Tabelul integralelor completează cazuri speciale. Antiderivat

Să enumerăm integralele lui functii elementare, care sunt uneori numite tabulare:

Oricare dintre formulele de mai sus poate fi dovedită luând derivata din partea dreaptă (rezultatul va fi integrandul).

Metode de integrare

Să ne uităm la câteva metode de integrare de bază. Acestea includ:

1. Metoda de descompunere(integrare directă).

Această metodă se bazează pe utilizarea directă a integralelor tabulare, precum și pe utilizarea proprietăților 4 și 5 ale integralei nedefinite (adică, scoaterea factorului constant și/sau reprezentarea integrandul ca sumă de funcții - expansiune). funcția integrandîn termeni).

Exemplul 1. De exemplu, pentru a găsi(dx/x 4) puteți utiliza direct integrala tabelului pentrux n dx. De fapt,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Să ne uităm la câteva exemple suplimentare.

Exemplul 2. Pentru a-l găsi, folosim aceeași integrală:

Exemplul 3. Pentru a-l găsi trebuie să luați

Exemplul 4. Pentru a găsi, reprezentăm funcția integrand sub forma și folosiți integrala tabelului pentru funcția exponențială:

Să considerăm utilizarea bracketing-ului un factor constant.

Exemplul 5.Să găsim, de exemplu . Având în vedere asta, obținem

Exemplul 6. O vom găsi. Din moment ce , să folosim integrala tabelului Primim

În următoarele două exemple, puteți utiliza, de asemenea, paranteze și integrale de tabel:

Exemplul 7.

(folosim și );

Exemplul 8.

(folosim Şi ).

Să ne uităm la exemple mai complexe care folosesc integrala sumă.

Exemplul 9. De exemplu, să găsim
. Pentru a aplica metoda expansiunii în numărător, folosim formula cubului sumei , iar apoi împărțim polinomul rezultat la numitor, termen cu termen.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

De remarcat că la sfârșitul soluției se scrie o constantă comună C (și nu unele separate la integrarea fiecărui termen). În viitor, se mai propune omiterea constantelor din integrarea termenilor individuali în procesul de rezolvare atâta timp cât expresia conține cel puțin un integrală nedefinită(vom nota o constantă la sfârșitul soluției).

Exemplul 10. Vom găsi . Pentru a rezolva această problemă, să factorizăm numărătorul (după aceasta putem reduce numitorul).

Exemplul 11. O vom găsi. Identitățile trigonometrice pot fi folosite aici.

Uneori, pentru a descompune o expresie în termeni, trebuie să folosiți tehnici mai complexe.

Exemplul 12. Vom găsi . În integrand selectăm întreaga parte a fracției . Apoi

Exemplul 13. Vom găsi

2. Metoda de înlocuire a variabilei (metoda de înlocuire)

Metoda se bazează pe următoarea formulă: f(x)dx=f((t))`(t)dt, unde x =(t) este o funcție diferențiabilă pe intervalul luat în considerare.

Dovada. Să găsim derivatele în raport cu variabila t din partea stângă și dreaptă a formulei.

Rețineți că în partea stângă există o funcție complexă al cărei argument intermediar este x = (t). Prin urmare, pentru a o diferenția față de t, mai întâi diferențiem integrala față de x și apoi luăm derivata argumentului intermediar față de t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Derivată din partea dreaptă:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Deoarece aceste derivate sunt egale, prin corolar teoremei lui Lagrange, laturile stângă și dreaptă ale formulei care se dovedește diferă printr-o anumită constantă. Deoarece integralele nedefinite în sine sunt definite până la un termen constant nedefinit, această constantă poate fi omisă din notația finală. Dovedit.

O schimbare cu succes a variabilei vă permite să simplificați integrala originală și, în cele mai simple cazuri, să o reduceți la una tabelară. În aplicarea acestei metode, se face o distincție între metodele de substituție liniară și neliniară.

a) Metoda substituției liniare Să ne uităm la un exemplu.

Exemplul 1.
. Fie t= 1 – 2x, atunci

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Trebuie remarcat faptul că noua variabilă nu trebuie să fie scrisă în mod explicit. În astfel de cazuri, se vorbește despre transformarea unei funcții sub semn diferențial sau despre introducerea de constante și variabile sub semn diferențial, i.e. O înlocuirea implicită a variabilei.

