Reguli pentru operații aritmetice cu numere raționale. Proprietăți ale operațiilor cu numere raționale

Operații cu fracții zecimale.
 Adunarea și scăderea zecimalelor.
1. Egalizați numărul de cifre după virgulă zecimală.
2. Adăugați sau scădeți zecimale virgulă sub virgulă cu cifre.
 Înmulțirea zecimalelor.
1. Înmulțiți fără să acordați atenție virgulelor.
2. În produsul unei virgule, separați câte cifre de la dreapta sunt în toți factorii
împreună după virgulă zecimală.
 Împărțirea zecimale.
1. În dividend și divizor, mutați virgulele la dreapta cu atâtea cifre câte sunt după virgulă zecimală
în separator.
2. Împărțiți întreaga parte și puneți o virgulă în coeficient. (Dacă partea întreagă este mai mică decât divizorul, atunci
câtul începe de la zero numere întregi)
3. Continuați împărțirea.
Acțiuni cu numere pozitive și negative.
Adunarea și scăderea numerelor pozitive și negative.
a – (– c) = a + c
Toate celelalte cazuri sunt considerate adunări de numere.
 Adunarea a două numere negative:
1. scrieți rezultatul cu semnul „–”;
2. Adăugăm modulele.
 Adunarea numerelor cu semne diferite:
1. pune semnul modulului mai mare;
2. scade pe cel mai mic din modulul mai mare.
 Înmulțirea și împărțirea numerelor pozitive și negative.
1. La înmulțirea și împărțirea numerelor cu semne diferite, rezultatul se scrie cu un semn
minus.
2. La înmulțirea și împărțirea numerelor cu aceleași semne, rezultatul se scrie cu un semn
plus.
Operații cu fracții obișnuite.
Adunarea și scăderea.
1. Reduceți fracțiile la un numitor comun.
2. Adunați sau scădeți numărătorii, dar numitorul este lăsat neschimbat.
Înmulțiți numărătorul cu numărătorul și numitorul cu numitorul (reduceți dacă este posibil).
„Întoarceți” divizorul (a doua fracție) și efectuați înmulțirea.
Diviziune.
Multiplicare.
Izolarea întregii părți dintr-o fracție improprie.
38
5 = 38: 5 = 7 (răman de 3) = 7
3
5
Transformarea unui număr mixt într-o fracție improprie.
2
7 + =
4
4·7+2
7
30
7
=

1
.
+
Reducerea unei fracții.
Reduceți o fracție - împărțiți numărătorul și numitorul la același număr.
6
7
6
7. În scurt:
30:5
35:5 =
30
35 =
De exemplu:
30
35 =
.
1.
Descompune numitorii fracțiilor în nume primi
multiplicatori.
Reducerea fracțiilor la un numitor comun.
5 4
7
16 +

36
80 =
71
80
2. Trimiteți factorii identici.
3. Factori rămași de la numitorul primului
înmulțiți fracțiile și scrieți ca
un factor suplimentar pentru a doua fracție și
de la a doua fracție la prima fracție.
2∙2∙2∙2 2∙2∙5
4. Înmulțiți numărătorul și numitorul fiecărei fracții
prin multiplicatorul său suplimentar.
9
20 =
35
80 +
Adunarea și scăderea numerelor mixte.
Adăugați sau scădeți separat părți întregi și părți fracționale separat.
Cazuri „speciale”:
„Transformați” 1 într-o fracție al cărei numărător și

2
2
5
6
3
5 =
3
5 = 2
1
1
Luați 1 și „transformați-l” într-o fracție al cărei numărător și
numitorii sunt egali cu numitorul fracției date.
Luați 1 și adăugați numitorul numărătorului.
3
5 =
3
5 = 2
5
5 ‒
5
5 ‒
‒
1
‒
3
2
5
1 ‒
3
3
5 = 2
5
5 1 ‒
3
5 = 1
2
5
1
5
1 ‒
3
5 = 2
6
5 1‒
3
3
5 = 1
3
5
Convertiți numere mixte în fracții impropriiși efectuează înmulțirea sau împărțirea.
Înmulțirea și împărțirea numerelor mixte.

