Deoarece acum vom vorbi doar despre integrala nedefinită, de dragul conciziei vom omite termenul „nedefinit”.

Pentru a învăța cum să calculezi integralele (sau, după cum se spune, să integrezi funcții), mai întâi trebuie să înveți tabelul integralelor:

Tabelul 1. Tabelul integralelor

2. ( ),u>0. 2a. (α=0); 2b. (α=1); 2c. (α= ). 3. 3a. 4. 5. 5a) 6a. 7. 7a.

8. 9. 10. 10a. 11. 11a. 12. 13. 13a.

În plus, veți avea nevoie de capacitatea de a calcula derivata unei anumite funcții, ceea ce înseamnă că trebuie să vă amintiți regulile de diferențiere și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare de bază:

Tabelul 2. Tabelul derivatelor și regulile de diferențiere:

6.a .

(păcat Şi) = cos Şi  Şi (cos u) = – sin Şi Şi

De asemenea, avem nevoie de capacitatea de a găsi diferența unei funcții. Amintiți-vă că diferența funcției
găsi prin formulă
, adică diferenţialul unei funcţii este egal cu produsul derivatei acestei funcţii şi diferenţialul argumentului ei. Este util să aveți în vedere următoarele relații cunoscute:

Tabelul 3. Tabelul diferențial

1. (b= Const) 2. ( ) 3. 4. 5. (b= Const) 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 14. 15. 16. 17.

Mai mult, aceste formule pot fi folosite fie citindu-le de la stânga la dreapta, fie de la dreapta la stânga.

Să luăm în considerare secvenţial cele trei metode principale de calcul a integralei. Primul dintre ei se numește prin metoda integrarii directe. Se bazează pe utilizarea proprietăților integralei nedefinite și include două tehnici principale: extinderea unei integrale într-o sumă algebrică mai simplu şi subscriind la semnul diferenţial, iar aceste tehnici pot fi utilizate atât independent, cât și în combinație.

O) Să luăm în considerare expansiunea sumei algebrice– această tehnică presupune utilizarea transformărilor identitare funcția integrandși proprietățile de liniaritate integrală nedefinită:
Şi.

Exemplul 1. Aflați integralele:

O)
; b)
;

V)
G)

d)
.

Soluţie.

O)Să transformăm integralul împărțind numărătorul la numitorul termen cu termen:

Proprietatea puterilor este folosită aici:
.

b) Mai întâi, transformăm numărătorul fracției, apoi împărțim termenul numărător cu termen la numitor:

Proprietatea gradelor este folosită și aici:
.

Proprietatea folosită aici este:
,
.

.

Formulele 2 și 5 din tabelul 1 sunt utilizate aici.

Exemplul 2. Aflați integralele:

O)
; b)
;

V)
G)

d)
.

Soluţie.

O)Să transformăm integrandul folosind identitatea trigonometrică:

.

Aici folosim din nou împărțirea termen cu termen a numărătorului după numitor și formulele 8 și 9 din Tabelul 1.

b) Transformăm similar, folosind identitatea
:

.

c) Mai întâi, împărțiți termenul numărător cu termen la numitor și scoateți constantele din semnul integral, apoi folosiți identitatea trigonometrică
:

d) Aplicați formula de reducere a gradului:

,

e) Folosind identități trigonometrice, transformăm:

B) Să luăm în considerare tehnica de integrare, care se numește n punându-l sub semnul diferenţial. Această tehnică se bazează pe proprietatea de invarianță a integralei nedefinite:

Dacă
, apoi pentru orice funcție diferențiabilă Şi=Şi(X) are loc:
.

Această proprietate ne permite să extindem semnificativ tabelul de integrale simple, deoarece datorită acestei proprietăți formulele din tabelul 1 sunt valabile nu numai pentru variabila independentă Şi, dar și în cazul când Şi– o funcție diferențiabilă a unei alte variabile.

De exemplu,
, dar de asemenea
, Și
, Și
.

Sau
Şi
, Și
.