Exemplul 2. De exemplu, să găsimcos(3x + 2)dx. Prin proprietățile diferențialei dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), atuncicos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

În ambele exemple luate în considerare, substituția liniară t=kx+b(k0) a fost folosită pentru a găsi integralele.

ÎN caz general următoarea teoremă este adevărată.

Teorema substituției liniare. Fie F(x) o antiderivată a funcției f(x). Atuncif(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, unde k și b sunt niște constante,k0.

Dovada.

Prin definiția integralei f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Să luăm factorul constant k din semnul integral: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Acum putem împărți părțile stânga și dreaptă ale egalității în două și obținem afirmația de demonstrat până la desemnarea termenului constant.

Această teoremă afirmă că dacă în definiția integralei f(x)dx= F(x) + C în loc de argumentul x înlocuim expresia (kx+b), aceasta va duce la apariția unei factorul 1/k în fața antiderivatei.

Folosind teorema dovedită, rezolvăm următoarele exemple.

Exemplul 3.

Vom găsi . Aici kx+b= 3 –x, adică k= -1,b= 3. Atunci

Exemplul 4.

O vom găsi. Herekx+b= 4x+ 3, adică k= 4,b= 3. Atunci

Exemplul 5.

Vom găsi . Aici kx+b= -2x+ 7, adică k= -2,b= 7. Atunci

Exemplul 6. Vom găsi
. Aici kx+b= 2x+ 0, adică k= 2,b= 0.

Să comparăm rezultatul obținut cu exemplul 8, care a fost rezolvat prin metoda de descompunere. Rezolvând aceeași problemă folosind o metodă diferită, am primit răspunsul
. Să comparăm rezultatele: Astfel, aceste expresii diferă între ele printr-un termen constant , adică Răspunsurile primite nu se contrazic.

Exemplul 7. Vom găsi
. Să selectăm un pătrat perfect la numitor.

În unele cazuri, schimbarea unei variabile nu reduce integrala direct la una tabelară, dar poate simplifica soluția, făcând posibilă utilizarea metodei de expansiune la un pas ulterior.

Exemplul 8. De exemplu, să găsim . Înlocuiți t=x+ 2, apoi dt=d(x+ 2) =dx. Apoi

unde C = C 1 – 6 (la înlocuirea expresiei (x+ 2) în loc de primii doi termeni obținem ½x 2 -2x– 6).

Exemplul 9. Vom găsi
. Fie t= 2x+ 1, apoi dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Să înlocuim expresia (2x+ 1) cu t, deschidem parantezele și dăm altele similare.

Rețineți că în procesul transformărilor am trecut la un alt termen constant, deoarece grupul de termeni constanți ar putea fi omis în timpul procesului de transformare.

b) Metoda substituției neliniare Să ne uităm la un exemplu.

Exemplul 1.
. Lett= -x 2. Apoi, se poate exprima x în termeni de t, apoi se găsește o expresie pentru dx și se implementează o modificare a variabilei în integrala dorită. Dar în în acest caz, Este mai ușor să o faci altfel. Să găsim dt=d(-x 2) = -2xdx. Rețineți că expresia xdx este un factor al integrandului integralei dorite. Să o exprimăm din egalitatea rezultatăxdx= - ½dt. Apoi

Funcția antiderivată și integrală nedefinită

Faptul 1. Integrarea este acțiunea inversă a diferențierii și anume restabilirea unei funcții din derivata cunoscută a acestei funcții. Funcția astfel restabilită F(x) se numește antiderivat pentru functie f(x).

Definiție 1. Funcție F(x f(x) pe un anumit interval X, dacă pentru toate valorile x din acest interval egalitatea este valabilă F "(x)=f(x), adică această funcție f(x) este derivata funcției antiderivative F(x). .

De exemplu, funcția F(x) = păcat x este o antiderivată a funcției f(x) = cos x pe întreaga dreaptă numerică, deoarece pentru orice valoare a lui x (păcat x)" = (cos x) .

Definiție 2. Integrală nedefinită a unei funcții f(x) este mulțimea tuturor antiderivatelor sale. În acest caz, se folosește notația

∫

f(x)dx

unde este semnul ∫ numit semn integral, funcția f(x) – funcția integrand și f(x)dx – expresie integrantă.