2
7 + ∙ 2
4
4
5 + =
30
7 ∙
14
5 =
30·14
7·5
6·2
1 1 =
12
1 = 12
=
∙ ∙
6
7

În această lecție vom reaminti proprietățile de bază ale operațiilor cu numere. Nu numai că vom revizui proprietățile de bază, dar vom învăța și cum să le aplicăm numerelor raționale. Vom consolida toate cunoștințele acumulate prin rezolvarea de exemple.

Proprietățile de bază ale operațiilor cu numere:

Primele două proprietăți sunt proprietăți ale adunării, următoarele două sunt proprietăți ale înmulțirii. A cincea proprietate se aplică ambelor operațiuni.

Nu este nimic nou în aceste proprietăți. Erau valabile atât pentru numere naturale, cât și pentru numere întregi. Ele sunt valabile și pentru numerele raționale și vor fi adevărate pentru numerele pe care le vom studia în continuare (de exemplu, numerele iraționale).

Proprietăți de permutare:

Rearanjarea termenilor sau factorilor nu schimbă rezultatul.

Proprietăți combinate:, .

Adăugarea sau înmulțirea mai multor numere se poate face în orice ordine.

Proprietatea de distribuție:.

Proprietatea conectează ambele operații - adunarea și înmulțirea. De asemenea, dacă o citești de la stânga la dreapta, atunci se numește regula pentru deschiderea parantezelor, iar dacă în direcția opusă, se numește regula pentru plasarea factorului comun din paranteze.

Următoarele două proprietăți descriu elemente neutre pentru adunare și înmulțire: adunarea zero și înmulțirea cu unu nu schimbă numărul inițial.

Încă două proprietăți care descriu elemente simetrice pentru adunare și înmulțire, suma numerelor opuse este zero; produsul numerelor reciproce este egal cu unu.

Următoarea proprietate: . Dacă un număr este înmulțit cu zero, rezultatul va fi întotdeauna zero.

Ultima proprietate la care ne vom uita este: .

Înmulțind numărul cu , obținem număr opus. Această proprietate are o caracteristică specială. Toate celelalte proprietăți considerate nu au putut fi dovedite folosind celelalte. Aceeași proprietate poate fi dovedită folosind cele anterioare.

Înmulțirea cu

Să demonstrăm că dacă înmulțim un număr cu , obținem numărul opus. Pentru aceasta folosim proprietatea de distribuție: .

Acest lucru este valabil pentru orice numere. Să înlocuim și în loc de număr:

În stânga între paranteze este suma numerelor reciproc opuse. Suma lor este zero (avem o astfel de proprietate). În stânga acum. În dreapta, obținem: .

Acum avem zero în stânga și suma a două numere în dreapta. Dar dacă suma a două numere este zero, atunci aceste numere sunt reciproc opuse. Dar numărul are un singur număr opus: . Deci, aceasta este ceea ce este: .

Proprietatea a fost dovedită.

O astfel de proprietate, care poate fi dovedită folosind proprietăți anterioare, se numește teorema

De ce nu există proprietăți de scădere și împărțire aici? De exemplu, s-ar putea scrie proprietatea distributivă pentru scădere: .

Dar din moment ce:

• Scăderea oricărui număr poate fi scrisă în mod echivalent ca adunare prin înlocuirea numărului cu opusul său:

• Împărțirea poate fi scrisă ca înmulțire cu reciproca sa:

Aceasta înseamnă că proprietățile adunării și înmulțirii pot fi aplicate scăderii și împărțirii. Ca urmare, lista proprietăților care trebuie reținute este mai scurtă.

Toate proprietățile pe care le-am luat în considerare nu sunt exclusiv proprietăți ale numerelor raționale. Alte numere, de exemplu, cele iraționale, respectă toate aceste reguli. De exemplu, suma numărului său opus este zero: .