Esența metodei este de a izola diferența unei anumite funcții într-un integrand dat, astfel încât această diferență izolată, împreună cu restul expresiei, să formeze o formulă tabelară pentru această funcție. Dacă este necesar, în timpul unei astfel de conversii, constantele pot fi adăugate corespunzător. De exemplu:

(în ultimul exemplu scris ln(3 + x 2) în loc de ln|3 + x 2 | , deoarece expresia este 3 + x 2 este întotdeauna pozitiv).

Exemplul 3. Aflați integralele:

O)
; b)
;
;

V)
G)
;
;

d)
;
.

Soluţie.

O).

e)

şi)
;

.

h)

Aici se folosesc formulele 2a, 5a și 7a din tabelul 1, ultimele două fiind obținute tocmai prin subsumarea semnului diferențial:

.

Integrați funcții de vizualizare

V)

.

apare foarte des în cadrul calculului integralelor de funcții mai complexe. Pentru a nu repeta de fiecare dată pașii descriși mai sus, vă recomandăm să vă amintiți formulele corespunzătoare date în Tabelul 1.

Formula 3 din tabelul 1 este utilizată aici.

.

c) În mod similar, ținând cont de faptul că , transformăm:

Formula 2c din tabelul 1 este utilizată aici.

.

d) ; Aflați integralele:

e)
și) ;

V)
.

Soluţie.

h)

Exemplul 4.

O)
:

b)

a) transforma:
,
.

Formula 3 din tabelul 1 este, de asemenea, utilizată aici. Aflați integralele:

O)
; b) Folosim formula de reducere a gradului

Formulele 2a și 7a din tabelul 1 sunt utilizate aici.
Aici, împreună cu formulele 2 și 8 din tabelul 1, se folosesc și formulele din tabelul 3:
.

Soluţie.

Exemplul 5.
b)
V) ; G) b a) Munca
poate fi completat (vezi formulele 4 și 5 din Tabelul 3) la diferența funcției
.

, Unde

.

O
Şi
- orice constante,
. Într-adevăr, de unde
Atunci avem:

b) Folosind formula 6 din tabelul 3, avem
, și de asemenea
, ceea ce înseamnă prezența în integrand a produsului

.

d) Mai întâi folosim proprietățile de liniaritate ale integralei:

Exemplul 6. Aflați integralele:

O)
; b)
;

V)
; G)
.

Soluţie.

O)Având în vedere că
(formula 9 din tabelul 3), transformăm:

b) Folosind formula 12 din tabelul 3, obținem

c) Ținând cont de formula 11 din tabelul 3, transformăm

d) Folosind formula 16 din tabelul 3, obținem:

.

Exemplul 7. Aflați integralele:

O)
; b)
;

V)
; V)
.

Soluţie.

O)Toate integralele prezentate în acest exemplu au o caracteristică comună: Integrandul conține un trinom pătratic. Prin urmare, metoda de calcul a acestor integrale se va baza pe aceeași transformare - izolarea pătratului complet din acest trinom pătratic.

.

b)

.

V)

G)

Metoda de substituire a unui semn diferențial este o implementare orală a unei metode mai generale de calcul a unei integrale, numită metoda substituției sau schimbarea variabilei. Într-adevăr, de fiecare dată, selectând o formulă potrivită în tabelul 1 pentru cea obţinută ca urmare a subsumării semnului diferenţial al funcţiei, am înlocuit mental litera Şi functie introdusa sub semnul diferential. Prin urmare, dacă integrarea prin subsumarea semnului diferențial nu funcționează foarte bine, puteți schimba direct variabila. Mai multe detalii despre acest lucru în paragraful următor.

Metoda integrării directe se bazează pe transformarea funcției integrand, aplicarea proprietăților integralei nedefinite și reducerea expresiei integrandului la formă tabelară.

