Cum se găsește volumul unei formule piramidale hexagonale. Formula pentru volumul unei piramide hexagonale: un exemplu de rezolvare a unei probleme. Volumul unei piramide hexagonale regulate

Data: 19-01-2015

Dacă aveți nevoie de instrucțiuni pas cu pas despre cum să construiți o plasă piramidală, atunci vă rog să mergeți la lecția noastră. În primul rând, evaluați dacă piramida dvs. este desfășurată în același mod ca în Figura 1.

Dacă îl ai întors la 90 de grade, atunci marginea marcată în figură ca „valori reale cunoscute” în cazul tău poate fi găsită pe proiecția de profil, pe care va trebui să o construiești. În cazul meu, acest lucru nu este necesar, avem deja toate cantitățile necesare pentru construcție. Este important să nu uităm că în acest desen sunt afișate doar marginile SA și SD de pe proiecția frontală la dimensiune completă. Toate celelalte sunt proiectate cu distorsiuni de lungime. În plus, în vederea de sus, toate laturile hexagonului sunt, de asemenea, proiectate la dimensiune completă. Pe baza acestui lucru, să începem.

1. Pentru o frumusețe mai mare, să desenăm prima linie pe orizontală (Figura 1). Apoi, vom desena un arc larg cu o rază R=a, adică. cu raza egală cu lungimea marginii laterale a piramidei. Obținem punctul A. Din el facem o crestătură pe arc cu o busolă, cu o rază r \u003d b (lungimea laturii bazei piramidei). Să luăm punctul B. Avem deja prima față a piramidei!

2. Din punctul B facem o altă crestătură cu aceeași rază - obținem punctul C și conectându-l cu punctele B și S obținem a doua față laterală a piramidei (Figura 2).

3. Repetând acești pași de numărul necesar de ori (totul depinde de câte fețe are piramida ta) vom obține un astfel de ventilator (Figura 3). Cu o construcție corectă, ar trebui să obțineți toate punctele bazei, iar cele extreme ar trebui repetate.

4. Acest lucru nu este întotdeauna necesar, dar totuși este necesar: ​​adăugați baza piramidei la dezvoltarea suprafeței laterale. Cred că toți cei care au citit până în acest moment pot desena un pentagon șase-opt (cum se desenează un pentagon este descris în detaliu în lecție). Dificultatea constă în faptul că figura trebuie desenată în dreapta loc și în unghiul drept. Desenați o axă prin mijlocul oricărei fețe. Din punctul de intersecție cu linia bazei, trasăm distanța m, așa cum se arată în Figura 4.


Desenând o perpendiculară prin acest punct, obținem axele viitorului hexagon. Din centrul rezultat desenăm un cerc, așa cum ați făcut când ați construit o vedere de sus. Vă rugăm să rețineți că cercul trebuie să treacă prin două puncte ale feței laterale (în cazul meu, acestea sunt F și A)

5. Figura 5 prezintă vederea finală desfășurată a prismei hexagonale.


Acest lucru completează construcția piramidei. Construiește-ți matura, învață să găsești soluții, fii coroziv și nu renunța niciodată. Mulțumesc că ai trecut pe aici. Nu uita să ne recomanzi prietenilor tăi :) Toate cele bune!

sau notează-ne numărul de telefon și spune-le prietenilor tăi despre noi - probabil că cineva caută o modalitate de a face desene

sau creați o notă despre lecțiile noastre pe pagina sau blogul dvs. - și altcineva va putea stăpâni desenul.

Instruire

Cu o bază pătrată a piramidei cu o lungime cunoscută a laturii (a) și un volum dat (V), înlocuiți aria din formula de calcul din pasul anterior cu lungimea laturii pătrate: H = 3*V/a².