Acum vom trece la partea practică, rezolvând mai multe exemple.

Numere raționale in viata

Se numesc acele proprietăți ale obiectelor pe care le putem descrie cantitativ, desemnate cu un anumit număr valorile: lungime, greutate, temperatură, cantitate.

Aceeași cantitate poate fi notă atât cu un număr întreg, cât și cu un număr fracționar, pozitiv sau negativ.

De exemplu, înălțimea ta m este un număr fracționar. Dar putem spune că este egal cu cm - acesta este deja un număr întreg (Fig. 1).

Orez. 1. Ilustrație de exemplu

Un alt exemplu. Temperatura negativă pe scara Celsius va fi pozitivă pe scara Kelvin (Fig. 2).

Orez. 2. Ilustrație de exemplu

Când construiți peretele unei case, o persoană poate măsura lățimea și înălțimea în metri. El produce cantități fracționale. El va efectua toate calculele ulterioare cu numere fracționale (raționale). O altă persoană poate măsura totul în numărul de cărămizi în lățime și înălțime. După ce a primit numai valori întregi, el va efectua calcule cu numere întregi.

Mărimile în sine nu sunt nici întregi, nici fracționale, nici negative, nici pozitive. Dar numărul cu care descriem valoarea unei cantități este deja destul de specific (de exemplu, negativ și fracțional). Depinde de scara de măsurare. Și când trecem de la valorile reale la model matematic, apoi lucrăm cu un anumit tip de numere

Să începem cu adăugarea. Termenii pot fi rearanjați în orice mod care ne este convenabil, iar acțiunile pot fi efectuate în orice ordine. Dacă termenii de semne diferite se termină în aceeași cifră, atunci este convenabil să efectuați mai întâi operațiuni cu ei. Pentru a face acest lucru, să schimbăm termenii. De exemplu:

Fracțiile comune cu numitori similari sunt ușor de adăugat.

Numerele opuse se adună până la zero. Numerele cu aceleași cozi zecimale sunt ușor de scăzut. Folosind aceste proprietăți, precum și legea comutativă a adunării, puteți face mai ușor calcularea valorii, de exemplu, a următoarei expresii:

Numerele cu cozi zecimale complementare sunt ușor de adăugat. Este convenabil să lucrați separat cu părți întregi și fracționale ale numerelor mixte. Folosim aceste proprietăți atunci când calculăm valoarea următoarei expresii:

Să trecem la înmulțire. Există perechi de numere care sunt ușor de înmulțit. Folosind proprietatea comutativă, puteți rearanja factorii astfel încât să fie adiacenți. Numărul de minusuri dintr-un produs poate fi numărat imediat și se poate trage o concluzie despre semnul rezultatului.

Luați în considerare acest exemplu:

Dacă din factori egal cu zero, atunci produsul este egal cu zero, de exemplu: .

Produsul numerelor reciproce este egal cu unu, iar înmulțirea cu unu nu modifică valoarea produsului. Luați în considerare acest exemplu:

Să ne uităm la un exemplu folosind proprietatea distributivă. Dacă deschideți parantezele, atunci fiecare înmulțire este ușoară.

NUMERE REALE II

§ 36 Acţiuni asupra numerelor raţionale

După cum știți, două fracții m / n Şi k / l sunt egale, adică reprezintă același număr rațional, dacă și numai dacă ml = nk .

De exemplu, 1 / 3 = 2 / 6, deoarece 1 6 = 3 2; -5 / 7 = 10 / - 14 deoarece (-5) (- 14) = 7 10; 0 / 1 = 0 / 5, deoarece 0 5 = 1 0 etc.

Evident, pentru orice număr întreg r , nu este egal cu 0,

: m / n = m r / n r

Aceasta rezultă din egalitatea evidentă T (n r ) = n (T r ). Prin urmare, orice număr rațional poate fi reprezentat ca un raport de două numere într-un număr infinit de moduri. De exemplu,

5 = 5 / 1 = -10 / -2 = 15 / 3 etc,

1 / 7 = 2 / -14 = -3 / 21 = -100 / 700 etc.