De exemplu:

Examinare

Examinare

2. Metoda de înlocuire (înlocuire variabilă)

Această metodă se bazează pe introducerea unei noi variabile. Să facem o înlocuire în integrală:

;

Prin urmare, obținem:

De exemplu:

1)

Examinare:

2)

Examinare(pe baza proprietății nr. 2 a integralei nedeterminate):

Integrat bucată cu bucată

Lasă u Şi v - functii diferentiabile. Să dezvăluim diferența produsului acestor funcții:

,

unde

Să integrăm expresia rezultată:

De exemplu:

Examinare(pe baza proprietății nr. 1 a integralei nedeterminate):

2)

Să decidem

Examinare(pe baza proprietății nr. 1 a integralei nedeterminate):

PARTEA PRACTICĂ

Sarcini pentru solutie acasa

Găsiți integrala:

O) ; e) ;

V) ; h)

G) ; Şi)

d) ; La)

A) ; e) ;

V) ; h) ;

d) ; La) .

A) ; V) ; d)

b) ; G) ; e)

Probleme de rezolvat exercitii practice:

I. Metoda integrării directe

O) ; și) ;

b) ; h) ;

V) ; Şi)

G) ; La)

e) ; m)

II. Metoda de înlocuire (înlocuire variabilă)

G) ; La) ;

d) ; l) ;

III. Metoda de integrare pe părți

TEMA NR 4

INTEGRAL DEFINIT

În calculele matematice, este adesea necesar să se găsească incrementul unei funcții antiderivate atunci când argumentul său se schimbă în limitele specificate. Această problemă trebuie rezolvată la calcularea ariilor și volumelor diferitelor figuri, la determinarea valorii medii a unei funcții, la calcularea muncii unei forțe variabile. Aceste probleme pot fi rezolvate prin calculul integralelor definite corespunzătoare.

Scopul lecției:

1. Învață să calculezi integrală definită folosind formula Newton-Leibniz.

2. Să fie capabil să aplice conceptul de integrală definită pentru a rezolva probleme aplicate.

PARTEA TEORETICĂ

CONCEPTUL DE INTEGRAL DETERMINAT ȘI SENSUL SĂU GEOMETRIC

Luați în considerare problema găsirii zonei trapez curbat.

Să fie dată o anumită funcție y=f(x), al cărui grafic este prezentat în figură.

Fig 1. Sensul geometric integrală definită.

Pe axa 0x selectați puncte “o" Şi "V" și restabiliți perpendicularele din ele până când se intersectează cu curba. O figură delimitată de o curbă, perpendiculare și o axă 0x numit trapez curbat. Să împărțim intervalul într-un număr de segmente mici. Să alegem un segment arbitrar. Să construim un trapez curbat corespunzător acestui segment unui dreptunghi. Aria unui astfel de dreptunghi este determinată astfel:

Apoi aria tuturor dreptunghiurilor completate din interval va fi egală cu:

;

Dacă fiecare dintre segmente este suficient de mic și tinde spre zero, atunci suprafata totala dreptunghiurile vor tinde spre aria unui trapez curbiliniu:

;

Deci, problema calculării ariei unui trapez curbiliniu se reduce la determinarea limitei sumei.

Suma integrală este suma produselor incrementului argumentului și a valorii funcției f(x) , luată la un moment dat în intervalul în limitele căruia argumentul se schimbă. Din punct de vedere matematic, problema găsirii limitei sumei integrale dacă incrementul variabilei independente tinde spre zero duce la conceptul de integrală definită.

Funcţie f(x ) într-un anumit interval de la x=a la x=b integrabil dacă există un număr către care suma integrală tinde ca Dх®0 . În acest caz numărul J numit integrală definită funcții f(x) in interval:

;

Unde ] a, c[ – zona de integrare,

;– limita inferioară de integrare,

V– limita superioară de integrare.

Astfel, din punct de vedere al geometriei, o integrală definită este aria unei figuri limitată de graficul unei funcții într-un anumit interval] a, c [ și axa x.

Echipamentul de lecție: note de curs.

Criterii de evaluare

Comanda de lucru

Sarcina 1.

Citiți prelegerea nr. 9

Sarcina 2.

Cursul 9.

integrală nedefinită din aceasta functie:

10 .