Astfel, dacă F(x) – unele antiderivate pt f(x), Asta

∫

f(x)dx = F(x) +C

Unde C - constantă arbitrară (constant).

Pentru a înțelege semnificația mulțimii de antiderivate ale unei funcții ca integrală nedefinită, este potrivită următoarea analogie. Să existe o ușă (tradițională usa de lemn). Funcția sa este de a „fi o ușă”. Din ce este făcută ușa? Din lemn. Aceasta înseamnă că mulțimea de antiderivate ale integrandului funcției „a fi o ușă”, adică integrala sa nedefinită, este funcția „a fi un arbore + C”, unde C este o constantă, care în acest context poate denotă, de exemplu, tipul de arbore. Așa cum o ușă este făcută din lemn folosind unele unelte, un derivat al unei funcții este „făcut” dintr-o funcție antiderivată folosind formule pe care le-am învățat în timp ce studiam derivata .

Apoi tabelul cu funcțiile obiectelor comune și antiderivatele lor corespunzătoare („a fi o ușă” - „a fi un copac”, „a fi o lingură” - „a fi metal”, etc.) este similar cu tabelul de bază. integrale nedefinite, care vor fi date mai jos. Tabelul de integrale nedefinite enumeră funcțiile comune cu o indicație a antiderivatelor din care sunt „facute” aceste funcții. În parte din problemele de găsire a integralei nedefinite, sunt dați integranți care pot fi integrați direct fără prea mult efort, adică folosind tabelul integralelor nedefinite. În problemele mai complexe, integrandul trebuie mai întâi transformat astfel încât integralele de tabel să poată fi utilizate.

Faptul 2. Când restabilim o funcție ca antiderivată, trebuie să luăm în considerare o constantă (constant) arbitrară C, iar pentru a nu scrie o listă de antiderivate cu diverse constante de la 1 la infinit, trebuie să scrieți un set de antiderivate cu o constantă arbitrară C, de exemplu, astfel: 5 x³+C. Deci, o constantă arbitrară (constant) este inclusă în expresia antiderivatei, deoarece antiderivatul poate fi o funcție, de exemplu, 5 x³+4 sau 5 x³+3 și când este diferențiat, 4 sau 3 sau orice altă constantă ajunge la zero.

Să punem problema integrării: pentru această funcție f(x) găsiți o astfel de funcție F(x), al cărui derivat egal cu f(x).

Exemplul 1. Aflați mulțimea de antiderivate ale unei funcții

Soluţie. Pentru această funcție, antiderivată este funcția

Funcţie F(x) se numește antiderivată pentru funcție f(x), dacă derivata F(x) este egal cu f(x), sau, ceea ce este același lucru, diferențială F(x) este egală f(x) dx, adică

(2)

Prin urmare, funcția este o antiderivată a funcției. Cu toate acestea, nu este singurul antiderivat pentru . Ele servesc și ca funcții

Unde CU– constantă arbitrară. Acest lucru poate fi verificat prin diferențiere.

Astfel, dacă există o singură antiderivată pentru o funcție, atunci pentru aceasta există un număr infinit de antiderivate care diferă printr-un termen constant. Toate antiderivatele pentru o funcție sunt scrise în forma de mai sus. Aceasta rezultă din următoarea teoremă.

Teoremă (enunțul formal al faptului 2). Dacă F(x) – antiderivată pentru funcție f(x) pe un anumit interval X, apoi orice alt antiderivat pentru f(x) pe același interval poate fi reprezentat sub formă F(x) + C, Unde CU– constantă arbitrară.

În exemplul următor, ne întoarcem la tabelul integralelor, care va fi dat în paragraful 3, după proprietățile integralei nedefinite. Facem acest lucru înainte de a citi întregul tabel, astfel încât esența celor de mai sus să fie clară. Și după tabel și proprietăți, le vom folosi în întregime în timpul integrării.

Exemplul 2. Găsiți seturi de primitive diferite funcții:

Soluţie. Găsim seturi de funcții antiderivate din care aceste funcții sunt „facute”. Când menționăm formule din tabelul integralelor, deocamdată acceptați doar că există astfel de formule acolo și vom studia tabelul integralelor nedefinite în sine puțin mai departe.