0 = 0 / 1 = 0 / -2 = 0 / 3 = 0 / 100 etc.

În mulțimea tuturor numerelor raționale, operațiile de adunare, înmulțire, scădere și împărțire (cu excepția împărțirii la zero) sunt fezabile. Să ne amintim cum sunt determinate aceste acțiuni.

Suma a două numere raționale m / n Şi k / l este determinat de formula:

Produsul a două numere raționale m / n Şi k / l este determinat de formula:

m / n k / l = mk / nl (2)

Deoarece același număr rațional poate fi scris în mai multe moduri (de exemplu, 1 / 3 = 2 / 6 = 3 / 9 = ...), ar fi necesar să se arate că suma și produsul numerelor raționale nu depind de cum sunt scrisi termenii sau factorii. De exemplu,

1 / 2 + 1 / 3 = 2 / 4 + 3 / 9 ; 1 / 2 1 / 3 = 3 / 6 2 / 6

etc. Cu toate acestea, luarea în considerare a acestor probleme depășește domeniul de aplicare al programului nostru.

La adunarea și înmulțirea numerelor raționale se respectă următoarele legi de bază:

1) comutativ legea (sau comutativă) a adunării

m / n + k / l = k / l + m / n

2) asociativ legea (sau asociativă) a adunării:

( m / n + k / l ) + p / q = m / n + ( k / l + p / q )

3) comutativ legea (sau comutativă) a înmulțirii:

m / n k / l = k / l m / n

4) asociativ(sau asociativă) legea înmulțirii:

( m / n k / l ) p / q = m / n ( k / l p / q )

5) distributiv legea (sau distributivă) a înmulțirii în raport cu adunarea:

( m / n + k / l ) p / q = m / n p / q + k / l p / q

Adunarea și înmulțirea sunt operații algebrice de bază. În ceea ce privește scăderea și împărțirea, aceste acțiuni sunt definite ca inversul adunării și înmulțirii.

Diferența a două numere raționale m / n Şi k / l se numeste acest numar X , care este în total cu k / l dă m / n . Cu alte cuvinte, diferența m / n - k / l

k / l + x = m / n

Se poate dovedi că o astfel de ecuație are întotdeauna o rădăcină și numai una:

Astfel, diferența a două numere m / n Şi k / l se gaseste prin formula:

Dacă numerele m / n Şi k / l sunt egale între ele, atunci diferența lor devine zero; dacă aceste numere nu sunt egale între ele, atunci diferența lor este fie pozitivă, fie negativă. La m / n - k / l > 0 se spune a fi un număr m / n mai mult număr k / l ; dacă m / n - k / l < 0, то говорят, что число m / n număr mai mic k / l .

Coeficientul unui număr rațional m/ n printr-un număr rațional k/ l se numeste acest numar X, care în produsul cu k/ l dă m/ n . Cu alte cuvinte, privat m/ n : k/ l este definită ca rădăcina ecuației

k/ l X = m/ n .

Dacă k/ l =/= 0, atunci această ecuație are o singură rădăcină

X = ml/ nk

Dacă k/ l = 0, atunci această ecuație fie nu are rădăcini deloc (pentru m/ n =/= 0), sau are infinit de rădăcini (cu m/ n = 0). Pentru a face operația de împărțire unic fezabilă, suntem de acord să nu luăm în considerare deloc împărțirea la zero. Astfel, împărțirea unui număr rațional m/ n printr-un număr rațional k/ l întotdeauna definite dacă nu k/ l =/= 0. În același timp

m/ n : k/ l = ml/ nk

Exerciții

295. Calculați în modul cel mai rațional și indicați ce legi de acțiune trebuie folosite;

a) (5 1/12 - 3 1/4) 24; c) (333 1/3 4) (3/125 1/16) .

b) (1/10 - 3 1/2) + 9/10

Desen. Operații aritmetice pe numere raționale.