( dx)" = d ( dx) =f(x) dx

20. Integrala nedefinită a diferenţialului unei funcţii este egală cu această funcţie plus o constantă arbitrară:

30. Factorul constant poate fi scos din semnul integralei nedefinite.

40. Integrala nedefinită a sumei algebrice a funcțiilor este egală cu suma algebrică a integralelor nedefinite a termenilor funcțiilor:

50. Dacă a este o constantă, atunci formula este validă

Vizualizați conținutul documentului
„Tehnica de integrare Integrarea directă”

LUCRARE PRACTICĂ№ 7

Tema: Tehnica integrării. Integrare directă

Obiective:

studiază formulele și regulile de calcul a integralei nedefinite

învață să rezolvi exemple folosind integrarea directă

Echipamentul de lecție: note de curs.

Criterii de evaluare

Se acordă nota „5” pentru îndeplinirea corectă a tuturor sarcinilor de lucru

se acordă nota „4” pentru îndeplinirea sarcinii 1 și decizie corectă oricare zece exemple din sarcina 2.

Se acordă nota „3” pentru finalizarea sarcinii 1 și rezolvarea corectă a oricăror șapte exemple din sarcina 2.

Comanda de lucru

Sarcina 1.

Citiți prelegerea nr. 9

Folosind prelegerile, răspunde la întrebări și notează răspunsurile în caiet:

1.Ce proprietăți ale integralei nedefinite cunoașteți?

2. Scrieți în formulele de integrare de bază

3. Ce cazuri sunt posibile cu integrarea directă?

Sarcina 2.

Rezolva exemple pentru decizie independentă

Cursul 9.

Subiect: „Integrală nedefinită. Integrare directa"

O funcție F(x) se numește antiderivată a unei funcții f(x) dacă F "(x) = f(x).

Orice functie continua f(x) are un număr infinit de antiderivate, care diferă între ele printr-un termen constant.

Expresia generală F(x) +C a mulțimii tuturor antiderivatelor pentru funcția f(x) se numește integrală nedefinită din aceasta functie:

dx = F(x) +С, dacă d(F(x) +С) = dx

Proprietățile de bază ale integralei nedefinite

1 0 .Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul, iar diferenta sa este egala cu integrandul:

( dx)" = d ( dx) =f(x) dx

2 0 . Integrala nedefinită a diferenţialului unei funcţii este egală cu această funcţie plus o constantă arbitrară:

3 0 . Factorul constant poate fi scos din semnul integralei nedefinite.

4 0 .Integrala nedefinită a sumei algebrice a funcțiilor este egală cu suma algebrică a integralelor nedefinite a termenilor funcțiilor:

+dx

5 0 . Dacă a este o constantă, atunci formula este validă

Formule de integrare de bază (integrale tabulare)

4.

5.

7.

9. = - ctgx + C

12. = arcsin + C

La aplicarea formulelor (3), (10). (11) semn valoare absolută se scrie numai în cazurile în care expresia de sub semnul logaritmului poate avea valoare negativă.

Fiecare dintre formule este ușor de verificat. Ca urmare a diferențierii laturii drepte se obține un integrand.

Integrare directă.

Integrarea directă se bazează pe utilizare directă tabele de integrale. Ei se pot prezenta aici următoarele cazuri:

1) această integrală poate fi găsită direct din integrala de tabel corespunzătoare;

2) această integrală, după aplicarea proprietăților 3 0 și 4 0, se reduce la una sau mai multe integrale tabelare;

3) această integrală, după transformări elementare de identitate asupra integrandului și aplicarea proprietăților 3 0 și 4 0, se reduce la una sau mai multe integrale tabelare.

Exemple.