1) Aplicând formula (7) din tabelul de integrale pt n= 3, obținem

2) Folosind formula (10) din tabelul de integrale pentru n= 1/3, avem

3) Din moment ce

apoi conform formulei (7) cu n= -1/4 găsim

Nu funcția în sine este scrisă sub semnul integral. f, și produsul său prin diferenţial dx. Acest lucru se face în primul rând pentru a indica prin ce variabilă este căutat antiderivatul. De exemplu,

, ;

aici în ambele cazuri integrandul este egal cu , dar integralele sale nedefinite în cazurile considerate se dovedesc a fi diferite. În primul caz, această funcție este considerată ca o funcție a variabilei x, iar în al doilea - în funcție de z .

Procesul de găsire a integralei nedefinite a unei funcții se numește integrarea acelei funcții.

Sensul geometric al integralei nedefinite

Să presupunem că trebuie să găsim o curbă y=F(x)și știm deja că tangenta unghiului tangentei în fiecare dintre punctele sale este o funcție dată f(x) abscisa acestui punct.

După semnificația geometrică a derivatei, tangenta unghiului de înclinare a tangentei într-un punct dat al curbei y=F(x) egal cu valoarea derivatei F"(x). Deci trebuie să găsim o astfel de funcție F(x), pentru care F"(x)=f(x). Funcția necesară în sarcină F(x) este un antiderivat al f(x). Condițiile problemei sunt îndeplinite nu de o curbă, ci de o familie de curbe. y=F(x)- una dintre aceste curbe și orice altă curbă pot fi obținute din aceasta prin translație paralelă de-a lungul axei Oi.

Să numim graficul funcției antiderivative de f(x) curba integrala. Dacă F"(x)=f(x), apoi graficul funcției y=F(x) există o curbă integrală.

Faptul 3. Integrala nedefinită este reprezentată geometric prin familia tuturor curbelor integrale , ca in poza de mai jos. Distanța fiecărei curbe de la originea coordonatelor este determinată de o constantă de integrare arbitrară C.

Proprietățile integralei nedefinite

Faptul 4. Teorema 1. Derivata unei integrale nedefinite este egala cu integrandul, iar diferenta sa este egala cu integrandul.

Faptul 5. Teorema 2. Integrală nedefinită a diferenţialului unei funcţii f(x) este egală cu funcția f(x) până la un termen constant , adică

(3)

Teoremele 1 și 2 arată că diferențierea și integrarea sunt operații reciproc inverse.

Faptul 6. Teorema 3. Factorul constant din integrand poate fi scos din semnul integralei nedefinite , adică

Integrale principale pe care fiecare elev ar trebui să le cunoască

Integralele enumerate sunt baza, baza fundamentelor. Aceste formule trebuie cu siguranță reținute. Când calculați integrale mai complexe, va trebui să le utilizați în mod constant.

Vă rugăm să plătiți atenție deosebită la formulele (5), (7), (9), (12), (13), (17) și (19). Nu uitați să adăugați o constantă arbitrară C la răspunsul dvs. atunci când integrați!

Integrala unei constante

∫ A d x = A x + C (1)

Integrarea unei funcții de putere

De fapt, a fost posibil să ne limităm doar la formulele (5) și (7), dar restul integralelor din acest grup apar atât de des încât merită să le acordăm puțină atenție.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Integrale ale funcțiilor exponențiale și ale funcțiilor hiperbolice

Desigur, formula (8) (poate cea mai convenabilă pentru memorare) poate fi considerată ca caz special formule (9). Formulele (10) și (11) pentru integralele sinusului hiperbolic și cosinus hiperbolic sunt ușor derivate din formula (8), dar este mai bine să ne amintim pur și simplu aceste relații.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Integrale de bază ale funcțiilor trigonometrice

O greșeală pe care elevii o fac adesea este aceea că confundă semnele în formulele (12) și (13). Reținând că derivata sinusului este egală cu cosinusul, din anumite motive mulți oameni cred că integrala funcției sinx este egală cu cosx. Acest lucru nu este adevărat! Integrala sinusului este egală cu „minus cosinus”, dar integrala cosx este egală cu „doar sinusul”:

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Integrale care reduc la funcții trigonometrice inverse

Formula (16), care duce la arctangente, este în mod natural un caz special al formulei (17) pentru a=1. În mod similar, (18) este un caz special al lui (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Integrale mai complexe

De asemenea, este indicat să vă amintiți aceste formule. De asemenea, sunt folosite destul de des, iar producția lor este destul de obositoare.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln |
x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln |
x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |

x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23) ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Reguli generale de integrare

1) Integrală a sumei a două funcții

egal cu suma

integrale corespunzătoare: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Integrala diferenței a două funcții este egală cu diferența integralelor corespunzătoare: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

Important: nu există o formulă universală pentru integrala produsului a două funcții, precum și pentru integrala unei fracții:

∫ f (x) g (x) d x = ?

(30)

Aceasta nu înseamnă, desigur, că o fracțiune sau un produs nu poate fi integrat. Doar că de fiecare dată când vezi o integrală ca (30), va trebui să inventezi o modalitate de a „lupta” cu ea. În unele cazuri, integrarea pe părți vă va ajuta, în altele va trebui să faceți o schimbare de variabilă, iar uneori chiar formulele de algebră sau trigonometrie „școală” vă pot ajuta.

Un exemplu simplu de calcul al integralei nedefinite

Exemplul 1. Aflați integrala: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Să folosim formulele (25) și (26) (integrala sumei sau diferenței de funcții este egală cu suma sau diferența integralelor corespunzătoare. Se obține: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Să ne amintim că constanta poate fi scoasă din semnul integral (formula (27)). Expresia este convertită în formă 3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x Acum să folosim doar tabelul integralelor de bază. Va trebui să aplicăm formulele (3), (12), (8) și (1). Să ne integrăm

functie de putere

, sinus, exponențial și constantă 1. Să nu uităm să adăugăm o constantă arbitrară C la sfârșit: 3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C După

transformări elementare

obținem răspunsul final:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Testați-vă prin diferențiere: luați derivata funcției rezultate și asigurați-vă că este egală cu integrandul original.

Tabel rezumativ al integralelor

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ln | x | +C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln |

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |

x + x 2 + a 2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln |

x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

Descărcați tabelul de integrale (partea a II-a) de pe acest link

Dacă studiezi la o universitate, dacă ai dificultăți cu matematica superioară (analiza matematică, algebră liniară, teoria probabilităților, statistică), dacă ai nevoie de serviciile unui profesor calificat, mergi pe pagina unui profesor superior de matematică. Vom rezolva problemele dumneavoastră împreună!

S-ar putea să te intereseze și

Integrarea nu este greu de învățat. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să înveți un anumit set, destul de mic de reguli și să dezvolți un fel de instinct. Este, desigur, ușor de învățat regulile și formulele, dar este destul de greu de înțeles unde și când să aplici cutare sau cutare regulă de integrare sau diferențiere. Aceasta este, de fapt, capacitatea de integrare.

1. Antiderivat. Integrală nedefinită. Se presupune că, în momentul citirii acestui articol, cititorul are deja unele abilități de diferențiere (adică, găsirea derivatelor).

Definiția 1.1: O funcție se numește antiderivată a unei funcții dacă egalitatea este valabilă: Comentarii:> Accentul din cuvântul „primordial” poate fi pus în două moduri: în primul rând O figurativ sau prototip

Oștiind.

Proprietatea 1: Dacă o funcție este o antiderivată a unei funcții, atunci funcția este și o antiderivată a unei funcții.

Dovada: Să demonstrăm acest lucru din definiția unui antiderivat. Să găsim derivata funcției: Primul termen în

.

definiție 1.1

este egal cu , iar al doilea termen este derivata constantei, care este egală cu 0.

Să rezumam. Să notăm începutul și sfârșitul lanțului de egalități: Astfel, derivata unei funcții este egală cu , și de aceea, prin definiție, este antiderivată. Proprietatea a fost dovedită.

.