Text:

Reguli pentru operații cu numere raționale:
. Când adăugați numere cu aceleași semne, trebuie să adăugați modulele lor și să le puneți în fața sumei semn general;
. la adunarea a doua numere cu semne diferite, din numarul cu modul mai mare, scade numarul cu modul mai mic si pune semnul numarului cu modul mai mare in fata diferentei rezultate;
. Când scădeți un număr dintr-altul, trebuie să adăugați la minuend numărul opus celui care se scade: a - b = a + (-b)
. la înmulțirea a două numere cu aceleași semne, modulele acestora se înmulțesc și se pune un semn plus în fața produsului rezultat;
. la înmulțirea a două numere cu semne diferite, modulele acestora sunt înmulțite și se pune semnul minus în fața produsului rezultat;
. la împărțirea numerelor cu aceleași semne, modulul dividendului se împarte la modulul divizorului și se pune un semn plus în fața coeficientului rezultat;
. la împărțirea numerelor cu semne diferite, modulul dividendului se împarte la modulul divizorului și se pune semnul minus în fața coeficientului rezultat;
. atunci când împărțiți și înmulțiți zero cu orice număr, nu faceți acest lucru egal cu zero, se dovedește zero:
. Nu poți împărți la zero.

În această lecție vom reaminti proprietățile de bază ale operațiilor cu numere. Nu numai că vom revizui proprietățile de bază, dar vom învăța și cum să le aplicăm numerelor raționale. Vom consolida toate cunoștințele acumulate prin rezolvarea de exemple.

Proprietățile de bază ale operațiilor cu numere:

Primele două proprietăți sunt proprietăți ale adunării, următoarele două sunt proprietăți ale înmulțirii. A cincea proprietate se aplică ambelor operațiuni.

Nu este nimic nou în aceste proprietăți. Erau valabile atât pentru numere naturale, cât și pentru numere întregi. Ele sunt valabile și pentru numerele raționale și vor fi adevărate pentru numerele pe care le vom studia în continuare (de exemplu, numerele iraționale).

Proprietăți de permutare:

Rearanjarea termenilor sau factorilor nu schimbă rezultatul.

Proprietăți combinate:, .

Adăugarea sau înmulțirea mai multor numere se poate face în orice ordine.

Proprietatea de distribuție:.

Proprietatea conectează ambele operații - adunarea și înmulțirea. De asemenea, dacă o citești de la stânga la dreapta, atunci se numește regula pentru deschiderea parantezelor, iar dacă în direcția opusă, se numește regula pentru plasarea factorului comun din paranteze.

Următoarele două proprietăți descriu elemente neutre pentru adunare și înmulțire: adunarea zero și înmulțirea cu unu nu schimbă numărul inițial.

Încă două proprietăți care descriu elemente simetrice pentru adunare și înmulțire, suma numerelor opuse este zero; produsul numerelor reciproce este egal cu unu.

Următoarea proprietate: . Dacă un număr este înmulțit cu zero, rezultatul va fi întotdeauna zero.

Ultima proprietate la care ne vom uita este: .

Înmulțind un număr cu , obținem numărul opus. Această proprietate are o caracteristică specială. Toate celelalte proprietăți considerate nu au putut fi dovedite folosind celelalte. Aceeași proprietate poate fi dovedită folosind cele anterioare.

Înmulțirea cu

Să demonstrăm că dacă înmulțim un număr cu , obținem numărul opus. Pentru aceasta folosim proprietatea de distribuție: .

Acest lucru este valabil pentru orice numere. Să înlocuim și în loc de număr:

În stânga între paranteze este suma numerelor reciproc opuse. Suma lor este zero (avem o astfel de proprietate). În stânga acum. În dreapta, obținem: .

Acum avem zero în stânga și suma a două numere în dreapta. Dar dacă suma a două numere este zero, atunci aceste numere sunt reciproc opuse. Dar numărul are un singur număr opus: . Deci, aceasta este ceea ce este: .

Proprietatea a fost dovedită.