Formula de la primul pas poate fi transformată pentru a calcula înălțimea (H) a unei piramide obișnuite cu o bază de orice formă. Datele inițiale care ar trebui să fie implicate în el sunt volumul (V) al poliedrului, lungimea muchiei de la bază (a) și numărul de vârfuri de la bază (n). Aria unui poligon regulat este determinată de un sfert din produsul dintre numărul de vârfuri și pătratul lungimii laturii și cotangentei unghiului, egal cu raportul de 180° și numărul de vârfuri: ¼* n*a²*ctg(180°/n). Introduceți această expresie în formula de la primul pas: H = 3*V/(¼*n*a²*ctg(180°/n)) = 12*V/(n*a²*ctg(180°/n)) .

Dacă aria bazei este necunoscută din condițiile problemei și sunt date numai volumul (V) și lungimea muchiei (a), atunci variabila lipsă din formula de la pasul anterior poate fi înlocuită prin echivalentul său, exprimat în termeni de lungime a muchiei. Aria (așa cum vă amintiți, se află la baza piramidei tipului în cauză) este egală cu un sfert din produsul rădăcinii pătrate de trei ori lungimea pătrată a laturii. Înlocuiți această expresie pentru aria bazei în formula de la pasul anterior și obțineți următorul rezultat: H = 3*V*4/(a²*√3) = 12*V/(a²*√3 ).

Deoarece volumul unui tetraedru poate fi exprimat și în termeni de lungime a unei muchii, toate variabilele pot fi eliminate din formula de calcul al înălțimii unei figuri, lăsând doar latura feței acesteia. Volumul acestei piramide se calculează împărțind la 12 produsul rădăcinii pătrate a lui doi la lungimea în cuburi a feței. Introduceți această expresie în formula de la pasul anterior și obțineți: H = 12*(a³*√2/12)/(a²*√3) = (a³*√2)/(a²*√3) = a* √⅔ = ⅓*a*√6.

O prismă regulată poate fi înscrisă într-o sferă, iar cunoscând doar raza ei (R), se poate calcula și un tetraedru. Lungimea muchiei este de patru ori mai mare decât raportul dintre raza și rădăcina pătrată de șase. Înlocuiți variabila a în formula de la pasul anterior cu această expresie și obțineți egalitatea: H = ⅓*√6*4*R/√6 = 4*r/3.

O formulă similară poate fi obținută prin cunoașterea razei (r) a unui cerc înscris într-un tetraedru. În acest caz, lungimea nervurii va fi egală cu douăsprezece rapoarte între raza și pătratul celor șase. Introduceți această expresie în formula de la al treilea pas: H = ⅓*a*√6 = ⅓*√6*12*R/√6 = 4*R.

Piramida este una dintre cele mai mistice figuri din geometrie. Fluxurile de energie cosmică sunt asociate cu aceasta, multe popoare antice au ales această formă specială pentru construirea lăcașurilor lor de cult. Totuși, în ceea ce privește matematica, o piramidă este doar un poliedru, cu un poligon la bază, iar fețele sunt triunghiuri cu un vârf comun. Să vedem cum să găsim pătrat fațete V piramidă.

Vei avea nevoie

• calculator.

Instruire

Piramide de tipuri: regulate (la bază este un poligon regulat, iar vârfurile sunt în centrul său), arbitrare (orice poligon se află la bază, iar proiecția vârfului nu coincide neapărat cu centrul său), dreptunghiulară (unul a marginilor laterale face unghi drept cu baza) si . În funcție de faptul că poligonul de la baza piramidei are laturi, se numește trei, patru, cinci sau, de exemplu, decagonal.

Pentru toate tipurile de piramide, cu excepția celei trunchiate: Înmulțiți lungimile bazei triunghiului și înălțimea coborâtă pe aceasta din vârful piramidei. Împărțiți produsul rezultat cu 2 - acesta va fi cel dorit pătrat latură fațete piramide.

Piramida trunchiată Îndoiți ambele baze ale unui trapez, care este o față a unei astfel de piramide. Împărțiți suma rezultată la două. Înmulțiți valoarea rezultată cu înălțimea fațete-trapez. Valoarea rezultată este pătrat latură fațete piramide de acest tip.