Definiția 1.2:

Integrala nedefinită a unei funcții este întregul set de antiderivate ale acestei funcții. Aceasta este indicată după cum urmează:

Să ne uităm la numele fiecărei părți a înregistrării în detaliu:

— denumirea generală a integralei;

Definiția 1.1:— expresie integrand (integrală), funcție integrabilă.

este o diferenţială, iar expresia de după litera , în acest caz este , se va numi variabila de integrare. Pentru a verifica dacă integrala este calculată corect, este necesar să găsim derivata rezultatului. Trebuie să coincidă cu integrantul.
Exemplu:
Exercita: Calculați integrala nedefinită și verificați.

Soluţie:

Modul în care se calculează această integrală nu contează în acest caz. Să presupunem că aceasta este o revelație de sus. Sarcina noastră este să arătăm că revelația nu ne-a înșelat, iar acest lucru se poate face prin verificare.

Examinare:

La diferențierea rezultatului am obținut un integrand, ceea ce înseamnă că integrala a fost calculată corect.

2. Început. Tabelul integralelor.

Pentru a integra, nu trebuie să vă amintiți de fiecare dată funcția a cărei derivată este egală cu integrandul dat (adică, utilizați direct definiția integralei). Fiecare colecție de probleme sau manual de analiză matematică conține o listă de proprietăți ale integralelor și un tabel cu cele mai simple integrale.

Să enumeram proprietățile.

Proprietăți:
1.
Integrala diferenţialului este egală cu variabila de integrare.
2. , unde este o constantă.
Multiplicatorul constant poate fi scos din semnul integral.

3.
Integrala unei sume este egală cu suma integralelor (dacă numărul de termeni este finit).
Tabelul integralelor:

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

Cel mai adesea, sarcina este de a reduce integrala studiată la una tabelară folosind proprietăți și formule.

Exemplu:

[Să folosim a treia proprietate a integralelor și să o scriem ca sumă a trei integrale.]

[Să folosim a doua proprietate și să mutam constantele dincolo de semnul de integrare.]

[ În prima integrală vom folosi integrala de tabel nr. 1 (n=2), în a doua vom folosi aceeași formulă, dar n=1, iar pentru a treia integrală putem fie folosi aceeași integrală de tabel, dar cu n=0, sau prima proprietate.
.
Să verificăm prin diferențiere:

Integrandul original a fost obținut, prin urmare, integrarea a fost efectuată fără erori (și nici măcar nu a fost uitată adăugarea unei constante arbitrare C).

Integralele tabelului trebuie învățate pe de rost dintr-un motiv simplu - pentru a ști pentru ce să lupți, de exemplu. cunoaşte scopul transformării unei expresii date.

Iată încă câteva exemple:
1)
2)
3)

Sarcini pentru soluție independentă:

Sarcina 1. Calculați integrala nedefinită:

+ Afișați/ascundeți indiciu #1.

1) Folosiți a treia proprietate și reprezentați această integrală ca sumă a trei integrale.

+ Afișați/ascundeți indiciu nr. 2.

+ Afișați/ascundeți indiciu nr. 3.

3) Pentru primii doi termeni, utilizați prima integrală tabelară, iar pentru a treia, utilizați a doua integrală tabelară.

+ Afișați/ascundeți soluția și răspunsul.

4) Soluție:

Răspuns:

Într-un material anterior, a fost luată în considerare problema găsirii derivatului și a acestuia aplicatii diverse: calcularea coeficientului unghiular al unei tangente la un grafic, rezolvarea problemelor de optimizare, studierea funcțiilor pentru monotonitate și extreme. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$

Figura 1.

S-a luat în considerare și problema găsirii vitezei instantanee $v(t)$ folosind derivata de-a lungul unui drum cunoscut anterior, exprimată prin funcția $s(t)$.

Figura 2.

Problema inversă este de asemenea foarte comună, atunci când trebuie să găsiți calea $s(t)$ parcursă de un punct în timp $t$, cunoscând viteza punctului $v(t)$. Dacă ne amintim, viteza instantanee $v(t)$ se găsește ca derivată a funcției de cale $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. Aceasta înseamnă că pentru a rezolva problema inversă, adică pentru a calcula calea, trebuie să găsiți o funcție a cărei derivată va fi egală cu funcția viteză. Dar știm că derivata traseului este viteza, adică: $s’(t) = v(t)$. Viteza este egală cu accelerația în timp: $v=at$. Este ușor de determinat că funcția de cale dorită va avea forma: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Dar aceasta nu este o soluție completă. Soluția completă va avea forma: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, unde $C$ este o constantă. De ce este așa, vom discuta în continuare. Deocamdată, să verificăm corectitudinea soluției găsite: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v(t)$.