Pe baza proprietății 3 0, factorul constant 5 este scos din semnul integral și, folosind formula 1, obținem

Soluţie. Folosind proprietatea 3 0 și formula 2, obținem

6

Soluţie. Folosind proprietățile 3 0 și 4 0 și formulele 1 și 2, avem

X + 3) = 4 + 12 = 4 - 4 + 12x + C = + 12x + C

Constanta de integrare C este egală cu suma algebrică a trei constante de integrare, deoarece fiecare integrală are propria sa constantă arbitrară (C 1 – C 2 + C 3 = C)

Soluţie. Pătrarea și integrarea fiecărui termen, avem

Folosind formula trigonometrică 1 + cot 2 x =

= = - ctgx – x + C

Soluţie. Scăzând și adunând numărul 9 la numărătorul integrandului, obținem

= = + = - =

X + 9 + C = - x +

Exemple de auto-rezolvare

Evaluați integralele folosind integrarea directă:

Monitorizarea cunoștințelor elevilor:

verificarea lucrărilor practice;

Cerințe pentru finalizarea lucrărilor practice:

Sarcina trebuie finalizată într-un caiet pt munca practica

Trimiteți lucrarea după oră

În acest subiect vom vorbi în detaliu despre proprietățile integralei nedefinite și despre găsirea integralelor în sine folosind proprietățile menționate. Vom lucra și cu tabelul de integrale nedefinite. Materialul prezentat aici este o continuare a temei „Integrală nedefinită. Început”. Sincer vorbind, în teste Rareori există integrale care pot fi luate folosind tabele tipice și/sau proprietăți simple. Aceste proprietăți pot fi comparate cu alfabetul, a cărui cunoaștere și înțelegere este necesară pentru a înțelege mecanismul de rezolvare a integralelor din alte subiecte. Adesea se numește integrare folosind tabele de integrale și proprietăți ale integralei nedefinite integrare directă.

La ce ajung: funcțiile se schimbă, dar formula de găsire a derivatei rămâne neschimbată, spre deosebire de integrală, pentru care a trebuit deja să enumerăm două metode.

Să mergem mai departe. Pentru a găsi derivata $y=x^(-\frac(1)(2))\cdot(1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ toate același se aplică aceeași formulă $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v"$, în care va trebui să înlocuiți $u=x^(-\frac(1)(2)) $, $v=( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ Dar pentru a găsi integrala $\int x^(-\frac(1)(. 2))\cdot( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3) dx$ va necesita utilizarea unei noi metode - substituții Chebyshev.

Și în sfârșit: pentru a găsi derivata funcției $y=\sin x\cdot\frac(1)(x)$, formula $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v" $ este din nou aplicabil, în care în loc de $u$ și $v$ înlocuim $\sin x$ și respectiv $\frac(1)(x)$, dar $\int \sin x\cdot\frac(1 )(x) dx$ este luată mai exact, nu este exprimată printr-un număr finit de funcții elementare.

Să rezumam: acolo unde a fost nevoie de o formulă pentru a găsi derivata, au fost necesare patru pentru integrală (și aceasta nu este limita), iar în acest din urmă caz ​​integrala a refuzat deloc să fie găsită. Am schimbat funcția - aveam nevoie noua metoda integrare. Aici avem tabele cu mai multe pagini în cărțile de referință. Absența metoda generala(potrivit pentru rezolvarea „manual”) duce la o abundență de metode private care sunt aplicabile doar pentru integrarea clasei proprii, extrem de limitate de funcții (în subiectele ulterioare ne vom ocupa de aceste metode în detaliu). Deși nu pot să nu remarc prezența algoritmului Risch (vă sfătuiesc să citiți descrierea pe Wikipedia), acesta este potrivit doar pentru procesarea programelor de integrale nedefinite.

Întrebarea #3

Dar dacă există atât de multe dintre aceste proprietăți, cum pot învăța să iau integralele? A fost mai ușor cu derivatele!

Pentru o persoană, există o singură cale până acum: să rezolve cât mai multe exemple de aplicație. diverse tehnici integrare, astfel încât atunci când apare o nouă integrală nedefinită, puteți alege o metodă de soluție pentru aceasta, pe baza experienței dumneavoastră. Înțeleg că răspunsul nu este foarte liniștitor, dar nu există altă cale.

Proprietățile integralei nedefinite

Proprietatea nr. 1

Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul, i.e. $\left(\int f(x) dx\right)"=f(x)$.