Videoclipuri asemănătoare

Sfaturi utile

Aria suprafeței laterale și a bazei, perimetrul bazei piramidei și volumul acesteia sunt interconectate prin anumite formule. Acest lucru face uneori posibil să se calculeze valorile datelor lipsă necesare pentru a determina zona feței în piramidă.

Volumul oricărei piramide netrunchiate este egal cu o treime din produsul dintre înălțimea piramidei și aria bazei. Pentru o piramidă obișnuită, este adevărat: aria suprafeței laterale este egală cu jumătate din perimetrul bazei înmulțit cu înălțimea uneia dintre fețe. La calcularea volumului unei piramide trunchiate, în locul ariei bazei, se înlocuiește o valoare egală cu suma ariilor bazei superioare, inferioare și rădăcinii pătrate a produsului lor.

Surse:

• Stereometrie
• cum să găsești fața laterală a unei piramide

O piramidă se numește dreptunghiulară, una dintre marginile căreia este perpendiculară pe baza sa, adică se află la un unghi de 90˚. Această margine este și înălțimea piramidei dreptunghiulare. Formula pentru volumul unei piramide a fost dezvoltată pentru prima dată de Arhimede.

Vei avea nevoie

• - pix;
• - hartie;
• - calculator.

Instruire

Într-o înălțime dreptunghiulară va fi marginea sa, care se află la un unghi de 90˚ față de bază. Ca și , aria bazei unui dreptunghiular este notată cu S, iar înălțimea, care este de asemenea piramide, −h. Apoi, pentru a găsi volumul acestui piramide, este necesar să înmulțiți aria bazei sale cu înălțimea și să împărțiți cu 3. Astfel, volumul unui dreptunghi piramide calculat folosind formula: V=(S*h)/3.

Construiți urmând parametrii dați. Desemnați-i baza în latină ABCDE și partea de sus piramide- S. Deoarece desenul se va dovedi pe un plan în proiecție, pentru a nu vă încurca, indicați datele deja cunoscute de dvs.: SE = 30cm; S(ABCDE)=45 cm².

Calculați volumul unui dreptunghi piramide folosind formula. Înlocuind datele și făcând calcule, rezultă că volumul unui dreptunghiular piramide va fi egal cu: V \u003d (45 * 30) / 3 \u003d cm³.

Dacă starea problemei nu conține date despre și înălțime piramide, atunci sunt necesare calcule suplimentare pentru a obține aceste valori. Aria bazei va fi calculată în funcție de dacă poligonul se află la baza sa.

Înălţime piramide aflați dacă cunoașteți ipotenuza oricăruia dintre EDS sau EAS dreptunghiulare și unghiul la care fața laterală SD sau SA este înclinată față de baza sa. Calculați cateta SE folosind teorema sinusului. Va avea înălțimea unui dreptunghiular piramide.

Notă

Când se calculează cantități precum înălțimea, volumul, suprafața, trebuie amintit că fiecare dintre ele are propria sa unitate de măsură. Deci, aria se măsoară în cm², înălțimea este în cm și volumul este în cm³.
Un centimetru cub este o unitate de volum care este egală cu volumul unui cub cu marginile de 1 cm lungime. Dacă înlocuim datele din formula noastră, obținem: cm³ \u003d (cm² * cm) / 3.

Sfaturi utile

De regulă, dacă sarcina necesită găsirea volumului unei piramide dreptunghiulare, atunci toate datele necesare sunt cunoscute - cel puțin pentru a găsi suprafața de bază și înălțimea figurii.

Un desen este primul și foarte important pas în rezolvarea unei probleme geometrice. Care ar trebui să fie desenul unei piramide obișnuite?

Să ne amintim mai întâi proprietăți de proiectare paralele:

- segmentele paralele ale figurii sunt reprezentate ca segmente paralele;

- se păstrează raportul dintre lungimile segmentelor de drepte paralele și ale segmentelor unei linii drepte.

