Când derivata unei funcții este negativă. În ce moment este derivata cea mai mare?

Problema B9 oferă un grafic al unei funcții sau derivate din care trebuie să determinați una dintre următoarele mărimi:

Valoarea derivatei la un punct x 0,
Puncte maxime sau minime (puncte extreme),
Intervale de funcții crescătoare și descrescătoare (intervale de monotonitate).

Funcțiile și derivatele prezentate în această problemă sunt întotdeauna continue, făcând soluția mult mai ușoară. În ciuda faptului că sarcina aparține secțiunii de analiză matematică, chiar și cei mai slabi elevi o pot face, deoarece nu sunt necesare cunoștințe teoretice profunde aici.

Pentru a găsi valoarea derivatei, punctelor extreme și intervalelor de monotonitate, există algoritmi simpli și universali - toți vor fi discutați mai jos.

Citiți cu atenție condițiile problemei B9 pentru a nu face greșeli stupide: uneori dați peste texte destul de lungi, dar conditii importante, care influențează cursul deciziei, sunt puține.

Calculul valorii derivate. Metoda în două puncte

Dacă problemei i se dă un grafic al unei funcții f(x), tangentă la acest grafic la un punct x 0 și este necesar să se găsească valoarea derivatei în acest punct, se aplică următorul algoritm:

Găsiți două puncte „adecvate” pe graficul tangentei: coordonatele lor trebuie să fie întregi. Să notăm aceste puncte ca A (x 1 ; y 1) și B (x 2 ; y 2). Notați corect coordonatele - asta este punct cheie soluții, iar orice greșeală aici are ca rezultat un răspuns incorect.
Cunoscând coordonatele, este ușor de calculat incrementul argumentului Δx = x 2 − x 1 și incrementul funcției Δy = y 2 − y 1 .
În final, găsim valoarea derivatei D = Δy/Δx. Cu alte cuvinte, trebuie să împărțiți incrementul funcției cu incrementul argumentului - și acesta va fi răspunsul.

Să remarcăm încă o dată: punctele A și B trebuie căutate exact pe tangentă, și nu pe graficul funcției f(x), așa cum se întâmplă adesea. Linia tangentă va conține în mod necesar cel puțin două astfel de puncte - altfel problema nu va fi formulată corect.

Luați în considerare punctele A (−3; 2) și B (−1; 6) și găsiți incrementele:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Să aflăm valoarea derivatei: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al funcției y = f(x) și o tangentă la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0 .

Luați în considerare punctele A (0; 3) și B (3; 0), găsiți incrementele:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Acum găsim valoarea derivatei: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al funcției y = f(x) și o tangentă la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0 .

Luați în considerare punctele A (0; 2) și B (5; 2) și găsiți incrementele:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Rămâne de găsit valoarea derivatei: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Din ultimul exemplu putem formula o regulă: dacă tangenta este paralelă cu axa OX, derivata funcției în punctul de tangență este zero. În acest caz, nici măcar nu trebuie să numărați nimic - doar uitați-vă la grafic.

Calculul punctelor maxime și minime

Uneori, în loc de graficul unei funcții, problema B9 oferă un grafic al derivatei și necesită găsirea punctului maxim sau minim al funcției. În această situație, metoda în două puncte este inutilă, dar există un alt algoritm și mai simplu. Mai întâi, să definim terminologia:

Punctul x 0 se numește punctul maxim al funcției f(x) dacă în vreo vecinătate a acestui punct este valabilă următoarea inegalitate: f(x 0) ≥ f(x).
Punctul x 0 se numește punctul minim al funcției f(x) dacă într-o vecinătate a acestui punct este valabilă următoarea inegalitate: f(x 0) ≤ f(x).