Este de remarcat faptul că găsirea unei căi bazate pe viteză este sens fizic antiderivat.

Funcția rezultată $s(t)$ se numește antiderivată a funcției $v(t)$. Destul de interesant și nume neobișnuit, nu-i aşa? Conține o mulțime de semnificații care explică esența acest conceptși duce la înțelegerea lui. Veți observa că conține două cuvinte „primul” și „imagine”. Ei vorbesc de la sine. Adică aceasta este funcția care este cea inițială pentru derivata pe care o avem. Și folosind această derivată căutăm funcția care a fost la început, a fost „prima”, „prima imagine”, adică antiderivată. Uneori este numită și funcție primitivă sau antiderivată.

După cum știm deja, procesul de găsire a derivatei se numește diferențiere. Iar procesul de găsire a antiderivatei se numește integrare. Operația de integrare este inversa operației de diferențiere. Este adevărat și invers.

Definiţie. O antiderivată pentru o funcție $f(x)$ pe un anumit interval este o funcție $F(x)$ a cărei derivată este egală cu această funcție $f(x)$ pentru toți $x$ din intervalul specificat: $F' (x)=f (x)$.

Cineva poate avea o întrebare: de unde au venit $F(x)$ și $f(x)$ în definiție, dacă inițial am vorbit despre $s(t)$ și $v(t)$. Cert este că $s(t)$ și $v(t)$ sunt cazuri speciale de desemnare a funcției care au o semnificație specifică în acest caz, adică sunt o funcție de timp și, respectiv, o funcție de viteză. La fel este și cu variabila $t$ - denotă timpul. Și $f$ și $x$ – varianta traditionala desemnarea generală a unei funcții și, respectiv, a unei variabile. Merită să acordați o atenție deosebită notării antiderivatei $F(x)$. În primul rând, $F$ este capital. Antiderivatele sunt desemnate cu majuscule. În al doilea rând, literele sunt aceleași: $F$ și $f$. Adica pentru functia $g(x)$ antiderivata va fi notata cu $G(x)$, pentru $z(x)$ – cu $Z(x)$. Indiferent de notație, regulile pentru găsirea unei funcții antiderivate sunt întotdeauna aceleași.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 1. Demonstrați că funcția $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ este o antiderivată a funcției $f(x)=\cos5x$.

Pentru a demonstra acest lucru vom folosi definiția și mai precis cel faptul că $F'(x)=f(x)$ și găsiți derivata funcției $F(x)$: $F'(x)=(\frac(1)(5) \sin5x)'= \frac (1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Aceasta înseamnă că $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ este antiderivată a lui $f(x)=\cos5x$. Q.E.D.

Exemplul 2. Aflați care funcții corespund următoarelor antiderivate: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.

Pentru a găsi funcțiile necesare, să calculăm derivatele lor:
a) $F’(z)=(\tg z)’=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$.

Exemplul 3. Care va fi antiderivată pentru $f(x)=0$?
Să folosim definiția. Să ne gândim ce funcție poate avea o derivată egală cu $0$. Reamintind tabelul derivatelor, aflăm că orice constantă va avea o astfel de derivată. Constatăm că antiderivată pe care o căutăm este: $F(x)= C$.

Soluția rezultată poate fi explicată geometric și fizic. Geometric, înseamnă că tangenta la graficul $y=F(x)$ este orizontală în fiecare punct al acestui grafic și, prin urmare, coincide cu axa $Ox$. Fizic se explică prin faptul că un punct are o viteză egal cu zero, rămâne pe loc, adică drumul pe care l-a parcurs este neschimbat. Pe baza acestui fapt, putem formula următoarea teoremă.

Teorema. (Semn de constanță a funcțiilor). Dacă pe un interval $F’(x) = 0$, atunci funcția $F(x)$ pe acest interval este constantă.