Desenul unei piramide triunghiulare regulate

Mai întâi, desenați baza. Deoarece unghiurile și rapoartele lungimilor segmentelor neparalele nu sunt păstrate în proiectare paralelă, triunghiul regulat de la baza piramidei este reprezentat de un triunghi arbitrar.

Centrul unui triunghi echilateral este punctul de intersecție al medianelor triunghiului. Deoarece medianele din punctul de intersecție sunt împărțite într-un raport de 2: 1, numărând din partea de sus, conectăm mental partea superioară a bazei cu mijlocul părții opuse, o împărțim aproximativ în trei părți și punem un punct la la o distanță de 2 părți de vârf. Desenați o perpendiculară din acest punct în sus. Aceasta este înălțimea piramidei. Desenăm perpendiculara atât de lungă încât marginea laterală să nu acopere imaginea înălțimii.

Desenul unei piramide patruunghiulare regulate

De la bază pornește și desenul unei piramide patruunghiulare obișnuite. Deoarece paralelismul segmentelor este păstrat, dar mărimile unghiurilor nu sunt, pătratul de la bază este reprezentat ca un paralelogram. Este de dorit ca unghiul acut al acestui paralelogram să fie mai mic, apoi fețele laterale sunt mai mari. Centrul unui pătrat este punctul de intersecție al diagonalelor sale. Desenăm diagonale, din punctul de intersecție restabilim perpendiculara. Această perpendiculară este înălțimea piramidei. Alegem lungimea perpendicularei astfel încât marginile laterale să nu se îmbine între ele.

Desenul unei piramide hexagonale regulate

Deoarece proiecția paralelă păstrează paralelismul segmentelor, baza unei piramide hexagonale regulate - un hexagon regulat - este reprezentată ca un hexagon, în care laturile opuse sunt paralele și egale. Centrul unui hexagon regulat este punctul de intersecție al diagonalelor sale. Pentru a nu aglomera desenul, nu desenăm diagonale, dar găsim acest punct aproximativ. Din aceasta restabilim perpendiculara - înălțimea piramidei - astfel încât marginile laterale să nu se îmbine între ele.

Probleme cu piramidele. În acest articol, vom continua să luăm în considerare problemele cu piramidele. Ele nu pot fi atribuite nici unei clase sau tip de sarcini și oferă recomandări generale (algoritmi) pentru rezolvare. Doar că restul sarcinilor care nu au fost luate în considerare mai devreme sunt adunate aici.

Voi enumera teoria care trebuie reîmprospătată în memorie înainte de rezolvare: piramide, proprietăți de similitudine ale figurilor și corpurilor, proprietățile piramidelor regulate, teorema lui Pitagora, formula ariei triunghiului (este a doua). Luați în considerare sarcinile:

Dintr-o piramidă triunghiulară, al cărei volum este egal cu 80, o piramidă triunghiulară este tăiată de un plan care trece prin vârful piramidei și linia de mijloc a bazei. Aflați volumul piramidei triunghiulare tăiate.

Volumul unei piramide este egal cu o treime din produsul dintre suprafața bazei sale și înălțimea acesteia:

Aceste piramide (originale și tăiate) au o înălțime comună, astfel încât volumele lor sunt legate ca zonele bazelor lor. Linia de mijloc din triunghiul original taie un triunghi a cărui zonă este de patru ori mai mică, adică:

Puteți vedea mai multe despre asta aici.

Aceasta înseamnă că volumul piramidei tăiate va fi de patru ori mai mic.

Deci va fi 20.

Raspuns: 20

* o problemă similară, se utilizează formula pentru aria unui triunghi.

Volumul unei piramide triunghiulare este 15. Planul trece prin latura bazei acestei piramide și intersectează marginea laterală opusă într-un punct care o împarte într-un raport de 1: 2, numărând din vârful piramidei. Găsiți cel mai mare dintre volumele piramidelor în care planul împarte piramida originală.

