală pentru linia elastică cauzată de forfecare ia forma

Componentele de încovoiere și forfecare ale liniei elastice sunt prezentate în Fig. 1.16.

Orez. 1.16. îndoire ( A) și forfecare ( b) componente ale liniei elastice a grinzii

În cazul considerat, unghiul de rotație al secțiunilor în timpul forfecarea este egal cu zero, prin urmare, ținând cont de forfecare, unghiurile de rotație ale secțiunilor, momentele încovoietoare și forțele de forfecare sunt asociate numai cu derivatele liniei elastice. de la îndoire:

Situația este oarecum diferită în cazul acțiunii asupra fasciculului de momente concentrate, care, așa cum se va arăta mai jos, nu provoacă deviații de la forfecare, ci conduc doar la o rotație suplimentară a secțiunilor grinzii.

Luați în considerare o grindă sprijinită liber pe suporturi rigide, în a cărei secțiune din stânga acte de moment M... Forța de forfecare în acest caz va fi constantă și egală

Pentru secțiunea de suport potrivită, respectiv, obținem

.(1.52)

Expresiile (1.51) și (1.52) pot fi rescrise ca

Expresiile dintre paranteze caracterizează adunarea relativă la unghiul de rotație a secțiunii cauzată de forfecare.

Dacă luăm în considerare, de exemplu, o grindă susținută liber încărcată în mijlocul travei sale de forță R(Fig. 1.18), atunci deformarea fasciculului sub forță va fi egală cu

Deformarea la îndoire poate fi găsită de pe mesele de îndoire ale grinzilor. Deformarea la forfecare se determină prin formula (1.50) ținând cont de faptul că .

Orez. 1.18. Diagrama unei grinzi susținute liber încărcate cu o forță concentrată

După cum se poate observa din formula (1.55), adunarea relativă la deformarea fasciculului datorată forfecarea are aceeași structură ca și adaosul relativ la unghiul de rotație, dar cu un coeficient numeric diferit.

Să introducem notația

unde β este un coeficient numeric care depinde de problema specifică luată în considerare, de dispunerea suporturilor și de sarcina grinzii.

Să analizăm dependența coeficientului k din diverși factori.

Dacă luăm în considerare că, în loc de (1.56) obținem

Momentul de inerție al unei secțiuni de grinzi poate fi întotdeauna reprezentat ca

,(1.58)

unde α este un coeficient numeric în funcție de forma și caracteristicile secțiunii transversale. Deci, pentru o grindă de profil I conform formulei (1.40) la ω = 2 F 1 găsi eu = ωh 2/3, adică α = 1/3.

Rețineți că odată cu creșterea dimensiunii flanșelor grinzii, coeficientul α va crește.

Ținând cont de (1.58), în loc de (1.57), putem scrie:

Astfel, valoarea coeficientului k depinde semnificativ de raportul dintre lungimea travei grinzii și înălțimea acesteia, de forma secțiunii (prin coeficientul α), dispozitivul suporturilor și sarcina grinzii (prin coeficientul β). Cu cât fasciculul este relativ mai lung ( h/L mic), cu atât efectul deformării prin forfecare este mai mic. Pentru grinzi de profil laminate aferente h/L mai mică de 1/10 ÷ 1/8, corectarea deplasării poate fi practic ignorată.

Cu toate acestea, pentru grinzile cu curele largi, cum ar fi, de exemplu, chila, stringers și flora din podeaua inferioară, efectul de forfecare și la nivelul specificat h/L poate fi semnificativ.

Trebuie remarcat faptul că deformațiile prin forfecare afectează nu numai creșterea deformațiilor grinzilor, ci, în unele cazuri, și rezultatele dezvăluirii indeterminației statice a grinzilor și a sistemelor de grinzi.

Ipoteza secțiunilor plate în încovoiere poate fi explicat printr-un exemplu: vom aplica pe suprafata laterala a unei grinzi neformate o plasa formata din linii drepte longitudinale si transversale (perpendiculare pe axa). Ca urmare a îndoirii grinzii, liniile longitudinale vor lua un contur curbat, iar liniile transversale vor rămâne practic drepte și perpendiculare pe axa curbă a grinzii.