Pentru a găsi punctele maxime și minime pe graficul derivat, urmați acești pași:

Redesenați graficul derivat, eliminând toate informațiile inutile. După cum arată practica, datele inutile doar interferează cu decizia. Prin urmare, marchem zerourile derivatei pe axa de coordonate - și asta este tot.
Aflați semnele derivatei pe intervalele dintre zerouri. Dacă pentru un punct x 0 se știe că f'(x 0) ≠ 0, atunci sunt posibile doar două opțiuni: f'(x 0) ≥ 0 sau f'(x 0) ≤ 0. Semnul derivatei este ușor de determinat din desenul original: dacă graficul derivat se află deasupra axei OX, atunci f'(x) ≥ 0. Și invers, dacă graficul derivat se află sub axa OX, atunci f'(x) ≤ 0.
Verificăm din nou zerourile și semnele derivatei. Acolo unde semnul se schimbă de la minus la plus este punctul minim. În schimb, dacă semnul derivatei se schimbă de la plus la minus, acesta este punctul maxim. Numărarea se face întotdeauna de la stânga la dreapta.

Această schemă funcționează numai pentru funcții continue - nu există altele în problema B9.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−5; 5]. Aflați punctul minim al funcției f(x) pe acest segment.

Să scăpăm de informațiile inutile și să lăsăm doar granițele [−5; 5] și zerourile derivatei x = −3 și x = 2,5. De asemenea, notăm semnele:

Evident, în punctul x = −3 semnul derivatei se schimbă din minus în plus. Acesta este punctul minim.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−3; 7]. Aflați punctul maxim al funcției f(x) pe acest segment.

Să redesenăm graficul, lăsând doar limitele [−3; 7] și zerourile derivatei x = −1,7 și x = 5. Să notăm semnele derivatei pe graficul rezultat. Avem:

Evident, în punctul x = 5 semnul derivatei se schimbă de la plus la minus - acesta este punctul maxim.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−6; 4]. Aflați numărul de puncte maxime ale funcției f(x) aparținând segmentului [−4; 3].

Din condițiile problemei rezultă că este suficient să se considere doar partea din grafic limitată de segmentul [−4; 3]. Prin urmare, construim un nou grafic pe care marchem doar granițele [−4; 3] și zerourile derivatei din interiorul acesteia. Și anume, punctele x = −3,5 și x = 2. Se obține:

Pe acest grafic există un singur punct maxim x = 2. În acest punct semnul derivatei se schimbă de la plus la minus.

O mică notă despre punctele cu coordonate care nu sunt întregi. De exemplu, în ultima problemă a fost considerat punctul x = −3,5, dar cu același succes putem lua x = −3,4. Dacă problema este scrisă corect, astfel de modificări nu ar trebui să afecteze răspunsul, deoarece punctele „fără loc anume rezidență” nu participă direct la rezolvarea problemei. Desigur, acest truc nu va funcționa cu puncte întregi.

Găsirea intervalelor de funcții crescătoare și descrescătoare

Într-o astfel de problemă, precum punctele maxime și minime, se propune utilizarea graficului derivat pentru a găsi zone în care funcția în sine crește sau scade. Mai întâi, să definim ce sunt creșterea și descreșterea:

Se spune că o funcție f(x) este în creștere pe un segment dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 din acest segment este adevărată următoarea afirmație: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Cu alte cuvinte, cu cât valoarea argumentului este mai mare, cu atât valoarea funcției este mai mare.
O funcție f(x) se numește descrescătoare pe un segment dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 din acest segment este adevărată următoarea afirmație: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Aceste. valoare mai mare argumentul corespunde valorii mai mici a funcției.

Să formulăm conditii suficiente ascendent si descendent:

Pentru a functie continua f(x) crește pe segment , este suficient ca derivata sa în interiorul segmentului să fie pozitivă, adică. f’(x) ≥ 0.
Pentru ca o funcție continuă f(x) să scadă pe segment, este suficient ca derivata ei în interiorul segmentului să fie negativă, adică. f’(x) ≤ 0.

Să acceptăm aceste afirmații fără dovezi. Astfel, obținem o schemă pentru găsirea intervalelor de creștere și descreștere, care este în multe privințe similară cu algoritmul de calcul al punctelor extreme:

Eliminați toate informațiile inutile. În graficul original al derivatei, ne interesează în primul rând zerourile funcției, așa că le vom lăsa doar pe acestea.
Marcați semnele derivatei la intervalele dintre zerouri. Unde f’(x) ≥ 0, funcția crește, iar unde f’(x) ≤ 0, ea scade. Dacă problema stabilește restricții asupra variabilei x, le marchem suplimentar pe un nou grafic.
Acum că știm comportamentul funcției și constrângerile, rămâne de calculat cantitatea necesară în problemă.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−3; 7,5]. Aflați intervalele de scădere ale funcției f(x). În răspunsul dvs., indicați suma numerelor întregi incluse în aceste intervale.