Să construim o piramidă, să marchem vârfurile.Marcați un punct E pe muchia AS astfel încât AE să fie de două ori mai mare decât ES (în condiția că se spune că ES se referă la AE ca de la 1 la 2) și construiți planul indicat care trece prin muchia AC și punctul E:

Să analizăm volumul cărei piramide va fi mai mare: EABC sau SEBC?

* Volumul unei piramide este egal cu o treime din produsul dintre suprafața bazei sale și înălțimea acesteia:

Dacă luăm în considerare cele două piramide rezultate și luăm fața EBC ca bază în ambele, atunci devine evident că volumul piramidei AEBC va fi mai mare decât volumul piramidei SEBC. De ce?

Distanța de la punctul A la planul EBC este mai mare decât distanța de la punctul S. Și această distanță joacă rolul de înălțime pentru noi.

Deci, să găsim volumul piramidei EABC.

Volumul piramidei inițiale ne este dat, baza piramidelor SABC și EABC este comună. Dacă stabilim raportul de înălțimi, atunci putem determina cu ușurință volumul.

Din raportul dintre segmentele ES și AE rezultă că AE este egal cu două treimi din ES. Înălțimile piramidelor SABC și EABC sunt în aceeași relație -inaltimea piramidei EABC va fi egala cu 2/3 din inaltimea piramidei SABC.

Astfel, dacă

Acea

Raspuns: 10

Volumul unei piramide hexagonale regulate este 6. Latura bazei este 1. Aflați muchia laterală.

Într-o piramidă obișnuită, vârful este proiectat în centrul bazei.Să realizăm construcții suplimentare:

Putem găsi marginea laterală din triunghiul dreptunghic SOC. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoașteți SO și OS.

SO este înălțimea piramidei, o putem calcula folosind formula de volum:

Calculați aria bazei. acesta este un hexagon regulat cu o latură egală cu 1. Aria unui hexagon regulat este egală cu aria a șase triunghiuri echilaterale cu aceeași latură, mai multe despre aceasta (articolul 6), deci:

Mijloace

OS \u003d BC \u003d 1, deoarece într-un hexagon regulat segmentul care își leagă centrul de vârf este egal cu latura acestui hexagon.

Astfel, conform teoremei lui Pitagora:

Raspuns: 7

VolumDimensiunea unui tetraedru este 200. Aflați volumul unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale muchiilor acestui tetraedru.

Volumul acestui poliedru este egal cu diferența dintre volumele tetraedrului original V 0 și patru tetraedre egale, fiecare dintre ele obținute prin tăierea printr-un plan care trece prin punctele mijlocii ale muchiilor care au un vârf comun:

Să determinăm care este volumul tetraedrului tăiat.

Rețineți că tetraedrul original și tetraedrul „decupat” sunt corpuri similare. Se știe că raportul dintre volumele corpurilor similare este k 3 , unde k este coeficientul de asemănare. În acest caz, este egal cu 2 (deoarece toate dimensiunile liniare ale tetraedrului original sunt de două ori dimensiunile corespunzătoare ale celui tăiat):

Calculați volumul tetraedrului tăiat:

Astfel, volumul dorit va fi egal cu:

Raspuns: 100

Aria suprafeței unui tetraedru este 120. Aflați aria suprafeței unui poliedru ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale muchiilor acestui tetraedru.

Prima cale:

Suprafața dorită este formată din 8 triunghiuri echilaterale cu o latură la jumătatea marginii tetraedrului original. Suprafața tetraedrului original este formată din 16 astfel de triunghiuri (4 triunghiuri pe fiecare dintre cele 4 fețe ale tetraedrului), deci aria necesară este egală cu jumătate din suprafața acestui tetraedru și este egală cu 60.

A doua cale:

Deoarece aria suprafeței tetraedrului este cunoscută, putem găsi marginea acestuia, apoi stabilim lungimea marginii poliedrului și apoi calculăm aria suprafeței acestuia.