Formularea ipotezei secțiunilor plane: secțiunile transversale care sunt plate și perpendiculare pe axa grinzii înainte, rămân plate și perpendiculare pe axa curbă după deformare.

Această împrejurare mărturiseşte: când ipoteza plată cât pentru și

Pe lângă ipoteza secțiunilor plate, se face o presupunere: fibrele longitudinale ale grinzii nu se apasă unele pe altele în timpul îndoirii sale.

Se numesc ipoteza secțiunilor plate și ipoteza ipoteza lui Bernoulli.

Luați în considerare o grindă cu secțiune transversală dreptunghiulară care suferă o îndoire pură (). Să selectăm un element de grindă cu o lungime (Fig. 7.8. A). Ca urmare a îndoirii, secțiunile transversale ale grinzii se vor roti, formând un unghi. Fibrele superioare sunt comprimate, iar cele inferioare sunt întinse. Raza de curbură a fibrei neutre se notează cu.

În mod convențional, presupunem că fibrele își schimbă lungimea, rămânând în același timp drepte (Fig. 7.8. B). Apoi alungirea absolută și relativă a fibrei distanțate la o distanță y de fibra neutră:

Să arătăm că fibrele longitudinale, care nu suferă tensiune sau compresie în timpul îndoirii grinzii, trec prin axa centrală principală x.

Deoarece lungimea grinzii nu se modifică în timpul îndoirii, forța longitudinală (N) care apare în secțiunea transversală trebuie să fie zero. Forță longitudinală elementară.

Având în vedere expresia :

Factorul poate fi luat în afara semnului integral (nu depinde de variabila de integrare).

Expresia reprezintă secțiunea transversală a fasciculului în jurul axei x neutre. Este zero atunci când axa neutră trece prin centrul de greutate al secțiunii transversale. În consecință, axa neutră (linia zero), când fasciculul este îndoit, trece prin centrul de greutate al secțiunii transversale.

În mod evident, momentul încovoietor este asociat cu solicitările normale care apar în punctele secțiunii transversale a barei. Momentul încovoietor elementar creat de forța elementară:

,

unde este momentul de inerție axial al secțiunii transversale față de axa neutră x, iar raportul este curbura axei fasciculului.

Rigiditate grinzi în îndoire(cu cât este mai mare, cu atât raza de curbură este mai mică).

Formula rezultată reprezintă Legea lui Hooke în îndoirea pentru o lansetă: momentul încovoietor generat în secțiune transversală este proporțional cu curbura axei grinzii.

Exprimarea razei de curbură () din formula legii lui Hooke pentru o tijă în timpul îndoirii și înlocuirea valorii acesteia în formula , obținem formula tensiunilor normale () într-un punct arbitrar al secțiunii transversale a grinzii, situat la o distanță y de axa neutră x:.

Valorile absolute ale momentului încovoietor () și distanța de la punct la axa neutră (coordonatele y) ar trebui înlocuite în formula pentru tensiunile normale () într-un punct arbitrar al secțiunii transversale a grinzii. Dacă solicitarea într-un punct dat va fi de tracțiune sau de compresiune este ușor de determinat din natura deformării grinzii sau din diagrama momentelor încovoietoare ale căror ordonate sunt așezate pe partea fibrelor comprimate ale grinzii.

Formula arată: tensiunile normale () variază de-a lungul înălțimii secțiunii transversale a grinzii conform unei legi liniare. În fig. 7.8, este prezentată o diagramă. Cele mai mari solicitări în timpul îndoirii grinzii apar în punctele cele mai îndepărtate de axa neutră. Dacă în secțiunea transversală a fasciculului este trasată o linie paralelă cu axa x neutră, atunci apar aceleași tensiuni normale în toate punctele sale.

Analiză necomplicată diagrame de stres normale arată că atunci când fasciculul este îndoit, materialul situat în apropierea axei neutre practic nu funcționează. Prin urmare, pentru a reduce greutatea grinzii, se recomandă selectarea unor astfel de forme de secțiune transversală în care cea mai mare parte a materialului este îndepărtată de pe axa neutră, cum ar fi, de exemplu, cu o grindă în I.