Ca de obicei, să redesenăm graficul și să marchem limitele [−3; 7.5], precum și zerourile derivatei x = −1.5 și x = 5.3. Apoi notăm semnele derivatei. Avem:

Deoarece derivata este negativă pe intervalul (− 1,5), acesta este intervalul funcției descrescătoare. Rămâne să însumăm toate numerele întregi care se află în acest interval:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x), definită pe intervalul [−10; 4]. Aflați intervalele de creștere ale funcției f(x). În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre ele.

Să scăpăm de informațiile inutile. Să lăsăm doar limitele [−10; 4] și zerourile derivatei, dintre care au fost patru de data aceasta: x = −8, x = −6, x = −3 și x = 2. Să marchem semnele derivatei și să obținem următoarea imagine:

Suntem interesați de intervalele funcției crescătoare, i.e. astfel încât f’(x) ≥ 0. Există două astfel de intervale pe grafic: (−8; −6) și (−3; 2). Să le calculăm lungimile:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Deoarece trebuie să găsim lungimea celui mai mare dintre intervale, notăm valoarea l 2 = 5 ca răspuns.

(Fig.1)

Figura 1. Graficul derivat

Proprietățile graficului derivat

La intervale crescătoare, derivata este pozitivă. Dacă derivata la un anumit punct dintr-un anumit interval are valoare pozitivă, atunci graficul funcției crește pe acest interval.
La intervale descrescătoare, derivata este negativă (cu semnul minus). Dacă derivata la un anumit punct dintr-un anumit interval are o valoare negativă, atunci graficul funcției scade pe acest interval.
Derivata in punctul x este egala cu panta tangentei trasate la graficul functiei in acelasi punct.
În punctele maxim și minim ale funcției, derivata este egală cu zero. Tangenta la graficul funcției în acest punct este paralelă cu axa OX.

Exemplul 1

Folosind graficul (Fig. 2) al derivatei, determinați în ce punct al segmentului [-3; 5] este maximă.

Figura 2. Graficul derivat

Soluție: Pe acest segment, derivata este negativă, ceea ce înseamnă că funcția scade de la stânga la dreapta și cea mai mare valoare este situat pe partea stângă la punctul -3.

Exemplul 2

Folosind graficul (Fig. 3) al derivatei, determinați numărul de puncte maxime de pe segmentul [-11; 3].

Figura 3. Graficul derivat

Rezolvare: Punctele maxime corespund punctelor în care semnul derivatei se schimbă de la pozitiv la negativ. În acest interval, funcția își schimbă semnul de la plus la minus de două ori - la punctul -10 și la punctul -1. Aceasta înseamnă că numărul maxim de puncte este de două.

Exemplul 3

Folosind graficul (Fig. 3) al derivatei, determinați numărul de puncte minime din segmentul [-11; -1].

Rezolvare: Punctele minime corespund punctelor în care semnul derivatei se schimbă din negativ în pozitiv. Pe acest segment, un astfel de punct este doar -7. Aceasta înseamnă că numărul minim de puncte pe un anumit segment este unul.

Exemplul 4

Folosind graficul (Fig. 3) al derivatei, determinați numărul de puncte extreme.

Soluție: Punctele extreme sunt atât punctele minime, cât și cele maxime. Să aflăm numărul de puncte la care derivata își schimbă semnul.

Arătând legătura dintre semnul derivatei și natura monotonității funcției.

Vă rugăm să fiți extrem de atenți la următoarele. Uite, programul CE ți se dă! Funcția sau derivata ei

Dacă se oferă un grafic al derivatei, atunci ne vor interesa doar semnele și zerourile funcției. În principiu, nu ne interesează niciun „deal” sau „hollow”!

Sarcina 1.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite pe interval. Determinați numărul de puncte întregi la care derivata funcției este negativă.

Soluţie:

În figură, zonele cu funcție descrescătoare sunt evidențiate în culoare:

Aceste regiuni descrescătoare ale funcției conțin 4 valori întregi.