Această proprietate este destul de naturală, deoarece integrala și derivata sunt operații reciproc inverse. De exemplu, $\left(\int \sin 3x dx\right)"=\sin 3x$, $\left(\int \left(3x^2+\frac(4)(\arccos x)\right) dx \ dreapta)"=3x^2+\frac(4)(\arccos x)$ și așa mai departe.

Proprietatea nr. 2

Integrala nedefinită a diferenţialului unei funcţii este egală cu această funcţie, i.e. $\int \mathrm d F(x) =F(x)+C$.

De obicei, această proprietate este percepută ca fiind oarecum dificilă, deoarece se pare că nu există „nimic” sub integrală. Pentru a evita acest lucru, puteți scrie proprietatea indicată după cum urmează: $\int 1\mathrm d F(x) =F(x)+C$. Un exemplu de utilizare a acestei proprietăți: $\int \mathrm d(3x^2+e^x+4)=3x^2+e^x+4+C$ sau, dacă doriți, sub această formă: $\int 1\; \mathrm d(3x^2+e^x+4) =3x^2+e^x+4+C$.

Proprietatea nr. 3

Factorul constant poate fi scos din semnul integral, i.e. $\int a\cdot f(x) dx=a\cdot\int f(x) dx$ (presupunem că $a\neq 0$).

Proprietatea este destul de simplă și, poate, nu necesită comentarii. Exemple: $\int 3x^5 dx=3\cdot \int x^5 dx$, $\int (2x+4e^(7x)) dx=2\cdot\int(x+2e^(7x))dx $, $\int kx^2dx=k\cdot\int x^2dx$ ($k\neq 0$).

Proprietatea nr. 4

Integrală a sumei (diferenței) a două funcții egal cu suma(diferențele) integralelor acestor funcții:

$$\int(f_1(x)\pm f_2(x))dx=\int f_1(x)dx\pm\int f_2(x)dx$$

Exemple: $\int(\cos x+x^2)dx=\int \cos xdx+\int x^2 dx$, $\int(e^x - \sin x)dx=\int e^xdx -\ int \sin x dx$.

În testele standard, se folosesc de obicei proprietățile nr. 3 și nr. 4, așa că ne vom opri asupra lor mai detaliat.

Exemplul nr. 3

Găsiți $\int 3 e^x dx$.

Să folosim proprietatea nr. 3 și să scoatem constanta, i.e. numărul $3$, pentru semnul integral: $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx$. Acum să deschidem tabelul de integrale și înlocuind $u=x$ în formula nr. 4 obținem: $\int e^x dx=e^x+C$. Rezultă că $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3e^x+C$. Presupun că cititorul va avea imediat o întrebare, așa că voi formula această întrebare separat:

Întrebarea #4

Dacă $\int e^x dx=e^x+C$, atunci $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left(e^x+C\right) =3e^x+3C$! De ce au scris doar $3e^x+C$ în loc de $3e^x+3C$?

Întrebarea este complet rezonabilă. Ideea este că constanta integrală (adică același număr $C$) poate fi reprezentată sub forma oricărei expresii: principalul lucru este că această expresie „aparcurge” întregul set de numere reale, adică. a variat de la $-\infty$ la $+\infty$. De exemplu, dacă $-\infty≤ C ≤ +\infty$, atunci $-\infty≤ \frac(C)(3) ≤ +\infty$, deci constanta $C$ poate fi reprezentată sub forma $\ frac(C)( 3)$. Putem scrie că $\int e^x dx=e^x+\frac(C)(3)$ și apoi $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left (e^x+\frac(C)(3)\right)=3e^x+C$. După cum puteți vedea, nu există nicio contradicție aici, dar trebuie să fiți atenți când schimbați forma constantei integrale. De exemplu, reprezentarea constantei $C$ ca $C^2$ ar fi o eroare. Ideea este că $C^2 ≥ 0$, adică. $C^2$ nu se schimbă de la $-\infty$ la $+\infty$ și nu „parcurge” toate numerele reale. La fel, ar fi o greșeală să se reprezinte o constantă ca $\sin C$, deoarece $-1≤ \sin C ≤ 1$, i.e. $\sin C$ nu „parcurge” toate valorile axei reale. În cele ce urmează, nu vom discuta această problemă în detaliu, ci vom scrie pur și simplu constanta $C$ pentru fiecare integrală nedefinită.