Exemplul 4. Determinați care funcții sunt antiderivate ale a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, unde $a$ este un număr.
Folosind definiția unei antiderivate, ajungem la concluzia că pentru a rezolva această problemă trebuie să calculăm derivatele funcțiilor antiderivate care ne sunt date. Când calculați, amintiți-vă că derivata unei constante, adică a oricărui număr, este egală cu zero.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)’= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)’ = x^6$.

Ce vedem? Mai multe funcții diferite sunt primitive ale aceleiași funcții. Aceasta sugerează că orice funcție are infinit de antiderivate și au forma $F(x) + C$, unde $C$ este o constantă arbitrară. Adică operația de integrare este multivalorică, spre deosebire de operația de diferențiere. Pe baza acesteia, să formulăm o teoremă care descrie proprietatea principală a antiderivatelor.

Teorema. (Principala proprietate a antiderivatelor). Fie funcțiile $F_1$ și $F_2$ să fie antiderivate ale funcției $f(x)$ pe un anumit interval. Atunci pentru toate valorile din acest interval este adevărată următoarea egalitate: $F_2=F_1+C$, unde $C$ este o constantă.

Faptul prezenței unui număr infinit de antiderivate poate fi interpretat geometric. Folosind translația paralelă de-a lungul axei $Oy$, se pot obține unul de la celălalt graficele oricăror două antiderivate pentru $f(x)$. Aceasta este sens geometric antiderivat.

Este foarte important să acordați atenție faptului că prin alegerea constantei $C$ vă puteți asigura că graficul antiderivatei trece printr-un anumit punct.

Figura 3.

Exemplul 5. Găsiți o antiderivată pentru funcția $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$, al cărei grafic trece prin punctul $(3; 1)$.
Să găsim mai întâi toate antiderivatele pentru $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
În continuare, vom găsi un număr C pentru care graficul $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ va trece prin punctul $(3; 1)$. Pentru a face acest lucru, înlocuim coordonatele punctului în ecuația grafică și o rezolvăm pentru $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Am obținut un grafic $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, care corespunde antiderivatei $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.

Tabel cu antiderivate

Un tabel de formule pentru găsirea antiderivate poate fi compilat folosind formule pentru găsirea derivatelor.

Tabel cu antiderivate

Funcții	Antiderivate
$0$	$C$
$1$	$x+C$
$a\în R$	$ax+C$
$x^n, n\ne1$	$\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$
$\displaystyle \frac(1)(x)$	$\ln\|x\|+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$	$-\ctg x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$	$\tg x+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x, a>0, a\ne1$	$\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$
$\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arcsin x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arccos x+C$
$\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$	$\arctg x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$	$\arcctg x+C$

Puteți verifica corectitudinea tabelului în felul următor: pentru fiecare set de antiderivate situat în coloana din dreapta, găsiți derivata, care va avea ca rezultat funcțiile corespunzătoare în coloana din stânga.

Câteva reguli pentru găsirea antiderivatelor

După cum știți, multe funcții au mai multe aspect complex, mai degrabă decât cele indicate în tabelul de antiderivate și poate reprezenta orice combinație arbitrară de sume și produse ale funcțiilor din acest tabel. Și aici apare întrebarea: cum se calculează antiderivatele unor astfel de funcții. De exemplu, din tabel știm cum să calculăm antiderivatele $x^3$, $\sin x$ și $10$. Cum, de exemplu, se poate calcula antiderivata $x^3-10\sin x$? Privind în viitor, merită remarcat faptul că va fi egal cu $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Dacă $F(x)$ este antiderivată pentru $f(x)$, $G(x)$ pentru $g(x)$, atunci pentru $f(x)+g(x)$ antiderivată va fi egal cu $ F(x)+G(x)$.
2. Dacă $F(x)$ este o antiderivată pentru $f(x)$ și $a$ este o constantă, atunci pentru $af(x)$ antiderivată este $aF(x)$.
3. Dacă pentru $f(x)$ antiderivată este $F(x)$, $a$ și $b$ sunt constante, atunci $\frac(1)(a) F(ax+b)$ este antiderivată pentru $f (ax+b)$.
Folosind regulile obținute putem extinde tabelul de antiderivate.

Funcții	Antiderivate
$(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$	$\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$
$\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\ln\|ax+b\|+C$
$e^(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$
$\sin(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$
$\cos(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$