Sarcina 2.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite pe interval. Aflați numărul de puncte la care tangenta la graficul funcției este paralelă sau coincide cu dreapta.

Soluţie:

Odată ce tangenta la graficul unei funcții este paralelă (sau coincide) cu o dreaptă (sau, care este același lucru), având pantă , egal cu zero, atunci tangenta are și un coeficient unghiular.

Aceasta înseamnă, la rândul său, că tangenta este paralelă cu axa, deoarece panta este tangenta unghiului de înclinare a tangentei la axă.

Prin urmare, găsim puncte extreme (puncte maxime și minime) pe grafic - tocmai în aceste puncte funcțiile tangente la grafic vor fi paralele cu axa.

Există 4 astfel de puncte.

Sarcina 3.

Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe interval. Aflați numărul de puncte la care tangenta la graficul funcției este paralelă sau coincide cu dreapta.

Soluţie:

Deoarece tangenta la graficul unei funcții este paralelă (sau coincide) cu o dreaptă care are o pantă, atunci tangenta are și o pantă.

Aceasta, la rândul său, înseamnă că la punctele de atingere.

Prin urmare, ne uităm la câte puncte de pe grafic au o ordonată egală cu .

După cum puteți vedea, există patru astfel de puncte.

Sarcina 4.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite pe interval. Aflați numărul de puncte la care derivata funcției este 0.

Soluţie:

Derivata este egala cu zero la punctele extreme. Avem 4 dintre ele:

Sarcina 5.

Figura prezintă un grafic al unei funcții și unsprezece puncte pe axa x:. În câte dintre aceste puncte derivata funcției este negativă?

Soluţie:

La intervale de funcție descrescătoare, derivata sa ia valori negative. Și funcția scade la puncte. Există 4 astfel de puncte.

Sarcina 6.

Figura prezintă un grafic al unei funcții definite pe interval. Aflați suma punctelor extreme ale funcției.

Soluţie:

Puncte extreme– acestea sunt punctele maxime (-3, -1, 1) și punctele minime (-2, 0, 3).

Suma punctelor extreme: -3-1+1-2+0+3=-2.

Sarcina 7.

Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe interval. Aflați intervalele de creștere ale funcției. În răspunsul dvs., indicați suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.

Soluţie:

Figura evidențiază intervalele în care derivata funcției este nenegativă.

Nu există puncte întregi pe intervalul crescător mic, există patru valori întregi: , și .

Suma lor:

Sarcina 8.

Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe interval. Aflați intervalele de creștere ale funcției. În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre ele.

Soluţie:

În figură, toate intervalele la care derivata este pozitivă sunt evidențiate color, ceea ce înseamnă că funcția în sine crește pe aceste intervale.

Lungimea celui mai mare dintre ele este de 6.

Sarcina 9.

Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe interval. În ce punct al segmentului capătă cea mai mare valoare?

Soluţie:

Să vedem cum se comportă graficul pe segment, care este ceea ce ne interesează doar semnul derivatului .

Semnul derivatei pe este minus, deoarece graficul acestui segment este sub axă.

La un interval dat, funcția are 2 maxime și 2 minime, pentru un total de 4 extreme. Atribuire Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe un interval. Soluție Pe un segment dat, derivata funcției este pozitivă, deci funcția crește pe acest segment. Soluție Dacă derivata într-un anumit punct este egală cu zero și în vecinătatea ei își schimbă semnul, atunci acesta este un punct extremum.

Calculul valorii derivate. Metoda în două puncte

1. Folosind graficul derivat, examinați funcția. Funcția y=f(x) scade pe intervalele (x1;x2) și (x3;x4). Folosind graficul derivatei y=f ‘(x) puteți compara și valorile funcției y=f(x).

Să notăm aceste puncte ca A (x1; y1) și B (x2; y2). Notați corect coordonatele - acesta este punctul cheie al soluției, iar orice greșeală aici duce la un răspuns incorect.

ÎN simțul fizic derivata este rata de schimbare a oricărui proces. Un punct material se deplasează rectiliniu conform legii x(t) = t²-13t+23, unde x este distanța de la punctul de referință în metri, t este timpul în secunde, măsurat de la începutul mișcării.