O astfel de proprietate, care poate fi dovedită folosind proprietăți anterioare, se numește teorema

De ce nu există proprietăți de scădere și împărțire aici? De exemplu, s-ar putea scrie proprietatea distributivă pentru scădere: .

Dar din moment ce:

• Scăderea oricărui număr poate fi scrisă în mod echivalent ca adunare prin înlocuirea numărului cu opusul său:

• Împărțirea poate fi scrisă ca înmulțire cu reciproca sa:

Aceasta înseamnă că proprietățile adunării și înmulțirii pot fi aplicate scăderii și împărțirii. Ca urmare, lista proprietăților care trebuie reținute este mai scurtă.

Toate proprietățile pe care le-am luat în considerare nu sunt exclusiv proprietăți ale numerelor raționale. Alte numere, de exemplu, cele iraționale, respectă toate aceste reguli. De exemplu, suma numărului său opus este zero: .

Acum vom trece la partea practică, rezolvând mai multe exemple.

Numere raționale în viață

Se numesc acele proprietăți ale obiectelor pe care le putem descrie cantitativ, desemnate cu un anumit număr valorile: lungime, greutate, temperatură, cantitate.

Aceeași cantitate poate fi notă atât cu un număr întreg, cât și cu un număr fracționar, pozitiv sau negativ.

De exemplu, înălțimea ta m este un număr fracționar. Dar putem spune că este egal cu cm - acesta este deja un număr întreg (Fig. 1).

Orez. 1. Ilustrație de exemplu

Un alt exemplu. O temperatură negativă pe scara Celsius va fi pozitivă pe scara Kelvin (Fig. 2).

Orez. 2. Ilustrație de exemplu

Când construiți peretele unei case, o persoană poate măsura lățimea și înălțimea în metri. El produce cantități fracționale. El va efectua toate calculele ulterioare cu numere fracționale (raționale). O altă persoană poate măsura totul în numărul de cărămizi în lățime și înălțime. După ce a primit numai valori întregi, el va efectua calcule cu numere întregi.

Mărimile în sine nu sunt nici întregi, nici fracționale, nici negative, nici pozitive. Dar numărul cu care descriem valoarea unei cantități este deja destul de specific (de exemplu, negativ și fracțional). Depinde de scara de măsurare. Și când trecem de la cantități reale la un model matematic, lucrăm cu un anumit tip de numere

Să începem cu adăugarea. Termenii pot fi rearanjați în orice mod care ne este convenabil, iar acțiunile pot fi efectuate în orice ordine. Dacă termenii de semne diferite se termină în aceeași cifră, atunci este convenabil să efectuați mai întâi operațiuni cu ei. Pentru a face acest lucru, să schimbăm termenii. De exemplu:

Fracțiile comune cu numitori similari sunt ușor de adăugat.

Numerele opuse se adună până la zero. Numerele cu aceleași cozi zecimale sunt ușor de scăzut. Folosind aceste proprietăți, precum și legea comutativă a adunării, puteți face mai ușor calcularea valorii, de exemplu, a următoarei expresii:

Numerele cu cozi zecimale complementare sunt ușor de adăugat. Este convenabil să lucrați separat cu părți întregi și fracționale ale numerelor mixte. Folosim aceste proprietăți atunci când calculăm valoarea următoarei expresii:

Să trecem la înmulțire. Există perechi de numere care sunt ușor de înmulțit. Folosind proprietatea comutativă, puteți rearanja factorii astfel încât să fie adiacenți. Numărul de minusuri dintr-un produs poate fi numărat imediat și se poate trage o concluzie despre semnul rezultatului.

Luați în considerare acest exemplu:

Dacă unul dintre factori este egal cu zero, atunci produsul este egal cu zero, de exemplu: .

Produsul numerelor reciproce este egal cu unu, iar înmulțirea cu unu nu modifică valoarea produsului. Luați în considerare acest exemplu:

Să ne uităm la un exemplu folosind proprietatea distributivă. Dacă deschideți parantezele, atunci fiecare înmulțire este ușoară.