Exemplul nr. 4

Găsiți $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx$.

Să folosim proprietatea nr. 4:

$$\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right) dx=\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x ^2+9)dx-\int8x^3dx$$

Acum să luăm constantele (numerele) în afara semnelor integrale:

$$\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x^2+9)dx-\int8x^3dx=4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^ 2+9)-8\int x^3dx$$

În continuare, vom lucra separat cu fiecare integrală obținută. Prima integrală, adică $\int \sin x dx$, poate fi găsit cu ușurință în tabelul de integrale de la nr. 5. Substituind $u=x$ în formula nr. 5 obținem: $\int \sin x dx=-\cos x+C$.

Pentru a găsi a doua integrală $\int\frac(dx)(x^2+9)$ trebuie să aplicați formula nr. 11 din tabelul de integrale. Înlocuind $u=x$ și $a=3$ în el obținem: $\int\frac(dx)(x^2+9)=\frac(1)(3)\cdot \arctg\frac(x) (3)+C$.

Și, în final, pentru a găsi $\int x^3dx$ folosim formula nr. 1 din tabel, înlocuind $u=x$ și $\alpha=3$ în ea: $\int x^3dx=\frac(x^ (3 +1))(3+1)+C=\frac(x^4)(4)+C$.

Au fost găsite toate integralele incluse în expresia $4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx$. Tot ce rămâne este să le înlocuim:

$$4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx=4\cdot(-\cos x)-17\cdot\frac(1) (3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-8\cdot\frac(x^4)(4)+C=\\ =-4\cdot\cos x-\frac(17)(3 )\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C.$$

Problema este rezolvată, răspunsul este: $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx=-4\cdot\cos x-\ frac(17 )(3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C$. Voi adăuga o mică notă la această problemă:

Doar o mică notă

Poate că nimeni nu va avea nevoie de această inserție, dar voi menționa în continuare că $\frac(1)(x^2+9)\cdot dx=\frac(dx)(x^2+9)$. Aceste. $\int\frac(17)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(1)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(dx)(x^2 +9)$.

Să ne uităm la un exemplu în care folosim formula nr. 1 din tabelul de integrale pentru a interpune iraționalități (rădăcini, cu alte cuvinte).

Exemplul nr. 5

Găsiți $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx$.

Pentru început, vom face aceleași acțiuni ca în exemplul nr. 3 și anume: vom descompune integrala în două și vom muta constantele dincolo de semnele integralelor:

$$\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6)) \right)dx=\int\left(5\cdot\sqrt(x^) 4) \right)dx-\int\frac(14)(\sqrt(x^6)) dx=\\ =5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac( dx)(\sqrt(x^6)) $$

Deoarece $\sqrt(x^4)=x^(\frac(4)(7))$, atunci $\int\sqrt(x^4) dx=\int x^(\frac(4)(7 ) )dx$. Pentru a găsi această integrală, aplicăm formula nr. 1, înlocuind $u=x$ și $\alpha=\frac(4)(7)$ în ea: $\int x^(\frac(4)(7)) dx=\ frac(x^(\frac(4)(7)+1))(\frac(4)(7)+1)+C=\frac(x^(\frac(11)(7)) )(\ frac(11)(7))+C=\frac(7\cdot\sqrt(x^(11)))(11)+C$. Dacă doriți, puteți reprezenta $\sqrt(x^(11))$ ca $x\cdot\sqrt(x^(4))$, dar acest lucru nu este necesar.