Calculul volumelor de figuri spațiale este una dintre sarcinile importante ale stereometriei. În acest articol, vom lua în considerare problema determinării volumului unui astfel de poliedru ca o piramidă și, de asemenea, vom da unul hexagonal regulat.

Piramida hexagonală

Pentru început, să luăm în considerare care este cifra, care va fi discutată în articol.

Să avem un hexagon arbitrar ale cărui laturi nu sunt neapărat egale între ele. De asemenea, să presupunem că am ales un punct din spațiu care nu se află în planul hexagonului. Conectând toate colțurile acestuia din urmă cu punctul selectat, obținem o piramidă. Două piramide diferite având o bază hexagonală sunt prezentate în imaginea de mai jos.

Se poate observa că, pe lângă hexagon, figura este formată din șase triunghiuri, al căror punct de legătură se numește vârf. Diferența dintre piramidele reprezentate este că înălțimea h a celei din dreapta nu intersectează baza hexagonală la centrul său geometric, în timp ce înălțimea figurii din stânga se încadrează exact în acest centru. Datorită acestui criteriu, piramida stângă a fost numită dreaptă, iar cea dreaptă - înclinată.

Deoarece baza figurii din stânga din figură este formată dintr-un hexagon cu laturi și unghiuri egale, se numește corectă. Mai departe în articol vom vorbi doar despre această piramidă.

Pentru a calcula volumul unei piramide arbitrare, este valabilă următoarea formulă:

Aici h este lungimea înălțimii figurii, S o este aria bazei acesteia. Să folosim această expresie pentru a determina volumul unei piramide hexagonale regulate.

Deoarece figura luată în considerare se bazează pe un hexagon echilateral, următoarea expresie generală pentru un n-gon poate fi utilizată pentru a-și calcula aria:

S n = n/4 * a 2 * ctg(pi/n)

Aici n este un număr întreg egal cu numărul de laturi (colțuri) poligonului, a este lungimea laturii acestuia, funcția cotangentă este calculată folosind tabelele corespunzătoare.

Aplicând expresia pentru n = 6, obținem:

S 6 \u003d 6/4 * a 2 * ctg (pi / 6) \u003d √3/2 * a 2

Acum rămâne să înlocuim această expresie în formula generală pentru volumul V:

V 6 \u003d S 6 * h \u003d √3 / 2 * h * a 2

Astfel, pentru a calcula volumul piramidei luate în considerare, este necesar să se cunoască cei doi parametri liniari ai acesteia: lungimea laturii bazei și înălțimea figurii.

Exemplu de rezolvare a problemei

Să arătăm cum poate fi folosită expresia obținută pentru V 6 pentru a rezolva următoarea problemă.

Se știe că volumul corect este de 100 cm 3. Este necesar să se determine latura bazei și înălțimea figurii, dacă se știe că acestea sunt legate între ele prin următoarea egalitate:

Deoarece numai a și h sunt incluse în formula pentru volum, oricare dintre acești parametri poate fi înlocuit în ea, exprimat prin celălalt. De exemplu, înlocuim a, obținem:

V 6 \u003d √3 / 2 * h * (2 * h) 2 \u003d\u003e

h = ∛(V 6 /(2*√3))

Pentru a găsi valoarea înălțimii figurii, este necesar să luați rădăcina gradului al treilea din volum, care corespunde dimensiunii lungimii. Înlocuim valoarea volumului V 6 a piramidei din condiția problemei, obținem înălțimea:

h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3,0676 cm

Deoarece latura bazei, în conformitate cu starea problemei, este de două ori mai mare decât valoarea găsită, obținem valoarea acesteia:

a = 2*h = 2*3,0676 = 6,1352 cm

Volumul unei piramide hexagonale poate fi găsit nu numai prin înălțimea figurii și valoarea laturii bazei acesteia. Este suficient să cunoașteți doi parametri liniari diferiți ai piramidei pentru a o calcula, de exemplu, apotema și lungimea marginii laterale.