Tangent la un cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă.

Permiteți-mi să vă reamintesc că sună așa: o funcție se numește crescător/descrescător pe un interval dacă unui argument mai mare al funcției îi corespunde o valoare mai mare/mai mică a funcției. Dar vă rugăm să priviți soluția dvs. la problema 7089. Acolo, atunci când specificați intervale crescătoare, limitele nu sunt incluse. Vă rugăm să rețineți că graficul derivat este dat. Ca de obicei: punctul perforat nu se află pe grafic, valorile din acesta nu există și nu sunt luate în considerare. Copiii bine pregătiți fac distincția între conceptele „derivat” și „derivată a doua”. Sunteți confuz: dacă derivata ar fi 0, atunci în acel punct funcția ar putea avea un minim sau un maxim. Valorile negative ale derivatei corespund intervalelor în care funcția f(x) scade.

Până în acest moment, am fost ocupați să găsim ecuații pentru tangente la grafice ale funcțiilor cu o singură valoare de forma y = f(x) în diferite puncte.

Figura de mai jos arată trei secante de fapt diferite (punctele A și B sunt diferite), dar ele coincid și sunt date de o singură ecuație. Dar totuși, dacă pornim de la definiție, atunci linia dreaptă și linia ei secantă coincid. Să începem să găsim coordonatele punctelor tangente. Vă rugăm să acordați atenție acestuia, deoarece mai târziu îl vom folosi la calcularea ordonatelor punctelor tangente. O hiperbolă cu un centru într-un punct și vârfuri și este dată de egalitate (figura de mai jos din stânga) și cu vârfuri și de egalitate (figura de mai jos din dreapta). Apare o întrebare logică: cum să determinați cărei funcție îi aparține un punct. Pentru a răspunde, înlocuim coordonatele în fiecare ecuație și vedem care dintre egalități se transformă într-o identitate.

Uneori, elevii întreabă ce este o tangentă la graficul unei funcții. Aceasta este o linie dreaptă care are un singur punct comun cu graficul din această secțiune și așa cum se arată în figura noastră. Arată ca o tangentă la un cerc. O vom găsi. Ne amintim că tangentei unui unghi ascuțit în triunghi dreptunghic egal cu raportul dintre latura opusă și latura adiacentă. Pe grafic, aceasta corespunde unei ruperi ascuțite, când este imposibil să desenați o tangentă într-un punct dat. Cum să găsiți derivata dacă funcția este dată nu de un grafic, ci de o formulă?

Derivata unei funcții este unul dintre subiectele dificile în programa școlară. Nu fiecare absolvent va răspunde la întrebarea ce este un derivat.

Acest articol explică într-un mod simplu și clar ce este un derivat și de ce este necesar.. Nu ne vom strădui acum pentru rigoare matematică în prezentare. Cel mai important lucru este să înțelegeți sensul.

Să ne amintim definiția:

Derivata este rata de schimbare a unei functii.

Figura prezintă grafice a trei funcții. Care crezi că crește mai repede?

Răspunsul este evident - al treilea. Are cea mai mare rată de schimbare, adică cea mai mare derivată.

Iată un alt exemplu.

Kostya, Grisha și Matvey au primit locuri de muncă în același timp. Să vedem cum s-au schimbat veniturile lor în cursul anului:

Graficul arată totul deodată, nu-i așa? Venitul lui Kostya s-a dublat în șase luni. Și venitul lui Grisha a crescut, dar doar puțin. Și venitul lui Matvey a scăzut la zero. Condițiile de pornire sunt aceleași, dar rata de schimbare a funcției, adică derivat, - diferit. În ceea ce privește Matvey, derivatul său de venit este în general negativ.

Intuitiv, estimăm cu ușurință rata de schimbare a unei funcții. Dar cum facem asta?

Ceea ce ne uităm cu adevărat este cât de abrupt urcă (sau jos) graficul unei funcții. Cu alte cuvinte, cât de repede se schimbă y pe măsură ce x se schimbă? Evident, aceeași funcție poate avea în puncte diferite sens diferit derivat - adică se poate schimba mai repede sau mai lent.

Derivata unei functii se noteaza .

Vă vom arăta cum să-l găsiți folosind un grafic.