Să trecem acum la a doua integrală, adică. $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))$. Deoarece $\frac(1)(\sqrt(x^6))=\frac(1)(x^(\frac(6)(11)))=x^(-\frac(6)(11) ) $, atunci integrala luată în considerare poate fi reprezentată în următoarea formă: $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))=\int x^(-\frac(6)(11))dx$ . Pentru a găsi integrala rezultată, aplicăm formula nr. 1 din tabelul de integrale, înlocuind $u=x$ și $\alpha=-\frac(6)(11)$ în ea: $\int x^(-\ frac(6)(11) ))dx=\frac(x^(-\frac(6)(11)+1))(-\frac(6)(11)+1)+C=\frac(x ^(\frac(5) (11)))(\frac(5)(11))+C=\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.

Înlocuind rezultatele obținute, obținem răspunsul:

$$5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))= 5\cdot\frac(7\cdot\sqrt(x^( 11)))(11)-14\cdot\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C= \frac(35\cdot\sqrt(x^(11)))( 11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C. $$

Răspuns: $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx=\frac(35\cdot\sqrt(x^(11) )))(11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.

Și, în sfârșit, să luăm integrala care se încadrează sub formula nr. 9 din tabelul integralelor. Exemplul nr. 6, la care vom trece acum, ar putea fi rezolvat în alt mod, dar acest lucru va fi discutat în subiectele ulterioare. Deocamdată, vom rămâne în cadrul utilizării tabelului.

Exemplul nr. 6

Găsiți $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx$.

Mai întâi, să facem aceeași operație ca înainte: mutarea constantei (numărul $12$) în afara semnului integral:

$$ \int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int\frac(1)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int \frac(dx)(\sqrt(15-7x^2)) $$

Integrala rezultată $\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))$ este deja apropiată de cea tabelară $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2) )$ (formula nr. 9 tabelul integralelor). Diferența dintre integrala noastră este că înainte de $x^2$ sub rădăcină există un coeficient $7$, pe care integrala de tabel nu îl permite. Prin urmare, trebuie să scăpăm de acești șapte, deplasându-l dincolo de semnul rădăcinii:

$$ 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))=12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7\cdot\left(\frac(15)) ) 7)-x^2\right)))= 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7)\cdot\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))=\ frac (12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2)) $$

Dacă comparăm integrala tabelului $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))$ și $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)- x^ 2))$ devine clar că au aceeași structură. Numai în integrala $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))$ în loc de $u$ există $x$, iar în loc de $a^2$ există $\frac (15)(7)$. Ei bine, dacă $a^2=\frac(15)(7)$, atunci $a=\sqrt(\frac(15)(7))$. Înlocuind $u=x$ și $a=\sqrt(\frac(15)(7))$ în formula $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))=\arcsin \ frac(u)(a)+C$, obținem următorul rezultat:

$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))= \frac(12)(\sqrt (7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C $$

Dacă luăm în considerare că $\sqrt(\frac(15)(7))=\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7))$, atunci rezultatul poate fi rescris fără „trei etaje”. ” fracții:

$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C=\frac(12)(\sqrt(7) ))\cdot\arcsin\frac(x)(\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7)))+C= \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac (\sqrt(7)\;x)(\sqrt(15))+C $$

Problema este rezolvată, răspunsul este primit.

Răspuns: $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=\frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(\sqrt(7)\;x) (\sqrt(15))+C$.

Exemplul nr. 7

Găsiți $\int\tg^2xdx$.

Pentru integrare funcții trigonometrice Avem propriile noastre metode. Cu toate acestea, în în acest caz, te poți descurca cu cunoștințe de simplu formule trigonometrice. Deoarece $\tg x=\frac(\sin x)(\cos x)$, atunci $\left(\tg x\right)^2=\left(\frac(\sin x)(\cos x) \ dreapta)^2=\frac(\sin^2x)(\cos^2x)$. Luând în considerare $\sin^2x=1-\cos^2x$, obținem:

$$ \frac(\sin^2x)(\cos^2x)=\frac(1-\cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-\frac(\ cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-1 $$

Astfel, $\int\tg^2xdx=\int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx$. Expandând integrala rezultată în suma integralelor și aplicând formule tabelare, vom avea:

$$ \int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx=\int\frac(dx)(\cos^2x)-\int 1dx=\tg x-x+C . $$

Răspuns: $\int\tg^2xdx=\tg x-x+C$.