A fost desenat un grafic al unei anumite funcții. Să luăm un punct cu o abscisă pe el. Să desenăm o tangentă la graficul funcției în acest punct. Vrem să estimăm cât de abrupt crește graficul unei funcții. O valoare convenabilă pentru aceasta este tangenta unghiului tangentei.

Derivata unei functii intr-un punct este egala cu tangentei unghiului tangentei desenat la graficul functiei in acest punct.

Vă rugăm să rețineți că ca unghi de înclinare al tangentei luăm unghiul dintre tangentă și direcția pozitivă a axei.

Să-l găsim. Ne amintim că tangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este egală cu raportul dintre latura opusă și latura adiacentă. Din triunghi:

Am găsit derivata folosind un grafic fără să știm măcar formula funcției. Astfel de probleme se găsesc adesea în examenul de stat unificat la matematică sub numărul.

Există o altă relație importantă. Amintiți-vă că linia dreaptă este dată de ecuație

Mărimea din această ecuație se numește panta unei drepte. Este egală cu tangenta unghiului de înclinare a dreptei la axă.

Înțelegem asta

Să ne amintim această formulă. Ea exprimă sens geometric derivat.

Derivata unei functii intr-un punct este egala cu panta tangentei trasate la graficul functiei in acel punct.

Cu alte cuvinte, derivata este egală cu tangentei unghiului tangentei.

Am spus deja că aceeași funcție poate avea derivate diferite în puncte diferite. Să vedem cum este legată derivata de comportamentul funcției.

Să desenăm un grafic al unei funcții. Lăsați această funcție să crească în unele zone și să scadă în altele și în ritmuri diferite. Și lasă această funcție să aibă puncte maxime și minime.

La un moment dat funcția crește. Se formează tangenta la graficul desenat în punct unghi ascuțit; cu direcția pozitivă a axei. Aceasta înseamnă că derivata din punct este pozitivă.

În momentul în care funcția noastră scade. Tangenta în acest punct formează un unghi obtuz; cu direcția pozitivă a axei. Din moment ce tangentă unghi obtuz este negativă, în punctul în care derivata este negativă.

Iată ce se întâmplă:

Dacă o funcție este în creștere, derivata ei este pozitivă.

Dacă scade, derivata sa este negativă.

Ce se va întâmpla la punctele maxime și minime? Vedem ca in punctele (punctul maxim) si (punctul minim) tangenta este orizontala. Prin urmare, tangenta unghiului tangentei în aceste puncte egal cu zero, iar derivata este, de asemenea, zero.

Punct - punct maxim. În acest moment, creșterea funcției este înlocuită cu o scădere. În consecință, semnul derivatei se schimbă în punctul de la „plus” la „minus”.

În punctul - punctul minim - derivata este, de asemenea, zero, dar semnul său se schimbă de la „minus” la „plus”.

Concluzie: folosind derivata putem afla tot ce ne intereseaza despre comportamentul unei functii.

Dacă derivata este pozitivă, atunci funcția crește.

Dacă derivata este negativă, atunci funcția scade.

În punctul maxim, derivata este zero și își schimbă semnul din „plus” în „minus”.

La punctul minim, derivata este, de asemenea, zero și își schimbă semnul din „minus” în „plus”.

Să scriem aceste concluzii sub forma unui tabel:

	crește	punct maxim	scade	punct minim	crește
+	0	-	0	+

Să facem două mici precizări. Veți avea nevoie de unul dintre ele când rezolvați problema. Un altul - în primul an, cu un studiu mai serios al funcțiilor și derivatelor.

Este posibil ca derivata unei funcții la un moment dat să fie egală cu zero, dar funcția nu are nici un maxim, nici un minim în acest punct. Acesta este așa-numitul :

Într-un punct, tangenta la grafic este orizontală, iar derivata este zero. Cu toate acestea, înainte de punct funcția a crescut - și după punct continuă să crească. Semnul derivatului nu se schimbă - rămâne pozitiv așa cum a fost.

Se mai intampla ca in punctul de maxim sau minim derivata sa nu existe. Pe grafic, aceasta corespunde unei ruperi ascuțite, când este imposibil să desenați o tangentă într-un punct dat.